ชุดที่ 8 เรื่อง ชนิดของฟังก์ชัน ม่วง

+ –  ชดุ ท่ี 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟังก์ชัน หน้า  0


ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟังก์ชัน หน้า  1

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน สำหรับการเรียนรู้
แบบแบ่งกลุ่มผลสัมฤทธิ์ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL เพื่อส่งเสริมความสามารถในการสื่อสาร
ทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทำข้ึนเพ่ือส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
เกิดความคิดรวบยอดในเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน อีกทั้งยังส่งเสริมและพัฒนาความสามารถใน
การส่ือสารทางคณิตศาสตร์ มีการประเมินตนเองตามผลสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตร
กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ.2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พื้นฐาน
พทุ ธศกั ราช 2551 และ ซึ่งมีทง้ั หมด 9 ชุด เวลา 24 ชวั่ โมง ดังนี้

ชุดที่ 1 เรอ่ื ง การเขยี นคอู่ นั ดับและผลคณู คารท์ ีเซยี น (3 ชว่ั โมง)
ชดุ ที่ 2 เร่ือง ความสมั พนั ธ์และอินเวอรส์ ของความสัมพนั ธ์ (4 ชั่วโมง)
ชดุ ที่ 3 เรอื่ ง ฟงั ก์ชันและการหาคา่ ของฟังก์ชนั (3 ชั่วโมง)
ชุดท่ี 4 เรอ่ื ง ฟังก์ชนั เชิงเส้นและการแกป้ ัญหา (2 ช่ัวโมง)
ชุดท่ี 5 เรือ่ ง ฟงั ก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ (3 ชวั่ โมง)
ชดุ ที่ 6 เรื่อง การแกป้ ญั หาโดยใชฟ้ ังก์ชนั กำลังสอง (2 ชั่วโมง)
ชุดท่ี 7 เรื่อง ฟงั ก์ชนั คา่ สัมบูรณ์และฟังก์ชันขน้ั บันได (2 ชว่ั โมง)
ชดุ ที่ 8 เรอ่ื ง ชนดิ และการดำเนนิ การของฟังกช์ นั (3 ชั่วโมง)
ชดุ ที่ 9 เรอ่ื ง อนิ เวอรส์ ของฟงั กช์ ันและฟงั กช์ นั ประกอบ (2 ช่วั โมง)

โดยในชุดที่ 8 เร่ือง ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชัน ประกอบด้วย คำช้ีแจงสำหรับครู
คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรมคณิ ตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ สาระ
การเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมและแบบทดสอบ
หลังเรียน โดยเนื้อหาแต่ละเรื่องมีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาชุดกิจกรรม
การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ตามลำดับข้ันตอน พร้อมท้ังตรวจคำตอบท่ีถูกต้องของชุดกิจกรรม
การเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ได้ด้วยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างย่ิงว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดที่ 8 เร่ือง ชนิดและ
การดำเนินการของฟังก์ชัน จะช่วยพัฒนาความคิดรวบยอด และส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารทาง
คณติ ศาสตร์ และเหมาะสมกับผเู้ รียนทกุ คน เหมาะสมสำหรับครูทีจ่ ะนำไปจดั การเรยี นการสอน

นายสุรชยั สุขรี
ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู ำนาญการพิเศษ

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟงั ก์ชนั หน้า  2

สารบัญ

เรอื่ ง หนา้

คำนำ 1
สารบญั 2
คำชี้แจงสำหรับครู 3
คำแนะนำสำหรับนกั เรยี น 4
แผนผงั การใช้ชดุ กิจกรรมการเรียนรชู้ ดุ ท่ี 8 5
การจดั การเรยี นรแู้ บบแบ่งกลุ่มผลสมั ฤทธิ์ (STAD) โดยเน้นเทคนคิ KWDL 6
ผลการเรียนรู้ 7
สาระการเรียนรู้เพิ่มเตมิ 7
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 7
แบบทดสอบก่อนเรียนชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟังก์ชนั 8
8.1 ฟังกช์ ันจากเซตหนง่ึ ไปยังอกี เซตหนงึ่ 12
12
ใบความรทู้ ่ี 8.1 ฟงั ก์ชันจากเซตหนึง่ ไปยังอกี เซตหนึ่ง 20
ใบกิจกรรมที่ 8.1 ฟงั ก์ชนั จากเซตหน่ึงไปยงั อีกเซตหนึ่ง 22
8.2 ฟงั กช์ ันเพม่ิ และฟังกช์ ันลด 22
ใบความรทู้ ่ี 8.2 ฟงั ก์ชนั เพิม่ และฟงั ก์ชนั ลด 27
ใบกิจกรรมท่ี 8.2 ฟังก์ชันเพิ่มและฟงั กช์ นั ลด 29
8.3 การดำเนินการของฟงั ก์ชัน 29
ใบความรทู้ ี่ 8.3 การดำเนนิ การของฟังกช์ นั 32
ใบกิจกรรมที่ 8.3 การดำเนนิ การของฟังกช์ ัน 34
แบบทดสอบหลังเรยี นชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟังก์ชนั 40
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นชดุ ที่ 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั ก์ชนั 41
เฉลยใบกจิ กรรมที่ 8.1 ฟงั กช์ ันจากเซตหนงึ่ ไปยังอีกเซตหนง่ึ 43
เฉลยใบกจิ กรรมท่ี 8.2 ฟังกช์ ันเพิม่ และฟงั กช์ นั ลด 45
เฉลยใบกจิ กรรมท่ี 8.3 การดำเนนิ การของฟงั ก์ชัน 47
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี นชดุ ท่ี 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟงั กช์ ัน 48
บรรณานุกรม

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดท่ี 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟังก์ชนั หน้า  3

คำชี้แจงสำหรับครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 8 เรื่อง ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชัน
รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม2 รหัสวิชา ค31202 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
ชุดท่ี 8 เรอื่ ง ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชนั ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 3 ชัว่ โมง ประกอบด้วยเนื้อหา
ดงั นี้

8.1) ฟงั ก์ชันจากเซตหนงึ่ ไปยงั อกี เซตหนึ่ง (1 ชั่วโมง)
8.2) ฟังก์ชนั เพ่มิ และฟังกช์ ันลด (1 ชวั่ โมง)
8.3) การดำเนินการของฟงั ก์ชนั (1 ชว่ั โมง)
ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 8 เร่ือง ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชัน
ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครูคำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรม ผลการเรียนรู้
สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมที่มีแนวทางการหา
คำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวกซึ่งประกอบด้วยเฉลยแบบทดสอบ
ก่อนเรียน เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนนและเกณฑ์การประเมินใน
การใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ชุดนี้ ครูผู้สอนควรปฏิบตั ิตามข้ันตอนต่อไปนี้

ขข้นั ้นั ทที่ ่ี11 ช้แี จงข้ันตอนการเรียนโดยใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้นใี้ ห้นกั เรยี นเขา้ ใจ

ขขั้น้นั ทท่ี ี่22 ให้นักเรยี นทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี นก่อนศกึ ษาเนื้อหาจากใบความรู้
ทำใบกจิ กรรมและตรวจคำตอบตามเฉลยในภาคผนวกทีละใบกิจกรรม

ขขั้น้นั ทที่ ี่33 ดูแลให้นักเรียนปฏบิ ัตติ ามขัน้ ตอนและใหค้ ำแนะนำเมอ่ื นักเรยี นพบปญั หา

ขข้ัน้นั ทท่ี ี่44 ประเมนิ ผลการเรยี นของนกั เรียนอยา่ งตอ่ เนอ่ื งและใหแ้ รงเสรมิ
ในการปฏิบตั ิกิจกรรมของนักเรยี น

ขขน้ั ้นั ทที่ 5ี่ 5 ให้นกั เรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน เมอื่ ศึกษาเน้อื หาจากใบความรู้
และทำใบกิจกรรมเสรจ็ ส้ิน

ขขั้น้นั ทท่ี 6ี่ 6 บันทกึ ผลการประเมินหลงั การจดั การเรยี นรูโ้ ดยใช้ชุดกจิ กรรมทกุ ครั้ง

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั กช์ ัน หนา้  4

คำแนะนำสำหรบั นักเรียน

นักเรียนควรปฏิบัติในการใช้ชุดกิจกรรมคณิตศาสตร์ชุดที่ 8 เร่อื ง ชนิดและการดำเนนิ การของ
ฟังก์ชัน ดังน้ี

ข้ันท่ี 1 ศกึ ษาขน้ั ตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมมการเรยี นรู้ให้เขา้ ใจชดั เจน

ขนั้ ที่ 2 ศกึ ษาผลการเรียนรู้ สาระการเรยี นรู้ จุดประสงค์การเรยี นรู้
เวลาท่ีใช้ในการจดั การเรยี นรู้

ขนั้ ที่ 3 ทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แล้วบนั ทกึ คะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

ขน้ั ที่ 4 ศึกษาและทำความเขา้ ใจเนอ้ื หาจากใบความรแู้ ละทำใบกิจกรรม
ดว้ ยตนเองและตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทีละใบกจิ กรรม

ตามลำดบั เมื่อพบปัญหาใหข้ อคำแนะนำจากครทู นั ที

ขน้ั ท่ี 5 ทำแบบทดสอบหลงั เรียน ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แล้วบนั ทกึ คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ประเมนิ ผลวา่ นกั เรียนผา่ นเกณฑห์ รอื ไม่
ขั้นที่ 6  “ผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ ” ให้นักเรียนศกึ ษาชดุ กจิ กรรมชดุ ตอ่ ไป

 “ไมผ่ ่านเกณฑ์การประเมนิ ” ใหน้ กั เรยี นยอ้ นกลบั ไปศึกษาและ
ทำความเขา้ ใจเนือ้ หาจากใบความรู้และทำใบกจิ กรรมดว้ ยตนเองใหม่

อา่ นคำแนะนำให้เขา้ ใจและปฏิบัติตามให้ถูกต้อง
ก่อนท่ีจะลงมอื ทำกิจกรรมในชุดกิจกรรม
และทส่ี ำคัญตอ้ งมคี วามซอ่ื สัตย์นะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟังกช์ ัน หนา้  5

แผนผังการใช้ชดุ กิจกรรมการเรยี นรชู้ ดุ ที่ 8

ศึกษาข้นั ตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้
ศึกษาผลการเรยี นรู้ และจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรียน

ศึกษาใบความรู้ท่ี 8.1-8.3
และทำใบกจิ กรรม

ศกึ ษาเนอื้ หา ศกึ ษาเนื้อหาสาระใบความรู้
ตัวอยา่ งการหาคำตอบตามเทคนคิ KWDL

ในชดุ ที่ 8 ใหค้ รบตามกำหนดไว้

ทำใบกิจกรรม 8.1-8.3

ตรวจใหค้ ะแนนดว้ ยตนเอง

ไมผ่ ่านเกณฑร์ อ้ ยละ 80

ผ่านเกณฑร์ อ้ ยละ 80

เก็บสถติ ิคะแนน

ทดสอบหลังเรียน

ไม่ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 80 ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80

จบชุดที่ 8

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟังก์ชัน หนา้  6

การจดั การเรยี นรแู้ บบแบง่ กลุ่มผลสัมฤทธ์ิ (STAD) โดยเน้นเทคนคิ KWDL

ข้ันที่ 1 ขัน้ นำเขา้ สู่บทเรียน
กระตุ้นความสนใจ เตรียมความพร้อมของนกั เรยี น หรอื ทบทวนความรูท้ จี่ ำเปน็

ข้ันท่ี 2 ขนั้ เสนอบทเรยี นต่อทง้ั ชนั้
ครูนำเสนอตัวอย่างการแก้ปัญหาตามแผนผงั เทคนิค KWDL ต่อนกั เรียนทัง้ หอ้ ง
โดยใช้เทคนิควิธีการสอน ใช้สอ่ื การเรยี นการสอน ใช้คำถามกระตุ้นความคดิ

ข้นั ท่ี 3 ขนั้ กิจกรรมกลุ่มยอ่ ยเทคนคิ KWDL
นักเรยี นทีม่ คี วามสามารถต่างกันทำงานรว่ มกันเปน็ กลุ่มเลก็ ๆ กลุ่มละ 4 คน
(อัตราส่วน เก่ง : ปานกลาง : ออ่ น = 1 : 2 : 1) นักเรยี นศกึ ษาใบความรู้

ทมี่ ตี ัวอยา่ งการแก้ปญั หาตามแผนผงั เทคนคิ KWDL
1. (K) นักเรียนรอู้ ะไรจากท่ีโจทย์ 2. (W) นกั เรียนหาส่ิงทโี่ จทยต์ ้องการทราบ
3. (D) นกั เรียนต้องทำอะไรเพ่ือหาคำตอบ 4. (L) นกั เรยี นสรุปสิ่งทีไ่ ด้เรยี นรู้

ครูเดินสำรวจการศกึ ษาใบความรู้พรอ้ มทัง้ ใหข้ ้อเสนอแนะ และตอบข้อซักถาม

ขัน้ ที่ 4 ข้นั วัดและประเมินผล ทำใบกจิ กรรม คิดคะแนนพัฒนาการ
เม่อื นักเรยี นศกึ ษาใบความรู้เรียบร้อยแล้ว ใหน้ ักเรยี นทำใบกจิ กรรมเปน็ รายบุคคล

เพื่อพัฒนาความสามารถในการสื่อสารทางคณติ ศาสตรต์ ามแผนผงั KWDL
เม่อื ทำใบกจิ กรรมเสรจ็ แลว้ ครเู ฉลยใบกจิ กรรม พร้อมทงั้ คดิ คะแนนพัฒนาการ

ข้นั ท่ี 5 ขน้ั สรุปบทเรยี นและยกยอ่ งกลุ่มที่ประสบผลสำเรจ็
นกั เรยี นและครูรว่ มกันอภิปรายสรปุ สง่ิ ที่ได้จากการปฏิบัตกิ จิ กรรมการเรียนรูร้ ว่ มกนั

ครูยกยอ่ งกลุ่มท่ีประสบความสำเรจ็ และนำคะแนนพัฒนาของสมาชกิ ทุกคน
มาเฉลยี่ เพื่อนำไปเทียบกบั เกณฑ์การกำหนดกลุ่มท่ไี ด้รับรางวัล

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟงั กช์ ัน หน้า  7

ผลการเรยี นรู้/สาระการเรยี นรเู้ พมิ่ เตมิ
/จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ผลการเรียนรู้

สาระจำนวนและพชี คณิต
เขา้ ใจและวิเคราะหแ์ บบรปู ความสมั พนั ธ์ ฟงั กช์ นั ลำดบั และอนกุ รม และนำไปใช้
ผลการเรียนรู้
1. หาผลลพั ธข์ องการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน หาฟังก์ชนั ประกอบ

และฟังกช์ ันผกผัน
2. ใช้สมบตั ิของฟังกช์ นั ในการแก้ปญั หา

สาระการเรียนรู้เพิ่มเตมิ

ความสมั พันธ์ ฟงั กช์ นั ฟงั ก์ชันในชวี ิตจริง กราฟของฟงั ก์ชัน การดําเนินการของฟงั ก์ชัน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ
1. อธิบายเก่ียวกับฟงั ก์ชนั จากเซตหนึง่ ไปยงั อกี เซตหน่ึงได้
2. อธบิ ายเกย่ี วกบั ฟงั ก์ชนั เพม่ิ และฟังกช์ ันลดได้
3. อธิบายเกย่ี วกบั การดำเนินการของฟังกช์ นั ได้
ด้านทักษะ/กระบวนการ นักเรียนสามารถ
1. แกป้ ญั หาเก่ยี วกับชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั ก์ชันได้
2. ใหเ้ หตผุ ลเกย่ี วกบั ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั กช์ ันอยา่ งสมเหตุสมผล
3. ใชภ้ าษา หรอื สญั ลกั ษณ์ หรือแผนภาพทางคณิตศาสตร์ เพื่อเขยี นอธิบายหรอื
นำเสนอขน้ั ตอนการเขียนชนดิ และการดำเนินการของฟังกช์ นั ได้
ด้านคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ นักเรียนมี
1. ความใฝ่รู้ไฝ่เรียน
2. ความมุง่ ม่ันในการทำงาน
3. ความรบั ผดิ ชอบ
4. ความรอบคอบ

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟงั ก์ชนั หนา้  8

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 2 (ค31202) ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4
คำช้ีแจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องท่ีสุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

1. f = {(5, 7), (1, 3), (4, 6), (2,7)} เปน็ ฟงั กช์ ัน 1–1

2. f(x) = 5 - x  เปน็ ฟงั ก์ชัน 1–1

ข้อใดต่อไปนี้ ถูกตอ้ ง

ก. ก. ถกู และ ข. ถูก ข. ก. ถกู และ ข. ผดิ

ค. ก. ผดิ และ ข. ถูก ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ

ใช้ขอ้ มูลต่อไปนีต้ อบคำถามขอ้ 2

f1 f2

f3 f4

2. จากทก่ี ำหนดให้ ขอ้ ใดต่อไปนี้ ถูกต้อง ข. f2 เปน็ ฟงั กช์ ัน 1-1
ง. f3 เป็นฟังกช์ ัน 1-1
ก. f1 เปน็ ฟงั กช์ ัน 1-1
ค. f2 และ f3 เปน็ ฟังกช์ นั 1-1

ใชข้ อ้ มลู ต่อไปนตี้ อบคำถามขอ้ 3 – 4

กำหนดให้ A = {5 , 6 ,7 } , B = {1 , 3 , 4}

f1 {(5 ,1), (6,4), (7,1)} f2 { (5 ,6) , (6 ,7) , (7 ,5)}
f3 {(1,1), (3,3), (4,4)} f4 { (5 ,6) , (6 ,7) , (7 ,9)}
f5 {(1,6) ,(3,7), (4,7)} f6 { (5, 4) , (6 ,3) , (7 ,1)}
f7 {(5,7) ,(9,5) ,(7,6)} f8 { (6 ,6) , (7 ,7) , (5 ,5)}

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟังก์ชนั หนา้  9

3. จากข้อมูลท่กี ำหนดให้ ขอ้ ใดต่อไปน้ี ไมถ่ ูกต้อง

ก. f3 เปน็ ฟังก์ชันจาก B ไป B ข. f1เปน็ ฟังกช์ ัน 1–1 จาก A ไป B
ค. f6 เป็นฟงั ก์ชันจาก A ไปทั่วถงึ B ง. f8 เปน็ ฟังก์ชันจาก A ไปท่ัวถงึ A

4. จากขอ้ มูลท่ีกำหนดให้ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ถกู ต้อง

ก. f5 เปน็ ฟงั ก์ชันจาก B ไปทัว่ ถงึ A
ข. f1เป็นฟงั กช์ ัน 1–1 จาก A ไป B
ค. f2 เปน็ ฟังก์ชัน 1–1
ง. f3 และ f4 เปน็ ฟังกช์ นั 1–1 จาก A ไป B

5. f = { ( x, y ) RR| 2x + 3y – 6 = 0 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้

1. f เปน็ ฟังกช์ ันหน่งึ ตอ่ หนึง่ ข. ก. ถกู และ ข. ผดิ
2. Df = R ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ
ขอ้ ใดต่อไปน้ี ถกู ต้อง
ก. ก. ถูก และ ข. ถกู
ค. ก. ผดิ และ ข. ถูก

6. f = { ( x, y ) | x2 + 9 } พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

1. f เปน็ ฟังก์ชันเพม่ิ ในชว่ ง [-1,1] ข. ก. ถกู และ ข. ผดิ
2. f เป็นฟังก์ชนั ลดในชว่ ง [-1,1] ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ
ขอ้ ใดต่อไปน้ี ถกู ตอ้ ง
ก. ก. ถกู และ ข. ถกู
ค. ก. ผดิ และ ข. ถูก

7. f = { ( -3, -7 ) , ( -2, -5 ) , ( -1, -3 ) , ( 0, -1 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 3 ) , ( 3, 5 ) }
g = { ( -4, -3 ) , ( -2, -1 ) , ( 0, 0 ) , ( 2, 1 ) , ( 4, 3 ) , ( 6, 5 ) }
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีผิด
ก. f + g = { (-2 , -6) , ( 0 , -1) , (2,4) }
ข. g + f = { (-2 , -6) , ( 0 , -1) , (2,4) }
ค. g – f = { (-2 , 4) , ( 0 , 1) , (2,-2) }
ง. f . g = { (-2 , 5) , ( 0 , 0) , (2,5) }

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชนั หน้า  10

8. ถ้า f = { (1,2),(2,4),(4,6),(6,8) } และ g = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) }

พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ข. ก. ถูก และ ข. ผดิ
1. f + g = { (1,3),(2,6),(3,9) } ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ
2. g – f = { (1,-1),(2,-2),(4,-2) }
ข้อใดตอ่ ไปนี้ ถกู ตอ้ ง
ก. ก. ถูก และ ข. ถูก
ค. ก. ผดิ และ ข. ถูก

9. กำหนดให้ f(x) = x2+8x +16 และ g(x )= x2– 16 แล้วโดเมนของ f (x)คือข้อใด
g

ก. R ข. (−,−4][4,)

ค. R – {16} ง. R – {-4,4}

10. ฟงั กช์ นั f(x) = x2+x +2 และ g(x )= x2– x แล้ว R f+g คอื ข้อใดต่อไปน้ี

ก. [−1,) ข. [0,)
ค. [1,) ง. [2,)

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟงั ก์ชนั หน้า  11

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบก่อนเรียน

ชอ่ื – นามสกลุ ..................................................................... ชน้ั ................. เลขที่ ...........

