ชุดที่ 9 เรื่อง อินเวอร์สและฟังก์ชันประกอบ ม่วง

+ –  ชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 0


1 a2
2 b4
3 c6
4 e8

gof
gof = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,6)}

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ หนา้  1

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน สำหรับการเรียนรู้
แบบแบ่งกลุ่มผลสัมฤทธิ์ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL เพ่ือส่งเสริมความสามารถในการสื่อสาร
ทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 จัดทำข้ึนเพื่อส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
เกิดความคิดรวบยอดในเร่ืองความสัมพันธ์และฟังก์ชัน อีกท้ังยังส่งเสริมและพัฒนาความสามารถใน
การสื่อสารทางคณิตศาสตร์ มีการประเมินตนเองตามผลสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตร
กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ.2560) ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน
พุทธศกั ราช 2551 และ ซ่ึงมที งั้ หมด 9 ชุด เวลา 24 ชว่ั โมง ดงั น้ี

ชุดที่ 1 เร่ือง การเขียนคอู่ นั ดับและผลคณู คารท์ ีเซียน (3 ชวั่ โมง)
ชดุ ท่ี 2 เรอ่ื ง ความสัมพนั ธ์และอินเวอร์สของความสัมพันธ์ (4 ช่ัวโมง)
ชดุ ท่ี 3 เรอื่ ง ฟงั ก์ชนั และการหาคา่ ของฟังก์ชนั (3 ช่วั โมง)
ชดุ ที่ 4 เร่อื ง ฟังกช์ ันเชงิ เสน้ และการแก้ปัญหา (2 ชว่ั โมง)
ชดุ ท่ี 5 เรื่อง ฟงั ก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ (3 ชวั่ โมง)
ชดุ ที่ 6 เรื่อง การแก้ปญั หาโดยใชฟ้ งั กช์ ันกำลงั สอง (2 ชว่ั โมง)
ชุดท่ี 7 เร่ือง ฟงั กช์ ันคา่ สมั บูรณ์และฟังก์ชันข้ันบันได (2 ชั่วโมง)
ชดุ ที่ 8 เรื่อง ชนดิ และการดำเนินการของฟังกช์ นั (3 ชั่วโมง)
ชุดที่ 9 เรอ่ื ง อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ (2 ชั่วโมง)

โดยในชุดท่ี 9 เร่อื ง อินเวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ ประกอบด้วย คำชี้แจงสำหรับ
ครูคำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ สาระ
การเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมและแบบทดสอบ
หลังเรียน โดยเนื้อหาแต่ละเร่ืองมีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาชุดกิจกรรม
การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ตามลำดับขั้นตอน พร้อมท้ังตรวจคำตอบท่ีถูกต้องของชุดกิจกรรม
การเรยี นรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ได้ด้วยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างย่ิงว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดที่ 9 เร่ือง อินเวอร์สของ
ฟงั กช์ ันและฟังก์ชันประกอบ จะช่วยพัฒนาความคิดรวบยอด และส่งเสรมิ ความสามารถในการสอื่ สารทาง
คณติ ศาสตร์ และเหมาะสมกับผูเ้ รยี นทุกคน เหมาะสมสำหรบั ครูท่จี ะนำไปจดั การเรยี นการสอน

นายสุรชยั สขุ รี
ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู ำนาญการพิเศษ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ หนา้  2

สารบญั

เรื่อง หนา้

คำนำ 1
สารบญั 2
คำชแี้ จงสำหรับครู 3
คำแนะนำสำหรับนกั เรยี น 4
แผนผงั การใช้ชดุ กจิ กรรมการเรียนรชู้ ุดท่ี 8 5
การจดั การเรยี นรแู้ บบแบ่งกล่มุ ผลสัมฤทธ์ิ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL 6
ผลการเรียนรู้ 7
สาระการเรยี นร้เู พิ่มเตมิ 7
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 7
แบบทดสอบกอ่ นเรยี นชุดที่ 9 อินเวอรส์ ของฟงั กช์ ันและฟงั ก์ชันประกอบ 8
9.1 อนิ เวอร์สของฟงั กช์ นั 12
12
ใบความรทู้ ่ี 9.1 อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั 19
ใบกิจกรรมที่ 9.1 อินเวอร์สของฟงั กช์ ัน 21
9.2 ฟังกช์ นั ประกอบ 21
ใบความรทู้ ่ี 9.2 ฟงั กช์ ันประกอบ 26
ใบกิจกรรมที่ 9.2 ฟงั กช์ ันประกอบ 28
แบบทดสอบหลังเรยี นชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟังกช์ ันและฟงั ก์ชันประกอบ 34
35
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นชดุ ท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั กช์ นั และฟังกช์ ันประกอบ 37
39
เฉลยใบกจิ กรรมท่ี 9.1 อินเวอร์สของฟงั กช์ นั 40
เฉลยใบกจิ กรรมที่ 9.2 ฟงั กช์ นั ประกอบ

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟงั กช์ นั และฟังก์ชนั ประกอบ

บรรณานกุ รม

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ หนา้  3

คำชีแ้ จงสำหรบั ครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดที่ 9 เรื่อง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชัน
ประกอบ รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม2 รหัสวิชา ค31202 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัด
การเรียนรู้ หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชา
คณิตศาสตร์ชุดที่ 9 เรื่อง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 2 ช่ัวโมง
ประกอบดว้ ยเนือ้ หา ดงั นี้

9.1) อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั (1 ชวั่ โมง)
9.2) ฟังก์ชันประกอบ (1 ช่ัวโมง)
ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดที่ 9 เรื่อง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชัน
ประกอบ ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครูคำแนะนำสำหรับนักเรยี น แผนผังการใช้ชุดกิจกรรม ผลการ
เรียนรู้ สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมที่มีแนว
ทางการหาคำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวกซ่ึงประกอบด้วยเฉลย
แบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนนและเกณฑ์
การประเมินในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ชุดน้ี ครูผู้สอนควรปฏบิ ัตติ ามข้นั ตอนต่อไปน้ี

ขขน้ั ้นั ทที่ ี่11 ช้แี จงขัน้ ตอนการเรียนโดยใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้นใี้ ห้นกั เรยี นเข้าใจ

ขขน้ั ้นั ทท่ี ่ี22 ให้นกั เรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี นก่อนศกึ ษาเนื้อหาจากใบความรู้
ทำใบกจิ กรรมและตรวจคำตอบตามเฉลยในภาคผนวกทีละใบกจิ กรรม

