Viedma - Matemáticas

RESUELVE LAS SIGUIENTES SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS

• (2a+3b)+(5a+4c)= 7a+3b+4c
• (5a2+3b+2)+(8a2+3b-2)=13a4+6b-0
• (4m+5n)+(-3m+6n)= 1m+11n

• (2n+4m+5)+(2n+3n–10)= 4n+7mn-5
• (7w+3x2+2x)+(-5x2+4x-3)= 7w-2x2+6x-3
• (6a+5b)+(3a-10b)=9a-5b
• (4a2+3a+10)+(2a2-7+4a)= 6a2+7a+3

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

• 4a+3b*2a-3b= 8a2-6ab-9b2

• 5m+4x*-3x-9m= 45m2-21mx+12x 12x2-21xm+45m2

• 8y-3z*-9z-12y= 96y2+36yz+27z2

• 7n+5m*-8n-9m= -56m2-23mn-45m2
• 6a-9n*-5n-7a= -42a2-33an-45n2
• 2a-3b*4a+5b= 8a2-2ab+15b2

• -3x-9m*8m+32x=

• 16a+4b*18b-4a= 64a2-272ab-72b2

• -9n+2m*-10n-9m=
• 10y-4z*-16z-10y=

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

• 12a3b2+15a2b3/3ab=

• 14m2+21mn/7m=
• 4x2+2x/2x=
• 20m2-40m/5m=
• 15m3+6m2n/3m=

• 40x2+25y3/5=

• 12x2-15x/3x=
• 12a2+24a5/6a=
• 8x2+16x/4x=

1.- El perímetro de un rectángulo es de 38mts., su largo es de 7m mas que el ancho,
¿Cuanto mide el largo y cuanto mide el ancho?

2.- Una cuerda mide 27 cm., se divide en dos partes; primera parte es de 8cm. Mas grandes
que la otra, ¿Cuanto mide cada parte?

3.- El perímetro del rectángulo es de 280mts., su largo es de 40mts. Mas que el ancho,
¿Cuanto mide el largo y cuanto el ancho?

ECUACIONES CUADRÁTICAS

FORMULA

x=-b  b2-4ac

2
Resolución de los problemas que implican el uso de ecuaciones
algebraicas. Utilizando el procedimiento personal.
1-.El cuadrado de un número menor de 5 es igual a 220. ¿Qué número es?. 15

2-.El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Qué número es? 102

3-.El cuadrado de un número se multiplica por 4 y luego se resta con 6 de ahí se obtuvo la
cantidad de 30. ¿Qué número es? 3

4-.El producto de dos números consecutivos dan 552. ¿Cuales números son? 23, 24

Resuelve las siguientes fracciones
Formula
1-. x2+x=56
2-. x2+3=0

3-. x2+7=88
4-. x2-5=-4

5-. x2+43=99

Formulas cuadráticas

Formula
1-. x2+3x=88

2-. x2+7x=8
3-. x2-5x=-4

4-. x2+10x=11

1-. x2+9x=10
2-. x2-4x=5
3-. x2-8x=9
4-. x2+10=100

Ecuaciones cuadráticas por el método de factorización

Factor común
ax2+bx=0
• x2+6x=0

• 5x2+11x=0
• x2-64=0

• x2-5x=0

• x2+36x=0

• 6x2+48x=0

• 10x2+150x=0
• 8x2+91x=0
• 4x2+65x=0
• 10x2+32x=0

• 230x-95x=0
• 150x-240x=0

Factor común 4x+4y=4(x+y)
5a-10b=5(a-2b)

Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus
factores racionales y enteros, primos entre sí.
TCP: Es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio
(a+b)1 {2} = a2 {2}+2ab+b1{2}
(a+b)2=a2+2ab+b2
Factorización
Puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de esta
última es hallar el producto de dos o más números
Ecuaciones cuadráticas. Método de factorización
Trinomio

Formula: a2+2ab+b2=(a+b)2
x2+6x+9
x2 2*3*3(x-3)2

• x2-2x+1= x2 2*1*1=(x+1)2
• 6x-9-x2= x2 2*3*3= (x+3)2
• x2+20x+100= x2 2*10*10= (x+10)2
• x2+10x+25= x2 2*5*5= (x-5)2
• x2+14x+49= x2 2*7*7= (x-7)2

Ecuaciones cuadráticas. Método de factorización.

