Fisica 2 - Hugo Medina Guzmán

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Por la segunda ley de Newton: G M0m = mg0 ⇒ GM 0 = g 0 R02 ,
R02
→→

∑F =ma

F = −G M ′m = •• Obtenemos: F0 = mg 0 r
R0
x2 mx

Luego: F = − 4πρGm x = −kx La fuerza responsable del movimiento es:
3
F = − mg0r senϕ , senϕ = x
De aquí k = 4πρGm R0 R
3
De aquí
El movimiento es, por tanto, vibratorio armónico
F = − mg0 x = −kx
simple. R0

b) de período: El signo menos nos indica que va dirigida hacia abajo.
El movimiento es oscilatorio armónico simple.
T = 2π m = 2π 3 b) de período
k 4πρG
T = 2π m = 2π R0 = 84 min
Ejemplo 8. Si la Tierra fuese homogénea y se hiciese k g0
en conducto recto como se indica en la figura, al dejar
caer por él un cuerpo de masa m Ejemplo 9. Una barra pesada uniforme de masa m
a) demostrar que adquiriría un movimiento oscilatorio reposa sobre dos discos iguales que son girados
armónico simple. continuamente en sentidos opuestos, como se
b) Calcular el período de ese movimiento. muestra. Los centros de los discos esta separados una
Suponer que no existen rozamientos entre el cuerpo y distancia d. El coeficiente fricción entre las barras y
las paredes del conducto.
la superficie de los discos es μ , constante
Solución.
a) Llamando M a la masa de Tierra encerrada en la independiente de la velocidad relativa de las
esfera de radio r, obtenemos para valor del módulo superficies.
de la fuerza F0 que representamos en la figura: Inicialmente la barra se mantiene en reposo con su
centro a una distancia x0 del punto equidistante de los
discos. Al tiempo t = 0 se suelta. Encontrar el
movimiento subsiguiente de la barra.

Solución.
Aparato

F0 = G Mm
r2

Como: ρ = dm = M = M 0
dV V V0

M = r3 M0
R03

Sustituyendo, teniendo en cuenta que

6

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Diagrama de cuerpo libre de la barra U = ∫ dU = ∫ kxdx = 1kx 2
Las fuerzas actuantes sobre la viga se muestran en 2
dibujo siguiente. Los centros de los discos están
separados una distancia d. Las fuerzas de rozamiento La energía potencial del oscilador armónico simple
son en sentidos opuestos.
es U = 1 kx2
2

Como hemos visto es la energía de deformación
elástica del resorte.
Como

x = Asen(ωt − ϕ ) , y xmax = A

Se tiene

U max = 1 kA2
2

Aplicando la segunda ley de Newton: Por otra parte la energía cinética del oscilador

Fy =0: N1 + N2 − mg = 0 (1) armónico simple es

1 1 m⎜⎛ • ⎟⎞ 2

τC = 0: − N1 ⎛⎜ d + x ⎟⎞ + N ⎛⎜ d − x ⎟⎞ = 0 K = mv 2 = x
⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ 2 2 ⎝⎠

(2) Como

La ecuación de momentos (2) se escribe con respecto • = A cos(ωt −ϕ),

al centro de gravedad C de la barra, Despejando N1 y x
N2 de (1) y (2), obtenemos
Con

1 mg⎜⎛ d x ⎟⎞ 1 mg⎜⎛ d x ⎞⎟ •
2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠
x max = Aω , se tiene

N1 = − , N2 = + K max = 1 m • 2 = 1 mA2ω 2 = 1 kA2
max 2 2
2 x

∑Como F = ma , para la barra, obtenemos: La Energía mecánica total es:

•• •• E = K +U

Ff 1 − Ff 2 = m x ⇒ μN1 − μN2 = m x = 1 mA2ω 2 cos(ωt − ϕ ) + 1 kA2 cos(ωt − ϕ )

⇒ 1 μmg ⎡⎢⎣⎜⎝⎛ d − x ⎞⎟ − ⎛⎜ d + x ⎟⎠⎞⎤⎦⎥ = •• 22
2 2 ⎠⎝ 2
mx Como

Simplificando: ω2 = k
m
•• ⎛⎜ 2μg ⎞⎟ x
= 0 . E = 1 kA2 cos 2 (ωt − ϕ ) + 1 kA2sen 2 (ωt − ϕ )
x+ ⎝d⎠
22

Ecuación correspondiente al movimiento armónico E = 1 kA2 = Constante
2
simple, cuya frecuencia natural es ωo es
O sea que
ωo = 2μg rad/s
d E = K + U = K max = U max

La ecuación del movimiento de la barra. PROBLEMA BASICO MASA – RESORTE
Resorte horizontal.
x = x0 cosω0t En nuestra primera referencia a este tipo de sistemas,
considerábamos que estaba compuesto por un solo
La barra se mantiene un moviendo oscilatorio objeto de masa m sujeto a un resorte de constante k y
armónico simple sobre los discos que giran en
sentidos opuestos. longitud l o a otro dispositivo equivalente, por

ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO ejemplo, un alambre delgado, que proporciona una
SIMPLE fuerza restauradora igual al producto de cierta
constante k por el desplazamiento respecto al
Como oscilador armónico simple es un sistema equilibrio.
conservativo, la fuerza se puede derivar de la función
energía potencial.

F = − dU
dx

Como F = −kx , dU = kx Esto sirve para identificar, en función de un sistema
de un tipo particular sencillo, las dos características
tenemos:
dx

7

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que son esenciales en el establecimiento de Cuando se vea una ecuación análoga a éstas se puede
movimientos oscilantes: llegar a la conclusión de que el desplazamiento x es
1. Una componente inercial, capaz de transportar una función del tiempo de la forma
energía cinética.
2. Una componente elástica, capaz de almacenar x(t) = Asen(ωt − ϕ ) , en donde ω = k
energía potencial elástica.
siendo
Admitiendo que la ley de Hooke es válida, se obtiene m
una energía potencial proporcional al cuadrado del
desplazamiento del cuerpo respecto al equilibrio k la constante del resorte y m la masa.

igual a 1 kx2 . Admitiendo que toda la inercia del Esta solución seguirá siendo válida, aunque el
2 sistema no sea un objeto aislado sujeto a un resorte
carente de masa.
sistema está localizada en la masa al final del resorte, La ecuación contiene otras dos constantes, la
se obtiene una energía cinética que es precisamente
amplitud A y la fase inicial ϕ , que proporcionan
igual 1 mv 2 , siendo v la velocidad del objeto. Debe
2 entre las dos una especificación completa del estado
de movimiento del sistema para t = 0 (u otro tiempo
señalarse que ambas hipótesis particularizaciones de señalado).
las condiciones generales 1 y 2 y que habrá muchos Resorte vertical.
sistemas oscilantes en que no se apliquen estas Hasta este punto hemos considerado solamente
condiciones especiales. Sin embargo, si un sistema resortes en posición horizontal, los que se encuentran
puede considerarse compuesto efectivamente por una sin estirar en su posición de equilibrio. En muchos
masa concentrada al final de un resorte lineal casos, sin embargo, tenemos resortes en posición
(“lineal” se refiere a su propiedad y no a su forma vertical.
geométrica), entonces podemos escribir su ecuación
del movimiento mediante uno de estos dos
procedimientos:

1. Mediante la segunda ley de Newton (F = ma), El resorte tiene una longitud

− kx = ma original l , cuando se ata una masa
m a un resorte en posición vertical,
2. Por conservación de la energía mecánica total (E),
el sistema está en equilibrio cuando
1 mv2 + 1 kx2 = E
22 el resorte ejerce una fuerza hacia

La segunda expresión es, naturalmente, el resultado arriba igual al peso de la masa. Esto
de integrar la primera respecto al desplazamiento x,
pero ambas son ecuaciones diferenciales del mo- es, el resorte se estira una longitud
vimiento del sistema.
Vamos a aplicar la segunda ley de Newton (F = ma),
en el instante en que el resorte se a estirado una
longitud x

Δl dada por

kΔl = mg ⇒ Δl = mg
k

La figura a continuación muestra el diagrama del Por consiguiente, una masa en
cuerpo libre de la masa.
un resorte vertical oscila
Aplicando la segunda ley de Newton (F = ma),
alrededor de la posición de
− kx = ma ⇒ m d2x + kx = 0 o •• = 0
dt 2 equilibrio.
m x+ kx
Aplicando la segunda ley de

Newton (F = ma) ,

− k(y + Δl) + mg = ma

⇒ − ky − kΔl + mg = ma
Como kΔl = mg :
− ky = ma

•• k ⇒ m d2y + ky = 0 o •• ky = 0
dt 2
x+ m y+

m x = 0

8

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•• k y=0 Para cada uno de los resortes:

y+ m ∑ Fx = max , F1 = k1x , F2 = k2 x

En todos los otros aspectos las oscilaciones son Visto en conjunto la masa oscila debido a un resorte

iguales que para el resorte horizontal. equivalente: F = ke x , ahora F = F1 + F2

y(t) = Asen(ωt − ϕ ) Luego, podemos escribir.

El moviendo es armónico simple y la frecuencia está

dada por ω = k , siendo k la constante del ke x = k1x + k2 x ⇒ ke = k1 + k2 m
m
, (k1 + k2 )
resorte y m la masa.
Con esto ω = (k1 + k2 ) y T = 2π
Ejemplo 10. Una masa m se conecta a dos resortes de
constantes fuerza k1 y k2 como en las figuras a , b y c. m
En cada caso, la masa se mueve sobre una superficie
sin fricción al desplazarse del equilibrio y soltarse. c) Haciendo el diagrama de cuerpo libre.
Encuentre el periodo del movimiento en cada caso.

(a) Para cada uno de los resortes:

(b) ∑ Fx = max , F1 = k1x , F2 = k2 x

(c) Visto en conjunto la masa oscila debido a un resorte
Solución.
a) Haciendo el diagrama de cuerpo libre. equivalente: F = ke x , ahora F = F1 + F2

Luego, podemos escribir.

ke x = k1x + k2 x ⇒ ke = k1 + k2 ,

Con esto ω = (k1 + k2 ) y T = 2π m

m (k1 + k2 )

¿Cuál sería el periodo para el caso de la figura

siguiente?

Para cada uno de los resortes:

∑ Fx = max , F = k1x1 , F = k2 x2

Visto en conjunto la masa oscila debido a un resorte

equivalente: F = ke x , donde x = x1 + x2

Luego, podemos escribir.

F =F+F ⇒ 1 =1+1, Ejemplo 11. Al suspender un cuerpo de masa m de un
ke k1 k2 ke k1 k2 resorte de constante k1, y separarlo ligeramente de su
posición de equilibrio, el sistema oscila con una
y ke = k1 k 2 , frecuencia f1. Si ahora este resorte se monta como
k1 + k2 indica la figura, junto con otros dos, de constantes k2
= 2k1 y k3 = 4k1, utilizando una barra de peso
Con esto ω = k1 k 2 y despreciable, ¿cuál será la nueva frecuencia propia del
sistema con relación a la anterior? A es el punto
m(k1 + k2 ) medio de la barra.

T = 2π m(k1 + k2 )

k1 k 2

b) Haciendo el diagrama de cuerpo libre.

Solución.
9

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Como k1 es diferente k2 , los estiramientos f = 8 = 1,26 .
de los resortes no son iguales, por lo tanto f1 5
no podemos considerar la suma de las
constantes como la constante equivalente Ejemplo 12. Un pequeño proyectil de masa 10 g que
de la parte en paralelo. vuela horizontalmente a velocidad 20 m/s impacta
En este caso vamos hallar directamente la plásticamente contra un bloque de madera de masa
constante equivalente del conjunto. 190 g unido a un resorte ideal de constante 500 N/m
que se halla en posición horizontal. Determine la
amplitud y frecuencia de las oscilaciones producidas.

Solución.

Por conservación de cantidad de movimiento:

mv0 = (m + M )v1

⇒ v1 = m

(m + M ) v0

El estiramiento del resorte 1 es: = 10 20 =1m
s
x1 = mg / 2 = mg (10 + 190)
k1 2k1
Por conservación de energía:

El estiramiento del resorte 2 es: 1 (m + M )v12 = 1 kA2 ⇒
2
x2 = mg / 2 = mg 2
k2 4k1
1 (0,2kg)⎛⎜1 m ⎞⎟ = 1 ⎜⎛500 N ⎟⎞ A2
El estiramiento del resorte 3 es:
2 ⎝ s ⎠ 2⎝ m⎠
x3 = mg = mg De aquí: A = 0,02m = 2cm
k3 4k1
La frecuencia se obtiene de

Con el peso mg el resorte se estira ω = 2πf = k ⇒

x = x2 + x2 + x3 (m + M )
2
f= 1 k
Siendo x = mg 2π
k eq (m + M )

Reemplazando x, x1, x2 y x3: f = 1 500 = 25 = 7,96Hz
2π 0,2 π
mg + mg
mg = 2k1 4k1 + mg 5mg
⇒ Ejemplo 13. En el diagrama de la figura el resorte
= tiene masa despreciable y una longitud de 20cm
keq 2 4k1 8k1 cuando está sin deformar. Un cuerpo de 2kg. Unido
al resorte puede moverse sobre una superficie plana
k eq = 8 horizontal lisa. A dicho cuerpo se le ata un hilo que
5 k1 pasa por una polea sin rozamiento y del cual pende
un cuerpo de 4kg. El sistema se halla inicialmente en
La frecuencia del conjunto es: reposo en la posición representada y la longitud del
resorte comprimido es de 15cm. Se corta entonces el
ω = keq = 8k1 = 2π f hilo y el cuerpo de 2 kg empieza a oscilar con
m 5m movimiento armónico simple.

⇒ f = 1 8k1
2π 5m

Como la frecuencia del resorte 1 es

f1 = 1 k1
2π m

Obtenemos:

10

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••

⇒ x+ 392x = 0

c) La amplitud del movimiento es A = 0,05 m, la

frecuencia angular es ω = 392 = 19,8 rad/s

La frecuencia es: f =ω = 19,8 = 3,15 c/s
2π 2π

a) ¿Cuál es el valor de “k”? d) Hallar la energía mecánica del sistema.
b) Hallar la ecuación diferencial
c) Hallar la amplitud de oscilación y la frecuencia E = 1 kA2 = 1 784(0,05)2 = 0,98 J
natural del MAS.
d) Hallar la energía mecánica del sistema. 22
Solución.
a) ¿Cuál es el valor de “k”? PÉNDULOS

Péndulo simple

Un ejemplo de movimiento armónico simple es el

movimiento de un péndulo. Un péndulo simple se

define como una partícula de masa m suspendida del

punto O por una cuerda de longitud l y de masa
despreciable. Si la partícula se lleva a la posición B

de modo que la cuerda haga un ángulo θ con la

vertical OC, y luego se suelta, el péndulo oscilará

entre B y la posición simétrica B’.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones,

Δx = 0,2 − 0,15 = 0,05 m debemos escribir la ecuación de movimiento de la

partícula. La partícula se mueve en un arco de circulo

F = kΔx de radio l = OA. Las fuerzas que actúan sobre la
partícula son su peso mg y la tensión T a lo largo de
F = mg 4(9,8)
⇒ k= = = 784 N/m la cuerda. De la figura, se ve que la componente

Δx Δx 0,05 tangencial de la fuerza es

b) Hallar la ecuación diferencial Ft = −mgsenθ , donde el signo menos se debe a
Al cortar la cuerda
que se opone al desplazamiento s = CA. La ecuación

del movimiento tangencial es Ft = mat y, como la

partícula se mueve a lo largo de un círculo de radio

l , podemos usar la ecuación

at = dv = R dω = R d 2θ = Rα (reemplazando
dt dt dt 2

R por l ) para expresar la aceleración tangencial.

Esto es at = l d 2θ ••
dt 2
= lθ . La ecuación del

Vamos a aplicar la segunda ley de Newton (F = ma) movimiento tangencial es por consiguiente
al cuerpo de masa 2 kg en el instante en que el
resorte está comprimido una longitud x •• o •• g senθ = 0

mlθ = −mgsenθ θ+ l

− kx = ma ⇒ d2x + kx = 0 o •• = 0
m dt 2
m x+ kx

•• k x=0 ⇒ •• 784 x = 0

x+ x+
m2

Movimiento osci1atorio de un péndulo.

11

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Esta ecuación no es del mismo tipo que la ecuación Un péndulo compuesto (o físico) es cualquier cuerpo
rígido que puede oscilar libremente alrededor de un
•• eje horizontal bajo la acción de la gravedad. Sea ZZ’
el eje horizontal y C el centro de masa del cuerpo.
x+ ω 2 x = 0 debido a la presencia del senθ Sin
Cuando la línea OC hace un ángulo θ con la
embargo, si el ángulo θ es pequeño, lo cual es cierto
vertical, el torque alrededor del eje z actuante sobre
si la amplitud de las oscilaciones es pequeña,
el cuerpo es τ z = −Mgdsenθ , donde d es la
podemos usar la aproximación senθ ≈ θ y escribir
distancia OC entre el eje z y el centro de masa C. Si
para el movimiento del péndulo
I es el momento de inercia del cuerpo alrededor del
•• gθ = 0
l ••
θ+
eje z, y α = θ es la aceleración angular.
Esta es la ecuación diferencial idéntica a la ecuación
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación
••
∑τ = Iα obtenemos:
x+ ω 2 x = 0 si reemplazamos x por θ , esta vez

refiriéndonos al movimiento angular y no al

movimiento lineal. Por ello podemos llegar a la ••

conclusión que, dentro de nuestra aproximación, el − Mgdsenθ = I θ . Suponiendo que las

movimiento angular del péndulo es armónico simple oscilaciones son de pequeña amplitud, podemos

con ω 2 = g . El ángulo θ puede así expresarse en suponer que senθ ≈ θ , de modo que la ecuación
l
del movimiento es
la forma θ = θ0 cos(ωt + ϕ ) , el período de
•• = − Mgd θ o •• Mgd θ = 0

oscilación está dado por la expresión θ θ+
TT

T = 2π l
g

Nótese que el período es independiente de la masa

del péndulo. Para mayores amplitudes, la

aproximación senθ ≈ θ no es válida.

Ejemplo 14. Calcular la tensión en la cuerda de un

péndulo en función del ángulo que hace la cuerda con

la vertical. Péndulo compuesto.
Podemos comparar esta ecuación del movimiento
Solución.
••
Para calcular la tensión T, primero obtenemos la
comparar con la ecuación x+ ω 2 x = 0 ,
fuerza centrípeta sobre la partícula,
demostrando que el movimiento angular oscilatorio
Fc = T − FN = T − mg cosθ ,
es armónico simple, con ω 2 = Mgd . Por
ya que, de la figura del péndulo simple, FN está dada I
por mg cosθ. Luego igualando esta expresión a la
consiguiente, el período de las oscilaciones es
masa multiplicada por la aceleración centrípeta
T = 2π I
mv2 / l (nótese que l es el radio), con esto Mgd
obtenemos
Ejemplo 15. Un anillo de 0,10 m de radio está
T − mg cosθ = m v2 suspendido de una varilla, como se ilustra en la
l figura. Determinar su período de oscilación.
Para conseguir la velocidad usamos la conservación
Solución.
de la energía considerando como nivel 0, el punto de Designando el radio del anillo por R, su momento de
inercia con respecto a un eje que pasa a través de su
suspensión del péndulo:
centro de masa C es I C = mR 2 . Entonces, si
1 mv2 − mgl cosθ = −mgl cosθ0 ⇒
2 ( )aplicamos el teorema de Steiner IO = IC + Md 2 ,

1 mv2 = mgl(cosθ − cosθ0 )
2

Esto es, v2 = 2gl(cosθ − cosθ0 )

y por lo tanto

T = mg(3cosθ − 2cosθ0 )

Péndulo compuesto

12

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

en este caso d = R, el momento de inercia con b) Obtenga una ecuación que dé la aceleración
respecto a un eje que pasa a través del punto de angular α de la barra como función de θ.
suspensión O es c) Determine el periodo para pequeñas amplitudes de
oscilación respecto de la vertical.
I = IC + MR 2 = MR 2 + MR 2 = 2MR 2 ,

Para un péndulo físico o compuesto

T = 2π I

, luego
Mgd

T = 2π 2MR2 ⇒ T = 2π 2R
MgR g

Lo cual indica que es equivalente a un péndulo
simple de longitud 2R, o sea el diámetro del anillo.
Al reemplazar los valores de R = 0,10 m y g = 9,8
m/s2 obtenemos T = 0,88 s.