ขขน้ั ้นั ทที่ ่ี33 ดูแลใหน้ ักเรียนปฏิบัติตามขน้ั ตอนและใหค้ ำแนะนำเมื่อนกั เรียนพบปญั หา

ขขน้ั ้นั ทท่ี ่ี44 ประเมินผลการเรียนของนกั เรียนอยา่ งต่อเน่อื งและให้แรงเสริม
ในการปฏิบตั ิกิจกรรมของนกั เรียน

ขขนั้ ้นั ทท่ี 5ี่ 5 ใหน้ กั เรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน เมื่อศกึ ษาเน้ือหาจากใบความรู้
และทำใบกิจกรรมเสรจ็ ส้ิน

ขขั้น้นั ทท่ี 6ี่ 6 บันทกึ ผลการประเมนิ หลงั การจดั การเรียนรู้โดยใช้ชุดกจิ กรรมทุกครง้ั

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชนั ประกอบ หนา้  4

คำแนะนำสำหรบั นกั เรียน

นักเรียนควรปฏิบัติในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 9 เรอื่ ง อนิ เวอร์สของฟงั กช์ นั และ
ฟังก์ชนั ประกอบ ดังนี้

ขน้ั ที่ 1 ศึกษาขั้นตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมมการเรยี นรู้ใหเ้ ข้าใจชดั เจน

ข้ันที่ 2 ศกึ ษาผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้
เวลาที่ใช้ในการจดั การเรยี นรู้

ขั้นท่ี 3 ทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แล้วบนั ทึกคะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

ขนั้ ท่ี 4 ศึกษาและทำความเข้าใจเน้อื หาจากใบความรแู้ ละทำใบกจิ กรรม
ด้วยตนเองและตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทลี ะใบกิจกรรม

ตามลำดบั เม่ือพบปัญหาให้ขอคำแนะนำจากครทู นั ที

ข้ันท่ี 5 ทำแบบทดสอบหลงั เรียน ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แล้วบันทกึ คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ประเมนิ ผลวา่ นกั เรยี นผา่ นเกณฑ์หรอื ไม่
ขน้ั ท่ี 6  “ผ่านเกณฑ์การประเมนิ ” ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาชุดกจิ กรรมชดุ ต่อไป

 “ไม่ผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ ” ให้นกั เรยี นยอ้ นกลบั ไปศึกษาและ
ทำความเขา้ ใจเน้ือหาจากใบความร้แู ละทำใบกิจกรรมดว้ ยตนเองใหม่

อ่านคำแนะนำให้เขา้ ใจและปฏบิ ตั ิตามใหถ้ ูกต้อง
ก่อนทจ่ี ะลงมอื ทำกจิ กรรมในชดุ กิจกรรม
และที่สำคัญตอ้ งมีความซ่ือสตั ยน์ ะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชนั ประกอบ หน้า 5

แผนผงั การใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรชู้ ดุ ที่ 9

ศกึ ษาขั้นตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้
ศึกษาผลการเรียนรู้ และจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรียน

ศกึ ษาใบความรู้ที่ 9.1-9.2
และทำใบกจิ กรรม

ศกึ ษาเน้อื หา ศกึ ษาเน้ือหาสาระใบความรู้
ตัวอย่างการหาคำตอบตามเทคนิค KWDL

ในชุดท่ี 8 ให้ครบตามกำหนดไว้

ทำใบกิจกรรม 9.1-9.2

ตรวจให้คะแนนด้วยตนเอง

ไมผ่ ่านเกณฑ์ร้อยละ 80

ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 80

เก็บสถิติคะแนน

ทดสอบหลงั เรยี น

ไม่ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80 ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 80

จบชุดที่ 9

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 6

การจัดการเรียนรแู้ บบแบง่ กลมุ่ ผลสัมฤทธ์ิ (STAD) โดยเน้นเทคนคิ KWDL

ขน้ั ท่ี 1 ขน้ั นำเขา้ สู่บทเรยี น
กระตนุ้ ความสนใจ เตรยี มความพร้อมของนกั เรยี น หรอื ทบทวนความรู้ที่จำเปน็

ข้นั ที่ 2 ขน้ั เสนอบทเรียนต่อทงั้ ชน้ั
ครูนำเสนอตัวอย่างการแกป้ ัญหาตามแผนผงั เทคนิค KWDL ตอ่ นกั เรยี นทง้ั ห้อง
โดยใชเ้ ทคนิควธิ กี ารสอน ใช้สอื่ การเรยี นการสอน ใช้คำถามกระตนุ้ ความคดิ

ขั้นท่ี 3 ข้นั กจิ กรรมกลมุ่ ย่อยเทคนคิ KWDL
นกั เรียนท่ีมคี วามสามารถตา่ งกันทำงานรว่ มกันเป็นกลุม่ เล็กๆ กลุ่มละ 4 คน
(อตั ราส่วน เก่ง : ปานกลาง : ออ่ น = 1 : 2 : 1) นกั เรยี นศกึ ษาใบความรู้

ทมี่ ตี วั อย่างการแก้ปญั หาตามแผนผังเทคนคิ KWDL
1. (K) นกั เรยี นร้อู ะไรจากท่โี จทย์ 2. (W) นักเรียนหาส่ิงทีโ่ จทย์ต้องการทราบ
3. (D) นกั เรยี นต้องทำอะไรเพื่อหาคำตอบ 4. (L) นกั เรียนสรุปสง่ิ ทไ่ี ด้เรยี นรู้

ครูเดินสำรวจการศึกษาใบความรู้พร้อมท้ังให้ขอ้ เสนอแนะ และตอบข้อซักถาม

ข้ันที่ 4 ข้ันวัดและประเมนิ ผล ทำใบกิจกรรม คิดคะแนนพฒั นาการ
เมอื่ นักเรยี นศกึ ษาใบความรู้เรยี บรอ้ ยแล้ว ให้นักเรยี นทำใบกจิ กรรมเปน็ รายบุคคล

เพื่อพฒั นาความสามารถในการสือ่ สารทางคณติ ศาสตรต์ ามแผนผงั KWDL
เมือ่ ทำใบกจิ กรรมเสรจ็ แล้วครเู ฉลยใบกจิ กรรม พร้อมท้ังคดิ คะแนนพฒั นาการ

ขัน้ ท่ี 5 ขน้ั สรปุ บทเรยี นและยกย่องกลุ่มท่ีประสบผลสำเร็จ
นักเรียนและครูรว่ มกันอภปิ รายสรปุ ส่ิงทีไ่ ดจ้ ากการปฏิบตั ิกจิ กรรมการเรยี นรู้ร่วมกัน