16M20+25= (4m-5)2

• 49s2-14s+4= (7s+2)2

• 25x2+20x-4= (5x+2)2

• 9x2-15x-25= (3x-5)2

• 36x2-60x+100= (6x+10)2

• 64x2+72x-81= (8x+9)2

• 1296x2+4320x+14400= (36x-120)2

• 2025x2-3960x+7744= (45x+88)2

Trinomio

(x+1)2=(x+1)+(x+1)2=x2+1x+1x+12= x2+2x+1
(x+2)2=(x+2)+(x+2)2=x2+2x+2x+22=x2+4x+4

• (x+3)2= (x+3)+(x+3)2=x2+3x+3x+32=x2+6x+9
• (x+4)2= (x+4)+(x+4)2=x2+4x+4x+42=x2+8x+16
• (x+5)2= (x+5)+(x+5)2=x2+5x+5x+52=x2+10x+25
• (x+6)2= (x+6)+(x+6)2=x2+6x+6x+62=x2+12x+36
• (x+10)2= (x+10)+(x+10)2=x2+10x+10x+102=x2+20x+100
• (x+36)2= (x+36)+(x+36)2=x2+36x+36x+362=x2+72x+1296

“Tiempo, distancia, velocidad”

Gráfica correspondiente de un trailer que viaja de D.F a Morelia

Bitácora de viaje
*Salí del D.F el día 25 de marzo a las 4:00 a.m
*Me detuve solo dos veces. La primera fue en Toluca para cargar diésel y poner la lona; la segunda en
la caseta de cobro, antes de llegar a Tlacomulco para almorzar
*De Zinapecuaro a Morelia el camino estaba en reparación

Hora Lugar en el que se encontraba Actividad que realizo el chófer
4:00 D.F Saliendo del D.F
5:00 Toluca Cargo diésel y puso la lona

6:30 Antes de llegar a Tlacomulco Llego a la caseta de cobro y
almorzó en Tlacomulco

8:10 Zinapecuaro Llego a Morelia

• ¿Cuantos km. recorrió el trailer? 302Km
• ¿Cuanto tiempo duró el viaje? 7:40 hr
• ¿En qué momento el trailer avanzó más? 8:00-12:00
• ¿En qué momento el trailer avanzó más despacio? 5:00-6:00
• ¿A qué velocidad promedio recorrió el primer tramo que es de 60 km.?120 km/hr
• ¿Cuanto tiempo se detuvo el chófer en la primera parada? 1 hr
• ¿Cuanto tiempo se detuvo el chófer en la segunda parada?1:40 hr
• ¿La distancia que recorrió el trailer y el tiempo transcurrido cambia de manera

proporcional? Justifiquen su respuesta. No, porque son diferentes los números y los
km
• Dibuja una tabla indicado en que lugar estaba el trailer y que hacia el chófer en esas
horas indicadas

Actividad #3

1)
xy

02

13

24

35
y=x+2
2)
xy

00

13

26

39
y=x+0
3)
xy

03

14

26

38

4 12
y=x+3

Tablas de valores y gráficas

Las gráficas, tablas y expresiones algebraicas sirven para estudiar las relaciones entre dos
conjuntos de cantidades. Aprenderemos a analizar relaciones entre los conjuntos de
cantidades a partir de algunas características de su gráfica.

