Định Lý Cuối Cùng Của Fermat (Simon Singh)

https://thuviensach.vn 202 định lý cuối cùng của fermat khi đã giải được nó, bạn sẽ có một cảm xúc không thể tưởng tượng được rằng làm sao nó có thể đẹp đến như thế, làm sao mà nó lại kết cấu với nhau một cách ăn khớp tuyệt vời đến như thế. Những bài toán dễ đánh lừa người ta nhất là những bài toán trông bề ngoài rất dễ dàng, nhưng hóa ra chúng cực kỳ phức tạp. Định lý cuối cùng của Fermat là một thí dụ tuyệt vời nhất của loại bài toán này. Trông nó có vẻ như là đã có một chứng minh, tất nhiên là rất đặc biệt vì Fermat đã khẳng định rằng ông đã tìm ra chứng minh của nó”. Toán học có những ứng dụng trong khoa học và công nghệ, nhưng đó không phải điều kích thích các nhà toán học. Họ được truyền cảm hứng bởi niềm vui khám phá. G.H. Hardy đã cố gắng giải thích và đánh giá nghề nghiệp của bản thân ông trong cuốn sách mang tên Lời xin lỗi của một nhà toán học như sau: Tôi sẽ chỉ nói rằng nếu một bài toán chơi cờ, nói theo nghĩa thô thiển, là “vô dụng”, thì tương tự điều đó cũng đúng với phần lớn những lĩnh vực toán học đẹp nhất... Tôi chưa bao giờ làm được bất kỳ cái gì “có ích” cả. Chẳng có khám phá nào của tôi, dù là trực tiếp hay gián tiếp, đã làm hoặc có thể sẽ làm thay đổi một mảy may nào theo hướng tốt hoặc xấu những thú vui ở thế gian. Đánh giá theo tất cả những tiêu chuẩn thực tiễn, thì giá trị cuộc đời toán học của tôi là số 0 và dẫu sao thì bên ngoài toán học nó cũng là tầm thường. Tôi chỉ có một cơ hội để tránh khỏi bị phán xét là vô dụng, nếu người ta thấy rằng tôi đã tạo ra một điều đáng được sáng tạo. Việc tôi đã sáng tạo ra được một cái gì đó là điều không thể phủ nhận: vấn đề chỉ là giá trị của nó mà thôi. Khát vọng tìm ra lời giải đối với bất kỳ bài toán toán học nào đều được đốt cháy bởi sự tò mò, tính hiếu kỳ, và phần thưởng đơn giản chỉ là sự thỏa mãn đã nảy sinh từ việc giải được một thách đố. Nhà

https://thuviensach.vn 203 đi vào trừu tượng toán học E.C. Tithmarsch có lần nói: “Có thể việc biết số pi (π) là số vô tỷ chẳng có ứng dụng gì trong thực tiễn, nhưng nếu chúng ta có thể biết được điều đó mà chúng ta lại không biết thì đó là điều không thể dung thứ được”. Trường hợp Định lý cuối cùng của Fermat là một sự kỳ lạ kích thích trí tò mò. Công trình của Godel về tính không quyết định được đã dẫn tới sự ngờ vực rằng liệu bài toán có thể giải được hay không, nhưng điều này không đủ để làm nhụt chí những kẻ thật sự cuồng tín đối với Định lý Fermat. Điều làm ngã lòng nhiều hơn là ở chỗ trong những năm 1930 các nhà toán học đã tận dụng hết mọi kỹ thuật của họ và chỉ còn rất ít kỹ thuật dự trữ. Cái cần có là một công cụ mới, một cái gì đó thực sự vực dậy được tinh thần toán học. Và cuộc Chiến tranh thế giới lần thứ hai đã cung cấp đúng cái cần có - đó là bước nhảy vọt vĩ đại nhất của khả năng tính toán kể từ khi phát minh ra thước logarit. Cách tiếp cận bạo lực Năm 1940, sau khi tuyên bố rằng những loại toán học đẹp đẽ nhất phần lớn là vô dụng, G.H.Hardy đã vội vã bổ sung rằng điều đó không nhất thiết là dở: “Toán học thật (tức toán học thuần túy - ND) sẽ không có tác dụng gì trong chiến tranh cả. Chưa ai khám phá ra lý thuyết số phục vụ bất cứ một mục đích chiến tranh nào”. Nhưng chẳng bao lâu tuyên bố của Hardy đã bị chứng minh là sai. Năm 1944, John von Newmann là đồng tác giả của cuốn Lý thuyết trò chơi và hành vi kinh tế, trong đó ông đã tung ra thuật ngữ lý thuyết trò chơi. Lý thuyết trò chơi là ý đồ của von Newmann nhằm sử

https://thuviensach.vn 204 định lý cuối cùng của fermat dụng toán học để mô tả cấu trúc của những trò chơi và cách thức con người chơi những trò chơi đó ra sao. Ông bắt đầu nghiên cứu môn chơi cờ và môn đánh bạc, sau đó tiếp tục thử nghiệm và xây dựng mô hình những trò chơi tinh tế hơn như kinh tế học. Sau Chiến tranh thế giới lần thứ hai, tổ hợp RAND nhận thấy tiềm năng trong những ý tưởng của von Newmann và đã thuê ông vạch ra những chiến lược của cuộc Chiến tranh lạnh. Từ điểm này trở đi, lý thuyết trò chơi trong toán học đã trở thành một công cụ căn bản cho các vị tướng soái dùng để kiểm tra những chiến lược quân sự của họ bằng cách xem các trận đánh như những ván cờ phức tạp. Một minh họa đơn giản cho việc áp dụng lý thuyết trò chơi là câu chuyện cuộc đấu tay ba dưới đây. Một cuộc đấu tay ba cũng tương tự như cuộc đấu tay đôi, trừ việc có ba người tham gia thay vì chỉ có hai. Một buổi sáng, ông Black, ông Grey và ông White quyết định giải quyết một xung đột bằng một cuộc đấu súng tay ba cho tới khi chỉ còn một người sống sót. Ông Black là người bắn kém nhất, trung bình chỉ bắn trúng mục tiêu một trong ba phát bắn. Ông Grey bắn tốt hơn, trúng hai trong ba phát. Ông White bắn tốt nhất, luôn luôn bắn trúng. Để cho cuộc đấu công bằng hơn, ông Black được phép bắn trước, sau đó đến ông Grey (nếu ông ta còn sống), tiếp theo là ông White (nếu ông này còn sống), và quay vòng lại đến chừng nào chỉ còn sống sót một trong ba người. Câu hỏi đặt ra là: Ông Black nên nhắm bắn vào ai trước? Bạn có thể phỏng đoán dựa vào trực giác, hoặc tốt hơn có thể dựa vào lý thuyết trò chơi. Câu trả lời sẽ được thảo luận trong Phụ lục 9. Một ngành toán học thậm chí còn có ảnh hưởng trong chiến tranh lớn hơn cả lý thuyết trò chơi là khoa học giải mã. Suốt trong cuộc

https://thuviensach.vn 205 đi vào trừu tượng Chiến tranh thế giới lần thứ hai, quân đội đồng minh đã nhận thấy rằng về mặt lý thuyết, có thể dùng logic toán để giải mã các bức điện của Đức, chỉ nếu những tính toán có thể được thực hiện đủ nhanh. Thách thức ở đây là phải tìm ra cách tự động hóa toán học sao cho một chiếc máy có thể thực hiện được các phép tính đó, và một người Anh đã có những đóng góp nhiều nhất vào nỗ lực giải mã này là Alan Turing. Năm 1938, Turing quay trở lại Đại học Cambridge sau khi đã hoàn thành công việc của mình tại Đại học Princeton. Ông đã trực tiếp chứng kiến tình trạng náo động do các định lý của Godel về tính không quyết định được gây ra, đồng thời tham gia vào những nỗ lực cứu vớt những mảnh mơ ước còn lại của Hilbert. Đặc biệt, ông rất muốn biết liệu có thể có một phương pháp xác định những vấn đề nào là quyết định được và vấn đề nào là không quyết định được hay không, ông đã cố gắng phát triển một cách có phương pháp để trả lời câu hỏi này. Vào thời đó máy móc tính toán còn rất thô sơ và không có hiệu quả thực tế khi xuất hiện những nhu cầu toán học nghiêm túc; và để thay thế những chiếc máy thô sơ đó Turing xây dựng những ý tưởng của mình dựa trên quan niệm về một chiếc máy tưởng tượng có khả năng tính toán vô hạn. Chiếc máy giả thuyết này dùng một lượng vô hạn các băng giấy tưởng tượng giống như máy điện báo và có thể tính toán mãi mãi, đó là tất cả những gì mà ông đòi hỏi để khảo sát những vấn đề logic trừu tượng của mình. Turing không hề ngờ rằng việc cơ khí hóa tưởng tượng những vấn đề giả thuyết của ông cuối cùng lại dẫn tới một đột phá trong việc thực hiện các phép tính thực trên những máy tính thực.

https://thuviensach.vn 206 định lý cuối cùng của fermat Alan Turing Bất chấp sự bùng nổ chiến tranh, Turing vẫn tiếp tục công trình nghiên cứu của mình ở trường King College, cho đến tận ngày 4 tháng 9 năm 1940 cuộc sống phẳng lặng của ông nhờ Đại học Cambridge mới đi đến một kết thúc bất ngờ. Ông được Trường mật mã của Chính phủ trưng dụng, nhiệm vụ của trường này là giải mã những bức điện đã mã hóa của quân thù. Trước chiến tranh, người Đức đã có một nỗ lực đáng kể để phát triển một hệ thống mã hóa

https://thuviensach.vn 207 đi vào trừu tượng cao cấp, và đây là một vấn đề gây lo lắng nghiêm trọng đối với cơ quan phản gián Anh, cơ quan đã từng giải mã các liên lạc của kẻ thù một cách tương đối dễ dàng trong quá khứ. Cuốn sách lịch sử chiến tranh chính thức của HMSO mang tên Tình báo Anh trong Chiến tranh thế giới lần thứ hai mô tả tình thế sân khấu thời cuộc những năm 1930 như sau: Vào năm 1937, người ta đã xác minh được rằng, không giống như các đồng minh Italia và Nhật của mình, lục quân Đức, hải quân Đức, và có lẽ cả không quân Đức, cùng với những tổ chức nhà nước khác như ngành đường sắt và cơ quan SS, ngoại trừ các thông tin liên lạc chiến thuật ra, còn thì tất cả đều sử dụng các phiên bản khác nhau của cùng một hệ thống mật mã - đó là chiếc máy Enigma đã được bán ngoài thị trường trong những năm 1920 nhưng giờ đây đã được người Đức cải tiến cho an toàn hơn. Năm 1937, Trường mật mã chính phủ đã khám phá thành công cấu trúc của một mô hình ít thay đổi và kém an toàn hơn của chiếc máy này, mà người Đức và các lực lượng quốc xã ở Italia và Tây Ban Nha đã quen sử dụng. Nhưng ngoài trường hợp này ra thì chiếc Enigma cho đến lúc đó vẫn kháng cự lại mọi cuộc công phá, và dường như nó sẽ còn tiếp tục kháng cự như thế. Máy Enigma bao gồm một bộ bàn phím nối với bộ phận mã hóa. Bộ phận mã hóa này chứa ba rotor riêng rẽ và vị trí của các rotor xác định mỗi chữ cái trên bàn phím sẽ được mã hóa ra sao. Mã của Enigma rất khó phá do số lượng khổng lồ của các cách mà chiếc máy này có thể tạo lập. Đầu tiên, ba rotor trong máy sẽ được chọn từ 5 khả năng tuyển lựa, và lại có thể được biến đổi và hoán vị vòng quanh để gây rối cho người giải mã. Thứ hai, mỗi rotor lại có thể được định vị theo một trong 26 cách khác nhau. Điều này có nghĩa

