ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน

ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชัน 01
02
ฟังกช์ นั เสน้ ตรง 03
ฟังกช์ นั พาราโบลา 04
ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ท่ีอยใู่ นรูปอนุกรมเวลา
แบบทดสอบหลงั เรียน

การวเิ คราะห์ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล

ในการวเิ คราะห์ขอ้ มูลบ่อยคร้ังมีขอ้ มูลเชิงปริมาณที่ ประกอบดว้ ยตวั แปรต้งั สองตวั ข้ึน
ไป และตวั แปรเหล่าน้นั มีความ เก่ียวขอ้ งกนั อยู่ เช่น รายไดแ้ ละรายจ่ายของครอบครัว ส่วนสูง
และน้าหนกั ของเดก็ แรกเกิด ความเกี่ยวขอ้ งกนั ของตวั แปรจะมีลกั ษณะที่ ค่าของตวั แปรหน่ึง
ข้ึนอยกู่ บั อีกตวั แปรหน่ึง เช่น รายจ่ายจะข้ึนอยกู่ บั รายได้ ส่วนสูงจะข้ึนอยกู่ บั น้าหนกั กรณีเช่นน้ี
จะเรียกตวั แปรท่ีแสดง รายไดห้ รือน้าหนกั วา่ ตวั แปรอิสระ (independent variables) เรียกตวั แปร
ที่แสดงรายจ่ายหรือส่วนสูงวา่ ตวั แปรตาม (dependent variables)

การวเิ คราะห์ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล (ต่อ)

1. การวเิ คราะห์ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ระหวา่ งขอ้ มูล
ในการสร้างความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชนั ระหว่างขอ้ มูลส่วนมากนิยมใช้ x แทนตวั แปร

อิสระ และ y แทนตวั แปรตาม และขอ้ มูลที่นามาสร้างความสัมพนั ธ์จะตอ้ งประกอบดว้ ยค่าจาก
การสังเกตเป็นจานวน มากพอสมควร ซ่ึงควรจะมีต้งั แต่ 8 ค่าข้ึนไป เพราะหาค่าจากการสงั เกตมี
จานวนนอ้ ยแลว้ สมการที่แสดง ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งขอ้ มูลของ 2 ตวั แปร อาจจะไม่ใกลเ้ คียง
กบั ความเป็นจริง กล่าวคืออาจจะทาใหผ้ ล จากการทานายตวั แปรตามจากสมการคลาดเคลื่อนจาก
ความเป็ นจริ งไปมาก
2. ชนิดของความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ระหวา่ งขอ้ มูล

โดยทว่ั ไป ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ของขอ้ มูลท่ีประกอบดว้ ยตวั แปร 2 ตวั แบ่งออกเป็น
2 ชนิด คือ

การวเิ คราะห์ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล (ต่อ)

2.1 ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ที่เป็นเสน้ ตรง
รูปแบบสมการทวั่ ไปคือ y = mx + c
โดยท่ี x เป็นตวั แปรอิสระ
y เป็นตวั แปรตาม
m เป็นความชนั ของเส้นตรง
c เป็นค่าคงตวั และเป็นระยะตดั แกน y

2.2 ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ที่ไม่เป็นเสน้ ตรง (เป็นเส้นโคง้ ) แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ
- ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ที่เป็นพาราโบลา
- ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ท่ีเป็นเอกซ์โพเนนเชียล

การวเิ คราะห์ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล (ต่อ)

ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันทเี่ ป็ นพาราโบลามรี ูปสมการทว่ั ไปเป็ นดงั นี้
มีรูปสมการทวั่ ไปเป็น y = 2 + +
โดยที่ x เป็นตวั แปรอิสระ
y เป็นตวั แปรตาม
a, b, c เป็นค่าคงตวั โดยที่ ≠ 0

3. แผนภาพการกระจาย
ในการสร้างความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั สิ่งท่ีเราจะตอ้ งรู้เป็นอนั ดบั แรก กค็ ือ ขอ้ มูลท่ีโจทย์