Ejemplo 16. En una caminata normal, las piernas Solución.
del ser humano o del animal oscilan libremente más
o menos como un péndulo físico. Esta observación a)
ha permitido a los científicos estimar la velocidad a
la cual las criaturas extintas tales como los r 2dM = L r2M 3L r2M
dinosaurios viajaban. ¿Si una jirafa tiene una 4 4
longitud de piernas de 1.8 m, y una longitud del paso ∫ ∫ ∫I = dr = dr
de 1 m, qué estimaría usted para el período de la 0L 0L
oscilación de la pierna? ¿Cuál sería su velocidad al
caminar? M ⎢⎡⎛⎜ L ⎟⎞3 ⎜⎛ 3L ⎟⎞ 3 ⎤
⎥
= +
3L ⎣⎢⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦⎥

= M ⎝⎜⎜⎛ 28L3 ⎟⎞⎠⎟ = 7ML2
3L 64 48

b) r = − MgL senθ = I 0α
4

α = MgL senθ = − 12g θ
4I0 7L

Para oscilaciones pequeñas,

Solución. α = − 12g θ
Podemos modelar la pierna de la jirafa como un 7L
péndulo físico de longitud L que oscila alrededor de
un extremo. Su momento de inercia alrededor del c) T = 2π I 0 = 2π 7L
MgL 4 12g
punto de oscilación es I = 1 mL2
3 = 1,68 s

El periodo de un péndulo físico es Ejemplo 18. Un disco pequeño delgado de masa m y

1 mL2 radio r se sujeta firmemente a la cara de otro disco
3 = 2π
T = 2π I 2L delgado de radio R y masa M, como se muestra en la
Mgd = 2π L 3g
mg figura. El centro del disco pequeño se localiza en el

2 borde del disco mayor. El disco mayor se monta por

= 2,2 s su centro en un eje sin fricción. El dispositivo se gira
un ángulo θ y se suelta

v = longitud del paso = 1 m = 0,46 m a) Demuestre que la rapidez del disco pequeño cuando
periodo 2,2 s s
pasa por la posición de equilibrio es

v = 2 gR (1 − cosθ )
⎛⎜⎝⎜ M r2 + 2⎠⎟⎟⎞
Ejemplo 17. Considere una barra delgada con masa M m + R2
= 4 kg y de longitud L = 1,2 m pivotada en un eje
horizontal libre de fricción en el punto L/4 desde un b) Demuestre que el periodo del
extremo, como se muestra en la figura.
a) Encuentre (a partir de la definición) la expresión movimiento es
para el momento de inercia de la barra respecto del
pivote. T = 2π (M + 2m)R 2 + mr 2

2mgR

13

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

uno, sentados en los extremos opuestos de la barra se
balancean. ¿Cuál es el periodo del movimiento de
este sube y baja modificado?

Solución.

a) E = K + U = constante, Luego

Karriba + Uarriba = Kabajo + Uabajo Solución.
Como Karriba = Uabajo = 0 La ecuación del péndulo físico puede encontrarse
aplicando la segunda ley de Newton para la rotación:
Obtenemos mgh = 1 Iω 2 , pero
2 ∑τ O = IOα

h = R − R cosθ = R(1 − cosθ ), ω = v e ••

R − mgdsenθ = IO θ ,
m es la masa total del sistema.,
I = MR2 + mr 2 + mR2 . Sustituyendo
22 g la aceleración de la gravedad,

encontramos d la distancia del punto de apoyo al centro de masa

1 ⎜⎜⎝⎛ MR 2 mR 2 + mR2 ⎞⎠⎟⎟ v2 del sistema.
2 2 2 R2
mgR(1− cosθ ) = + I O es el momento de inercia del sistema con

respecto al apoyo (centro de oscilación)

mgR(1 − cosθ ) = ⎜⎜⎛⎝ M + mr 2 + m ⎞⎠⎟⎟v 2 y y es el ángulo que forma la línea que pasa por el
4 2R2 2 punto de apoyo y por el centro con la vertical cuando
el sistema está oscilando.
v2 = 4gR (1 − cosθ )
Luego •• mgd senθ = 0, para oscilaciones

⎜⎛⎝⎜ M r2 + 2⎟⎟⎠⎞ θ+ IO
m R2
+ ••

pequeñas θ+ mgd θ = 0 ,

de aquí IO

v = 2 gR (1 − cosθ ) De aquí ω = mgd
⎜⎜⎛⎝ M r2 + 2⎟⎠⎟⎞ IO
m + R2

b) Para un péndulo físico Reemplazando valores:

T = 2π I , aquí M = m + M ; m = 2(44) + 8,5 = 96,5 kg,
Mgd

d = mR + M (0) = mR ) d = 2(44)(2,1)sen110 + 2((4,25)(1,05)sen110
96,5
m+M (m + M

Luego:

⎜⎜⎛⎝ MR 2 + mr 2 + mR 2 ⎠⎟⎞⎟ = 0,38 m
2 2
T = 2π
⎡ mR ⎤
(m + M )g ⎢⎣ IO = 2(44)(2,1)2 + 2 1 (4,25)(2,1)2
(m + M )⎥⎦ 3

⇒ T = 2π (M + 2m)R 2 + mr 2 = 400,56 kgm2

2mgR

Ejemplo 19. Problema del sube y baja. Una barra Luego:
de 4,2 m de longitud, 8,5 kg de masa tiene un doblez
de 202º en su centro de tal manera que queda como ω = 96,5(9,8)0,38 = 0,95 rad
muestra la figura. El doblez de la barra reposa sobre 400,56 s
un apoyo agudo. Los gemelos de masa 44 kg cada

14

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

SISTEMAS DE PENDULOS Y RESORTES La figura muestra un metrónomo y un modelo de
Ejemplo 20. El sistema mostrado en la figura metrónomo.
consiste de una barra de masa despreciable, pivotada
en O, Una masa m pequeña en el extremo opuesto a Metrónomo vertical invertido La figura muestra un
O y un resorte de constante k en la mitad de la barra. metrónomo invertido, donde la masa M se puede
En la posición mostrada el sistema se encuentra en situar entre los extremos A y B. Despreciar el peso
equilibrio. Sí se jala la barra hacia abajo un ángulo
pequeño y se suelta, ¿cuál es el periodo de las de la barra rígida OAB. OA = l , OB = 10l , la
oscilaciones?
masa de la barra del péndulo se considera
Solución. despreciable.

Supongamos al sistema desviado un ángulo θ : a) Encuentre la ecuación diferencial que gobierna el
movimiento cuando la masa M está situada a una
distancia h del punto O.

b) Cuál es la frecuencia natural de la oscilación
cuando M está primero localizada en A y luego en B

Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación:

∑τ O = IOα

El resorte es el único elemento que causa una fuerza

recuperativa, el efecto del peso de la masa está Solución.
a)
compensado por el efecto del estiramiento previo del

reste para poner al sistema en posición horizontal.

− kx⎛⎜ l ⎞⎟ cosθ = ••
⎝2⎠
ml2 θ

Tenemos que x = ⎛⎜ l ⎟⎞senθ
⎝2⎠

Para ángulos pequeños:

senθ ≈ θ y cosϑ ≈ 1

Así: − kl 2 θ = •• •• k θ =0

ml 2 θ ⇒ θ+
4 4m

Ecuación de moviendo armónico simple con ∑τ O = −2kx.l cosθ − Mgh.senθ = IOα

ω = k ⇒ T = 2π 4m Como: x = lsenθ , IO = Mh2 :
4m k
d 2θ
− 2k.l2senθ cosθ − Mgh.senθ = Mh2 dt 2

Ejemplo 21. Problema del Metrónomo. El Con senθ ≈ θ , cosθ = 1 y simplificando:
metrónomo es un aparato para medir el tiempo y
marcar el compás de la música k ••

−2 M l 2θ − ghθ = h2θ

15

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

•• ⎛⎝⎜⎜ 2k l2 + g ⎟⎟⎞⎠θ = 0 •• + ⎜⎜⎛⎝ 2k l2 − g ⎟⎠⎞⎟θ = 0
M h2 h M h2 h
θ+ θ

b) con M en A: h = l b) con M en A: h = l

•• ⎛⎜ 2k + g ⎟⎞θ = 0 •• + ⎛⎜ 2k − g ⎞⎟θ =0 ⇒
l ⎠ l ⎠
θ+ ⎝M θ ⎝M

⇒ ω= 2k + g = 2k 1 + ⎛⎜ M ⎟⎞ g ω= 2k − g = 2k 1 − ⎛⎜ M ⎞⎟ g
M l M ⎝ 2k ⎠ l M l M ⎝ 2k ⎠ l

Con M en B: h = 10l Con M en B: h = 10l

•• + ⎛⎜ 2k − g ⎞⎟θ =0
10l ⎠
•• ⎛⎜ 2k + g ⎟⎞θ =0 ⇒ θ ⎝ 100M
10l ⎠
θ+ ⎝ 100M

ω= 2k + g = 1 2k 1+ ⎜⎛ 100M ⎞⎟ g ⇒ ω = 2k − g
100M l 10 M ⎝ 2k ⎠ l 100M 10l

1 2k 1 − 5 Mg
kl
=
10 M
Metrónomo vertical derecho La figura muestra un
metrónomo invertido, donde la masa M se puede Metrónomo horizontal
situar entre los extremos A y B. Despreciar el peso La figura muestra un metrónomo invertido, donde la
masa M se puede situar entre los extremos A y B.
de la barra rígida OAB. OA = l , OB = 10l .
Despreciar el peso de la barra rígida OAB. OA = l ,
a) Encuentre la ecuación diferencial que gobierna el OB = 10l .
movimiento cuando la masa M está situada a una
distancia h del punto O a) Encuentre la ecuación diferencial que gobierna el
b) Cuál es la frecuencia natural de la oscilación movimiento cuando la masa M está situada a una
cuando M está primero localizada en A y luego en B distancia h del punto O
b) Cuál es la frecuencia natural de la oscilación
cuando M está primero localizada en A y luego en B

Solución.
a)

Solución.
a)

∑τ O = −2kx.l cosθ + Mgh.senθ = IOα ∑Equilibrio estático τ O = −2kΔxl + Mgh = 0

Como: x = lsenθ , IO = Mh2 : El torque producido por los pesos de las masas es
compensado por los torques producidos por las
− 2k.l2senθ cosθ + Mgh.senθ = Mh2 d 2θ reacciones a las deformaciones previas de los
dt 2 resortes. Luego la ecuación dinámica es:

Con senθ ≈ θ , cosθ = 1 y simplificando:

−2 k l2θ + ghθ ••

M = h2θ

16

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

∑τ O = −2kx.l cosθ = IOα ••

∑ F = ma o m x = −kx − Ff

Donde Ff es la fuerza de fricción,
Usando la segunda ley de Newton para la rotación,

••

∑τ = Io θ ,

Como: x = lsenθ , IO = Mh2 : •• = Ff R o ⎛⎜ 1 mR 2 ⎠⎟⎞⎜⎜⎜⎛⎝ •• ⎞⎟ = Ff R
⎝ 2 ⎠⎟⎟
d 2θ Io θ x
dt 2
− 2k.l 2 senθ cosθ = Mh 2 R

Con senθ ≈ θ , cosθ = 1 y simplificando: De aquí Ff = 1 •• , sustituyendo esta expresión en la

2 mx

−2 k l 2θ •• ecuación de la fuerza obtenemos

M = h2θ

m •• = −kx − 1 m •• o 3 m •• kx = 0

•• ⎜⎝⎛⎜ 2k l2 ⎟⎞⎠⎟θ x x x+
M h2 22
θ+ = 0

b) Con M en A: h = l y ω0 = 2k rad / s
3M

•• ⎜⎛ 2k ⎞⎟θ = 0 ⇒ω = 2k

θ+ ⎝M ⎠ M Por el método de la energía:

Con M en B: h = 10l La energía total del sistema es la suma de la energía

cinética (traslacional y rotacional) y la energía

potencial; y permanece igual para todo tiempo,

•• + ⎛⎜ 2k ⎞⎟θ = 0 E = (Ktraslación +Krotación) +U

θ ⎝100M ⎠ 1M •2 1 • 2
2 2
K traslación = x, K rotación = I o θ

⇒ ω = 1 2k Donde el momento de inercia del cilindro es
10 M
= 1 MR 2
Io 2 ,

Ejemplo 22. Un cilindro de masa M y radio R se ••
conecta por medio de un resorte de constante k como
de muestra en la figura. Si el cilindro tiene libertad de También Rθ = x y Rθ = x
rodar sobre la superficie horizontal sin resbalar,
encontrar su frecuencia. La ecuación de la energía del sistema para cualquier

tiempo es

⎡ . • ⎟⎞ 2 ⎤
⎢ ⎟⎠⎟ ⎥
E = ⎢ 1 M •2 + 1 ⎛⎜ 1 MR 2 ⎞⎠⎟⎜⎜⎜⎝⎛ x + 1 kx 2 ⎥
2 ⎝ 2 2 ⎥
⎢2 x R ⎦⎥

⎢⎣

= 3 M •2 1 kx 2

x+
42

Solución. Como E = constante, dE = 0
Por la ley de Newton dt
Aplicando la segunda ley de Newton al cilindro,

dE = ⎜⎛ 3 M •• kx ⎞⎟ • = 0

dt ⎝ 2 x+ ⎠ x

.

Como x no siempre es cero, la ecuación del

17

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

movimiento es

3 M •• kx = 0 o ω0 = 2k rad / s
3M
2 x+

Ejemplo 23. El disco homogéneo tiene un momento Para hacerlo oscilar hay que sacarlo del equilibrio
de inercia alrededor de su centro Io = 0,5 kgm2 y con un movimiento vertical de la masa m.
radio R = 0,5 m. En su posición de equilibrio ambos
Solución aplicando la segunda ley de Newton:
resortes están estirados 5 cm. Encontrar la frecuencia Como el peso está compensado por el estiramiento
previo la única fuerza actuante es producida por el
angular de oscilación natural del disco cuando se le estiramiento adicional del resorte.

da un pequeño desplazamiento angular y se lo suelta.

k = 800 N/m

Solución.
Usando la segunda ley de Newton para la rotación,

••

∑τ = Io θ ,

La tensión inicial en cada uno de los resortes es

⎛⎜ 800 N ⎟⎠⎞(0,05m) = 40N
⎝ m

El cambio en tensión es 800(0,5θ) = 400θ, y

•• = [(40 − 400θ ) − (40 + 400θ )]0,5 Aplicando la segunda ley de Newton:

0,5θ ∑Para la masa m, F = ma

•• ••

ο θ + 400θ = 0 − T '= ma = m x

De la cual

ω0 = 400 = 20rad / s •• ••

Ejemplo 24. Determinar la frecuencia natural del Como x = rθ , x = r θ
sistema resorte-masa-polea mostrado en la figura.
•• (1)

Luego T ' = −mrθ

∑Para el disco de masa M, τ = Iα

•• (2)

I 0α = I 0 θ = T ' r − (krθ )r

Donde I0 = 1 Mr 2 es el momento de inercia de la
2

polea.

Reemplazando (1? En (2):

1 Mr 2 •• = •• − kr 2θ

Solución. 2 θ r(−mrθ )
Equilibrio estático:
y ⎛⎜ 1 Mr2 + mr2 ⎞⎟θ••+ kr2θ = 0 ,
El resorte tiene un estiramiento inicial igual a rθ o ⎝2 ⎠

que produce una fuerza krθo que equilibra al peso Finalmente ω0 = k rad / s
mg . M 2+m

O sea krθo = mg

Solución por el método de la energía:
E = K + U = constante
K = Kmasa + Kpolea

18

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

1 • 2 1 •. 2 1 ÷ 2 1 •. 2 armónico simple, con ω 2 = κ ; el período de
2 2 I0
K = m x + I0 θ = mr 2 θ + I0 θ
oscilación es
2 2
T = 2π I 0
U = 1 kx2 = 1 kr2θ 2 κ
22
Este resultado es interesante debido a que podemos
Como la energía total de sistema permanece usarlo experimentalmente para determinar el
momento de inercia de un cuerpo suspendiéndolo de
constante,
un alambre cuyo coeficiente de torsión κ se conoce,
d (K +U ) = 0 o y luego midiendo el período T de oscilación.

dt

• •• • •• •
mr 2 θ θ + I0 θ θ + kr 2θ θ = 0

⇒ • ⎜⎛ mr 2 •• I •• kr 2θ ⎟⎞ = 0 MOVIMIENTO ARMONICO EN DOS
⎝ ⎠ DIMENSIONES.
θ θ+ 0 θ+ Hasta ahora no hemos limitado a estudiar el
movimiento armónico de la partícula o cuerpo
• descrito por una sola variable, ahora permitiremos a
la partícula, movimiento en dos dimensiones.
Como θ no siempre es cero,
→→
⎛⎜ mr 2 •• I •• kr 2θ ⎟⎞ es igual a cero. Luego
⎝ ⎠ F = −k r
θ+ 0 θ+
La fuerza se puede descomponer en dos
•• I0 kr 2 θ = 0 componentes
+ mr 2
θ+ Fx = −kx , Fy = −ky

⇒ ω0 = k rad / s Las ecuaciones del movimiento son:
M 2+m
•• ••
ω 2 ω 2
x+ 0 x = 0 , y+ 0 y = 0

PENDULO DE TORSION. Donde como antes ω 2 =k m . Las soluciones son:
0

x(t) = Acos(ω0t − α ) , y(t) = B cos(ω0t − β )

Luego el movimiento es armónico simple en cada

una de las dimensiones, ambas oscilaciones tienen la

misma frecuencia pero tienen que diferenciar

amplitudes y fases. Podemos obtener la ecuación de

Otro ejemplo de movimiento armónico simple es el la trayectoria de las partículas eliminando el tiempo t
péndulo de torsión, consistente en un cuerpo
suspendido por un alambre o fibra de tal manera que entre las dos ecuaciones. Para esto escribimos:
la línea OC pasa por el centro de masa del cuerpo.
Cuando el cuerpo se rota un ángulo θ a partir de su y(t) = B cos[ω0t − α − (α − β )]
posición de equilibrio, el alambre se tuerce,
= B cos(ω0t − α )cos(α − β )
ejerciendo sobre el cuerpo un torque τ alrededor de - Bsen(ω0t − α )sen(α − β )
OC que se oponen al desplazamiento θ y de
magnitud proporcional al ángulo,τ = −κθ , donde Con
κ es el coeficiente de torsión del alambre.
cos(ω0t −α)= x y
Aplicando la segunda ley del movimiento (para A
variables angulares):
sen(ω0t − α ) = 1 − ⎜⎛ x ⎞⎟2
∑τ 0 = I0α ⎝ A⎠

Si I 0 es el momento de inercia del cuerpo con Llamando δ = (α − β ) :

respecto al eje OC, la ecuación del movimiento y = B x cos δ − B 1 − ⎜⎛ x ⎟⎞2 senδ
A ⎝ A⎠
••
Elevada al cuadrado se transforma en:
− κθ = I0α , con α = θ , es
A2 y 2 − 2 ABxy cosδ + B 2 x 2 cos2 δ
•• o •• κ θ =0

I 0 θ = −κθ θ+ I0 = A2 B 2sen 2δ − B 2 x 2sen 2δ

Nuevamente encontramos la ecuación diferencial del Que es:

MAs, de modo que el movimiento angular es B 2 x2 − 2AB cosδ + Ay 2 = A2 B 2sen 2δ

19

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Para δ = ± π , esta ecuación toma la forma de una Curvas de Lissajous.
2
En el caso de que el cociente de las frecuencias no
elipse: sea una fracción racional, la curva será abierta; es
x2 + y2 =1 decir, la partícula no pasará dos veces por el mismo
A2 B2 punto a la misma velocidad.

