Fisica 4 _Óptica - Hugo Medina Guzmán

ÓPTICA Hugo Medina guzmán

sen  n 
d

Derivando

cos d  n d
d

d  n d Cuando la luz viaja en el vidrio y es reflejada en la
d cos interfase entre el vidrio y el aire, no hay cambio de
fase.
  n 
d cos Un cambio de fase de 180º se produce cuando las
ondas de luz se reflejan de un medio que tiene un
n = 1 espectro de primer orden. índice de refracción más alto que el índice del
medio en el que la
d = 1/150000 separación de las rejillas las ondas esta viajando.

m  5986  5980 = 5983 x 10-10 m, longitud de LA CUÑA DE AIRE
2 Cuando dos vidrios planos se ponen en contacto en
uno de sus bordes, formando una cuña delgada de
onda promedio aire, como se muestra en la figura. Y esta
iluminada por una fuente de luz monocromática,
cos  1  sen2  1   n m 2 un observador verá franjas de interferencia.
 d  Debido a la longitud del camino aumenta
gradualmente desde la línea de contacto, el
 1 2 observador ve una serie de bandas
1// 150000  alternativamente claras y oscuras.
  Espesor de una cuña de aire
1  5893  1010 m El área donde las dos láminas están en contacto
aparece oscura porque la luz reflejada de la
= 0,996 superficie inferior esta desfasada 180º con la luz
 = 5986 x 10-10 - 5980 x 10-10 = 6 x 10-10 m reflejada de la superficie superior. Cuando la
separación de las dos superficies es un cuarto de la
   1150000 6 1010 = 9,036 x 10-5 rad longitud de onda de la luz, las dos ondas de luz
0,996 reflejadas están en fase, dando lugar a una banda
brillante. Habrá otra región oscura donde el
b) La resolución de la retícula de la retícula de espesor de la cuña de aire es la mitad de la
longitud de onda de la luz incidente. El espesor t
difracción es igual a nN, donde N es el número de la cuña de aire en cada banda oscura es
total de líneas en la retícula.
e  m
m  nN  N  m 2
 n
m es un entero que indica el número de bandas
 58931010 cm oscuras a la línea de contacto.
1 6 1010 cm
 N = 982 líneas

Siempre y cuando la rejilla de difracción sea lo

suficientemente amplia para contener 982 líneas,

las líneas amarillas del sodio tendrán resolución
suficiente en el primer orden.

CAMBIO DE FASE EN LA REFLEXIÓN
Cuando la luz viaja en el aire e incide sobre la
superficie del vidrio, la onda reflejada sufre un
cambio de fase de 180 °.

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Podemos utilizar cuñas de aire para medir el a) Calcular el ángulo entre los dos vidrios.
grosor de objetos muy pequeños.
b) Si las dos placas están separadas por un pedazo
Ejemplo 17. Una hoja delgada se coloca entre dos
placas de vidrio como se muestra en la figura, Una de papel cuyo borde está a 3,4 cm del contacto
luz de longitud de onda 5,5 x 10-7 m ilumina las
placas. Cuando se mira hacia las placas, se ve 25 entre las dos placas, calcule el espesor del papel.
franjas oscuras.
a) ¿Cuál es el espesor de la hoja? Solución
b) Si la distancia L a lo largo de placa superior
desde la línea a la franja oscura 25 es 4,00 cm. a) Como las franjas están separadas 2 mm, la
¿Cuál es el ángulo entre las placas?
distancia de la línea de contacto a la primera franja

es 2 mm. Así se puede encontrar el espesor de la

cuña en la franja por primera vez usando la

ecuación e  m para m = 1.
2

 e  m  1 5,40 107 = 2,70 x 10-7 m.
22

sen  e  2,70 107 = 1,35 x 10-4
L 2,00 103

  0,00773º

b) Con sen  e 
L

 e  Lsen  3,4cm1,35104 = 4,59 x 10-

4cm

Solución. Usando e  m , con m = 24, porque la ANILLOS DE NEWTON
2 Cuando una lente plano-convexa con su superficie
convexa sobre una lámina de vidrio plano, se
banda oscura en contacto es m = 0. forma una capa de aire entre la lente y la lámina de
espesor que aumenta gradualmente hacia el
Tenemos exterior. El espesor de la película en el punto de
contacto es cero. Si se hace incidir normalmente
 e  24 5,5 107 = 6,60 x 10-6 m. en la lente luz monocromática, se ven en la luz
2 reflejada anillos concéntricos claros y oscuros
alternadamente alrededor del punto de contacto.
b) Por trigonometría Estos anillos fueron descubiertos por primera vez
por Newton, por eso se llaman anillos de Newton.
sen  e  6,60 106  1,65 104
L 4,00 102 Después de la refracción y reflexión se tienen los
rayos 1 y 2.
  0,00945º Los anillos de Newton se forman debido a la
interferencia entre las ondas de luz reflejadas de la
Ejemplo 18. Dos vidrios planos tienen uno de sus superficie superior y la inferir de la cuña de aire
bordes en contacto y un poco separados en el otro formada entre la lente y el vidrio plano.
extremo. Las franjas oscuras paralelas están
separadas 2 mm. La longitud de onda de la luz que
produce las franjas es 540 nm.

