The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by Rattana Sasom, 2019-12-22 02:11:57

1ปก2-ผสาน

1ปก2-ผสาน

นางรตั นา สะสม
โรงเรยี นวัชรวทิ ยา
อาเภอเมอื ง จงั หวดั กาแพงเพชร
สานักงานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 41

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์
ไดจ้ ดั ทาข้ึนเพ่อื ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ค33202
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6 มุ่งหวงั ใหน้ กั เรียนไดศ้ ึกษา ฝึกการเรียนรู้
พฒั นากระบวนการคิดแกป้ ัญหา โดยนาทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการ
ตดั สินใจแกป้ ัญหา ตลอดจนมีเจตคติท่ีดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ โดยแบ่งออกเป็น 5 ชุด
ดงั น้ี

1. ชุดที่ 1 เรื่องลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั
2. ชุดที่ 2 เรื่องลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต
3. ชุดที่ 3 เรื่องลิมิตของลาดบั
4. ชุดที่ 4 เร่ืองผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
5. ชุดที่ 5 เร่ืองสัญลกั ษณ์แทนการบวก

ชุดกิจกรรมน้ีเป็ นชุดที่ 2 เร่ืองลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต ประกอบดว้ ย
คาช้ีแจง สาระ มาตรฐานการเรียนรู้และผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระสาคญั
ใบความรู้ ตวั อยา่ ง ใบกิจกรรม แบบทดสอบก่อนเรียนและแบบทดสอบหลงั เรียน
กิจกรรมประลองปัญญา ทา้ ใหค้ ิด พชิ ิตปัญหา พร้อมเฉลย นกั เรียนสามารถทากิจกรรม
ประเมินความรู้และตรวจสอบเองได้

ผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งยง่ิ วา่ ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์น้ี จะเป็นประโยชน์
ต่อนกั เรียนในการศึกษาหาความรู้ใหก้ บั ตนเอง ท้งั น้ีตอ้ งขอขอบคุณผทู้ ี่มีส่วนเก่ียวขอ้ ง
ทุกทา่ นที่ใหค้ าแนะนา สนบั สนุนในการจดั ทาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์
มา ณ โอกาสน้ี

รัตนา สะสม

สำรบญั

หนา้

คาช้ีแจงการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์........................................... 1
สาระ และมาตรฐานการเรียนรู้…………………............................................ 2
ผลการเรียนรู้………………………………………………………………… 3
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้...................................................................................... 3
แบบทดสอบก่อนเรียน ชุดที่ 2 เร่ืองลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต…….. 4
สาระสาคญั ...................................................................................................... 6
ประลองปัญญา………………….................................................................... 7
ใบความรู้ 2.1 เรื่อง ลาดบั เลขคณิต………..……………………….………… 8
ใบกิจกรรม 2.1……………………………………………………………… 11
ใบกิจกรรม 2.2……………………………………………………………… 12
ทา้ ใหค้ ิด…………………………………………………………………….. 14
ใบความรู้ 2.2 เร่ือง ลาดบั เรขาคณิต…………..……………........................... 15
ใบกิจกรรม 2.3…………………..………………………………………… 18
ใบกิจกรรม 2.4…………………..………………………………………… 19
พชิ ิตปัญหา.................................................................................................... 21
แบบทดสอบหลงั เรียน ชุดที่ 2 เร่ืองลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต…….. 22
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ชุดท่ี 2 เรื่องลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต.................................. 24
แบบบนั ทึกคะแนน ชุดที่ 2 เร่ืองลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต………. 25
บรรณานุกรม.................................................................................................. 26

สำรบัญ(ต่อ)

หนา้

ภาคผนวก
- เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน........................................................... 28
- เฉลยกิจกรรมประลองปัญญา…………………………………… 29
- เฉลยกิจกรรม 2.1 …. …………………………………………… 30
- เฉลยกิจกรรม 2.2 … …………………………………………… 31
- เฉลยกิจกรรมทา้ ใหค้ ิด…………………………………………… 35
- เฉลยกิจกรรม 2.3 …. …………………………………………… 36
- เฉลยกิจกรรม 2.4 … …………………………………………… 37
- เฉลยกิจกรรมพิชิตปัญหา.............................................................. 41
- เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน…………………………………….. 42

1

คำชี้แจงกำรใช้ชุดกจิ กรรมกำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชุดท่ี 2 เร่ือง ลาดบั เลขคณิตและ
ลาดบั เรขาคณิต ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ค33202
ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6 ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิตามข้นั ตอนต่อไปน้ี (ใชเ้ วลาเรียน 3 ชวั่ โมง)
1. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบจากเฉลย

แบบทดสอบก่อนเรียน
2. ศึกษามาตรฐานการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เน้ือหาในใบความรู้

และตวั อยา่ งก่อนทาใบกิจกรรมแต่ละชุด
3. ทาใบกิจกรรมและตรวจสอบคาตอบจากเฉลย
4. ทาแบบทดสอบหลงั เรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบจากเฉลย

แบบทดสอบหลงั เรียน
5. ใหน้ กั เรียนบนั ทึกผลคะแนนที่ไดจ้ ากการทาแบบทดสอบก่อนเรียน ใบกิจกรรม และ

แบบทดสอบหลงั เรียนไวใ้ นตารางบนั ทึกคะแนนทุกคร้ัง
6. นกั เรียนส่งกระดาษคาตอบ ใบกิจกรรม และตารางบนั ทึกคะแนน ใหค้ รูตรวจสอบ

ความถูกตอ้ งทุกคร้ัง

ใหน้ กั เรียนศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ดว้ ยความต้งั ใจ และซ่ือสัตย์
ตอ่ ตนเอง เพ่ือพฒั นาและส่งเสริมทกั ษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ สามารถนาไปใช้
ในการศึกษาต่อในระดบั ที่สูงข้ึน และใชใ้ นชีวติ ประจาวนั

เรียนให้สนุกนะฮะ

2

สำระ และมำตรฐำนกำรเรียนรู้

สำระที่ 4 พชี คณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป (Pattern) ความสัมพนั ธ์ และฟังกช์ นั

สำระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนกำรทำงคณติ ศำสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การส่ือสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
การเชื่อมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
ม.4-6/1 ใชว้ ธิ ีการที่หลากหลายแกป้ ัญหา
ม.4-6/2 ใชค้ วามรู้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี
ในการแกป้ ัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/3 ใหเ้ หตุผลประกอบการตดั สินใจ และสรุปผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/4 ใชภ้ าษาและสัญลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร การสื่อความหมาย
และการนาเสนอไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ งและชดั เจน
ม.4-6/5 เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลกั การ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกบั ศาสตร์อ่ืน ๆ
ม.4-6/6 มีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์

3

ผลกำรเรียนรู้

1. หาลิมิตของลาดบั อนนั ตโ์ ดยอาศยั ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลิมิตได้
2. นาความรู้เร่ืองลาดบั และอนุกรมไปใชแ้ กป้ ัญหาได้

จุดประสงค์กำรเรียนรู้

1. บอกความหมายของลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิตได้
2. เขียนพจนท์ วั่ ไปของลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิตได้
3. หาพจน์ต่าง ๆ ของลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิตได้
4. แกโ้ จทยป์ ัญหาเกี่ยวกบั ลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิตได้

คนทไี่ ม่เคยทำผดิ คือคนทไ่ี ม่ได้ทำอะไรเลย
"The only man who never makes

mistakes is the man who never does anything."
- - T.Roosevelt - -

ยอมผดิ ...ดีกว่ำ
อย่อู ย่ำงไร้ค่ำ

4

แบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 2 เร่ืองลำดบั เลขคณติ และลำดับเรขำคณติ

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบท่ีถูกที่สุดแลว้ ทาเครื่องหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. ขอ้ ใดต่อไปน้ี ไมเ่ ป็ นลาดบั เลขคณิต

ก. 1, 2, 3, 4, 5,… ข. -7, -5, -3, -1, 1, 3,…

ค. 4, 0, -4, -8,… ง. 5, 2, 0, -1,…

2. กาหนดลาดบั 2, 4, 8, 16 เป็นลาดบั เรขาคณิต ขอ้ ใดคืออตั ราส่วนร่วม
ของลาดบั เรขาคณิตน้ี
ก. 1 ข. 2
ค. 3 ง. 4

3. ถา้ กาหนดลาดบั เลขคณิตมีพจนท์ ่ี 1 เป็น 21 และพจน์ที่ 6 เป็น 6 แลว้
ผลตา่ งร่วมมีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใด
ก. -6 ข. -5
ค. -4 ง. -3

4. กาหนดใหพ้ จน์ที่ 9 ของลาดบั เรขาคณิตเทา่ กบั 128 และอตั ราส่วนร่วมเท่ากบั 2
จงหาพจน์แรก
ก. 4 ข. 2

ค. 1 ง. 1

24

5

5. จานวนที่หารดว้ ย 9 ลงตวั ซ่ึงมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง 500 และ 800 มีกี่จานวน
ก. 31 ข. 32
ค. 33 ง. 34

6. ลาดบั 3, 6, 12, ... , 384 มีกี่พจน์ ข. 8 พจน์
ก. 7 พจน์ ง. 10 พจน์
ค. 9 พจน์

7. ถา้ 2, a, b, 128 เรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต แลว้ a + b มีคา่ เทา่ ใด
ก. 40 ข. 50
ค. 60 ง. 70

8. ลาดบั เลขคณิตลาดบั หน่ึงมีพจนแ์ รกเป็น -6 และผลตา่ งร่วมเป็น 4 แลว้ พจนท์ ี่ n

ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 4n + 1 ข. 4n + 7

ค. 4n – 3 ง. 4n – 10

9. นายศิริชยั ซ้ือบา้ นหลงั หน่ึงแบบผอ่ นส่งโดยวางเงินดาวน์ 50,000 บาท ที่เหลือ

ผอ่ นส่งเป็นรายเดือน เดือนแรกจา่ ย 5,000 บาท และเดือนถดั ไปจ่ายเพ่ิมจากเดือนท่ีแลว้

เดือนละ 100 บาท จนครบ 10 ปี นายศิริชยั จา่ ยค่าบา้ นงวดสุดทา้ ยเป็นเงินกี่บาท

ก. 16,900 ข. 15,900

ค. 14,900 ง. 13,900

10. กาหนด x, 5x, 6x + 9 เป็นสามพจน์เรียงกนั ในลาดบั เลขคณิต แลว้ คา่ ของ x
ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 4 ข. 3
ค. 2 ง. 1

6

สำระสำคญั

ลำดบั เลขคณติ (Arithmetic Sequence)
คือ ลาดบั ซ่ึงมีผลต่างที่ไดจ้ ากการนาพจนท์ ่ี n + 1 ลบพจนท์ ่ี n
เป็นค่าคงตวั ที่เท่ากนั สาหรับทุกจานวนเตม็ บวก n และ เรียกค่าคงตวั น้ีวา่
ผลต่ำงร่วม (Common difference) เขียนแทนดว้ ย d

นน่ั คือ d  a2  a1  a3  a2  a4  a3  ...  an1  an
และมี an  a1  n 1d เมื่อ a1 คือ พจน์ท่ี 1 และ d คือ ผลตา่ งร่วม

ลำดบั เรขำคณติ (Geometric Sequence)
คือ ลาดบั ที่มีอตั ราส่วนระหวา่ งพจน์ท่ี n + 1 กบั พจนท์ ่ี n เป็นค่าคงตวั
ที่เท่ากนั สาหรับจานวนเต็มบวก n และ เรียกคา่ คงตวั น้ีวา่ อตั รำส่วนร่วม
(Common ratio) เขียนแทนดว้ ย r

นนั่ คือ r  a2  a3  a4  ...  an1
a1 a2 a3 an

และมี an  a1rn-1 เม่ือ a1 เป็ นพจน์ท่ี 1 ท่ีไม่เท่ากบั ศูนย์
และ r เป็นอตั ราส่วนร่วมท่ีไม่เทา่ กบั ศูนย์

7

ประลองปัญญำ

จงหาวา่ ตวั เลขในช่องท่ีหายไปเป็นเลขอะไร

ช่องทเ่ี หลือ
จะเตมิ เลขอะไรดีนะ...???

8

ใบควำมรู้ 2.1
เร่ือง ลำดบั เลขคณติ

(ใช้เวลำ 10 นำท)ี

ลำดบั เลขคณติ (Arithmetic Sequence) คือ ลาดบั ซ่ึงมีผลตา่ งท่ีไดจ้ าก
การนาพจน์ท่ี n 1 ลบพจนท์ ่ี n เป็นค่าคงตวั ท่ีเทา่ กนั สาหรับทุกจานวนเตม็ บวก n
และ เรียกคา่ คงตวั น้ีวา่ ผลต่ำงร่วม (Common difference) เขียนแทนดว้ ย d

นนั่ คือ d  a2  a1  a3  a2  a4  a3  ...  an1  an

พจิ ำรณำลำดับต่อไปนี้ เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมี 3 เป็นผลต่างร่วม
1. 5, 8, 11, 14, 17, …, 302 เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมี -5 เป็นผลต่างร่วม
2. 12, 7, 2, -3, -8, … เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมี 0 เป็นผลต่างร่วม
3. 2, 2, 2, 2, 2, …, 2,… เป็นลาดบั เลขคณิตที่มี 1 เป็นผลต่างร่วม
4. 1, 2, 3, 4, 5, … เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมี -1 เป็นผลตา่ งร่วม
5. -1, -2, -3, -4, -5, …

พจน์ทวั่ ไปของลำดับเลขคณิต
คือ an  a1  n 1d
เม่ือ a1 คือ พจนท์ ี่ 1 และ d คือ ผลต่างร่วม

ตัวอย่ำงท่ี 1 กาหนด 2, 5, 8, 11, 14, … เป็นลาดบั จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั

วธิ ีทำ จากลาดบั 2 5 8 11 14

+3 +3 +3 +3
เป็ นลาดบั เลขคณิต มีผลตา่ งร่วม d = 3 และ a1  2
ดงั น้นั พจนท์ วั่ ไปของลาดบั คือ an  2  3(n 1)

หรือ an  3n 1

9

ตัวอย่ำงท่ี 2 กาหนด 1 , 5 , 11 , ...เป็ นลาดบั เลขคณิต จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั

26 6

วธิ ีทำ จากโจทย์ ลาดบั ที่กาหนดเป็ นลาดบั เลขคณิต

จะได้ 5  1  2  1

62 6 3

75  2 1
66 6 3

นนั่ คือ d1 และ a1  1
3 2

ดงั น้นั พจน์ทวั่ ไปของลาดบั คือ an  1  1 n 1

23

หรือ an  1  1n
6 3

ตัวอย่ำงท่ี 3 จงหาพจน์ท่ี 30 ของลาดบั เลขคณิต เม่ือกาหนดพจนท์ ่ี 5 เท่ากบั 29
และพจน์ที่ 51 เท่ากบั 397

วธิ ีทำ จากพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต a n  a1  n 1d

จะไดว้ า่ 29  a1  4d ………………… (1)

397  a1  50d ………………… (2)

(2) – (1), 368  46d

d8

แทนคา่ d ใน (1), 29  a1  48

นนั่ คือ a1  3

a30  3  30 18

a30  229

ดงั น้นั พจน์ท่ี 30 ของลาดบั เลขคณิตน้ี คือ 229

10

ตัวอย่ำงที่ 4 กาหนดลาดบั เลขคณิต 24, 19, 14, 9, …, – 46 จงหาวา่ ลาดบั น้ีมีกี่พจน์

วธิ ีทำ จากโจทย์ ลาดบั ที่กาหนดเป็ นลาดบั เลขคณิต a n  a1  n 1d
จะได้ d = 19 – 24 = – 5 และ a1  24

นน่ั คือ – 46 = 24 + (n – 1) (– 5)
– 46 = 24 + 5 – 5n
– 46 = 29 – 5n

n   46  29
5

n = 15
ดงั น้นั ลาดบั น้ีมี 15 พจน์

ตัวอย่ำงท่ี 5 อิฐกองหน่ึงวางซอ้ นกนั ในแนวระดบั เป็นช้นั ๆ แตล่ ะช้นั มีจานวนอิฐ
นอ้ ยกวา่ ช้นั ถดั ไปอยู่ 2 กอ้ น ถา้ ช้นั บนสุดมีอิฐ 1 กอ้ น ช้นั ล่างสุดท่ีอยตู่ ิดดิน
มี 121 กอ้ น แลว้ อิฐกองน้ีมีกี่ช้นั

วธิ ีทำ จากโจทย์ จานวนอิฐแตล่ ะช้นั ต่างกนั อยู่ 2 กอ้ น

จะไดว้ า่ d  2, a1  1, an  121

จากพจน์ทว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต a n  a1  n 1d

นน่ั คือ 121 = 1 + 2(n – 1)

121 = 1 + 2n – 2

121 = 2n – 1

2n = 122

n = 61

ดงั น้นั จะไดว้ า่ อิฐกองน้ีมีท้งั หมด 61 ช้นั

11

ใบกจิ กรรม 2.1

ชอื่ …...................................................................ชน้ั …………….เลขท.่ี .........คะแนนทไี่ ด้...................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาลาดบั ต่อไปน้ี แลว้ เติมคาตอบลงในช่องวา่ งใหส้ มบูรณ์
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ ลาดบั ลาดบั เลขคณิต ผลตา่ ง พจนท์ วั่ ไป
1 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 เป็น ไม่เป็น ร่วม ของลาดบั

2 -5, -4, -3, -2, -1, 0, …, 13

3 10, 100, 1000, 10000, …

4 29, 32, 35, 38, 41, …

5 0, 2, -4, 6, -8, 10, …

6 13, 9, 5, 1, -3, -7, …

7 8, 11, 14, 17, 20, 23, …

8 1 , 5 ,11 ,11 , ...
26 6 2

9 0.3, 1.3, 2.3, 3.3, 4.3, …

10 1, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, …

หมายเหตุ ตอ้ งเติมคาตอบใหถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์นะคะ จึงจะไดค้ ะแนนในแต่ละขอ้

12

ใบกจิ กรรม 2.2

ชอ่ื …...................................................................ช้ัน…………….เลขท่ี..........คะแนนทีไ่ ด.้ ..................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
ใชเ้ วลา 15 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. จงหาพจน์ท่ี 18 ของลาดบั เลขคณิต 3, 7, 11, …
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

2. กาหนดลาดบั เลขคณิต 5, 8, 11, 14, …, 77 จงหาวา่ ลาดบั น้ีมีกี่พจน์
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

13

3. จานวนเตม็ ต้งั แต่ 16 ถึง 775 ท่ีหารดว้ ย 3 ลงตวั มีกี่จานวน
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

4. ถา้ p, 5p, 6p+9 เป็นสามพจนเ์ รียงกนั ในลาดบั เลขคณิต จงหาค่าของ p
และเขียนลาดบั น้ีต่อไปอีกส่ีพจน์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

5. ถา้ ผลบวกของสามพจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิตคือ 12 และผลบวกของกาลงั สาม
ของแต่ละพจนท์ ้งั สามพจนน์ ้ีคือ 408 จงหาลาดบั น้ี

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

14
ท้ำให้คดิ

“ภทั รมีลูกแกว้ จานวนหน่ึงนาใส่ถุงวางเรียงกนั ถุงแรกมี 1 ลูก ถุงที่สองมี 4 ลูก
ถุงที่สามมี 7 ลูก วางเรียงไปเรื่อย ๆ จนลูกแกว้ หมด ปรากฏวา่ ถุงที่อยลู่ าดบั ท่ี 7 หล่น
ทาใหล้ ูกแกว้ ในถุงแตกหมดทุกลูก จงหาวา่ ลูกแกว้ ที่แตกมีกี่ลูก"

แตกไปกล่ี ูกล่ะเนี่ย…

15

ใบควำมรู้ 2.2
เรื่อง ลำดบั เรขำคณติ

(ใช้เวลำ 15 นำท)ี

ลำดับเรขำคณติ (Geometric Sequence)
คือ ลาดบั ที่มีอตั ราส่วนระหวา่ งพจน์ที่ n + 1 กบั พจนท์ ่ี n เป็นคา่ คงตวั ที่เท่ากนั
สาหรับจานวนเตม็ บวก n และ เรียกคา่ คงตวั น้ีวา่ อตั รำส่วนร่วม (Common ratio)
เขียนแทนดว้ ย r

นนั่ คือ r  a2  a3  a4  ...  an1
a1 a2 a3 an

พจิ ำรณำลำดบั ต่อไปนี้ เป็นลาดบั เรขาคณิต มี 2 เป็นอตั ราส่วนร่วม
1. 2, 4, 8, 16, 32

2. 1, -3, 9, – 27, 81, … เป็นลาดบั เรขาคณิต มี – 3 เป็นอตั ราส่วนร่วม

3. 24, 12, 6, 3, … เป็นลาดบั เรขาคณิต มี 1 เป็นอตั ราส่วนร่วม

2

4. 25,  5,1,  1 , 1 , ... เป็ นลาดบั เรขาคณิต มี  1 เป็ นอตั ราส่วนร่วม
5 25 5

พจน์ทวั่ ไปของลำดับเรขำคณติ คือ an  a1rn-1
เม่ือ a1 เป็นพจนท์ ี่ 1 ที่ไมเ่ ท่ากบั ศูนย์
และ r เป็นอตั ราส่วนร่วมท่ีไม่เท่ากบั ศูนย์

16

ตัวอย่ำงท่ี 1 กาหนด 2, 4, 8, 16, 32, … เป็นลาดบั จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั

วธิ ีทำ จากลาดบั 4  8  16  32  2
2 4 8 16

เป็ นลาดบั เรขาคณิต มีอตั ราส่วนร่วม r = 2 และ a1  2
ดงั น้นั พจน์ทวั่ ไปของลาดบั คือ an  22n1

หรือ an  2n

ตัวอย่ำงที่ 2 กาหนด 9, 3,1, 1 , 1 ,...เป็ นลาดบั เรขาคณิต จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั

39

วธิ ีทำ จากโจทย์ ลาดบั ที่กาหนดเป็ นลาดบั เรขาคณิต
จะได้ 3  1

93

นนั่ คือ r1 และ a1  9
ดงั น้นั 3

พจนท์ วั่ ไปของลาดบั คือ an  9 1 n1
3

หรือ an  1
3n 3

ไปดูตวั อยา่ งต่ออีกนิดนะคะ

17

ตัวอย่ำงที่ 3 จากลาดบั 5 , 5 , 5 ,... จงหาวา่ 135 เป็ นพจน์ที่เทา่ ใด

243 81 27

5

วธิ ีทำ จากโจทย์ a1  5 , r 81  5  243  3 , a n  135
243 5 81 5

243

จากสูตร a n  a1r n-1

แทนค่า 135  5 3n1

243

3n1  6561

3n-1  38

n 1 8

n 9

ดงั น้นั พจนท์ ี่มีค่าเท่ากบั 135 คือ พจน์ที่ 9

ตัวอย่ำงท่ี 4 นายโชคต้งั ใจไวว้ า่ เขาจะบริจาคเงินใหแ้ ก่มูลนิธิเด็กพิการในวนั เกิด
ของเขาทุกปี ติดต่อกนั 10 ปี โดยบริจาคคร้ังแรกเป็นเงิน 500 บาท
และสัญญาวา่ จะบริจาคเพม่ิ ข้ึนเป็น 2 เท่าของเงินบริจาคของปี ท่ีผา่ นมา
ไปเรื่อย ๆ จงหาวา่ ในปี ที่ 10 นายโชคบริจาคเงินใหแ้ ก่มูลนิธิเท่าใด

วธิ ีทำ จากโจทย์ a1  500 , r  2 , n  10

จากสูตร a n  a1r n-1

แทนค่า a n  5002101
a n  500512

a n  256000

ดงั น้นั ปี ที่ 10 นายโชคบริจาคเงินใหแ้ ก่มูลนิธิ 256,000 บาท

18

ใบกจิ กรรม 2.3

ชื่อ…...................................................................ชัน้ …………….เลขที.่ .........คะแนนทีไ่ ด.้ ..................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาลาดบั ต่อไปน้ี แลว้ เติมคาตอบลงในช่องวา่ งใหส้ มบูรณ์
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ ลาดบั ลาดบั เรขาคณิต อตั ราส่วน พจน์ทว่ั ไป
เป็น ไม่เป็น ร่วม ของลาดบั
1 1, 3, 9, 27, 81, …

2 1, – 2, 4, – 8, 16, – 32, …

3 1 , 1 , 1, 5, 25, ...

25 5

4 6,12, 24, 48, ...

5 1, – 1, 1, – 1, 1, …

6 0, 2, 4, 6, 8, …

7 1 , 2 , 4, 24, ...

93

8 16, 4, -1, 1 , - 1 ,...

4 16

9 3, 18, 108, 648, …

10 3 , 3 , 3, 6, 12, 24, ...

42

หมายเหตุ ตอ้ งเติมคาตอบใหถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์นะคะ จึงจะไดค้ ะแนนในแต่ละขอ้

19

ใบกจิ กรรม 2.4

ชอื่ …...................................................................ช้ัน…………….เลขท่ี..........คะแนนท่ีได.้ ..................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 15 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. จงหาพจน์ที่ 8 ของลาดบั เรขาคณิต 20, 10, 5, 5 , ...

2

…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
2. กาหนดพจน์ที่ 7 ของลาดบั เรขาคณิตเทา่ กบั 128 และอตั ราส่วนร่วมเท่ากบั 2
จงหาพจน์แรกของลาดบั น้ี
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

20

3. กาหนด 2, a, b, 128 เป็นลาดบั เรขาคณิต จงหา a + b
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

4. เลขสามจานวนเรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต ผลบวกของเลขท้งั สามจานวนเป็ น 42
และผลคูณของเลขท้งั สามเป็ น 512 จงหาเลขสามจานวนน้ี
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

5. จงหาจานวนระหวา่ ง 6 กบั 16 ซ่ึงทาใหจ้ านวนท้งั สามเรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

21

พชิ ิตปัญหำ

คน 3 คน อายุ 10, 18 และ 30 ปี จงหาวา่ อีกก่ีปี ขา้ งหนา้ อายขุ องคนท้งั สาม
จะเรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต

10 ขวบค่ะ 18 ปี ค่ะ 30 ปี ครับ

อกี กปี่ ี ...???...???

22

แบบทดสอบหลงั เรียน
ชุดที่ 2 เรื่องลำดับเลขคณติ และลำดบั เรขำคณติ

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบท่ีถูกที่สุดแลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. ขอ้ ใดต่อไปน้ี ไมเ่ ป็ นลาดบั เลขคณิต

ก. 5, 0, -5, -9,… ข. 3, 7, 11, 15,…

ค. 1, 3, 5, 7, 9,… ง. -1, -4, -7, -10, -13,…

2. ถา้ กาหนดลาดบั เลขคณิตมีพจนท์ ่ี 1 เป็น 12 และพจน์ท่ี 7 เป็น 3 แลว้

ผลตา่ งร่วมมีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใด

ก. – 5 ข. – 3

ค.  5 ง.  3

2 2

3. กาหนดลาดบั 16, 8, 4, 2 เป็นลาดบั เรขาคณิต ขอ้ ใดคืออตั ราส่วนร่วม

ของลาดบั เรขาคณิตน้ี

ก.  1 ข. 1

2 2

ค. – 2 ง. 2

4. กาหนดใหพ้ จนท์ ่ี 5 ของลาดบั เรขาคณิตเทา่ กบั 243 และอตั ราส่วนร่วมเท่ากบั 3
จงหาพจนแ์ รก

ก. 1 ข. 3

3

ค. 1 ง. 9

23

5. ลาดบั 3, 6, 12, ... ,768 มีกี่พจน์ ข. 9 พจน์
ก. 8 พจน์ ง. 11 พจน์
ค. 10 พจน์

6. จานวนท่ีหารดว้ ย 7 ลงตวั ซ่ึงมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง 500 และ 800 มีก่ีจานวน
ก. 34 ข. 39
ค. 43 ง. 45

7. ลาดบั เลขคณิตลาดบั หน่ึงมีพจนแ์ รกเป็น -3 และผลต่างร่วมเป็ น 3 แลว้ พจน์ท่ี n

ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 3n + 6 ข. 3n + 3

ค. 3n ง. 3n – 6

8. นายศรชยั ซ้ือรถคนั หน่ึงแบบผอ่ นส่งโดยวางเงินดาวน์ 200,000 บาท ท่ีเหลือ

ผอ่ นส่งเป็นรายเดือน เดือนแรกจา่ ย 5,000 บาท และเดือนถดั ไปจา่ ยเพ่มิ จากเดือนที่แลว้

เดือนละ 100 บาท จนครบ 3 ปี นายศรชยั จ่ายค่ารถงวดสุดทา้ ยเป็นเงินกี่บาท

ก. 8,500 ข. 9,300

ค. 10,600 ง. 11,900

9. ถา้ 3, a, b, 192 เรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต แลว้ a + b มีค่าเท่าใด
ก. 60 ข. 65
ค. 70 ง. 75

10. กาหนด x, 2x + 7, 5x เป็นสามพจนเ์ รียงกนั ในลาดบั เลขคณิต แลว้ คา่ ของ x
ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 0 ข. 5
ค. 7 ง. 9

24

กระดำษคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน
ชุดที่ 2 เรื่องลำดบั เลขคณติ และลำดบั เรขำคณติ

ชื่อ.......................................................................................ช้นั ...................เลขที่...................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนทาเคร่ืองหมาย  ลงในช่องวา่ งที่ตรงกบั คาตอบที่ถูกที่สุด

ทดสอบก่อนเรียน ทดสอบหลงั เรียน

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

11

22

33

44

55

66

77

88

99

10 10

คะแนนทไี่ ด้ คะแนนทไ่ี ด้

ขยนั ขยนั ขยนั …
แล้วเรำจะสบำย เม่ือเติบใหญ่

25

แบบบนั ทกึ คะแนน
ชุดที่ 2 เร่ืองลำดบั เลขคณติ และลำดบั เรขำคณติ

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนบนั ทึกคะแนนที่นกั เรียนทาไดต้ ามความเป็นจริง

กจิ กรรม คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้ ผ่ำน 70 % สรุปผล
(ผ/มผ.)
ทดสอบก่อนเรียน
ทดสอบหลงั เรียน 10 7
ความกา้ วหนา้ 10 7
กิจกรรม 2.1 หลงั -ก่อน
กิจกรรม 2.2 10 7
กิจกรรม 2.3 10 7
กิจกรรม 2.4 10 7
รวมกิจกรรม 2.1-2.4 10 7
40 28

ลงช่ือ...............................................นกั เรียน
เลขที่.................ช้นั .................

ต้องสู้...
จึงจะชนะ...(ชนะตวั เอง)

26

บรรณำนุกรม

กนกวลี อุษณกรกุล และรณชยั มาเจริญทรัพย.์ (2555). แบบฝึ กหดั และประเมินผล
กำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม ม.4-6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ : สานกั พิมพเ์ ดอะบุคส์จากดั .

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลำงกำรศึกษำข้นั พืน้ ฐำน พุทธศักรำช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จากดั .

ชนญั ชิดา. คณติ คิดสนุก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก : http://sinceremath.blogspot.com.
(วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 11 พฤศจิกายน 2556).

นงนุช สุขวารี และคณะ. (2554). คู่มืออบรมครูคณติ ศำสตร์. โครงการพฒั นาครู
วทิ ยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพวิ เตอร์ ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาตอนปลาย.

บล็อกเนยสีฟ้า. ภำพสัตว์ป่ ำน่ำรัก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http://www.bloggang.com.(วนั ท่ีคน้ ขอ้ มูล : 18 พฤศจิกายน 2556).

เลิศ สิทธิโกศล. (2555). Math Review คณติ ศำสตร์ ม.4-6 เล่ม 6 (เพม่ิ เติม).
กรุงเทพฯ : บริษทั ไฮเอ็ดพบั ลิชช่ิง จากดั .

สานกั วชิ าการและมาตรฐานการศึกษา สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน,
กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). ตัวชี้วดั และสำรแกนกลำงกล่มุ สำระกำรเรียนรู้
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทยจากดั .

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). คู่มือวดั ผลประเมินผล
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.

_______. (2554). คู่มือครูรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพมิ่ เตมิ เล่ม 6 ช้ันมัธยมศึกษำปี ที่ 4-6.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.

_______. (2554). หนังสือเรียนรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพม่ิ เตมิ เล่ม 6
ช้ันมัธยมศึกษำปี ที่ 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.

เสวตร โคตรนารา. ลำดบั และอนุกรม. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http : www.krusawed.wordpress.com. (วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 15 พฤศจิกายน 2556).

27

28

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ คำตอบ
1ง
2ข
3ง
4ค
5ค
6ข
7ก
8ง
9ก
10 ข

คร้ังต่อไป ต้องได้คะแนนเตม็ แน่ ๆ

29

เฉลยกจิ กรรมประลองปัญญำ

56

คิดออกแล้วใช่ม้ัย
ไม่ยำกเลย

30

เฉลยกจิ กรรม 2.1

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนพิจารณาลาดบั ต่อไปน้ี แลว้ เติมคาตอบลงในช่องวา่ งใหส้ มบูรณ์
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ ลาดบั ลาดบั เลขคณิต ผลต่าง พจนท์ วั่ ไป
เป็น ไมเ่ ป็น ร่วม ของลาดบั
1 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
2 -5, -4, -3, -2, -1, 0, …, 13  2 a n  2n -1
3 10, 100, 1000, 10000, …
4 29, 32, 35, 38, 41, …  1 an  n 6
5 0, 2, -4, 6, -8, 10, …
6 13, 9, 5, 1, -3, -7, …  ไม่มี a n  10n
7 8, 11, 14, 17, 20, 23, …
8 1 , 5 ,1 1 ,1 1 ,...  3 a n  3n  26

26 6 2  ไม่มี an  21n n 1

9 0.3, 1.3, 2.3, 3.3, 4.3, …  -4 a n  17  4n
10 1, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, …
 3 a n  3n  5

 1 an  1n 1
3 3 6

 1 a n  n - 0.7

 -0.1 a n  1.1  0.1n

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบผดิ หรือตอบไม่ครบ 3 ช่อง ได้ 0 คะแนน

ตอบถูกตอ้ งท้งั 3 ช่อง ได้ 1 คะแนน

31

เฉลยกจิ กรรม 2.2

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
ใชเ้ วลา 20 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. จงหาพจน์ท่ี 18 ของลาดบั เลขคณิต 3, 7, 11, …

จากโจทย์ d = 7–3=4

a1 = 3
n = 18

จาก an = a1 + (n – 1)d
จะไดว้ า่ an = 3 + (18 – 1) 4

= 3 + (17) 4

= 71

นน่ั คือ พจน์ท่ี 18 ของลาดบั คือ 71

2. กาหนดลาดบั เลขคณิต 5, 8, 11, 14, …, 77 จงหาวา่ ลาดบั น้ีมีกี่พจน์

จากโจทย์ d = 8–5=3

จาก a1 = 5
จะไดว้ า่ an = 77
an = a1 + (n –1)d
77 = 5 + (n – 1) 3

77 = 5 + 3n – 3

n = 25

นนั่ คือ ลาดบั ท่ีกาหนดมีท้งั หมด 25 พจน์

32

3. จานวนเตม็ ต้งั แต่ 16 ถึง 775 ท่ีหารดว้ ย 3 ลงตวั มีก่ีจานวน

จานวนเตม็ ต้งั แต่ 16 ถึง 775 ท่ีหารดว้ ย 3 ลงตวั ประกอบดว้ ย

18, 21, 24, …, 774

จากลาดบั จะไดว้ า่ a1 = 18
d =3

จาก an = 774
จะไดว้ า่ an = a1 + (n –1)d
774 = 18 + (n –1) 3

774 = 18 + 3n – 3

n = 253

นน่ั คือ จานวนเตม็ ต้งั แต่ 16 ถึง 775 ท่ีหารดว้ ย 3 ลงตวั มี 253 จานวน

4. ถา้ p, 5p, 6p+9 เป็นสามพจนเ์ รียงกนั ในลาดบั เลขคณิต จงหาคา่ ของ p
และเขียนลาดบั น้ีต่อไปอีกส่ีพจน์

จากโจทย์ จะไดว้ า่ 5p – p = 6p+9 – 5p
ดงั น้นั ลาดบั น้ีคือ 4p = p + 9

4p – p = 9
3p = 9
P =3
3, 15, 27, 39, 51, 63, 75, …

33

5. ถา้ ผลบวกของสามพจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิตคือ 12 และผลบวกของกาลงั สาม
ของแตล่ ะพจนท์ ้งั สามพจนน์ ้ีคือ 408 จงหาลาดบั น้ี

กาหนดให้ a – d , a , a+d เป็นสามพจน์แรกของลาดบั เลขคณิต
จะไดว้ า่ (a – d) + a + (a + d) = 12

3a = 12
a =4

และ (a – d)3 + a3 + (a + d)3 = 408

(a3 – 3a2d + 3ad2 – d3) + a3 + (a3 + 3a2d + 3ad2 + d3) = 408

3a3+ 6ad2 = 408

a3+ 2ad2 = 136

แทนคา่ a = 4 จะได้ 43+ 2(4)d2 = 136

64 + 8d2 = 136

8d2 = 72

d2 = 9

d = 3 หรือ d = –3

จากลาดบั a–d , a , a+d เม่ือ a = 4
ถา้ d = 3 จะไดล้ าดบั คือ 1, 4, 7
ถา้ d = –3 จะไดล้ าดบั คือ 7, 4, 1

เก่งเหมือนกนั
นะเรา

34

เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 2.2

1. ไมม่ ีการแสดงวธิ ีทา หรือมีวธิ ีทาแต่ผดิ ได้ 0 คะแนน
2. มีการแสดงวธิ ีทาถูกตอ้ งเป็นข้นั ตอน แตต่ อบผดิ ได้ 1 คะแนน
3 มีการแสดงวธิ ีคิดถูกตอ้ งเป็นข้นั ตอน และตอบถูก ได้ 2 คะแนน

หมายเหตุ วธิ ีคิด วธิ ีทา อาจต่างวธิ ีกบั เฉลย แต่ถูกตอ้ งตามหลกั คณิตศาสตร์ก็ถูกไดน้ ะคะ

สงสัย...? กถ็ ำมครูนะคะ
ทกุ คำถำม มีคำตอบ

35

เฉลยกจิ กรรมท้ำให้คิด

“ภทั รมีลูกแกว้ จานวนหน่ึงนาใส่ถุงวางเรียงกนั ถุงแรกมี 1 ลูก ถุงที่สองมี 4 ลูก
ถุงท่ีสามมี 7 ลูก วางเรียงไปเรื่อย ๆ จนลูกแกว้ หมด ปรากฏวา่ ถุงที่อยลู่ าดบั ท่ี 7 หล่น
ทาใหล้ ูกแกว้ ในถุงแตกหมดทุกลูก จงหาวา่ ลูกแกว้ ที่แตกมีกี่ลูก"

ลูกแกว้ ในถุงมีจานวนเรียงกนั เป็นลาดบั เลขคณิต ดงั น้ี
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

ถุงที่ 7

นน่ั คือ ลูกแกว้ แตกไปท้งั หมด 19 ลูก

36

เฉลยกจิ กรรม 2.3

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนพิจารณาลาดบั ต่อไปน้ี แลว้ เติมคาตอบลงในช่องวา่ งใหส้ มบูรณ์
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ ลาดบั ลาดบั เรขาคณิต อตั ราส่วน พจนท์ วั่ ไป
เป็น ไม่เป็น ร่วม ของลาดบั
1 1, 3, 9, 27, 81, …
2 1, -2, 4, -8, 16, -32, …  3 an  3n1
3 1 , 1 , 1, 5, 25, ...
 -2 an   2 n1
25 5
 5 an  5n3
4 6,12, 24, 48, ...
5 1, -1, 1, -1, 1, …  2 an  3 2n
6 0, 2, 4, 6, 8, …
7 1 , 2 , 4, 24, ...  -1 an  1n1

93  ไม่มี an  2n  2

8 16, 4, -1, 1 , - 1 ,...  6 an  6 n 1
 9
4 16
1  an  1 n
9 3, 18, 108, 648, … 4 4n 3
10 3 , 3 , 3, 6, 12, 24, ...
6 an  3  6n1
42
 2 an  3 2n3

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบผดิ หรือตอบไม่ครบ 3 ช่อง ได้ 0 คะแนน

ตอบถูกตอ้ งท้งั 3 ช่อง ได้ 1 คะแนน

37

เฉลยกจิ กรรม 2.4

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 20 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. จงหาพจนท์ ี่ 8 ของลาดบั เรขาคณิต 20, 10, 5, 5 ,...
2

จากลาดบั ที่กาหนด จะได้ r  10  1 และ a1  20

20 2

ลาดบั เรขาคณิต a n  a1r n1

เม่ือ n = 8 จะได้ a8  20 1 81
2

a8  20 1 
128 

a8  5
32

นน่ั คือ พจนท์ ่ี 8 ของลาดบั คือ 5
32

2. กาหนดพจนท์ ี่ 7 ของลาดบั เรขาคณิตเทา่ กบั 128 และอตั ราส่วนร่วมเทา่ กบั 2

จงหาพจน์แรกของลาดบั น้ี

จากลาดบั เรขาคณิต a n  a1r n1 เมื่อ a7  128 , r  2
จะไดว้ า่
128   a1 2 71

a1  128
26

a1  2

นน่ั คือ พจน์แรกของลาดบั คือ 2

38

3. กาหนด 2, a, b, 128 เป็นลาดบั เรขาคณิต จงหา a + b

จากลาดบั เรขาคณิต a n  a1r n1 เม่ือ a1  2 , a 4  128
จะไดว้ า่ 128  2r 3

128  r 3
2
64  r 3

r4

ดงั น้นั a = 2(4) = 8

b = 8(4) = 32

นน่ั คือ a + b = 8 + 32 = 40

4. เลขสามจานวนเรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต ผลบวกของเลขท้งั สามจานวนเป็ น 42

และผลคูณของเลขท้งั สามเป็ น 512 จงหาเลขสามจานวนน้ี

กาหนดให้ a , a, ar เป็ นสามพจนใ์ นลาดบั เรขาคณิตน้นั

r

จะไดว้ า่ a  a  ar  42 ………………….. (1)
r

และ a  a  ar  512 ………………….. (2)
r

จาก (2) จะไดว้ า่ a3  512

นน่ั คือ a = 8

แทนค่า a ใน (1) จะไดว้ า่ 8  8  8r  42
r
8  8r  8r 2  42r

8r 2  34r  8  0

8r  2r  4  0

r  1,r  4
4

ถา้ r  1 จะไดล้ าดบั น้นั คือ 32, 8, 2

4

ถา้ r = 4 จะไดล้ าดบั น้นั คือ 2, 8, 32

39

5. จงหาจานวนระหวา่ ง 6 กบั 16 ซ่ึงทาใหจ้ านวนท้งั สามเรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต

กาหนดใหจ้ านวนระหวา่ ง 6 กบั 16 คือ a

จะไดว้ า่ a  16
6a

a 2  96

a4 6

นนั่ คือ จานวนที่อยรู่ ะหวา่ ง 6 กบั 16 คือ 4 6

ซ่ึงทาให้ 6, 4 6,16 เป็นลาดบั เรขาคณิต

โจทยป์ ัญหาจะไม่ยากอีกตอ่ ไป
ถา้ เราฝึกคิดบ่อย ๆ

40

เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 2.4 ได้ 0 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
1. ไมม่ ีการแสดงวธิ ีทา หรือมีวธิ ีทาแต่ผดิ ได้ 2 คะแนน
2. มีการแสดงวธิ ีทาถูกตอ้ งเป็นข้นั ตอน แต่ตอบผดิ
3 มีการแสดงวธิ ีคิดถูกตอ้ งเป็นข้นั ตอน และตอบถูก

หมายเหตุ วธิ ีคิด วธิ ีทา อาจต่างวธิ ีกบั เฉลย แตถ่ ูกตอ้ งตามหลกั คณิตศาสตร์กถ็ ูกไดน้ ะคะ

สงสัย...? กถ็ ำมครูนะคะ
ทุกคำถำม มีคำตอบ

41

เฉลยกจิ กรรมพชิ ิตปัญหำ

คน 3 คน อายุ 10, 18 และ 30 ปี จงหาวา่ อีกกี่ปี ขา้ งหนา้ อายุของคนท้งั สาม
จะเรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต

กาหนดให้ a แทนจานวนปี ท่ีทาใหอ้ ายคุ นท้งั สามเรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต

จะไดว้ า่ 18  a  30  a
10  a 18  a

18  a2  30  a10  a

324  36a  a 2  300  40a  a 2

4a = 24

a=6

นน่ั คือ อีก 6 ปี อายคุ นท้งั สามจะเรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต
คือ 16, 24, 36

16 ปี ค่ะ 24 ปี ค่ะ 36 ครับ

42

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

ข้อ คำตอบ
1ก
2ง
3ข
4ข
5ข
6ค
7ง
8ก
9ก
10 ค

เยย่ี มไปเลย


Click to View FlipBook Version