https://thuviensach.vn 208 định lý cuối cùng của fermat là chiếc máy có thể thiết đặt theo hơn một triệu cách khác nhau. Bổ sung thêm cho các hoán vị do các rotor cung cấp, bảng phích cắm kết nối ở phía sau của chiếc máy có thể được thay đổi bằng tay sẽ cung cấp tổng cộng 150 triệu triệu triệu cách thiết lập khác nhau. Để tăng cường tính an toàn hơn nữa, ba rotor liên tục thay đổi sự định hướng của chúng, sao cho mỗi lần một chữ cái được phát đi, sự thiết lập máy, và cả sự mã hóa, cũng sẽ thay đổi cho chữ cái tiếp theo. Thí dụ, khi ta gõ “DODO” có thể tạo ra bức điện “FTGB” - nghĩa là chữ “D” và chữ “O” được gửi đi hai lần nhưng mỗi lần lại được mã hóa khác nhau. Những chiếc máy Enigma đã được giao cho hải, lục, không quân Đức, và thậm chí cũng được sử dụng để phục vụ ngành đường sắt và các bộ khác trong Chính phủ. Cũng như tất cả các hệ thống mã hóa được sử dụng trong giai đoạn đó, chỗ yếu của Enigma là người nhận mã phải biết được cách thiết lập trong máy Enigma của người gửi. Để đảm bảo an toàn, những kiểu thiết lập này phải được thay đổi trên căn bản hàng ngày. Một cách để người gửi thay đổi cách thiết lập thường xuyên và bảo đảm cho người nhận được biết là công bố những cách thiết lập này trong một cuốn sách mật mã bí mật. Nguy cơ của phương pháp này là ở chỗ quân Anh có thể bắt được một tàu ngầm của Đức và sẽ thu được cuốn sách mật mã với tất cả các cách thiết lập hàng ngày như thế cho cả tháng tiếp theo. Một cách thay thế khác, và cũng là cách chủ yếu được chọn trong chiến tranh, là thông báo cách thiết đặt của ngày hôm nay trong lời mở đầu của bức điện được mã hóa bằng mã của ngày hôm trước. Khi Chiến tranh thế giới lần thứ hai nổ ra, biên chế của Trường mật mã Anh chủ yếu bao gồm các nhà nghiên cứu ngôn ngữ cổ và

https://thuviensach.vn 209 đi vào trừu tượng các nhà ngôn ngữ học. Nhưng Bộ Ngoại giao Anh sớm nhận thấy rằng các nhà lý thuyết số có cơ may tốt hơn để tìm ra chìa khóa bẻ mã của người Đức; và để bắt đầu, chín nhà lý thuyết số xuất sắc nhất của Anh đã được triệu tập về căn nhà mới của Trường mật mã ở Bletchley Park, một lâu đài thời Victoria ở Bletchley, Buckinghamshire. Vậy là Turing đành phải từ bỏ những chiếc máy giả thuyết của ông với những băng giấy điện báo vô hạn và thời gian xử lý vô tận để chuyển sang làm việc với một bài toán thực tiễn cùng những nguồn tài nguyên hữu hạn và một thời hạn quy định rất thực tế. Khoa học mật mã là một cuộc đấu trí giữa người lập mã và người giải mã. Thách thức đối với người lập mã là phải làm cho bức điện gửi đi rối ren tới mức nếu bị kẻ thù chặn bắt được thì cũng không thể giải mã ra. Tuy nhiên, có một giới hạn đối với số lượng của các thao tác toán học khả dĩ bởi vì cần phải gửi bức điện đi nhanh và hiệu quả. Thế mạnh của mã tạo bởi máy Enigma của Đức là ở chỗ các bức điện được mã hóa ở một số cấp độ với tốc độ rất cao. Thách thức đối với người giải mã là lấy một bức điện bị chặn bắt và phá được khóa mã trong khi nội dung của bức điện vẫn còn đang có giá trị. Một bức điện của Đức ra lệnh phải đánh chìm một con tàu của Anh phải được giải mã trước khi con tàu này bị đánh chìm. Turing lãnh đạo nhóm các nhà toán học với nhiệm vụ dựng lại một bản sao của chiếc máy Enigma. Turing kết hợp những ý tưởng trừu tượng của ông trước chiến tranh vào trong những chiếc máy này, về mặt lý thuyết chúng có thể kiểm tra một cách có phương pháp tất cả các khả năng mà chiếc máy Enigma có thể thiết đặt cho đến khi khóa mã bị bẻ gãy mới thôi. Những chiếc máy của Anh,

https://thuviensach.vn 210 định lý cuối cùng của fermat chiều cao và chiều rộng đều lớn hơn 2 mét, sử dụng những rơle cơ điện để kiểm tra tất cả các cách thiết lập có thể có của Enigma. Tiếng lách tách không ngừng của các rơle này khiến người ta đặt cho những chiếc máy này biệt danh là những “quả bom”. Mặc dù có tốc độ khá cao, nhưng các quả bom này cũng không thể kiểm tra hết 150 triệu triệu triệu cách thiết lập khả dĩ của Enigma trong một khoảng thời gian hợp lý, và do đó nhóm của Turing phải tìm cách để giảm thiểu một cách đáng kể số các hoán vị bằng cách lượm lặt bất kể thông tin gì có thể được từ những bức điện được đối phương gửi đi. Một trong những đột phá vĩ đại nhất mà quân Anh làm được là việc phát hiện ra chiếc máy Enigma không bao giờ mã hóa một chữ cái bằng chính nó, nghĩa là nếu người gửi gõ chữ “R” thì có nhiều khả năng là chiếc máy gửi đi bất kỳ một chữ cái nào trừ chữ “R”, tùy thuộc vào cách thiết đặt của máy. Điều này bề ngoài có vẻ vô hại nhưng chính là tất cả những gì cần thiết để giảm thiểu một cách ghê gớm thời gian đòi hỏi để giải mã một bức điện. Người Đức đã đánh lại bằng cách giới hạn độ dài của bức điện họ gửi đi. Tất cả các bức điện không tránh khỏi đều có chứa những đầu mối đối với nhóm những nhà giải mã, và bức điện càng dài thì càng có nhiều đầu mối. Bằng cách giới hạn tất cả các bức điện tối đa chỉ có 250 chữ cái, người Đức hy vọng sẽ bù được thiếu sót của máy Enigma khi nó “không muốn” mã hóa một chữ cái bằng chính chữ cái đó. Nhằm mục đích bẻ mã, Turing thường xuyên cố gắng đoán những từ chủ yếu trong bức điện. Nếu ông đoán đúng thì điều đó sẽ làm tăng vọt tốc độ giải mã phần còn lại của bức điện. Thí dụ, nếu người giải mã ngờ rằng đây là một bức điện có nội dung

https://thuviensach.vn 211 đi vào trừu tượng báo cáo về thời tiết, một loại báo cáo mã hóa thường xuyên, thì họ sẽ đoán bức điện có chứa những từ như “fog” (sương mù) hoặc “windspeed” (tốc độ gió). Nếu đoán đúng thì họ có thể nhanh chóng giải mã được bức điện, và vì thế có thể suy ra được các cách thiết đặt của Enigma trong ngày hôm đó. Đối với phần còn lại trong ngày, những bức điện khác có giá trị hơn có thể được bẻ mã một cách dễ dàng. Khi không đoán ra các từ thời tiết, người Anh sẽ thử đặt mình vào vị thế của những người điều khiển chiếc Enigma của Đức để đoán những từ khóa khác. Một người điều khiển cẩu thả có thể xưng hô với người nhận theo tên hoặc có những từ ngữ thân mật riêng mà người bẻ mã đã biết. Khi tất cả những cách này vẫn thất bại và sự thông tin liên lạc của người Đức vẫn trôi chảy không thể kiểm soát được, thì nghe nói Trường mật mã Anh thậm chí đã phải cầu viện đến lực lượng hàng không hoàng gia (RAF), yêu cầu họ thả mìn một cảng nào đó của Đức. Ngay lập tức người phụ trách bến cảng này của Đức sẽ phải gửi đi một bức điện mã hóa mà người Anh có thể chặn bắt được. Những người giải mã có thể tin chắc rằng bức điện sẽ chứa những từ như “mine” (mìn), “avoid” (tránh) và “map reference” (tham khảo bản đồ). Sau khi giải mã được bức điện này, Turing sẽ biết được cách thiết đặt của máy Enigma và bất kỳ bức điện nào tiếp sau của Đức đều dễ dàng được giải mã nhanh chóng. Ngày 1 tháng 2 năm 1942, người Đức đã bổ sung thêm bánh xe thứ tư vào các máy Enigma dùng để gửi những thông tin đặc biệt nhạy cảm. Đây là một bước leo thang lớn nhất về cấp độ lập mã trong suốt cuộc chiến tranh, nhưng tất nhiên là nhóm của Turing đã đánh trả lại bằng việc tăng cường hiệu quả của các “quả bom”.

https://thuviensach.vn 212 định lý cuối cùng của fermat Nhờ Trường mật mã, quân đồng minh biết về kẻ thù của họ nhiều hơn mức mà người Đức từ trước tới nay có thể ngờ tới. Hiệu quả hoạt động của tàu ngầm Đức tại Đại Tây Dương đã bị giảm thiểu đáng kể và người Anh đều đã thành công báo trước được những cuộc tấn công của không quân Đức. Các nhà giải mã cũng đã chặn bắt và giải mã được những bức điện cho biết vị trí chính xác của tàu dự trữ của hải quân Đức, và điều này cho phép người Anh có thể đưa các máy bay ném bom tới đánh chìm chúng. Trong toàn bộ thời gian đó, các lực lượng đồng minh đã phải hết sức cẩn trọng để những hành động né tránh bị tấn công của họ hoặc những cuộc tấn công kỳ lạ mà họ đánh lại đối phương không để lộ rằng họ đã giải mã được các thông tin liên lạc của Đức. Nếu người Đức nghi ngờ Enigma đã bị bẻ khóa thì họ sẽ tăng cường mức độ mã hóa của họ, và người Anh có thể sẽ trở về tình trạng không lại hoàn không. Vì thế có những trường hợp khi Trường mật mã thông báo cho đồng minh biết một cuộc tấn công sắp xảy ra, quân đồng minh đã không chọn biện pháp đối phó thái quá. Thậm chí có tin đồn rằng thủ tướng Anh Churchill đã biết trước Coventry sẽ là mục tiêu của một cuộc oanh tạc tàn khốc, nhưng ông đã không đưa ra những biện pháp đặc biệt nào để tránh sự nghi ngờ của người Đức. Tuy nhiên, Stuart Milner-Barry, người đã làm việc cùng Turing, phủ nhận những lời đồn đại đó, và nói rằng thực ra bức điện tín liên quan đến Coventry mà ta đang nói đã không được giải mã kịp thời trước lúc quá muộn. Việc sử dụng kiềm chế những thông tin đã được giải mã được thực hiện một cách hoàn mỹ. Thậm chí khi người Anh sử dụng những thông tin liên lạc chặn bắt được để giáng cho kẻ thù những