กาหนดมา ให้น้นั มีความสัมพนั ธ์กนั เป็ นสมการชนิดใด (เส้นตรง หรือ พาราโบลา หรือเอกซ์
โพเนนเชียล) และวธิ ีที่จะทราบน้นั กต็ อ้ งนาขอ้ มูลที่โจทยก์ าหนด มาเขียนเป็นกราฟ โดยข้นั แรก
จะตอ้ งเขียนเป็นจุดอ่อน (ใหค้ ่า x อยบู่ นแกนนอน ค่า y อยบู่ นแกนต้งั ) แลว้ ข้นั ต่อไปก็พิจารณา
วา่ จุดเหล่าน้ี เรียงตวั กนั แลว้ มีแนวโนม้ เป็น สมการชนิดใด ลกั ษณะการเขียนกราฟเช่นน้ี เรียกวา่
“แผนภาพการกระจาย”

การวเิ คราะห์ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล (ต่อ)

4. สมการปกติ
เมื่อทราบถึงรูปแบบของความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชนั จากการสร้างแผนภาพการกระจาย

แลว้ ข้นั ต่อไป ก็ตอ้ งหาสมการของความสัมพนั ธ์ดงั กล่าว ซ่ึงการหาน้นั ตอ้ งหาจากรูปทว่ั ไปของ
แต่ละสมการ เช่น ถา้ รู้ความสมั พนั ธ์ของขอ้ มูลเป็นแบบเส้นตรง กต็ อ้ งหาสมการ
จากรูป = + เป็นตน้ และการหาสมการความสมั พนั ธ์จากรูปทวั่ ไปน้นั เราตอ้ งหาค่าคง
ตวั (เช่น m, c) ใหไ้ ด้ และตามหลกั ของการแกส้ มการ

ถา้ มีตวั ไม่ทราบค่า k ตวั เราตอ้ งสร้างสมการข้ึนมาใหไ้ ด้ k สมการ
จึงจะสามารถแกส้ มการหาค่าตวั ไม่ทราบค่าไม่ไดค้ รบถว้ น

ดงั น้ัน หากสมการรูปทว่ั ไปมีค่าคงตวั 2 ตวั (เช่น m และ c จากสมการเส้นตรง) เราตอ้ งสร้าง
สมการรองรับ 2 สมการ และวิธีการสร้างสมการรองรับน้ีจะสร้างโดยอาศยั “ระเบียบวิธีกาลงั
สองน้อย ที่สุด” (รายละเอียดของวิธีกาลงั สองน้อยท่ีสุด ตอ้ งใชค้ วามรู้คณิตศาสตร์ช้นั สูง มีใบ
ความรู้ในทา้ ยเอกสารการสอนน้ี) และสมการรองรับที่ถูกสร้างข้ึนมาน้ี เรียกว่า “สมการปกติ”
ฉะน้นั จึงสรุปไดว้ า่

การวเิ คราะห์ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล (ต่อ)

สมการปกติ คือ สมการทถ่ี ูกสร้างขนึ้ มา เพื่อให้สามารถแก้สมการหาค่าคงตวั จากสมการรูปทวั่ ไป
ของ ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันในรูปแบบต่าง ๆ ได้

1. สมการเสน้ ตรง มี คา่ คงตวั ที่ตอ้ งการหา 2 ตวั คือ m และ c จะมีสมการปกติ 2 สมการ

รูปทวั่ ไป = + C
สมการปกติ ∑ = ∑ +

∑ = ∑ 2 + ∑x

2. สมการพาราโบลามีค่าคงตวั ท่ีตอ้ งการหา 3 ตวั คือ a,b และ c จะมีสมการปกติ 3 สมการ

รูปทวั่ ไป = 2 + + C

สมการปกติ ∑ = ∑ 2 + ∑ +

∑ = ∑ 3 + ∑ 2 + ∑

∑ 2 = ∑ 4 + ∑ 3 + ∑ 2

การวเิ คราะห์ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล (ต่อ)