1.- Analiza la información y anota que tabla de valores corresponden a cada situación

• El peso de un perro desde su nacimiento hasta que cumpla 3 meses: Tabla #3
• La cantidad de paletas de caramelos y sus costos: Tabla #2
• Las edades de dos hermanos, si uno de los dos es mayor que el otro: Tabla #1
• Escribe en la tabla uno y dos la expresión algebraica correspondiente
• ¿En qué tabla las cantidades de “x” y “y” cambian de manera proporcional? En la tabla

#2

2.-Elabora un plano cartesiano de cada tabla

Tabla #1

Tabla #2

Tabla #3

Actividad #4

Haz lo siguiente usando la expresión algebraica y=2x-5
• Completa la tabla 4 y dale diversos valores a “x,y”, efectuá las operaciones
correspondientes para obtener los resultados de “Y”
Ejemplo: Si “x” vale 1, y=2x-5
y=2(1)-5= 2-5=-3
• Representa en le plano cartesiano algunos pares de coordenadas y traza la gráfica de
la expresión algebraica

Tabla 4

xy
1 -3
2 -1
3 -1
43

Elabora, con base a la gráfica la tabla de valores y encuentra la expresión algebraica.

xy
-2 0
-1 2
04
16
28
3 10
• Subraya la expresión algebraica que corresponde a la gráfica
a) y=-2x-4 b) y=2x-4 c) y=2x+4 d) y=-2x+4
• ¿Por qué la gráfica no corresponde a una relación de proporcionalidad directa?
Porque “x” va de manera ascendente e igualmente “y”

María y Sonia corrieron durante 30s para llegar más lejos. Como María es más pequeña,
Sonia la dejo iniciar 30 mts adelante. La recta azul y la recta verde de ka gráfica muestra la
relación entre el tempo y la distancia que recorrieron. Respondan las preguntas y haz lo que
se te pide

• ¿Quien gano la carrera y que distancia recorrió? Sonia y recorrió 100m
• ¿Que distancia recorrió la perdedora? María y recorrió 80m
• Si la carrera hubiera durado 15s ¡Quien hubiera ganado? María
• ¿En qué segundo están empatadas o se juntan? 18
• Explica con tus palabras como hubiese sido favorable que ganara la persona que

perdió si
las dos hubiesen salido iguales: que la carrera durara menos tiempo

Probabilidades

Escala de proporcionalidad en eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes

• ¿Cuantos y cuales son todos los resultados posibles en el lanzamiento de 3

monedas? Águila, águila
• ¿Cuál es la probabilidad de obtener águilas? 0 águilas-o

1 águilas-4
2 águilas-5
3 águilas-5
• ¿Cuál de los 4 elementos tienen mayor probabilidad?

Águila Sol Sol
Águila Sol Sol
Águila Sol
Sol Águila Águila
Águila Águila Águila
Águila Águila Águila
Águila Águila
Sol Sol Águila
Sol
Sol

Actividad #6

¿Puede haber probabilidades mayores a 100%?

¿En qué casos el hecho de que un evento ocurra influye en la posibilidad de que suceda
otro? Al analizar un evento A, ¿Te has fijado en el evento que consiste en que A no ocurra?

1.-Se deja caer una canica por el orificio superior del siguiente laberinto de tubos.

• ¿Cual es la probabilidad de que la canica caiga por el tubo a’? 52%
• ¿Y de que caiga por el b’? 51%
• ¿Cual es la probabilidad de que la que la canica caiga por el tubo e’? 25/100
• ¿Y por el m’? 3.3/100
• Explica en tu cuaderno porque la probabilidad de que la canica caiga por el tubo r’ es

mayor que la probabilidad de que lo haga por s’: Porque el r’ tiene más conexiones
• Explica porque la probabilidad de que la canica caiga por los tubos c’, d’, e’o f’ es

igual: Porque tienen el mismo número de conductos

Actividad #8

Probabilidad matemática y estadística

La matemática intenta medir la probabilidad de que un evento suceda. Un caso
simple lo constituye los juegos de dados.