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Explicación. r2  2Re  e2
El fenómeno de la formación de los anillos de R  e
Newton se explica con la teoría ondulatoria de la r2  2R e (1)
luz.
Se forma una película de aire de espesor variable En películas delgadas, la diferencia de caminos
entre la lente y la lámina de vidrio. para interferencia constructiva es
Cuando un rayo de luz incide sobre la superficie
superior de la lente, se refleja y refracta. 2ne   m  1 
Cuando el rayo refractado incide sobre la hoja de  2
vidrio, se produce un cambio de fase de 180 º en la
reflexión. e   m  1  
La interferencia es constructiva si la diferencia de  2  2n
camino entre ellos es (m + 1/2)  .
La interferencia es destructiva si la diferencia de Donde n es el índice de refracción.
caminos entre ellos es m. Para el anillo brillante 1
De esta manera se producen alternadamente anillos m = 0.
claros y oscuros. Para el anillo brillante 2
m = 1.
Radios de los anillos Para el anillo brillante 3
m = 2.
Sea el radio de curvatura de la lente convexa R y el …………..
radio del anillo es r. …………..
La longitud de la onda incidente . Para el anillo brillante N
Estos rayos interfieren entre sí produciendo anillos m = N -1
alternos brillantes y oscuros.
En el punto de contacto con el espesor de la e   N -1 1  
película de aire es cero y la diferencia de caminos  2  2n
es también es cero, la diferencia de camino es  se
produce, por lo que se anulan entre sí y se tiene en   N - 1   (2)
el centro un anillo oscuro.  2  2n
A medida que nos alejamos del punto central,
cambia la diferencia de caminos y se obtienen Reemplazando (2) en (1).
anillos claros y oscuros alternadamente.
Sea e el espesor de la capa. r2  R N - 1  
Utilizando la geometría tenemos  2n

BD BE  AB BC Esta es expresión nos da el radio del anillo
brillante N
r  r  e2R  e N = número de anillo
R = radio de curvatura de la lente
 = Longitud de onda de la luz
n = índice de refracción de la película

Para cuña de aire n = 1.

Aplicación. Control de superficies ópticas

También se observan patrones de interferencia con
otras combinaciones de superficies.
Por ejemplo
1- Una superficie esférica y una plana.

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1,322  9,5R  (2)
n2

Dividiendo (1) entre (2):

2- Dos superficies esféricas convexas enfrentadas. 1,502  9,5R
1,322 

9,5R
n2

n2  1,502  1,29
1,322

El índice de refracción del líquido es 1,29.
b)

3- Una superficie convexa y una cóncava. Sea x = 1,50 cm, x =  0,1 cm
Error relativo de x2

x2  2 x  2 0,01  0,006
x2 x 1,50

En cada caso se altera la expresión para los radios También
de los máximos y mínimos.
y = 1,32 cm, y =  0,1 cm
Error relativo de y2

y2  2 y  2 0,01  0,0075
y2 y 1,32

Ejemplo 19. El diámetro del décimo anillo El índice de refracción es el cociente
brillante al alcance visto por reflexión en un
aparato de Newton cambia de 1,50 cm a 1,32 cm z  x2  1,29
cuando se introduce líquido entre la lente y la y2
placa. La lente está en contacto con la placa en el
centro. Su error relativo
a) ¿Cuál es el índice de refracción del líquido?
b) Si los diámetros tienen una precisión de ± 0,1 z  x2  y2
mm, ¿cuál es la precisión del resultado? z x2 y2
Solución.
El radio del anillo brillante N está dado por  0,01333 0,1515  0,02848

r2  R N - 1   Error absoluto
 2n
z  z z   1,290,02848  0,367
N = número de anillo
R = radio de curvatura de la lente z
 = Longitud de onda de la luz
n = índice de refracción de la película La precisión del resultado es  0,04.