สรุป ถ้าความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันอยู่ในรูป y = f(x) แล้ว
1. ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั น้ี มี x เป็นตวั แปรอิสระ และ y เป็นตวั แปรตาม
2. ถา้ กาหนดค่า x ให้ เราจะสามารถทานายค่าของ y ได้ [นนั่ คือตวั แปรที่จะทานายค่า (หาค่า)
ตอ้ งเป็น ตวั แปรตามเท่าน้นั ]
3. ถา้ กาหนดค่า y ให้ เราจะหาค่าหรือทานายค่า x ไม่ได้ เนื่องจาก x เป็นตวั แปรอิสระหาก
ตอ้ งการ ทานายค่า x ตอ้ งสร้างความสมั พนั ธ์ใหม่เป็น x = f(y) ซ่ึงความสมั พนั ธน์ ้ีมี y เป็นตวั แปร
อิสระ และ x เป็นตวั แปรตาม
4. จากสมการรูปทวั่ ไป “ถา้ มีค่าคงตวั (เช่น m, o, b, c) k ตวั ตอ้ งสร้างสมการปกติ k สมการดว้ ย”
5. สมการความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั ที่ถูกสร้างจากขอ้ มูลกลุ่มหน่ึงๆ จะใชท้ านายความเป็นไปได้
ของขอ้ มูลกลุ่มน้นั ๆ เท่าน้นั “แต่จะนาไปใชท้ านายความเป็นไปไดข้ องขอ้ มูลกลุ่มอ่ืน ๆ ไม่ได”้

ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันทอี่ ยู่ในรูปอนุกรมเวลา

ขอ้ มูลท่ีอย่ใู นรูปอนุกรมเวลา คือ ขอ้ มูลท่ีแสดงความเปลี่ยนแปลงตามลาดบั ก่อนหลงั
ของช่วงเวลาที่ขอ้ มูลน้นั ๆ (หรือกล่าวง่ายๆ ขอ้ มูลท่ีอยู่ในรูปอนุกรมเวลา คือ ขอ้ มูลที่มีหน่วย
เวลามาเก่ียวขอ้ ง) โดยปกติขอ้ มูลลกั ษณะน้ี จะเกิดข้ึน ในช่วงเวลาที่เท่า ๆกนั เช่น เป็นช่วงเวลา
ละ 1 ปี หรือ 1 เดือน เป็นตน้ ตวั อยา่ งของขอ้ มูลที่อยใู่ นรูปอนุกรมเวลา เช่น
- ปริมาณขา้ วสาร ที่ไทยส่งออกต้งั แต่ปี พ.ศ. 2534 - 2539
- ปริมาณน้าฝนที่ตกในภาคกลาง ต้งั แต่เดือนสิงหาคม - ตุลาคม พ.ศ. 2539

พ.ศ. 2537 2538 2539

มูลค่าสินคา้ (หน่วยเป็นร้อยลา้ น) 2 3 6

หากจะสร้างความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปี พ.ศ. (x) กบั จานวนมูลค่าสินคา้ (y) กจ็ ะยงุ่ ยากมาก
เพราะ x มีค่าเป็นจานวนพนั ดงั น้นั ในทางปฏิบตั ิจริงแลว้ กจ็ ะปรับค่า x เป็นตวั เลขต่าง ๆ เช่น
อาจจะให้ พ.ศ. 2537 ตรงกบั 1, พ.ศ.2538 ตรงกบั 2 เป็นตน้ แต่ท่ีนิยมปรับค่า x ที่เป็นปี พ.ศ. ให้
เป็นตวั เลขจะทากนั ดงั น้ี ( ให้ ∑ มีค่ากบั 0 )

ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชันทอี่ ยู่ในรูปอนุกรมเวลา (ต่อ)

กรณที ่ี 1 จานวนปี พ.ศ. เป็ นจานวนค่ี กรณที ่ี 2 จานวนปี พ.ศ. เป็ นจานวนคู่

ให้สมบตั ิปี ที่อยู่ตรงกลางเป็ น 0 ส่วนปี ก่อนหนา้ ปี ที่อยู่ ใหก้ าหนด 2 ปี ตรงกลาง เป็น -1 กบั 1 และปี ก่อน หนา้ น้ี

ตรงกลางให้กาหนดเป็ น -1,-2,-3 ตามลาดบั และปี ท่ีอยู่ เป็ น “-3,-5,-7,…”และปี ที่อยู่หลังปี ตรงกลางเป็ น

ตรงกลางก าหนดเป็น “1,2,3,…” ตามลาดบั “3,5,7,…”ตามลาดบั

ดงั ตวั อยา่ ง ดงั ตวั อยา่ ง

พ.ศ. x พ.ศ. x
2534 -3 2534 -5
2535 -2 2535 -3
2536 -1 2536 -1
2537 0 2537 1
2538 1 2538 3
2539 2 2539 5
2540 3 2540 7