• ¿Cual es la probabilidad de tirar y sacar 1? 1/6

• ¿Cual es la probabilidad de sacar uno nuevamente? 6/6

• ¿Cual es la probabilidad de sacar un número par? 2,4,6/6

• ¿Cual es la probabilidad de sacar la cara 6? 1,2,3,4,5/6

• ¿Cual es la probabilidad de obtener un número distinto a 3? 1,2,4,5,6/6

• ¿Cual es la probabilidad de obtener un número mayor 4? 5,6/

Jugada Cara
1 6
2 5
3 1
4 2
5 3
6 4

Gráficas

Fútbol-16
Basquetball-11
Natación-7
Volleyball-5
A quien le cae mal el maestro-2

Figuras congruentes

Son aquellas que tienen la misma forma, el mismo tamaño y al superponerlas todos sus
puntos coinciden. Para que dos figuras sean congruentes deben cumplir con las siguientes
condiciones.

➢ Todos sus ángulos interiores correspondientes sean iguales

➢ Todos sus lados correspondientes tengan la misma forma

Figuras semejante

Son aquellas que tienen la misma forma pero diferente tamaño, es decir, sus lados
correspondientes son proporcionales de acuerdo a su razón de semejanza, factor de escala
o constante proporcionalidad. Cuando dividimos las medidas de un lado entre su
correspondiente, el número es el mismo, es decir, es constante en todos los lados de la
figura, este número se le llama “razón de semejanza”

Para que dos figuras sean semejantes deben cumplir dos condiciones:

• Sus ángulos correspondientes (homólogos) son iguales

• Sus lados correspondientes son proporcionales

b b
a

ac

c

• Observa el romboide, donde los triángulos R, J, U y H, J, I son congruentes. Aplicando
los criterios de triángulos calcula ¿Cuanto miden los ángulos J, H, I y J,R, U,
respectivamente?

a) 163° y 142° b) 17° y 21° c) 38° y 17° d) 197° y 163°

• Observa la figura donde se muestran dos triángulos semejantes, si los datos
corresponden a la medida del piso hasta el tablero de basquetball (x) representa a
Juan parado sobre el piso, entonces, ¿Cual debe ser el tamaño de x?

a) 0.61m b) 1.63m c) 0.76m d) 1.31m

• En el dibujo se representa a una palmera con su sombra en el piso, las medidas que
se pueden obtener directamente están marcadas en el dibujo. Usando estos datos,
¿Cual es la altura de la palmera representada por la letra x?

a) 18m b) 8.5m c) 9.5m d) 12

• El dibujo representa el marco de una ventana, reforzada con varillas que forman
triángulos semejantes, ¿Cuanto mide la base de la ventana? (x)

a) 19cm b) 28,6cm c) 33cm d) 25.3cm

• En la alameda de mi colonia trazaron sobre el jardín central varias figuras geométricas
rellenas de flores, Entre ellas destacan dos que son semejantes entre sí, ambas son
triángulos. La base de la más grande es de 15m y su altura es de 7m. Si la base
homogénea del otro mide 3.75m, ¿Cual es la altura que tiene este otro triangulo?

a) 1.86m b)4m c) 1.75m d) 1.14m

• ¿Cual de los siguientes triángulos es semejantes a un triangulo isósceles con dos
lados de tamaños 12 y el otro de tamaño 6?

a) opción c b) opción a c) opción d d) opción b

Teorema de Pitagoras

Conceptos y usos:

Para entender bien el teorema de Pitagoras deben tener claros algunos conceptos. Por
ejemplo, que solo es aplicable a los triángulos rectángulos, es decir, aquellos triángulos que
tienen un angulo correcto. También hemos de saber cuales son los nombres que reciben los
lados de un triangulo rectángulo: los lados que conforman el angulo recto se llaman catetos,
mientras el lado opuesto al angulo recto se llama hipotenusa.

Otro aspecto importante sobre el teorema de Pitagoras esta relacionado con sus usos, este
teorema es utilizdo en una gran cantidad de situaciones para hallar medidas que
desconocemos y que de otra forma no se podría calcular dde forma exacta o que llevaría

¿Que es el teorema de Pitagoras? Antes de hablar de la definición del teorema de Pitagoras,
debemos recordar dos ideas basicas de las matematicas especificamente de la geometria

1. La definición de un triangulo rectángulo; en palabras simples, es aquel que tiene 90°
por medida en uno de sus 3 angulos.