El décimo anillo con aire (n1 =1). Ejemplo 20. Demostrar que en un experimento de
los anillos de Newton en el que el patrón de de
r2  R10 - 1   (1) franjas se ve con luz reflejada que incide
 2  n1 normalmente a la superficie del plano se cumple
101
rp2  rq2  R p  q .
1,502  9,5R
Donde  es la longitud de onda de la luz usada,
El décimo anillo con líquido (n2). R es el radio de curvatura de la cara inferior de la
lente, y
R10 1   rp y rq son los radios de los anillos de ordenes p y
 2  n2 q del sistema.

r2  -

1 0 2

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R2 = (R – e)2 + BA2

 BA2 = 2Re’ – e’2.

Siendo e muy pequeño e2 es ignorable en

comparación con 2Re.

Por consiguiente
BA2 = 2Re.

Solución. Si BA es el radio de la franja de interferencia, rp

La interferencia se produce entre los rayos rp2  2R e  e  rp2 (2)
reflejados en la cara inferior de la lente y los 2R
reflejados de la superficie plana.
No hay cambio de fase en la reflexión en la Reemplazando (2) en (1):
superficie en la parte inferior de la lente, que es de
un medio más denso a un medio menos denso p  2 rp2    
2R 2
En la superficie plana (aire – vidrio) hay un
cambio de fase de  , equivalente a un incremento rp2  R p  1  (3)
de /2 en la trayectoria.  2 

En general las dos superficies no están en contacto Similarmente para la franja de orden q.
y la diferencia de camino entre los haces que se
interfieren es rq2  R q  1  (4)
 2 
S  2t  
2 Restando (4) de (3):

Por otra parte S  p para la franja de orden p. rp2  rq2  R p  1   R q  1  
 2   2 
Luego, para la franja de orden p.
rp2  rq2  R p  q
p  2e   (1)
2 Siempre es conveniente utilizar esta fórmula, ya
que uno nunca puede garantizar que la lente y la
Para encontrar t en función de R y rp. placa están en contacto. Sólo tiene que medir las
Del gráfico diferencias de orden entre dos anillos y no tratar de
CA2 = CB2 + BA2 encontrar el orden absoluto de un anillo en
Como CA = R y CB = R – e particular.
Se tiene
Ejemplo 21. Una lente delgada de gran distancia
focal está sujeta horizontalmente a una corta
distancia (d0) del extremo plano pulido de un
cilindro de acero. El cilindro tiene 5 cm de altura y
su extremo inferior se mantiene fijo. Se producen
anillos de Newton entre la lente y el extremo
superior del cilindro, utilizando luz incidente
normalmente de longitud de onda 6000 Á, visto
desde arriba por medio de un microscopio. Cuando
la temperatura del cilindro se eleva 25º C, pasan
por el retículo del microscopio 50 anillos.
¿Cuál es el coeficiente de expansión lineal del
acero?

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2d0  d   n  m  LT  n  m 
  n  m

2LT
Durante el proceso de calentamiento, (n – m)

franjas brillantes deben haber pasado sobre el

alambre cruzado. Por lo tanto.

  n  m   50cm 6 105cm

2LT 25 cm25º C

= 1,2 x 10-5 º C

Solución. EL INTERFERÓMETRO DE MICHELSON

Inicialmente el cilindro tiene una longitud L, y hay

un espacio d0 entre la parte superior del cilindro y
la superficie inferior de la lente en la porción de la

cuña de aire visto en el microscopio en la misma

posición que los alambres cruzados. Se forman

anillos de Newton en la cuña de aire.

Para que haya una franja brillante en el cruce de

cables se debe cumplir El interferómetro de Michelson es un dispositivo
que utiliza la interferencia de la luz para medir
2d0   n  1  (1) distancias, o los cambios de distancias, con gran
 2  precisión.

n es un entero desconocido. Longitud de onda de la luz visto con un
interferómetro de michelson

Después de calentar al cilindro a través de una

diferencia de temperatura T
La longitud del cilindro es
L’ = L (1 +  T)
 es el coeficiente de dilatación lineal de acero
La separación se ha reducido a
d = d0 - L T  d0 - d = L T.