แบบฝึ กหดั

1. ตารางต่อไปน้ีเป็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง x กบั y
x12345
y23569

จงหาสมการท่ีแสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง x กบั y โดยให้ x เป็นตวั แปรอิสระ
จากสมการในจงทานายคา่ ของ y เมื่อก าหนดให้ x = 10

แบบฝึ กหดั

2. กาหนดใหค้ วามสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ระหวา่ งขอ้ มูลที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี เป็นเสน้ ตรง

x012456
y864330
จงทานายคา่ y เม่ือ x = 3

แบบฝึ กหดั 1
9
3. กาหนดขอ้ มูลต่อไปน้ี
x7932
y 39 49 19 14

ถา้ ความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั ระหวา่ งขอ้ มูลท่ีกาหนดใหเ้ ป็นเสน้ ตรงแลว้
จงทานายหาคา่ y เมื่อ x = 6

แบบฝึ กหดั

4. x แทนจานวนวนั ท่ีนกั เรียนขาดเรียนวิชาสถิติ, y แทนคะแนนสอบวิชาสถิติของนกั เรียน, n แทน
จานวนนกั เรียน

∑ = 90 ∑ = 4,750 ∑ 2= 400

∑ = 1,800 = 30 ∑ 2 = 113,000

จากการสารวจ พบวา่ ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั x และ y เป็นเสน้ ตรง และไดข้ อ้ มูลดงั น้ี
ถา้ นายสมชายขาดเรียน 6 วนั จงทานายคะแนนสอบของสมชาย

แบบฝึ กหดั

5. กาหนดขอ้ มูลดงั ต่อไปน้ี

x1234
y 5 2 3 10

ถา้ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง x กบั y เป็นสมการพาราโบลา จงหาสมการแสดงความสมั พนั ธ์
และจงทานายค่า y เมื่อ x = 5

แบบฝึ กหดั

6. จากตารางขอ้ มูลต่อไปน้ี

x0123 4
y 1 5 10 22 38

ถา้ x และ y มีความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั แบบพาราโบลาแลว้

จงหาสมการความสมั พนั ธ์
222...235xxx222
ก. y = + 0.3x + 1.4
ข. y = – 0.3x + 1.5
ค. y = + 0.3x + 1.5
ง. y = 2.6x2 + 0.5x + 1.3

แบบฝึ กหดั 2
9
7. จากตารางขอ้ มูลต่อไปน้ี

x -2 -1 0 1
y2135

ถา้ x และ y มีความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั แบบพาราโบลาแลว้
จงหา y เม่ือกาหนด x = 3
ก. 13.45
ข. 14.398
ค. 15.56
ง. 16.48

แบบฝึ กหดั

8. จากตารางขอ้ มูล

พ.ศ. 2535 2536 2537 2538 2539 2540
y754324

ถา้ y มีความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั กบั เวลา แบบเสน้ ตรงแลว้
จงหาสมการความสมั พนั ธ์
ก. y = -0.79x + 3.71
ข. y = 0.79x – 3.71
ค. y = -0.36x + 4.71
ง. y = 0.36x – 4.17

แบบฝึ กหดั 2540
60
9. จากตารางขอ้ มูลต่อไปน้ี

พ.ศ. 2536 2537 2538 2539
y 20 30 20 40

ถา้ y มีความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ นั กบั เวลา แบบเสน้ ตรงแลว้
จงทานายค่าของ y ในปี 2545
ก. 97
ข. 106
ค. 110
ง. 120

แบบฝึ กหดั

10. บริษทั แห่งหน่ึงขายของเล่นเดก็ มียอดจาหน่ายใน 5 เดือนแรกดงั น้ี

เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค.
ยอดจาหน่าย (ร้อยชิ้น) 4 2 1 3 5

อยากทราบวา่ เดือนมิถุนายนจะขายไดป้ ระมาณก่ีชิ้น
ก. 920
ข. 940
ค. 960
ง. 980

T
H
A
N นายณฐพนนท์ พิบูลศุภศริโสภณ เลขท่ี 4
K นายภรัณยู สอนสีแกว้ เลขที่ 6

Y มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6
O
U