En el caso particular de A = B y δ = ± π 2 , Medida del desfase entre dos señales

tendremos un movimiento circular: En un osciloscopio componemos dos MAS de
direcciones perpendiculares y de la misma frecuencia
x2 + y2 = A2 ω, desfasados δ. Supondremos por simplicidad que
ambas señales tiene la misma amplitud A.
Otro caso particular es con δ = 0 , en que x =Asen(ω t)
y =Asen(ω t + δ)
tendremos: La trayectoria como podemos comprobar es una
elipse.
Bx2 − 2ABxy + Ay 2 = 0 ⇒ (Bx − Ay)2 = 0 , La medida de la intersección de la elipse con los ejes
X e Y nos permite medir el desfase δ, entre dos
expresión de ecuación de una recta: señales x e y.

y = B , para δ = 0
A

De forma similar para δ = ±π

y = − B , para δ = ±π
A

En la figura pueden observarse algunas de las curvas

correspondientes al caso A = B, cuando δ = 0 ,
δ =π 4 yδ =π 2

En general las oscilaciones bidimensionales no tienen a) Intersección con el eje Y
por qué ser las mismas frecuencias en los mismos Cuando x = 0, entonces ω t = 0, ó π .
movimientos según las direcciones x e y, de forma y0 = Asenδ
que las ecuaciones se conviertan en y0 = Asen(π + δ ) = - Asenδ
Si medimos en la parte positiva del eje Y, tendremos
( )x(t) = Acos(ωxt − α ), y(t) = B cos ω yt − β que sen δ = y0/A
En la pantalla del "osciloscopio" el eje X y el eje Y
y la trayectoria no es ya una elipse, sino una de las
llamadas curvas de Lissajous. Estas curvas serán está dividido en 20 partes, cada división es una
cerradas cuando el movimiento se repita sobre sí
mismo a intervalos regulares de tiempo, lo cual sólo unidad.
En la figura, A=10, e y0 =5, el desfase δ =30º, ó mejor
será posible cuando las frecuencias ω x y ω y , sean δ =π /6
b) Intersección con el eje X
«conmensurables», o sea, cuando ωx ω y sea una Cuando y = 0, entonces ω t = -δ , ó (π - δ) .

fracción racional. x0 = - Asenδ
En la figura a continuación se representa uno de

estos casos, para el cual ω x ω y = 2/3 (y asimismo,

A = B y α = β ).

20

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

x0 =Asen(π - δ) = Asenδ y=−3x
En la figura, A=10, e x0=5, el desfase δ =30º, ó mejor 2
δ = π /6
c) Intersección con x =A el borde derecho de la Corresponde a una recta de pendiente -3/2.
pantalla del "osciloscopio"
A =Asen(ω t) por lo que ω t = π /2 Ejemplo 26. Encuentre la ecuación de la trayectoria
y1 = Asen(π /2+δ ) = Acosδ de un punto sometido a dos movimientos oscilatorios
armónicos rectangulares dados por las ecuaciones
En la figura A = 10 y y1 = 8.75, el desfase δ » 30º, ó
mejor δ =π /6 x = 3senωt ; y = 5sen⎛⎜ωt − π ⎟⎞
Podemos comprobar que se obtiene la misma ⎝ 6⎠
trayectoria con el desfase 30º y 330º y también con
150º y 210º. Pero podemos distinguir el desfase 30º Solución.
de 150º, por la orientación de los ejes de la elipse.
x = 3senωt ⇒ senωt = x
Medida de la frecuencia 3
Componemos dos MAS de direcciones
perpendiculares y de distinta frecuencia ωx, y ωy Luego: cosωt = 1 − ⎛⎜ x ⎞⎟2
.Supondremos por simplicidad que ambas señales ⎝3⎠
tiene la misma amplitud A y el desfase δ puede ser
cualquier valor y = 5sen⎜⎛ωt − π ⎞⎟ ⇒
x =Asen(ωxt) ⎝ 6⎠
y = Asen(ωyt+δ )
La relación de frecuencias se puede obtener a partir sen⎜⎛ωt − π ⎟⎞ = y =
del número de tangentes de la trayectoria en el lado ⎝ 6⎠ 5
vertical y en el lado horizontal.
Número de tangentes lado vertical senωtcos π + cosωtsen π =
ωx = número de tangentes lado vertical 66
ωy número de tangentes lado horizontal
⎛⎜ x ⎞⎠⎟⎜⎝⎛⎜ 3 ⎞⎟⎟⎠ + ⎛⎜ 1− x2 ⎟⎟⎞⎠⎛⎝⎜ 1 ⎟⎞
Ejemplo: en la figura ⎝ 3 2 ⎜⎝ 9 2 ⎠

ωx = 3 ⇒ y − 3x = 1 − x2
ωy 2 5 6 4 36

Ejemplo 25. Dos movimientos vibratorios Elevando al cuadrado:
perpendiculares de la misma frecuencia tienen sus
amplitudes en la relación 2/3 y una diferencia de y2 − 2 3yx + 3x2 = 1 − x2
marcha de media longitud de onda. Hállese la forma 25 30 36 4 36
del movimiento resultante.
Solución. Simplificando:
Las ecuaciones de estos movimientos son:
y2 − 3yx + x2 = 1
x = A1senω t ; y = A2sen(ωt + π ) = 25 15 9 4

A2senωt cosπ + A2cosωtsenπ = − A2senω t Corresponde a la ecuación de una elipse inclinada.
x = A1 = − 2
y − A2 3

El movimiento resultante es según la ecuación

21

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Ejemplo 27. Dos oscilaciones perpendiculares entre MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO.

si tienen el mismo periodo, la misma amplitud y una En el movimiento armónico simple la amplitud es
diferencia de marcha igual a λ/6. ¿Qué oscilación constante al igual que la energía del oscilador. Sin
resultante produce? embargo sabemos que la amplitud del cuerpo en
vibración, como un resorte, un péndulo, disminuye
Solución. gradualmente, lo que indica una pérdida paulatina de
Una diferencia de marcha de λ equivale a 2π. energía por parte del oscilador. Decimos que el
movimiento oscilatorio está amortiguado.
λ
El Amortiguamiento es causado por la fricción, para
Una diferencia de marcha de equivale a una resistencia la viscosa tal como la fuerza
amortiguadora del aire, la fuerza amortiguadora
6 puede tomarse como proporcional de la velocidad.
2π λ = π . Sea la fuerza de un amortiguador Fb = -bv donde el
λ6 3 signo menos indica que esta fuerza tiene sentido
opuesto al movimiento del cuerpo oscilante:
Luego, las ecuaciones de los movimientos

componentes son:

x = asenωt , y = asen(ωt − π / 3)

Trabajando con y: Aplicando la segunda ley de Newton:

y = asen⎜⎛ωt − π ⎞⎟ =
⎝ 3⎠

asenωt cos π − a cosωtsen π
33

= x⎜⎛ 1 ⎞⎟ − a 1 − x2 ⎜⎜⎝⎛ 3 ⎟⎠⎞⎟
⎝2⎠ a2 2

⇒ y − x = − 3a a 2 − x 2 ma = - ky - bv
22
•• •
Elevando al cuadrado y simplificando:
m y = −ky − b y
y 2 + x 2 − xy = 3 a 2
4 •• • •• b • k y=0

Corresponde a la ecuación de una elipse inclinada m y+ b y+ ky = 0 , y+ y+

mm

•• • ω 2
y+ 2β o
y+ y = 0 (I)

22

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

β = b , ωo = k El desplazamiento decrece a su posición de equilibrio
2m m sin oscilar en el menor tiempo posible, a este
movimiento se le conoce como CRITICAMENTE
Solución de la ecuación es de la forma y = ert AMORTIGUADO.

Reemplazando en la ecuación obtenemos: Pero para amortiguadores fuertes según lo mostrado
en la figura abajo, el período varía según la amplitud
r 2e rt + 2βrert + ω 2 e rt =0 y el movimiento cambia considerablemente del
o modelo armónico simple. El amortiguamiento crítico
es la que lleva al oscilador al reposo en el menor
Simplificando tiempo. Esto encuentra aplicaciones en instrumentos
donde es una ventaja el poder tomar una lectura
r 2 + 2βr + ωo2 = 0 rápida del indicador. Es también útil por resortes en
asientos y amortiguadores de vehículos.
Las raíces de esta ecuación son:
c) Cuando ωo2 < β 2
r1 = −β + β 2 − ω02 y r2 = −β − β 2 − ω 2 β 2 − ω02 = ω1
0
en este caso la solución tiene la forma
Por consiguiente la solución general de la ecuación
(I) es [ ]y = e−βt Beω1t + Ce−ω1t

y = e−βt ⎢⎣⎡Be 2 −ω 2 ⎤β 2 −ωo2 t En este caso tampoco existe oscilación, pero se
+ Ceβ o t − ⎥⎦ acerca a la posición de equilibrio más lentamente que
el crítico, a este movimiento se le conoce como
Discusión de la solución SOBREAMORTIGUADO

a) Cuando ω 2 > β 2
o

β 2 − ω02 = iω1 s una cantidad imaginaria y

[ ]y = e−βt Beiω1t + Ce−iω1t

Haciendo B = A eiδ y C = A e−iδ
22

Obtenemos

y = Ae− βt ⎡ ei(ω1t +δ ) + e−i(ω1t +δ ) ⎤
⎢ 2 ⎥
⎣ ⎦

Expresión que se puede escribir usando las relaciones

de Euler como

y = Ae−βt cos(ω1t + δ )

Donde ω1 es la frecuencia del oscilador
amortiguado, aunque hablando estrictamente no es

posible definir la frecuencia en el caso del

movimiento amortiguado desde que este no es un

movimiento periódico.

La amplitud máxima del movimiento disminuye

debido al factor e.βt .

Ejemplo 28. Un péndulo se ajusta para tener un

período exacto 2 segundos, y se pone en

movimiento. Después de 20 minutos, su amplitud ha

disminuido a 1/4 de su valor inicial.

Si el movimiento del péndulo puede se representado

por θ = θ0e−βt cos(2πft ) , ¿cuál es el valor de β?

Nota: e −1,386 = 1
4

Este movimiento se conoce como Solución.
SUBAMORTIGUADO o poco amortiguado.
a) θ = θ0e−βt cos(2πft )
b) Cuando ωo2 = β 2
Para t = 20 x 60 = 1200 s

( )θ0

4
β2 − ω 2 =0 cantidad real = θ 0e −1200β 1
0

En este caso la solución tiene la forma

y = (B + Ct )e−βt

23

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

e −1200β = 1 = e −1,386 θ = De−βt cos(ωt − φ ) y
4
• = − Dωe − βt sen (ωt −φ)− Dβe−βt cos(ωt −φ)
−1200t = −1,386
θ
⇒ β = 1,386 = 0,001155
1200 Con D y φ constantes cuyos valores dependen de las
condiciones iniciales del movimiento (en este caso
=1,2 x 10-3 N.s/m ó kg/s.
•
Ejemplo 29. El cuerpo E de 32,7 N en la figura está
asegurado a la varilla DF cuyo peso puede ignorarse. para t = 0, θ = 0,1rad y θ = 0 .
El resorte tiene un módulo k = 100 N/m y el
coeficiente del amortiguador es b = 26,7 N-s/m. El y ω = β 2 − ω02 = 42 − 46,9 = 5,56 rad
sistema está en equilibrio cuando DF está horizontal.
La varilla se desplaza 0,10 rad en sentido horario y Por las condiciones iniciales (1)
desde el reposo cuando t = 0. Determinar
a) la ecuación del movimiento de la varilla, 0,1 = D cos(−φ ) = D cosφ
b) la frecuencia del movimiento.
0 = −Dωsen(− φ ) − Dβ cos(− φ )

= D(ωsenφ − β cosφ ) (2)

De (2) obtenemos

tan φ = β = −4 = −0,72
ω 5,56

⇒ φ = -0,62 rad

De (1)

D = 0,1 = 0,1 = 0,12 rad
cosφ 0,81

Solución. La ecuación del movimiento es
La figura muestra el diagrama del cuerpo libre de la
θ = 0,12e−4t cos(5,56t − 0,62) rad

varilla DF, desplazada en la dirección positiva. Correspondiente a un movimiento oscilatorio
subamortiguado cuyo gráfico se muestra a
• continuación, la vibración se amortigua rápidamente.

Cuando el cuerpo está en equilibrio, θ y θ ambas

valen cero y T = T0 = 1,2 (32,7).

1,5

Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación b) La frecuencia del movimiento es ω = 5,56 rad/s.

con el desplazamiento y velocidad indicados en la Ejemplo 30. El sistema mostrado en la figura se
encuentra en el plano horizontal en equilibrio.
figura es: Consiste en una barra rígida indeformable de masa
M, ligada a dos resortes de constante k, y con una
1,2(32,7 ) − 1,2(26,7 )Fb −1,5T = •• masa en el extremo libre de magnitud “m”, sobre la
cual actúa una fuerza disipativa proporcional a su
Io θ velocidad Fv = - b vm . Si se desplaza un ángulo 0,15
rad en sentido horario y luego se le suelta.
1,2(32,7 ) − 1,2(26,7 )⎜⎛1,2 • ⎟⎞ − 1,5[(1,5)32,7 + 100(1,5θ )] Determinar:
a) La ecuación de movimiento del sistema para
θ ángulos pequeños de deformación
⎝⎠ b) Encontrar la ley de movimiento para cuando
k=1500 N/m , b =40 N s/m y M =3m= 3kg, además
= 32,7 (1,2)2 ••
l =1,5m
9,8 θ

La ecuación se reduce a

•• •

4,8θ + 38.4θ + 225θ = 0

o

•• •

θ + 8,00θ + 46,9θ = 0 .

De la forma

•• •

θ + 2β θ + ω02θ = 0
Donde: 2β = 8 y ω02 = 46.9

Cuya solución es

24

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Si para t = 0 se desplaza un ángulo 0,15 rad en
sentido horario y luego se le suelta.

0,15 = θ0 cos(ϕ )
0 = −10θ0 cos(ϕ ) −16,58θ0sen(ϕ )

De estas ecuaciones obtenemos:

ϕ = −0,54rad y θ0 = 0,175rad

θ = 0,175e−10t cos(16,58t − 0,54)

Solución. Ejemplo 31. Un bloque de 5,0 kilogramos se une a
a) un resorte cuya constante es 125 N/m. El bloque se
jala de su posición del equilibrio en x = 0 m a una
• posición en x = + 0,687 m y se libera del reposo. El
bloque entonces ejecuta oscilación amortiguada a lo
∑τ O = −2kx1.l cosθ − b x2 2l cosθ = IOα largo del eje x. La fuerza amortiguadora es
proporcional a la velocidad. Cuando el bloque
Como: primero vuelve a x = 0 m, la componente x de la
velocidad es - 2,0 m/s y la componente x de la
x1 = lsenθ ≈ lθ , x2 = 2lsenθ ≈ 2lθ ⇒ aceleración es +5,6 m/s2.
a) Calcule la magnitud de la aceleración del bloque
•• después de ser liberado en x = + 0,687 m?
b) ¿Calcule el coeficiente de amortiguamiento b?
x2 = 2lθ c) Calcule el trabajo realizado por la fuerza
amortiguadora durante el recorrido del bloque de
I0 = 1 M (2l)2 + m(2l)2 y cosθ ≈ 1 : x = + 0,687 m a x = 0 m.
3 Solución.
a) Forma fácil
Como la ecuación del movimiento es

•• •

m x+ b x+ kx = 0

− 2k.l2θ • = ⎜⎛ M + m ⎞⎟4l 2 •• •
⎝3
− 4bl2 θ θ en x = + 0,687 m, x = 0

⎠ Luego:

⇒ •• b • k θ =0 5 •• 125(0,687) = 0 ⇒ ••

θ+ θ+ x+ x = a = −17,18m / s2
⎛⎜ 3m + m⎞⎟ 2⎛⎜ 3m + m⎟⎞
⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ Forma trabajosa

•• b • k x = Ae−βt cos(ωt − φ )

⇒θ+ θ+ θ =0 • = − Aβe − βt cos(ωt − φ ) − Aωe −βt sen(ωt − φ )
2m 4m
x

•• = Aβ 2e−βt cos(ωt −φ)+ Aωβe −βt sen (ωt −φ)

x

b) θ = θ0e−βt cos(ωt + ϕ ) + Aωβe−βtsen(ωt − φ ) − Aω 2e−βt cos(ωt − φ )
( )= A β 2 − ω 2 e−βtcos(ωt − φ ) + 2Aωβe−βtsen(ωt − φ )
β= b k ω=
4m ω0 = 4m β 2 − ω 2 Para t = 0
0
e−βt = 1, cos(ωt − φ ) = 1 y sen(ωt − φ ) = 0
Cuando k =1500 N/m , b =40 N s/m y M =3m = 3kg,
( )Luego: a = A β 2 − ω 2 = Aω02 ,
además l =1.5m y el ángulo inicial = 0,15 rad.
(40) (1500) =
β = 4(1) = 10 ω0 = 375 ⇒ ω 2 = k = 125 = 25
4(1) 0 m 5

ω = 102 − 375 = 275 = 16,58

θ = θ0e−10t cos(16,58t + ϕ ) Reemplazando valores:

• = −10θ 0e−10t cos(16,58t +ϕ) a = 0,687(25) = 17,18m / s2

θ

−16,58θ0e−10tsen(16,58t + ϕ ) b) Forma fácil

25

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Cuando el bloque primero vuelve a x = 0 m, la sucede. En este caso decimos que tenemos
oscilaciones forzadas. Ahora hay dos frecuencias en
componente x de la velocidad es - 2,0 m/s y la
componente x de la aceleración es +5,6 m/s2. el problema: la frecuencia natural ωo de las
oscilaciones libres, y la frecuencia productora ω de
•• •
las oscilaciones forzadas
m x+ b x+ kx = 0
Descripción
5(5,6) + b(− 2,0) + k(0) = 0 Como observamos en un columpio, para mantener las
5(5,6) + b(− 2,0) = 0 ⇒ b = 5(5,6) = 14m / s oscilaciones hemos de aplicar una fuerza oscilante al
oscilador amortiguado.
2,0

Forma trabajosa

x = Ae−βt cos(ωt − φ )

• = − Aβe−βt cos(ωt − φ ) − Aωe −βt sen(ωt − φ )

x

( )•• e−βt cos(ωt − φ ) + 2Aωβe−βtsen(ωt −φ)

x
= A β 2 −ω2

x = 0 m, v = - 2,0 m/s, a = +5,6 m/s2.

0 = Ae−βt cos(ωt − φ ) (1)

− 2,0 = − Aωe−βtsen(ωt − φ ) (2)

5,6 = 2Aωβe−βtsen(ωt − φ ) (3)

(3) / (2)

5,6 = 2Aωβe−βtsen(ωt − φ )
2,0 Aωe−βtsen(ωt − φ )

⇒ β = 5,6 = 1,4 Sea Fosenω't la fuerza oscilante aplicada,
4,0
siendo ω’ su frecuencia angular. La ecuación del
Siendo β = b movimiento será ahora
2m
∑ F = ma
⇒ b = 2mβ = 2(5)(1,4) = 14kg / s
•
c) En x = + 0,687 m
. − ky. − b y+ Fosenω't = ma
E = 1 kA2 = 1 (125)(0,687)2 = 29,5 J
•• •
22
m y+ b y+ ky = Fosenω't

En x = 0 m E2 = 1 mv 2 = 1 (5)(− 2,0)2 = 10 J
2
2

ΔE = E2 –E1 = 10 - 29,5= - 19,5 J Expresamos la ecuación del movimiento en forma de
Trabajo realizado por la fuerza amortiguadora

ecuación diferencial

OSCILACIONES FORZADAS •• • ω 2 Fo senω ' t ωo2 k
Las oscilaciones que hemos discutido hasta ahora son 2β o m
las oscilaciones libres en las cuales el sistema se da y+ y + y = =
una cierta energía, y dejado solo. Por ejemplo, usted
podría empujar a un niño en un columpio hasta cierta 2β = b
altura, después dejarlo y esperar que el movimiento m
termine.
Pero ésta no es la única posibilidad; podríamos La solución de esta ecuación diferencial es
también empujar en varias ocasiones el columpio a
cualquier frecuencia y que miramos a ver que complicada, y se compone de la suma de dos

términos

y(t) = Ae−βt cos(ωt + δ ) + Dsen(ω't + δ ') ,

26

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

donde D' y δ' son constantes arbitrarias que han de ω’que hace que D sea máxima, se le denomina
ajustarse a fin de satisfacer las condiciones iniciales y frecuencia de resonancia ωR.
ω' es la frecuencia del oscilador amortiguado no El valor de ω’ que hace máximo a D podemos
forzado.
Pasado un tiempo suficientemente largo, tal que encontrarlo de la manera siguiente:

bt >> 1 , el primer término de la ecuación es ∂D = 0 , derivando D e igualando a cero, se
2m ∂ω' ω'=ωR

prácticamente nulo y puede despreciarse frente al obtiene: ω' = ωR = ω 2 − 2β 2
o
segundo término. Así, pues, la expresión:

Ae−βt cos(ω1t + δ ) se denomina solución

transitoria.