https://thuviensach.vn 213 đi vào trừu tượng tổn thất nặng, người Đức cũng không ngờ rằng mã của Enigma đã bị phá. Họ tin rằng mức độ mã hóa của họ cao cấp đến nỗi tuyệt đối không thể giải mã được. Thay vì thế họ lại đổ lỗi những tổn thất khác thường của họ là do các nhân viên mật vụ Anh đã lọt vào hàng ngũ của họ. Do phải giữ bí mật xung quanh công việc mà Turing và nhóm của ông tiến hành ở Betchley, nên sự đóng góp vô cùng to lớn của họ cho chiến tranh có thể không bao giờ được thừa nhận một cách công khai, thậm chí trong nhiều năm sau chiến tranh. Người ta thường nói rằng: Chiến tranh thế giới lần thứ nhất là cuộc chiến tranh của các nhà hóa học và Chiến tranh thế giới lần thứ hai là cuộc chiến tranh của các nhà vật lý. Thực tế, từ những thông tin được tiết lộ trong những thập kỷ gần đây, có lẽ đúng ra phải nói rằng Chiến tranh thế giới lần thứ hai là cuộc chiến tranh của các nhà toán học và trong trường hợp có một thế chiến thứ ba thì đóng góp của họ (những nhà toán học) thậm chí sẽ còn quan trọng hơn nữa. Trong suốt thời gian làm công việc giải mã, Turing vẫn không bao giờ sao nhãng những mục tiêu toán học. Những chiếc máy giả thuyết đã được thay thế bằng những chiếc máy hiện thực, nhưng những câu hỏi bí hiểm thì vẫn còn đó. Vào giai đoạn cuối của chiến tranh Turing đã giúp xây dựng Colossus, một chiếc máy tính điện tử bao gồm 1.500 đèn điện tử, nhanh hơn rất nhiều so với những cái rơle cơ điện dùng trong các “quả bom”. Colossus là một chiếc máy tính theo nghĩa hiện đại của từ này, và với tốc độ và sự tinh vi siêu hạng của nó, Turing bắt đầu nghĩ về nó như một bộ não thô sơ - nó có một bộ nhớ, nó có thể xử lý thông tin, và những trạng thái bên trong của nó giống với những trạng thái của bộ óc.

https://thuviensach.vn 214 định lý cuối cùng của fermat Turing đã biến chiếc máy tưởng tượng của ông thành một chiếc computer hiện thực đầu tiên. Khi cuộc chiến kết thúc, Turing vẫn tiếp tục xây dựng những chiếc máy tính có độ phức tạp tăng lên không ngừng, như chiếc ACE (Automatic Computing Engine - Máy tính tự động), chẳng hạn. Năm 1948, ông chuyển đến Đại học Manchester và xây dựng chiếc máy tính đầu tiên trên thế giới có chương trình lưu trữ bằng điện tử. Turing đã cung cấp cho nước Anh những chiếc máy tính tiên tiến nhất trên thế giới, nhưng ông đã không sống đủ lâu để thấy những tính toán kỳ diệu nhất của nó. Trong những năm sau chiến tranh, Turing luôn phải chịu sự giám sát của cơ quan phản gián Anh. Cơ quan này biết rằng ông đang có quan hệ đồng tính luyến ái và họ e ngại rằng một người biết quá rõ về các mã an ninh của Anh hơn bất kỳ ai khác sẽ dễ bị hăm dọa tống tiền, nên đã quyết định theo dõi từng bước đi của ông. Turing hầu như đã cam chịu tình trạng đó, nhưng vào năm 1952 ông đã bị bắt vì vi phạm các đạo luật về đồng tính luyến ái của Anh. Sự nhục nhã này đã làm cho cuộc sống của Turing trở nên không thể chịu đựng nổi nữa. Andrew Hodges, một người viết tiểu sử Turing, đã mô tả những sự kiện dẫn tới cái chết của ông như sau: Cái chết của Alan Turing là một cú sốc đối với tất cả những ai đã từng biết ông... Chuyện ông là một người bất hạnh, luôn luôn trong trạng thái căng thẳng thần kinh; chuyện ông đã từng tới khám ở một chuyên gia tâm thần và đã từng chịu những đòn có thể làm gục ngã nhiều người - tất cả những chuyện đó đều đã rõ ràng. Nhưng phiên tòa xử ông hai năm trước, việc điều trị hormone đã kết thúc một năm trước đó, và dường như ông đã vượt qua được tất cả những điều đó.

https://thuviensach.vn 215 đi vào trừu tượng Cuộc điều tra vào ngày 10 tháng 6 năm 1954 đã khẳng định rằng đó là một vụ tự sát. Người ta đã phát hiện thấy ông nằm còng queo trên giường, quanh miệng đầy bọt. Nhà nghiên cứu bệnh học - người khám nghiệm tử thi - đã dễ dàng xác nhận rằng nguyên nhân của cái chết là do ngộ độc xyanua... Trong nhà có một cốc to chứa chất kali xyanua, và một cái cốc to khác đựng dung dịch xyanua. Bên cạnh giường ông có một nửa quả táo, đã cắn một vài miếng. Người ta đã không phân tích quả táo đó, và vì thế không bao giờ xác lập được một cách chính xác, mặc dù dường như đã quá rõ ràng, là quả táo đã bị nhúng trong dung dịch xyanua. Di sản của Turing là một chiếc máy có thể thực hiện trong vài giờ đồng hồ những tính toán dài tới mức phi thực tế, nếu được thực hiện bởi con người. Những máy tính ngày nay có thể thực hiện trong một phần giây một khối lượng tính toán mà cả đời Fermat cũng không thực hiện nổi. Các nhà toán học hiện vẫn đang còn vật lộn với Định lý cuối cùng của Fermat đã bắt đầu sử dụng máy tính để công phá bài toán đó, bằng cách dựa vào phiên bản máy tính hóa của phương pháp đã được Kummer phát triển ở thế kỷ XIX. Sau khi khám phá ra sai lầm trong công trình của Cauchy và Lamé, Kummer đã chỉ ra khó khăn nổi bật trong việc chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat là những chứng minh đối với các trường hợp trong đó số mũ n là một số nguyên tố bất thường - đối với những giá trị của n nhỏ hơn 100 thì chỉ có ba số nguyên tố bất thường là 37, 59 và 67. Đồng thời, Kummer cũng đã chỉ ra rằng về mặt lý thuyết việc chứng minh với mỗi số nguyên tố bất thường có thể được khảo sát một cách riêng rẽ. Vấn đề duy nhất đặt ra chỉ là ở chỗ mỗi trường hợp đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ.

https://thuviensach.vn 216 định lý cuối cùng của fermat Việc Kummer cùng với cộng sự của mình là Dimitri Mirimanoff đã mất hàng tuần lễ để chứng minh cho trường hợp các số nguyên tố bất thường nhỏ hơn 100 đã chứng tỏ khối lượng tính toán lớn tới mức nào. Tuy nhiên, họ và những nhà toán học khác chưa được chuẩn bị để tiến hành tính toán cho nhóm các số nguyên tố bất thường tiếp theo từ 100 đến 1.000. Vài thập kỷ sau, những bài toán với khối lượng tính toán khổng lồ đã bắt đầu dễ xử lý hơn. Với sự xuất hiện của máy tính, những trường hợp rắc rối của Định lý cuối cùng của Fermat đã có thể được giải quyết nhanh chóng, và sau Chiến tranh thế giới lần thứ hai, nhiều nhóm các nhà khoa học công nghệ thông tin và toán học đã chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat với những giá trị của n lên tới 500, rồi 1.000, và đến 10.000. Trong những năm 1980, Samuel S. Wagstaff thuộc Đại học Illinois đã nâng giới hạn lên tới 25.000 và gần đây hơn các nhà toán học đã có thể tuyên bố rằng Định lý cuối cùng của Fermat đúng với mọi giá trị của n lên tới 4 triệu. Mặc dù những người ngoại đạo cho rằng cuối cùng thì công nghệ hiện đại cũng đã giúp ta đạt tới những kết quả tốt hơn đối với Định lý cuối cùng, nhưng cộng đồng toán học biết rõ rằng thắng lợi của họ mới chỉ thuần túy là một thứ khai vị. Thậm chí, nếu các máy tính có tiêu tốn hàng thập kỷ để chứng minh hết giá trị n này đến giá trị n khác thì nó cũng chẳng bao giờ chứng minh được với mọi giá trị của n tới vô cùng, và do đó không bao giờ có thể tuyên bố là đã chứng minh hoàn toàn định lý. Thậm chí nếu định lý được chứng minh với n lên đến một tỷ, thì cũng chẳng có lý do gì để kết luận nó sẽ đúng với n bằng một tỷ linh một. Và nếu định lý có được chứng minh với n lên tới một nghìn tỷ, cũng chẳng có lý do gì để kết luận

https://thuviensach.vn 217 đi vào trừu tượng nó đúng với một nghìn tỷ linh một, và cứ như thế tới vô cùng. Vô cùng không thể nhận được đơn thuần chỉ bằng bạo lực nghiền nát những con số đã được máy tính hóa. David Lodge trong cuốn sách Những cuộc phiêu du trong các bức tranh đã mô tả rất hay về cái vĩnh cửu, một khái niệm có liên quan tới khái niệm cái vô hạn, như sau: “Hãy tưởng tượng một quả cầu thép to bằng Trái đất, và một con ruồi đậu nhẹ xuống đó cứ một triệu năm một lần. Khi quả cầu thép mòn hết đi vì sự ma sát (của con ruồi - ND) thì cái vĩnh cửu thậm chí vẫn còn chưa bắt đầu”. Tất cả những điều máy tính có thể làm là cung cấp những bằng chứng ủng hộ Định lý cuối cùng của Fermat mà thôi. Đối với một người quan sát tình cờ thì bằng chứng đó có vẻ như là quá mạnh, nhưng không có một số lượng bằng chứng nào đủ để làm thỏa mãn các nhà toán học, một cộng đồng hoài nghi không chấp nhận điều gì ngoài một chứng minh tuyệt đối. Ngoại suy một lý thuyết để bao trùm một số vô hạn các số dựa trên những bằng chứng từ một số hữu hạn các số là một trò đỏ đen đầy rủi ro (và không thể chấp nhận được). Dãy các số nguyên tố đặc biệt sau đây sẽ cho thấy việc ngoại suy từ một tập hợp hữu hạn sang vô hạn là nguy hiểm tới mức nào. Bằng sự kiểm tra chi tiết, các nhà toán học thế kỷ XVII đã chỉ ra rằng các số sau đây là nguyên tố: 31; 331; 3.331; 33.331; 333.331; 3.333.331; 33.333.331 Những số tiếp theo của dãy số đó trở nên rất lớn, và việc kiểm tra xem liệu chúng có phải là số nguyên tố hay không đòi hỏi một nỗ lực đáng kể. Vào thời đó một số nhà toán học đã có ý định ngoại suy hình mẫu này rộng thêm ra, và giả định rằng mọi số có dạng đó