ครูยกย่องกลมุ่ ที่ประสบความสำเรจ็ และนำคะแนนพฒั นาของสมาชกิ ทุกคน
มาเฉลยี่ เพื่อนำไปเทยี บกบั เกณฑก์ ารกำหนดกลุ่มท่ไี ด้รับรางวลั

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 7

ผลการเรียนรู้/สาระการเรียนรเู้ พิม่ เตมิ
/จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ผลการเรียนรู้

สาระจำนวนและพชี คณิต
เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรูป ความสมั พนั ธ์ ฟงั กช์ นั ลำดับและอนกุ รม และนำไปใช้
ผลการเรียนรู้
1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคณู การหารฟังกช์ ัน หาฟังก์ชนั ประกอบ

และฟังก์ชนั ผกผนั
2. ใชส้ มบตั ิของฟงั กช์ นั ในการแกป้ ญั หา

สาระการเรียนรู้เพ่มิ เติม

ความสัมพันธ์ ฟงั ก์ชนั ฟงั ก์ชนั ในชวี ติ จริง กราฟของฟังก์ชนั การดาํ เนินการของฟังก์ชัน

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ด้านความรู้ นักเรยี นสามารถ
1. อธิบายเก่ียวกบั อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันได้
2. อธิบายเกยี่ วกับฟังก์ชนั ประกอบได้
ดา้ นทักษะ/กระบวนการ นกั เรียนสามารถ
1. แกป้ ญั หาเกย่ี วกับอนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบได้
2. ให้เหตุผลเกี่ยวกบั อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟงั กช์ ันประกอบอยา่ งสมเหตสุ มผล
3. ใช้ภาษา หรอื สญั ลกั ษณ์ หรอื แผนภาพทางคณิตศาสตร์ เพ่ือเขยี นอธิบายหรอื
นำเสนอขน้ั ตอนการเขียนอธบิ ายเกี่ยวกับอนิ เวอร์สของฟังก์ชันและฟงั กช์ นั ประกอบได้
ดา้ นคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ นักเรยี นมี
1. ความใฝ่รู้ไฝ่เรยี น
2. ความมงุ่ ม่ันในการทำงาน
3. ความรบั ผิดชอบ
4. ความรอบคอบ

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 8

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 2 (ค31202) ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4
คำช้ีแจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. กำหนด f ( x ) = x +1 แล้ว D f –1 เท่ากบั ข้อใด

ก. D f –1 = (0, ) ข. D f –1 = (- , 0)

ค. D f –1 = [0, ) ง. D f –1 = (- , 0]

2. อินเวอรส์ ของ f ( x ) = x 3 + 8 คอื ข้อใด

ก. f-1(x) = 3 x −8 ข. f-1(x) = x 3 - 8
ค. f-1(x) = 3 x + 8 ง. f-1(x) = 3x 3 + 8

3. ให้ f ( x ) = x +1 แลว้ f-1(-2) เท่ากับขอ้ ใด
2

ก. 6 ข. - 6

ค. 8 ง. - 8

4.
ให้ f = {(x, y) y = 9 − x2 } กราฟของ f-1 ตรงกับข้อใด
ก. ข.
33

-3 0 3 03

ค. ง. -3

-3 0 3 3
0
-3

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ หนา้  9

5. อินเวอรส์ ของ f (x, y) y 4x − 3 คือข้อใด
3x −
=  = 5 

5x -3 5x + 3
ก. 3x -4 ข. 3x + 4

ค. 3x - 4 ง. 3x +4
5x - 3 5x +3

6. ถ้า f =(1,2),(2,4),(4,6),(6,8) และ g =(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

1. gof =(1,2),(2,3)
2. fog =(1,2),(2,4),(4,8)

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง

ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
ก. 1. ถูก และ 2. ถกู ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู

7. ถา้ f(x)= 9 − x2 และ g(x)= x +2

พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
1. (gof)(x)=11− x2 ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
2. (fog)(x)= 5−4x − x2

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง
ก. 1. ถูก และ 2. ถกู
ค. 1. ผดิ และ 2. ถูก

8. ถ้า f ( x + 3 ) = 4x – 5 และ g ( x – 3 ) = 2 – 3x

พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
1. ( fog –1 ) ( 5 ) = 33 ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
2. ( gof–1 ) ( -1 ) = - 19

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกต้อง

ก. 1. ถูก และ 2. ถกู

ค. 1. ผดิ และ 2. ถูก

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 10

9. ให้ f ( x ) = x + 1 และ g ( x ) = 5x – 3 แลว้ ( fog –1 ) ( 7 ) เท่ากบั ขอ้ ใด
2

ก. 2 ข. - 2
ค. 4 ง. - 4

10. ให้ f ( x ) = x + 2, g ( x ) = x2 และ h ( x ) = x3 แล้ว fo(goh) เทา่ กบั ข้อใด

ก. x6 +6 ข. x6 - 6
ค. x6 +8 ง. x6 + 2

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชุดท่ี 9 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ หนา้  11

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

ช่อื – นามสกุล ..................................................................... ช้ัน ................. เลขท่ี ...........

คำช้แี จง จงทำเคร่อื งหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ข้อที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ทำแบบทดสอบก่อนเรียนเสรจ็ แล้ว
ไป...เรียนรเู้ ก่ียวกบั อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั

และฟังก์ชนั ประกอบ…กันเลย

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟังก์ชันประกอบ หน้า 12

อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชัน

การหาอินเวอรส์ ของฟังก์ชันกเ็ หมือนกบั การหาอนิ เวอรส์ ของความสมั พันธ์ เช่น
f = { ( 1, -1 ) , ( 2, 0 ) , ( 3, 2 ), (4, 1 ) , ( 5, 2 ) }
g = { ( -4, 4 ) , ( -2, 2 ) , ( 0, 0 ), ( 2, 2 ) , ( 4, -4 ) }
จะได้อนิ เวอร์สของ f และ g ดงั นี้
f –1= { ( -1, 1 ) , ( 0, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 1, 4 ) , ( 2, 5 ) }

g-1 = { ( 4, -4 ) , ( 2, -2 ) , ( 0, 0 ) , ( 2, 2 ) , ( -4, 4 ) }

หมายเหตุ จากตวั อยา่ งสรุปได้ว่าอนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเปน็ ฟงั กช์ นั
ในกรณีท่ีกำหนดฟังก์ชัน y = f ( x ) ซง่ึ เป็นฟังกช์ ันหนงึ่ ต่อหนง่ึ
และตอ้ งการหา f –1( x ) มวี ธิ ีการหา 2 วธิ ีคือ

