PERTEMUAN 1 Penggunaan bilangan pecahan dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh ayah mempunyai sebuah kue, kue tersebut dipotong menjadi empat bagian sama besar. Bagian yang sama besar ini dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan. Ada berbagai bentuk bilangan pecahan yaitu pecahan biasa, pecahan campuran, pecahan desimal, dan pecahan persen, dan pecahan senilai. A. Pengertian Pecahan Senilai Suatu pecahan dikatakan senilai apabila pecahan-pecahan tersebut mempunyai pembilang dan penyebut yang berbeda, tetapi nilai pecahannya sama.Untuk menentukan pecahan senilai kita dapat mengalikan ataupun membagikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama. B. Metode Penetapan Pecahan Senilai Pecahan senilai dapat disajikan dalam beberapa model pecahan senilai seperti berikut. 1. Menentukan Pecahan Senilai dengan Gambar. Daerah gambar lingkaran di atas dibagi menjadi beberapa bagian yang sama. Bilangan di bawah masing-masing gambar menunjukkan luas daerah yang diarsir yaitu 1/2,2/4, 4/8.Karena luas daerah yang diarsir pada masing-masing gambar tersebut sama, maka pecahan bernilai sama, dan disebut pecahan-pecahan senilai. 2. Menentukan Pecahan Senilai dengan Garis Bilangan.
Jika nilai pecahan pada garis bilangan di atas berada pada garis putus-putus yang sama, maka pecahan tersebut senilai. Misalnya sebagai berikut 1/2,2/4,3/6,4/8 dimana pecahan-pecahan tersebut senilai dan berada pada garis putus-putus. 3. Menentukan Pecahan Senilai dengan mengalikan atau membagikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama. Berdasarkan contoh di atas dapat dikatakan bahwa pecahan yang senilai dapat diperoleh, jika pembilang dan penyebut dari suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama. Selanjutnya, perhatikan hubungan pecahan-pecahan berikut. Berdasarkan contoh di atas dapat dikatakan bahwa pecahan yang senilai dapat diperoleh, jika pembilang dan penyebut dari suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama. Selanjutnya, perhatikan hubungan pecahan-pecahan berikut. C. Contoh Soal dan Pembahasan Pecahan Senilai 1. Tentukan 3 pecahan yang senilai dengan 2/3! Jawab: 2/3=(2 x 2)/(3 x 2)=4/6 2/3=(2 x 3)/(3 x 3)=6/9 2/3=(2 x 4)/(3 x 4)=8/12 Jadi, 3 pecahan yang senilai dengan 2/3 adalah 4/6, 6/9, dan 8/12.
2. Tentukan 5 pecahan yang senilai dengan 28/42! Jawab: 28/42=(28 x 2)/(42 x 2)=56/84 28/42=(28 x 3)/(42 x 3)=84/126 28/42=(28 x 4)/(42 x 4)=112/168 28/42=(28∶2)/(42∶2)=14/21 28/42=(28∶14)/(42∶14)=2/3 Jadi, 5 pecahan yang senilai dengan 28/42 adalah 56/48, 84/126, 112/168, 14/21, dan 2/3. Pecahan biasa adalah pecahan yang memiliki angka atas lebih besar daripada angka bawahnya, seperti 5/2. Pecahan campuran terdiri dari angka bulat dan pecahan, seperti 21/2. Biasanya lebih mudah untuk membayangkan 21/2 piza daripada “lima per dua” piza. Jadi, keterampilan untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran sangat berguna. Pembagian adalah cara tercepat untuk melakukannya, tetapi ada cara yang lebih mudah jika Anda mengalami kesulitan dengan cara pertama. Metode 1 Menggunakan Pembagian 1. Mulailah dengan pecahan biasa. Kita akan menggunakan 15/4 sebagai contoh kita. Ini adalah pecahan biasa karena pembilangnya, 15, lebih besar daripada penyebutnya, 4.Jika Anda belum merasa nyaman dengan pecahan atau pembagian, mulailah dengan contoh di bawah ini. 2. Tulislah ulang pecahan biasa itu sebagai soal pembagian. Tulislah pecahannya sebagai soal pembagian panjang. Selalu tuliskan pembilang dibagi dengan penyebutnya. Dalam contoh kita, 15 ÷ 4