https://thuviensach.vn 218 định lý cuối cùng của fermat đều là số nguyên tố. Tuy nhiên, số hạng ngay tiếp theo trong hình mẫu đó, tức là số 333.333.331, hóa ra lại không phải là nguyên tố: 333.333.331 = 17 x 19.607.843 Một ví dụ lý thú khác cho thấy tại sao các nhà toán học không thể bị thuyết phục bởi các bằng chứng của máy tính là trường hợp Giả thuyết Euler. Euler tuyên bố rằng không có lời giải đối với phương trình tương tự với phương trình Fermat: x4 + y4 + z4 = Ω4 Trong hai trăm năm không ai chứng minh được giả thuyết này, nhưng mặt khác cũng không ai có thể phủ nhận được nó bằng cách chỉ ra được một phản ví dụ. Cả những tính toán đầu tiên bằng tay lẫn nhiều năm tìm kiếm bằng máy tính sau đó đều không tìm ra một nghiệm số nào. Việc không tìm ra một phản ví dụ là bằng chứng mạnh mẽ ủng hộ Giả thuyết Euler. Nhưng năm 1988, Naom Elkies ở Đại học Harvard đã phát hiện ra nghiệm sau đây: 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 Mặc dù có nhiều bằng chứng, nhưng Giả thuyết Euler hóa ra lại là sai. Thực ra, Elkies đã chứng minh được rằng phương trình trên có vô số nghiệm. Bài học “luân lý” rút ra ở đây là bạn không thể dùng bằng chứng của một triệu con số đầu tiên để chứng minh một giả thuyết đối với mọi con số. Nhưng tính chất đánh lừa của Giả thuyết Euler chưa ăn thua gì so với Giả thuyết ước lượng quá về số lượng các số nguyên tố. Khi rà soát những số nguyên ngày càng lớn hơn, chúng ta thấy một điều rõ ràng là ngày càng khó tìm ra các số nguyên tố hơn. Ví dụ, giữa 0 và 100 có 25 số nguyên tố nhưng giữa 10.000.000 và 10.000.100 chỉ có 2 số nguyên tố. Năm 1791, khi mới 14 tuổi, Karl

https://thuviensach.vn 219 đi vào trừu tượng Gauss đưa ra một quy luật gần đúng, trong đó tần suất xuất hiện của số nguyên tố giữa các số khác có chiều hướng giảm dần. Công thức này khá chính xác, nhưng dường như nó luôn cho một ước lượng hơi vượt quá một chút so với sự phân bố thực của các số nguyên tố. Kiểm tra các số nguyên tố tới 1 triệu, 1 tỷ hoặc 1 nghìn tỷ đều cho thấy ước lượng của Gauss có phần hơi rộng rãi quá và các nhà toán học tin tưởng mạnh mẽ rằng điều này sẽ đúng với mọi số tới tận vô cùng, và do đó ra đời Giả thuyết ước lượng quá về số lượng các số nguyên tố. Nhưng đến năm 1914, J.E. Littlewood, một cộng sự của G.H. Hardy ở trường Cambridge, đã chứng minh được rằng đối với các số rất lớn, công thức của Gauss lại dẫn tới ước lượng non về số lượng các số nguyên tố. Năm 1955, S. Skewes đã chỉ ra rằng sự ước lượng non có thể sẽ xảy ra trước khi đạt tới con số 101010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 Đây là một con số vượt ra ngoài trí tưởng tượng của chúng ta, và vượt ra ngoài mọi ứng dụng thực tiễn nào. Hardy gọi con số của Skewes là “số lớn nhất từ xưa tới nay đã được sử dụng cho một mục đích xác định trong toán học”. Ông tính toán rằng nếu một người chơi cờ với tất cả các hạt cơ bản trong vũ trụ (1087), trong đó mỗi nước đi chỉ có ý nghĩa đơn giản là hoán vị hai hạt cơ bản bất kỳ cho nhau, thì số lượng các nước đi khả dĩ của trò chơi này có thể sẽ xấp xỉ bằng số Skewes. Chẳng có lý do gì khiến cho Định lý cuối cùng của Fermat lại không tàn nhẫn và lừa dối như Giả thuyết Euler hoặc Giả thuyết ước lượng quá về số lượng các số nguyên tố.

https://thuviensach.vn 220 định lý cuối cùng của fermat Những năm nghiên cứu sinh Năm 1975, Andrew Wiles bắt đầu sự nghiệp của mình với tư cách một nghiên cứu sinh tại Đại học Cambridge. Ba năm tiếp theo ông tập trung làm luận án tiến sĩ và học nghề toán học bằng chính con đường đó. Mỗi nghiên cứu sinh đều được dìu dắt và khích lệ bởi một người hướng dẫn, và trong trường hợp của Wiles, đó là một nhà toán học Australia, John Coates, giáo sư của trường Emmanuel College, vốn là người ở Possum Brush, tiểu bang New South Wales của Australia. Coates vẫn còn nhớ rất rõ ông đã tiếp nhận Wiles ra sao: “Tôi nhớ một cộng sự nói với tôi rằng ông ta có một sinh viên rất giỏi vừa mới thi xong phần cuối cùng về toán, và ông ta hối thúc tôi tiếp nhận cậu ta làm nghiên cứu sinh. Tôi đã rất may mắn có được một nghiên cứu sinh như Andrew. Ngay từ khi còn là một nghiên cứu sinh, anh đã có những ý tưởng rất sâu sắc và rõ ràng rằng anh là một nhà toán học sẽ làm nên những công trình lớn. Tất nhiên, ở giai đoạn đó không có chuyện một nghiên cứu sinh sẽ làm việc ngay với Định lý cuối cùng của Fermat. Vì nó quá khó ngay cả với một nhà toán học đã có kinh nghiệm lão luyện”. Trong thập kỷ đã qua mọi thứ mà Wiles đã làm đều hướng tới chuẩn bị cho bản thân đón nhận thách thức của Fermat, nhưng giờ đây khi đã gia nhập hàng ngũ các nhà toán học chuyên nghiệp ông thấy cần phải thực dụng hơn. Như Wiles nhớ lại, ông đã phải tạm thời từ bỏ ước mơ của mình: “Khi đến Cambridge, tôi thực sự phải gác Định lý Fermat sang một bên. Không phải là để quên nó - vì nó luôn luôn ở bên tôi, - mà là do tôi nhận thấy rằng những kỹ thuật mà chúng ta dùng để thử chứng minh nó thực ra đã có khoảng 130 năm nay rồi. Điều rõ ràng là những kỹ thuật này dường như không cho

https://thuviensach.vn 221 đi vào trừu tượng phép thực sự đi tới được tận cội rễ của bài toán. Vấn đề là ở chỗ khi làm việc với Định lý Fermat, bạn có thể sẽ phải tiêu tốn hàng năm trời mà không đi đến đâu cả. Được làm việc với bài toán mà mình yêu thích là điều thật tuyệt vời, chừng nào trên con đường đó bạn còn tạo ra được những kết quả toán học hay, mặc dù rốt cuộc bạn vẫn không thể giải được nó. Định nghĩa một bài toán toán học hay là ở cái toán học mà nó tạo ra, chứ không phải ở bản thân bài toán đó”. Trách nhiệm của John Coates là phải tìm cho Andrew một bài toán hấp dẫn mới, nó sẽ là đối tượng nghiên cứu của Andrew ít nhất trong ba năm tiếp theo. “Tôi nghĩ, tất cả những gì mà một người hướng dẫn có thể làm đối với một nghiên cứu sinh của mình là thử cho anh ta một cú hích theo hướng đúng. Tất nhiên, không ai có thể biết trước một cách chắc chắn hướng nghiên cứu nào sẽ có kết quả, nhưng một nhà toán học già dặn có thể sử dụng sự nhạy cảm cùng với trực giác của mình để lựa chọn lĩnh vực nghiên cứu hay, còn chuyện nghiên cứu sinh đó có thể đi được bao xa trên con đường ấy là tùy thuộc vào bản thân anh ta”. Cuối cùng Coates quyết định Wiles nên nghiên cứu một lĩnh vực toán học được gọi là những đường cong eliptic. Như sẽ được chứng minh sau này, quyết định đó đúng là một bước ngoặt trong sự nghiệp của Wiles, nó mang lại cho ông những kỹ thuật mà ông cần có để xây dựng nên một cách tiếp cận mới đối với Định lý cuối cùng của Fermat. Cái tên “những đường cong eliptic” dễ khiến chúng ta hiểu lầm, vì chúng không phải là các đường elip, thậm chí cũng chẳng phải là những đường cong theo nghĩa thông thường của từ này. Thực ra, chúng là những phương trình có dạng: y2 = x3 + ax2 + bx + c trong đó a, b, c là những số nguyên.

https://thuviensach.vn 222 định lý cuối cùng của fermat Andrew Wiles trong những năm đai học . Sở dĩ chúng có cái tên như trên vì trong quá khứ chúng được sử dụng để đo chu vi của các hình elip và độ dài quỹ đạo các hành tinh, nhưng để cho rõ ràng tôi sẽ đơn giản gọi chúng là những phương trình eliptic thay vì là những đường cong eliptic. Thách thức của các phương trình eliptic, cũng như của Định lý

https://thuviensach.vn 223 đi vào trừu tượng John Coates, người hướng dẫn của Wiles, vẫn tiếp tục giữ quan hệ với sinh viên cũ của mình. cuối cùng của Fermat, là nằm trong câu hỏi: các phương trình này có nghiệm nguyên hay không, và nếu có, thì có bao nhiêu nghiệm. Ví dụ, phương trình eliptic: y2 = x3 - 2, trong đó a = 0, b = 0, c = -2 chỉ có một tập hợp nghiệm nguyên, cụ thể là:

https://thuviensach.vn 224 định lý cuối cùng của fermat 52 = 33 - 2 hoặc 25 = 27 - 2 Chứng minh phương trình eliptic này chỉ có một tập hợp nghiệm nguyên là một nhiệm vụ vô cùng khó khăn, và thực ra người đã tìm ra chứng minh đó lại chính là Pierre de Fermat. Bạn có thể còn nhớ rằng trong Chương 2 cũng chính Fermat là người đã chứng minh rằng 26 là con số duy nhất trong vũ trụ nằm kẹp giữa một số bình phương với một số lập phương. Điều này tương đương với chứng minh rằng phương trình eliptic nói trên chỉ có một nghiệm, tức là 52 và 33 là một bình phương và một lập phương duy nhất có hiệu số bằng 2, và do đó 26 là con số duy nhất bị kẹp giữa hai số như thế. Cái làm cho các phương trình eliptic trở nên đặc biệt quyến rũ là ở chỗ chúng chiếm một vị trí trung gian kỳ lạ giữa một bên là những phương trình dạng khác đơn giản hơn mà hầu hết đều tầm thường, và một bên là những phương trình khác phức tạp hơn, không thể giải được. Bằng việc thay đổi một cách đơn giản các giá trị của a, b, và c trong phương trình eliptic tổng quát, các nhà toán học có thể tạo ra một tập hợp vô hạn các phương trình khác nhau, mỗi phương trình có những đặc trưng riêng, nhưng tất cả chúng đều có thể giải được. Những phương trình eliptic đầu tiên đã được nghiên cứu bởi các nhà toán học cổ Hy Lạp, trong đó có Diophantus, người đã dành phần lớn tác phẩm Arithmetica của mình để khảo sát những tính chất của chúng. Có lẽ được Diophantus gây cảm hứng, Fermat cũng lao vào nghiên cứu các phương trình eliptic bởi vì chúng đã được nghiên cứu bởi chính người anh hùng của mình, nên Wiles rất thích thú tiếp tục khảo sát những phương trình này. Thậm chí sau hai

https://thuviensach.vn 225 đi vào trừu tượng ngàn năm, những phương trình eliptic vẫn còn đặt ra những bài toán kinh khủng đối với những nghiên cứu sinh như Wiles: “Còn rất lâu nữa chúng ta mới hiểu được hoàn toàn những phương trình này. Có rất nhiều câu hỏi bề ngoài đơn giản mà tôi có thể đặt ra về các phương trình eliptic mà vẫn còn chưa có lời giải. Thậm chí nhiều câu hỏi mà chính Fermat đã xem xét cũng vẫn còn chưa thể giải được. Về một phương diện nào đó, toàn bộ toán học mà tôi đã làm đều bắt nguồn nếu không phải ở Định lí cuối cùng của Fermat thì cũng ở những ý tưởng khác của ông”. Trong những phương trình mà Wiles nghiên cứu khi còn là nghiên cứu sinh, việc xác định chính xác số nghiệm khó đến nỗi chỉ có một cách duy nhất để thoát ra khỏi bế tắc là phải đơn giản hóa bài toán. Chẳng hạn, phương trình eliptic sau đây hầu như không thể giải được trực tiếp: x3 - x2 = y2 + y Vấn đề đặt ra bây giờ không phải là giải phương trình đó mà là tìm hiểu xem phương trình này có bao nhiêu nghiệm nguyên. Dễ dàng tìm được một nghiệm tầm thường là x=0 và y=0, vì: 03 - 02 = 02 +0 Một nghiệm thú vị hơn một chút là x=1 và y=0: 13 - 12 = 02 +0 Có thể có những nghiệm khác nữa, nhưng với một số vô hạn các số nguyên cần phải thử nghiệm, việc cho một danh sách đầy đủ các nghiệm của phương trình đặc biệt này là điều không thể thực hiện nổi. Một nhiệm vụ đơn giản hơn là tìm những nghiệm trong một không gian số hữu hạn, cái được gọi là số học đồng hồ.

