https://thuviensach.vn PHỤ LỤC J Toán học của mật mã RSA Những điều trình bày dưới đây là sự mô tả toán học dễ hiểu về cơ chế mã hóa và giải mã RSA. (1) Alice lấy hai số nguyên tố cực lớn, p và q, nhưng để đơn giản ta lấy p = 17 và q = 11. Hai con số này Alice phải giữ bí mật hoàn toàn. (2) Alice nhân hai số này với nhau và nhận được số N. Trong trường hợp đang xét N = 187. Bây giờ cô lấy một số e khác. Trong trường hợp này cô chọn e = 7. (Thực ra, e và (p - 1) X (q - 1) phải nguyên tố cùng nhau, tức không có ước số chung khác 1. Nhưng đây chỉ là một chi tiết mang tính kỹ thuật). (3) Bây giờ Alice có thể công bố công khai số N và số e trên báo hoặc trong danh bạ điện thoại, chẳng hạn. Vì hai số này cần có để mã hóa nên nó phải có sẵn cho bất kỳ ai muốn mã hóa các thư gửi cho Alice. Hai con số này được gọi chung là chìa khóa mã công khai. (Ngoài việc là một bộ phận của chìa khóa mã công khai của Alice, số e cũng có thể là một bộ phận trong chìa khóa mã công khai của bất kỳ ai khác. Tuy nhiên, mỗi người lại phải có một số N khác nhau, tùy thuộc vào việc chọn các số p và q của họ). (4) Để mã hóa một bức thư, trước hết phải biến bức thư đó thành một con số M. Ví dụ, một từ được biến đổi thành các chữ số nhị phân theo ASCII và các số nhị phân này có thể được xem như một số thập phân M. Sau đó M được mã hóa để cho văn bản mật mã (C) theo công thức C = Me (mod N) (5) Hãy tưởng tượng Bob chỉ muốn đơn giản gửi cho Alice một cái hôn: chỉ là chữ cái X. Trong ASCII nó được biểu diễn bởi số nhị phân 1011000, số này tương đương với số 88 trong hệ thập phân. Vậy M = 88. (6) Để mã hóa bức thư này, Bob bắt đầu bằng cách tìm chìa khóa mã công khai của Alice và phát hiện ra rằng N = 187 và e = 7. Những con số này cùng với công thức mã hóa cho phép Bob dễ dàng mã hóa bức thư. Với M = 88, thay vào công thức mã hóa ta được:
https://thuviensach.vn C = 887 (mod 187) (7) Tính C theo công thức này bằng máy tính bỏ túi là điều không dễ dàng, vì màn hình không hiển thị nổi một số lớn như vậy. Tuy nhiên, có một mẹo khá hiệu quả để tính các hàm lũy thừa với số mũ lớn trong số học đồng dư. Chúng ta biết rằng 7 = 4 + 2 + 1, 887(mod 187) = [884(mod 187) X882(mod 187) X 881(mod 187)](mod 187) 881 = 88 = 88(mod 187) 882 = 7744 = 77 (mod 187) 884 = 59 969 536 = 132 (mod 187) 887 = 881 x 882 x 884 = 88 x 77 x 132 = 894 432 = 11(mod 187) Bây giờ Bob gửi văn bản mã hóa C = 11 cho Alice. (8) Chúng ta biết rằng các hàm số mũ trong số học đồng dư là các hàm một chiều, do vậy sẽ là rất khó tính ngược lại để phục hồi bức thư gốc M. Do đó Eve không thể giải mã được bức thư đó. (9) Tuy nhiên, Alice dễ dàng giải mã được bức thư, vì cô đã có trong tay một thông tin đặc biệt, đó là giá trị của các số nguyên tố p và q. Cô tính được một số đặc biệt, đó là số d, được biết là chìa khóa riêng của cô. Số d được tính theo công thức sau: exd = 1(mod(p-1) X(q-1)), 7xd = 1(mod 16x10) 7xd = 1(mod 160) Suy ra d = 23. (Việc suy ra giá trị của d không phải là quá dễ dàng, nhưng một kỹ thuật được gọi là thuật toán Euclid sẽ cho phép Alice tìm được giá trị của d một cách tương đối nhanh chóng và dễ dàng). (10) Để giải mã bức thư, Alice đơn giản chỉ cần dùng công thức sau M = Cd (mod N) M = 1123 (mod 187) M = [111(mod 187) x 112(mod 187) x 114(mod187) x 1116(mod 187)] (mod187) M = 11 x 121 x 55 x 154 (mod 187)
https://thuviensach.vn Suy ra M = 88 = X trong ASCII. Rivest, Shamir và Adleman đã tạo ra một hàm một chiều đặc biệt mà nó chỉ nghịch đảo được đối với những ai có trong tay thông tin đặc quyền, cụ thể là các giá trị của p và q. Mỗi một hàm có thể được cá thể hóa bằng cách chọn p và q, hai số nhân với nhau cho ta giá trị của N. Hàm này cho phép mọi người mã hóa các bức thư gửi cho một người cụ thể bằng cách chọn số N của người đó, nhưng chỉ người này mới có thể giải mã được các bức thư đó, vì chỉ có người đó mới biết các số p và q, và do đó là người duy nhất biết chìa khóa giải mã là số d.