En cambio la expresión Dsen(ω't + δ ') se conoce

como solución estacionaria, y es la predominante En la figura se muestra la respuesta en amplitud de la
oscilación forzada, en el estado estacionario. Como
siempre que se tenga t >> 2m . podemos observar a partir de la fórmula o la gráfica,
b la amplitud de la oscilación forzada en el estado
estacionario disminuye rápidamente cuando la
Para obtener las expresiones de A y δ ' , se sustituye frecuencia de la oscilación forzada ωf se hace mayor
y = Dsen(ω't + δ ') en la ecuación diferencial, lo o menor que la frecuencia propia del oscilador ωo.

que nos da: En el caso ideal que no exista rozamiento, la
amplitud de la oscilación forzada se hace muy
D = F0 / m grande, tiende a infinito, cuando la frecuencia de la
( )ω 2 oscilación forzada ω’ se hace próxima a la frecuencia
2 − ω'2 + 4β 2ω'2 propia del oscilador ωo.
o En el caso de que exista rozamiento (β >0) la
amplitud se hace máxima cuando la frecuencia de la
y tan δ '= 2βω ' oscilación forzada ω’ es próxima a la del oscilador
ωo2 − ω'2 ωo
Los efectos de la resonancia igualmente pueden
El comportamiento dependiente del tiempo real de un resultar indeseables o incluso destructivos. EI
oscilador armónico amortiguado y forzado puede traqueteo en la carrocería de un automóvil o el
resultar muy complejo. La figura muestra la molesto zumbido en un alta voz estereof6nico se
respuesta de un oscilador amortiguado frente a la deben casi siempre a la resonancia. Casi todos hemos
escuchado que una cantante de potente voz puede
acción de una fuerza impulsora de frecuencia ω′ = romper el cristal al cantar a determinada frecuencia.
½ ωo , suponiendo que el sistema está en reposo Igualmente conocida es la advertencia de que un
grupo de personas no debe marchar por un puente por
cuando la fuerza comienza a actuar. Obsérvese que miedo a que la frecuencia de los pasos corresponda a
una vez eliminado el comportamiento transitorio, alguna frecuencia natural del mismo. Todos éstos son
únicamente persiste el movimiento estacionario con ejemplos de resonancia.

frecuencia ω′ . Ejemplo 32. El extremo libre del resorte de

Resonancia, aplicaciones. ωconstante k2 empieza en t = 0 a oscilar
Resonancia
Como la amplitud D de depende de ω’, ésta puede armónicamente con amplitud B y frecuencia
tomar diferentes valores, en particular, al valor de alrededor de su posición de equilibrio “P”.

27

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Haga el DCL del bloque y determine la ecuación aparatos sensibles. Una solución común al problema
de la vibración consiste en fijar la fuente de vibración
diferencial que gobierna el movimiento del bloque. sobre un montaje elástico que amortigüe y absorba
los movimientos. Lo que quizás no sea tan obvio es
Solución. el hecho de que el problema puede agravarse con un
montaje elástico incorrecto. E1 aislamiento se
Movimiento del punto P consigue al disminuir la frecuencia natural del
sistema con relación a la frecuencia de la fuente
x' = Bsenω't vibratoria. La razón por la que esta técnica funciona
es la menor transferencia de energía cuando la
− k1x − k2 (x − x') = ma frecuencia de la fuerza impulsora es mucho mayor
que la frecuencia natural del sistema.
ma + (k1 + k2 )x = k2 x' Hemos fundamentado completamente nuestro
análisis de la resonancia, así como de la respuesta de
•• un sistema al movimiento forzado, en el
comportamiento de una masa unida a un resorte que
m x+ (k1 + k2 )x = k2 Bsenω't cumple con la ley de Hooke. Sin embargo, se aplican
los mismos principios y resultados generales a otros
•• (k1 + k2 ) x = k2B senω't sistemas oscilantes, sean mecánicos, eléctricos o de
otro tipo.
x+ mm
Ejemplo 33. Un equipo de ventilación del sistema
Ecuación que corresponde a un movimiento de calefacción y aire acondicionado de un edificio se
monta firmemente en el techo y opera en forma
armónico simple forzado. continua. Las vibraciones se transmiten a la
estructura del edificio y generan niveles de vibración
•• ω 2 F0 senω't inaceptables.
0 m
x + x =

CASO DEL PUENTE TACOMA

El puente Tacoma original era conocido como Para reducir la vibración que se percibe abajo, se va a
"Galloping Gertie" debido a su balanceo, fijar el equipo a una placa montada sobre resortes. EI
comportamiento ondulado. Tenía una longitud de eje del ventilador gira a 1800 rpm (revoluciones por
1980 metros aproximadamente y fue abierto al tráfico minuto) y la masa combinada de la unidad y la placa
el 1 de julio de 1940 uniendoTacoma y el puerto de montaje (véase la figura) es de 576 kg.
Gig por carretera.
El puente era un diseño inusualmente ligero, los ¿Cuál es la constante de rigidez apropiada para los
ingenieros descubrieron, una peculiar sensibilidad a resortes usados para soportar la placa? Suponga que
los fuertes vientos. En lugar de resistirlos, como lo se emplean cuatro resortes, uno en cada esquina.
hacen la mayoría de los puentes modernos, El puente
Tacoma tendía a sacudirse y a vibrar. Esto empeoró Estrategia. El sistema de oscilación en este caso está
progresivamente debido a los fenómenos armónicos. compuesto por el motor, el ventilador, la plataforma
Cuatro meses después de la inauguración del puente, de montaje y los resortes. Una regla práctica a la que
hubo una tormenta con viento de 70 km/h en el área se recurre algunas veces establece que la frecuencia
alrededor del puente el 7 de noviembre de 1940. El impulsora, o perturbadora, debe ser por lo menos 3
viento hizo sacudir puente violentamente de lado a veces la frecuencia natural del sistema. Para muchos
lado, y finalmente rompió el puente. casos, resulta adecuado un factor de 5 y, en
Este incidente sucedió debido a la estructura del condiciones críticas, resulta conveniente un factor de
puente entró en resonancia con la vibración que
producía el viento. Nadie murió, pues el puente había
sido cerrado debido a sacudidas anteriores. Éste es el
más conocido y estudiado de fallas por oscilación
forzada, gracias a la película y las fotografías que
registran el derrumbamiento.

Muchas veces necesitamos un sistema que no
transfiera eficientemente la energía. Un ejemplo es
un mecanismo para aislar de las vibraciones a

28

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

12 o superior. Podemos conseguir estos factores Solución.
reduciendo la frecuencia natural del sistema. Si
elegimos una proporción de 1 a 5, lo que corresponde a) Aplicando la segunda ley de Newton al
a una reducción en la fuerza de las vibraciones en el movimiento vertical.
edificio de más o menos 96%, la frecuencia natural
que se desea del sistema es ∑ Fy = ma y ,

1 (1800 rpm)⎛⎜ 2π ⎞⎟ = 12π Hz − Fk − Fb + Fcsenωt = ma y
5 ⎝ 60s / min ⎠
⇒ − ⎜⎛ k + k ⎞⎟ y − b • Fc senωt = m ••
Solución. Los resortes adecuados pueden elegirse ⎝ 2 2 ⎠
utilizando y+ y

f=1= 1 k La ecuación del movimiento es
T 2π m
m •• b • ⎛⎜ k + k ⎟⎞ y = Fc senωt
AI resolver para la constante de resorte k, obtenemos ⎝ 2 2 ⎠
k = m(2πf)2 = (576 kg)(12π/s)2 = 8,18 x 105 N/m. y+ y+
Esta sería la más grande constante de resorte
deseable si todas las masas se soportaran mediante un •• •
resorte. Puesto que son cuatro en total, uno en cada
esquina de la placa de montaje, cada uno de estos ⇒ m y+ b y+ ky = Fcsenωt
cuatro resortes tendrá una constante o rigidez de
•• 2β • ω 2 Fc senωt
( )1 8,18×105 N/m = 2,05×105 N/m 0 m
o y+ y + y =
4
Donde m = 170 = 17,3kg , b = 140 N.s/m
Ejemplo 34. ¿Cuál debe ser la longitud del péndulo 9,8
en la figura para producir la amplitud máxima en el
carrito de 1,0 kg del carril neumático si la constante y β = b =4
de resorte es k = 120 N/m? 2m

Solución. k = 20000 N/m y ω0 = k = 34 rad/s
La amplitud máxima se alcanzará cuando el péndulo m
oscile con la frecuencia de resonancia, en este caso
no hay amortiguamiento, luego la frecuencia de de ω'= 300 × 2π = 31,4rad/s
60
resonancia es: ωR = ω0
Fc = mBeω'2 = 4,5 × 0,075 × (31,4)2 = 34 N
g= k ⇒ 9,8
Lm
La solución de la ecuación es
L = mg = (1,0)(9,8) = 0,0817 m = 8,2 cm
y = Dsen(ω't + δ )
k 120
Con D = Fc / m
Ejemplo 35. El motor en la figura está montado
sobre dos resortes, cada uno con modulo k/2 = 10000 ( )ω 2 2 + 4ω'2 β 2
N/m. El amortiguador tiene un coeficiente b = 140 o − ω'2
N.s/m. El motor incluyendo la masa desbalanceada
B, pesa 170 N, y el cuerpo no balanceado B pesa 4,5
N y está localizado a 7,5 cm. del centro del eje.
a) El motor gira a 300 rpm. Determine la amplitud y
el ángulo de fase (relativo a la posición de B) del
movimiento resultante.
b) Determine la velocidad de resonancia y la
amplitud resultante del movimiento.

29

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

y tan δ ' = 2ω' β a) Aplicando la segunda ley de Newton al
movimiento vertical.
ω 2 − ω'2
o ∑ Fy = ma y ,

Reemplazando valores: − Fk − Fb = ma y

D = 34 /17,3 • ••

( )342 − 31,42 2 + 4 × 31,42 × 42 − k( y − y1 ) − b y = m y
Como y1 = e senω't
= 7,8 ×10−3 m = 7,8 mm
• ••
El ángulo de fase
− k( y − e senω't) − b y = m y
tan δ = 2 × 31,4 × 4 = 1,48 , δ = 55,9º
342 − 31,42 La ecuación del movimiento es

b) La resonancia ocurre cuando •• •

m y+ b y+ ky = ke senωt

ω'= ωR = ω 2 − 2β 2 •• • ke
o m
o y+ 2β y+ ω02 y = senω't

ωR = 342 − 2 × 42 = 33,5rad / s Donde

ωR = 33,5 × 60 = 320rpm m = 10kg , b = 100 N.s/m y β = b = 5
2π 2m

La amplitud de resonancia es:

D = Fc / m k = 1000 N/m y ω0 = k = 10rad / s
( )ωo2 m
− ω 2 2 + 4ω 2 β 2
R R
ω'= 40 × 2π = 4,19rad / s
= 34 / 17,3 60

( )34 2 − 33,52 2 + 4 × 33,52 × 4 2 La solución de la ecuación es

= 7,3 ×10−3 m = 7,3 mm y = Dsen(ω't + δ )

con D = ke / m y

Ejemplo 36. El cuerpo D de la figura tiene una masa ( )ωo2 − ω'2 2 + 4ω'2 β 2
de 10 kg y está soportado por un resorte con una
constante de 1000 N/m. El cuerpo en la parte tan δ ' = 2ω' β
superior da al resorte un movimiento armónico ωo2 − ω'2
vertical por medio de la manivela que tiene una
velocidad angular de 40 rpm. La longitud de la Reemplazando valores:
manivela es de 1,30 cm.
a) determine la amplitud y ángulo de fase del D = 1000 ×1,3×10−2 /10
movimiento de la masa D cuando el coeficiente de
amortiguación es 100 N.s/m y cuando se desconecta ( )102 − 4,192 2 + 4 × 4,192 × 52
el amortiguador
b) Determine el rango de valores de ω (si hay alguno) = 1,41×10−2 m = 1,41 cm
que limitará al movimiento de la masa a 2 cm.
Cuando b = 0. El ángulo de fase

tan δ '= 2× 4,19× 5 = 0,51, δ'= 26,9º
102 − 4,192

Cuando se desconecta el amortiguador β = 0.

Con D = ke / m y tan δ ' = 0
ωo2 − ω'2

Reemplazando valores:

D = 1000 ×1,3 ×10−2 /10
102 − 4,192

= 1,58 ×10−2 m = 1,58 cm

Solución. El ángulo de fase

tan δ ' = 0 , ⇒ δ '= 0º

b) Determine el rango de valores de ω’ (si hay
alguno) que limitará al movimiento de la masa a 2
cm. Cuando b = 0.
La resonancia ocurre cuando

30

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

ω'= ωR = 10rad / s •• • 2
2β ω 0
La amplitud D es infinita. x+ x+ x = 0
El valor de D con un valor máximo de dos se
encuentra con Donde: 2β = 10,31 y ω02 = 137,2

D= ke / m Para D = 2 cm Cuya solución es
± (ωo2 − ω'2 )
x = Ae−βt cos(ωt − φ )

⇒ D = 1,3 = 2 ×10−2 m Con A y φ constantes cuyos valores dependen de las
(102 − condiciones iniciales del movimiento y

± ω2) ω= β 2 − ω02 = ⎜⎛10,31⎞⎟2 −137,2
⎝2⎠
se obtiene ω'1 = 5,9rad / s y ω'2 = 11,6rad / s

= 10,52 rad/s

Observamos que es un poco menor que la propia del

oscilador ω0

La frecuencia f = ω = 10,52 = 1,674 Hz
2π 2π

c) Sí además actúa una fuerza sinusoidal de amplitud

10 N y frecuencia doble que la propia del oscilador

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento.

D tiene como valor máximo 2 cuando • ••

5,9rad / s ≤ ω'≥ 11,6rad / s ∑ F = ma ⇒ − kx − b x+ F0senω't = m x

La ecuación del movimiento es

•• •

m x+ b x+ kx = F0senω't

Ejemplo 37. La relación entre la fuerza aplicada a un o •• 2β • = F0 senω ' t
resorte y el alargamiento producido (ley de Hooke) m
x+ x+ ω02 x
es: F = 439 Δl (todo en SI): Si se suspende el resorte
de un extremo y se cuelga en el otro una masa m = Donde además de los valores conocidos, tenemos
3,2 kg calcular:
a) la frecuencia propia de las oscilaciones. F0 = 10 N y ω' = 2ω0 = 2 (11,71) = 23,43 rad/s.
b) Si existe un amortiguamiento debido a una fuerza
resistente F = -33v (velocidad) ¿cuál será la La solución de la ecuación es
frecuencia y la ecuación diferencial del movimiento?
c) Sí además actúa una fuerza sinusoidal de amplitud x = Dsen(ω't + δ ), la velocidad es
10 N y frecuencia doble que la propia del oscilador
¿cuál es la velocidad máxima en las oscilaciones dx = Dω 'cos(ω 't + δ )
forzadas permanentes?
Solución. dt

a) La ley de Hooke es: F = k Δl ⇒ F = 439 Δl con D = F'/m y

Luego la constante del resorte es k = 439 N/m ( )ωo2 − ω'2 2 + 4ω'2 β 2
La frecuencia angular propia del resorte es:
tan δ = 2ωβ
ω 2 − ω'2
o

Reemplazando valores:

ω0 = k= 439 D = 10 / 3,2
m
= 11,7 rad/s ( )11,712 − 23,432 2 + 4 × 23,432 × 5,152

3,2

La frecuencia propia o natural es: = 6,54 x 10-3 m = 6,54 mm

f0 = ω0 = 11,7 = 1,864 Hz Y la velocidad máxima es
2π 2π
Dω' = 6,54 ×10−3 (23,43) = 0,153 m/s

b) La ecuación del movimiento con fuerza resistente

es: Ejemplo 38. Para estudiar el movimiento de un carro en un
camino “encalaminado”, se puede usar el siguiente modelo:
• •• El camino se representa por una sinusoide de amplitud A y
separación entre crestas L.
− kx − b x = m x El carro se representa por una masa M apoyada sobre un
resorte de constante de rigidez k y un amortiguador de
Con k = 439 N/m, b = 33 N.s/m y m = 3,2 kg: constante b (que representan a los 4 resortes y
amortiguadores, realmente existentes, con el objeto de
• •• considerar únicamente el efecto vertical). El carro avanza
con una velocidad horizontal v constante.
− 439x − 33b x = 3,2 x

•• •

x+ 10,31x+ 137,2x = 0

Ecuación de la forma

31

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

a) Encontrar la amplitud y frecuencia del movimiento Nota: En la solución consideramos para el amortiguador
vertical del carro. solo el efecto del movimiento de la masa, para el resorte
b) ¿A qué velocidad entrará en resonancia? consideramos el efecto del movimiento de la masa y el
producido por el calamonado. En el problema siguiente
Solución. consideraremos los dos efectos en los dos elementos.

a) El carro tiene oscilación forzada debido al Ejemplo 39. Para estudiar el movimiento de un carro
en un camino “encalaminado”, se puede usar el
encalaminado de la carretera. El encalaminado le produce siguiente modelo: El camino se representa por una
sinusoide de amplitud A y separación entre crestas L.
un movimiento vertical dado por la ecuación: El carro se representa por una masa m apoyada sobre
un resorte de constante de rigidez k y un
y´= Asenω´t , donde ω´= 2πf , con f =v = v amortiguador de constante b (que representan a los 4
λ resortes y amortiguadores, realmente existentes, con
. el objeto de considerar únicamente el efecto vertical).
El carro avanza con una velocidad horizontal v
L constante.
a) Encontrar la amplitud y frecuencia del movimiento
vertical del carro.
b) ¿A qué velocidad entrará en resonancia?

La ecuación del movimiento vertical de la masa M se Solución.
a) El carro tiene oscilación forzada debido al
∑obtiene de Fy = Ma y encalaminado de la carretera. El encalaminado le
produce un movimiento vertical dado por la
• ••
ecuación: y´= Asenω´t , donde ω´= 2πf , con
− k( y − y´) − b y = M y ⇒
f =v =v.
•• • λL

M y+ b y+ ky = kAsenω´t

•• 2β • ω 2 kA senω´t 2β = b
o M M
y+ y + y = , con y

ω 2 = k
o M

La parte importante de la solución es la estacionaria

y = D sen(ω´t + δ ) , con

( )D = kA/ M y
ωo2 − ω′2 2 + 4β 2ω′2

tan δ = 2βω′ La ecuación del movimiento vertical de la masa M se

ω 2 − ω′2 ∑obtiene de Fy = Ma y
ó

La amplitud del movimiento esta dada por D y la d(y − y´) d2y
dt dt 2
frecuencia por ω´ − k(y − y´) − b = M

b) Como ωR = ωo2 − 2β 2 = 2π v •• ••
L
⇒ − ky + ky'−b y+ b y' = M y

Entrará en resonancia con la velocidad dy´ = •

v= L ω 2 − 2β 2 Con y´= A sen ω´t y y' = Aω´cosω´t :
o
dt

2π •• •

M y+ b y+ ky = kAsenω´t + bω'cosω't

32

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

Haciendo kA = F0senφ y bω' = F0 cosφ , j) escribir la ecuación del movimiento completa y dar
la solución general, indicando el tiempo para el cual
Con φ = tan −1 kA y F0 = (kA)2 + (bω')2 la amplitud del tiempo transitorio se reduce ala
b mitad.
Solución.
•• •
a) ω0 = k= 40 = 250 = 15,81 rad/s
M y+ b y+ ky = F0senφsenω´t + F0 cosφ cosω´t m 0,16

M •• • = F0sen(ω´t + φ ) ⇒ •• ••
ω 2
y+ b y+ ky b) x+ 0 x = 0 ⇒ x+ 250x = 0

•• b • k y = F0 sen(ω´t + φ ) c) La energía para el oscilador si amortiguamiento

y+ y+
MM M
para amplitud de 0,02 m.