Si una franja brillante se ve de nuevo en la La segunda superficie de la placa de vidrio M
semiplateada para que el 50% de la luz se refleje y
posición de la retícula, el 50% se transmita. Los dos haces de luz vuelven
al ojo del observador por los espejos M1 y M2.
Entonces, 2d   m  1  (2) Cuando M1 se mueve una distancia  x, la
 2 diferencia de camino entre las dos haces de luz es
de 2 x. Sí n representa el número de franjas que
m es un número entero. el observador ve cuando el espejo móvil se
desplaza una distancia x, entonces la longitud de
Restando (2) de (1): onda de la luz emitida por la fuente se puede
calcular de la siguiente ecuación:
2d0  2d   n  1    m  1  
 2  2

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  2x  x  280 5 107 = 0,070 x 10-3 m = 0,070 mm.
n 2
POLARIZACIÓN DE LA LUZ.
EJEMPLO 22. Cuando el espejo movible en un La luz es una onda transversal, tal que las
interferómetro de Michelson se mueve una oscilaciones de la luz son perpendiculares a la
distancia de 0,25 mm, se ve un corrimiento de 800 dirección de propagación. La mayoría de las
franjas. Calcular la longitud de onda de la luz. fuentes de luz producen luz sin polarizar. Esto
Solución. significa que el campo eléctrico vibra en
Aplicando la ecuación direcciones al azar, aunque siempre
perpendiculares a la dirección de propagación.
   2x  2 2,5 104 = 6,25 x 10-7 m
n 800 En un haz de luz polarizada, el campo eléctrico
vibra en una sola dirección.
Ejemplo 23. El interferómetro de Michelson se Lafigurasiguientemuestraunaondaelectromagnética plana
ilumina con luz de longitud de onda 546 nm. polarizada linealmentequeavanzaenladirección z.
Cuando el espejo se mueve una pequeña distancia El campo eléctrico está en la dirección x.
se observa un cambio de 120 franjas. El campo magnético está en la dirección y.
Calcular la distancia que el espejo se ha movido.
Solución. POLARIZACIÓN POR MEDIO DE
La distancia que el espejo se mueve es POLARIZADOR.

 x  n  120 5,46 107 Polarizador o filtro polarizador es un material con
22 transmitancia selectiva a una determinada
= 3,28 x 10-7 m dirección de oscilación del campo eléctrico de una
onda electromagnética como la luz. Cuando un haz
El espejo se mueve 0,0328 mm. de luz no polarizada atraviesa dicho material, la
luz transmitida queda polarizada. Un filtro
Ejemplo 24. Cuando el espejo móvil de un polarizador puede disminuir la intensidad
interferómetro de Michelson se desplaza una
distancia de 0,2 mm, se ve un corrimiento de 625
franjas. Calcule la longitud de onda de la luz que
se utiliza.
Solución. Usando

  2x
n

Tenemos

   2 2 104 = 6,4 x 10-7 m.
625

Ejemplo 25. Cuando el espejo móvil de un
interferómetro de Michelson se desplaza una
distancia pequeña, se ve un corrimiento de 280
franjas. Si la longitud de onda es 500 nm, ¿qué
distancia se desplaza el espejo?
Solución. Usando

  2x  x  n
n2

Tenemos

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luminosa de un haz de luz polarizado e incluso polarizador puede descomponerse en dos
bloquear su paso. La magnitud de dicha reducción componentes: una paralela y otra perpendicular a
depende, en un filtro polarizador lineal, de la la dirección de transmisión del analizador. Como
inclinación respectiva entre el plano de resultado, sólo la componente paralela, de
polarización del haz de luz y el plano polarizador amplitud igual a Ecos, será transmitida por el
del filtro según la ley de Malus. analizador.
La luz transmitida será máxima cuando  = 0º, es
Ley de Malus decir cuando ambos ejes de transmisión sean
La luz se encuentra caracterizada por dos campos paralelos, y nula para  = 90º, ángulo para el cual
vectoriales ortogonales entres sí: el campo dichos ejes se encuentran perpendiculares entre sí.
Para ángulos intermedios, como la intensidad de la


eléctrico E y el magnético B , y que a su vez se
luz es proporcional al cuadrado de la amplitud E ,
propaga en dirección ortogonal al plano formado
por estos dos. Las ondas transversales pueden se obtiene la siguiente relación
clasificarse sobre la base de las características del I = I0 cos2
campo eléctrico que las describen. Decimos que la I0 es la intensidad de la luz incidente
onda está polarizada si el campo eléctrico vibra en I, la intensidad de la luz transmitida
forma predecible, no aleatoria, a lo largo del  el ángulo formado por las direcciones de
tiempo, ya sea siempre en una dirección fija a lo transmisión del polarizador y del analizador.
largo de una línea (polarización lineal) o rotando a
una frecuencia determinada alrededor de la Esta relación es conocida como Ley de Malus y
dirección de propagación (polarización elíptica). pone en evidencia la relación lineal existente entre
Cabe aclarar que existe un caso particular de esta la intensidad de luz transmitida y el coseno
última, llamado polarización circular. En cuadrado del ángulo .
contraposición a la luz polarizada, la luz natural
proviene de un gran número de emisores atómicos Ejemplo 26. Un haz de luz pasa a través de do
orientados al azar, por lo que constantemente se
emiten nuevos trenes de onda y varía el estado de polarizadores cuyos ejes de transmisión forman un
polarización de la onda resultante, siendo
imposible determinar un estado de polarización. ángulo de 70º entre sí. La intensidad de la luz