3. Mulailah menyelesaikan soal pembagiannya. Tinjaulah pembagian panjang terlebih dahulu jika Anda tidak yakin dengan apa yang harus dilakukan. Contoh ini akan lebih mudah untuk diikuti jika Anda menuliskan soal pembagian panjangnya saat Anda membacanya: Bagilah digit pertamanya, 1 dengan 4. Angka 1 tidak dapat dibagi dengan 4. Jadi, kita harus memasukkan digit selanjutnya. Bagilah dua digit pertamanya, 15 dengan 4. Berapa 15 dibagi dengan 4? Jika Anda tidak yakin, tebak dan periksalah jika Anda memiliki jawaban yang benar menggunakan perkalian. Jawabannya adalah 3. Jadi, tulislah 3 di baris jawabannya, di atas angka 5. 4. Carilah sisanya. Kecuali angka-angkanya dapat dibagi dengan habis, maka akan ada sisa pembagiannya. Berikut adalah cara mencari sisa dari soal pembagian panjang: Kalikan jawabannya dengan angka pembaginya (angka yang berada di kiri). Dalam contoh kita, 3 x 4. Tulislah jawabannya di bawah angka yang dibagi (angka yang berada di bawah tanda pembagi). Dalam contoh kita, 3 x 4 = 12. Jadi, tulislah 12 di bawah 15. Kurangkan hasilnya dari angka yang dibagi: 15 - 12 = 3. Ini adalah sisanya.
5. Tulislah pecahan campurannya menggunakan hasil Anda. Pecahan campuran terdiri dari angka bulat ditambah dengan pecahan. Setelah menyelesaikan soal pembagian Anda, Anda sudah mendapatkan semua yang Anda butuhkan untuk menulis pecahan campuran ini: a) Angka bulatnya adalah jawaban soal pembagian Anda. Dalam soal ini, angka bulatnya adalah 3. b) Pembilang dari pecahannya adalah sisa pembagian. Dalam soal ini, pembilangnya adalah 3. c) Penyebut dari pecahannya sama seperti penyebut pada pecahan awal. Dalam soal ini, penyebutnya adalah 4. d) Tulislah nilai-nilai ini sebagai pecahan campuran: 33/4. Metode Tanpa Pembagian 1. Tulislah pecahannya. Pecahan biasa adalah pecahan berapa pun yang memiliki angka atas yang lebih besar daripada angka bawahnya. Misalnya, 3/2 adalah pecahan biasa karena 3 lebih besar dari 2. Angka atas pada suatu pecahan disebut pembilang. Angka bawahnya disebut penyebut. Cara ini membutuhkan waktu yang lama untuk pecahan-pecahan yang besar. Jika pembilangnya jauh lebih besar daripada angka bawahnya, cara pembagian di atas jauh lebih cepat. 2. Ingatlah pecahan-pecahan yang bernilai sama dengan satu. Tahukah Anda bahwa 2 ÷ 2 = 1 atau bahwa 4 ÷ 4 = 1? Sebenarnya, angka berapa pun yang dibagi dengan
angka itu sendiri sama dengan satu. Pecahan pun juga demikian, seperti 2/2 = 1, 4/4 = 1, bahkan 397/397 sama dengan 1! 3. Bagilah pecahan menjadi dua bagian. Kedengarannya mudah untuk mengubah suatu pecahan menjadi angka bulat. Ayo lihat jika kita bisa mengubah pecahan biasa kita: Untuk 3/2, penyebutnya (angka bawah) adalah 2. 2/2 merupakan pecahan yang mudah untuk disederhanakan karena angka atas dan bawahnya sama. Kita ingin mengeluarkannya dari pecahan yang lebih besar dan mencari tahu sisanya. Tulislah berikut ini: 3/2 = 2/2 + ?/2.
4. Carilah bagian keduanya. Bagaimana cara kita mengubah tanda tanya itu menjadi sebuah angka? Jika Anda tidak tahu cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan, jangan khawatir. Saat penyebutnya (angka bawah) sama, kita bisa membiarkan penyebut itu dan mengubah soal menjadi penjumlahan biasa. Berikut adalah panduan langkah demi langkah untuk contoh kita, 3/2 = 2/2 + ?/2: Lihatlah pembilangnya (angka atas) saja. Yang tertulis adalah 3 = 2 + "?". Angka berapa yang dapat kita tuliskan untuk menggantikan tanda tanya sehingga kita dapat menyelesaikan soal ini? Angka berapa yang dapat Anda jumlahkan dengan 2 untuk mendapatkan 3? Jawabannya adalah 1 karena 3 = 2 + 1. Saat Anda mendapatkan jawabannya, tulislah kembali persamaannya, termasuk penyebut-penyebutnya: 3/2 = 2/2 + 1/2 5. Sederhanakan pecahannya. Sekarang, Anda sudah mengetahui bahwa pecahan biasa kita sama dengan 2/2 + 1/2. Kita juga tahu bahwa 2/2 = 1, sama seperti pecahan berapa pun yang memiliki angka atas dan bawah yang sama. Itu berarti bahwa Anda dapat menghilangkan 2/2 dan menggantinya dengan 1. Sekarang, kita memiliki 1 + 1/2 yang merupakan pecahan campuran! Untuk contoh ini, soal sudah terselesaikan. Setelah Anda menemukan jawabannya, Anda tidak perlu menuliskan simbol + lagi. Tuliskan saja 11/2. Pecahan campuran adalah angka bulat ditambah dengan pecahan.
6. Ulangi instruksi ini jika pecahannya masih berupa pecahan biasa. Terkadang, bagian pecahan dari jawaban Anda masih berupa pecahan biasa dengan pembilang yang lebih besar daripada penyebutnya. Dalam kasus ini, Anda dapat mengulangi instruksi ini dengan mengubah pecahan biasa itu menjadi pecahan campuran yang lain. Jangan lupa untuk menambahkan kembali angka bulat “1” saat Anda menyelesaikannya. Berikut adalah contohnya, yaitu mengubah 7/3 menjadi pecahan campuran: 7/3 = 3/3 + ?/3 7 = 3 + ? 7 = 3 + 4 7/3 = 3/3 + 4/3 7/3 = 1 + 4/3 Pecahan itu merupakan pecahan biasa. Jadi, biarkan saja 1 untuk saat ini dan lakukan hal yang sama untuk pecahan biasanya: 4/3 = 3/3 + ?/3 4 = 3 + ? 4 = 3 + 1 4/3 = 3/3 + 1/3 4/3 = 1 + 1/3 Pecahan itu sudah bukan merupakan pecahan biasa, sehingga kita sudah selesai. Ingatlah untuk menambahkan angka 1 yang kita biarkan sebelumnya: 1 + 1 + 1/3 = 21/3. PERTEMUAN 2 A. Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Persen Langkah-langkah mengubah pecahan ke bentuk persen. 1) Ubahlah pecahan ke bentuk pecahan berpenyebut 100. 2) Pecahan tersebut diubah ke bentuk persen. Contoh : 3) Langkah-langkah mengubah bentuk persen kepecahan caranya sebagai berikut.