คำช้ีแจง จงทำเครื่องหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ข้อท่ี ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ทำแบบทดสอบกอ่ นเรียนเสรจ็ แล้ว
ไป...เรยี นรเู้ กี่ยวกบั ชนดิ ของฟงั กช์ ัน
และการดำเนินการของฟงั กช์ นั …กนั เลย

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟงั กช์ ัน หนา้  12

1. ฟังก์ชนั จาก A ไป B (function from A into B)

บทนิยาม
กำหนดให้ A และ B เปน็ เซต f เป็นฟงั ก์ชันจาก A ไป B (function from A to B )
ก็ตอ่ เม่ือ

1. f เป็นฟังก์ชนั
2. Df = A
3. Rf  B
f เปน็ ฟงั ก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ f : A B อา่ นว่า f เป็นฟงั ก์ชัน
จาก A ไป B
เช่น ให้ A = 1, 2, 3

B = 4,5,6,7

จะไดว้ า่ Df = 1, 2, 3 = A
Rf = 5,6 ซงึ่ Rf  B และ Rf  B

ตัวอย่างท่ี 1

กำหนดให้ A = { 0, 1, 2, 3, 4 } และ B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ฟงั กช์ ันใด
เปน็ ฟังก์ชนั จาก A ไป B

1. f = { ( x, y ) AB | y = 2x }
2. g = { ( x, y ) AB | y = x+2 }

(ส่งเสริมความสามารถในการสอื่ สารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟังกช์ นั หนา้  13

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิง่ ที่โจทย์กำหนดให้

นักเรยี นรูอ้ ะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้ A = { 0, 1, 2, 3, 4 } และ

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. W (What we want to know) สิ่งทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ

นกั เรยี นหาสง่ิ ทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบหรอื f = { ( x, y ) AB | y = 2x }

ส่ิงที่นกั เรยี นต้องการรู้ g = { ( x, y ) AB | y = x + 2 }

ฟังกช์ ันใดเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ญั หา

นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพ่อื หา ตรวจสอบดวู ่า โดเมนเท่ากบั A และเรนจเ์ ป็นสับเซต

คำตอบตามท่ีโจทย์ตอ้ งการ หรือส่ิงท่ี ของ B

ตนเองต้องการรู้

1. จากเงือ่ นไขของ f ที่วา่ y = 2x เมอื่ x A
และ yB จะไดว้ า่
ถ้า x = 0 แล้ว y = 0  B
ถา้ x = 1 แลว้ y = 2  B
ถา้ x = 2 แล้ว y = 4  B
ถา้ x = 3 แลว้ y = 6  B
ถา้ x = 4 แล้ว y = 8  B
ดังน้นั f = { (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) }

Df = { 0 ,1 , 2 , 3 }  A
เพราะฉะนน้ั f ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชันจาก A ไป B

4. L (What we learned) 2. จากเงอ่ื นไข g ทวี่ ่า y = x + 2 เมื่อ x  A และ
นกั เรยี นสรปุ สง่ิ ทีไ่ ด้เรยี นรู้ yB จะได้วา่

g = { (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6) }

ดังนน้ั Dg = { 0, 1, 2, 3, 4 } = A

Rg = { 0, 2, 4, 6 }  B
เพราะฉะนนั้ g เป็นฟังกช์ ันจาก A ไป B
คำตอบและความรทู้ ไ่ี ด้รับ
f ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั จาก A ไป B
g เปน็ ฟังก์ชนั จาก A ไป B

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดท่ี 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั กช์ นั หน้า  14

2. ฟงั กช์ ันจาก A ไปท่ัวถงึ B (function from A into B)

บทนิยาม
f จะเปน็ ฟังกช์ ันจาก A ไปทั่วถึง B ( function from A onto B ) ก็ตอ่ เมื่อ

1. f เปน็ ฟังก์ชนั

2. Df = A

3. Rf = B
ฟงั กช์ ัน f จาก A ไปทั่วถึง B จะเขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ f : A ⎯ท⎯ว่ั →ถงึ B

เช่น (1) A = 1, 2, 3, 4 (2) C = a, b, c,d
B = x, y, z, t D = 1, 2, 3

จะไดว้ ่า Df = A จะได้ว่า Dg = C
Rf = B Rg = D

ตวั อยา่ งท่ี 2

กำหนดให้ f = { ( x, y ) RR | 2x+3y-4 = 0 }
จงตรวจสอบวา่ fเป็นฟงั กช์ นั จาก R ไปทัว่ ถึง R หรือไม่

(สง่ เสริมความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงท่โี จทย์กำหนดให้

นกั เรยี นรูอ้ ะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ f = { ( x, y ) RR | 2x+3y-4 = 0 }

2. W (What we want to know) สงิ่ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบ
นกั เรียนหาส่งิ ทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบหรอื ตรวจสอบวา่ f เปน็ ฟงั กช์ ันจาก R ไปทั่วถึง R หรือไม่
สิ่งที่นักเรียนตอ้ งการรู้

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟงั กช์ ัน หนา้  15

3. D (What we do to find out) วิธีแก้ปญั หา
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพ่อื หา จากสมการ 2x + 3y – 4 = 0
คำตอบตามทโี่ จทยต์ อ้ งการ หรือส่ิงที่
ตนเองตอ้ งการรู้ จะได้ y = 4 − 2x และ x = 4 − 3y

4. L (What we learned) 32
นักเรยี นสรปุ สิ่งที่ไดเ้ รียนรู้
แสดงว่าแตล่ ะคา่ x R จะหาคา่ y ไดเ้ สมอ
และได้เพียงคา่ เดยี ว
ดงั น้ัน f เป็นฟงั กช์ ัน และ Df = R
นอกจากน้นั แต่ละ y R จะหาคา่ x ไดเ้ สมอ
ดังน้ัน Rf = R
ดงั น้ัน f เป็นฟงั กช์ ันจาก R ไปทว่ั ถึง R

คำตอบและความรูท้ ีไ่ ดร้ บั
f เป็นฟังกช์ ันจาก R ไปทว่ั ถงึ R

3. ฟงั กช์ นั หนึง่ ตอ่ หนง่ึ (one – to – one function)

บทนยิ าม
f เปน็ ฟังกช์ นั หนง่ึ ตอ่ หน่ึง ( one – to – one function ) จาก A ไป B กต็ ่อเมื่อ

ถา้ y R f แลว้ จะมี xA เพยี งตวั เดยี วซ่ึงทำให้ ( x, y )f ฟังกช์ ัน f ซงึ่ เป็นฟังก์ชัน
หนึง่ ต่อหนึ่งจาก A ไป B เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ f : A B⎯⎯1−⎯1 →

เช่น (1) ให้ A = 1, 2, 3, 4 (2) C = x, y, z
B = a, b, c,d D = p, q, r, s

จะได้ว่า f เปน็ ฟงั ก์ชันหนึง่ ต่อหน่ึง g เป็นฟงั ก์ชนั หนงึ่ ต่อหนงึ่
จาก A ไปท่วั ถึง B จาก A ไป B

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟงั ก์ชนั หนา้  16

ตวั อย่างท่ี 3

กำหนดฟังกช์ นั f = { (1, 0), (2, 3), (-1, 4 ) }
g = { (1, 2), (3, 4), (4, 2), (0, -1) }

f และ g เป็นฟงั ก์ชันหน่ึงต่อหน่ึงหรอื ไม่
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสื่อสารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ท่ีโจทย์กำหนดให้

นกั เรียนรูอ้ ะไรบ้างจากท่โี จทย์กำหนดให้ f = { (1, 0), (2, 3), (-1, 4 ) }

g = { (1, 2), (3, 4), (4, 2), (0, -1) }

2. W (What we want to know) ส่งิ ท่โี จทยต์ อ้ งการทราบ

นกั เรยี นหาสิง่ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบหรือ f และ g เปน็ ฟังก์ชันหนงึ่ ตอ่ หนึง่ หรอื ไม่

สิ่งทน่ี กั เรยี นตอ้ งการรู้

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปัญหา

นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่ือหา 1. R f = { 0, 3, 4 }
คำตอบตามที่โจทย์ต้องการ หรอื สิง่ ที่
ตนเองต้องการรู้ จาก f ทก่ี ำหนดให้ แต่ละสมาชิกของ R f จะถูก
จับคู่เพียงครั้งเดยี วเทา่ นน้ั

ดงั นน้ั f เปน็ ฟงั ก์ชันหน่งึ ตอ่ หนง่ึ

2. Rg = { 2, 4, -1 }

จะพบว่ามีสมาชิกใน R g บางตวั ถูกจับคมู่ ากกวา่ หนึง่
คร้ังคอื ( 1, 2 )  g และ ( 4, 2 )  g

ดังนั้น g ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชันหนง่ึ ต่อหนึง่

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ่ไี ดร้ บั
นักเรยี นสรปุ สงิ่ ทไี่ ดเ้ รยี นรู้ f เป็นฟังกช์ ันหนง่ึ ต่อหน่ึง
g ไม่เปน็ ฟงั ก์ชนั หนงึ่ ตอ่ หน่งึ

ตอ้ งขยันทบทวนความรบู้ ่อยๆ นะครับ...
เพ่ือใหเ้ กง่ ขึ้นเรื่อยๆ....ตอ้ งขยนั ๆๆนะครับ