La figura muestra una onda de luz incide sobre un detectada es I70º. sí se cambia al ángulo a 45º,
polarizador con el eje en posición vertical, sólo se encontrar el valor de la intensidad.
transmite el campo eléctrico en esa dirección y la
luz queda linealmente polarizada. Solución.
De acuerdo con la le de Malus, el máximo de la

intensidad I0 ocurre cuando los ejes son paralelos.
Pero cuando forman un ángulo de 70º entre sí.

I70º  I0 cos 70º  0,117I0  I0  1 I70º
0,117

Mientras que a 45º

I45º  I0 cos 45º  0,5I0
Reemplazando I0:

I 4 5º  0,5 1 I70º 
 0,117 

 4,27I70º

Cuando se coloca un segundo polarizador, llamado Ejemplo 27. Una hoja polarizadora (polaroid) no
es un polarizador perfecto. Cuando la luz
analizador, cuyo eje de transmisión posee cierto polarizada cae en ella, transmite una fracción
ángulo θ con respecto al primero, la luz importante  de la intensidad incidente cuando el
eje vibración de la luz es paralelo a su eje de
linealmente polarizada transmitida por el primer

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transmisión; pero transmite una pequeña fracción I1  I0   I0
 de la intensidad incidente cuando los dos ejes 2 2
son perpendiculares entre sí.
Supongamos que tres hojas de Polaroid están  I0    
dispuestas axialmente, la primera y la última
cruzada y la del medio girada 45 º con respecto a 2
las otras dos.
¿Qué fracción de la intensidad luminosa de un haz Paso por la segunda hoja.
inicialmente no polarizado pasa a través del
sistema?
Solución.
La figura a continuación muestra el paso de la luz
a través de de las tres hojas polaroid dispuesta
axialmente pero orientadas en forma diferente

Paso por la primera hoja. Ingresa I1 y sale I2.
Todas las vibraciones en la luz incidente no I1, es un haz polarizado plano y pasa según la
polarizada se pueden descomponer en dos orientación con factor  y perpendicular a la
direcciones perpendiculares, estas direcciones orientación con factor  , luego
coincidentes con el eje de transmisión del polaroid
y un eje perpendicular a este. Por simetría la I2  I1 cos2 45ºI1sen2 45º
intensidad de vibración en cada una de estas
direcciones será de I /2.   I0     1    I0     1 
Después de la transmisión a través de la polaroid
primero las intensidades en los dos sentidos serán 2 2 2 2

 I y  I . Como la luz incidente no esta  I0    2
22
4
polarizada, estos dos haces no tienen relación de Paso por la tercera hoja
fase fija entre sí, por lo tanto pueden ser
considerados como incoherentes, y, aun cuando Ingresa I2 y sale I3.
vuelva a vibrar en la misma dirección, no pueden I2, es un haz polarizado plano y pasa según la
interferirse unos con otros. orientación con factor  y perpendicular a la
orientación con factor  , luego
La intensidad del haz incidente es I0
El haz que sale tiene una intensidad I1 I3  I2sen2 45ºI2cos2 45º

  I0    2 1    I0    2 1 

4 2 4 2

 I0    3

8
La fracción de la intensidad haz incidente no
polarizado que pasa a través del sistema es

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I3  1    3

I0 8

Esto no es cierto para haces de luz coherente.