Con 2β = b y ω 2 =k : E = 1 kA2 = 1 (40)(0,02)2 = 0,008 N
M o M
22

•• 2β • ω 2 F0 sen(ω´t +φ) d) La ecuación diferencial del movimiento
0 M
y+ y + y = amortiguado para es:

La parte importante de la solución es la estacionaria • ••

− kx − b x = m x

y = Dsen(ω´t + φ + δ ) , con Con k = 40 N/m, b = 0,4 N.s/m y m = 0,16 kg:

D = F0 / M y • ••

− 40x − 0,4b x = 0,16 x

( )ω 2 •• •
2 − ω′2 + 4β 2ω′2
o x+ 2,5 x+ 250x = 0

tan δ = 2βω′ Ecuación de la forma
ωó2 − ω′2
•• •
La amplitud del movimiento esta dada por D y la
x+ 2β x+ ω02 x = 0

frecuencia por ω´ Donde: 2β = 2,5 y ω02 = 250

e) ¿Cuánto tendría que valer b para que el

b) Como ωR = ω 2 − 2β 2 = 2π v movimiento no fuese oscilatorio?
o L
El movimiento es oscilatorio cuando
( )β
Entrará en resonancia con la velocidad 2 − ω 2 < 0 y no es oscilatorio cuando
0
( )β
v= L ω 2 − 2β 2 2 − ω 2 ≥ 0 o β2 ≥ ω 2
o 0 0

2π ⇒ β 2 ≥ 250 ⇒ β ≥ 15,81

Ejemplo 40. La constante elástica de un resorte es 40 De aquí b ≥ 15,81(2m) b ≥ 5,06
N/m. Un extremo está fijo y en el otro hay una masa
m = 0,16 kg. Calcular: Como b = 0,4, realmente hay oscilación.
a) la frecuencia propia de la oscilación. f) Para b = 0,4 expresar la amplitud en función del
b) la ecuación diferencial del movimiento sin tiempo.
amortiguamiento. La solución de la ecuación del movimiento es
c) La energía para el oscilador si amortiguamiento
para amplitud de 0,02 m. x = Ae−βt cos(ωt − φ )
d) Si la masa se introduce en aceite se origina la
fuerza resistente viscosa F = - bv (siendo b el La amplitud está dada por Ae−βt , donde β = 2,5
coeficiente de amortiguamiento y v la velocidad). 2
Escribir la ecuación diferencial del movimiento
amortiguado para b = 0,4 Ns/m. = 1,25 Ns y A depende de las condiciones iniciales.
e) ¿Cuánto tendría que valer b para que el m
movimiento no fuese oscilatorio?
f) Para b = 0,4 expresar la amplitud en función del g) La frecuencia angular del movimiento es:
tiempo.
g) Dar la frecuencia del movimiento. ω= β 2 − ω 2 = ⎜⎛ 2,5 ⎞⎟2 − 250
h) Si b = 0,4 y además aparece una fuerza sinusoidal 0 ⎝2⎠
de amplitud 0,5 N y frecuencia doble que la propia,
calcular la amplitud de la oscilación y la diferencia = 15,76 rad/s
de fase con la fuerza aplicada
i) calcular la frecuencia de resonancia, y dar la y la frecuencia f = ω = 15,76 = 2,51 Hz
amplitud en este caso. 2π 2π

h) Si b = 0,4 y además aparece una fuerza sinusoidal

de amplitud 0,5 N y frecuencia

ω' = 2ω0 = 2(15,81) = 31,62 rad/s

33

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

•• • La resonancia ocurre cuando

m x+ b x+ kx = F0senω't ⇒ ω = ωR = ω 2 − 2β 2
o
•• •
ωR = 15,812 − 2 ×1,252 = 15,71rad / s
0,16 x+ +0,4b x+ 40x = 0,5sen31,62t

De donde: La amplitud de resonancia es:

•• • D = F0 / m

x+ 2,5 x+ 250x = 3,125sen31,62t

•• • F0 ( )ωo2− ω 2 2 + 4ω 2 β 2
m R R
Ecuación de la forma x+ 2β x+ ω02 x = senω ' t

Cuya solución es = 3,125

x = Dsen(ω't + δ ) ( )15,812 −15,712 2 + 4 ×15,712 ×1,252

= 24,9 x 10-3 m

Con D = F0 / m y j) escribir la ecuación del movimiento completa y dar

( )ωo2 − ω'2 2 + 4ω'2 β 2 la solución general.

La ecuación completa del movimiento es.

tan δ = 2ω' β x = xtransitoria + xparticular
ωo2 − ω'2
La solución particular es x = Dsen(ω't + δ )

Reemplazando valores: Y la solución transitoria es

D = 3,125 x = Ae−βt cos(ωt − φ )

( )15,812 − 31,622 2 + 4(31,62)2 (1,25)2 El tiempo para el cual la amplitud del tiempo

= 4,14 x 10-3 m transitorio se reduce a la mitad es t'

D = 4,4 mm De tal modo que A = Ae−βt'
2
El ángulo de fase

tan δ = 2 × 31,62 ×1,25 = −0,1054 , ⇒ t'= ln 2 = 0,692 = 0,554 s
15,812 − 31,622 β 1,25

δ = −6,070

i) calcular la frecuencia de resonancia, y dar la
amplitud en este caso.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. Un oscilador armónico simple de 5 g de masa a) Hallar la frecuencia natural angular ω 0 .
tiene un período de 0,6 s y una amplitud de 18 cm.
Hallar el ángulo de fase, la velocidad y la fuerza b) Hallar la amplitud del movimiento subsiguiente si
aceleradora en el instante en que el desplazamiento se dejase de repente en libertad la masa.
del oscilador es -9 cm.
c) ¿Cuáles serán la posición y velocidad de la masa
Respuesta. Fase = 120° o 240°, v = 160 cm/s, 10 s después de haber quedado libre?

F = 0,05 N Respuesta. a) ω0 = 115,47 rad s , b) A = 3 cm,

2. Una nadadora de masa m está sobre una balanza c) x = 0,492 cm a la izquierda de la posición de
situada en el extremo de una palanca de salto, que equilibrio, d) v = - 341,66 cm.
ella ha puesto previamente en movimiento armónico
4. Un bloque descansa sobre una placa delgada que
simple con frecuencia angular ω y amplitud A = ym ejecuta un movimiento armónico simple vertical con
un periodo de 1.2 s. ¿Cuál es la máxima amplitud del
(a) ¿Cuál es la lectura de la balanza? (b) ¿En qué movimiento para el cual el bloque no se separa de la
condiciones se verá lanzada la nadadora de la placa?
palanca? Respuesta. A = 0,357
Respuesta.
5. Una plataforma está realizando un movimiento
Fg = mg − mω 2 ymsenωt armónico simple en dirección vertical con una

3. Una masa de 150 g situada en el extremo de un amplitud de 5 cm y una frecuencia de 10 π
resorte horizontal se ve desplazada 3 cm hacia la
izquierda de la posición de equilibrio mediante una vibraciones por segundo. En el punto más bajo de su
fuerza de 60 N. trayectoria se coloca un cuerpo sobre la plataforma.

34

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

a) ¿En qué punto se separará el cuerpo de la referencia correspondiente a la oscilación horizontal.
plataforma?
b) ¿A qué altura ascenderá el cuerpo por encima del b) Si el eje x representa el desplazamiento de un
punto más alto alcanzado por la plataforma? oscilador armónico simple en unidades de la
Respuesta. a) y = 2,5 cm, b) 1,25 cm amplitud A y el eje y representa su velocidad en

6. Un alambre de longitud l 0 se alarga en 10−3 l 0 , unidades de ωA , demostrar que el gráfico del mo-

cuando se cuelga de su extremo inferior una cierta vimiento en el plano xy es un círculo de radio
masa. Si se conecta este mismo alambre entre dos unidad.

puntos A y B, alejados l 0 y situados en el mismo 10. Consideremos el oscilador armónico simple de 5
g de masa tiene un período de 0,6 s y una amplitud
plano horizontal y de su punto medio se cuelga la de 18 cm.. a) Hallar la energía mecánica total del
misma masa, como se ve en la figura, ¿cuál es la
depresión y en dicho punto y cuál es la tensión del oscilador. b) ¿Cuál es su velocidad inicial v0 si el
alambre?
desplazamiento inicial es 6 cm?
Respuesta. y = l 0 , tensión = 5 x peso del objeto. Respuesta. a) E = 88,826x10-7 N
20
b) v0 = 177,7 cm/s
7. Una masa m se conecta a dos bandas de jebe de
longitud L, cada una bajo una tensión T, como se 11. En el instante t = 0 un oscilador armónico simple
muestra la figura. La masa se desplaza una pequeña con una frecuencia de 5 rad/s tiene un
distancia y en forma vertical. Suponiendo que la desplazamiento de 25 cm y una celeridad de -10
tensión no cambia significativamente, demuestre que: cm/s.

a) la fuerza de restitución es - (2T/L) y a) Hallar la amplitud A de la oscilación.
b) que el sistema presenta un
movimiento armónico simple con una b) ¿Cuál es su constante de fase?

frecuencia dada por ω = 2T / mL c) Si existe un peso de 10 g en el oscilador, ¿cuál es
su energía mecánica total?
8. Se observa que una fuerza de 0,1 N estira a una
determinada cuerda elástica en 50 mm. Se suspende Respuesta. a) A = 25,08 cm, b) φ = 94,6º , c) E =
de un extremo de la cuerda un objeto de 15 g Y se
le hace adquirir una vibración vertical tirando hacia 78,625 x 10-7 N
abajo de él y luego soltándolo. ¿Hasta qué punto
habrá que alargar la cuerda con el objeto colgado 12. Un oscilador armónico simple de masa 0,8 kg y
para que al alcanzar el punto más alto de la vibra-
ción no exista tensión en la cuerda? frecuencia 10 3π Hz se pone en movimiento con

Respuesta. Δy = 7,5cm una energía cinética inicial K 0 = 0,2J y una
energía potencial inicial U 0 = 0,8J . Calcular
9. Una partícula gira con celeridad constante en una
circunferencia de radio R. a) su posición inicial.
a) Demostrar que sus proyecciones sobre los ejes b) su velocidad inicial.
horizontal y vertical (sus componentes x e y) c) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?
realizan movimientos armónicos simples con unas
Respuesta. a) x0 = ±0,45m , b) v0 = ±1,5m / s ,
constantes de fase que se diferencian en π 2 . Esta
c) A = 0,50 m,
circunferencia se conoce como circunferencia de
13. Se cuelga de un resorte un objeto de 1g de masa
y se le deja oscilar. Para t = 0, el desplazamiento era
43,785 cm y la aceleración -1,7514 cm/s2. ¿Cuál es
la constante del resorte?
Respuesta. k = 0,025 N/m

14. Una masa m cuelga de un resorte uniforme de
constante k.
a) ¿Cuál es el período de las oscilaciones del
sistema?
b) ¿Cuál sería el período si la masa m se colgase de
modo que:

(1) Estuviese sujeta a dos resortes idénticos
situados uno junto al otro?

(2) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos
resortes idénticos conectados uno a
continuación del otro?

35

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

demostrar que cuando la masa suspendida se está
moviendo con una velocidad v la energía cinética del
sistema viene dada por

K = 1 ⎜⎛ m + M ⎟⎞v2
2⎝ 3 ⎠

Si el sistema masa-muelle realiza un movimiento
armónico simple, demostrar que tendrá un período

Respuesta. a) T0 = 2π ⎛⎜ m ⎞⎟1 2 , b) T0 , 2T0 m+ M
⎝k⎠ 2 3
T = 2π
k

15. Una masa m descansa sobre una mesa horizontal 17. Si la masa de las poleas mostradas en la figura es
pequeña y la cuerda inextensible, encontrar la
sin rozamiento y está unida a unos soportes rígidos frecuencia natural del sistema.

mediante dos resortes idénticos de longitud l 0 sin

deformar y constante k. Ambos resortes se estiran

hasta una longitud l considerablemente mayor que
l 0 . Los desplazamientos horizontales de m respecto

a su posición de equilibrio se denominarán x (sobre

AB) e y (perpendicular a AB).
a) Escribir la ecuación diferencial del movimiento

(es decir, la ley de Newton) que rige las oscilaciones

pequeñas en dirección x.

b) Escribir la ecuación diferencial del movimiento

que rige las oscilaciones pequeñas en dirección y

(admitir que y <<1).

c) Calcular el cociente entre los períodos de Respuesta.

oscilaciones sobre x e y en función de l y l 0 . ω= k AkB rad

d) Si para t = 0 se deja libre la masa m desde el 4m(k A + kB ) s

punto x = y = A0 con velocidad nula, ¿cuáles son sus 18. Una placa plana P hace un movimiento armónico
coordenadas x e y en un instante posterior t? simple horizontal sobre una superficie sin fricción
con una frecuencia f = 1,5 Hz. Un bloque B descansa
e) Dibujar un gráfico de la trayectoria de m sobre la placa, como se muestra en la figura, y el
coeficiente de fricción estático entre el bloque y la
resultante bajo las condiciones de la parte (d) si
placa es μ = 0,60. ¿Cuál es la máxima amplitud de
l = 9 l 0 .
5 oscilación que puede tener el sistema sin que resbale
el bloque sobre la placa?

Respuesta. c) Tx = ⎜⎛1 − l 0 ⎟⎞1 2 , d)
Tx ⎝ l ⎠
Respuesta. A = 6,62 cm

x(t ) = A0 cos⎛⎜ 2k ⎞⎟1 2 t , 19. Se observó que el período de un determinado
⎝ m ⎠ péndulo era T = 1,002 s al nivel del mar. Cuando el
péndulo se llevó a la cima de una montaña, el
cos⎣⎢⎡ 2k (l − l )⎤ 1 2 período resultó ser T = 1,003 s.
a) ¿Qué altura tenía la montaña?
y(t ) = A0 ml 0 ⎥⎦ t b) ¿Cómo se vería afectado por la altura un péndulo
de torsión?

16. Un resorte que tiene su masa M distribuida Para h << RT ⇒ g = g0 ⎜⎜⎝⎛1 − 2 h ⎟⎠⎞⎟ , RT = 6
RT
uniformemente en toda su longitud tiene colgada una
378,13 km
masa m en su extremo inferior. Si el resorte se Respuesta. a) h = 6,36 km, b) no, excepto en el

alarga uniformemente cuando el sistema oscila,

36

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

caso de que la resistencia del aire sea más pequeña. 23. a) Una varilla homogénea delgada de longitud

20. Un cohete que posee un empuje igual a cinco l oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por
veces su peso está equipado con un reloj de péndulo
vertical. Se dispara el cohete en el instante t = 0 y se uno de sus extremos. Hallar la longitud del péndulo
eleva verticalmente. Después de 5 s se agota el ideal equivalente y situar el centro de oscilación y el
combustible. ¿Cuál es el tiempo leído en dicho reloj centro de percusión.
de péndulo si un reloj semejante en el suelo marca
15 s? b) Un disco macizo de radio R está oscilando con
una pequeña amplitud alrededor de un eje
Respuesta. t = 21,2 s perpendicular al plano del disco y situado a una
distancia r de su centro. ¿A qué distancia r' será
21. Un péndulo está constituido por una pequeña máxima la frecuencia?
esfera, de dimensiones que consideramos
despreciables, cuya masa es M = 200 g, suspendida Respuesta. a) l0 = 2 l , b) r'= R
en un hilo inextensible y sin peso apreciable, de 2 m 3 2
de largo.
a) Calcular el período para pequeñas amplitudes. 24. Se sujeta una masa M en el extremo de un barra
b) Supongamos que en el momento de su máxima uniforme de masa M y longitud L, la cual se pivota en
elongación la esfera se ha elevado 20 cm por encima la parte superior Determine las tensiones en la barra
del plano horizontal que pasa por la posición de en el pivote y en el punto P, cuando la barra se
equilibrio. Calcular su velocidad y su energía cinética encuentra en reposo. Calcule el periodo de oscilación
cuando pase por la vertical. para pequeños desplazamientos del equilibrio y
c) Supongamos que al pasar por la vertical el hilo determine el periodo para L = 2 m. (Sugerencia:
encuentra un clavo O' situado 1m debajo del punto de Suponga que la masa en el extremo de la barra es una
suspensión O y normal al plano de oscilación. masa puntual.)
Describir el movimiento posterior de la esfera.
Calcular la relación de las tensiones del hilo cuando
el péndulo alcanza sus posiciones extremas.
d) Calcular el período de este péndulo, tal como se
describe en b), para pequeñas amplitudes.

Respuesta.

T = 4π 2(2)
= 2,68 s.
3 9,8

Respuesta. 25. Un bloque cúbico de 20 cm de arista está
colgado por dos cuerdas de 15 cm de largo, como se
a) T1 = 2π L1 = 2π 2 =2 2 s indica en la figura.
g 9,8 a) ¿Cuál es el período de oscilación cuando el
movimiento es paralelo al plano de la figura?
b) v = 2gh = 2x9,8x0,2 = 0,4m / s b) ¿Cuándo el movimiento es perpendicular al plano
de la figura?
c) T1 = cos α = L1 − h = 2 − 0,2 = 1,12
T2 cos β L1 − 2h 2 − 2x0,2 Respuesta. a) T = 0,78s , b) T = 1,1s

d) T = 2 2 + 2 = 2 + 1 = 2,4s 26. Un alambre delgado se dobla en forma de una
2 semicircunferencia de radio R. Se le hace oscilar en

22. Un aro delgado y uniforme de diámetro d cuelga
de un clavo. Se desplaza un ángulo pequeño en su
propio plano y luego se le deja libre. Suponiendo
que el aro no desliza sobre el clavo, demostrar que
su período de oscilación es el mismo que el de un
péndulo ideal de longitud d.

37

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

su propio plano alrededor de un eje perpendicular a Respuesta. ω = mgL + kL2
su plano y que pasa por el punto medio del alambre. mL2
Hallar la longitud del péndulo ideal equivalente.
31. Un motor eléctrico está apoyado por 4 resortes,
Respuesta. l 0 = 2R cada uno de constante k como se muestra en la
figura. Si el momento de inercia del motor alrededor
27. Un semicírculo de radio R y masa m está del eje central de rotación es I0, encontrar la
pivotado alrededor de su centro como se muestra en frecuencia natural de oscilación.
la figura. Determinar su frecuencia natural de
oscilación para pequeños desplazamientos.

Respuesta: ω0 = 8g rad/s
3Rπ
Respuesta.
28. Un arco circular de diámetro d se cuelga de un k
clavo. ¿Cuál es el período de sus oscilaciones ω0 = 2a
cuando las amplitudes son pequeñas? rad/s

Io

Respuesta. 2π ⎛⎜⎜⎝ d ⎠⎟⎟⎞1 2 32. a) Se cuelga una bola de acero maciza del
g
extremo de un alambre de acero de 2m de longitud y
29. Una tabla horizontal de masa m y longitud L se radio 1 mm. La carga de rotura del acero es 1,1 x 109
pivota en un extremo, y en el extremo opuesto se N/m2. ¿Cuáles son el radio y la masa de la bola de
sujeta a un resorte de constante de fuerza k . El
momento de inercia de la tabla respecto del pivote es mayor tamaño que puede soportar el alambre?
b) ¿Cuál es el período de las oscilaciones de torsión
1 mL2 . Si la tabla se desplaza un ángulo pequeño θ
3 de este sistema? (Módulo de cizalladucha del acero
= 8 x 1010 N/m2. Momento de inercia de la esfera
de la horizontal y se suelta, demuestre que se moverá
con un movimiento armónico simple, con una respecto a un eje que pasa por centro = 2MR 2 5 .)

frecuencia angular dada por ω = 3k m . Respuesta. a) 22 cm radio, 360 kg b) 66 s.

33. La lenteja de un péndulo de torsión como el de la
figura es un disco de momento de inercia
desconocido I. Su período es T = 3 s. Cuando se
coloca sobre el disco un anillo delgado de 3 kg de
masa y un radio de 10 cm, de forma que el hilo de
suspensión pasa por el centro exacto del anillo, el
nuevo período de oscilación es T = 4 s. Hallar el
momento de inercia I.

30. Un péndulo de longitud L y masa M tiene Respuesta. I = 0,0386 kg.m2
conectado un resorte de constante de fuerza k a una
distancia h por debajo del punto de suspensión. 34. Un resorte de 20 cm de longitud cuelga de un
Encuentre la frecuencia de vibración del sistema para soporte fijo. Al colocarse una masa de 0,5 kg en el
valores pequeños de la amplitud (θ pequeño). extremo inferior la longitud aumenta a 25 cm. Al
(Suponga que el soporte vertical, de longitud L, es poner en oscilación el sistema se observa que en el
rígido, pero de masa despreciable.) tiempo π/0,65 segundos ejecuta 10 oscilaciones.
Analice y diga si el movimiento armónico es simple
o amortiguado. Justifique.
Respuesta.