ไปดตู ัวอยา่ งตอ่ ไปกันเลยครบั

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั ก์ชัน หน้า  17

กรณที ีก่ ำหนดฟงั กช์ ันออกมาในรูปแบบบอกเง่อื นไข

การตรวจสอบดูวา่ ฟงั ก์ชันน้ันเป็นฟงั กช์ ันหน่ึงตอ่ หน่ึงหรือไม่ สามารถทำได้ 3 วิธดี งั นี้

วธิ ีที่ 1
กำหนดให้ f : A ไป B ซง่ึ ประกอบด้วยคู่อันดับ ( x, y ) ซ่ึงมีเง่ือนไข P ( x, y )

วธิ ตี รวจสอบการเปน็ ฟังกช์ ันหนึง่ ตอ่ หนงึ่ หรอื ไม่ ทำได้ดงั นี้
จากเงอื่ นไข P ( x, y ) ใหเ้ ขียน x ในรปู ของ y
1. ถา้ แตล่ ะสมาชกิ y ใน R f ให้คา่ x เพียงคา่ เดยี วแล้ว f จะเป็นฟงั ก์ชนั หนง่ึ ต่อหน่ึง
2. ถา้ มี y Rf ซึง่ ใหค้ ่า x เกินกวา่ 1 คา่ แล้ว f จะไมเ่ ป็นฟงั กช์ ันหน่งึ ต่อหนงึ่

ตวั อยา่ งที่ 4

กำหนดให้ f = { ( x, y ) RR | x+y+1 = 0 } จงแสดงว่า f : R 1-1 R
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่อื สารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ที่โจทย์กำหนดให้

นักเรยี นรอู้ ะไรบ้างจากท่โี จทย์กำหนดให้ f = {(x, y ) RR | x + y + 1 = 0}

2. W (What we want to know) สง่ิ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการทราบ
นักเรยี นหาสง่ิ ท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบหรือ จงแสดงวา่ f : R 1-1 R ( โดยใชว้ ธิ ีท่ี 1 )

สิ่งทน่ี กั เรียนต้องการรู้

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปญั หา
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา 1 ) จะแสดงวา่ f : R R
คำตอบตามทโี่ จทย์ตอ้ งการ หรอื ส่ิงที่ จากสมการ x + y + 1 = 0 จะได้ y = - x -1
ตนเองต้องการรู้ ดังน้ัน x R แลว้ สามารถหาคา่ yR ไดเ้ สมอและ
ไดเ้ พยี งคา่ เดยี ว ดงั นนั้ f เป็นฟังก์ชนั ท่ีมี Df = R ,
Rf R นั้นคือ f เปน็ ฟังก์ชันจาก R ไป R
2 ) จะแสดงวา่ f เปน็ ฟังกช์ นั หนึง่ ต่อหน่ึง
จากสมการ x + y + 1 = 0 จะได้ x = - 1 - y
จะพบว่าแตล่ ะคา่ y  Rf จะได้ค่า x เพียงคา่ เดียว
ดังนัน้ f เป็นฟงั กช์ นั หน่ึงต่อหนึ่ง

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ี่ได้รับ
นักเรียนสรปุ ส่งิ ท่ไี ด้เรียนรู้ จากขอ้ 1 ) และ 2 ) สรุปได้วา่ f : : R 1-1 R

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟังก์ชนั หน้า  18

กรณีทก่ี ำหนดฟังกช์ ันออกมาในรปู แบบบอกเง่อื นไข

วิธีท่ี 2 กำหนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ทป่ี ระกอบด้วยคอู่ นั ดับ ( x, y )
สมมตุ ิให้ ( x1,y )  f และ ( x2 ,y ) f
1. ถ้าสามารถพสิ จู นไ์ ดว้ า่ x1 = x2 แล้ว f เป็นฟังกช์ ันหน่ึงตอ่ หนง่ึ
2. ถ้า x1 และ x2 เปน็ ไปได้ที่จะไม่เทา่ กัน แลว้ f จะไม่เป็นฟงั กช์ ันหนึง่ ตอ่ หนึ่ง

ตวั อยา่ งที่ 5

กำหนดฟังก์ชนั f ={ (x, y )RR | 4x + 3y – 5 =0} จงแสดงวา่ f เป็นฟังก์ชนั หนึ่งตอ่ หนึง่
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสื่อสารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงที่โจทย์กำหนดให้

นักเรียนรู้อะไรบ้างจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ f ={ (x, y )RR | 4x + 3 y – 5 =0}

2. W (What we want to know) สงิ่ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบ
นักเรียนหาส่งิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบหรอื จงแสดงวา่ f เปน็ ฟังก์ชนั หน่งึ ตอ่ หนึง่
สงิ่ ทีน่ ักเรียนต้องการรู้

3. D (What we do to find out) วิธีแก้ปญั หา
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพื่อหา
คำตอบตามทโี่ จทยต์ ้องการ หรือส่ิงท่ี ให้ ( x1, y )  f และ ( x2, y )  f
ตนเองต้องการรู้ ดังนน้ั 4x1 + 3y - 5 = 0
และ 4x2 + 3y - 5 = 0
ดงั น้ัน 4x1 + 3y - 5 = 4x2 + 3y - 5

4x1 = 4x2
x1 = x2

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ที่ไดร้ บั
นกั เรยี นสรุปสงิ่ ทีไ่ ด้เรียนรู้ แสดงวา่ f เปน็ ฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่งึ

ผ่านไปสำหรับตัวอย่างท่ี 5
กรณีทฟี่ งั ก์ชนั ในรปู แบบบอกเงือ่ นไข
ไปดตู วั อย่างข้อตอ่ ไป..กันต่อเลยนะครับ

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟงั กช์ นั หน้า  19

กรณที ่กี ำหนดฟังกช์ ันออกมาในรปู แบบบอกเงื่อนไข

วธิ ีที่ 3 โดยการเขียนกราฟ
ในกรณีที่สามารถวาดกราฟของฟังกช์ นั f ได้ การตรวจสอบการเปน็ ฟงั กช์ ันหน่งึ ต่อหนงึ่
อาจพจิ ารณาจากกราฟได้ โดยการลากเส้นตรงให้ขนานกบั แกน x และให้ตัดกราฟของ f
1. ถา้ เส้นตรงทกุ เสน้ ตัดกราฟเพยี งจุดเดียวเทา่ นัน้ แล้วฟังก์ชนั f จะเปน็ ฟังกช์ ันหน่ึงตอ่ หนง่ึ
2. ถา้ มเี สน้ ตรงบางเสน้ ตัดกราฟของ f มากกวา่ หนึ่งจดุ แลว้ ฟังก์ชัน f

จะไมเ่ ป็นฟงั ก์ชันหนึ่งต่อหนงึ่

ตวั อยา่ ง 2)
1)

ตดั กราฟเพยี งจดุ เดียวเทา่ นั้น ตัดกราฟมากกว่าหนงึ่ จดุ
f จะเป็นฟงั กช์ นั หนึง่ ตอ่ หนงึ่ f จะไม่เปน็ ฟงั ก์ชันหน่งึ ต่อหน่งึ

3) 4)
Y Y

XX

ตดั กราฟเพยี งจุดเดยี วเทา่ นน้ั ตัดกราฟมากกว่าหน่ึงจดุ
f จะเป็นฟงั ก์ชันหน่ึงต่อหนึง่ f จะไม่เป็นฟงั กช์ ันหน่ึงต่อหนง่ึ

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ท่ี 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟงั ก์ชัน หนา้  20

ใบกจิ กรรมที่ 8.1 ฟังกช์ นั จากเซตหน่ึงไปยังอกี เซตหน่ึง

1) จงตรวจสอบวา่ f(x) = 5 – 2x เป็นฟงั ก์ชนั หนึง่ ต่อหนึง่ หรอื ไม่ (5 ครบั แนน)
(สง่ เสริมความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)

นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่งิ ที่โจทย์ต้องการทราบ (1 ครบั แนน)

นกั เรยี นหาส่ิงท่ีโจทย์ต้องการทราบหรอื .............................................................................

สงิ่ ท่ีนกั เรยี นต้องการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ัญหา (2 ครับแนน)
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามทีโ่ จทย์ตอ้ งการ หรอื ส่งิ ท่ี .............................................................................
ตนเองต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ่ีได้รับ (1 ครบั แนน)
นกั เรียนสรปุ สิ่งท่ีไดเ้ รยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชัน หน้า  21

คำช้ีแจง 2) จงตรวจสอบว่า f(x) = x2 + 2x เป็นฟังกช์ ันหนง่ึ ตอ่ หนง่ึ หรือไม่ (5 ครบั แนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารด้านการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่ิงท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 ครบั แนน)

นกั เรียนรูอ้ ะไรบ้างจากทโี่ จทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) สิ่งทีโ่ จทย์ต้องการทราบ (1 ครับแนน)

นักเรียนหาสงิ่ ท่โี จทยต์ อ้ งการทราบหรอื .............................................................................

