pdf_20220224_214139_0000

ความน่าจะเป็น




นางสาวพิมลวรรณ นวเมธีธรรม ม.4/8 เลขที่33
เสนอ

คุณครูรสชกร บุบผาคำ

สารบัญ

เนื้อหา

แบบฝึกหัด
แบบทดสอบ

หลักการบวก

(Addition Principle)

สามารถแบ่งการทำงานออกเป็ นหลายกรณี จำนวนวิธีการ
ทำงานทั้งหมด คือ ผลรวมของจำนวนวิธีการทำงานทุกกรณี

แสดงออกมาในรูปแบบ
n1 + n2 + … + nn

ตัวอย่างที่1

มีการบ้านวิชาคณิตศาสตร์ 2 ชิ้น วิชาภาษาอังกฤษ 3 ชิ้น
และวิชาภาษาไทย 1 ชิ้น จะมีการบ้านให้เลือกทำกี่วิธี?

วิธีทำ

มีการบ้านวิชาคณิตศาสตร์ 2 ชิ้น
มีการบ้านวิชาภาษาอังกฤษ 3 ชิ้น
มีการบ้านวิชาภาษาไทย 1 ชิ้น

ดังนั้นจะมีการบ้านให้เลือกทำ 2 + 3 + 1 = 6 วิธี

ตัวอย่างที่2

ต้องการสร้างจำนวนคู่ที่มี 3 หลัก โดยสร้างจากเลขโดด
0, 1, 2, 3, 4 หรือ 5

โดยเลขโดดแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน

วิธีทำ กรณีที่ 1

จำนวนคู่ที่หลักหน่วยเป็น 0

เลือกเลขโดดหลักหน่วยได้ 1 วิธี (เลขโดด 0 เท่านั้น)
เลือกเลขโดดหลักร้อยได้ 5 วิธี (จากเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ 5)

เลือกเลขโดดหลักสิบได้ 4 วิธี (เลขโดดที่เหลือจากหลักร้อย 4 ตัว)

•จำนวนวิธีสร้างจำนวนคู่ที่หลักหน่วยเป็น 0 ได้ 1×5×4 = 20 วิธี

วิธีทำ กรณีที่ 2

เลขคู่ที่หลักหน่วยไม่เป็น 0

เลือกเลขโดดหลักหน่วยได้ 2 วิธี (จากเลขโดด 2 และ 4)

เลือกเลขโดดหลักร้อยได้ 4 วิธี (เลขโดดที่เหลือซึ่งไม่ใช่ 0 และเลขโดดในหลัก
หน่วย)

เลือกเลขโดดหลักสิบได้ 4 วิธี (เลขโดดที่เหลือซึ่งที่ไม่ใช่เลขโดดในหลักหน่วย
และหลักร้อย)

• จำนวนวิธีสร้างจำนวนคู่ที่หลักหน่วยไม่เป็น 0 ได้ 2×4×4 = 32 วิธี





ดังนั้น สร้างจำนวนคู่ที่มี 3 หลัก จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 หรือ 5
โดยเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน จะสร้างได้ทั้งหมด 20+32 = 52 จำนวน

หลักการคูณ

กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้
n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีเลือกทำงานอย่าง
ที่สองได้ n2 วิธี จะทำงานทั้งสองอย่างนี้ได้n1n2 วิธี

ตัวอย่างที่1

โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวันเป็นอาหารคาว 4 อย่าง
และขนม 3 อย่างให้นักเรียนเลือกรับประทานชนิดละ 1 อย่าง
อยากทราบว่านักเรียนจะมีวิธีเลือกอาหารคาวและขนมได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ กรณีที่ 1

เลือกอาหารคาวได้4 วิธี (มีอาหารคาว 4 อย่าง)

วิธีทำ กรณีที่ 2

เลือกขนมได้ 3 วิธี (มีขนม 3 อย่าง)

ดังนั้น จะมีวิธีเลือกอาหารคาวและขนมได้ทั้งหมด 4×3 = 12 วิธี

แฟกทอเรียล

แฟกทอเรียล ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n คือผล
คูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือ
เท่ากับ n เขียนแทนด้วยn! (อ่านว่า n แฟกทอเรียล)