วิธีที่ 1 โดยการสลับตวั แปรมวี ิธกี ารดงั นี้
1. เขียน y = f ( x ) ( ตามที่กำหนดให้ )
2. สลบั ตวั แปรระหวา่ ง x และ y ในสมการ y = f ( x )
3. คำนวณหา y ในรูปของ x จากสมการใหมใ่ นขอ้ 2
4. y ท่ีไดใ้ น ข้อ 3 คอื f –1 ( x ) น่นั คอื y = f –1 ( x )

วิธีที่ 2 โดยการใช้ทฤษฎีบท
วธิ ีการนมี้ ขี น้ั ตอนดงั นี้ ( ดตู ัวอยา่ งประกอบ )
กำหนด y = f ( x ) = x + 1 จงหา f –1 ( x )

ลำดับข้นั ตอน ตัวอย่าง

1. เขยี น y = f ( x ) 1. x + 1 = f ( x )
2. จะได้ f –1 ( y ) = x (ทฤษฎบี ท) 2. f –1 ( x + 1 ) = x
3. ให้ y = k แลว้ แกส้ มการหา x 3. ให้ x + 1 = k จะได้
4. แทนค่า y และ x ทไี่ ดจ้ ากขอ้ 3
ลงในสมการขอ้ 2 จะได้ f –1 ( k) x = k–1
5. แทน k ดว้ ย x จะได้ f –1 ( x ) f –1 ( k) = k – 1
4. f –1 ( x ) = x – 1

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อินเวอร์สของฟังก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ หนา้  13

ตัวอยา่ งท่ี 1

กำหนดฟังกช์ ัน f(x) = 2x + 4 จงหา D f –1 และ f –1(x)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่ือสารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงที่โจทย์กำหนดให้
นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้ f(x) = 2x + 4
2. W (What we want to know)
นักเรยี นหาส่งิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบหรอื ส่งิ ท่โี จทยต์ ้องการทราบ
สง่ิ ทีน่ กั เรียนตอ้ งการรู้ หา D f –1 และ f –1 (x)
3. D (What we do to find out)
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่ือหา วิธีแกป้ ญั หา
คำตอบตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรอื สิง่ ที่
ตนเองต้องการรู้ เน่อื งจาก f(x) = 2x + 4 เปน็ ฟังกช์ ันหน่งึ ตอ่ หนง่ึ

4. L (What we learned) จาก R ไปท่ังถงึ R
นกั เรยี นสรปุ ส่ิงทีไ่ ด้เรยี นรู้
ดังนั้น f –1 เป็นอินเวอร์สฟังกช์ ันหนงึ่ ต่อหนง่ึ จาก

R ไปทว่ั ถึง R

( 1 ) D f –1 = R
( 2 ) ในทนี่ จ้ี ะแสดงวธิ หี า f –1 (x) ทั้งสองวธิ ดี งั น้ี

วธิ ีที่ 1 เขยี น y = f(x) = 2x + 4

สลับตัวแปร x = 2y + 4

หาคา่ y ในรูป x x−4
2
จะได้ y =

ดังน้ัน f –1 (x) = x−4
2
วธิ ีท่ี 2 เขยี น 2x + 4 = f (x)

ดงั นั้น f –1 ( 2x + 4 ) = x

ให้ 2x + 4 = k
k−4
จะได้ x = 2

ดงั น้นั f –1 ( k ) = k−4
2
f –1 ( x ) x−4
ดังนน้ั = 2 เมื่อ xR

คำตอบและความรู้ท่ไี ดร้ บั x−4
2
D f –1 = R และ f –1 ( x ) =

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ หนา้  14

ตวั อยา่ งท่ี 2

กำหนดฟังกช์ ัน f ( x ) = 5x +4 เมอื่ x  [0, 10 ] จงหา f –1 ( x )
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่อื สารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิง่ ท่ีโจทย์กำหนดให้

นกั เรียนรู้อะไรบ้างจากทโ่ี จทยก์ ำหนดให้ f ( x ) = 5x +4 เม่ือ x  [0, 10 ]

2. W (What we want to know) สงิ่ ที่โจทยต์ ้องการทราบ
นักเรียนหาส่งิ ที่โจทยต์ ้องการทราบหรือ หา f –1 ( x )
สิ่งที่นกั เรยี นตอ้ งการรู้
3. D (What we do to find out) วิธีแกป้ ัญหา
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพื่อหา
คำตอบตามทโ่ี จทยต์ อ้ งการ หรือสิง่ ที่ กอ่ นอน่ื หา D f –1 จาก R f
ตนเองตอ้ งการรู้ เนื่องจาก 0  x  10

4. L (What we learned) ดงั น้นั 0  5x  50
นักเรียนสรปุ สง่ิ ทไี่ ด้เรียนรู้
4  5x + 4  54

ดงั นั้น 2  5x +4  3 6

ดังนั้น R f = [2, 3 6 ] = D f –1

ต่อไปหา f –1 ( x )

เน่ืองจาก y = f ( x ) = 5x +4

สลบั ตัวแปร x = 5y +4

ดงั นัน้ 5y + 4 = x2
x2 − 4
y = 5

คำตอบและความรทู้ ีไ่ ด้รบั
x2 − 4
ดังนั้น f –1 ( x )= 5 เม่อื x  [2, 3 6]

ผ่านไปสำหรับตัวอย่างท่ี 2
สำหรับการหาอนิ เวอร์สของฟังกช์ ัน
ไปดูตัวอย่างข้อต่อไป..กันตอ่ เลยนะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ หนา้  15

ตวั อย่างท่ี 3

กำหนดฟังกช์ ัน f (3x – 4) = 4x + 3 จงหา f –1 ( x )
(ส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารด้านการนำเสนอแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่ิงที่โจทย์กำหนดให้

นักเรียนรู้อะไรบ้างจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ f (3x – 4) = 4x + 3

2. W (What we want to know) สิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบ
นักเรยี นหาสง่ิ ท่โี จทย์ตอ้ งการทราบหรือ หา f –1 ( x )
สิง่ ที่นักเรยี นต้องการรู้
3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปัญหา
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอื่ หา
คำตอบตามทโ่ี จทยต์ อ้ งการ หรอื ส่ิงท่ี วิธีการท่สี ะดวกในการหา f –1 ( x ) ในตวั อยา่ งน้ี คอื
ตนเองต้องการรู้
ใช้ทฤษฎีดังนี้
4. L (What we learned)
นักเรียนสรุปส่งิ ที่ได้เรียนรู้ 4x + 3 = f ( 3x -4 ) … ( 1 )