https://thuviensach.vn 226 định lý cuối cùng của fermat Hình 16. Số học thông thường có thể được coi như sự dịch chuyển tới hoặc lui trên trục số. ở các chương trước, chúng ta đã thấy các số nguyên có thể được coi như những vạch chia được đánh dấu trên trục số kéo dài đến vô cùng, như được thể hiện trong hình 16. Để làm cho không gian số trở nên hữu hạn, số học đồng hồ cắt từ trục số lấy một phần xác định, rồi nối hai đầu của nó thành một vòng kín thay cho trục số. Trên hình 17 bạn thấy một đồng hồ có 5 vạch chia: ta cắt cụt trục số ở vạch 5, sau đó dán đầu vừa cắt của đoạn lấy ra với đầu vạch 0. Khi này số 5 biến mất và trở thành tương đương với số 0, bởi vậy trong số học mới chỉ có các số (nguyên) 0, 1, 2, 3, 4. Trong số học thông thường chúng ta có thể coi phép cộng như là sự dịch chuyển dọc theo trục số một lượng xác định các độ chia. Ví dụ, 4 + 2 = 6 cũng hệt như ta nói: bắt đầu từ vạch 4, dịch chuyển dọc theo trục số 2 độ chia, và ta sẽ đạt đến vạch 6. Tuy nhiên, trong số học đồng hồ 5 vạch: 4 + 2 = 1 Sở dĩ như vậy là bởi vì nếu chúng ta bắt đầu từ vạch 4 và dịch chuyển theo chiều kim đồng hồ 2 độ chia thì chúng ta sẽ đi ngược trở lại 1. Số học đồng hồ có vẻ hơi xa lạ, nhưng thực ra, như tên gọi của nó gợi ý, nó vẫn được sử dụng hàng ngày trong câu chuyện của mọi người về thời gian. Bốn giờ nữa sau 11 giờ (tức là nói 11 + 4) nói chung không gọi là 15 giờ, mà thường được gọi là 3 giờ. Đây là số học đồng hồ 12 vạch.

https://thuviensach.vn 227 đi vào trừu tượng Hình 17. Trong số học đồng hồ 5 vạch, trục số bị cắt tại số 5 và nối ngược trở lại thành vòng kín. Số 5 sẽ trùng với số 0, và do đó được thay thế bởi số 0. Ngoài phép cộng ra, chúng ta cũng có thể thực hiện tất cả các phép toán thông thường khác, như phép nhân chẳng hạn. Trong số học đồng hồ 12 vạch thì 5 × 7 = 11. Phép nhân này có thể được tưởng tượng như sau: nếu bạn bắt đầu từ vạch 0, rồi dịch chuyển 5 lần, mỗi lần 7 độ chia, thì cuối cùng bạn sẽ tới vạch 11. Đây chỉ là một cách hình dung về phép nhân trong số học đồng hồ, còn có những cách khác làm cho việc tính toán nhanh hơn. Ví dụ, để tính 5 × 7 trong số học đồng hồ 12 vạch, chúng ta bắt đầu bằng cách tìm ra kết quả thông thường là 35. Sau đó, ta chia 35 cho 12 và tính ra số dư, đó là chính là đáp số cuối cùng. Số 12 chứa trong số 35 hai lần và dư 11, vậy đủ để biết chắc rằng 5 × 7 trong đồng hồ 12 vạch bằng 11. Điều này tương đương với sự tưởng tượng đi vòng quanh đồng hồ hai lần và còn phải đi thêm 11 độ chia nữa. Vì số học đồng hồ chỉ làm việc với không gian số hữu hạn, nên tương đối dễ dàng tìm ra tất cả các nghiệm khả dĩ của một phương trình eliptic trong một số học đồng hồ cho trước. Chẳng hạn, khi làm việc với số học đồng hồ 5 vạch, người ta có thể liệt kê danh sách của tất cả các nghiệm khả dĩ đối với phương trình eliptic sau đây: x3 - x2 = y2 + y Các nghiệm đó là: x = 0, y = 0

https://thuviensach.vn 228 định lý cuối cùng của fermat x = 0, y = 4 x = 1, y = 0 x = 1, y = 4 Mặc dù một số nghiệm này không có giá trị trong số học thông thường, nhưng trong số học đồng hồ 5 vạch chúng đều được chấp nhận. Ví dụ, nghiệm thứ tư (x=1, y=4): x3 - x2 = y2 + y 13 - 12 = 42 + 4 1 - 1 = 16 + 4 0 = 20 Nhưng nên nhớ rằng 20 là tương đương với 0 trong số học đồng hồ 5 vạch, bởi vì 20 chia cho 5 dư 0. Vì không thể liệt kê tất cả các nghiệm của một phương trình eliptic trong không gian số thông thường, nên các nhà toán học, kể cả Wiles, đành phải tìm cách tính số nghiệm trong tất cả các số học đồng hồ khác nhau. Đối với phương trình eliptic đã cho ở trên, số nghiệm trong số học đồng hồ 5 vạch là 4, và do đó các nhà toán học nói rằng E5 = 4. Số nghiệm trong các số học đồng hồ khác cũng có thể tính được. Chẳng hạn, trong số học đồng hồ 7 vạch, số nghiệm là 9, và do đó E7 = 9. Để tóm tắt những kết quả của mình, các nhà toán học đã liệt kê danh sách số nghiệm trong mỗi số học đồng hồ và gọi danh sách này là những dãy -L đối với phương trình eliptic. Nguồn gốc của chữ L này đã bị lãng quên từ lâu, nhưng một số người cho rằng đó là chữ L trong tên của Gustav Lejeune-Dirichlet, người đã từng nghiên cứu các phương trình eliptic. Để cho rõ ràng, tôi sẽ dùng

https://thuviensach.vn 229 đi vào trừu tượng thuật ngữ dãy -E là dãy được rút ra từ một phương trình eliptic. Đối với thí dụ đã cho ở trên thì dãy -E là như sau: Phương trình eliptic: x3 - x2 = y2 + y Dãy -E: E1 = 1 E2 = 4 E3 = 4 E4 = 8 E5 = 4 E6 = 16 E7 = 9 E8 = 16, ........ Vì đối với một số phương trình eliptic các nhà toán học còn chưa biết chúng có bao nhiêu nghiệm trong không gian số thông thường kéo dài đến vô cùng, nên dãy -E tỏ ra là một công cụ tốt nhất để khảo sát các phương trình eliptic. Thực ra, dãy -E đã gói ghém trong nó một lượng lớn thông tin về phương trình eliptic mà nó mô tả. Tương tự như phân tử ADN trong sinh học mang mọi thông tin cần thiết để xây dựng nên một cơ thể sống, dãy -E cũng mang trong nó thông tin chủ yếu về phương trình eliptic. Niềm hy vọng là ở chỗ bằng cách nghiên cứu các dãy -E, “phân tử ADN toán học”, các nhà toán học cuối cùng sẽ có thể tính được mọi thứ mà từ trước tới nay họ muốn biết về phương trình eliptic. Làm việc dưới sự hướng dẫn của John Coates, Wiles nhanh chóng nổi tiếng là một nhà lý thuyết số xuất sắc với những hiểu biết sâu rộng về các phương trình eliptic và những dãy -E. Mỗi khi đạt được một kết quả mới và một công trình mới được công bố, Wiles không

https://thuviensach.vn 230 định lý cuối cùng của fermat hề nhận thấy rằng mình đang thu lượm kinh nghiệm mà nhiều năm về sau sẽ mang lại cho ông khả năng chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat. Sau Chiến tranh thế giới lần thứ hai, các nhà toán học Nhật Bản đã khởi phát một chuỗi các sự kiện, cho phép xác lập mối liên hệ khăng khít giữa các phương trình eliptic với Định lý cuối cùng của Fermat, mặc dù vào thời gian ấy không ai ý thức được điều đó. Bằng việc khuyến khích Wiles nghiên cứu các phương trình eliptic, Coates đã cho ông những công cụ mà sau này sẽ giúp ông thực hiện được ước mơ của mình.

https://thuviensach.vn 231 chứng minh bằng phản chứng V. Chứng minh bằng phản chứng Những hình mẫu của các nhà toán học, cũng giống như những hình mẫu của các họa sĩ hay của các nhà thơ, đều phải đẹp; những ý tưởng, cũng tựa như màu sắc hoặc ngôn từ, phải ăn khớp với nhau một cách hài hòa. Cái đẹp chính là thử thách đầu tiên: không có chỗ cho toán học xấu xí. G.H. Hardy Vào tháng giêng năm 1954, Goro Shimura, một nhà toán học trẻ đầy tài năng của Đại học Tokyo, tới thư viện của khoa như thường lệ. Ông đang nóng lòng muốn mượn cuốn tạp chí Mathematische Annalen, tập 24. Đặc biệt, ông muốn tìm bài báo của Deuring về lý thuyết đại số của phép nhân phức, mà ông hy vọng có thể giúp ông thực hiện được những tính toán rất rắc rối và hóc búa. Điều khiến ông ngạc nhiên và hơi thất vọng là cuốn tạp chí đã có người mượn. Đó là Yutaka Taniyama, một người mà Shimura có quen láng máng, sống ở đầu kia của khu đại học. Shimura bèn viết một bức thư cho Taniyama giải thích rằng ông đang rất cần cuốn tạp chí để hoàn tất một số tính toán rất khó chịu, và lịch sự hỏi khi nào Taniyama sẽ trả lại thư viện. ít ngày sau, một tấm bưu thiếp được đặt trên bàn làm việc của Shimura. Đó là trả lời của Taniyama, ông viết rằng ông cũng đang thực hiện chính những tính toán ấy và cũng đang mắc mứu ở chính điểm logic ấy. Ông đề nghị Shimura

https://thuviensach.vn 232 định lý cuối cùng của fermat Goro Shimura cùng nhau chia sẻ các ý tưởng và nếu có thể, cùng cộng tác giải bài toán này. Cuộc gặp gỡ tình cờ nhờ cuốn tạp chí của thư viện đã khởi đầu cho một sự hợp tác đã góp phần làm thay đổi dòng chảy của lịch sử toán học. Taniyama sinh ngày 12 tháng 11 năm 1927 tại một thị trấn nhỏ, cách Tokyo vài dặm về phía Bắc. Chữ Nhật ghi tên ông với ý định sẽ được đọc là “Toyo”, nhưng phần lớn những người ngoài gia đình đều đọc sai thành “Yutaka” và khi lớn lên, Taniyama đã chấp nhận và lấy luôn tên đó. Hồi còn nhỏ, việc học hành của ông thường xuyên bị gián đoạn vì đau ốm. Những năm học trung học ông bị

https://thuviensach.vn 233 chứng minh bằng phản chứng Yutaka Taniyama mắc bệnh lao và đã phải nghỉ học 2 năm liền. Rồi những năm tháng chiến tranh lại làm cho việc học tập của ông còn bị gián đoạn nhiều hơn nữa. Goro Shimura ít hơn Taniyama một tuổi, và việc học tập của ông cũng chấm dứt trong những năm tháng chiến tranh. Trường của ông đóng cửa, và thay vì đến trường nghe giảng, Shimura phải làm việc trong một phân xưởng lắp ráp máy bay. Để bù lại những thiệt thòi do không được tiếp tục học tập, mỗi tối ông đều tự học và đặc biệt say mê toán học. “Tất nhiên có nhiều môn cần phải học, nhưng toán học là dễ nhất bởi vì chỉ cần đọc các sách giáo khoa về toán

https://thuviensach.vn 234 định lý cuối cùng của fermat học là đủ. Tôi học giải tích toán hoàn toàn qua sách. Còn nếu tôi muốn theo đuổi môn hóa học hoặc vật lý thì cần phải có các thiết bị khoa học, do vậy mà tôi không thể học các môn đó. Tôi chưa bao giờ nghĩ rằng mình là người có tài năng, đơn giản tôi chỉ là người tò mò ham hiểu biết mà thôi”. ít năm sau, chiến tranh kết thúc, Shimura và Taniyama đều trở lại trường đại học. Vào thời gian họ trao đổi bưu thiếp với nhau về cuốn tạp chí của thư viện, cuộc sống ở Tokyo đã bắt đầu trở lại bình thường, và hai học giả trẻ tuổi đã có thể được hưởng đôi chút xa xỉ. Chiều chiều họ gặp nhau trong các quán cà phê, buổi tối họ thường ăn ở các nhà hàng nhỏ với đặc sản thịt cá voi và cuối tuần họ rủ nhau lang thang trong các vườn thực vật hoặc công viên thành phố. Đó là những nơi lý tưởng để họ bàn luận về những tư tưởng toán học mới mẻ nhất của họ. Mặc dù Shimura có tính cách hơi lập dị - cho tới tận ngày hôm nay ông vẫn thích giễu cợt thiền, nhưng so với Taniyama thì ông lại là người bảo thủ và chuẩn mực hơn nhiều. Shimura bao giờ cũng dậy sớm và ngay lập tức bắt tay vào làm việc, trong khi đó bạn ông còn đang ngái ngủ vì đã làm việc thâu đêm. Những người khách đến thăm phòng Taniyama thường thấy ông ngủ rất say ngay giữa buổi chiều. Trong khi Shimura là người rất chỉn chu khó tính, thì Taniyama lại là người sống thoải mái tới mức lười nhác. Nhưng lạ một điều, đó lại là tính cách mà Shimura rất khâm phục: ”Anh có biệt tài là hay phạm nhiều sai lầm, mà phần lớn lại theo hướng đúng. Tôi ghen tỵ với anh về điều đó và có bắt chước anh cũng chỉ vô ích mà thôi, nhưng tôi đã phát hiện ra rằng phạm những sai lầm tốt cũng rất khó.”

https://thuviensach.vn 235 chứng minh bằng phản chứng Taniyama là điển hình của thiên tài đãng trí và điều này được phản ánh ngay trong vẻ bên ngoài của ông. Ông không thể thắt một chiếc nút cho ra hồn và do đó ông quyết định không thèm thắt dây giầy thay vì phải thắt đi thắt lại hàng chục lần trong ngày. Ông lúc nào cũng khoác cùng một chiếc áo veston màu xanh với ánh kim loại trông rất lạ mắt. Nó được cắt từ thứ vải quái dị tới mức tất cả các thành viên khác của gia đình đều đã vứt bỏ. Khi họ gặp nhau vào năm 1954, thì Taniyama và Shimura đều mới bắt đầu sự nghiệp toán học của mình. Truyền thống xưa và hiện nay cũng vậy, những nghiên cứu sinh trẻ tuổi được nấp dưới cánh của một vị giáo sư, người dẫn dắt trí tuệ còn non nớt của họ nhưng Taniyama và Shimura đã được miễn hình thức tập sự đó. Trong thời gian chiến tranh, hoạt động nghiên cứu thực sự đã bị ngưng trệ và thậm chí tới những năm 1950 khoa toán vẫn còn chưa phục hồi lại được. Theo Shimura, các giáo sư “đã quá mệt mỏi, chán nản và vỡ mộng”. Nhìn lớp sinh viên sau chiến tranh đang hăm hở và say mê học tập, họ nhanh chóng nhận thấy rằng con đường tiến lên duy nhất của họ là phải tự học. Sinh viên thường xuyên tổ chức các seminar để thông tin cho nhau những kỹ thuật và đột phá mới nhất. Mặc dù với vẻ trễ nải bề ngoài, nhưng ở các seminar bao giờ Taniyama cũng nổi lên như một người dẫn dắt đầy nhiệt huyết. Ông luôn luôn khuyến khích các sinh viên lớp trên khám phá những vùng đất còn hoang dã, và đối với các sinh viên lớp dưới ông ân cần như một người cha. Do sự cách biệt với thế giới, các seminar này thường đề cập tới các đề tài mà ở châu Âu và Mỹ được xem là đã lỗi thời. Với sự ngây thơ thường có của sinh viên, họ nghiên cứu các phương trình mà

https://thuviensach.vn 236 định lý cuối cùng của fermat ở phương Tây người ta đã vứt bỏ từ lâu. Một đề tài không còn là thời thượng nữa, nhưng đặc biệt hấp dẫn đối với cả Taniyama lẫn Shimura là nghiên cứu các dạng modular. Các dạng modular thuộc nhóm những đối tượng lạ lùng và tuyệt vời nhất của toán học. Chúng cũng là một trong số những thực thể bí hiểm nhất của toán học; nhưng Eichler, nhà lý thuyết số của thế kỷ XX, lại xếp chúng vào hàng những phép toán cơ bản nhất: cộng, trừ, nhân, chia và dạng modular. Đa số các nhà toán học đều xem mình đã nắm vững bốn phép toán đầu, nhưng phép toán thứ năm thì họ vẫn thấy mình còn ít nhiều lúng túng. Đặc điểm then chốt của các dạng modular là mức độ đối xứng thái quá của chúng. Mặc dù hầu như mọi người đều quen thuộc với khái niệm đối xứng trong cuộc sống hằng ngày, nhưng trong toán học, khái niệm này còn có một ý nghĩa rất cụ thể: một đối tượng được gọi là có đối xứng nếu nó có thể được biến đổi theo một cách nào đó, nhưng rốt cuộc sau đó hóa ra lại là không thay đổi. Để hiểu được sự đối xứng của dạng modular, trước hết ta hãy xem xét sự đối xứng của một đối tượng tầm thường hơn, như một hình vuông chẳng hạn. Trong trường hợp hình vuông, một dạng đối xứng là đối xứng quay. Cụ thể là nếu ta tưởng tượng có một trục quay nằm chỗ giao nhau của trục x và trục y (ở tâm hình vuông), thì hình vuông trên hình 18 có thể quay một phần tư vòng (tức 900 ) mà sau đó nhìn nó vẫn không có gì thay đổi. Tương tự, phép quay nửa vòng (1800 ), ba phần tư vòng (2700 ) và cả vòng (3600 ) cũng đều làm cho hình vuông nhìn không có gì thay đổi.

https://thuviensach.vn 237 chứng minh bằng phản chứng Hình 18. Một hình vuông bình thường có cả đối xứng quay lẫn đối xứng gương. Ngoài đối xứng quay ra, hình vuông còn có đối xứng gương. Nếu ta tưởng tượng có một gương phẳng đặt dọc theo trục x thì ảnh qua gương của nửa trên sẽ trùng khít với nửa dưới của nó và ngược lại. Như vậy, sau phép biến đổi như thế, hình vuông nhìn vẫn không có gì thay đổi. Tương tự, ta có thể xác định ba gương khác (dọc theo trục y và dọc theo hai đường chéo) đều cho ảnh của hình vuông đồng nhất với hình vuông ban đầu. Mặc dù hình vuông khá đối xứng, nó có cả đối xứng quay lẫn đối xứng gương, nhưng nó lại không có đối xứng tịnh tiến. Điều này có nghĩa là nếu dịch hình vuông theo một hướng nào đó, thì người quan sát sẽ nhận ra ngay lập tức chuyển động của nó, vì vị trí tương đối của hình vuông đối với các trục bây giờ đã thay đổi. Tuy nhiên, nếu như toàn bộ không gian đều được lát bằng các hình vuông, thì như ta thấy trên hình 19, tập hợp vô hạn các hình vuông này lại có tính đối xứng tịnh tiến. Nếu một bề mặt được lát vô tận như thế được dịch lên trên hoặc xuống dưới một khoảng bằng hoặc

https://thuviensach.vn 238 định lý cuối cùng của fermat Hình 19. Một mặt vô hạn được lát bằng các hình vuông có cả đối xứng quay lẫn đối xứng gương, ngoài ra còn có đối xứng tịnh tiến nữa. là bội số của cạnh viên gạch thì mặt lát được dịch là đồng nhất với mặt ban đầu. Đối xứng của mặt lát gạch là tương đối dễ hiểu, nhưng cũng như nhiều khái niệm tưởng là đơn giản khác, trong chúng đều ẩn giấu những điểm rất tinh tế. Ví dụ, vào những năm 1970, nhà vật lý và cũng là nhà toán học nghiệp dư người Anh Roger Penrose đã bắt đầu thử nghiệm lát những loại gạch khác nhau trên cùng một mặt. Cuối cùng ông đã tìm ra hai loại gạch lý thú nhất, có dạng cái diều và đầu mũi tên, như được minh họa trên hình 20. Từng loại gạch này thì không thể lát kín bề mặt mà không để lại những chỗ hở hoặc đè lên nhau, nhưng nếu dùng cả hai loại một lúc thì lại nhận được một tập hợp những hình mẫu lát hết sức phong phú. Các hình cái diều và đầu mũi tên có thể lát khít với nhau theo vô số cách, và mặc dù mỗi hình mẫu nhìn thoáng có vẻ tương tự nhau, nhưng về chi

https://thuviensach.vn 239 chứng minh bằng phản chứng Hình 20. Bằng cách dùng hai loại gạch khác nhau, gạch hình cái diều và gạch hình đầu mũi tên, Roger Penrose đã có thể lát kín một bề mặt. Tuy nhiên, mặt lát của Penrose không có tính đối xứng tịnh tiến. tiết chúng hoàn toàn khác nhau. Một hình mẫu tạo bởi những cái diều và đầu mũi tên được minh họa trên hình 20. Các mặt lát của Penrose (tức các hình mẫu tạo bởi các loại gạch như hình cái diều và đầu mũi tên, chẳng hạn) còn có một đặc điểm lý thú khác, đó là chúng thể hiện mức độ đối xứng rất hạn chế. Thoạt nhìn, ta tưởng như mặt lát trên hình 20 có tính đối xứng tịnh tiến, nhưng mọi ý định xê dịch hình sao cho nó thực sự vẫn còn không đổi đều kết thúc thất bại. Thì ra những mặt lát Penrose bất đối xứng một cách rất dễ gây ngộ nhận và chính điều đó giải thích tại sao chúng lại rất hấp dẫn các nhà toán học và đã trở thành điểm xuất phát cho toàn bộ một lĩnh vực mới của toán học. Một điều lạ lùng là mặt lát Penrose lại đã có phiên bản trong khoa học vật liệu. Các nhà tinh thể học xưa nay đều tin rằng các tinh thể đều được cấu trúc theo nguyên tắc nằm sau mặt lát hình vuông, tức