38

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

k , k = 0,5 × 9,8 = 98 N , ⇒ f) Si el oscilador se impulsa con una fuerza
m 0,05 m
ω0 = mg cosωt , siendo ω = 2g / h ¿cuál es la

98 = 14 rad amplitud de la respuesta del estado estacionario?
0,5 s
ω0 = ⎛⎜ 35g ⎟⎞1 2 , c) 3⎜⎜⎝⎛ h ⎟⎞⎠⎟1 2
⎝ 36h ⎠ g
Respuesta. b) , d) Q = 3,

La frecuencia medida es ω = 2π ⎜⎛ π 10 ⎞⎟ = 13 rad e) δ = π , f) 0,90 h.
⎝⎜⎜ 0,65 ⎟⎟⎠ s 2

La diferencia se debe a que el movimiento es 37. Un objeto de masa 0,2 kg se cuelga de un resorte
cuya constante es 80 N/m. El cuerpo se somete a una
amortiguado. fuerza resistente dada por - bv, siendo v su velocidad
(m/s) y b = 4 N.m/s.
35. Se cuelga un objeto de masa 0,2 kg de un resorte a) Plantear la ecuación diferencial del movimiento
cuya constante es 80 N/m., Se somete el objeto a una en el caso de oscilaciones libres del sistema y hallar
fuerza resistente dada por - bv, siendo v su velocidad su período.
en m/s. b) Se somete el objeto a una fuerza impulsora
a) Plantear la ecuación diferencial del movimiento sinusoidal dad F(t) = F0 sen ωt, siendo F0 = 2N y
en el caso de oscilaciones libres del sistema. ω = 30 rad/s. En estado estacionario, ¿Cuál es la
amplitud de la oscilación forzada?
b) Si la frecuencia con amortiguamiento es 3 2
Respuesta. a) T = π s , b) 1,3 cm
de la frecuencia sin amortiguamiento, ¿cuál es el 53
valor de la constante b?
Respuesta. b) 4 N.s/m,

36. Se conecta un bloque de masa m él un resorte 38. Un Pontiac Grand Prix de 1550 kg se soporta
cuyo otro extremo se mantiene fijo. Existe también mediante cuatro resortes en espiral, cada uno con
un mecanismo de amortiguamiento viscoso. Sobre una constante de 7,00 x 104 N/m.
este sistema se han realizado las siguientes a) ¿Cuál es la frecuencia natural de este sistema?
observaciones: b) El automóvil vibra al rodar sobre los baches en
una autopista de concreto. Si los baches están
(1) Si se empuja horizontalmente el bloque con una separados 18,5 m, ¿qué tan rápido se está moviendo
fuerza igual a compresión estática del muelle es el automóvil cuando la frecuencia de los baches está
igual a h. en resonancia con la frecuencia natural?
(2) La fuerza resistente viscosa es igual a mg si el Respuesta. a) 2,14 Hz b) 39,6 m/s
bloque se mueve con una cierta velocidad conocida
u. 39. Un motor pequeño de velocidad variable tiene
a) Para este sistema completo (en el que se incluye una masa de 9 kg se monta en una viga elástica tal
tanto el resorte el amortiguador) escribir la ecuación como se muestra en la figura. El motor rota con una
diferencial que rige las oscilaciones horizontales de masa excéntrica de 1 kg a 5 cm. del centro del eje.
la masa en función de m, g, h y u. Cuando el motor no está funcionando, el motor y el
Responder a las siguientes preguntas en el caso de peso excéntrico hacen desviar a la viga 1,25 cm.
Determine
que. u = 3 gh : a) la velocidad del sistema en la resonancia y
b) la amplitud de las vibraciones forzadas cuando el
b) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones motor está funcionando en 300 rpm.
amortiguadas? c) ¿Sería posible reducir la amplitud de la vibración
c) ¿Qué tiempo ha de transcurrir, expresado en forzada del motor en la parte
b) sujetando un peso adicional al motor? ¿Si es así
forma de un múltiplo de h g , para que la energía qué peso se debe agregar para reducir la amplitud de
la vibración a 1,25 cm?
descienda en un factor 1 e ?
40. Un auto con amortiguadores en mal estado rebota
d) ¿Cuál es el valor Q de este oscilador? hacia arriba y hacia abajo con un periodo de 1,5 s
e) Este oscilador, inicialmente en su posición de después de pasar por un hoyo. El auto tiene una masa
reposo, se pone en movimiento repentinamente
cuando t = 0 mediante un proyectil de masa
despreciable, pero cantidad de movimiento no nula,
que se mueve en sentido positivo las x. Hallar el

valor del ángulo de fase δ en la ecuación

x = Ae−βt / 2 cos(ωt − δ ) que describe el

movimiento subsiguiente, y representar x en función
de t para los primeros ciclos.

39

Movimiento Oscilatorio Hugo Medina Guzmán

de 1500 kg y se soporta mediante cuatro resortes de b) La ecuación de Movimiento para cuando el
igual constante de fuerza k. Determine el valor de k. soporte A según la siguiente ley xA = xo cos(ωt).
Respuesta. k = 6580 N/m (Sugerencia: nótese que la deformación del resorte
puede expresarla como la diferencia de las
41. Un bloque de masa m está soportado por un deformaciones de sus extremos)
resorte de constante k el cual está montado sobre una c) La solución estable para el caso b.
base de peso despreciable sometida a un movimiento

armónico simple de arriba abajo A0senωt como se

muestra en la figura. Determine el movimiento del
bloque.

Respuesta. Respuesta.
a) la frecuencia angular de las oscilaciones de la

x = Asen(ω0t + φ ) + A0ω02 sen(ωt + δ ) masa m es: ω = 1 k
2m
ω 2 − ω02
•• k 1
k x= cosωt
ω0 = A, φ y δ dependen de las b) x+ 4m 2m
.
c) x = D cos(ωt + δ )
m

condiciones iniciales.

1 2m k
−ω2 4m
42. En el sistema mostrado en la figura, si la masa D= ω 2 , ωo =
de la polea mostrada en la figura es pequeña y la o
cuerda inextensible Encontrar:
a) La ecuación de movimiento para cuando el
soporte A no tiene movimiento alguno.

40

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

CAPÍTULO 3. Movimiento ondulatorio y ondas

INTRODUCCIÓN. La forma de la onda es la foto de la perturbación
Existen en la naturaleza muchos fenómenos de los propagándose, la instantánea que congela las
cuales se dice “tienen naturaleza ondulatoria” pero posiciones de todas las partículas en ese instante.
¿qué es exactamente una onda? ¿Qué propiedades Curiosamente, la representación de las distancias de
tienen? ¿Cómo se puede formalizar una expresión separación de la posición de equilibrio de las partículas
matemática de un fenómeno ondulatorio? Estas y otras al vibrar frente al tiempo dan una función matemática
cuestiones son el tema objeto de este capítulo. seno que, una vez representada en el papel, tiene forma
No obstante, antes de entrar de lleno en lo que es una de onda.
onda y su formalismo, vamos a definir onda como: Podemos predecir la posición que ocuparán dichas
Una onda es una perturbación física que transmite partículas más tarde, aplicando esta función
matemática.
energía, pero que no transmite materia. El movimiento de cada partícula respecto a la posición
de equilibrio en que estaba antes de llegarle la
En las ondas materiales las partículas concretas que perturbación es un movimiento oscilatorio armónico
componen el material no se propagan, sino que se simple.
limitan a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. Una onda transporta energía pero no transporta
No obstante cuando una onda se transmite por dicho materia: las partículas vibran alrededor de la posición
material se produce una sincronización de oscilaciones de equilibrio pero no viajan con la perturbación.
entre las distintas partículas componentes del medio Veamos un ejemplo: la onda que transmite un látigo
que posibilita la propagación de energía. lleva una energía que se descarga al golpear su punta.
La onda de choque de una explosión es un buen Las partículas del látigo vibran, pero no se desplazan
ejemplo. La creación súbita de calor en la explosión con la onda.
eleva a presión muy alta a la masa de gas de su
vecindad inmediata. Esta presión se ejerce sobre el aire Pulso y tren de ondas – Onda viajera
que rodea el cual es comprimido e incrementado en El movimiento de cualquier objeto material en un
presión. Esta presión a su vez es ejercida sobre el aire medio (aire, agua, etc.) puede ser considerado como
de más allá, o sea que hay una onda de presión que se una fuente de ondas. Al moverse perturba el medio que
aleja de la explosión con una velocidad de 335 m/s esta lo rodea y esta perturbación, al propagarse, puede
onda contiene la energía requerida para comprimir el originar un pulso o un tren de ondas.
aire. Esta energía rompe ventanas a grandes distancias Un impulso único, una vibración única en el extremo
de la explosión. Ningún material viaja, el movimiento de una cuerda, al propagarse por ella origina un tipo de
de cualquier partícula de aire relativamente es onda llamada pulso. Las partículas oscilan una sola
pequeño, la perturbación es la que viaja rápidamente a vez al paso del pulso, transmiten la energía y se
grandes distancias y transmite la energía quedan como estaban inicialmente. El pulso sólo está
un tiempo en cada lugar del espacio. El sonido de un
DEFINICIÓN - CARACTERÍSTICAS. disparo es un pulso de onda sonora.
Una onda es una perturbación que se propaga desde el Si las vibraciones que aplicamos al extremo de la
punto en que se produjo hacia el medio que rodea ese cuerda se suceden de forma continuada se forma un
punto. tren de ondas que se desplazará a lo largo de la
Las ondas materiales (todas menos las cuerda, esto viene a ser una onda viajera.
electromagnéticas) requieren un medio elástico para
propagarse.
El medio elástico se deforma y se recupera vibrando al
paso de la onda.
La perturbación comunica una agitación a la primera
partícula del medio en que impacta, este es el foco de
las ondas y en esa partícula se inicia la onda.
La perturbación se transmite en todas las direcciones
por las que se extiende el medio que rodea al foco con
una velocidad constante en todas las direcciones,
siempre que el medio sea isótropo (de iguales
características físico-químicas en todas las
direcciones).
Todas las partículas del medio son alcanzadas con un
cierto retraso respecto a la primera y se ponen a vibrar,
recuerda la ola de los espectadores en un estadio de
fútbol.

TIPOS DE ONDAS:
Podemos establecer criterios de clasificación de las
ondas. Algunos serían:

1

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

Según el medio por el que se propaguen produce de arriba a abajo, es decir, perpendicularmente
Ondas mecánicas. Son las que requieren un medio a la propagación
material para propagarse. Ejemplo, el sonido
La onda de sonido ordinario es una forma de
transmisión de energía, perturbaciones en el aire entre
fuente vibrante que es la que produce el sonido y un
receptor tal como el oído. El sonido también puede
transmitirse en los líquidos y en los sólidos. Las ondas
en una cuerda, en un resorte y las ondas de agua son
otros ejemplos de ondas que necesitan de un medio
elástico para propagarse. A este tipo de ondas se los
denomina “ondas mecánicas”.
Ondas electromagnéticas. Son las que no requieren
un medio material. Ejemplo, la luz.
Existe otro tipo de ondas relacionada con la luz,
transmisión de radio y radiación de calor, esto es las
ondas electromagnéticas que no necesitan de un medio
para propagarse.

Según el número de dimensiones que involucran
Unidimensionales. Ejemplo, la propagación del
movimiento en una cuerda

Bidimensionales. Ejemplo, olas en la superficie de un
líquido.

Longitudinales. En este tipo la propagación es
paralela a la oscilación. Como ejemplo, si apretamos
un resorte las espiras oscilan de izquierda a derecha y
de derecha a izquierda, paralelas en cualquier caso a la
dirección de propagación.

Tridimensionales. Ejemplo, el sonido normal.

Según la relación entre la vibración y la dirección
de propagación
Transversales. Son aquellas ondas en las cuales la
oscilación es perpendicular a la dirección de
propagación de la onda. Por ejemplo en una cuerda
normal y tensa la onda se propaga de izquierda a
derecha (en cierto caso particular) pero, en cambio, la
oscilación de un punto concreto de la cuerda se

2

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

EXPRESIÓN MATEMÁTICA PARA UNA ONDA En la Figura arriba pueden apreciarse dos etapas del
movimiento de un pulso en una cuerda, a dos tiempos
VIAJERA. diferentes, cuando el pulso se propaga de izquierda a
En la Figura (Physical Science Study Committee, derecha con velocidad v. La figura está dibujada sobre
1965) se muestra una secuencia de fotografías de un un sistema de ejes coordenados de modo que el eje x
pulso propagándose de izquierda a derecha a lo largo muestra la dirección en que la cuerda no se distorsiona.
de un resorte. En esta sección haremos uso de estas Supongamos que la forma de la cuerda a t = 0 está
fotografías para descubrir la expresión matemática de
una onda viajera y probar el significado de algunos de ( )dada por la expresión f x (Figura a). Después de un
los términos utilizados para describir las ondas.
tiempo t el pulso ha avanzado hacia la derecha una

distancia vt (Figura b). Debe notarse que la función

f (x − a) tiene la misma forma que la función

f (x) , sin embargo f (x − a) esta desplazada una

distancia a en la dirección +x. Si suponemos que el
pulso mantiene su forma mientras se propaga,
podemos expresar la forma del pulso en un instante de
tiempo t mediante

y(x,t) = f (x − vt)

Una descripción similar a la anterior, nos proporciona
la expresión de un pulso que se mueve hacia la
izquierda con velocidad v

y(x,t) = f (x + vt)

( )Se denomina función de onda a la función y x, t que

sirve para describir onda. Para el caso de una onda en
una cuerda, la función de onda representa la
coordenada y de un elemento de la cuerda. Por tanto, la
función de onda da el desplazamiento y de dicho
elemento desde su posición de equilibrio y = 0, pero es
una función que depende de x y de t.

El intervalo de tiempo entre cada fotografía es el Esto significa que el desplazamiento de un elemento de
mismo. Estas fotografías indican que la velocidad de cuerda depende de:
un pulso es constante; y la forma del pulso a) la coordenada x del elemento; y
prácticamente no cambia durante el movimiento de b) el tiempo t de la observación.
avance. Un examen más minucioso muestra que el
pulso se va haciendo gradualmente más ancho ( )Esto es, x y t deben aparecer combinados en y x, t
conforme avanza; la altura del pulso se va haciendo
menor mientras el ancho del pulso crece. Este como (x − vt ) o (x + vt) . Para especificar una
ensanchamiento del pulso es una consecuencia de la
dispersión. La dispersión no tiene un interés primordial función de onda debemos escribirla como una
en las ondas que deseamos considerar, por lo que la determinada función. Así por ejemplo la función de
ignoraremos en nuestro estudio. onda específica que vamos a discutir en la sección

siguiente es y(x,t) = Asen(x − vt).

Ejemplo 1. De las funciones que se presentan a

continuación, sólo dos pueden representar ecuaciones

de onda, de ondas unidimensionales que se propagan

en el eje x:

5 ×10−2

0,25 + (x − 2t)2
[ ]y1(x,t) =

5 ×10−2
0,25 + x2 + 4t 2 − 2t
[ ( )]y2(x,t) =

5 ×10−2

0,25 + (2x + t)2
[ ]y3(x,t) =

3

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

a) Decir cuales de las funciones: y1 , y2 e y3 son significado especial. Reemplazando el valor de x por

funciones de onda y justificar la respuesta. ⎛⎜ x + 2π ⎞⎟ , obtenemos para y(x,t ), el mismo
b) ¿Cuáles son las velocidades de propagación de
dichas ondas? ⎝ k⎠
c) En la figura se representan varias “fotografías” de
una cuerda tensa, en la cual se está propagando una valor; esto es,
onda que corresponde a una de las dos anteriores. Las
“fotografías” corresponden a instantes separados 0,01 y⎜⎛ x + 2π ,t ⎞⎟ = Asenk ⎡⎢⎣⎝⎜⎛ x + 2π ⎞⎟ − ⎤
s. ¿A cuál de las ondas corresponden las “fotos”? ⎝ k ⎠ k ⎠ vt ⎦⎥

= Asenk[(x − vt) + 2π ]

= Asenk(x − vt) = y(x,t)

Observamos que 2π es el “periodo de espacio” de la
k

curva, repitiéndose cada 2π , cantidad la llamaremos
k

longitud de onda y la designaremos por λ .

Entonces λ = 2π
k

Para un determinado tiempo

Solución Observamos que la ecuación (1) también puede ser
a) Cualquier perturbación que obedece en todo instante
escrita en la forma
a la ecuación: y(x, t ) = f (x ± vt ) representa una
y(x,t) = Asen(kx − kvt) = Asen(kx − ωt)

onda unidimensional que se propaga hacia la derecha Donde la frecuencia angular ω = kv y v = ω
k
(signo negativo) o hacia la izquierda (signo positivo)
( )La función y x, t es también periódica en el tiempo,
del eje x , con velocidad v. Así pues, las funciones yl e
con un periodo T = 2π
y3 son las únicas posibles representantes de ecuaciones ω
de onda.
ω
b) Para y1, el valor de la velocidad será v1 = 2m / s , Y por lo tanto, con una frecuencia f = 2π
hacia la derecha del eje x . Para un determinado espacio x.

Para y3, la transformamos en:

y3 = 5 ×10−2 1 ⎟⎞ 2 ⇒ v3 = − 1 m/s , hacia
+ 4⎛⎜ x + 2 ⎠ 2
0,25 t
⎝

la izquierda del eje x . .

c) Corresponde a y1 puesto que su propagación es Podemos obtener una relación importante de las ondas.

hacia la derecha del eje x , y además, es claro que su v = λ = λf , expresión que concuerda con
T
velocidad es 2 m/s, lo que se deduce de las medidas
dadas en las fotografías sucesivas.

ONDAS ARMONICAS v = ω = 2πf = λf
Un caso especialmente interesante y frecuente es aquel k 2π λ
en que y es una función sinusoidal o armónica tal
También es frecuente escribir la ecuación de la onda
como y(x) = Asenkx , de modo que sinusoidal en la forma:
y(x,t) = Asenk(x − vt) (1)
y = Asen2π ⎛⎜ x − t ⎟⎞ ⇒ y = Asen(kx − ωt)
La cantidad k conocida como número de onda ⎝ λ T ⎠

(diferente a la constante k del resorte) tiene un

4

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

Onda que viaja a la izquierda. Similarmente para b) La separación entre las crestas de 2 olas
una onda que viaja a la izquierda se tendría
consecutivas es una longitud de onda:
Asen2π ⎛⎜ x t ⎟⎞
y = ⎝ λ + T ⎠ ⇒ y = Asen(kx + ωt) λ = 450 = 7,50 m
60

Función sinusoidal desfasada con respecto al Ejemplo 3. Una onda sinusoidal es enviada a lo largo
origen. Adicionalmente, podemos tener una función de una de un resorte, por medio de un vibrador fijo en
sinusoidal desfasada con respecto al origen de uno de sus extremos. La frecuencia del vibrador es 20
coordenadas, esto es, ciclos por segundo y la distancia entre puntos de
mínimo sucesivos en el resorte es 24 cm. Encontrar:
y(x) = Asen(kx − ϕ )
a) La velocidad de la onda
y la onda viajera será b) La ecuación de la onda, sabiendo que el
desplazamiento longitudinal máximo es de 4 cm. y que
y(x,t) = Asen(kx − ωt − ϕ ) se mueve en el sentido positivo de x.

