ใบงานสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ใบงำน แนะนาระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ชอื่ ......................................................ชนั้ ...............เลขท่.ี ...............

สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร Ax +By+C=0 เมื่อ A <0 และ B< 0 นยิ มจัดสมการ ใหม่ให้อยู่ในรปู ทส่ี ะดวกในการแทนคา่ x เพ่อื หาคา่ y ดงั นี้
จาก Ax + By + C = 0 เม่ือ A =0
จะได้ By = - Ax-C

ดงั น้นั y = A x − C

BB

ถา้ ให้ a = A และ b = − C จะได้สมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรท่อี ยใู่ นรปู y = ax +b

BB

เมือ่ a และ b เป็นค่าคงตวั และเรยี ก a ว่าสมั ประสทิ ธิข์ อง x

คำชี้แจง : จงเขยี นสมการต่อไปนใ้ี หอ้ ยู่ในรูป Ax + By + C=0 พรอ้ มท้งั หาคา่ A, B และ C

1) 3x +7y+1 =0 2) 2y = 4x +3

วิธที ำ วธิ ที ำ

3. 1 x − 2y = 5 4. −4x − 2 y = 5

3 33

วธิ ีทำ วิธีทำ

ใบงำน แนะนาระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ชื่อ......................................................ชั้น...............เลขท่.ี ...............

คำชแี้ จง : จงเขยี นกราฟของสมการต่อไปน้ี
1. จงเขียนกราฟของสมการ 3x + y = 4
วธิ ที ำ

คาตอบของสมการคือ

x 0 1 -3
y

กราฟของสมการ 3x +y = 4 เป็นดังนี้
นา (x,y) ซ่งึ เปน็ คู่อนั ดบั ท่ีได้ค่าของ x และ y จากตารางทงั้ 2 มาเขยี นกราฟจะได้

2. จงเขยี นกราฟของสมการ 3x - 2y - 6 = 0
วธิ ีทำ

คาตอบของสมการคือ 0 2
x -2
y

กราฟของสมการ 3x - 2y - 6 = 0 เปน็ ดังนี้

3. จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ลงบนแกนคู่เดยี วกัน

(1) y = -2 (2) y - 1

วิธที ำ เขยี นกราฟของสมการ y=-2 และ y = 1

คาตอบคอื

y = - 2 -2 0 2

y=1

เขียนกราฟของสมการ y=-2 และ y=1 ได้ดังนี้

4. จงเขยี นกราฟของสมการต่อไปนีล้ งบนแกนคู่เดียวกนั

(1) 4y - 24 = 0 (2) 3 - 2y = - 3

วิธีทำ

คาตอบของสมการคือ 0 2
x -2

y=6
y=3
กราฟของสมการ 4y − 24 = 0 , 3− 2y = −3 ได้ดงั น้ี

5. จงเขยี นกราฟของสมการต่อไปนี้ ลงบนแกนคเู่ ดียวกนั

(1) x = 3 (2) x = -2

วธิ ีทำ

คาตอบของสมการคือ 0 4
y -4

x=3
x = -2
กราฟของสมการ x = 3 และ x = -2 ได้ดงั น้ี

6. จงเขยี นกราฟของสมการต่อไปนี้ ลงบนแกนคเู่ ดียวกนั

(1). 2x – 3 = 0 (2). 3x - 2 = -5

วธิ ีทำ

x =11 -2 0 2
2

y

X=-1 2
y -2 0

กราฟของสมการ 2x – 3 = 0 หรือ x =11 และ 3x – 2 = -5 หรอื x = - 1เปน็ ดังน้ี

2

ใบงำน แนะนาระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ชื่อ......................................................ช้นั ...............เลขท.ี่ ...............

คำชีแ้ จง : จงเขยี นกราฟของสมการ ในแต่ละข้อต่อไปนีบ้ นแกนคเู่ ดยี วกนั และหาจดุ ตัด

(1) 3x +2 = 14 (2) 3− x = 5 1 (3) y - 8 = -10 (4) 5 +2y = 9
วธิ ที ำ
2

เขยี นกราฟได้

จุดตดั ของกราฟของสมการ 3x + 2 = 14, 3− x = 5 1 , y - 8=-10, 5 + 2y = 9 คือ

2

ใบงำน แนะนาระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ชือ่ ......................................................ชนั้ ...............เลขท่.ี ...............

1. คำช้ีแจง : จงเขยี นกราฟของสมการ ในแต่ละข้อต่อไปนีบ้ นแกนคเู่ ดียวกนั

(1) y = x (2) y = x + 3

วธิ ีทำ คาตอบของสมการคือ

x -2 0 2

y=x

y=x+3

กราฟของสมการ y = x, y = x + 3 เป็นดังนี้

2. คำช้ีแจง : จงเขียนกราฟของของสมการ ในข้อต่อไปนโี้ ดยใชแ้ กนค่เู ดยี วกัน

(1). y = 3x (2). 3x – y = 2 (3). 2y - 6x = 4

วธิ ที ำ

กราฟของสมการ y = x , y = 3x - 2 และ y = 3x + 2 เปน็ ดงั น้ี 0 1
x -1

y = 3x
y = 3x - 2
y = 3x + 2
กราฟของสมการเป็นดังนี้

3. คำชี้แจง : จงเขียนกราฟของของสมการ ในขอ้ ต่อไปน้โี ดยใชแ้ กนค่เู ดยี วกนั

(1). y = 3x (2). y = -3x - 2

วธิ ีทำ

x -1 0 1

y = 3x

y = -3x - 2

กราฟของสมการ y=3xและ y=-3x-2เป็นดังนี้

จุดตัดของกราฟทัง้ สอง คือ

4. คำช้ีแจง : จงเขยี นกราฟของของสมการ ในข้อต่อไปนโ้ี ดยใชแ้ กนคเู่ ดียวกนั และหาจุดตัด

(1). y = x + 1 (2). y = -2x + 1 (3). y = - 1 x + 1

2

วธิ ีทำ กราฟของของสมการ y = x + 1, y = - 2x + 1, y=-1x+1 2
x -2
2
y= x+1
y = - 2x + 1 0

y= -1x+1

2

กราฟของสมการคือ

5. คำชี้แจง : จงเขยี นกราฟของของสมการ ในขอ้ ต่อไปนี้โดยใช้แกนคเู่ ดียวกนั

(1). y - 2x = 0 (2). y − 2x =1 (3). 2y + 6x = 6
วธิ ที ำ
3

X -1 0 1
y = 2x
y = 2x + 3
y = -3x + 3
กราฟของสมการ y = 2x , y = 2x + 3, y = -3x + 3 เป็นดงั น้ี

ใบงำน แนะนาระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ชื่อ......................................................ช้นั ...............เลขท.่ี ...............

การหาจุดตัดบนแกน X และแกน Y ของกราฟสมการเชิงเสน้ 2 ตัวแปรอาศัยหลักการ ดงั น้ี
1. กราฟจะตัดแกน Y ทจี่ ดุ r=0 เสมอ
2. กราฟจะตดั แกน x ทีจ่ ุดy = 0 แสมอ
การตรวจสอบวา่ จุดที่กาหนดอย่บู นกราฟของสมการที่กาหนดหรอื ไม่
ถา้ จดุ (a, b) ใด ๆ อย่บู นเสน้ ตรง L เมือ่ แทน x ควย a และแทน ด้วย 6 ในสมการ เสน้ ตรง L แลว้ จะทาให้สมการเปน็ จริง แต่ถ้าแทน x ด้วย
a แล้ว สมการไมเ่ ป็นจรงิ แสดง วา่ จดุ (a, b) ไมอ่ ย่บู นเสน้ ตรง

คำชแ้ี จง : จงพจิ ารณาสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแตล่ ะคตู่ อ่ ไปน้มี ีกราฟเปน็ เส้นตรงทีข่ นานกนั หรอื ตัดกนั

1. 2x + 3y - 5 = 0 และ -6X - 9y + 8 = 0
วธิ ีทำ

2. X - 2y =5 และ 2x - y=3
วิธีทำ

ใบงำน การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ชอ่ื ......................................................ชนั้ ...............เลขท.่ี ...............