2. Los lados de un triangulo rectángulo tienen nombres, de esa forma llamados
hipotenusa al lado del mayor tamaño que además es el que siempre se encuentra en
el lado opuesto al angulo interno que es el que tiene 90° como medida, los otros dos
lados reciben la denominación de catetos y la intersección de ambos se lleva a cabo el
angulo rectangulo interno caracteristico de todo triangulo rectángulo.

Luego de recordar estas dos premisas basicas del teorema de triangulos, estamos en
capacidad de analizar la pregunta: ¿Que es el teorema de pitagoras?

El teorema de Pitagoras es una propuesta matemática que se puede demostrar de distintas
maneras; este teorema indica la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triangulo
rectángulo, en donde si elevamos al cuadrado cada uno de los dos catetos y sumamos
ambos, tendremos una medida igual al cuadrado de la hipotenusa.

Es decir, si llamamos a la hipotenusa “H” y a cada uno de los catetos “A”, “I”, “B”, tendremos:

C2=a2+b2

Las aplicaciones del teorema de Pitagoras son muchas y vienen ayudando a las distintas
civilizaciones desde su descubrimiento realizado por Pitagoras de Samos hace ya bastantes
siglos, incluso antes de la era cristiana. Lo fácil que resulta aprender esta formula
matemática hace que se pueda enseñar desde los años básicos de educación, en donde el
conocimiento y aplicación de la formula del teorema de Pitagoras se afianza y se desarrollo
principalmente en las aulas de clase con el paso de los años.

En un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

1.-Conociendo los dos catetos colocar la hipotenusa
c2=a2+b2 √c2=a2+b2
Ejemplo: Los catetos de un triangulo de un triangulo rectángulo miden 3 y 4m
respectivamente ¿Cuanto mide la hipotenusa?
2.- Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
Ejemplo: La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 5m y uno de sus catetos mide
3m¿Cuanto mide el otro cateto?
3.- Conociendo sus lados, averiguar si es un rectángulo. Para que sea rectángulo el
cuadrado del lado mayor a de ser igual a la suma de los cuadrados de los 2 menores.
Ejemplo: determinar si el triangulo es rectángulo

1.- La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 29cm y uno de sus catetos mide 20cm.
¿Cual es la medida del otro cateto?

Tenemos los datos de los catetos, uno de los catetos mide 29cm. Y el otro 20 ¿Cuanto media
la hipotenusa?

Tenemos 2 triángulos. Un triangulo es “A”, “B” y “C”, cuyas medidas son 8,15,17 y otro de
“D”, “E” y “F” de medidas 7,23,25. Escribir si o no para indicar si los triángulos son o no
regulares, realizar las actividades de cada uno y o ejercicio.

4.- Una escalera mide 7.3m de altura, se apoya con el pie a 4.8m de la pared para arreglar
un problema que hay en la azotea, ¿a que altura se encuentra la azotea?

5.- Las medidas de los catetos de un triangulo rectángulo con de 9 y 12cm respectivamente
¿Cual es la medida de la hipotenusa?

Calcula la proyección de “M y N”, de los catetos sobre la hipotenusa, usando el teorema de
catetos y de la altura respectivamente.

6.-Para instalar una antena parabólica se utiliza un poste sujeto por dos cables como indica
la figura

a) ¿Cual es la medida de la altura del poste? 8
b) Indica la medida del cable que falte 16
c) ¿A que distancia del poste a de colocar dicho cable?

1.- La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 30cm. Y la proyección de un cateto sobre
ella 10.8 cm. Calcular el otro cateto

2.- En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y
9m. Calcular la altura relativa de la hipotenusa

3.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6m y la proyección de un cateto sobre
ella 60m calcular

• Los catetos: 156
• La altura relativa a la hipotenusa:
• El área del triangulo

Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño
Semejanza: Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma y no necesariamente el
tamaño
Congruencia: Figuras exactamente igual sin importar la posición.