Ejemplo 28. Luz no polarizada de intensidad I0 El eje de polarización de la hoja forma 90º con la
incide sobre dos láminas de polarización cuyos dirección de vibración de la onda.
I1  I0 cos 2 90º  0
ejes son perpendiculares.
Con dos hojas
a) ¿Cuál es la intensidad de la luz transmitida?
Las orientaciones de los ejes de polarización de las
b) ¿Cuál será la intensidad de transmisión si una hojas están orientados con respecto a la dirección
de vibración de la onda polarizado los valores
tercera hoja se coloca entre los dos primeros con indicados en la figura.
Después de la primera hoja,
su eje a 45º al de ellos? I1  I0 cos2 45º  0,5I0
Después de la segunda hoja,
Solución. I2  I3 cos2 45º  I0 cos4 45º  0,25I0
0,25 < 0,5, no cumple.
a) Primera hoja
Con tres hojas.
Incide I0, como es luz no polarizada solamente
pasa la luz que está orientada con el eje del Las orientaciones de los ejes de polarización de las
hojas están orientados con respecto a la dirección
polarizador, pasa I0/2. de vibración de la onda polarizado los valores
Segunda hoja indicados en la figura.
Después de la primera hoja,
Incide I0/2 I1  I0 cos2 30º
Pasa I1 Después de la segunda hoja,
I2  I1 cos2 30º  I0 cos4 30º  0,56I0
I1  I0 cos2 90º  0 Después de la tercera hoja,
2 I3  I2 cos2 30º  I0 cos6 30º  0,42I0
0,42 < 0,5, no cumple.
No se transmite luz.
Con cuatro hojas.
b) Con tres hojas

El ángulo entre cada dos hojas es 45º

Después de la primera hoja,

I1  I0 .
2

Después de la segunda hoja,

I2  I1 cos2 45º  I0 1  0,25I0
2 2

Después de la tercera hoja,

I3  I2 cos2 45º  I0 1  0,125I0
4 2

La intensidad de transmisión es

0,125 I0.

Ejemplo 29. Supongamos que se desea girar el
plano de polarización de un haz de luz polarizada
90º pero se desea que la intensidad no sea inferior
al 50 % de la intensidad inicial.
¿Cuál es el número mínimo de hojas de
polarización que se debe utilizar?
Solución.
La hoja final debe estar orientada a 90 ° con el
plano de polarización incidente.
Con una hoja

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Las orientaciones de los ejes de polarización de las Como I  0,25I0
hojas están orientados con respecto a la dirección
de vibración de la onda polarizado los valores Tenemos
indicados en la figura.
Después de la primera hoja, 0,25I0  I0 cos6  
I1  I0 cos2 22,5º º 2
Después de la segunda hoja,
I2  I1 cos2 22,5º  I0 cos4 22,5º  0,72I0 cos6   0,5 

Después de la tercera hoja, cos  0,89 
I3  I2 cos2 22,5º  I0 cos6 22,5º  0,62I0
Después de la cuarta hoja,   27º
I4  I3 cos2 22,5º  I0 cos8 22,5º  0,53I0
0,53 > 0,5, si cumple. El ángulo  es 27º.
Son necesarias cuatro hojas.
POLARIZACIÓN DE LA LUZ POR
REFLEXIÓN

Ejemplo 30. Dos polarizadores tienen sus ejes a Si la luz no polarizada incide sobre una superficie
lisa en un ángulo llamado ángulo de Brewster, la
40º entre sí. Luz no polarizada de intensidad I0 luz reflejada es completamente polarizada con el
que incide sobre ellos. ¿Cuál es la intensidad de campo eléctrico de vibración paralela a la
superficie reflectante, como se ilustra en la Figura.

transmisión?

Solución.

Primer polarizador

Por simetría la intensidad de vibración incidente

en cada una de estas direcciones será de I 0/2.

Pasa I1  I0
2

Segundo polarizador

Incide I1  I0 El ángulo de incidencia que hace que la luz se
2 refleje al 100% polarizada está dado por

Pasa n2
n1
I2  I0 cos 2   I0 cos 2 40º tan p 
2 2
Donde n2 es el índice de refracción de la
 0,29I0
superficie, y n1 es el índice de refracción del

Ejemplo 31. Luz no polarizada incide sobre cuatro medio.
hojas de polarización, sí cada una de ellas se rota
un ángulo  de aquel de las hojas adyacentes. Ejemplo 32. Luz viajando en el aire (n = 1,0003)
Encontrar  si el 25 por ciento de la intensidad
incidente se transmite por las hojas. incide sobre una superficie lisa de vidrio cuyo
Solución.
Similar al caso anterior índice de refracción es 1,54. Encontrar el ángulo
Ingresa luz no polarizada de intensidad I0 al
primer polarizado, luego pasa tres polarizadores de incidencia que hace que la luz reflejada quede
girados un ángulo  con respecto al anterior.
La intensidad final es completamente polarizada.

 I  I0 cos2  3 Solución. Directamente de la ecuación del ángulo
2
de incidencia para el 100 % de polarización.

tan p  n2  1,54  1,540
n1 1,0003

 p  57,0º

ÓPTICA Hugo Medina guzmán

Ejemplo 33. Cuando luz no polarizada incide

sobre una superficie de aguas tranquilas, la luz

reflejada esta 100% polarizada cuando el ángulo

de incidencia es 53,05º. Encontrar el índice de

refracción del agua.