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการแทนคา่ ตวั แปรนน้ั มหี ลกั การทางา่ ย ๆ คือ จัดสมการในรูปตัวแปรตวั ใดตัวหน่ึง แลว้ ไปแทนคา่ ลง
ในอกี สมการหน่งึ แลว้ ดาเนินการแก้สมการโดยใชส้ มบตั กิ ารเทา่ กันของจานวน จริง พอสรปุ เปน็ ขน้ั ตอนไดด้ ังน้ี

ขน้ั ท่ี 1 จดั สมการในรปู ตวั แปรตวั ใดตวั หน่ึง
ขนั้ ที่ 2 นาสมการท่ีจดั ไปแทนในสมการอีกสมการหนง่ึ
ข้ันท่ี 3 แทนคา่ เพ่ือหาค่าของตวั แปรทีเ่ หลอื
ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ

1. คำช้ีแจง : จงแก้ระบบสมการ 13x + y = 5 →①
8x + y = 5 →②

วิธีทำ

2. คำชี้แจง : จงแกร้ ะบบสมการ x+ 3y = 10 →①
x+5 = 12 →②

วิธีทำ

3. คำชี้แจง : จงแก้ระบบสมการ x+y = 15
xy = 34

วิธีทำ

4. คำช้ีแจง : จงแกร้ ะบบสมการ

y = x2 + 2x +1→ ①
y+ x =1→②

วธิ ีทำ

ใบงำน การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ช่อื ......................................................ชั้น...............เลขที่................

คำชแี้ จง : จงแก้ระบบสมการ
1. 3x + 3y = 15 และ 2x + 6y = 22

วิธีทำ

2 จงแก้ระบบสมการ 3x – 2y = 5 และ 2x + 7y = 9
วธิ ีทำ

2. จงแก้ระบบสมการ 5x + 4y =11 และ 3x − 5y = −23
วธิ ีทำ

4. จงแกร้ ะบบสมการ −0.3x + 0.5y = −0.1 และ 0.01x − 0.4y = −0.38
วธิ ีทำ

5. จงแก้ระบบสมการ 4x − 3y = 4 , 10x + 9y = −1
วธิ ีทำ

ใบงำน การแก้โจทยป์ ัญหาสมการเชงิ เสน้ 2 ตัวแปร ชื่อ......................................................ชนั้ ...............เลขท่ี................

คำช้แี จง : จงแสดงวธิ ที า

1. มะลิซือ้ ส้มโอผลเลก็ ราคาผลละ 30 บาท และผลใหญร่ าคา ผลละ 35 บาท คิดเป็นเงิน 950 บาท เม่ือนามารวมกนั และขาย

ไปผลละ 40 บาท ได้เงนิ 1,200 บาท จงหาว่ามะลิซื้อส้มโอแตล่ ะขนาดอย่างละกีผ่ ล

วธิ ที ำ กาหนดให้ x แทน จานวนสม้ โอผลเล็ก ราคาผลละ บาท

y แทน จานวนส้มโอผลใหญ่ ราคาผลละ บาท

คิดเปน็ เงนิ บาท

เขยี นสมการได้ ดังนี้

นามารวมกันและขายไป ผลละ บาท ไดเ้ งนิ บาท

เขียนสมการได้ ดงั น้ี

แกส้ มการได้ ดังน้ี

ดังน้นั คาตอบท่ไี ด้คือ ผล
x คอื ส้มโอผลเลก็ ผล
y คอื สม้ โอผลใหญ่

2. ถา้ ผลบวกของมมุ ภายในสองมุมของรูปส่ีเหล่ยี มรูปหนึง่ เปน็ 137 องศา และผลตา่ งของมมุ สองมมุ น้ีเปน็ 73 องศา