https://thuviensach.vn CÁC TRANG WEB THAM KHẢO • Về bí mật kho báu của Beale: http://www.roanokeva.com/stories/beale.html • Về Bletchley Park: http://www.cranfield.ac.uk//bpark/ • Trang chủ về Alan Turing: http://www.turing.org.uk/turing/ • Các máy mô phỏng Enigma: http://www.attlabs.att.co.uk/andyc/enigma/enigma_j.html http://www.izzy.net/-ian/enigma/applet/index.html • Về Phil Zimmermann và PGP: http://www.nai.com/products/security/phil/phil.asp • Về trung tâm tính toán lượng tử: http://www.qubit.org/ • Về nhóm an ninh thông tin, Trường Royal Hollway College: http://isg.rhbnc.ac.uk/ • Về bảo tàng quốc gia chuyên về mật mã: http://www.nsa.gov:8080/museum/ • Về Hội Mật mã Hoa Kỳ (ACA): http://www.und.nodak.edu/org/crypto/crypto/ • Về Tạp chí Mật mã: http://www.dean.usma.edu/math/resource/pubs/cryptolo/index.htm • Các câu hỏi thường xuyên về mật mã: http://www.cis.ohio-state.edu/hypertext/faq/usenet/ • Các câu hỏi thường xuyên về mật mã (RSA) ngày nay: http://www.rsa.com/rsalabs/faq/html/question.html • Các liên kết về mật mã: http://www.ftech.net/-monark/crypto/web.htm
https://thuviensach.vn MẬT MÃ Simon Singh Phạm Văn Thiều - Phạm Thu Hằng dịch _____________________ Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc - Tổng biên tập NGUYỄN MINH NHỰT Chịu trách nhiệm nội dung: Phó giám đốc - Phó tổng biên tập NGUYỄN THẾ TRUẬT Biên tập: NGUYỄN THỊ HẢI VÂN Biên tập tái bản: NGUYỄN PHAN NAM AN - PHẠM TRỌNG LIÊM CHÂU Bìa: BÙI NAM Trình bày: ĐỖ VẠN HẠNH _____________________ NHÀ XUẤT BẢN TRẺ 161B Lý Chính Thắng - Quận 3 - Thành phố Hồ Chí Minh ĐT: 39316289 - 39316211 - 38465595 - 38465596 - 39350973 Fax: 84.8.8437450 - E-mail: [email protected] Website: http://www.nxbtre.com.vn CHI NHÁNH NHÀ XUẤT BẢN TRẺ TẠI HÀ NỘI Số 21, dãy A11, khu Đầm Trấu, p. Bạch Đằng, q. Hai Bà Trưng, Hà Nội ĐT: (04)37734544 - Fax: (04)35123395 E-mail: [email protected] CÔNG TY TNHH SÁCH ĐIỆN TỬ TRẺ (YBOOK) 161B Lý Chính Thắng, P.7, Q.3, Tp. HCM ĐT: 08 35261001 – Fax: 08 38437450 Email: [email protected] Website: www.ybook.vn
https://thuviensach.vn
https://thuviensach.vn
https://thuviensach.vn [1]Tiếng Pháp: Mật mã không thể phá nổi
https://thuviensach.vn [2] Huguenot - người theo đạo Tin Lành (đặc biệt là ở thế kỷ 16 và 17)
https://thuviensach.vn [3] tiểu thuyết của Joseph Heller (1961) và từ này hiện được sử dụng rộng rãi với hàm ý một chuỗi những sự kiện mà trong đó sự kiện này phụ thuộc vào sự kiện khác và đến lượt nó lại phụ thuộc vào sự kiện ban đầu. (ND)
https://thuviensach.vn [4]Đây là tên một nhân vật có hình quả trứng trong cuốn truyện nổi tiếng Alice ở thế giới thần kỳ của Lewis Carroll. Để hiểu các hàm một chiều tại sao lại được gọi là các hàm số Humpty Dumpty hãy đọc đoạn thơ sau mà Alice đã đọc để chế nhạo Humpty Dumpty: Ngài Humpty Dumpty ngồi trên bức tường Ngài Humpty Dumpty bị ngã rất đau Tất cả ngựa và quân lính của nhà Vua Cũng không đặt được Ngài về chỗ cũ. (ND)
https://thuviensach.vn [5]Lễ kỷ niệm việc người Do Thái rời khỏi Ai Cập. (ND)
https://thuviensach.vn [6]Rượu làm từ nho và được ướp lạnh, uống vào dịp lễ của người Do Thái. (ND)