Solución. Usando la ecuación

tan p  n2  n2  n1 tan p Solución.
n1
Si la dirección de trasmisión hace que un ángulo
Reemplazando datos
pequeño con la vertical, la mayor parte de la
n2  1,0003tan53,05º  1,33
radiación pasa al aire y solo una pequeña fracción

es reflejada al fondo del océano para producir

Ejemplo 34. Un rayo de luz que viaja en el aire ecos. La cantidad reflejada aumenta con el ángulo

incide sobre una pieza de plástico transparente hasta se alcanza el ángulo crítico, la reflexión es

cuyo índice de refracción es 1,40. Calcule el total, y el eco llega a ser molesto.

ángulo de incidencia que hará que la luz reflejada De esta situación se deduce el índice de refracción

quede completamente polarizada. del agua para la radiación que se utiliza es

Solución. Usando la ecuación. n2senc  n1sen90º

tan p  n2 n2 = índice de refracción del agua
n1
n1 = índice de refracción del aire

Con n1 = 1,0003, n2 = 1,40 n2  n1  1  1 2  1,414
senc sen45º 22
Tenemos

tan p  n2  1,40  1,3998 Cuando el submarino ha emergido, se puede
n1 1,0003
producir un haz plano completamente polarizado

 p  54,5º por reflexión en el ángulo de Brewster de la

superficie del mar.

Ejemplo 35. El capitán de un submarino equipado tan p  n2  1,414
con un transmisor direccional encuentra que recibe n1 1
ecos del fondo del mar cuando está sumergido si la
dirección de transmisión forma un ángulo de 45º El ángulo requerido es
con la vertical. Él desea transmitir un mensaje a un
agente en un país extranjero usando radiación que  p  54,75º
esté completamente polarizada horizontalmente,
ya que todos los otros receptores en la localidad
usan sistemas de antenas verticales.
¿A qué distancia de la costa debe emerger a la
superficie si su agente tiene una casa en la cima de
un acantilado de 150 m de altura y tiene la
intención de polarizar la radiación por reflexión en
la superficie del mar? Tome la ubicación del
transmisor a 3,60 m sobre el nivel del agua cuando
el submarino ha emergido.

Luego, la distancia del submarino desde el
acantilado es

ÓPTICA Hugo Medina guzmán

d  150  3,60  153,60 = 217,26 El ángulo de Brewster (p) es i
tan35,25º tan35,25º 0,707 Por la ley de la reflexión

m p = 1 = ’1
Por condición del problema
Ejemplo 36. Mirando con las gafas de sol
Polaroid, se puede decir que la luz que estamos tan p  sen1  n2
viendo está polarizada porque el eje de transmisión cos1 n1
de las gafas es vertical. Rote las gafas y la luz
polarizada aparecerá alternadamente clara y Por la ley de Snell
oscura. La luz puede ser total o parcialmente
polarizada por la reflexión, con la luz reflejada con n1sen1  n2 cos2
su plano de polarización paralelo a la superficie
reflectante. La luz en material del índice n1 De estas condiciones obtenemos
reflejado a partir de material con un índice n2 se
polariza totalmente si el ángulo de incidencia es el sen1  n2 cos1  n2 sen2 , cos1  sen2
ángulo de Brewster , donde tan = n2/n1. n1 n1
Determinar el ángulo entre el rayo reflejado y el
rayo refractado cuando la luz incide con ángulo . 1 y 2 son complementarios
Luego

1 2  90º

El ángulo entre el rayo reflejado y el rayo

refractado es 90º

El rayo reflejado es perpendicular al rayo

refractado.

Solución.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

Problema 1. Un haz laser ( = 632,8 nm) incide del centro del patrón. ¿Cuál es la longitud de
sobre dos rendijas separadas 0,200 mm. ¿Cuán onda?
separadas estarán las franjas brillantes en una Respuesta
pantalla a 5,00 m de distancia de la doble rendija? 515 nm
Respuesta
1,58 cm Problema 2. En el experimento de Young de la
doble rendija realizado con luz de 589 nm
Problema. Un experimento de Young la y a la pantalla a una distancia de 2,00 m de las
interferencia se realiza con luz monocromática. La rendijas. El décimo mínimo de interferencia se
separación entre las rendijas es 0,500 mm, y el observa a 7,26 mm del máximo central.
patrón de interferencia en una pantalla a 3,30 mm Determinar la distancia entre rendijas.
de distancia muestra el primer máximo a 3,40 mm Respuesta