https://thuviensach.vn 240 định lý cuối cùng của fermat Hình 21. Bức tranh Giới hạn vòng tròn IV của Mauritz Escher đã chuyển tải được phần nào tính đối xứng của các dạng modular. là có mức độ đối xứng tịnh tiến cao. Theo lý thuyết, việc tạo dựng nên các tinh thể dựa trên một cấu trúc lặp đi lặp lại và có tính đều đặn cao. Tuy nhiên, vào năm 1984, các nhà khoa học đã phát hiện ra rằng tinh thể kim loại tạo bởi nhôm và mangan lại được xây dựng theo những nguyên tắc của Penrose. Hình mẫu lắp ghép của nhôm và mangan hoàn toàn giống như những cái diều và đầu mũi tên, chúng tạo nên một tinh thể hầu như đều đặn, nhưng không hoàn toàn. Một công ty Pháp mới đây đã dùng tinh thể Penrose để làm lớp phủ cho các loại chảo rán. Trong khi nét hấp dẫn của các mặt lát Penrose là tính đối xứng hạn chế của chúng, thì tính chất lý thú của các dạng modular lại là tính đối xứng vô hạn của chúng. Các dạng modular mà Taniyama và Shimura nghiên cứu có thể dịch chuyển, nghịch đảo, phản xạ gương và quay theo vô số cách mà chúng vẫn không thay đổi, điều

https://thuviensach.vn 241 chứng minh bằng phản chứng này làm cho các dạng modular trở thành các đối tượng đối xứng nhất trong toán học. Khi nhà toán học đa tài người Pháp Henry Poincaré nghiên cứu các dạng modular ở thế kỷ XIX, ông đã rất khó khăn mới chấp nhận được sự đối xứng của chúng. Sau khi nghiên cứu một dạng modular cụ thể ông đã mô tả cho các đồng nghiệp của mình rằng trong suốt hai tuần, sáng nào thức dậy ông cũng đều thử và luôn tìm ra một sai sót nào đó trong tính toán của mình. Đến ngày thứ 15 ông mới nhận ra và thừa nhận rằng các dạng modular thực sự là có tính đối xứng hết cỡ. Thật không may, vẽ hoặc ngay cả hình dung các dạng modular thôi cũng là điều không thể làm được. Trong trường hợp mặt lát hình vuông chúng ta có một đối tượng trong không gian hai chiều, được xác định chỉ bởi hai trục x và y. Một dạng modular cũng được xác định bởi hai trục, nhưng cả hai trục này đều là phức, tức là mỗi trục lại gồm phần thực và phần ảo, nghĩa là thực tế lại trở thành hai trục. Do vậy, trục phức đầu tiên lại phải được biễu diễn bằng hai trục: trục xr (thực) và xi (ảo), còn trục phức thứ hai được biểu diễn tương tự bằng trục yr (thực) và yi (ảo). Nói một cách chính xác, các dạng modular sống trong nửa mặt phẳng trên của không gian phức đó. Tuy nhiên điều quan trọng nhất cần phải hiểu, đây là một không gian bốn chiều (xr , xi , yr , yi ). Không gian bốn chiều này được gọi là không gian hyperbolic. Thực sự, vũ trụ hyperbolic này rất khó hiểu đối với con người, những sinh vật bắt buộc phải sống trong không gian ba chiều quen thuộc; nhưng không gian bốn chiều là một khái niệm hợp thức về mặt toán học, và chính cái chiều dôi ra của nó đã làm cho các dạng modular trở nên có mức độ đối xứng cao ghê gớm như vậy. Họa sĩ

https://thuviensach.vn 242 định lý cuối cùng của fermat Mauritz Escher là người rất đam mê các ý tưởng toán học và ông đã định chuyển tải khái niệm không gian hyperbolic trong một số bức tranh và bản khắc của ông. Bức tranh trên hình 21 là bức Giới hạn vòng tròn IV của Escher, nó thể hiện thế giới hyperbolic trên trang giấy hai chiều. Trong không gian hyperbolic thực sự, những con dơi và các thiên thần đều có cùng kích thước, và sự lặp đi lặp lại là dấu hiệu của mức độ đối xứng cao. Mặc dù có thể nhận thấy một số nét của sự đối xứng này trên trang giấy hai chiều, nhưng càng ra gần mép bức tranh sự méo thể hiện càng nhiều. Các dạng modular sống trong không gian hyperbolic với những kích thước và hình dạng rất khác nhau, nhưng tất cả đều được xây dựng từ cùng những yếu tố cơ bản. Điều làm cho các dạng modular trở nên khác nhau là ở số những yếu tố cơ bản mà nó chứa. Các yếu tố tạo nên các dạng modular được đánh số từ 1 đến vô cùng (M1 , M2 , M3 , ...); chẳng hạn, một dạng modular cụ thể có thể chứa một yếu tố một (M1 = 1), ba yếu tố hai (M2 = 3) và hai yếu tố ba (M3 =2), v.v.. Cách mô tả cấu trúc của một dạng modular như thế có thể được tổng kết trong dãy -M, một danh sách liệt kê các yếu tố và số lượng đòi hỏi của mỗi yếu tố đó: Dãy -M: M1 = 1 M2 = 3 M3 = 2 Cũng như dãy -E là ADN đối với các phương trình eliptic, dãy -M là ADN đối với các dạng modular. Số lượng mỗi yếu tố được liệt kê trong dãy -M là cực kỳ quan trọng. Tùy thuộc vào việc bạn thay đổi số lượng, chẳng hạn của yếu tố thứ nhất, bạn có thể tạo ra

https://thuviensach.vn 243 chứng minh bằng phản chứng Năm 1955 Goro Shimura và Yukata Taniyama tham dự Hội nghị toán học quốc tế ở Tokyo. một dạng modular hoàn toàn khác nhưng có cùng đối xứng; hoặc bạn có thể phá hủy hoàn toàn đối xứng và tạo ra một đối tượng mới không phải dạng modular. Nếu số lượng của mỗi yếu tố được chọn một cách tùy ý, thì kết quả rất có thể sẽ là một đối tượng có ít hoặc không có sự đối xứng nào. Các dạng modular đứng độc lập với một mức độ rất cao trong toán học. Đặc biệt, chúng dường như không có một quan hệ gì với các phương trình eliptic mà Wiles đã nghiên cứu hồi ở Cambridge. Dạng modular phức tạp hơn rất nhiều, nó được nghiên cứu rộng rãi vì tính đối xứng của nó và cũng mới chỉ được phát hiện vào thế

https://thuviensach.vn 244 định lý cuối cùng của fermat kỷ XIX. Trong khi đó các phương trình eliptic có từ thời cổ Hy Lạp và chẳng có liên quan gì tới đối xứng hết. Các dạng modular và các phương trình eliptic sống ở các vùng hoàn toàn khác nhau của vũ trụ toán học, và chưa một ai tin rằng giữa hai đối tượng đó lại có một mối liên hệ nào, dù là xa xôi nhất. Tuy nhiên, Taniyama và Shimura đã làm cho cộng đồng toán học phải choáng váng bởi giả thuyết rằng các phương trình eliptic và các dạng modular thực sự chỉ là một. Theo hai nhà toán học độc lập này thì họ có thể thống nhất các thế giới modular và eliptic. Điều mơ ước Tháng 9 năm 1955, một hội nghị toán học quốc tế được tổ chức ở Tokyo. Đây là cơ hội duy nhất để nhiều nhà nghiên cứu trẻ tuổi của Nhật Bản cho phần còn lại của thế giới biết họ đã học hỏi được những gì. Họ phát cho mọi người một tập hợp gồm 36 bài toán có liên quan đến công việc của họ, kèm theo một lời giới thiệu khá khiêm tốn: Một số vấn đề chưa được giải quyết trong toán học: do chưa được chuẩn bị một cách chu đáo, nên rất có thể một số trong các bài toán này là tầm thường hoặc đã được giải rồi. Xin các vị đại biểu tham gia hội nghị cho lời bình luận về bất cứ bài toán nào trong số đó. Có bốn vấn đề được Taniyama nêu ra, và những vấn đề này đều gợi ý về mối quan hệ kỳ lạ giữa các dạng modular và các phương trình eliptic. Và những câu hỏi ngây thơ này cuối cùng đã dẫn tới một cuộc cách mạng trong lý thuyết số. Taniyama đã xem xét một số số hạng đầu tiên trong dãy -M của một dạng modular cụ thể nào đó. Ông nhận ra hình mẫu của nó và thấy rằng nó đồng nhất với

https://thuviensach.vn 245 chứng minh bằng phản chứng danh sách những con số trong dãy -E của một phương trình eliptic đã quen thuộc. Ông tiến hành tính thêm một số số hạng nữa trong mỗi dãy thì thấy dãy -M của dạng modular và dãy -E của phương trình eliptic vẫn ăn khớp với nhau một cách hoàn hảo. Đây là một phát hiện gây sững sờ bởi vì không có một nguyên nhân rõ ràng nào để cho dạng modular đó lại có quan hệ với một một phương trình eliptic thông qua sự đồng nhất của dãy -M và dãy -E tương ứng của chúng. ADN toán học tạo bởi hai thực thể này là hoàn toàn như nhau. Đây là một phát minh sâu sắc về hai phương diện. Thứ nhất, nó gợi ý rằng ở rất sâu phía dưới có tồn tại một mối quan hệ cơ bản giữa dạng modular và phương trình eliptic, những đối tượng ở hai phía khác nhau của toán học. Thứ hai, điều này có nghĩa là các nhà toán học đã biết dãy -M đối với dạng modular sẽ không cần phải tính dãy -E đối với các phương trình eliptic tương ứng, bởi vì nó y hệt như dãy -M. Mối liên hệ giữa hai đối tượng bề ngoài hoàn toàn khác nhau là vô cùng quan trọng về mặt sáng tạo đối với toán học cũng như bất cứ một bộ môn nào khác. Mối quan hệ này gợi ý về một chân lý còn nằm sâu bên dưới, một chân lý làm phong phú rất nhiều cho cả hai đối tượng. Ví dụ, ban đầu các nhà khoa học đã nghiên cứu điện và từ như hai hiện tượng hoàn toàn tách rời nhau. Sau đó, tới thế kỷ XIX, các nhà lý thuyết cũng như thực nghiệm đều nhận thấy rằng điện và từ thực chất có mối liên hệ khăng khít với nhau. Điều này giúp ta hiểu sâu sắc hơn cả hai, cả điện lẫn từ. Các dòng điện sinh ra từ trường, và các nam châm có thể tạo ra dòng điện cảm ứng trong các vòng dây dẫn đi qua gần nó. Điều này đã dẫn tới việc phát minh ra máy phát điện và động cơ điện, và cuối cùng là phát minh

https://thuviensach.vn 246 định lý cuối cùng của fermat Goro Shimura vẫn còn giữ được bức thư cuối cùng mà ông đã nhận được từ Yukata Taniyama, người bạn và cũng là đồng nghiệp của ông. ra rằng bản thân ánh sáng chẳng qua cũng chỉ là các điện trường và từ trường dao động một cách điều hòa. Taniyama đã xem xét một số dạng modular khác và trong mỗi trường hợp các dãy -M dường như đều tương ứng một cách tuyệt vời với dãy -E của các phương trình eliptic. Và rồi ông đã bắt đầu băn khoăn tự hỏi: liệu mỗi một dạng modular có thực sự tương ứng với một phương trình eliptic hay không. Phải chăng mỗi dạng modular có cùng một ADN như một phương trình eliptic hay nói cách khác, mỗi dạng modular được ngụy trang dưới dạng một