Ubahlah bentuk persen ke pecahan berpenyebut 100. Sederhanakan pecahan tersebut. B. Mengubah persen menjadi pecahan desimal Langkah-langkah mengubah bentuk persen ke bentuk desimal sebagai berikut : a) Ubahlah persen ke bentuk pecahan berpenyebut 100. b) Pecahan ini diubah ke bentuk desimal. Contoh : Contoh : 24% = = 0,24 65% = = 0,65 Langkah-langkah mengubah pecahan desimal ke bentuk persen. a) Ubahlah desimal ke bentuk pecahan berpenyebut 100. b) Dari bentuk pecahan diubah ke bentuk persen. Contoh : 0,72 = = 72% 0,135 = = = 13,5% C. Mengubah pecahan biasa ke desimal dan sebaliknya Langkah-langkah mengubah pecahan ke desimal. Ubahlah pecahan biasa ke bentuk pecahan berpenyebut 10, 100, 1.000, dan seterusnya. Pecahan yang diperoleh diubah ke bentuk desimal. Contoh : = = = 0,52 = = = 0,488 Langkah-langkah mengubah desimal ke pecahan caranya sebagai berikut. a) Ubahlah bentuk desimal ke bentuk pecahan berpenyebut 10, 100, 1.000, dan seterusnya. b) Sederhanakan bentuk pecahan yang diperoleh tersebut. Contoh : 0,6 = = = dan 0,25 =
Pertemuan 3 Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan dengan Penyebut yang Sama Menjumlahkan dan mengurangkan pecahan adalah keahlian penting yang perlu dimiliki. Pecahan muncul dalam kehidupan sehari-hari setiap waktu, terutama dalam kelas matematika, dari SD hingga kuliah. Ikuti langkah-langkah berikut untuk mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan, mulai dari pecahan setara, pecahan tidak setara, pecahan campuran, atau pecahan biasa. Jika kamu sudah mengetahui salah satu caranya, sangat mudah untuk menyelesaikan pecahan yang lain! Metode 1 Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan dengan Penyebut yang Sama 1. Tuliskan soalmu. Jika penyebut kedua pecahan yang ingin kamu jumlahkan atau kurangkan sama, tuliskan penyebut tersebut satu kali sebagai penyebut jawabanmu.Dengan kata lain, 1/5 dan 2/5 tidak perlu ditulis dengan 1/5 + 2/5 = ? , tetapi dapat ditulis dengan (1+2)/5 = ?. Penyebutnya sama, sehingga dapat ditulis sekali saja. Kedua pembilang digabungkan 2. Jumlahkan pembilang. Pembilang adalah angka yang berada di atas pecahan apa pun. Jika kita melihat soal di atas, 1/5 dan 2/5, 1 dan 2 adalah pembilang kita. Entah kamu menulisnya 1/5 + 2/5 atau (1+2)/5, jawabanmu akan sama: 3! Karena, 1 + 2 = 3.
3. Biarkan penyebutnya. Karena penyebutnya sama, jangan lakukan apa pun dengan penyebutnya! Jangan menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, atau membagi. Biarkan saja. Jadi, dari contoh yang sama, penyebut kita adalah 5. Benar! 5 adalah angka bawah pecahan kita. Kita sudah mendapatkan setengah jawabannya! https://id.wikihow.com/Menjumlahkan-dan-Mengurangkan-Pecahan 4. Tuliskan jawabanmu. Sekarang, yang harus kamu lakukan adalah menuliskan pembilang dan penyebutmu! Jika kamu menggunakan contoh di atas, jawaban soalmu adalah 3/5. Berapa pembilangmu? 3. Penyebutmu? 5. Maka dari itu, 1/5 + 2/5 atau (1+2)/5 sama dengan 3/5. Metode2 Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan dengan Penyebut yang Berbeda 1. Carilah penyebut terkecil yang sama. Artinya, penyebut terkecil yang sama untuk kedua pecahan. Misalkan kita memiliki pecahan 2/3 dan 3/4. Berapa penyebutnya? 3 dan 4. Untuk mencari penyebut terkecil yang sama dari kedua pecahan, kamu bisa melakukannya dengan tiga cara:
Tuliskan kelipatannya. Kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18…dan seterusnya. Kelipatan dari 4? 4, 8, 12, 16, 20, dan seterusnya. Berapa angka terkecil yang merupakan kelipatan dari keduanya? 12! Itulah penyebut terkecil yang sama. Faktorisasi prima. Jika kamu mengetahui tentang faktor, kamu bisa melakukan faktorisasi prima. Artinya, kamu mencari angka yang menyusun penyebutmu. Untuk angka 3, faktornya adalah 3 dan 1. Untuk angka 4, faktornya adalah 2 dan 2. Kemudian, kalian semuanya. 3 x 2 x 2 = 12. Penyebut terkecilmu yang sama! Kalikan semua angka untuk angka yang kecil . Dalam beberapa soal, misalnya soal ini, kamu bisa mengalikan kedua angka – 3 x 4 = 12. Akan tetapi, jika angka penyebutmu besar, jangan lakukan hal ini! Kamu tidak ingin mengalikan 56 x 44 dan bersusah-susah untuk mendapatkan hasil sebesar 2.464! 2. Kalikan penyebut dengan angka yang diperlukan untuk mendapatkan penyebut terkecil yang sama. Dengan kata lain, kamu ingin semua penyebutmu bernilai sama. Dalam contoh kita, kita menginginkan penyebutnya menjadi 12. Untuk mengubah 3 menjadi 12, kamu mengalikan 3 dengan 4. Untuk mengubah 4 menjadi 12, kamu mengalikan 4 dengan 3. Penyebut yang sama akan menjadi penyebut jawaban akhirmu. Jadi 2/3 menjadi 2/3 x 4 dan 3/4 menjadi 3/4 x 3. Artinya, sekarang kita memiliki 2/12 dan 3/12. Tetapi, kita belum selesai! Kamu akan menyadari bahwa penyebutnya dikalikan satu sama lain. Hal ini bisa dilakukan dalam situasi ini, tetapi tidak untuk semua situasi. Terkadang, daripada mengalikan kedua penyebut, kamu bisa mengalikan kedua penyebut dengan angka lain untuk mendapatkan angka yang lebih kecil. Kemudian dalam soal-soal lain, terkadang kamu hanya perlu mengalikan satu penyebut untuk membuatnya sama dengan penyebut pecahan yang lain dalam soal.
3. Kalikan pembilang dengan angka yang sama. Saat kamu mengalikan penyebut dengan suatu angka, kamu juga harus mengalikan pembilang dengan angka yang sama. Yang kita lakukan pada langkah terakhir hanyalah sebagian dari perkalian yang harus dilakukan. Kita memiliki 2/3x4 dan 2/4x3 sebagai langkah pertama – kemudian, pada langkah kedua, 2 x 4/3 x 4 dan 3 x 3/4 x 3. Artinya, angka baru kita adalah 8/12 dan 9/12. Sempurna! 4. Jumlahkan (atau kurangkan) pembilang untuk mendapatkan jawabannya. Untuk menjumlahkan 8/12 + 9/12, yang harus kamu lakukan adalah menjumlahkan pembilangnya. Ingat: biarkan saja penyebutnya. Penyebut terkecil yang sama, yang kamu temukan adalah penyebut akhirmu. Dalam contoh ini, (8+9)/12 = 17/12. Untuk mengubahnya menjadi pecahan campuran, kurangkan saja penyebut dari pembilang dan tuliskan sisanya. Dalam soal ini, 17/12 = 1 5/12. Metode 3 Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Campuran dan Biasa 1. Ubahlah pecahan campuranmu menjadi pecahan biasa. Pecahan campuran adalah pecahan yang memiliki bilangan cacah dan pecahan, seperti contoh di atas (1 5/12). Sedangkan, pecahan biasa adalah pecahan yang pembilangnya (angka atas) lebih besar daripada penyebutnya (angka bawah). Pecahan ini juga terlihat pada langkah sebelumnya, yaitu 17/12. Untuk contoh pada bagian ini, kita akan menggunakan 13/12 dan 17/8.