ÓPTICA Hugo Medina guzmán

Problema 3. Dos rendijas paralelas separadas Para interferencia constructiva de luz reflejada
0,250 mm están iluminadas por luz verde ( =
546,1 nm). El patrón de interferencia se observa en m  2nt 2
una pantalla a 1,20 m del plano de las rendijas. m 1
Calcular:
a) La distancia del máximo central a la primera Para m = 0, 0 = 1620 nm (infrarrojo)
región brillante en ambos lados del máximo Para m = 1, 1 = 541 nm (verde)
central. Para m = 0, 2 = 325 nm (ultravioleta)
b) La distancia entre la primera y segunda banda Las luces roja y ultravioleta son invisibles al ojo
oscura.
Respuesta humano, luego el color dominante en la luz
a) reflejada es el verde.

b) La luz dominante en la transmisión es la que

produce interferencia destructiva de luz reflejada

y = 2,62 mm m  2nt
b) m

y = 2,62 mm Para m = 1, 1 = 812 nm (cerca al infrarrojo)
Problema 4. Una película de aceite (n = 1,45) que Para m = 2, 2 = 406 nm (violeta)
flota sobre el agua está iluminada por luz blanca Para m = 3, 3 = 271 nm (ultravioleta)
en incidencia normal. La película es de 280 nm de La única longitud de onda visible al ojo humano es
espesor. Encontrar
a) el color de la luz en el espectro visible más y por consiguiente la longitud dominante
fuertemente reflejada y
b) el color de la luz en el espectro de transmisión observada en la transmisión es 406 nm, el color
con más fuerza. Explique su razonamiento.
dominante en la luz transmitida es violeta.
Respuesta
a) Problema 5. Una película delgada de aceite (n =
1,25) se encuentra sobre el pavimento suave
húmedo. Cuando se ve el pavimento
perpendicularmente, la película refleja con más
fuerza la luz roja de 640 nm y no refleja la luz azul
de 512 nm. ¿Cuál es el espesor de la capa de
Aceite?
Respuesta
512 nm

Problema 6. Un medio posible para hacer un
avión invisible al radar es cubrirlo con un
polímetro antireflejo. Si las ondas de radar, tienen
una longitud de onda de 3,00 cm y el índice de
refracción del polímero es n = 1,50, ¿cuál es el
espesor que debe tener la capa?
Respuesta
0,500 cm

ÓPTICA Hugo Medina guzmán

Problema 7. Un material que tiene un índice de Respuesta
refracción 1,30 se utilice como revestimiento El radio del alambre es 4,35 m.
antirreflectante para una pieza de vidrio (n = 1,5).
¿Cuál debe ser el espesor mínimo de esta película Problema 12. El espejo E1 en la figura se desplaza
con el fin de minimizar la reflexión de la luz de una distancia L. Durante este desplazamiento, se
500 nm? cuenta el corrimiento de 250 bandas (formación de
Respuesta sucesivas bandas oscuras o brillantes). La luz que
96,2 nm se utiliza tiene una longitud de onda 632,8 nm.
Calcular el desplazamiento L.
Problema 8. Una película de MgF2 (n = 1,38) de
espesor 1,00 x 10-5 cm se utiliza para recubrir la
lente de una cámara. ¿Alguna longitud de onda del
espectro visible se intensificó en la luz reflejada?
Respuesta
Toda la reflexión máxima esta en la ultravioleta y
mas allá.
No hay luz visible intensificada.

Problema 9. Un haz de luz de 580 nm pasa a
través de dos placas de vidrio muy juntas, como se
muestra en la figura. ¿Para qué valor mínimo
distinto de cero de la separación d de las placas la
luz de transmisión es brillante?

Respuesta.

L  m   39,4m
4

Problema 10. Cuando se introduce un líquido en Problema 13. Luz monocromática es transmitida
el espacio de aire entre la lente y la placa de un en un interferómetro de Michelson.
dispositivo de anillos de Newton, el diámetro del El espejo móvil se desplaza 0,382 nm, haciendo
décimo anillo cambia de 1,50 a 1,31 cm. Encontrar que el patrón de interferencia se reproduzca a si
el índice de refracción del líquido. mismo 700 veces.
Respuesta Determinar la longitud de onda de la luz. ¿De qué
nlíquido = 1,31 color es?
Respuesta.

L  m   39,4m
4

Problema 11. Una cuña de aire se forma entre dos
placas de vidrio separadas en un extremo por un
alambre muy fino, como se muestra en la figura.
Cuando la cuña se ilumina desde arriba con luz de
600 nm y se ve desde arriba, se observan 30
franjas oscuras. Calcular el radio del alambre.