สิง่ ที่นกั เรยี นต้องการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธีแก้ปญั หา (2 ครบั แนน)
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามท่ีโจทยต์ ้องการ หรือสิ่งท่ี .............................................................................
ตนเองต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ท่ีได้รับ (1 ครับแนน)
นักเรียนสรปุ ส่ิงทีไ่ ดเ้ รยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ทำได้หรอื เปล่าครบั ....
ไปศึกษาใบความรูท้ ี่ 2 ตอ่ กันเล

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั กช์ นั หน้า  22

ฟงั ก์ชนั เพมิ่ และฟงั ก์ชันลด

บทนยิ าม
ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั จาก Df R ไป R และ A D f
(1 ) f เป็นฟงั ก์ชนั เพม่ิ ( increasing function ) ใน A ก็ต่อเม่ือ
ถา้ x1  A , x2 A และ x1  x2 แล้ว f ( x 1)  f ( x2 )
( 2 ) f เปน็ ฟงั กช์ ันลด(decreasing function ) ใน A กต็ อ่ เมื่อ
ถ้า x1 A , x2 A และ x1  x2 แลว้ f ( x1 )  f ( x 2 )

การแสดงว่าฟงั กช์ ันท่ีกำหนดให้เปน็ ฟงั ก์ชันเพิ่มหรอื ลดโดยการเขยี นกราฟ

ตวั อยา่ งที่ 1

จงตรวจสอบดูวา่ ฟงั กช์ นั f ( x ) = x + 3 เป็นฟังก์ชนั เพมิ่ หรือฟงั กช์ ันลดบน R
2
(สง่ เสริมความสามารถในการสอ่ื สารด้านความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงท่ีโจทย์กำหนดให้
x+3
นกั เรยี นรูอ้ ะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ f ( x ) = 2

2. W (What we want to know) สง่ิ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ
x+3
นกั เรยี นหาสิ่งทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบหรือ f(x)= 2 เป็นฟงั ก์ชันเพมิ่ หรือฟงั กช์ ันลดบน R
ส่ิงทีน่ ักเรียนตอ้ งการรู้

3. D (What we do to find out) วิธีแกป้ ัญหา x+3
2
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอื่ หา เขียนกราฟ f( x)= พจิ ารณา
คำตอบตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรือส่งิ ที่

ตนเองตอ้ งการรู้

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟังก์ชนั หนา้  23

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ทไ่ี ดร้ บั
นักเรยี นสรปุ สงิ่ ที่ไดเ้ รียนรู้
จากกราฟ จะได้ f ( x1 )  f ( x2 )
ดงั น้ัน f จะเปน็ ฟังก์ชนั เพิม่ ใน R

ตวั อยา่ งท่ี 2

จงตรวจสอบดวู า่ ฟังก์ชนั f( x ) = x2 + 6x + 9 เปน็ ฟงั ก์ชนั เพม่ิ หรือฟังก์ชนั ลดบน (- ,-4]
(สง่ เสริมความสามารถในการสื่อสารด้านความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้
นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากทีโ่ จทย์กำหนดให้ f ( x ) = x2 + 6x + 9

2. W (What we want to know) สงิ่ ทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ

นักเรยี นหาสิง่ ทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบหรือ f ( x ) = x2 + 6x + 9 เป็นฟงั ก์ชันเพม่ิ หรือฟงั กช์ นั ลด

ส่งิ ท่นี กั เรียนต้องการรู้ บน (- , -4]

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปัญหา
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา เขียนกราฟ f ( x ) = x2 + 6x + 9 พิจารณา
คำตอบตามทโี่ จทย์ตอ้ งการ หรือสิ่งที่
ตนเองต้องการรู้

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

4. L (What we learned) ชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั ก์ชัน หนา้  24
นักเรยี นสรุปส่งิ ทไี่ ด้เรียนรู้
คำตอบและความรทู้ ไี่ ดร้ ับ
จากกราฟ พาราโบลา
จะได้ f ( x1 ) > f ( x2 ) ในชว่ ง ( - , - 4 ]
ดังนั้น f เปน็ ฟงั ก์ชนั เพม่ิ ในชว่ ง ( -, - 4 ]

ตัวอยา่ งที่ 3

ให้ f(x) = x −1 จงระบวุ า่ ชว่ งที่ฟังก์ชนั f มีค่าเพม่ิ ข้ึน และชว่ งที่ f มีคา่ ลดลง
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่อื สารด้านความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้
นกั เรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้ f(x) = x −1

2. W (What we want to know) สิ่งท่ีโจทยต์ ้องการทราบ
นกั เรียนหาส่ิงท่โี จทยต์ อ้ งการทราบหรือ จงระบวุ า่ ช่วงทฟ่ี ังกช์ ัน f มคี า่ เพิ่มขึ้น และ
ส่ิงทีน่ กั เรียนต้องการรู้ ชว่ งท่ี f มีค่าลดลง
วิธีแก้ปญั หา
3. D (What we do to find out) เขียนกราฟ f(x) = x −1 พิจารณา
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่ือหา
คำตอบตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรือส่งิ ท่ี
ตนเองต้องการรู้

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ่ีได้รับ
นกั เรยี นสรุปส่ิงท่ไี ดเ้ รยี นรู้ จากกราฟ
ฟงั ก์ชนั f มคี า่ เพ่ิมขน้ึ บนชว่ ง 1,)

ฟงั ก์ชนั f มคี ่าลดลงบนชว่ ง (− ,1

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟงั กช์ นั หนา้  25

กรณีฟังก์ชนั แบบบอกเงือ่ นไขสามารถสรปุ วธิ พี จิ ารณาเป็นขน้ั ตอนดงั นี้

ขัน้ ท่ี 1 กำหนดให้ x1  A , x2  A และ x1  x2
ขนั้ ที่ 2 หาค่า f ( x1 ) และ f ( x2 )
ขนั้ ท่ี 3 พิจารณา f ( x1 ) และ f ( x2 )

ถ้า f ( x1 )  f ( x2 ) แล้ว f จะเป็นฟังก์ชนั เพิม่ ใน A
ถ้า f ( x1 )  f ( x2 ) แล้ว f จะเป็นฟงั กช์ นั ลดใน A

การแสดงวา่ ฟังก์ชันท่กี ำหนดให้เปน็ ฟงั ก์ชันเพิ่มหรอื ลด

ตวั อย่างที่ 4

กำหนดฟังก์ชนั f( x ) = 5x – 2 เมื่อ xR จงพิสจู น์ f เปน็ ฟังก์ชนั เพ่มิ ใน R
(ส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารดา้ นความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิง่ ท่ีโจทย์กำหนดให้

นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ f( x ) = 5x – 2

2. W (What we want to know) สิ่งทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบ
นักเรยี นหาส่ิงทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบหรือ f( x ) = 5x – 2 เป็นฟงั กช์ ันเพ่มิ ใน R หรือไม่
สงิ่ ที่นักเรยี นต้องการรู้
วิธแี กป้ ัญหา
3. D (What we do to find out)
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพอื่ หา กำหนดให้ x1R และ x2R โดยที่ x1 x2
คำตอบตามท่โี จทยต์ อ้ งการ หรือสง่ิ ที่
ตนเองต้องการรู้ ดงั นัน้ f ( x1 ) = 5x1 – 2 และ f ( x2 ) = 5x2 – 2

เน่อื งจาก x1  x2

ดงั นั้น 5x1  5x2

5x1 – 2  5x2 – 2

เพราะฉะนนั้ f ( x1 )  f ( x 2 )

4. L (What we learned) คำตอบและความร้ทู ไ่ี ด้รบั
นกั เรยี นสรปุ สงิ่ ทไี่ ดเ้ รยี นรู้ แสดงวา่ f เปน็ ฟงั ก์ชนั เพิม่ ใน R

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟังกช์ ัน หนา้  26

การแสดงว่าฟังกช์ ันที่กำหนดให้เป็นฟังกช์ นั เพ่ิมหรอื ลด

ตัวอยา่ งท่ี 5

จงพิจารณาวา่ ฟงั กช์ นั f(x) = x3 −1 เปน็ ฟงั กช์ ันเพ่ิมหรอื ฟงั กช์ ันลดบนเซต R
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสือ่ สารด้านความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้
นักเรยี นร้อู ะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้ f(x) = x3 −1

2. W (What we want to know) สิง่ ท่โี จทย์ต้องการทราบ
นกั เรยี นหาสิ่งท่โี จทย์ตอ้ งการทราบหรือ f(x)= x3 −1 เปน็ ฟังก์ชันเพ่มิ หรือฟงั ก์ชันลด

สงิ่ ที่นกั เรยี นต้องการรู้ บนเซต R

3. D (What we do to find out) วธิ ีแกป้ ัญหา
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา สำหรับ f(x) = x3 −1
คำตอบตามทีโ่ จทย์ต้องการ หรือสง่ิ ที่
ตนเองต้องการรู้ ให้ x1 และ x2 เปน็ จำนวนจริงใด ๆ

4. L (What we learned) ซึ่ง x1 < x2
นักเรยี นสรุปสิง่ ท่ไี ด้เรยี นรู้ x13 3
จะได้ < x 2

x13 −1 < x23 −1
f(x1) < f(x2)

คำตอบและความรทู้ ไ่ี ด้รับ
ดังน้ัน f เป็นฟังก์ชันเพ่มิ บน R

ผา่ นไปแล้วสำหรับการแสดงว่าฟงั กช์ นั ท่ีกำหนดให้
เป็นฟังกช์ นั เพิม่ หรอื ลด ไปทำใบกิจกรรมที่ 8.2

กันตอ่ เลยนะครับ เดก็ ที่น่ารักทุกคน

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟังก์ชัน หนา้  27

ใบกจิ กรรมที่ 8.2 ฟังกช์ นั เพิม่ และฟังก์ชันลด

1) จงตรวจสอบดวู า่ ฟงั กช์ นั f(x) = x2 + 9 เป็นฟังก์ชนั เพ่ิมหรอื ฟังก์ชนั ลดบน [-1, 1]
(ใช้วิธีการวาดกราฟ) (5 ครบั แนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่ือสารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร)์

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)

นักเรียนรู้อะไรบ้างจากทโ่ี จทยก์ ำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่งิ ท่โี จทย์ต้องการทราบ (1 ครับแนน)

นกั เรยี นหาสง่ิ ที่โจทย์ต้องการทราบหรือ .............................................................................

สงิ่ ทน่ี ักเรียนต้องการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปัญหา (2 ครับแนน)
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามทีโ่ จทยต์ ้องการ หรอื สิง่ ที่ .............................................................................
ตนเองต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ท่ีไดร้ บั (1 ครบั แนน)
นักเรยี นสรปุ สิ่งทไี่ ด้เรียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดท่ี 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟังก์ชนั หน้า  28

คำช้ีแจง 2) จงพิจารณาว่า ฟังก์ชนั g(x)=1− x3 เป็นฟังกช์ ันเพมิ่ หรือฟงั ก์ชันลดบนเซต R

(5 ครับแนน)
(สง่ เสริมความสามารถในการสอ่ื สารด้านการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 ครบั แนน)

นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) สิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบ (1 ครับแนน)

นกั เรียนหาส่ิงท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบหรือ .............................................................................