2. Carilah penyebut yang sama. Ingatkah kamu dengan tiga cara untuk mencari penyebut terkecil yang sama? Dengan menuliskan kelipatan, menggunakan faktorisasi prima, atau mengalikan penyebut. Ayo kita cari kelipatan dari contoh kita, 12 dan 8. Berapakah angka terkecil yang sama yang dimiliki keduanya? 24. 8, 16, 24, dan 12, 24 – bingo! 3. Kalikan pembilang dan penyebutmu untuk mencari pecahan yang setara. Kedua penyebut harus diubah menjadi 24. Bagaimana caramu mengubah 12 menjadi 24? Dikali 2. 8 menjadi 24? Kalikan dengan tiga. Tetapi jangan lupa – kamu juga harus mengalikan pembilangnya! Jadi (13 x 2)/(12 x 2) = 26/24. Dan (17 x 3)/(8 x 3) = 51/24. Kita hampir menyelesaikan soal ini! 4. Jumlahkan atau kurangkan pecahanmu. Sekarang kamu sudah memiliki penyebut yang sama, kamu bisa menjumlahkan kedua pembilangnya dengan mudah. Ingat, biarkan saja penyebutnya! 26/24 + 51/24 = 77/24. Itulah hasil penjumlahanmu! Tetapi, angka di bagian atasnya terlalu besar…
5. Ubahlah kembali jawabanmu menjadi pecahan campuran. Angka yang sangat besar di bagian atas pecahan terasa agak aneh – kamu tidak bisa mengetahui besar pecahanmu. Yang harus kamu lakukan adalah mengurangi penyebutmu dari pembilang berulang kali hingga tidak bisa dikurangi lagi dan tuliskan sisanya. Dalam contoh ini, 77 dikurangi 24 sebanyak 3 kali. Artinya, 24 x 3 = 72. Sisanya adalah 5! Jadi apakah hasil akhirmu? 3 5/24. Benar sekali! Metode4 Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Tanpa Mencari KPK 1. Tuliskan pecahan. Misal ½ + ¾ + ⅝ 2. Selesaikan pembilang terlebih dahulu. Kalikan ¹ dengan pembilang pecahan lainnya. Kalikan 1 dengan 4 dan 8.
3. Lakukan cara yang sama pada pecahan lainnya. Kalikan 3 dengan 2 dan 8. [48] Terakhir, kalikan 5 dengan 4 dan 2. 4. Jumlahkan semuanya. 32+48+40=120 5. Sekarang, kamu mendapatkan nilai pembilang. 6. Selesaikan penyebut pecahan. 7. Kalikan seluruh penyebut pecahan. 2×4×8=64 8. Sekarang, kamu mendapatkan hasilnya. 120/64 = 1 56/64 =
Pertemuan 4 A. Perkalian Berbagai Bentuk Pecahan Perkalian berbagai bentuk pecahan adalah perkalian pecahan dengan bentuk yang lain yaitu perkalian pecahan dengan bentuk desimal dan sebaliknya. Namun bisa juga kita menjumpai bentuk perkalian pecahan dengan bentuk persen dan sebaliknya. Hal yang pertama kali dilakukan adalah mengubah pecahan tersebut menjadi bentuk yang sama dahulu. Misalkan perkalian pecahan dengan desimal, maka desimal kita ubah menjadi bentuk pecahan barulah kemudian kita kalikan antara pecahan dengan pecahan. Begitujuga saat kita menjumpai perkalian pecahan dengan persen, maka kita ubah bentuk persen menjadi bentuk pecahan. Contoh: a) 13/4 x 0,25 = ...... Penyelesaian: ubah pecahan campuran menjadi bentuk pecahan dewasa yaitu 13/4 menjadi 7/ ubah juga bentuk desimal menjadi bentuk pecahan yaitu 0,25menjadi 25/100 = 25:25/100:25 = ¼ Barulah Setelah itu kita kalikan 7/4 x 1/4 caranya adalah sebagai berikut;7/4 x 1/4 = 7/16 Jadi, hasil perkalian 13/4 x 0,25 hasilnya adalah 7/16 b) 21/2 x 50% = ...... Penyelesaian: ubah pecahan campuran menjadi bentuk pecahan dewasa yaitu 11/2 menjadi 3/2 ubah juga bentuk persen menjadi bentuk pecahan yaitu 50% = 50/100 = 50:50/100:50 = 1/2 Barulah Setelah itu kita kalikan 3/2 x 1/2 caranya adalah sebagai berikut; 3/2 x 1/2 = 3/4 Jadi, hasil perkalian 21/2 x 50% adalah 3/4