https://thuviensach.vn 247 chứng minh bằng phản chứng phương trình eliptic? Những câu hỏi mà ông đưa ra hội nghị là có liên quan tới giả thuyết đó. ý tưởng cho rằng mỗi phương trình eliptic đều có quan hệ với một dạng modular là điều lạ thường tới mức những người nhìn qua các câu hỏi của Taniyama đều coi nó không gì khác như một nhận xét lạ mà thôi. Mặc dù tin là Taniyama đã chứng minh được một số các phương trình eliptic có quan hệ với một dạng modular cụ thể, nhưng họ tuyên bố rằng đó chẳng qua chỉ là sự trùng hợp mà thôi. Theo sự hoài nghi chung thì khẳng định của Taniyama về một mối quan hệ phổ quát và tổng quát hơn là không có cơ sở. Giả thuyết này dựa vào trực giác nhiều hơn là vào một bằng chứng thực tế nào. Đồng minh duy nhất của Taniyama là Shimura, người tin vào hiệu năng và chiều sâu ý tưởng của bạn mình. Sau hội nghị ông đã cùng Taniyama nuôi ý định sẽ phát triển giả thuyết đó tới mức phần còn lại của thế giới phải chú ý tới những công trình của họ. Shimura muốn tìm nhiều bằng chứng hơn nữa hậu thuẫn cho mối quan hệ giữa thế giới modular và thế giới eliptic. Sự cộng tác phải tạm thời dừng lại vào năm 1957 vì Shimura được mời tới làm việc tại Viện Nghiên cứu Khoa học cao cấp ở Princeton. Sau hai năm làm giáo sư thỉnh giảng ở Hoa Kỳ, Shimura đã định trở về làm việc cùng với Taniyama, nhưng điều đó không bao giờ còn xảy ra nữa. Ngày 17 tháng 11 năm 1958, Yutaka Taniyama đã tự sát. Cái chết của một thiên tài Shimura vẫn còn giữ được tấm bưu thiếp mà Taniyama đã gửi cho ông khi hai người liên lạc với nhau vì quyển tạp chí của thư

https://thuviensach.vn 248 định lý cuối cùng của fermat viện. Shimura cũng còn giữ được bức thư cuối cùng mà Taniyama viết cho ông hồi ông còn làm việc ở Princeton, nhưng trong đó không hề có ám chỉ gì, dù là xa xôi nhất, về điều sẽ xảy ra chỉ hai tháng sau. Cho tới ngày nay Shimura vẫn không sao hiểu được điều gì nằm phía sau vụ tự sát của Taniyama. “Tôi rất khó hiểu. Từ khó hiểu có lẽ là từ mô tả tốt nhất tâm trạng của tôi. Tất nhiên là tôi rất buồn, nhưng nó bất ngờ quá. Tôi vừa mới nhận được thư của anh ấy vào tháng 9, thế mà đầu tháng 11 anh ấy đã mất rồi, tôi không sao có thể hiểu được điều đó. Tất nhiên, sau này tôi có nghe được đủ thứ chuyện và tôi cố gắng quen dần với cái chết của anh. Một số người thì nói rằng anh ấy đánh mất sự tự tin vào chính mình, nhưng không phải về mặt toán học”. Điều làm cho bạn bè của Taniyama đặc biệt bối rối là ông vừa mới yêu Misako Suzuki và dự định sẽ cưới cô vào năm sau. Trong một bài tưởng nhớ Taniyama đăng trên tờ Bulletin of the London Mathematical Society, Goro Shimura có nhớ lại việc hứa hôn của Taniyama với Misako và những tuần cuối cùng của ông trước khi tự sát: Khi được báo tin về sự hứa hôn của họ, tôi hơi ngạc nhiên, vì tôi lờ mờ nghĩ rằng cô ấy không phải là típ người thích hợp với Taniyama; nhưng tôi không hề cảm thấy lo lắng. Sau đó có người nói với tôi rằng nào là họ đã ký hợp đồng thuê căn hộ, tất nhiên là tốt hơn, để làm nơi ở mới cho hai người; nào là họ đã cùng nhau mua sắm một số dụng cụ làm bếp và cũng đã chuẩn bị cho đám cưới. Mọi chuyện xem ra rất nhiều hứa hẹn đối với họ cũng như đối với bạn bè. Thế rồi sau đó tai họa đã giáng xuống họ. Vào buổi sáng thứ hai, ngày 17 tháng 11 năm 1958, người quản lý khu chung cư phát hiện ra Taniyama đã chết trong phòng với một

https://thuviensach.vn 249 chứng minh bằng phản chứng bức thư để lại trên bàn làm việc. Bức thư được viết trên ba trang giấy xé từ cuốn vở loại ông vẫn hay dùng trong công việc học thuật hàng ngày; đoạn đầu của nó như thế này: “Cho đến tận ngày hôm qua, tôi vẫn chưa hề có ý định tự sát. Nhưng chắc nhiều người cũng đã nhận thấy rằng trong thời gian gần đây tôi rất mệt mỏi cả về thể chất lẫn tinh thần. Còn về nguyên nhân tự sát của tôi thì chính bản thân tôi cũng không hiểu, nhưng nó không phải là do một sự cố hay một sự việc cụ thể nào. Có thể nói đơn giản là như thế này: tôi đã bị ám ảnh với ý nghĩ rằng tôi đã mất niềm tin vào tương lai của mình. Có thể việc tự sát của tôi sẽ gây phiền phức hoặc đau đớn cho ai đó. Tôi chân thành hy vọng rằng việc này sẽ không phủ bóng đen lên tương lai của người ấy. Dẫu thế nào, tôi cũng không thể phủ nhận rằng đây là một sự phản bội, nhưng hãy tha thứ cho nó như là hành động cuối cùng theo cách riêng của tôi, vì suốt đời tôi đã làm theo cách riêng của mình”. Sau đó ông mô tả, hết sức khúc chiết, ý muốn để tài sản của ông được sử dụng như thế nào, những cuốn sách nào là mượn của thư viện, cuốn nào mượn của bạn bè, v.v. Đặc biệt ông nói: ”Tôi muốn để lại các đĩa nhạc và chiếc máy quay đĩa cho Misako Suzuki với điều kiện cô ấy không quá đau buồn về những thứ tôi để lại cho cô ấy.” Ông cũng đã giải thích cặn kẽ giáo trình giải tích và đại số tuyến tính mà ông đang dạy cho sinh viên đã đến chương nào mục nào, và ông kết thúc bức thư bằng lời xin lỗi các đồng nghiệp về những phiền phức mà hành động này của ông đã gây ra cho họ. Vậy là một trong số những bộ óc tiên phong và xuất sắc nhất của thời đại đã kết thúc cuộc đời theo ý chí riêng của mình. Ông vừa tròn tuổi ba mươi mốt chỉ 5 ngày trước đó.

https://thuviensach.vn 250 định lý cuối cùng của fermat ít tuần sau vụ tự sát của Taniyama, bi kịch lại giáng xuống lần thứ hai. Vợ chưa cưới của ông, cô Misako Suzuki, cũng đã tự kết liễu cuộc đời mình. Cô cũng để lại bức thư nói rằng: ”Chúng tôi đã hứa với nhau, dù bất kể đi đâu, chúng tôi cũng không bao giờ tách xa nhau. Giờ đây anh ấy đã ra đi, vậy tôi cũng phải đi để đến với anh ấy.” Triết lý cái thiện Trong sự nghiệp ngắn ngủi của mình, Taniyama đã đóng góp nhiều ý tưởng rất triệt để cho toán học. Những vấn đề mà ông đưa ra trong hội nghị ở Tokyo chứa đựng một phát hiện vĩ đại nhất của cuộc đời ông; nhưng vì nó vượt trước thời đại của mình, nên khi còn sống, ông đã không bao giờ được nhìn thấy ảnh hưởng to lớn của nó đối với lý thuyết số. Và thật đáng buồn là sự sáng tạo trí tuệ của ông cũng như vai trò dẫn dắt của ông trong cộng đồng các nhà khoa học trẻ Nhật Bản thời đó lại ít được ai nhớ tới. Shimura còn nhớ như in ảnh hưởng của Taniyama: “Ông luôn luôn ân cần với các đồng nghiệp của mình, đặc biệt là đối với lớp trẻ, ông quan tâm chăm sóc họ hết sức chu đáo. Ông là chỗ dựa tinh thần của đa số những ai đã có quan hệ với ông về mặt toán học, tất nhiên trong số đó có cả tôi. Rất có thể là ông chưa bao giờ ý thức được vai trò đó của mình. Nhưng ngay bây giờ đây tôi vẫn cảm thấy sự nhân hậu cao cả của ông còn mạnh mẽ hơn cả khi ông đang còn sống. Thế mà khi ông cần tới một chỗ dựa tinh thần đến mức tuyệt vọng thì lại chẳng ai có thể cho ông một chút nương tựa. Ngẫm nghĩ về điều đó, trong lòng tôi lại tràn ngập một nỗi đau chua chát nhất”. Sau cái chết của Taniyama, Shimura tập trung mọi nỗ lực nhằm tìm hiểu mối quan hệ chính xác giữa các phương trình eliptic và các

https://thuviensach.vn 251 chứng minh bằng phản chứng dạng modular. Cùng với năm tháng, ông vật lộn để thu thập ngày càng nhiều bằng chứng hơn và một số suy luận logic nhằm hỗ trợ cho lý thuyết. Dần dần, ông càng ngày càng tin rằng mỗi phương trình eliptic cần phải liên hệ với một dạng modular. Các nhà toán học khác thì vẫn còn ngờ vực, và Shimura vẫn còn nhớ cuộc trò chuyện với một đồng nghiệp nổi tiếng. Vị giáo sư này hỏi: “Tôi có nghe nói anh đưa ra ý kiến cho rằng một số phương trình eliptic có liên quan với các dạng modular.” “Không phải thế, ông hiểu nhầm rồi”, Shimura đáp, “không phải là một số phương trình eliptic, mà là mọi phương trình eliptic!” Shimura không thể chứng minh được rằng điều đó là đúng, nhưng cứ mỗi lần ông kiểm tra giả thuyết đó, thì nó lại đúng; và trong mọi trường hợp, dường như nó ăn khớp với triết lý toán học bao la của ông. “Tôi có triết lý của mình về cái thiện. Toán học cũng phải chứa cái thiện. Chẳng hạn trong trường hợp phương trình eliptic, người ta cần phải gọi phương trình này là thiện nếu như nó được tham số hóa bằng một dạng modular. Tôi hy vọng tất cả các phương trình eliptic đều là thiện cả. Đó là một triết lý khá thô thiển, nhưng ta luôn có thể lấy nó làm điểm xuất phát. Sau đó, dĩ nhiên, tôi cần phải phát triển những lập luận về mặt kỹ thuật cho giả thuyết đó. Nhưng có thể nói rằng giả thuyết này được rút ra chính từ triết lý về cái thiện. Đa số các nhà toán học làm toán đều xuất phát từ một quan điểm thẩm mỹ nào đó và triết lý về cái thiện nảy sinh từ quan điểm thẩm mỹ của tôi”. Cuối cùng rồi sự tích lũy những bằng chứng của Shimura cũng đã làm cho lý thuyết về các phương trình eliptic và các dạng modular ngày càng trở nên được chấp nhận rộng rãi hơn. Ông vẫn chưa thể chứng minh được với phần còn lại của thế giới rằng nó