สงิ่ ทนี่ กั เรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ัญหา (2 ครับแนน)
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามทโ่ี จทย์ต้องการ หรือสง่ิ ที่ .............................................................................
ตนเองต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ที่ได้รบั (1 ครับแนน)
นกั เรียนสรปุ สง่ิ ทไ่ี ดเ้ รียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟังก์ชนั หน้า  29

การดำเนินการของฟังกช์ ัน

ถา้ f และ g เป็นฟงั ก์ชันทนี่ ยิ ามบนจำนวนจริง x จะได้ว่า f(x) และ g(x) เป็นจำนวนจริง

ฟงั ก์ชนั จงึ สามารถนำมา บวก ลบ คณู หาร ได้เชน่ เดียวกับจำนวนจรงิ และนิยาม

การดำเนินการของฟังกช์ นั ดงั น้ี

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)

3. (f • g)(x) = f(x)g(x)
f f(x)
4. g (x) = g(x) , g(x)  0

โดเมนของแตล่ ะฟังกช์ ันคอื อนิ เตอร์เซกชนั ของ โดเมนของ f และ g

ตวั อยา่ งที่ 1

กำหนด f = (1,1),(2,4),(3,9),(4,16) และ g = (1,5),(2,4),(3,3),(5,1)
f
จงหา f + g, f - g, f • g และ g และโดเมนของแต่ละฟงั ก์ชัน

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสือ่ สารด้านความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้
นักเรียนรูอ้ ะไรบ้างจากทโ่ี จทยก์ ำหนดให้ f =(1,1),(2,4),(3,9),(4,16) และ

2. W (What we want to know) g =(1,5),(2,4),(3,3),(5,1)
นกั เรียนหาสงิ่ ท่โี จทยต์ ้องการทราบหรือ
สิ่งที่นักเรยี นต้องการรู้ ส่ิงท่โี จทย์ต้องการทราบ f
3. D (What we do to find out) g
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา f + g, f - g, f • g และ และโดเมนของแต่ละฟังก์ชัน
คำตอบตามที่โจทย์ตอ้ งการ หรอื สิง่ ท่ี
ตนเองต้องการรู้ วธิ แี กป้ ัญหา
Df = 1,2,3,4 และ Dg = 1,2,3,5
โดเมนของ f + g, f - g และ f • g คือ

Df Dg = 1,2,3

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟังก์ชัน หน้า  30

3. D (What we do to find out) f + g = (1,1+ 5),(2,4 + 4),(3,9+ 3)
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่อื หา
คำตอบตามทีโ่ จทย์ต้องการ หรอื สงิ่ ที่ = (1,6),(2,8),(3,12)
ตนเองต้องการรู้
f −g = (1,1− 5),(2,4 − 4),(3,9 − 3)
4. L (What we learned)
นกั เรียนสรปุ สิง่ ทีไ่ ด้เรยี นรู้ = (1,−4),(2,0),(3,6)

f • g = (1,15),(2,44),(3,93)

= (1,5),(2,16),(3,27)

f = 1, 1 ,  2, 4 ,  3, 9 
g 5 4  3 
  

= 1, 1 , (2,2), (3,3)
5
  

คำตอบและความรูท้ ไี่ ดร้ ับ

f + g = (1,6),(2,8),(3,12)

f −g = (1,−4),(2,0),(3,6)

f • g = (1,5),(2,16),(3,27)

f = 1, 1 , (2,2), (3,3)
g 5
  

ตวั อย่างท่ี 2

กำหนด f(x)= x2 +1 และ g(x) = x −1

จงหา (f + g)(2),(f −g)(2),(f •g)(2) และ  f (2)
g

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารด้านความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ที่โจทย์กำหนดให้
นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ f(x)= x2 +1 และ g(x) = x −1

2. W (What we want to know) ส่ิงที่โจทย์ตอ้ งการทราบ

นกั เรยี นหาส่งิ ที่โจทยต์ อ้ งการทราบหรอื (f +g)(2),(f −g)(2),(fg)(2) และ  f (2)
สง่ิ ทน่ี ักเรยี นต้องการรู้ g

3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปญั หา
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพื่อหา
คำตอบตามทโ่ี จทย์ตอ้ งการ หรือสงิ่ ที่ Df = R และ Dg = x x  1

โดเมนของ f + g,f − g,f •g คือ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั ก์ชัน หนา้  31

ตนเองต้องการรู้ Df Dg = x x  1
3. D (What we do to find out) โดเมนของ f
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่อื หา g คอื x xDf Dg และ
คำตอบตามทโ่ี จทยต์ ้องการ หรือสิง่ ที่
ตนเองต้องการรู้ g(x)  0= x x  1

(f + g)(x) = f(x)+g(x) = (x2 +1)+ x −1

(f + g)(2) = f(2)+g(2)

= (22 +1)+ 2 −1 = 6

(f -g)(x) = f(x)−g(x)
= (x2 +1)− x −1

(f -g)(2) = f(2)−g(2)
= (22 +1)− 2 −1 = 4

(f •g)(x) = f(x)g(x)

= (x2 +1) x −1

(f •g)(2) = f(2)g(2)

= (22 +1) 2 −1 = 5

 f (x) = f(x)
g g(x)

= x2 +1
x −1

 f (2) = f(2)
g g(2)

= 22 +1 = 5
2−1

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ี่ไดร้ บั
นักเรยี นสรปุ สิง่ ท่ีได้เรยี นรู้
(f + g)(2) = 6

(f -g)(2) = 4

(f •g)(2) = 5

 f (2) =5
g

ผ่านไปแลว้ สำหรับตัวอย่างการดำเนินการของฟังกช์ นั
ไปทำใบกจิ กรรมท่ี 8.3....กนั ต่อเลยนะครบั

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั กช์ ัน หน้า  32

ใบกจิ กรรมท่ี 8.3 การดำเนนิ การของฟังก์ชัน

1) กำหนด f(x) = 2x + 3 และ g(x) = x2 – 4
f
จงหา f + g,f − g,f •g และ g และโดเมนของแตล่ ะฟงั ก์ชนั (5 ครับแนน)

(ส่งเสริมความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิง่ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)

นักเรยี นร้อู ะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่ิงทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบ (1 ครับแนน)

นักเรียนหาส่งิ ท่โี จทย์ตอ้ งการทราบหรอื .............................................................................

สิ่งทน่ี กั เรยี นต้องการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ญั หา (2 ครบั แนน)
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามทีโ่ จทย์ตอ้ งการ หรอื สง่ิ ท่ี .............................................................................
ตนเองตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ท่ีไดร้ ับ (1 ครับแนน)
นกั เรยี นสรุปส่งิ ท่ไี ด้เรยี นรู้ .............................................................................
.................................................................................

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั ก์ชัน หน้า  33

คำชแ้ี จง 2) กำหนดให้ f(x) = x3 และ g(x) = | x – 3 | f
g
จงหาค่าของ (f + g)(1), (f – g)( –1), (f •g)(2)และ ( )(3) (5 ครับแนน)

(สง่ เสริมความสามารถในการสื่อสารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)

นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่ิงทีโ่ จทย์ต้องการทราบ (1 ครับแนน)

นกั เรียนหาส่ิงท่โี จทยต์ อ้ งการทราบหรือ .............................................................................

ส่ิงท่ีนักเรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปัญหา (2 ครบั แนน)
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรือสงิ่ ที่ .............................................................................
ตนเองตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ที่ไดร้ ับ (1 ครบั แนน)
นกั เรียนสรุปส่งิ ทไี่ ด้เรยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั กช์ ัน หน้า  34

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 2 (ค31202) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4
คำชี้แจง ให้เลือกข้อที่ถูกต้องท่ีสุดเพียงคำตอบเดียว ครับแนนเต็ม 10 ครับแนน เวลา 10
นาที

ใชข้ ้อมลู ตอ่ ไปน้ตี อบคำถามข้อ 1

f1 f2

f3 f4

1. จากทก่ี ำหนดให้ ขอ้ ใดต่อไปนี้ ถูกตอ้ ง ข. f2 เป็นฟังก์ชนั 1-1
ง. f3 เป็นฟงั กช์ ัน 1-1
ก. f1 เปน็ ฟังกช์ ัน 1-1
ค. f2 และ f3 เปน็ ฟังก์ชนั 1-1

ใชข้ ้อมลู ตอ่ ไปนีต้ อบคำถามข้อ 2 – 3

กำหนดให้ A = {5 , 6 ,7 } , B = {1 , 3 , 4}

f1 {(5 ,1), (6,4), (7,1)} f2 { (5 ,6) , (6 ,7) , (7 ,5)}
f3 {(1,1), (3,3), (4,4)} f4 { (5 ,6) , (6 ,7) , (7 ,9)}
f5 {(1,6) ,(3,7), (4,7)} f6 { (5, 4) , (6 ,3) , (7 ,1)}
f7 {(5,7) ,(9,5) ,(7,6)} f8 { (6 ,6) , (7 ,7) , (5 ,5)}

2. จากข้อมลู ทีก่ ำหนดให้ ข้อใดต่อไปน้ี ไมถ่ ูกต้อง

ก. f3 เป็นฟงั ก์ชันจาก B ไป B ข. f1เปน็ ฟังก์ชัน 1–1 จาก A ไป B
ค. f6 เป็นฟงั ก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง B ง. f8 เป็นฟงั กช์ ันจาก A ไปทวั่ ถึง A

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟงั กช์ ัน หน้า  35

3. จากข้อมูลท่ีกำหนดให้ ขอ้ ใดต่อไปน้ี ถกู ต้อง

ก. f5 เป็นฟังกช์ ันจาก B ไปทวั่ ถงึ A
ข. f1เปน็ ฟังกช์ ัน 1–1 จาก A ไป B
ค. f2 เป็นฟังก์ชัน 1–1
ง. f3 และ f4 เป็นฟงั กช์ นั 1–1 จาก A ไป B

4. f = { ( x, y ) | x2 + 9 } พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

1. f เป็นฟังก์ชนั เพมิ่ ในช่วง [-1,1] ข. ก. ถกู และ ข. ผดิ
2. f เปน็ ฟังกช์ ันลดในชว่ ง [-1,1] ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ
ขอ้ ใดต่อไปนี้ ถกู ต้อง
ก. ก. ถกู และ ข. ถูก
ค. ก. ผดิ และ ข. ถูก

5. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

1. f = {(5, 7), (1, 3), (4, 6), (2,7)} เปน็ ฟงั ก์ชนั่ 1–1

2. f(x) = 5 - x  เปน็ ฟงั ก์ชน่ั 1–1

ข้อใดต่อไปน้ี ถกู ตอ้ ง

ก. ก. ถกู และ ข. ถกู ข. ก. ถูก และ ข. ผดิ

ค. ก. ผดิ และ ข. ถูก ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ

6. f = { ( x, y ) RR| 2x + 3y – 6 = 0 } พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้