ตัวอย่าง

5!=5×4×3×
2×1=120
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
12! = 12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
15!=15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

การทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่ม (random experiment) คือ การทดลองหรือการกระทำ
ใด ๆ ซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้

อย่างถูกต้องแน่นอนว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรใน
บรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านี้

ตัวอย่าง

1)การแข่งขันฟุตบอลในแต่ละนัด

ตอบ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการแข่งขันฟุตบอลในแต่ละนัด
มีผล แพ้ ชนะ หรือ เสมอ แต่ไม่สามารถระบุได้แน่นอนว่าผลการ
แข่งขันจะเป็ นแบบใด

การเรียงสับเปลี่ยน

หมายถึง การนำสิ่งของที่มีลักษณะที่แตกต่างกันทั้งหมดมาจัด
เรียงสับเปลี่ยน โดยถือตำแหน่งหรือลำดับก่อนหลังเป็นสำคัญ

แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ

1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดใน
แนวเส้นเดียวกัน (แต่ไม่เป็นวงกลม) เท่ากับ n! วิธี
2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้น
เดียวกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)!
วิธีเขียนแทนด้วย P(n, r) = n! / (n-r)!
จาก P(n, r) = n! / (n-r)!
= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1) . (n-r)! / (n-r)!
= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1)
3) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนว
วงกลม เท่ากับ (n-1)! วิธี และมีหลักการจัดเรียง โดยแบ่งตามเงื่อนไข

แซมเปิลสเปซ

แซมเปิลสเปซ(Sample Space)คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้
ทั้งหมดจากการทดลองสุ่มและเป็นสิ่งที่เราสนใจเรานิยมใช้สัญลักษณ์ S
แทนแซมเปิลสเปซ
จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการทดลองหรือการกระ
ทำใด ๆ ก็ตาม ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกใน
แซมเปิลสเปซทั้งสิ้น

ตัวอย่างที่ 1 การหาแซมเปิลสเปซในการโดยเหรียญ 1 เหรียญ ถ้าเรา
สนใจหน้าที่หงายขึ้นผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ หัว หรือ ก้อย
ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้ คือ S={หัว, ก้อย}

ตัวอย่างที่ 2 ในการทอดลูกเต๋า1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้มของลูกเต๋าที่หงาย
ขึ้นผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4
หรือ 5 หรือ 6
ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6}

แบบฝึกหัด

ข้อ1. มีถนนจากกรุงเทพ ฯ ไปจังหวัดกระบี่ 3 สาย และมีถนนจากจังหวัดกระบี่ไป
จังหวัดยะลา 4 สาย ญาญ่าขับรถจากกรุงเทพ ฯ ไปถ่ายละครที่จังหวัดยะลาโดยต้อง
ผ่านจังหวัดกระบี่ ญาญ่าจะมีวิธีเลือกเส้นทางได้กี่วิธี

ข้อ2. ชมรมถ่ายภาพมีสมาชิก 10 คน ถ้าต้องการเลือกประธานชมรม รองประธาน
ชมรมเลขานุการชมรมและเหรัญญิกของชมรม ต าแหน่งละ 1 คน จ านวนวิธีที่จะ
เลือก ตำแหน่งต่าง ๆ ของชมรมได้ทั้งหมดกี่วิธี

ข้อ3. บัตรเข้าชมภาพยนตร์ของโรงหนังแห่งหนึ่งก าหนดหมายเลขที่นั่งเข้าชมโดยใช้
หมายเลข 1-20และตัวอักษรภาษาอังกฤษ A – P ตัวอย่างเช่น 1A จงหาจ านวนที่นั่ง
ทั้งหมดของโรงหนังแห่งนี้

ข้อ4. มีเสื้อ 6 ตัว เป็นสีขาว 4 ตัว และสีฟ้า 2 ตัว มีกางเกง 5 ตัว เป็นสีขาว 1 ตัว
และสีฟ้า 4 ตัวจะมีวิธีเลือกชุด 1 ชุด ที่มีเสื้อและกางกางสีเดียวกันได้ทั้งหมดกี่วิธี

ข้อ5. ถ้า A = {1, 3, 5, 7, 9} จงหาว่าจะสามารถนำสมาชิกในเซต A มาสร้างเป็น
จำนวนเต็มซึ่งมี สามหลัก โดยที่แต่ละหลักใช้เลขโดดไม่ซ้ำกันได้ทั้งหมดกี่จำนวน

แบบทดสอบ

1. ในการเล่นเป่ายิ้งชุบ มีผู้เล่น 2 คน แต่ละคนจะออกมือแทนสิ่งใดสิ่งหนึ่งใน 3 สิ่งต่อไปนี้คือ ค้อน

กรรไกร กระดาษ จ านวนวิธีทั้งหมดในการออกมือตรงกับข้อใด

ก. 3 วิธี

ข. 6 วิธี

ค. 9 วิธี

ง. 12 วิธี

2. ในการนั่งเรือข้ามฝากแม่น้ าเจ้าพระยาที่มีเรือที่ท่าน้ าอยู่ 5 ล า จ านวนวิธีนั่งเรือข้ามฝากแม่น้ านี้

ทั้งไปและกลับได้กี่วิธี ถ้าขาไปและขากลับลงเรือล าต่างกัน

ก. 5 วิธี

ข. 10 วิธี

ค. 20 วิธี

ง. 25 วิธี

3. มีป้ายเขียนหมายเลขก ากับไว้อยู่ 5 ใบ คือ 1, 3, 5, 7 และ 8 ถ้าน าแผ่นป้ายดังกล่าวมาเรียงเป็น

จ านวน 3 หลักจะได้จ านวนทั้งหมดกี่จ านวน

ก. 20 วิธี

ข. 25 วิธี

ค. 60 วิธี

ง. 100 วิธี

4. ต้องการเรียงค าใหม่ที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว จากตัวอักษรค าว่า math ไม่จ าเป็นต้องมี

ความหมาย โดยต้องขึ้นต้นด้วยสระได้แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี

ก. 24 วิธี

ข. 20 วิธี

ค. 12 วิธี

ง. 6 วิธี

5. ในการท าแบบทดสอบ 20 ข้อ แต่ละข้อมีตัวเลือก 4 ข้อ นักเรียนจะมีวิธีเลือก
ตอบข้อสอบ ดังกล่าวได้ทั้งหมดกี่วิธี
ก. 420วิธี
ข. 80 วิธี
ค. 4 วิธี
ง. 204วิธี

แบบทดสอบ

6. ลูกเสือ 2 คน และเนตรนารี 4 คน เข้าแถวเรียงหน้ากระดานโดยลูกเสือต้องยืนหัวแถวและ

ท้ายแถวเสมอ จะมีวิธียืนเข้าแถวได้ทั้งหมดกี่วิธี
ก. 72 วิธี
ข. 48 วิธี
ค. 24 วิธี
ง. 12 วิธี
7. นายณัฐมีเพื่อน 4 คน เขาต้องการชวนเพื่อนไปดูหนังได้กี่วิธีถ้าต้องการชวนเพื่อนอย่างน้อย 1 คน
ก. 4 วิธี
ข. 8 วิธี
ค. 15 วิธี
ง. 16 วิธี
8. ครูมีหนังสือที่แตกต่างกัน 3 เล่มต้องการแจกหนังสือทั้งหมดให้นักเรียน 5 คน โดยไม่ให้ซ้ าคนเดิม
ครูจะมีวิธีแจกหนังสือให้นักเรียนได้ทั้งหมดกี่วิธี
ก. 243 วิธี
ข. 125 วิธี
ค. 60 วิธี
ง. 15 วิธี
9.มีลูกแก้วที่แตกต่างกัน 4 ลูก ต้องการนําลูกแก้วเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง 5 กล่อง ที่แตกต่าง
กัน จะมีวิธีการใส่ลูกแก้วทั้ง 4 ลูก ได้กี่วิธี เมื่อลูกแก้วทั้ง 4 ลูก อยู่ในกล่องเดียวกัน
ก.5
ข.20
ค.25
ง.3125
10.นำลูกบอลพลาสติกที่เขียนตัวเลขไว้ มีหมายเลข 1, 3, 5, 7 นําเลขเหล่านี้มาสร้างเลขจํา
นวน 2 หลัก จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จํานวน
ก.12
ข.16
ค.20
ง.30