Similarmente para una onda que viaja hacia la Solución.
izquierda se tendrá a) Si f = 20 Hertz y λ = 24 cm.
la velocidad es
y(x,t) = Asen(kx + ωt − ϕ )
v = λf = 24 x 20 = 490 cm/seg.
Nota. Una onda real no puede ser perfectamente
armónica, puesto que unas ondas armónicas se b) La ecuación de la onda que se mueve en el sentido
extienden hacia el infinito en ambos sentidos a lo largo positivo es
del eje x y no tienen ni principio ni fin en el tiempo.
Una onda real debe tener principio y fin en algún lugar y = Asen(kx − ωt)
del espacio y del tiempo. Las ondas existentes en la
naturaleza, como son las ondas de sonido o las ondas Siendo
de luz, pueden frecuentemente aproximarse a ondas
armónicas, puesto que su extensi6n en el espacio es A = 4cm, k = 2π = π y
mucho mayor que su longitud de onda, y el intervalo λ 12
de tiempo que tardan en pasar por un punto es mucho
mayor que su período. Una onda de este tipo se ω = 2π = 2πf = 40 π
denomina tren de ondas. Así que una onda armónica es T
una representación idealizada de un tren de ondas.
Luego la ecuación de la onda es

Ejemplo 2. Un veraneante que descansa en la playa y(x,t ) = 4sen2π ⎛⎜ x − 20t ⎟⎞
observa que durante los últimos 30 minutos han ⎝ 24 ⎠
arribado 90 olas a la orilla. Luego se mete al mar y se
dirige nadando hacia un bote anclado y ubicado a 450 y en cm x en cm y t en segundos.
m mar adentro, tomándole un total de 5 minutos en
llegar. En el trayecto el nadador sorteo 60 olas. Corno la variable x aparece en la expresión con signo
Determine
a) La velocidad con que las olas se acercan a la orilla opuesto a la variable t, la onda se propaga en la
es:
b) La separación entre crestas de 2 olas consecutivas. dirección + x.

Solución. Ejemplo 4. a) Una onda en una cuerda esta descrita

por y = 0,002sen(0,5x − 628t ). Determine la

Si en 30 minutos llegan 90 olas a la orilla, la amplitud, la frecuencia, periodo, longitud de onda y
velocidad de la onda.
frecuencia de las olas es: b) Una onda en una cuerda esta descrita

por y = 25sen[1,25π x − 0,40π t] en el sistema

f = 90 = 1c cgs. Determine la amplitud, la frecuencia, periodo,
30 × 60 20 s longitud de onda, la velocidad de propagación y la
velocidad transversal de la onda.

Si hay 60 olas en 450 metros la longitud de onda de las Solución.

olas es: a) La ecuación de la onda es

y(x,t) = Asen(kx − ωt)

λ = 450 = 7,50 m A = 0,002 m ,
60
k = 2π = 0,5 ⇒ λ = 12,6 m
a) La velocidad con que las olas se acercan a la orilla. λ

v=λf = 7,50 × 1 = 0,375 m/s ω = 2π = 628 ⇒ T = 0,001s
20 T

5

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

f = 1 = 100 Hz ϕ = 2π ⎛⎜ t + 1 − t ⎟⎞ = 2π = π = 30°
T ⎝ 6 6 ⎠ 6 3

v = λf = 1260 m c) En este caso, la diferencia de fase viene dada por
s
ϕ = 2π x2 − x1 = 2π 210 = 2π 7 = 7π = 31°
b) La ecuación de una onda armónica, en general, es λ 240 8 4

y = Asen(kx − ωt) = Asen2π (x + t ) d) Sabemos que
λ T
3 = 4 cos 2π ⎜⎛ t + x ⎟⎞
⎝ 6 240 ⎠

La ecuación dada en el problema se puede poner de la ⇒ cos 2π ⎛⎜ t + x ⎟⎞ = 3
forma siguiente ⎝ 6 240 ⎠ 4

⎡⎤ El desplazamiento 2 segundos más tarde será

⎢ x t ⎥ y = 4 cos 2π ⎜⎛ t + 2 + x ⎟⎞
y = 25sen2π ⎢ 2 1 ⎥ ⎝ 6 240 ⎠
− ⎥
⎢ 1
⎣⎢1,25 0,40 ⎦⎥ = 4 cos 2π ⎛⎜ t + x + 3 ⎟⎞
⎝ 6 240 ⎠

= 4 cos⎣⎡⎢2π ⎜⎛ t + x ⎞⎟ + 2π ⎤
⎝ 6 240 ⎠ 3 ⎦⎥
Identificando ambas ecuaciones tenemos:

Amplitud A = 25 cm = 4⎡⎢cos 2π ⎜⎛ t + x ⎟⎞ cos 2π − sen2π ⎜⎛ t + x ⎞⎟sen 2π ⎤
⎣ ⎝ 6 240 ⎠ 3 ⎝ 6 240 ⎠ 3 ⎥
Longitud de onda λ = 2 = 1,6 cm ⎦
1,25
Pero

Frecuencia f = 1 = 0,40 Hz cos 2π ⎛⎜ t + x ⎞⎟ = 3 y
T ⎝ 6 240 ⎠ 4

Velocidad de propagación sen2π ⎜⎛ t + x ⎟⎞ = 1 − 9 = 7
⎝ 6 240 ⎠ 16 4
v = λ = 0,64 cm/s
T Sustituyendo valores

La velocidad transversal será = 4⎡⎢ 3 ⎜⎛ − 1 ⎟⎞ − 7 3⎤ = -3,79 cm
⎣ 4 ⎝ 2 ⎠ 4
vt = dy = 25× 0,8π cosπ (1,25x − 0,80t) y 2 ⎥
dt ⎦

= 20π (1,25x − 0,80t) cm/s Ejemplo 6. Una onda sinusoidal que viaja en la
dirección positiva x tiene una amplitud de 15 cm, una
Ejemplo 5. Un foco puntual realiza un movimiento longitud de onda de 40 cm y una frecuencia de 8 Hz.
periódico representado por la ecuación. El desplazamiento de la onda en t = 0 y x = 0 es 15
Las unidades están en el sistema cgs. cm
a) Determinar el número de onda, el período, la
y = 4 cos 2π ⎜⎛ t + x ⎟⎞ frecuencia angular y la rapidez de onda.
⎝ 6 240 ⎠
b) Determinar la constante de fase ϕ, y se escribirá una
Se pide determinar: expresión general para la función de onda.

a) La velocidad de la onda. Solución.
a) Utilizando las ecuaciones estudiadas obtenemos:
b) La diferencia de fase para dos posiciones de la

misma partícula cuando el intervalo de tiempo 2π 2π = 0,157 / cm
λ 40
transcurrido es de 1 s k = =

c) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos 1 1
f 8
partículas separadas 210 cm. T = = = 0,125 s

d) Si el desplazamiento, y, de una determinada

partícula en un instante determinado es de 3 cm, ω = 2πf = 2π (8) = 50,3 rad/s

determinar cuál será su desplazamiento 2 s más tarde

Solución. v = λf = (40)(8) = 320 cm/s

a) La velocidad de propagación de la onda es: b) Puesto que la amplitud A = 15 cm, y como se tiene

v = λ = 240 = 40 cm y = 15 cm en x = 0 y t = 0, obtenemos
T 6 s
15 = 15sen(− ϕ ) ⇒ sen(− ϕ ) = 1
La velocidad es de sentido contrario al positivo del eje
Esto puede comprobarse por simple observación
x. puesto que la función coseno está desplazada 90º

b) La diferencia de fase es

6

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

respecto de la función seno. Sustituyendo los valores a) Si a un período T le corresponde una diferencia de
de A, k y ω en esta expresión, se obtiene
fase 2π:
y = 15cos(0,157t − 50,3x)cm
a Δt le corresponde una diferencia de fase Δϕ
Ejemplo 7. La ecuación de una onda armónica que se
propaga en una cuerda es Δϕ = 2πΔt = 2π 5 ×10−4 = π rad
T 10 −3
y = 25sen(1,25πx − 0,8πt)
b) Si a una longitud de onda λ le corresponde una
Donde x se expresa en cm y t en segundos.
a) Determinar cual es el desfase para dos partículas de diferencia de fase 2π:
la soga posicionadas en 2cm y 30cm
b) Cual es la distancia mínima entre 2 partículas del a Δx le corresponde una diferencia de fase Δϕ
medio cuyo desfase es de π/3.
Solución. Δϕ = 2πΔx = 2π 2,75 ×10−2 = π rad
λ 33 ×10−2 6
a) y = 25sen(2,5π − 0,8πt) = 25cos 0,8πt
y = 25sen(37,5π − 0,8πt) = − 25cos 0,8πt c) Δx = λΔϕ = 0,33× π /6 = 0,11 m
2π 2π
El desfase es π rad
Ejemplo 9. Sometemos al extremo de una cuerda
tensa a vibraciones sinusoidales de 10Hz. La mínima
distancia entre dos puntos cuyas vibraciones tienen una

diferencia de fase π / 5 es de 20 cm, calcular:

a) La longitud de onda.
b) La velocidad de propagación.

Solución.
a) Si la diferencia de fase para dos puntos separados 20

cm es π / 5 , a diferencia de fase para una longitud de

onda λ es 2π.

El desfase entre esos dos puntos en todo instante será Luego λ = 2π 20 = 200 cm = 2 m
π5
igual a π rad.
b) La velocidad de propagación
b) 1,25πx2 − 1,25πx1 = π ⇒ v = λf = 2m x 10s-1 = 20 m/s
3
Ejemplo 10. Una onda tiene por ecuación:
11
y(x,t) = 5senπ (4x − 20t + 0,25), expresada en el
x2 − x1 = 3(1,25) = 3,75 = 0,27 cm
sistema CGS. Determinar la amplitud, la frecuencia, la
Otra forma
longitud de onda, el número de onda, la frecuencia
Si 2π corresponde a 1,6 cm., cuando corresponde a angular, la fase inicial y la velocidad de propagación.

π : Solución
3 La ecuación general de la onda es:

1,6 × π y(x,t) = yosen(kx − ωt + ϕ )
2π 3
d = = 1,6 = 0,27 cm = yosen 2π ⎜⎛ x − t + ϕ ⎞⎟
6 ⎝ λ T 2π ⎠

que comparada con la dada:

Ejemplo 8. La velocidad de propagación de una onda y(x, t ) = 5sen2π ⎜⎛ 2x − 10t + 1 ⎞⎟
es de 330 m/s, y su frecuencia, ⎝ 8 ⎠
103 Hz. Calcúlese:

a) La diferencia de fase para dos posiciones de una resulta: y0 = 5 cm , T = 1 s
misma partícula que se presentan en intervalos de f
tiempo separados 5 x 10-4 s.
b) La diferencia de fase en un determinado instante ⇒ f =1 = 10 Hz , λ= 1 cm ,
T 2
entre dos partículas que distan entre sí
2,75 cm. π
4
c) La distancia que existe entre dos partículas que se k = 4 cm−1 , ω = 20π r rad/s , ϕ = rad ,
encuentran desfasadas 120°.

Solución. 1 ×10 5 cm/s
2
λ = v = 330 = 0,33m , T = 1 = 10−3 s v = λf = =
f 103 f

7

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

Ejemplo 11. Sometemos al extremo de una cuerda a c) v1 = ω1 = 8π =8 cm ,
un vibrador que le produce una onda sinusoidal. Si la k1 π s
ecuación de la vibración escrita en el sistema
v2 = ω2 = 5π = 5 cm
y = 5sen0,2πt , propagándose en la cuerda con una k2 4π 4 s

velocidad de 10 cm/s. Determine la ecuación de la d) Para x = 150 cm, obtenemos:
onda producida.

Solución. vy1(150,t) = 32π cos(8πt −150π )
La ecuación de la onda que se propaga el sentido
= 32π cos8πt
negativo del eje OX es:

y(x,t) = y0sen 2π ⎜⎛ x + t + ϕ ⎟⎞ si v y1 es máxima, entonces:
⎝ λ T ⎠
cos8πt = ±1 8πt = nπ n
⇒ y(x,t) = y0sen 2π ⎜⎛ t + ϕ ⎞⎟ ⇒ ⇒ t = 8 s
⎝ T ⎠
En v y2 será:
Comparando con la dada: y(0,t ) = 5sen0,2πt
vy2 (150,t) = −30π cos(600π − 5πt)
y0 = 5 cm , 2π = 0,2π →T = 10 s , ϕ =0
T = − 30π cos 5πt

Además como En el máximo:

λ = vT → λ = 10 ×10 = 100 cm cos 5πt = ±1 ⇒ 5πt = nπ ⇒ t = n s
5
De aquí
e) Para t = 0, entonces: vy1 (x,0) = 32π cosπx
y(x, t ) = 5sen2π ⎛⎜⎝ 10x0 + t ⎟⎞
10 ⎠ y para que sea máxima:

cosπx = ±1 ⇒ πx = nπ ⇒ x = n

Ejemplo 12. Las ecuaciones de dos ondas escritas en Para vy2 , será: vy2 (y,0) = −30π cos 4πx
el sistema CGS vienen dadas por:
y para que sea máxima:
y1(x,t) = 4sen2π (4t − 0,5x) e
cos 4πx = ±1 ⇒ 4πx = nπ ⇒ x = n
y2 (x,t) = 6sen(4πx − 5πt) 4

Calcular en cada caso: Ejemplo 13. Sometemos al extremo de una cuerda
a) Velocidad en función del tiempo, de un punto tensa a un vibrador que le produce vibraciones
situado a 10 cm del foco. sinusoidales. Por este efecto se propaga por la cuerda
b) Velocidad máxima de ese punto. una onda transversal que tiene por ecuación:
c) Velocidad de fase.
d) ¿En qué instante alcanza su velocidad máxima un y(x,t ) = 10 senπ (1,6x − 0,8t ), expresada en el
punto situado a 1,5 m del foco?
e) Posición de los puntos que tienen velocidad máxima sistema CGS.
en t = 0. a) ¿Qué condiciones iniciales nos determinan esta
ecuación de onda?
Solución. b) Determínese para esta onda su amplitud, velocidad
de propagación y longitud de onda.
y1(x,t) = 4sen(8πt − πx) , c) Tiempo que tarda en comenzar a vibrar una
partícula de la cuerda situada a 10 cm del extremo en
y2 (x,t) = 6sen(4πx − 5πt) que se encuentra el vibrador y ecuaciones horarias del

a) vy1(x,t) = ∂y1 = 32π cos(8πt − πx) movimiento de el1a [ y(t) , v(t ), a(t )] una vez
∂t
transcurrido éste.
vy2 (x,t) = ∂y2 = −30π cos(4πx − 5πt)
∂t ( )d) Dibujar la forma que tiene la cuerda [ y t ] cuando

Cuando x = 10 cm, entonces: han transcurrido 5,625 s del comienzo de la vibración
(perfil de la onda).
vy1(10,t) = 32π cos(8πt −10π ) = 32π cos8πt
Solución.
vy2 (10,t) = −30π cos(40π − 5πt) = a) Si hacemos x = 0 y t = 0, tendremos:

− 30π cos 5πt y(0,0) = 10 sen0 = 0

b) En valor absoluto: vy1max = 32π cm v(x,t) = ∂y = −8π cosπ (1,6x − 0,8t)
s
∂t
vy2 max = 30π cm
s ⇒ v(0,0) = −8π < 0

La ecuación dada nos determina que en el extremo de
la cuerda en que se encuentra al vibrador x = 0 y para

8

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

t = 0 es cuando comienza a actuar el vibrador con lo que quiere decir es que a partir de esta distancia la
movimiento vibratorio armónico dirigido hacia abajo cuerda se encuentra en reposo, con lo que la gráfica
(en el sentido negativo del eje y. La onda se propaga en (forma de la cuerda en ese instante) será la de
la dirección positiva del eje x.
b) Como la ecuación general de una onda sin fase

inicial (y = 0)es:

y(x,t) = y0 sen2π (kx − ωt) = y0 sen2π ⎛⎜ x − t ⎞⎟
⎝ λ T ⎠

Comparándola con la dada:

y(x,t) = 10 senπ (1,6x − 0,8t) La ecuación es

= 10 sen2π (0,8x − 0,4t) y(x) = 0 ⇒ 2π (0,8x − 2,25) = nπ ⇒

De aquí x = n + 4,5
1,6
y0 = 10 cm , λ = 1 = 1,25cm ,
0,8 Hay cinco valores de x para y(x) = 0 .

T = 1 = 2,5s , f =1 = 0,4Hz , x0 corresponde a n = 0 ⇒
0,4 T
x0 = 0 + 4,5 = 2,8125cm
1,6
v = λf = 1,25 × 0,4 = 0,5cm/s

c) La partícula comenzará a vibrar transcurrido un x-1 corresponde a n = -1 ⇒

tiempo t, tal que: x−1 = −1 + 4,5 = 2,1875cm
1,6
x = vt ⇒ t = x = 10 =20 s
v 0,5

Pasado éste, la partícula comienza a vibrar con x-2 corresponde a n = -2 ⇒

movimiento armónico de ecuación: x− 2 = − 2 + 4,5 = 1,5625cm
1,6
x = 10cm ⇒ y(t) = 10 sen2π (8 − 0,4t)

Luego:

v(t) = dy = −8π cos 2π (8 − 0,4t) x-3 corresponde a n = -3 ⇒

dt x−3 = − 3 + 4,5 = 0,9375cm
1,6
a(t ) = dv = d2y = −6,4π 2 sen2π (8 − 0,4t )
dt dt 2
x-4 corresponde a n = -4 ⇒
Obsérvese que el origen de las elongaciones para este
4 + 4,5
movimiento vibratorio armónico se encuentra a 20 s x− 4 = − 1,6 = 0,3125cm

del comienzo de la actuación del vibrador. El signo

menos de la velocidad nos indica que comienza a

moverse hacia abajo (sentido negativo del eje y), y, por VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN EN FUNCIÓN
tanto, la partícula se encuentra en fase con el vibrador. DE LAS PROPIEDADES DEL MEDIO.

(El tiempo 20 s = 8 T nos indica que han transcurrido 8 Forma simple de calcular la velocidad de la onda en
períodos y, por tanto, la partícula se encuentra a una cuerda en función de las propiedades del
medio. Supongamos que tenemos una cuerda de masa
8 λ = 10 cm de distancia del origen, y la forma de la
por unidad de longitud μ , que esta estirada por una
cuerda hasta esa partícula será 8 “bucles” hacia abajo
fuerza de tensión T. Un pulso se propaga en la cuerda.
del eje y y otros tantos hacia arriba).

d) t = 5,625 s ⇒ y(x) = 1sen2π (0,8x − 2,25)

Intersección con eje y: x = 0 ⇒

y(0) = −10 sen4,5π = −10cm

lo que nos indica que el vibrador se encuentra en su
máxima elongación (amplitud) y por debajo del origen.

Intersección con eje x:

El trozo de cuerda que se ha puesto en movimiento en Tomamos un pequeño elemento Δl de la cuerda se

ese tiempo será: muestra en la figura.

x = vt = 0,5 x 5,625 = 2,8125 cm, correspondiente a

2,8125 λ = 2,25λ = 2λ + λ
1,25 4

9

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

Ejemplo 15. Una onda y = Asen(k1x − ω1t ) viaja

por una cuerda de densidad de masa lineal μ y tensión
T. Diga, para cada una de las ondas que se dan a
continuación, si pueden viajar por la misma cuerda
simultáneamente con la onda dada. ¿Por qué? ¿Bajo
qué condición?

Este elemento, de longitud, en la parte más elevada de y1 = Asen(k1x + ω2t )
la onda, está sujeto a la tensión de la cuerda en los dos y2 = Asen(k2 x + ω1t )
sentidos de propagación de la onda. Podemos dibujar y3 = Asen(k2 x + ω2t)
una circunferencia de radio R, en que R es la amplitud y4 = Asen(k1x + ω1t )
de la onda. Este elemento de la cuerda, considerado
Siendo ω1 ≠ ω2 y k1 ≠ k2
bien pequeño, está en el lado de un triángulo cuyo
Solución.
ángulo opuesto está dado por Δθ . Instantáneamente, La velocidad de propagación es única;

es como si este elemento de cuerda estuviese en v = T = ω1 , por lo tanto, la relación ω1 esta
movimiento en una trayectoria circular de radio R, con μ k1 k1
velocidad v; la velocidad de la onda.
Aplicando la segunda ley de Newton al segmento de

cuerda Δl Δθ Δθ determinada o fija.
2 2
∑ Fx = ma y ⇒ T cos − T cos =0 y1 . No puede viajar, se requiere: ω2 = ω1 , lo que
k1 k1
∑ Fy = ma y ⇒ − 2Tsen Δθ = −Δmac
2 nos lleva a una falsedad, contra lo supuesto,

v2 Δθ ω2 = ω1
R 2
ac = . Como es pequeño, podemos y2 . No puede viajar, por que similar al caso anterior:

considerar sen Δθ ≈ Δθ ω1 = ω1 también nos lleva a una falsedad contra lo
2 2 k2 k1

Reemplazando: supuesto, k2 = k1

2T Δθ = μRΔθ v2 ⇒ T = μv2 y v = T y3 . Si puede viajar, bajo la condición: ω2 = ω1
2 R μ k2 k1

Obtenemos la velocidad de la onda en la cuerda en y4 . Si puede viajar, por que tienen igual ω1 y k1
función de las propiedades de la cuerda: su tensión y
su densidad lineal. es la misma onda que viaja en sentido contrario.