1. f เปน็ ฟงั กช์ ันหนึ่งตอ่ หน่งึ ข. ก. ถกู และ ข. ผดิ
2. Df = R ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ
ข้อใดต่อไปนี้ ถกู ตอ้ ง
ก. ก. ถูก และ ข. ถูก
ค. ก. ผดิ และ ข. ถูก

7. กำหนดให้ f(x) = x2+8x +16 และ g(x )= x2– 16 แล้วโดเมนของ f (x)คือขอ้ ใด
g

ก. R ข. (−,−4][4,)

ค. R – {16} ง. R – {-4,4}

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟังกช์ ัน หน้า  36

8. ฟังกช์ นั f(x) = x2+x +2 และ g(x )= x2– x แล้ว R f+g คอื ขอ้ ใดต่อไปนี้

ก. [-1,∞) ข. [0,)
ง. [2,)
ค. [1,)

9. f = { ( -3, -7 ) , ( -2, -5 ) , ( -1, -3 ) , ( 0, -1 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 3 ) , ( 3, 5 ) }
g = { ( -4, -3 ) , ( -2, -1 ) , ( 0, 0 ) , ( 2, 1 ) , ( 4, 3 ) , ( 6, 5 ) }
ข้อใดต่อไปนีผ้ ิด
ก. f + g = { (-2 , -6) , ( 0 , -1) , (2,4) }
ข. g + f = { (-2 , -6) , ( 0 , -1) , (2,4) }
ค. g – f = { (-2 , 4) , ( 0 , 1) , (2,-2) }
ง. f . g = { (-2 , 5) , ( 0 , 0) , (2,5) }

10. ถา้ f = { (1,2),(2,4),(4,6),(6,8) } และ g = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) }

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี ข. ก. ถกู และ ข. ผดิ
1. f + g = { (1,3),(2,6),(3,9) } ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ
2. g – f = { (1,-1),(2,-2),(4,-2) }
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ถกู ตอ้ ง
ก. ก. ถกู และ ข. ถกู
ค. ก. ผดิ และ ข. ถกู

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั ก์ชัน หน้า  37

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลงั เรียน

ชือ่ – นามสกุล ..................................................................... ชน้ั ................. เลขท่ี ...........

คำชี้แจง จงทำเครอื่ งหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ข้อท่ี ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ถ้านกั เรียนทราบผลคะแนนแล้ว
อยู่ในเกณฑท์ ี่ไม่นา่ พอใจ

ลองกลบั ไปศกึ ษาเน้ือหาไดอ้ ีกนะครับ...

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั ก์ชนั หนา้  38

แบบบันทกึ คะแนน

ชุดกิจกรรม ชุดที่ 8 เร่ือง ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั ก์ชนั

ช่อื .............................................................เลขท่ี...........ชัน้ ...........ห้อง........

รายการ ครับแนนเต็ม ครับแนนที่ได้ ผลการประเมิน
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
10
ใบกิจกรรมที่ 8.1 10
ใบกิจกรรมท่ี 8.2 10
ใบกิจกรรมที่ 8.3 10
แบบทดสอบหลังเรียน 50

รวม

เกณฑ์การประเมนิ ในแต่ละชุด นกั เรยี นต้องทำใบกิจกรรม ให้ไดค้ ะแนน

ไมน่ ้อยกว่ารอ้ ยละ 80 เชน่ ใบกิจกรรมทมี่ ี 10 คะแนน นักเรยี นตอ้ ง

ทำให้ได้ไม่น้อยกว่า 8 คะแนนจงึ จะถือวา่ “ผ่านเกณฑ์”

“ผา่ นเกณฑ”์ “ไม่ผา่ นเกณฑ”์

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชนั หนา้  39

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น เฉลยใบกจิ กรรม
และเฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ชดุ ที่ 8
ชดุ ท่ี 2
แฟกทอเรยี ลและวธิ ีเรยี งสับเปลย่ี น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนินการของฟังกช์ ัน หน้า  40

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน ชดุ ที่ 8

ข้อ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น ชุดที่ 8

1. ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ ข้อ คำตอบ
2. ง. f3 เป็นฟงั ก์ชัน 1-1
3. ข. f1เป็นฟงั กช์ นั่ 1–1 จาก A ไป B 6. ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ
4. ค. f2 เป็นฟงั กช์ น่ั 1–1 7. ง. f . g = { (-2 , 5) , ( 0 , 0) , (2,5) }
5. ก. ก. ถกู และ ข. ถูก 8. ค. ก. ผดิ และ ข. ถกู
9. ง. R – {-4,4}
10. ง. [2,)

ถา้ นักเรยี นทราบผลครบั แนนแล้ว
อยู่ในเกณฑ์ทไี่ มน่ า่ พอใจ

ลองกลับไปศึกษาเนอ้ื หาไดอ้ กี นะครบั ...

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟงั กช์ นั หน้า  41

เฉลยใบกิจกรรมท่ี 8.1 ฟังกช์ นั จากเซตหนึ่งไปยงั อีกเซตหนง่ึ

1) จงตรวจสอบวา่ f(x) = 5 – 2x เปน็ ฟังกช์ นั หนงึ่ ต่อหน่งึ หรอื ไม่ (5 ครบั แนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่อื สารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ท่ีโจทย์กำหนดให้

นกั เรียนรู้อะไรบา้ งจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ f(x) = 5 – 2x

2. W (What we want to know) สง่ิ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ
นักเรียนหาสง่ิ ท่ีโจทย์ต้องการทราบหรือ f(x) = 5 – 2x เป็นฟังกช์ นั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ หรอื ไม่
สงิ่ ที่นักเรียนตอ้ งการรู้

3. D (What we do to find out) วิธีแก้ปญั หา
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอื่ หา จาก f(x) = 5 - 2x
คำตอบตามทโ่ี จทย์ตอ้ งการ หรอื สง่ิ ท่ี ให้ x1 และ x2 เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ
ตนเองตอ้ งการรู้ สมมติ f(x1) = f(x2)
จะได้ 5 - 2x1 = 5 - 2x2
4. L (What we learned)
นักเรียนสรุปสิ่งทีไ่ ด้เรียนรู้ -2x1 = -2x2
x1 = x2

คำตอบและความร้ทู ไ่ี ด้รับ
นน่ั คือ ถา้ f(x1) = f(x2) แล้ว x1 = x2
ดังนน้ั f เป็นฟงั กช์ นั หนง่ึ ต่อหน่ึง

การตรวจสอบฟังก์ชนั หนง่ึ ต่อหนงึ่
ก็งา่ ยนะเนย่ี ...นกั เรียนเก่งมากๆ
ไปดเู ฉลยขอ้ ที่ 2 กนั ต่อเลยนะครับ

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟังกช์ นั หน้า  42

คำชี้แจง 2) จงตรวจสอบว่า f(x) = x2 + 2x เปน็ ฟังกช์ นั หนึง่ ตอ่ หนึ่งหรอื ไม่ (5 ครบั แนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่อื สารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้

นกั เรยี นรูอ้ ะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้ f(x) = x2 + 2x

2. W (What we want to know) สง่ิ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ
นักเรียนหาส่ิงทีโ่ จทย์ต้องการทราบหรอื f(x) = x2 + 2x เปน็ ฟังก์ชันหน่งึ ตอ่ หน่ึงหรอื ไม่

สิ่งที่นกั เรยี นต้องการรู้

3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ัญหา
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพ่ือหา จาก f(x) = x2 + 2x
คำตอบตามที่โจทยต์ ้องการ หรือส่ิงที่
ตนเองต้องการรู้ ให้ x1 และ x2 เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ
สมมติ f(x1) = f(x2)
จะได้ x12 + 2x1 = x22 + 2x2

x12 - x22+ 2x1 - 2x2 = 0

(x1 + x2) (x1 - x2) +2(x1 - x2)= 0

(x1 - x2) (x1 + x2+ 2) = 0
นั่นคอื x1 - x2 = 0 หรอื x1 + x2+ 2 = 0

x1 = x2 หรือ x1 = - x2- 2

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ที่ไดร้ บั
นกั เรยี นสรปุ ส่งิ ที่ได้เรยี นรู้ จะเหน็ วา่ มกี รณที ่ี x1  x2 แต่ f(x1) = f(x2)
ดังนั้น f ไมเ่ ป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึง่

ไม่ยากเลยใชไ่ หม...ครบั ทุกคน
ไปดูเฉลยใบกิจกรรมท่ี 8.2 กันตอ่ เลย

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟังก์ชัน หนา้  43

เฉลยใบกิจกรรมที่ 8.2 ฟงั กช์ นั เพ่มิ และฟังกช์ นั ลด

1) จงตรวจสอบดูว่าฟังกช์ นั f (x)= x2 + 9 เป็นฟงั กช์ นั เพมิ่ หรือฟงั ก์ชันลดบน [-1, 1]

(ใช้วิธกี ารวาดกราฟ) (5 ครับแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสอื่ สารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ (1 ครบั แนน)

นักเรียนรู้อะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้ f (x)= x2 + 9

2. W (What we want to know) สง่ิ ทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ (1 ครับแนน)
นกั เรยี นหาส่งิ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบหรือ f (x)= x2 + 9 เป็นฟังกช์ ันเพ่ิมหรือฟงั กช์ นั ลดบน [-1, 1]
สิง่ ที่นกั เรียนต้องการรู้
วิธีแก้ปญั หา (2 ครบั แนน)
3. D (What we do to find out)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่อื หา
คำตอบตามที่โจทยต์ ้องการ หรอื ส่งิ ที่
ตนเองตอ้ งการรู้

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ท่ไี ด้รับ (1 ครบั แนน)
นกั เรยี นสรปุ สงิ่ ทไ่ี ดเ้ รียนรู้ จากกราฟพาราโบลาจะเหน็ ว่าในชว่ ง [-1,1]
ไม่เป็นฟังก์ชันเพ่มิ และลดในชว่ ง [-1,1]

ทำได้หรือเปลา่ ครบั ...
ไปดเู ฉลยขอ้ ตอ่ ไปกันตอ่ เลย

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั ก์ชัน หนา้  44

คำช้ีแจง 2) จงพจิ ารณาวา่ ฟงั ก์ชนั g (x)= 1 - x3 เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังกช์ นั ลดบนเซต R
(5 ครับแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการส่ือสารด้านการนำเสนอแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL ส่งิ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 ครบั แนน)
g (x)= 1 - x3
1. K (What we know)
นกั เรยี นรูอ้ ะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่งิ ทโ่ี จทย์ต้องการทราบ (1 ครับแนน)
นกั เรียนหาสงิ่ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการทราบหรอื g (x)= 1 - x3 เปน็ ฟงั กช์ ันเพ่ิมหรือฟังก์ชนั ลดบน
ส่ิงทนี่ กั เรียนตอ้ งการรู้
เซต R

3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ัญหา (2 ครับแนน)
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพือ่ หาคำตอบ
ตามทโี่ จทยต์ ้องการ หรอื ส่งิ ท่ตี นเอง ให้ x1 และ x2 เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ
ตอ้ งการรู้
ซ่ึง x1 < x2
x13 3
จะได้ < x 2

- x13 > - x 3
2
1- x13 > 1 - x 3
2
f(x1) > f(x2)

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ที่ได้รับ (1 ครบั แนน)
นักเรยี นสรปุ ส่ิงที่ได้เรียนรู้ ดงั นน้ั f เป็นฟังกช์ ันลดบน R

ถา้ นักเรียนทราบผลครบั แนนแล้ว
อยู่ในเกณฑท์ ี่ไม่นา่ พอใจ

ลองกลับไปศกึ ษาเนื้อหาไดอ้ ีกนะครับ...