1.- El asta bandera mide 18m y la sombra que proyecta mide 36m. ¿Cuanto equivale la otra
parte que falta?
a) Encontrar su área
b)Hacer la comprobación
c)Poner si es o no un triangulo rectángulo:

2.- La caída de una manzana es de 16m la distancia de un punto a otro punto es de 6m.
a) Encontrar su área
b) Hacer la comprobación
c)Poner si es o no un triangulo rectángulo

• En una ciudad se encuentra a 17km al oeste y 8km al norte de la otra. ¿Cual es la
distancia real lineal entre las ciudades? 18.788

• Una escalera cuya longitud es de 3m se encuentra apoyada contra una pared, en el
suelo horizontal y alcanza 2.8m sobre la pared vertical. La pregunta es, ¿a qué
distancia esta al pie de la escalera de la base de la pared?

• Una cancha de fútbol “rectangular como sabemos” mide 125m de largo. Si la longitud
de sus diagonales es de 150m. ¿Cual es el ancho del campo de juego?

1.
100km

67km

2. 46m

196m

3. 37m
49m

4. 196m
66m

5. 126m
49m

Resuelve en equipo los siguientes problemas, pueden usar calculadora cuando sea
necesario y así como trazar las figuras relacionadas con cada inciso

• Camine hacía el norte 5km y luego hacía el este 3km, ¿a que distancia estoy del punto
de partida? 8km

• Una escalera de 5m de largo se apoya sobre el piso a 1.5m de la pared, ¿Que altura
alcanza esta respecto al piso? 4.76

• Quiero abrir un piso cuadrado que mide 4m de lado, usando losetas hexagonales,
Cada una mide 10cm de lado. Si estas se venden en cajas de 38 piezas, ¿cuantas
cajas debo comprar para que me sobren la menor cantidad de losetas posibles? 15

• ¿Cuales son las dimensiones de un rectángulo cuyo diagonal mide 10cm y cuya base
mide 2cm menos que la altura?

1. ¿En cual de los siguientes triángulos se proporciona información suficiente para
calcular su área usando el teorema de Pitagoras?

2. Anota, junto a cada triangulo según corresponda, “a2+b2< c2” (considera que “c”

representa la longitud del lado mayor). Escribe también si se trata de un triangulo
obtusángulo o acutángulo.

• Sabiendo que las rectas “R, S Y T” son paralelas, la longitud de x es:

• Sabiendo que las rectas “R, S Y T” son paralelas, las longitudes que faltan son:

• Sabiendo que el segmento “DE” es paralela a la base del triangulo, las medidas de
los segmentos “ab” son:



























Un portero de un equipo de fútbol ha despejado el balón. En la siguiente tabla se registran
algunas alturas que alcanzo el balón y los tiempos en que lo hizo

012345678
0 7 12 15 16 15 12 7 0

• ¿Las cantidades de la tabla son directamente proporcionales? Si, porque si
multiplicamos los números por ciertos números da el resultado

• Gráfica con la tabla un plano cartesiano
• Marca con azul en la gráfica el tramo donde la pelota haya aumentado su velocidad y

de color café donde vaya disminuyéndola
• ¿Cuál fue la rapidez promedio durante los primeros dos segundos? 4.5
• ¿Entre los segundos 2 y 4? 13.5
• Al alcanzar la altura máxima, ¿qué rapidez tenía la pelota? 4
• ¿En que momento fue más rápido la pelota? En el segundo 4

Juan rodeara con una malla una parte de su terreno para formar un corral.
Tiene 16m de malla y quiere hacer el corral de forma rectangular. ¿Qué
medidas estimas que debe tener el corral para abarcar la máxima área posible?

Completa la tabla para obtener alguans medidas posibles para el corral.
Realiza un plano cartesiano con los valores de la tabla y gráficalo
Una posible medida para el corral 5.5cm de base y 2.5 cm de altura. Encuentra
el punto correspondiente en la grafica ¿Cual seria su area?
Usa la grafica para hallar las medidas del corral que cubran una mayor parte del
area y compara el resultado con el estimado del inicio.