Ejemplo 14. La cuerda Si de un mandolina tiene 0,34 Ejemplo 16. Una cuerda de masa M y longitud l
m de largo y tiene una densidad linear de 0,004 kg/m.
El tornillo de ajuste manual unido a la cuerda se ajusta cuelga del techo de una habitación.
para proporcionar una tensión de 71,1 N. ¿Cuál a) Probar que la velocidad de pulso transversal en
entonces es la frecuencia fundamental de la cuerda? función de la posición cuando se propaga a lo largo de
Solución.
ella es v = gx , siendo x la distancia al extremo
f1 = v = 1 T = 1 71,1N
2L 2L μ 0,004 kg m libre.
2(0,34m) b) Probar que un pulso transversal recorrerá la cuerda

en un tiempo 2 l g .

= 196 Hz

Un instrumento de cuerda tal como una guitarra es Solución.
templada ajustando la tensión en una cuerda por medio
de un tornillo de ajuste manual. La longitud de la
cuerda es fija, así que el ajuste de la tensión da la
frecuencia fundamental. Otras frecuencias
fundamentales pueden ser alcanzadas acortando la
longitud de la cuerda presionando en un traste.
Finalmente, varias cuerdas de diversas densidades se
utilizan para dar una gama de las velocidades de la
onda, de tal modo proporcionando el acceso a una
mayor gama de frecuencias fundamentales.

10

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

a) La velocidad del punto P es v = T , la tensión T ∂2y denota la aceleración vertical del elemento de
μ ∂t 2

en ese punto es debido a la cuerda que cuelga de cuerda.

longitud x, cuya masa es μx y su peso T = μgx . Como tan α1 = ⎜⎛ ∂y ⎟⎞ , tan α 2 = ⎜⎛ ∂y ⎟⎞
⎝ ∂x ⎠1 ⎝ ∂x ⎠2
Luego v = μgx = gx
μ y, Δm = μΔl = μ Δx ≈ μΔx
cosθ
b) para encontrar el tiempo de recorrido del pulso
se tendrá
v = dx = gx ⇒ dt = dx
dt gx μΔx ∂2 y = T ⎡⎢⎣⎝⎛⎜ ∂y ⎞⎟ − ⎛⎜ ∂y ⎞⎟ ⎤
∂t 2 ∂x ⎠2 ⎝ ∂x ⎠1 ⎥
∫⇒ t = l dx = 2 l ⎦

0 gx g ó

ECUACION DE LA ONDA. ∂2 y = T ⎣⎢⎡⎛⎝⎜ ∂y ⎞⎟ − ⎛⎜ ∂y ⎞⎟ ⎤
Ondas transversales en una cuerda. En esta parte ∂t 2 μ ∂x ⎠2 ⎝ ∂x ⎠1 ⎥
trataremos la ecuación de la onda y su solución, ⎦
considerando el caso particular de la onda transversal Δx
en una cuerda, resultado que es general también para
los demás casos. Llevando al límite cuando Δx → 0, obtenemos

∂2 y = T ∂2 y
∂t 2 μ ∂x 2

Ecuación diferencial del movimiento.

Como la velocidad de propagación de una onda en una

cuerda tensa es v = T , por lo que la ecuación
μ

diferencial de la onda la escribimos como:

La cuerda tiene una masa uniforme μ por unidad de ∂2 y = v2 ∂2 y
∂t 2 ∂x 2
longitud y está sometida a una tensión T. Sobre esta
cuerda esta viajando una onda transversal. Cuya solución es la ecuación de la onda
Consideremos un elemento de longitud (de 1 a 2)
como se muestra en la figura, sobre este elemento y = Asen(kx − ωt)
actúan dos fuerzas externas a él, que la jalan en cada
extremo debido al resto de la cuerda. Estas fuerzas son comprobación
de igual magnitud que la tensón de la cuerda.
La fuerza horizontal sobre este elemento es: ∂2 y = − Aω2sen(kx − ωt),
∂t 2

∑ Fx = T1 cosα 2 − T2 cosα1 = 0 ∂2 y = − Ak 2sen(kx − ωt)
∂x2
si la curvatura de la cuerda no es muy grande
Reemplazando

cosα1 ≅ cos α 2 − Aω2sen(kx − ωt) = −v2 Ak 2sen(kx − ωt)

de aquí concluimos que T1 ≈ T2 ≈ T ⇒ v=ω
k
La fuerza vertical sobre el elemento es:
Expresión válida para toda onda, ya que ω k
∑ Fy = T senα 2 − T senα1
corresponde a la velocidad de propagación de la onda.
Si los desplazamientos transversales de la cuerda no
son muy abruptos, podemos considerar que, Sen De manera similar podemos encontrar la velocidad de
propagación de la onda para:
α ≅ tanα a) Ondas longitudinales en una barra de metal de

Luego, densidad ρ módulo de elasticidad Y.

∑ Fy = T (tanα 2 − tanα1 )

Que será la fuerza total neta que actúa sobre el Y
ρ
elemento Δx considerado. vL =

Aplicando la segunda ley de Newton,

∑ Fy = Δma y = Δm ∂2 y
∂t
2

11

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

b) Ondas transversales en una barra de metal de v =transversal T= Mg ⇒
μ ρπR 2
densidad ρ módulo de elasticidad cortante o de
cizalladura G.

vT = G v =transversal 150 × 9,8
ρ 7,8 ×103 × π 25 ×10−8

c) Ondas longitudinales en un gas de densidad ρ = 490 m
módulo de compresibilidad volumétrica B. s

v= B Ejemplo 19. Se tiene un alambre de acero de 1,3 mm
ρ de diámetro, sabiendo que 5 m de este alambre se
alarga 0,5 mm con una carga de 2,1 kg. (densidad del
Ejemplo 17. Para el cobre el modulo de elasticidad acero, 7,8 g/cm3)
volumétrica es 14 x 1010 N/m2 y la densidad es 8920 a) Calcule el módulo de Young en el acero.
kg/m3. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el cobre? b) Calcule la velocidad de propagación de una onda

Solución. Solución.

v= B= 14 ×1010 = 3960 m/s Donde ρ, la densidad es un valor conocido igual a 7,8
ρ 8920 g/cm3.

a) El módulo de Young Y puede calcularse de

Ejemplo 18. A un alambre de acero (Módulo de Y = F A = Fl =
Young: Y = 2,0 x 1011 N/m2, densidad del acero: ρ = Δl l AΔl
7,8 g/cm3) que tiene un diámetro de 1 mm y 4 m de [ ( ) ]( )(2,1× 9,8)(5)
longitud, lo colgamos del techo, calcular: = 15,5 x 1010 N/m2
a) El alargamiento del alambre cuando de su extremo π 1,3 ×10−3 2 4 0,5 ×10−3
libre colgamos un peso de 150 kg. b) La velocidad de propagación del sonido en el acero
b) La velocidad de propagación de las ondas viene dada por
longitudinales y transversales a lo largo del alambre
cuando el cuerpo está suspendido. v= Y= 15,5 ×1010 = 4458 m/s
ρ 7,8 ×103

Ejemplo 20. Una cuerda de piano de longitud 40 cm,
sección 0,4 mm2 y densidad 7,8 g/cm3, emite un sonido

fundamental cuando se aproxima un diapasón de
frecuencia 218 Hz.

a) Determine la tensión a que está sometida.
b) Si la tensión se multiplica por 4, ¿cómo se modifica

la frecuencia de su sonido fundamental?

Solución.

Solución. a) En este caso λ =L⇒ λ = 2L =0,8 m
2
a) Δl = F ⇒
l YA La velocidad de las ondas es: v = λ f = 0,8 x 218 =

Δl = Mgl = 150 × 9,8 × 4 174,4 m/s
YπR2 2 ×1012π 25 ×10−8 La velocidad de las ondas transversales en la cuerda
tensa está dada por:

= 37,4 x 10-3 m v = T ⇒ T = μv2
μ
b) La velocidad de propagación de las ondas

longitudinales lo largo del alambre La densidad lineal es: μ = m = mA = ρA = (7,8 x
L LA
v =longitudinal Y= 2 ×1011 = 5,06 ×103 m
ρ 7,8 ×103 s 103)(0,4 x 10-6) = 3,12 x 10-3 kg/m

La velocidad de propagación de las ondas transversales Finalmente T = μ v 2 = (3,12 x 10-3)(174,4)2 = 94,9 N
a lo largo del alambre
b) En este caso la velocidad de las ondas transversales
es:

v' = 4T = 2 T = 2v .
μμ

12

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

La longitud de onda no cambia y la nueva frecuencia
será:

f ' = v' = 2v = 2 f = 2 x 218 = 436 Hz.
λλ

Ejemplo 21. A un resorte cuya masa es 200 g y cuya A un elemento de masa Δm en el punto P se le da una
longitud natural cuando está colgado de un punto fijo
es 4 m, se le pone una masa de 100 g unida a su energía cinética a medida que un pulso de onda pasa
extremo libre.
Cuando esta masa se encuentra en equilibrio, la con una velocidad v .
longitud del resorte es 4,05 m. Determinar la velocidad
de propagación de las ondas longitudinales en el
resorte.

Solución.

Ondas longitudinales en un resorte. Para el tiempo t = 0, un pequeño segmento de la cuerda
alrededor del punto P de la figura anterior, con masa
v = Y , para un resorte Y = kl o , ρ = μ
ρ AA Δm y longitud Δl , está en reposo y no tiene energía

luego para el resorte v = kl o cinética. El movimiento hacia arriba y hacia abajo
μ proporciona la energía requerida para iniciar el pulso a
lo largo de la cuerda. A medida que el borde que
l 0 = 4m , Δl = l − l o = 4,05 – 4 = 0,05 m
encabeza el pulso alcanza P, el segmento Δl
F = kΔl ⇒ k = Mg = 0,1× 9,8 = 19,6 N
Δl 0,05 m comienza a moverse hacia arriba. A medida que la

μ = m = 0,2 = 5 ×10−2 kg cresta de la onda pasa el segmento Δl , el segmento se
lo 4 m
mueve a su posición más alta y empieza de nuevo a
finalmente bajar, teniendo energía cinética mientras está en
movimiento. Cuando el pulso entero ha pasado P, el
v= kl o = 19,6 × 4 = 39,6 m
μ 5 ×10−2 s segmento Δl regresa al reposo y de nuevo no tiene

energía cinética. El progreso del pulso a lo largo de la
cuerda corresponde al flujo de energía a lo largo de la
cuerda. Otro tipo de pulso, incluyendo un pulso que
viaja a través del aire, transferiría energía a lo largo de
la dirección de la propagación de modo similar.

¿Cuánta energía se ha transferido al pasar P durante un

ENERGÍA E INFORMACIÓN TRANSFERIDA tiempo t ? Para una onda armónica que viaja en una

MEDIANTE ONDAS cuerda, cada punto se mueve con movimiento
Tenemos la experiencia de energía transferida por
ondas en muchas situaciones. Sentimos la fuerza de armónico simple en la dirección transversal (y).
una ola en el océano, nuestra piel siente el calor de las
ondas luminosas del sol, escuchamos las ondas de Como vimos anteriormente, en ausencia de
sonido. Además, la mayor parte de la información que
recibimos nos llega mediante ondas. El habla y la amortiguamiento, la energía total de un oscilador
música se transmiten por ondas de sonido, la radio y la
televisión por ondas electromagnéticas. La luz armónico es igual a su energía potencial en el
reflejada por la cual usted lee esta página es una onda.
¿Cómo depende la energía (y en consecuencia la desplazamiento máximo A , es decir, 1 kA 2 .
información) transmitida por las ondas de las 2
propiedades de las ondas? Para responder esta
pregunta antes debemos considerar cómo es transferida También vimos que la relación entre masa, constante
la energía por un solo pulso. Luego, ampliaremos los
resultados con el fin de tener una expresión para la k del oscilador (no es el número de onda k ) y
energía de una onda armónica.
1 k . Si tratamos el segmento
frecuencia es f = 2π m

de la cuerda como un oscilador armónico con masa

Δm que se mueve a la frecuencia f, podemos

acomodar la ecuación para obtener una constante de

( )salto efectiva k = 2πf 2 Δm . La energía asociada

con el movimiento de este segmento de la cuerda es

entonces

ΔE = 1 kA 2 = 1 (2πf )2 ΔmA2
2 2

13

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

ΔE = 2π 2Δmf 2 A2 W/m2. La sensación de sonido más o menos fuerte
depende de la frecuencia además de la intensidad del
Ahora tenemos un resultado importante: la energía de mismo.
una onda depende del cuadrado de la amplitud de la
onda. Así, una onda con el doble de amplitud de otra Ejemplo 22. Una cuerda de densidad lineal 480 g/m
onda equivalente (con la misma frecuencia, el mismo está bajo una tensión de 48 N. Una onda de frecuencia
medio) tendrá energía cuatro veces mayor. 200 Hz y amplitud 4,0 mm recorre la cuerda. ¿A qué
razón la onda transporta energía?
Para encontrar la rapidez del flujo de energía, o
Solución.
potencia, observamos que Δm se puede escribir corno
ρSΔl , donde ρ es la densidad, S el área de la ω = 2πf = 2π (200) = 400π rad
sección transversal y Δl la longitud del segmento de s
la cuerda. En un tiempo Δt , la onda con rapidez v
recorre una longitud Δl = vΔt , de manera que v= T= 48N = 10 m
podemos sustituir Δm = ρSvΔt dentro de la ecuación μ 0,48kg m3 s

para ΔE . Obtenemos una expresión para la energía P = 1 μvμ 2 A2
transportada en el tiempo Δt . 2
ΔE = 2π 2 Sρvf 2 A2Δt
= (0,5)(0,48)(10)(400π )2 (0,004)2 = 61 W
La rapidez a la cual se propaga la energía a lo largo de
la cuerda es la potencia P. Ejemplo 23. La conversación normal se desarrolla a
cerca de 60 dB. ¿A qué nivel de intensidad
P = ΔE = 2π 2 Sρvf 2 A2 corresponde?
Δt
Solución.
El parámetro más útil generalmente es la intensidad
60 = 10 log10 I , ⇒ I = 106
I , que se define como la potencia que fluye a través I0 I0

de un área unidad. Para este caso, la intensidad en ⇒ I = 106 I 0 = 10-6 W/m2
watts por metro cuadrado (W/m2) es:
Ejemplo 24. Una fuente emite el sonido
I = P = 2π 2 ρvf 2 A2 uniformemente en todas las direcciones en un nivel de
S la energía de 60 W. ¿Cuál es la intensidad una
distancia de 4 m de la fuente?
Aunque este resultado lo hemos derivado para el caso
especifico de ondas en una cuerda, dan la dependencia Solución.
correcta de la densidad del medio, la velocidad de la
onda, la frecuencia y la amplitud apropiada para La potencia se distribuye sobre la superficie de una
cualquier onda armónica viajera.
esfera de área A = 4πr 2 .
El oído humano puede acomodarse a un intervalo de
intensidades sonoras bastante grande, desde 10-12 I = P = 60 = 0,30W/m2
W/m2 aproximadamente (que normalmente se toma 4πr 2
como umbral de audición), hasta 1 w/m2 4πr(4)2
aproximadamente que produce sensación dolorosa en
la mayoría de las personas. Debido a este gran Ejemplo 25. A una distancia de 5 m de una fuente el
intervalo y a que la sensación fisiológica de fuerza nivel de sonido es 90 dB. ¿A qué distancia el nivel ha
sonora no varía directamente con la intensidad, se bajado a 50 dB?
utiliza una escala logarítmica para describir el nivel de
intensidad de una onda sonora. Solución.

Nivel de Intensidad. I1 = P y I2 = P de aquí I2 = r12
4πr12 4πr22 I1 r22
El nivel de intensidad, β , se mide en decibelios (dB)
β1 = 10 log10 I1 = 90dB , ⇒ I1 = 109
y se define: I0 I0

β = log I , donde I es la intensidad del sonido, e Similarmente,
I0
β2 = 10 log10 I2 = 50dB , ⇒ I2 = 105
I 0 es un nivel de referencia cuyo valor es de 10-12 I0 I0

W/m2 que escogemos como la unidad de audición. Luego I2 105 = 10−4 = r12
En esta escala, el intervalo de intensidad sonora para el I1 = 109 r22
oído humano es de 0 dB a 120 dB, que corresponden a
intensidades a partir de 10-12 W/m2 hasta cerca de 1 ⇒ r2 = 102 r1 = 500 m

14

Movimiento ondulatorio y ondas Hugo Medina Guzmán

REFLEXION DE ONDAS
Ahora veremos que sucede con una onda al llegar a un
extremo que la confina; para este estudio
consideraremos una perturbación en una cuerda,
primero veremos cuando el extremo esta rígidamente
atado a la pared y la cuerda no tienen posibilidad de
desplazamiento en ese punto. Luego veremos el caso
en que la cuerda tiene posibilidad de desplazamiento
vertical en el punto de atadura. Esta propiedad de las
ondas que aquí introducimos se aplica a todas las
ondas.

Primer Caso.- Extremo fijo PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE ONDAS -
Cuando el pulso de una onda llega al extremo más
alejado de una cuerda que esta fija a una pared en ese INTERFERENCIA
extremo, la onda no se detiene repentinamente, sino Tratamos en este punto el efecto combinado de dos o
que es reflejada. Si no se disipa energía en el extremo más ondas que viajan en el mismo medio. En un medio
lejano de la cuerda, la onda reflejada tiene una lineal, esto es, en un medio en que la fuerza de
magnitud igual a la de la onda incidente; sin embargo, recuperación es proporcional al desplazamiento del
la dirección de desplazamiento se invertirá (vea mismo, se puede aplicar el principio de superposición
figura). Esta inversión sucede porque a medida que el para obtener la perturbación resultante. Este principio
pulso encuentra la pared, la fuerza hacia arriba del es aplicable a muchos tipos de ondas, incluyendo las
pulso en el extremo tira hacia arriba sobre la pared. ondas en cuerdas, ondas sonoras, ondas superficiales
Como resultado, de acuerdo con la tercera ley de en el agua y ondas electromagnéticas. El término
Newton, la pared tira hacia abajo sobre la cuerda. Esta interferencia se empleó para describir el efecto
fuerza de reacción hace que la cuerda estalle hacia producido al combinar dos ondas que se desplazan
abajo, iniciando un pulso reflejado que se aleja con una simultáneamente a través de un medio.
amplitud invertida (o negativa).
Principio de superposición.
El principio de superposición establece que, cuando
dos o más ondas se mueven en el mismo medio lineal,
la onda resultante en cualquier punto es igual a la suma
algebraica de los desplazamientos de todas las ondas
componentes.

Segundo Caso.- Extremo Libre Ejemplo 26. Entre dos barras paralelas se mantiene
Si la cuerda tiene libertad para moverse en su extremo tensa una cuerda mediante dos anillos, como se indica
lejano. De nuevo, un pulso de onda que viaja a lo largo en la figura. Se perturba la cuerda partiendo de un
de la cuerda se refleja cuando alcanza ese extremo (vea desplazamiento inicial como el indicado en la figura
figura). Pero en este caso vemos que la onda reflejada (muy exagerado en la misma). La longitud de la cuerda
tiene la misma dirección de desplazamiento que la es d y la velocidad de propagación de las ondas
onda incidente. A medida que el pulso alcanza el transversales en dicha cuerda es v.
extremo de la cuerda, ésta se mueve en respuesta al Cuánto tiempo transcurrirá hasta que la cuerda alcance
pulso. A medida que el extremo de la cuerda empieza a un estado igual al representado si:
regresar a su posición, inicia un pulso inverso a lo a) Los anillos pueden moverse libremente a lo largo
largo de la cuerda, justamente como si el movimiento de las barras.
final se debiera a alguna fuerza externa. El resultado es b) Un anillo está fijo.
un pulso exactamente igual al pulso de onda incidente. c) Están fijos los dos anillos.
Pero viajando en el sentido contrario.

15