จงหามมุ ภายในทั้งสามของรปู สามเหลี่ยม

วิธีทำ กาหนดให้ x แทน ขนาดมุมภายในที่ 1 ราคาผลละ บาท

y แทน ขนาดมมุ ภายในที่ 2 ราคาผลละ บาท

ผลบวกของมุมภายในสองมมุ ของรปู ส่เี หล่ียมรปู หนึ่งเปน็ องศา

เขียนสมการได้ ดังนี้

และผลตา่ งของมุมสองมุมนี้เป็น องศา

เขยี นสมการได้ ดงั นี้

แกส้ มการได้ ดังนี้

x= องศา
y= องศา
z= องศา

3. เมื่อเฝา้ ดูนกกระจาบจบั ดอกบัวในสระแห่งหน่งึ พบวา่ ถ้านกจับดอกบวั ดอกละตัวจะเหลือนก 1 ตัวทไี่ ม่มบี วั จบั และถ้าจบั
ดอกละ 2 ตัว จะเหลอื บวั 1 ดอกท่ไี ม่มนี กจบั อยากทราบว่าในสระนี้มดี อกบัวก่ีดอกและนกกต่ี วั
วธิ ีทำ

4. เมอื่ สองปีท่แี ลว้ นายเอกอายเุ ป็น 6 เทา่ ของบุตรชายของเขาเอง อีก 18 ปขี ้างหน้านายพลจะมีอายเุ ป็น 2 เท่าของบุตรชาย
ของเขา อยากทราบว่าปัจจบุ ันอายขุ องเขาทงั้ สองเป็นเทา่ ใด
วิธีทำ

ใบงำน การแกโ้ จทยป์ ญั หาสมการเชิงเส้น 2 ตวั แปร ช่ือ......................................................ชนั้ ...............เลขที่................

คำช้แี จง : จงแสดงวิธที า
1. ชายคนหนง่ึ พายเรอื ตามน้า 5 ชวั่ โมง ไดท้ างเท่ากบั พายเรือทวนน้า 7 ชั่วโมง จงหาอัตราสว่ นระหว่างอัตราเรว็ ของการพาย
เรอื ในน้านิง่ กับอัตราเรว็ ของกระแสน้า
วิธีทำ

2. ซอ้ื ข้าวสารมาสองชนดิ ราคากโิ ลกรัมละ 18 บาท และ 27 บาท นามาปนกนั และขายไป กโิ ลกรมั ละ 24 บาท ไดก้ าไร 20%
ตอ้ งใช้อัตราส่วนอย่างไร
วิธีทำ

3. เม่อื 5 ปีทแ่ี ลว้ อายุของพ่ีกบั น้องเป็นอัตราสว่ น 5 : 4 อกี 10 ปีขา้ งหน้า อายุของพ่ีกบั นอ้ งเปน็ อัตราส่วน 10 : 9
ปจั จุบนั พอ่ี ายุมากกว่านอ้ งก่ปี ี
วิธีทำ เมื่อ 5 ปที ีแ่ ล้ว พี่อายุ x ปี

นอ้ งอายุ y ปี
เม่อื 5 ปีทีแ่ ล้ว อายขุ องพ่กี บั น้องเป็นอัตราส่วน
x:y=
แก้สมการ ดังน้ี
วธิ ีทำ

ใบงำน การแกโ้ จทยป์ ญั หาสมการเชิงเส้น 2 ตวั แปร ชอ่ื ......................................................ช้ัน...............เลขท่.ี ...............

คำช้ีแจง : จงแสดงวิธที า
1. ลูกปดั หนิ สีราคาบาทละ 2 เม็ด ลูกปดั พลาสติกราคาบาทละ 3 เม็ด ใชเ้ งิน 30 บาท ซื้อลูกปัดมาทัง้ สองชนิด นับจานวนลูกปัด
ได้ 70 เม็ด ซื้อลกู ปดั หนิ สีมากีเ่ มด็
วธิ ีทำ

2. นาแปลงหน่งึ เปน็ รปู ส่ีเหล่ยี มผืนผา้ ดา้ นยาวยาวกว่า 2 เท่าของด้านกวา้ งอยู่ 4 เมตร ถา้ เส้นรอบรูปของที่นาแปลงนเ้ี ปน็
50 เมตร แลว้ นาแปลงนีก้ ว้างกี่เมตร
วิธที ำ

3. ตุย้ นุย้ เลยี้ งปลาเงินและปลาทองไวใ้ นบอ่ เดียวกนั จานวนปลาทองเป็นสองเท่าของจานวนปลาเงิน ถ้าตุ้ยน้ยุ ใส่ปลาเงินลงใน
บ่ออีก 6 ตวั และนาปลาทองออกจากบ่อ 5 ตวั แล้วในบอ่ จะมีจานวนปลาเงินเทา่ กบั จานวนปลาทองพอดี ถามว่า ตยุ้ น้ยุ เลีย้ ง
ปลาเงนิ และปลาทองไวใ้ นบอ่ ทงั้ หมดกี่ตวั
วิธีทำ

4. แมค่ า้ ขายลูกช้นิ ป้งิ มลี ูกชิ้นและไมเ้ สียบลกู ช้นิ จานวนหนึ่ง ถา้ เสยี บลกู ชนิ้ ไม้ละ 1 ลูก จะเหลือลกู ชิน้ 2 ลกู ถา้ เสยี บลกู ชิ้นไม้
ละ 3 ลูก จะเหลือไมเ้ สียบลกู ช้นิ 6 ไม้ แม่ค้ามลี กู ช้นิ ทัง้ หมดกี่ลกู
วิธที ำ

ใบงำน การแกโ้ จทยป์ ัญหาสมการเชิงเสน้ 2 ตัวแปร ช่ือ......................................................ชัน้ ...............เลขที.่ ...............

คำชแ้ี จง : จงแสดงวิธีทา
1. พ่อคา้ ซือ้ ขา้ วเจา้ และขา้ วเหนียวมาผสมกันรวม 14 กโิ ลกรมั ข้าวเจ้าราคากิโลกรมั ละ 25 บาท ขา้ วเหนียวราคากิโลกรมั ละ
32 บาท จากน้นั ขายขา้ วผสมราคากิโลกรัมละ 36 บาท ได้กาไร 20% ของราคาทนุ พ่อค้าซอื้ ข้าวเจ้ามากี่กโิ ลกรัม
วธิ ีทำ

2. ข้าวถุงตราบัวแดง นา้ หนักถุงละ 5 กโิ ลกรมั มีข้าวหอมมะลิผสมอยู่ 40%ขา้ วถงุ ตราบัวขาว น้าหนกั ถุงละ 5 กโิ ลกรัม มขี า้ ว
หอม มะลิผสมอยู่ 60% ร้านอาหารแห่งหนง่ึ ต้องการขา้ วสาร 100 กิโลกรมั โดยมีข้าวหอมมะลิผสมอยู่ 56% รา้ นอาหารแหง่ น้ี
ต้องซื้อขา้ วถุงตราบัวแดงและตราบวั ขาวมาผสมกันอยา่ งละกีถ่ งุ
วธิ ที ำ

3.

ทาสีบ้านหลังหน่งึ ถา้ ใช้ผใู้ หญ่ 4 คน จะทาสเี สร็จใน 3 วัน ถ้าใชเ้ ด็ก 12 คน จะทาสีบ้านหลังนี้เสร็จใน 4 วัน ถา้ ใชผ้ ้ใู หญ่ 3 คน
และเดก็ 4 คน ชว่ ยกนั ทาสีบ้านหลงั นีจ้ ะทาสเี สร็จในก่วี ัน
วิธีทำ