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 8 ชนิดและการดำเนนิ การของฟังกช์ ัน หน้า  45

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 8.3 การดำเนนิ การของฟงั กช์ นั

1) กำหนด f(x) = 2x + 3 และ g(x) = x2 – 4
f
จงหา f + g, f - g, f • g และ g (5 ครบั แนน)

(สง่ เสริมความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)
นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้ f(x) = 2x + 3 และ g(x) = x2 – 4
2. W (What we want to know)
นกั เรยี นหาส่ิงท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบหรอื ส่ิงทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ (1 ครบั แนน)
สง่ิ ท่นี กั เรยี นตอ้ งการรู้ f
3. D (What we do to find out) จงหา f + g, f - g, f • g และ g
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพื่อหา
คำตอบตามทโี่ จทยต์ อ้ งการ หรือส่งิ ท่ี วิธแี ก้ปญั หา (2 ครบั แนน)
ตนเองตอ้ งการรู้
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
4. L (What we learned)
นกั เรยี นสรปุ ส่งิ ทีไ่ ดเ้ รียนรู้ = 2x + 3 + x2 – 4

= x2 + 2x – 1

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

= 2x + 3 – (x2 – 4)

= – x2 + 2x + 7

( f • g )(x) = f(x)g(x)

= (2x + 3)(x2 – 4)

= 2x3 + 3x2 – 8x – 12
f f(x)
( g )(x) = g(x)

= 2x + 3 , x  2
x2 −4

คำตอบและความรู้ที่ไดร้ ับ (1 ครับแนน)

(f + g)(x) = x2 + 2x – 1

(f – g)(x) = – x2 + 2x + 7

( f • g )(x) = 2x3 + 3x2 – 8x – 12
f 2x + 3
( g )(x) = x2 −4 , x  2

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั กช์ ัน หนา้  46

คำชีแ้ จง 2) กำหนดให้ f(x) = x3 และ g(x) = | x – 3 | f
g
จงหาค่าของ (f + g)(1), (f – g)( –1), ( f • g )(2) และ ( )(3) (5 ครบั แนน)

(สง่ เสริมความสามารถในการสื่อสารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 ครับแนน)
นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากทโี่ จทย์กำหนดให้ กำหนดให้ f(x) = x3 และ g(x) = | x – 3 |

2. W (What we want to know) สิง่ ที่โจทยต์ อ้ งการทราบ (1 ครับแนน) f
นักเรียนหาส่งิ ที่โจทยต์ ้องการทราบหรือ g
สง่ิ ที่นกั เรียนตอ้ งการรู้ คา่ ของ (f + g)(1), (f – g)( –1), (fg)(2) และ ( )(3)

3. D (What we do to find out) วธิ ีแก้ปัญหา (2 ครบั แนน)
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา
คำตอบตามท่ีโจทย์ต้องการ หรอื สง่ิ ที่ (f + g)(x) = f(x) + g(x)
ตนเองตอ้ งการรู้ = x3 + | x – 3 |

(f + g)(1) = 13 + | 1 – 3 |

= 1+2 = 3

(f – g)(x) = f(x) – g(x)
= x3 – | x – 3 |

(f – g)( –1) = (–1)3 – | –1 – 3 |
= –1 – 4 = – 5

( f • g )(x) = f(x)g(x)

= x3| x – 3 |
( f • g )(2) = 23| 2 – 3 | = 8

( f )(x) = f(x) = x3
g g(x) x−3

( f )(3) = 33 = 27 ไม่นยิ าม
g 3−3 0

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ท่ไี ด้รบั (1 ครับแนน)
นักเรยี นสรุปสง่ิ ทไ่ี ด้เรยี นรู้ (f + g)(1) = 3
(f – g)( –1) = -5
( f • g )(2) = 8
( gf )(3) ไมน่ ยิ าม

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั ก์ชนั หน้า  47

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน ชดุ ท่ี 8

ข้อ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชดุ ที่ 8

1. ง. f3 เปน็ ฟังกช์ นั 1-1 ขอ้ คำตอบ
2. ข. f1เปน็ ฟงั ก์ชั่น 1–1 จาก A ไป B 6. ก. ก. ถกู และ ข. ถูก
3. ค. f2 เปน็ ฟงั กช์ นั่ 1–1 7. ง. R – {-4,4}
8. ง. [2,)
4. ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 9. ง. f . g = { (-2 , 5) , ( 0 , 0) , (2,5) }
5. ง. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 10. ค. ก. ผดิ และ ข. ถกู

ถ้านกั เรยี นทราบผลครับแนนแลว้
อยใู่ นเกณฑ์ทไี่ มน่ ่าพอใจ

ลองกลับไปศึกษาเนื้อหาได้อีกนะครับ...

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 8 ชนิดและการดำเนินการของฟงั กช์ ัน หนา้  48

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐานพุทธศักราช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพรา้ ว.

กมล เอกไทยเจริญ. (2555). Advanced Series คณติ ศาสตร์ ม.4 – 6 เลม่ 2 (การให้เหตผุ ล-
ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั ก์ชัน). กรงุ เทพฯ : ไฮเอ็ดพบั ลชิ ชง่ิ .

กวิยา เนาวประทีป. (2548). เทคนิคการเรยี นคณติ ศาสตร์ : ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน. กรุงเทพฯ :
ฟสิ ิกส์เซ็นเตอร์.

จักรินทร์ วรรณโพธก์ิ ลาง. (2553). คมั ภีรค์ ณติ ศาสตร์ O – NET ม. 4 -5-6 กรุงเทพฯ : บริษทั
สำนกั พิมพ์ พ.ศ. พฒั นา จำกัด.

_______. (2554). Mini คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม ม.4 – 6 เล่ม 2 ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษา
ขน้ั พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ : บริษทั สำนักพมิ พ์ พ.ศ.พัฒนา จำกัด.

พัชรี ปญั ชะนะ. (2554). การสรา้ งชุดกิจกรรมเพอื่ พฒั นาการคิดวิเคราะหโ์ จทย์ปัญหาการบวก
ลบ คูณ หารระคน ดว้ ยวธิ ีการเรียนรู้แบบแบ่งกลมุ่ ผลสัมฤทธิ์ (STAD) ร่วมกบั เทคนิค
KWDL สำหรับนักเรยี นชนั้ ประถมศึกษาปที ่ี 3. วิทยานพิ นธ์ ค.ม. อุตรดติ ถ์ : มหาวทิ ยาลัย
ราชภัฏอตุ รดติ ถ.์

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2553). คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน
คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4-6 กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์สกสค.ลาดพร้าว.

_______. (2558). หนงั สือเรยี นรายวชิ าพ้ืนฐาน คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4-6.
พิมพค์ ร้ังที่ 8. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.ลาดพรา้ ว.

_______. (2560). คมู่ ือการใช้หลักสูตร กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรงุ 2560)
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พทุ ธศักราช 2551. (ออนไลน์).
แหลง่ ทม่ี า : https://www.scimath.org/. [19 ตลุ าคม 2561]

_______. (2561). คู่มือครูรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4. (ออนไลน)์ .
แหล่งที่มา : https://www.scimath.org/ebook-mathematics/item/9119-4-2-9119
[19 ตลุ าคม 2561]

_______. (2561). หนังสอื เรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 .
พมิ พค์ รงั้ ที่ 1. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์แหง่ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย.

Krongthong Khairiree and Tran Vui. (2014). Textbook Discovering Mathematics 4.
Bangkok : PADA Education.

Randall I. Charles and others. (2010). Prentice Hall Mathematics Course 3.
The United State of America : Pearson Education.

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 8 ชนดิ และการดำเนินการของฟังก์ชัน หนา้  49

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดที่ 8 เร่ือง ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชัน
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 รหัสวิชา ค31202 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
ชุดที่ 8 เรอื่ งเลช่มน1ิด-แ2ล. ะกกราุงรเทดพำเมนหินากนาครรข:อสงำฟนงั ักกพช์ ันิมพใ์ชบ้เวรลิษาทั จัดเรกอื างรแเสรียงกนารรู้ พ3มิ ชพั่ว์โ(ม2ง00ป2ร)ะจกำอกบัดด,ว้ 2ย5เน54ือ้ .หา
ดงั นสุว้ี ร กาญจนมยรู . คณติ คดิ เป็น ตอน การบวก ลบ คณู หาร พหนุ าม. กรงุ เทพมหานคร:

บริษัท8เ.จ1้า)พกรระายฟาขกอางรฟพงั มิ กพช์ ์ันจเชางิกเดัส,น้ 2(515ช3่ัว. โมง)
8.2) โจทย์ปัญหาเกี่ยวกบั ฟังกช์ นั เชิงเสน้ (1 ชัว่ โมง)
8.3) โจทย์ปัญหาเก่ียวกบั ฟังกช์ นั เชิงเส้น (1 ช่ัวโมง)

ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดที่ 8 เรื่อง ชนิดและการดำเนินการของฟังก์ชัน
ประกอบด้วยคำชี้แจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้
ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้เพ่ิมเติม จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้
ใบกิจกรรม ท่ีมีแนวทางการหาคำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก
ซงึ่ ประกอบด้วยเฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบนั ทึก
คะแนนและเกณฑ์การประเมิน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน