∑
n ai
Si i 1
∑ i1 นางรตั นา สะสม
โรงเรียนวชั รวิทยา
อาเภอเมือง จังหวัดกาแพงเพชร
สานกั งานเขตพนื้ ทกี่ ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 41
คำนำ
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์
ไดจ้ ดั ทาข้ึนเพื่อใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค33202
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6 มุง่ หวงั ใหน้ กั เรียนไดศ้ ึกษา ฝึกการเรียนรู้
พฒั นากระบวนการคิดแกป้ ัญหา โดยนาทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการ
ตดั สินใจแกป้ ัญหา ตลอดจนมีเจตคติที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ โดยแบ่งออกเป็น 5 ชุด
ดงั น้ี
1. ชุดท่ี 1 เร่ืองลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั
2. ชุดท่ี 2 เร่ืองลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต
3. ชุดท่ี 3 เรื่องลิมิตของลาดบั
4. ชุดท่ี 4 เรื่องผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
5. ชุดท่ี 5 เร่ืองสัญลกั ษณ์แทนการบวก
ชุดกิจกรรมน้ีเป็ นชุดท่ี 5 เร่ืองสญั ลกั ษณ์แทนการบวก ประกอบดว้ ย คาช้ีแจง
สาระมาตรฐานการเรียนรู้และผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระสาคญั ใบความรู้
ตวั อยา่ ง ใบกิจกรรม แบบทดสอบก่อนเรียนและแบบทดสอบหลงั เรียน กิจกรรม
ประลองปัญญา ทา้ ใหค้ ิด พชิ ิตปัญหา พร้อมเฉลย นกั เรียนสามารถทากิจกรรม
ประเมินความรู้และตรวจสอบเองได้
ผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งยงิ่ วา่ ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์น้ี จะเป็นประโยชน์
ตอ่ นกั เรียนในการศึกษาหาความรู้ใหก้ บั ตนเอง ท้งั น้ีตอ้ งขอขอบคุณผทู้ ี่มีส่วนเก่ียวขอ้ ง
ทุกท่านที่ใหค้ าแนะนา สนบั สนุนในการจดั ทาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์
มา ณ โอกาสน้ี
รัตนา สะสม
สำรบัญ
หนา้
คาช้ีแจงการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์........................................... 1
สาระ และมาตรฐานการเรียนรู้…………………............................................. 2
ผลการเรียนรู้………………………………………………………………… 3
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้...................................................................................... 3
แบบทดสอบก่อนเรียน ชุดท่ี 5 เร่ืองสัญลกั ษณ์แทนการบวก……………….. 4
สาระสาคญั ...................................................................................................... 6
ประลองปัญญา…………………..................................................................... 7
ใบความรู้ 5.1 เรื่อง สัญลกั ษณ์แทนการบวก…………………………..…….. 8
ใบกิจกรรม 5.1……………………………………………………………… 11
ใบกิจกรรม 5.2……………………………………………………………… 12
ทา้ ใหค้ ิด…………………………………………………………………….. 15
ใบความรู้ 5.2 เรื่อง ผลบวกของอนุกรมอนนั ตใ์ นรูปสัญลกั ษณ์แทนการบวก..16
ใบกิจกรรม 5.3…………………..………………………………………….. 21
ใบกิจกรรม 5.4…………………..………………………………………….. 25
พิชิตปัญหา...................................................................................................... 29
แบบทดสอบหลงั เรียน ชุดที่ 5 เร่ืองสญั ลกั ษณ์แทนการบวก………………... 30
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน
ชุดท่ี 5 เร่ืองสญั ลกั ษณ์แทนการบวก.................................................... 32
แบบบนั ทึกคะแนน ชุดที่ 5 เรื่องสัญลกั ษณ์แทนการบวก………………….. 33
บรรณานุกรม.................................................................................................. 34
สำรบัญ(ต่อ)
หนา้
ภาคผนวก
- เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน.......................................................... 36
- เฉลยกิจกรรมประลองปัญญา…………………………………… 37
- เฉลยกิจกรรม 5.1 ……………………………………………… 38
- เฉลยกิจกรรม 5.2 ….…………………………………………… 39
- เฉลยกิจกรรมทา้ ใหค้ ิด………………………………………….. 43
- เฉลยกิจกรรม 5.3 ….…………………………………………… 45
- เฉลยกิจกรรม 5.4 ….…………………………………………… 49
- เฉลยกิจกรรมพิชิตปัญหา............................................................... 53
- เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน………………………………………54
1
คำชี้แจงกำรใช้ชุดกจิ กรรมกำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชุดที่ 5 เรื่อง สัญลกั ษณ์แทนการบวก
ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค33202 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6
ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิตามข้นั ตอนตอ่ ไปน้ี (ใชเ้ วลาเรียน 4 ชว่ั โมง)
1. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบจากเฉลย
แบบทดสอบก่อนเรียน
2. ศึกษามาตรฐานการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เน้ือหาในใบความรู้
และตวั อยา่ งก่อนทาใบกิจกรรมแตล่ ะชุด
3. ทาใบกิจกรรมและตรวจสอบคาตอบจากเฉลย
4. ทาแบบทดสอบหลงั เรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบจากเฉลย
แบบทดสอบหลงั เรียน
5. ใหน้ กั เรียนบนั ทึกผลคะแนนท่ีไดจ้ ากการทาแบบทดสอบก่อนเรียน ใบกิจกรรม และ
แบบทดสอบหลงั เรียนไวใ้ นตารางบนั ทึกคะแนนทุกคร้ัง
6. นกั เรียนส่งกระดาษคาตอบ ใบกิจกรรม และตารางบนั ทึกคะแนน ใหค้ รูตรวจสอบ
ความถูกตอ้ งทุกคร้ัง
ใหน้ กั เรียนศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ดว้ ยความต้งั ใจ และซ่ือสตั ย์
ต่อตนเอง เพ่ือพฒั นาและส่งเสริมทกั ษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ สามารถนาไปใช้
ในการศึกษาต่อในระดบั ที่สูงข้ึน และใชใ้ นชีวติ ประจาวนั
อยำกเรียนแล้วล่ะ…
2
สำระ และมำตรฐำนกำรเรียนรู้
สำระที่ 4 พชี คณติ
มาตรฐาน ค 4.2 ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์
(Mathematical model) อื่น ๆ แทนสถานการณ์ต่างๆตลอดจน
แปลความหมาย และนาไปใชแ้ กป้ ัญหา
สำระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนกำรทำงคณิตศำสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การส่ือสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
การเชื่อมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อ่ืน ๆ และมีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์
ม.4-6/1 ใชว้ ธิ ีการท่ีหลากหลายแกป้ ัญหา
ม.4-6/2 ใชค้ วามรู้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี
ในการแกป้ ัญหาในสถานการณ์ตา่ ง ๆ ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/3 ใหเ้ หตุผลประกอบการตดั สินใจ และสรุปผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/4 ใชภ้ าษาและสญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร การส่ือความหมาย
และการนาเสนอไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ งและชดั เจน
ม.4-6/5 เช่ือมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลกั การ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเช่ือมโยงกบั ศาสตร์อ่ืน ๆ
ม.4-6/6 มีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์
3
ผลกำรเรียนรู้
หาผลบวกของอนุกรมอนนั ตไ์ ด้
จุดประสงค์กำรเรียนรู้
1. หาผลบวกของจานวนในรูปสญั ลกั ษณ์แทนการบวก ได้
2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมในรูปสัญลกั ษณ์แทนการบวก ได้
3. หาผลบวกของอนุกรมในรูปสัญลกั ษณ์แทนการบวก ได้
"The secret of success in life is to be ready
for your opportunity when it comes."
ควำมลบั ของควำมสำเร็จคือ
เตรียมตวั ให้พร้อมอย่เู สมอสำหรับโอกำสทม่ี ำถึง
- - Benjamin Disraeli - -
4
แบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 5 เรื่องสัญลกั ษณ์แทนกำรบวก
คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบท่ีถูกที่สุดแลว้ ทาเคร่ืองหมาย ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1. เขียนอนุกรม 2 + 4 + 6 + 8 +… โดยใชส้ ัญลกั ษณ์แทนการบวกไดต้ ามขอ้ ใด
ก. n ข. n
2 2n
i1 i1
ค. n ง. n
2i 2i2
i1 i1
2. ถา้ 20 5,250 แลว้ a มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใด
ai
i1
ก. 15 ข. 25
ค. 35 ง. 45
3. ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง
ก. 3 1) 69 ข. 4 69
(2i3 (3)i
i1 i1
ค. 4 i 161 ง. 5 i2 2,897
i1 2i 1 5
i1 i 1 60
4. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไม่ถูกตอ้ ง
ก. 7
n 2 12 22 32 42 52 62 72
n 1
ข. n
2i 1 n 2 2n
i1
ค. n i2 nn 12
i1
2
ง. n 2 5nn 1 2n
5i
i1 2
5
5. ถา้ f x 6x 7 แลว้ n f i 2 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
i1
ข. 6nn 12n 1 7n
ก. nn 12n 1 7
6
ค. nn 12n 1 7 ง. nn 12n 1 7n
6. ผลบวก 50 พจนแ์ รกของอนุกรม n 1 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
3i
i1
ก. 3,875 ข. 3,725
ค. 2,875 ง. 2,725
7. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 2 2 3 3 4 4 5 ... nn 1 ...
มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 400 ข. 440
ค. 460 ง. 480
8. กาหนดอนุกรม 1111 ... 1n 1 ... มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
1 n1
n 1
ก. 1 ข. 0
ค. -1 ง. หาคา่ ไมไ่ ด้
9. ขอ้ ใดกล่าวผดิ เก่ียวกบั อนุกรม 1
nn 1
n 1
ก. เทา่ กบั lim 1 n 1
n 1
ข. มีผลบวกเทา่ กบั 1
ค. เท่ากบั 1 1 1 ...
12 23 34
ง. เป็นอนุกรมลู่ออก
10. กาหนดอนุกรม 2 มีผลบวกตามขอ้ ใด
nn 1
n 1
ก. 2 ข. 1
ค. 0 ง. หาค่าไม่ได้
6
สำระสำคญั
เพ่ือควำมสะดวกในกำรเขยี นอนุกรม จะใช้ตัวอกั ษรกรีก
เรียกว่ำ ซิกมำ เป็ นสัญลกั ษณ์แทนกำรบวก คือ
อนุกรม a1 a2 a3 ... a n เขยี นแทนด้วย n
ai
i1
อ่ำนว่ำ กำรบวก a i เมื่อ i มีค่ำต้งั แต่ 1 ถงึ n
และอนุกรม a1 a 2 a3 ... a n ...เขียนแทนด้วย
ai
i1
อ่ำนว่ำ กำรบวก a i เม่ือ i มคี ่ำต้งั แต่ 1 ขนึ้ ไป
ตัวแปร i ทป่ี รำกฏในสัญลกั ษณ์ n หรือ
ai ai
i1 i1
เรียกว่ำ ดัชนี ซึ่งจะกำหนดพจน์แรกและพจน์สุดท้ำยของอนุกรม
7
ประลองปัญญำ
ตามรูปแบบที่กาหนด อยากทราบวา่ รูปที่ 10 จะมีจุดท้งั หมดกี่จุด
รูปที่ 1 รูปท่ี 2 รูปที่ 3
จุดแต่ละรูป
มคี วำมสัมพนั ธ์กนั ยงั ไงนะ...
8
ใบควำมรู้ 5.1
เรื่อง สัญลกั ษณ์แทนกำรบวก
(ใช้เวลำ 20 นำท)ี
สญั ลกั ษณ์ เรียกวา่ ซิกมา เป็นสัญลกั ษณ์แทนการบวก
เขียนแทนอนุกรม a1 a2 a3 ... a n ดว้ ย n
ai
i1
อ่านวา่ การบวก a i เม่ือ i มีค่าต้งั แต่ 1 ถึง n
ตวั อยา่ งเช่น
1) a i = a1 a 2 a 3 ... a n ...
i1
2) 4
i 0 1 2 3 4
i0
3) 6
7 7 7 7 7 7 7 67
i1
5
2i 21 22 23 24 25
4)
i1
21 2 3 4 5
จากตวั อยา่ งดงั กล่าว สอดคลอ้ งกบั สมบตั ิตอ่ ไปน้ี
สมบัติทส่ี ำคัญของ
1. n เมื่อ c เป็นคา่ คงตวั
c nc
i 1
nn เมื่อ c เป็นค่าคงตวั
cai c ai
2.
i 1 i 1
n nn
ai bi ai bi
3.
i1 i1 i1
n nn
ai bi ai bi
4.
i1 i1 i1
9
สูตรกำรหำผลบวก
1. n i nn 1
i1 2
2. n i2 nn 12n 1
i1 6
n nn 12 n i 2
i 1 i 1
2
3. i3
ตัวอย่ำงท่ี 1 จงเขียน x 4x 2 9x3 16x 4 25x 5 36x 6 49x 7
วธิ ีทำ
โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนการบวก
x 4x2 9x3 16x 4 25x5 36x 6 49x 7
12 x1 22 x2 32 x3 42 x4 52 x5 62 x6 72 x7
7
i2xi
i 1
ตัวอย่ำงท่ี 2 จงแสดงวา่ 10 10 10
วธิ ีทำ
i 5 i 5
i 1 i1 i 1
10
i 5 1 5 2 5 3 5 ... 10 5
i 1
1 2 3 ... 10 5 55 ... 5
10 จำนวน
10 10
i 5
i1 i1
10
ตวั อย่ำงท่ี 3 จงหาผลบวกของ 20
วธิ ีทำ
3i 22
i 1
20 20
3i 22 9i2 12i 4
i 1 i1
20 20 20
9i2 12i 4
i 1 i 1 i1
20 20 20
9i2 12i 4
i 1 i 1 i 1
9 2020 1220 1 12 2020 1 204
62
25,830 - 2,520 80
23,390
ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาผลบวกของ 10
วธิ ีทำ
i 2i2 1
i 1
10 10
i 2i2 1 2i3 i
i 1 i 1
10 10
2i3 i
i 1 i 1
2 1010 12 1010 1
2 2
6,050 55
6,105
11
ใบกจิ กรรม 5.1
ชอ่ื …...................................................................ชั้น…………….เลขท.่ี .........คะแนนท่ไี ด้...................
คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเติมช่องวา่ งในตารางใหส้ มบูรณ์ ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
ขอ้ อนุกรมในรูปการกระจาย สัญลกั ษณ์แทนการบวก
1 5x1 5x2 5x3 ... 5x12
7
2 1 2 3 4 ... n
i
3 2 4 6 8 ... 2n ...
i 1
4 3x 6x2 9x3 ... 3nx n ... 5
5 x 1 x3 1 x5 1 x7 ... 1n 1 1 x 2n1 2i - 5
4 9 16 n2
i 1
6 4
7 3i 2
8 i 1
9 10 4i 1
10 i6 5
0 -1 n1
i-2 n 3
ไมย่ ากเลยนะส.ิ ..
12
ใบกจิ กรรม 5.2
ชื่อ…...................................................................ช้ัน…………….เลขท่ี..........คะแนนทีไ่ ด้...................
คาช้ีแจง จงหาผลบวกในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี ใชเ้ วลา 15 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1. 90
i
i 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. 50
i 2
i 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. 5
2i2
i 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
13
4. 20
ii 1
i 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. 10
i i2 2
i 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. 10
i -1i 1
i 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. 30
i - 2i 3
i 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------
14
8. 20
2i 3
i5
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. 20
i2 1
i 10
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. 100
i
i 19
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
ท้ำให้คดิ
“สร้างรูปสามเหลี่ยมดว้ ยไมข้ ีดไฟขนาด 2 เซนติเมตร ดว้ ยวธิ ีการดงั รูป
ถา้ ตอ้ งการสร้างรูปสามเหลี่ยมท่ีมีเส้นรอบรูป 180 เซนติเมตร
จะตอ้ งใชไ้ มข้ ีดไฟท้งั หมดกี่กา้ น”
16
ใบควำมรู้ 5.2
เร่ือง ผลบวกของอนุกรมอนันต์
ในรูปสัญลกั ษณ์แทนกำรบวก
(ใช้เวลำ 20 นำท)ี
ตัวอย่ำงท่ี 1 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 4 7 10 ... 3n 1 ...
วธิ ีทำ n
4 7 10 ... 3n 1 3i 1
i 1
nn
3i 1
i1 i1
จะไดว้ า่ Sn 3nn 1 n
2
ดงั น้นั S10 31011 10
2
175
นน่ั คือ ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 4 7 10 ... 3n 1 เท่ากบั 175
17
ตวั อย่ำงที่ 2 จงหาผลบวกของอนุกรม 1 22 32 ... 202
วธิ ีทำ
20
1 22 32 ... 202 i2
i 1
2020 1220 1
6
202141
6
2,870
นนั่ คือ ผลบวกของอนุกรม 1 22 32 ... 202 เทา่ กบั 2,870
ตัวอย่ำงท่ี 3 จงหาผลบวกของอนุกรม 1 3 5 7 ... 2n 1
วธิ ีทำ n
1 3 5 7 ... 2n 1 2i 1
i 1
nn
2i 1
i 1 i 1
2nn 1 n
2
n2 n n
n2
นน่ั คือ ผลบวกของอนุกรม 1 3 5 7 ... 2n 1 เทา่ กบั n2
18
อนุกรมเรขำคณติ
กาหนด เป็ นอนุกรมเรขาคณิต
arn1 a ar ar2 ... arn1 ...
n 1
ถา้ r 1 แลว้ จะลู่เขา้ และมีผลบวกเทา่ กบั a นน่ั คือ
1 r
ar n 1
n 1
a
arn1
n1 1 r
ถา้ r 1 แลว้ จะลู่ออก
ar n 1
n 1
ตัวอย่ำงท่ี 4 จงหาผลบวกของอนุกรม 1
2n 1
n 1
วธิ ีทำ จาก 1 1 1 1 1 ... 1 ...
2n 1 2 4 8 2n 1
n 1
เป็ นอนุกรมเรขาคณิต มี r 1
2
จะไดผ้ ลบวกของอนุกรม 1 1
1 1
2n 1
n 1
2
=2
นนั่ คือ ผลบวกของอนุกรม 1 เทา่ กบั 2
2n 1
n 1
19
ตวั อย่ำงท่ี 5 จงพิจารณาวา่ อนุกรม 2 เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
n1 nn 1
วธิ ีทำ 2 1 2 1 n 1 1
n 1 n
n 1nn
Sn 21 1 1 1 1 1 ... 1 n 1
2 2 3 3 4 n 1
21 - n 1 1
lim Sn lim 21 n 1 1
n n
2 lim 1 1
n n 1
2nlim1 lim n 1
1
n
2
นน่ั คือ อนุกรม 2 เป็นอนุกรมลู่เขา้ มีผลบวกเทา่ กบั 2
n1 nn 1
20
ให้ เป็นอนุกรมใด ๆ จะไดว้ า่
an
n 1
ถา้ lim a n 0 แลว้ อนุกรม ลู่ออก
n an
n 1
ถา้ lim a n 0 แลว้ อนุกรม อาจจะลู่เขา้ หรือลู่ออกก็ได้
n an
n 1
ตวั อย่ำงที่ 6 จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 2n เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
วธิ ีทำ
n1 n 1
จากอนุกรม 2n ให้ an 2n
n 1
n1 n 1
จะไดว้ า่ lim a n lim 2n
n 1
n n
2 ซ่ึงไมเ่ ทา่ กบั 0
ดงั น้นั อนุกรม 2n เป็ นอนุกรมลู่ออก
n1 n 1
ตัวอย่ำงที่ 7 จงพิจารณาวา่ อนุกรม 3n เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
วธิ ีทำ
n1 5n 1
จากอนุกรม 3n ให้ an 3n
5n 1
n1 5n 1
จะไดว้ า่ lim a n lim 3n
n 5n 1
n
3 ซ่ึงไม่เท่ากบั 0
5
ดงั น้นั อนุกรม 3n เป็ นอนุกรมลู่ออก
n1 5n 1
21
ใบกจิ กรรม 5.3
ชอ่ื …...................................................................ชนั้ …………….เลขท่.ี .........คะแนนท่ไี ด.้ ..................
คาช้ีแจง จงหาผลบวกของอนุกรมในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 20 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1. ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรม 5 + 10 + 15 + 20 + … + 5n + …
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. ผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + … + n + …
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
22
3. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 0 3 8 15 ... n2 1 ...
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. ผลบวก 15 พจน์แรกของอนุกรม 2 0 2 4 ... 4 2n ...
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 3 + 6 + 9 + 12 + … + 3n + …
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
23
6. ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 2 6 12 20 ... nn 1 ...
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 n2
n1 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
8. ผลบวก 15 พจน์แรกของอนุกรม
2n3
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
24
9. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 2 2 n1
n1 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1 n2
n 1 3 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
25
ใบกจิ กรรม 5.4
ช่อื …...................................................................ช้นั …………….เลขท.ี่ .........คะแนนทไ่ี ด้...................
คาช้ีแจง จงพิจารณาวา่ อนุกรมในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ีเป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
ถา้ เป็นอนุกรมลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม
ใชเ้ วลา 20 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1. 3n2 1
n 1 n 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. n
2
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
26
3. πn
n 1 4
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. 5
n 1 2n
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. n3
n1 n3 5
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
27
6.
cosn
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
7.
- 1n 2
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
8. 2
5n -1
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
28
9. sin π n n 1
n1 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. n 5 2 n 5 3
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
ทำทกุ ข้อเลยนะคะ
จะได้เก่ง ๆ
29
พชิ ิตปัญหำ
ให้ a+3, a, a-2 เป็น 3 พจน์ เรียงกนั ของลาดบั เรขาคณิต
ที่มีอตั ราส่วนร่วมเป็น r แลว้ มีคา่ เท่าใด
ar n 1
n 1
ใครคิดออกแล้ว
ยกมือเลยค่ะ
30
แบบทดสอบหลงั เรียน
ชุดที่ 5 เร่ืองสัญลกั ษณ์แทนกำรบวก
คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบท่ีถูกที่สุดแลว้ ทาเครื่องหมาย ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1. ถา้ 20 แลว้ a มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด
ai 4,620
i 1
ก. 15 ข. 22
ค. 25 ง. 32
2. เขียนอนุกรม 3 + 6 + 9 + 12 +… โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนการบวกไดต้ ามขอ้ ใด
ก. n ข. n
3 3n
i 1 i 1
ค. n ง. n
3i 3 i2
i 1 i 1
3. ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง
ก. 5 i2 1 897 ข. 4 (3)i 69
-
i1 i 5 i 1
ค. 5 i 3 ง. 4 1) 94
i1 i 1 4
(3i 2
i 1
4. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ ูกตอ้ ง
ก. 5
i5 15 25 35 45 55
i 1
ข. n i2 1 n2n 12n 1
i1 6
ค. n
2i 1 n2
i 1
ง. n i3 nn 12
i 1
2
31
5. ถา้ f x 3x 2 แลว้ n มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
f i
i 1
ก. 3n2 7n ข. 3n 2
2
ค. 3n2 7n ง. nn 1 2n
2
6. ผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรม 1 2 2 3 3 4 4 5 ... nn 1 ...
มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 1,520 ข. 1,450
ค. 1,360 ง. 1,240
7. ผลบวก 30 พจนแ์ รกของอนุกรม n 1 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
3i
i1
ก. 1,425 ข. 1,550
ค. 2,225 ง. 2,550
8. กาหนดอนุกรม 1 1 1 1 ... 1n ... มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
1n
n 1
ก. 1 ข. 0
ค. n ง. หาคา่ ไมไ่ ด้
9. ขอ้ ใดกล่าวผดิ เกี่ยวกบั อนุกรม 2n 1 1
12n
n 1
ก. เทา่ กบั lim 1 1 1
n 2 2n 1
ข. เทา่ กบั 1 1 1 1 1 ...
3355
ค. เท่ากบั 1 1 1 ...
13 35 57
ง. เป็นอนุกรมลู่เขา้
10. กาหนดอนุกรม 2n 2 1 มีผลบวกตามขอ้ ใด
n 12
n 1
ก. หาคา่ ไม่ได้ ข. -1
ค. 0 ง. 1
32
กระดำษคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน
ชุดที่ 5 เร่ืองสัญลกั ษณ์แทนกำรบวก
ช่ือ.......................................................................................ช้นั ...................เลขที่...................
คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย ลงในช่องวา่ งท่ีตรงกบั คาตอบท่ีถูกที่สุด
ทดสอบก่อนเรียน ทดสอบหลงั เรียน
ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง
11
22
33
44
55
66
77
88
99
10 10
คะแนนทไี่ ด้ คะแนนทไี่ ด้
ว้ำว... *** เก่งจัง ***
33
แบบบนั ทกึ คะแนน
ชุดที่ 5 เรื่องสัญลกั ษณ์แทนกำรบวก
คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนบนั ทึกคะแนนท่ีนกั เรียนทาไดต้ ามความเป็นจริง
กจิ กรรม คะแนนเต็ม คะแนนทไ่ี ด้ ผ่ำน 70 % สรุปผล
(ผ/มผ.)
ทดสอบก่อนเรียน
ทดสอบหลงั เรียน 10 7
ความกา้ วหนา้ 10 7
กิจกรรม 5.1 หลงั -ก่อน
กิจกรรม 5.2 10 7
กิจกรรม 5.3 10 7
กิจกรรม 5.4 10 7
รวมกิจกรรม 5.1-5.4 10 7
40 28
ลงชื่อ...............................................นกั เรียน
เลขท่ี.................ช้นั .................
34
บรรณำนุกรม
กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชยั มาเจริญทรัพย.์ (2555). แบบฝึ กหัดและประเมนิ ผล
กำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม ม.4-6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ : สานกั พมิ พเ์ ดอะบุคส์จากดั .
กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลำงกำรศึกษำข้นั พืน้ ฐำน พุทธศักรำช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จากดั .
ชนญั ชิดา. คณติ คดิ สนุก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก : http://sinceremath.blogspot.com.
(วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 11 พฤศจิกายน 2556).
นงนุช สุขวารี และคณะ. (2554). คู่มืออบรมครูคณติ ศำสตร์. โครงการพฒั นาครู
วทิ ยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาตอนปลาย.
บลอ็ กเนยสีฟ้า. ภำพสัตว์ป่ ำน่ำรัก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http://www.bloggang.com. (วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 18 พฤศจิกายน 2556).
เลิศ สิทธิโกศล. (2555). Math Review คณติ ศำสตร์ ม.4-6 เล่ม 6 (เพมิ่ เติม).
กรุงเทพฯ : บริษทั ไฮเอ็ดพบั ลิชช่ิง จากดั .
สานกั วชิ าการและมาตรฐานการศึกษา สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน,
กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). ตวั ชี้วดั และสำรแกนกลำงกลุ่มสำระกำรเรียนรู้
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทยจากดั .
ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). คู่มือวดั ผลประเมนิ ผล
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.
_______. (2554). คู่มือครูรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพมิ่ เติม เล่ม 6 ช้ันมธั ยมศึกษำปี ท่ี 4-6.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.
_______. (2554). หนังสือเรียนรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม เล่ม 6
ช้ันมัธยมศึกษำปี ที่ 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.
เสวตร โคตรนารา. ลำดบั และอนุกรม. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http : www.krusawed.wordpress.com. (วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 15 พฤศจิกายน 2556).
35
36
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
ข้อ คำตอบ
1ค
2ข
3ก
4ค
5ง
6ก
7ข
8ง
9ง
10 ก
ควำมเก่ง…พฒั นำได้
37
เฉลยกจิ กรรมประลองปัญญำ
ตามรูปแบบท่ีกาหนด อยากทราบวา่ รูปท่ี 10 จะมีจุดท้งั หมดก่ีจุด
รูปท่ี 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3
วธิ ีคิด a1 1
จากรูปแบบของจุด ให้ a2 3 1 2
a3 6 1 2 3
an 1 2 3 ... n
จะไดว้ า่ an nn 1
2
ดงั น้นั a10 1010 1 55
2
นนั่ คือ รูปที่ 10 มีจุดท้งั หมด 55 จุด 1+2+3+4+5+6
+7+8+9+10
38
เฉลยกจิ กรรม 5.1
คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเติมช่องวา่ งในตารางใหส้ มบูรณ์ ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
ขอ้ อนุกรมในรูปการกระจาย สัญลกั ษณ์แทนการบวก
1 5x1 5x2 5x3 ... 5x12 12
5xi
i 1
2 1 2 3 4 ... n n
i
i 1
3 2 4 6 8 ... 2n ...
2n
n 1
4 3x 6x2 9x3 ... 3nx n ...
3nx n
n 1
5 x 1 x3 1 x5 1 x7 ... 1n 1 1 x 2n1 n -1 a1 1 x 2a1
4 9 16 n2 a2
a1
6 1 23 4567 7
i
i 1
7 - 3 1 1 3 ... 2n 5 n
2i - 5
i 1
8 3 12 27 48 4
9 5 29 33 37 41
3i 2
5555
i 1
10 1 1 1
10 4i 1
2 3
i6 5
0 -1 n1
i-2 n 3
ถูกหมดเลย เก่งมำก...
39
เฉลยกจิ กรรม 5.2
คาช้ีแจง จงหาผลบวกในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี ใชเ้ วลา 15 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1. 90
i
i 1
วธิ ีทา 90 i 9090 1
i1 2
4095
2. 50
i 2
i 1
วธิ ีทา 50 50 50
i 2 i 2
i1 i1 i1
5050 1 502
2
1275 100
1375
3. 5
2i2
i 1
วธิ ีทา 55
2i2 2i2
i1 i1
255 125 1
6
255
110
40
4. 20
ii 1
i 1
วธิ ีทา 20 20
5. 10 ii 1 i2 i
i i2 2 i1 i1
i 1 20 20
วธิ ีทา i2 i
i 1 i 1
6. 10
2020 1220 1 2020 1
i -1i 1
i 1 62
2870 210
วธิ ีทา 3080
10 10
i i2 2 i3 2i
i 1 i 1
10 10
i3 2i
i 1 i 1
1010 12 21010 1
2 2
552 255
2915
10 10
i -1i 1 i2 1
i 1 i 1
10 10
i2 1
i 1 i1
1010 1210 1 10
6
385 10
375
41
7. 30
i - 2i 3
i 1
วธิ ีทา 30 30
i - 2i 3 i2 i - 6
i1 i1
30 30 30
i2 i 6
i1 i 1 i 1
3030 1230 1 3030 1 306
62
9455 465 180
9740
8. 20
2i 3
i5
วธิ ีทา 20 20 4
2i 3 2i 3 2i 3
i 5 i1 i1
2 2020 1 320 2 44 1 34
2 2
420 60 20 12
448
9. 20
i2 1
i 10
วธิ ีทา 20 20 9
i2 1 i2 1 i2 1
i10 i1 i1
2020 1220 1 20 99 129 1 9
6 6
2850 276
2574
42
10. 100
i
i 19
วธิ ีทา 100 100 18
i i i
i19 i1 i1
100100 1 1818 1
22
5050 171
4879
เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 5.2
1. หาผลบวกผดิ หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน
2. หาผลบวกไดถ้ ูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
ปลูกต้นไม้...ต้องหมั่นรดนำ้
ปลกู ปัญญำ...ต้องหมั่นคิด
43
เฉลยกจิ กรรมท้ำให้คิด
“สร้างรูปสามเหลี่ยมดว้ ยไมข้ ีดไฟขนาด 2 เซนติเมตร ดว้ ยวธิ ีการดงั รูป
ถา้ ตอ้ งการสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีเส้นรอบรูป 180 เซนติเมตร
จะตอ้ งใชไ้ มข้ ีดไฟท้งั หมดกี่กา้ น”
วธิ ีคิด ตอ้ งการให้เส้นรอบรูปยาว 180 เซนติเมตร แสดงวา่ มีไมข้ ีดไฟ 90 กา้ น
จากรูปเขียนจานวนไมข้ ีดไฟรอบรูป เป็นลาดบั ไดด้ งั น้ี
3, 6, 9,… เป็นลาดบั เลขคณิต d = 3
จาก an a1 n 1d
จะไดว้ า่ 90 3 n 13
n 30
นน่ั คือ สามเหลี่ยมรูปที่ 30 มีความยาวรอบรูป 180 เซนติเมตร
เขียนลาดบั จานวนไมข้ ีดไฟที่ใชท้ ้งั หมดในแต่ละรูป เป็นลาดบั ดงั น้ี
3, 9, 18,… ผลต่างคร้ังท่ี 2 เทา่ กนั คือเท่ากบั 3
ใชฟ้ ังกช์ นั พหุนามกาลงั สอง หาพจนท์ ว่ั ไป ไดด้ งั น้ี
จาก an xn2 yn z
a1 x y z 3 ................1
a2 4x 2y z 9 ................2
a3 9x 3y z 18 .................3
44
2 1, 3x y 6 .......... ......4
3 2, 5x y 9 .......... .......5
5 4,
2x 3
x 3
2
แทนคา่ x 3 ใน 4, 3 3 y 6
2 2
y 3
2
แทนค่า x 3 และ y 3 ใน 1, 3 3 z 3
22 22
z0
จะไดว้ า่ an 3 n2 3 n
2 2
หรือ an 3 n2
2 n
นนั่ คือ a30 3
2 302 30 1395
ดงั น้นั สามเหล่ียมที่มีความยาวรอบรูป 180 เซนติเมตร
ตอ้ งใชไ้ มข้ ีดไฟท้งั หมด 1,395 กา้ น
45
เฉลยกจิ กรรม 5.3
คาช้ีแจง จงหาผลบวกของอนุกรมในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 20 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1. ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรม 5 + 10 + 15 + 20 + … + 5n + …
วธิ ีทา 10 10
5n 5n
n 1 n 1
51010 1
2
275
ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมน้ีเทา่ กบั 275
2. ผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + … + n + …
วธิ ีทา 50 n 5050 1
n 1 2
1,275
ผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรมน้ีเทา่ กบั 1,275
3. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 0 3 8 15 ... n2 1 ...
10 10 10
n2 1 n2 1
วธิ ีทา
n 1 n 1 n 1
1010 1210 1 10
6
375
ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ีเท่ากบั 375
46
4. ผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรม 2 0 2 4 ... 4 2n ...
วธิ ีทา 15 15 15
4 2n 4 2n
n 1 n 1 n 1
415 21515 1
2
60 240
180
ผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ีเทา่ กบั -180
5. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 3 + 6 + 9 + 12 + … + 3n + …
วธิ ีทา nn
3i 3i
i 1 i 1
3 nn 1
2
3 n2 n
2
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมน้ีเทา่ กบั 3 n2 n
2
6. ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 2 6 12 20 ... nn 1 ...
วธิ ีทา n ii 1 n i2 i
i1 i1
nn
i2 i
i 1 i 1
nn 12n 1 nn 1
62
nn 12n 4
6
ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมน้ีเท่ากบั nn 12n 4
6