ดังน้นั f –1 ( 4x + 3 ) = 3x – 4

สมมุตใิ ห้ 4x + 3 = k
k 3
ดังนัน้ x = − …(2)

จาก ( 1 ) และ ( 2 ) 4

จะได้ f –1 ( k ) = 3 (k − 3 ) – 4

4
3k − 9 − 16
f –1 ( k ) = 4

ดงั นั้น f –1 ( x ) = 3x − 25
4
คำตอบและความรู้ทีไ่ ด้รับ
3x − 25
ดงั น้ัน f –1 ( x ) = 4

ผ่านไปแลว้ สำหรบั ตัวอย่างที่ 3
จะเหน็ ว่าการหาอินเวิร์สของฟงั กช์ ัน
ง่ายมากๆ ไปดูตวั อยา่ ง....กนั ต่อเลยนะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 9 อินเวอร์สของฟังก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ หน้า 16

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดฟงั กช์ ัน f ( x ) = x − 1 จงหา f –1 (3) และ f –1 (4)

3

(สง่ เสริมความสามารถในการสื่อสารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้
นกั เรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ x −1
f ( x ) = 3
2. W (What we want to know)
นักเรียนหาสง่ิ ท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบหรือ ส่ิงทโี่ จทยต์ ้องการทราบ
ส่ิงที่นกั เรยี นต้องการรู้
3. D (What we do to find out) หา f –1 (3) และ f –1 (4)
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพือ่ หา
คำตอบตามทโ่ี จทย์ต้องการ หรอื สิ่งที่ วิธแี กป้ ญั หา
ตนเองตอ้ งการรู้
โดยทฤษฎบี ท x 1

จาก − = f(x)

3
–1 x 1
จะได้ f ( − ) = x

3
x −1
1) สมมตุ ิให้ 3 =3 จะได้ x = 10

ดังนัน้ f –1 ( 3 ) = 10

2) สมมตุ ิให้ x −1 = -4 จะได้ x = - 11
3
ดังนนั้ f –1 ( - 4 ) = -11

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ไ่ี ดร้ ับ
นักเรยี นสรุปสงิ่ ท่ีได้เรียนรู้ f –1 ( 3 ) = 10

f –1 ( - 4 ) = -11

ผ่านไปสำหรบั ตัวอย่างท่ี 4
สำหรบั การหาอินเวอรส์ ของฟงั ก์ชัน
ไปดูตัวอย่างท่ี 5 ..กันต่อเลยนะครับ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 17

ตวั อย่างท่ี 5

2x + 2 เม่ือ x  0
กำหนดฟงั กช์ ัน f(x) =

- x2 - 1 เม่อื x < 0
จงหา f –1 (x), f- -1(1) และ f--1(-5)

(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ท่ีโจทย์กำหนดให้

นักเรยี นร้อู ะไรบา้ งจากทโี่ จทย์กำหนดให้ 2x + 2 เมือ่ x  0

f(x) =

- x2 - 1 เมอื่ x < 0

2. W (What we want to know) สงิ่ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบ
นกั เรยี นหาสงิ่ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบหรือ
สิ่งทน่ี กั เรยี นตอ้ งการรู้ f –1 (x), f- -1(1) และ f--1(-5)

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปัญหา
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพื่อหา
คำตอบตามทีโ่ จทย์ต้องการ หรือส่ิงที่ 1) พจิ ารณา f(x) = 2x + 2 เม่ือ x 0 , y  2
ตนเองตอ้ งการรู้
สลบั ตัวแปร x = 2y + 2 เม่ือ y  0, x  2
x−2
y = 2 เมื่อ x  2

f –1(x) = x−2 เมือ่ x 2
2

2) พจิ ารณา f(x) = - x2 – 1 เม่ือ x < 0 , y < -1
สลบั ตัวแปร x = - y2 – 1 เมือ่ y < 0, x < - 1

y = − − x −1 เมื่อ x < - 1
นั่นคอื f – 1(x) = − − x −1 เมอ่ื x < - 1

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ หนา้  18

3. D (What we do to find out) จาก 1) และ 2) จะได้ว่า
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่ือหา x−2
คำตอบตามท่โี จทย์ต้องการ หรือส่งิ ที่ 2 เม่ือ x  2
ตนเองต้องการรู้
f – 1(x) =
4. L (What we learned)
นักเรยี นสรุปสงิ่ ทีไ่ ดเ้ รยี นรู้ − − x −1 เม่ือ x < - 1

แสดงวา่ Df-1 = (- , −1 ) [2, )

3) ไม่สามารถหา f- -1(1) ได้ และ 1 Df-1
4) เนื่องจาก - 5 Df-1 ดังนน้ั

f--1(-5) = - − (−5) −1

=- 4
= -2

คำตอบและความรทู้ ่ีไดร้ บั เม่อื x  2
x−2
2
f – 1(x) =

− − x −1 เม่ือ x < - 1
ไม่สามารถหา f- -1(1) ได้

f--1(-5) = - 2

ผ่านไปแล้วสำหรบั ตวั อยา่ ง
การหาอินเวิรส์ ของฟังก์ชนั
จะเห็นวา่ ง่ายมากๆ ไปฝกึ ทักษะ....กนั เลยครบั

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 9 อนิ เวอร์สของฟังก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ หน้า 19

ใบกิจกรรมท่ี 9.1 อินเวิรส์ ของฟังก์ชนั

1) กำหนดให้ f(x) = x + 3 จงหา f -1 แลว้ เขยี นกราฟของ f และ f -1
(5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิง่ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นกั เรียนรู้อะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่งิ ท่โี จทยต์ อ้ งการทราบ (1 คะแนน)

นกั เรยี นหาส่ิงทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบหรอื .............................................................................

ส่ิงทน่ี กั เรยี นต้องการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ญั หา (2 คะแนน)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามท่ีโจทย์ต้องการ หรอื สิ่งที่ .............................................................................
ตนเองตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรูท้ ี่ไดร้ บั (1 คะแนน)
นกั เรียนสรปุ สงิ่ ทไ่ี ด้เรียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ หนา้  20

คำชี้แจง 2) กำหนดฟังกช์ นั f : R → R และ g : R → R

โดยท่ี f (x) = x + 1 และ g(x) = 5x – 3
2
จงหา f –1 ( -2 ) และ g –1 ( 2 ) (5 คะแนน)

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่อื สารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ

ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากทโี่ จทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) ส่งิ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ (1 คะแนน)

นกั เรยี นหาสิง่ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบหรือ .............................................................................

สิง่ ที่นักเรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ ีแก้ปญั หา (2 คะแนน)
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพอื่ หา .............................................................................
คำตอบตามท่ีโจทย์ตอ้ งการ หรือส่งิ ที่ .............................................................................
ตนเองต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ที่ไดร้ ับ (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรปุ สงิ่ ทไี่ ดเ้ รียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 9 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ หนา้  21

ฟงั กช์ ันประกอบ ( Composite Function )

บทนยิ าม
ถา้ f เปน็ ฟงั กช์ นั จาก A ไป B g เปน็ ฟงั กช์ ันจาก B ไป C และ Rf Dg  
ฟงั กช์ ันประกอบของ f และ g เขยี นแทนดว้ ย gof คือฟงั กช์ ันจาก A ไป C ที่มีโดเมน

 คือ Dgof = xDf f(x)Dg และกำหนดโดย ( gof ) ( x ) = g ( f ( x ) )

สำหรบั ทกุ x ใน Dgof

ขอ้ ควรระวงั Rf  Dg = ไมส่ ามารถหาฟังก์ชัน fog ได้

gof ต้องเร่มิ จาก f ก่อน แลว้ ตามดว้ ย g

fog ตอ้ งเร่มิ จาก g ก่อน แล้วตามด้วย f

นยิ มใช้สญั ลักษณ์ gof(x) = g(f(x))

fog(x) = f(g(x))

เหน็ ไหมครบั วา่ ฟังก์ชันประกอบ
(Composite Function) ไม่ยากเลย

ไปศกึ ษาตวั อย่างกนั เลย

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ หนา้  22

การหาฟงั ก์ชันประกอบ

ตวั อยา่ งท่ี 1

กำหนดฟงั กช์ ัน f = { (1,a) ,(2,a) ,(3,b) ,(4,c) ,(5,d) }
g = { (a,2) , (b,4) , (c,6) ,(e,8) } จงหา gof และ fog

(ส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้

นักเรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ ฟังกช์ ัน f = { (1,a) ,(2,a),(3,b) ,(4,c) ,(5,d) }

g = { (a,2) , (b,4) , (c,6) ,(e,8) }

2. W (What we want to know) สิ่งทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบ

นกั เรียนหาส่ิงท่ีโจทยต์ ้องการทราบหรือ หา fog และ gof

สิง่ ท่ีนกั เรยี นต้องการรู้

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ญั หา

นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพื่อหา 1) หา gof

คำตอบตามที่โจทย์ต้องการ หรือสิ่งท่ี เนอ่ื งจาก Rf = { a, b, c, d },
ตนเองต้องการรู้ Dg = { a ,b ,c , e }

ดังน้ัน Rf  Dg = { a, b , c }
ดงั นั้น Dgof = { 1 ,2 , 3 , 4 }

fg

1 a2
2 b4
3 c6

45 de 8

gof

ดงั นัน้ gof = { (1,2) , (2 ,2) , (3,4) , (4,6) }

(2) หา fog

เนอื่ งจาก Rg = { 1, 4, 6, 8 },
Df = { 1, 2, 3, 4,5 }

จะได้ Rg Df = { 2 , 4 }
จะได้ Dfog = { a, b }

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ หน้า 23

3. D (What we do to find out) a g1fa
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอื่ หา b2b
คำตอบตามที่โจทย์ต้องการ หรอื สง่ิ ที่ c 3c
ตนเองต้องการรู้
e 4d
4. L (What we learned) 5
นักเรยี นสรปุ สิง่ ทไ่ี ดเ้ รยี นรู้ 6
8

fog

ดังนนั้ fog = { (a,a) , (b,c) }
คำตอบและความรทู้ ไ่ี ดร้ บั
gof = { (1,2) , (2 ,2) , (3,4) , (4,6) }
fog = { (a,a) , (b,c) }

ตวั อย่างที่ 2

กำหนดฟงั ก์ชนั f(x) = 3x + 1 และ g(x) = x จงหา (gof)(x) และ (fog)(x) (ถ้ามี)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่อื สารด้านการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ x
นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้ f(x) = 3x + 1 และ g(x) =

2. W (What we want to know) สิ่งทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ
นักเรยี นหาสิ่งทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรือ หา (gof)(x) และ (fog)(x)
สิ่งทน่ี ักเรยี นต้องการรู้
วธิ ีแกป้ ัญหา
3. D (What we do to find out) 1 ) หา ( gof ) ( x )
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพ่ือหา เนอ่ื งจาก R f = R และ Dg = [0, )
คำตอบตามท่โี จทย์ตอ้ งการ หรือส่ิงที่
ตนเองตอ้ งการรู้ ดง้ั น้ัน R f  D g = [0, )  
หา ( gof ) ( x ) ไดโ้ ดยที่ D gof = [- 1 , )

3

ดงั นน้ั ( gof ) ( x ) = g ( f ( x ))
= g ( 3x + 1 )

= 3x+1
เมอ่ื x  [- 1 , )

3

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ หน้า 24

3. D (What we do to find out) 3 ) หา ( fog ) ( x )
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอื่ หา เน่อื งจาก R g = [0, ) และ D f = R
คำตอบตามทโ่ี จทย์ต้องการ หรือส่ิงท่ี
ตนเองต้องการรู้ ดังนน้ั R g  D f = [0, ) = R g  
แสดงวา่ มี ( fog ) ( x ) โดยท่ี D fog = [0, )
4. L (What we learned) และ ( fog ) ( x ) = f ( g ( x ) )
นักเรียนสรุปส่ิงทีไ่ ด้เรียนรู้
= f( x )
= 3 x + 1 เมื่อ x  [0, )
คำตอบและความรู้ที่ไดร้ ับ

( gof ) ( x ) = 3x+1
( fog ) ( x ) = 3 x + 1

ตวั อย่างที่ 3

กำหนดฟงั ก์ชนั f(x) = x + 2, g(x) = x2 และ h(x) = x3 จงหา (fog)oh ( ถ้ามี )
(ส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารด้านการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ท่ีโจทย์กำหนดให้
นกั เรยี นร้อู ะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ f(x) = x + 2, g(x) = x2 และ h(x) = x3

2. W (What we want to know) ส่ิงทีโ่ จทย์ต้องการทราบ
นักเรยี นหาสิ่งทีโ่ จทยต์ ้องการทราบหรือ หา (fog)oh
สงิ่ ท่ีนกั เรียนตอ้ งการรู้
วิธแี กป้ ญั หา
3. D (What we do to find out) พจิ ารณา ( fog )
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพื่อหา เนือ่ งจาก D f = R , Rg= [0, ) ดงั นน้ั R g D f
คำตอบตามทโ่ี จทย์ต้องการ หรอื ส่ิงที่ แสดงวา่ สามารถสรา้ ง fog ได้
ตนเองต้องการรู้ และ D fog = R
ตอ่ ไปพจิ ารณา ( fog )oh
เนอ่ื งจาก D fog = R ดงั น้ัน R h  D fog
แสดงวา่ สามารถสรา้ ง ( fog ) oh ได้
และ D ( fog ) oh = R

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 25

3. D (What we do to find out) ( ( fog ) oh ) ( x ) = ( fog ) ( h ( x ) )
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่ือหา = ( fog ) ( x 3 )
คำตอบตามทโี่ จทยต์ ้องการ หรือสง่ิ ท่ี = f(g(x3))
ตนเองต้องการรู้ = f(x6)
= x 6 + 2 เมือ่ x  R
4. L (What we learned)
นักเรยี นสรุปสิง่ ที่ได้เรยี นรู้ คำตอบและความรู้ที่ได้รบั
( fog ) oh = {( x, y )| y = x 6 + 2 และ x R }

ตัวอยา่ งที่ 4

กำหนด f ( x ) = x + 1 และ g ( x ) = 5x – 3 จงหา ( fog –1 ) ( 7 ) (ถ้ามี)
2
(ส่งเสริมความสามารถในการส่ือสารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ที่โจทย์กำหนดให้
x
นักเรียนรูอ้ ะไรบา้ งจากทีโ่ จทย์กำหนดให้ f(x) = 2 +1 และ g ( x ) = 5x – 3

2. W (What we want to know) สิง่ ท่โี จทย์ตอ้ งการทราบ

นักเรยี นหาสง่ิ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบหรือ หา ( fog –1 ) ( 7 )

สง่ิ ท่นี ักเรียนตอ้ งการรู้

3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปัญหา

นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพื่อหา เนือ่ งจาก g ( x ) = 5x – 3

คำตอบตามทโ่ี จทยต์ ้องการ หรอื สงิ่ ท่ี จะได้ g-1(5x-3) = x

ตนเองต้องการรู้ ให้ 5x – 3 = 7

จะได้ x = 2

ดงั นัน้ g-1(7) = 2

จาก (fog-1)(7) = f(g-1(7))

= f (2)
2
= 2 +1

=2

4. L (What we learned) คำตอบและความรทู้ ี่ได้รับ

นกั เรียนสรปุ สงิ่ ท่ีไดเ้ รยี นรู้ (fog-1)(7) = 2

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ หนา้  26

ใบกจิ กรรมที่ 9.2 ฟังกช์ นั ประกอบ

1) กำหนดฟังกช์ ัน f = { (0,3) ,(1,4) ,(2,5) ,(3,6) }
g = { (3,6) , (4,7) , (5,8) ,(7,9) }

จงหา gof และ fog (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสือ่ สารด้านการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่ิงที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นักเรยี นรู้อะไรบา้ งจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) สิง่ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)

นกั เรียนหาสง่ิ ทโ่ี จทยต์ ้องการทราบหรือ .............................................................................

สิง่ ทน่ี ักเรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................

.............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธีแกป้ ญั หา (2 คะแนน)
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามทโ่ี จทยต์ ้องการ หรอื สิ่งที่ .............................................................................
ตนเองตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ที่ไดร้ บั (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรุปสง่ิ ท่ไี ด้เรียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ หนา้  27

คำช้แี จง 2) ให้ f(x) = 9 − x2 และ g(x)= x + 2 จงหาฟังกช์ นั gof และ fog

พรอ้ มท้ังบอกโดเมนของฟังกช์ นั ทงั้ สอง (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการส่ือสารดา้ นการนำเสนอแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นักเรยี นรูอ้ ะไรบ้างจากทโี่ จทย์กำหนดให้ .............................................................................

.............................................................................

2. W (What we want to know) สงิ่ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบ (1 คะแนน)
นักเรยี นหาสง่ิ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการทราบหรือ .............................................................................
ส่งิ ทน่ี กั เรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ ีแก้ปญั หา (2 คะแนน)
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หา .............................................................................
คำตอบตามที่โจทย์ตอ้ งการ หรอื สงิ่ ที่ .............................................................................
ตนเองตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ท่ีได้รบั (1 คะแนน)
นักเรียนสรปุ ส่ิงทไี่ ด้เรยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 9 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ หนา้  28

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 2 (ค31202) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4
คำช้ีแจง ให้เลือกข้อที่ถูกต้องท่ีสุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. ให้ f ( x ) = x +1 แล้ว f-1(-2) เทา่ กับข้อใด
2

ก. 6 ข. - 6

ค. 8 ง. - 8

2.
ให้ f = {(x, y) y = 9 − x2 } กราฟของ f-1 ตรงกับขอ้ ใด
ก. ข.
33

-3 0 3 0 3
ค. ง. -3

-3 0 3 3
0
-3

3. อินเวอรส์ ของ f (x, y) y 4x − 3 คอื ขอ้ ใด
3x −
=  = 5 

5x -3
ก. 3x -4 ข. 5x + 3
3x + 4
3x - 4 3x + 4
ค. 5x - 3 ง. 5x + 3

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบ หนา้  29

4. กำหนด f ( x ) = x +1 แล้ว D f –1 เทา่ กับข้อใด

ก. D f –1 = (0, ) ข. D f –1 = (- , 0)

ค. D f –1 = [0, ) ง. D f –1 = (- , 0]

5. อนิ เวอรส์ ของ f ( x ) = x 3 + 8 คอื ข้อใด

ก. f-1(x) = 3 x −8 ข. f-1(x) = x 3 - 8
ค. f-1(x) = 3 x +8 ง. f-1(x) = 3x 3 + 8

6. ให้ f ( x ) = x +1 และ g ( x ) = 5x – 3 แลว้ ( fog –1 ) ( 7 ) เทา่ กับขอ้ ใด
2

ก. 2 ข. - 2

ค. 4 ง. - 4

7. ให้ f ( x ) = x + 2, g ( x ) = x2 และ h ( x ) = x3 แล้ว fo(goh) เท่ากับขอ้ ใด

ก. x6 +6 ข. x6 - 6
ค. x6 +8 ง. x6 + 2

8. ถ้า f = (1,2),(2,4),(4,6),(6,8) และ g = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)
พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
1. gof = (1,2),(2,3)
2. fog =(1,2),(2,4),(4,8)

ข้อใดต่อไปน้ีถกู ต้อง ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
ก. 1. ถูก และ 2. ถูก ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
ค. 1. ผดิ และ 2. ถูก

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 9 อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ หนา้  30

9. ถา้ f(x) = 9 − x2 และ g(x)= x + 2 ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
1. (gof)(x)=11− x2
2. (fog)(x) = 5−4x − x2
ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง
ก. 1. ถกู และ 2. ถกู
ค. 1. ผดิ และ 2. ถูก

10. ถา้ f ( x + 3 ) = 4x – 5 และ g ( x – 3 ) = 2 – 3x

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ข. 1. ถกู และ 2. ผิด
1. ( fog –1 ) ( 5 ) = 33 ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
2. ( gof–1 ) ( -1 ) = - 19

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง

ก. 1. ถกู และ 2. ถูก
ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อินเวอร์สของฟังก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ หน้า 31

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลังเรยี น

ชื่อ – นามสกลุ ..................................................................... ชนั้ ................. เลขที่ ...........

คำชี้แจง จงทำเคร่อื งหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ข้อที่ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ถ้านักเรยี นทราบผลคะแนนแลว้
อย่ใู นเกณฑท์ ่ีไม่น่าพอใจ

ลองกลบั ไปศึกษาเนือ้ หาได้อกี นะครับ...

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 9 อินเวอร์สของฟังก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ หน้า 32

แบบบันทกึ คะแนน

ชุดกิจกรรม ชุดที่ 9 เร่ือง อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟังกช์ นั ประกอบ

ช่ือ.............................................................เลขท.ี่ ..........ช้ัน...........ห้อง........

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ ผลการประเมิน
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
10
ใบกิจกรรมท่ี 9.1 10
ใบกิจกรรมท่ี 9.2 10
แบบทดสอบหลังเรียน 40

รวม

เกณฑ์การประเมนิ ในแตล่ ะชุด นักเรียนต้องทำใบกิจกรรม ใหไ้ ด้คะแนน

ไมน่ อ้ ยกวา่ ร้อยละ 80 เชน่ ใบกิจกรรมทมี่ ี 10 คะแนน นกั เรยี นตอ้ ง

ทำให้ไดไ้ ม่น้อยกว่า 8 คะแนนจึงจะถอื วา่ “ผ่านเกณฑ”์

“ผ่านเกณฑ”์ “ไม่ผา่ นเกณฑ”์

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 9 อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ หน้า 33

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยใบกิจกรรม
และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน ชุดท่ี 9
อินเวอรส์ ของฟงั ก์ชันและฟังกช์ ันประกอบชุดที่ 2
แฟกทอเรียลและวธิ เี รียงสบั เปล่ยี น

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดที่ 9 อนิ เวอรส์ ของฟังก์ชันและฟงั ก์ชนั ประกอบ หนา้  34

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น ชุดที่ 9

ขอ้ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน ชุดท่ี 9

1. ค. D f –1 = [0, ) ขอ้ คำตอบ
2. ก. f-1(x) = 3 x −8 6. ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
7. ก. 1. ถกู และ 2. ถกู
3. ข. - 6 8. ค. 1. ผดิ และ 2. ถกู
9. ก. 2
4. ข. 5x - 3 10. ง. x6 + 2
3x - 4
5. ก.

ถ้านกั เรยี นทราบผลคะแนนแลว้
อย่ใู นเกณฑ์ทไี่ มน่ ่าพอใจ

ลองกลบั ไปศกึ ษาเนือ้ หาได้อีกนะครบั ...

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 9 อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ หนา้  35

เฉลยใบกิจกรรมท่ี 9.1 อินเวิร์สของฟงั ก์ชัน

1) กำหนดให้ f(x) = x + 3 จงหา f -1 แล้วเขียนกราฟของ f และ f -1
(5 คะแนน)

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่อื สารด้านการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร)์
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ f(x) = x + 3

2. W (What we want to know) สงิ่ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรียนหาส่ิงท่ีโจทย์ต้องการทราบหรือ เขียนกราฟของ f และ f -1
สิ่งท่ีนกั เรยี นต้องการรู้
วิธีแก้ปญั หา (2 คะแนน)
3. D (What we do to find out)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่ือหา จาก y = f(x) = x + 3
คำตอบตามทโี่ จทยต์ อ้ งการ หรอื สงิ่ ที่
ตนเองตอ้ งการรู้ y2 = x +3

จะได้ Df = - 3,) และ Rf = 0,)
ทำให้ และ
R - 1 = - 3,) D - 1 = 0, )
f f
ดังน้ัน f -1(x) = x2 − 3, x 0,)

เขยี นรูปในเซต

 f = (x,y)y = x + 3

 f - 1 = (x,y)x = y + 3

4. L (What we learned) คำตอบและความรู้ที่ไดร้ ับ (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรุปสงิ่ ทไ่ี ด้เรยี นรู้ f -1(x) = x2 − 3, x 0,)

ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 9 อินเวอรส์ ของฟังก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ หนา้  36

คำชี้แจง 2) กำหนดฟังก์ชัน f : R → R และ g : R → R
x
โดยท่ี f (x) = 2 +1 และ g ( x) = 5x – 3

จงหา f –1 ( -2 ) และ g –1 ( 2 ) (5 คะแนน)

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่ือสารด้านการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่ิงท่โี จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
x
นกั เรยี นรู้อะไรบา้ งจากทโี่ จทย์กำหนดให้ f (x) = 2 +1 และ g(x ) = 5x – 3

2. W (What we want to know) สง่ิ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบ (1 คะแนน)

นกั เรียนหาส่ิงท่โี จทย์ตอ้ งการทราบหรือ f –1 ( -2 ) และ g –1 ( 2 )

สง่ิ ท่นี ักเรียนต้องการรู้

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ญั หา (2 คะแนน)
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่ือหา x
คำตอบตามทีโ่ จทยต์ อ้ งการ หรอื ส่ิงท่ี จาก f ( x ) = 2 + 1
ตนเองต้องการรู้
จะได้ f -1 ( x + 1) = x
4. L (What we learned) 2
นกั เรียนสรุปสงิ่ ท่ีไดเ้ รยี นรู้ x
ให้ 2 + 1 = -2 จะได้ x =- 6

ดังนั้น f-1(-2) = - 6

จาก g ( x ) = 5x - 3
จะได้ g -1 (5x - 3) = x

ให้ 5x - 3 = 2 จะได้ x = 1

ดังน้นั g-1(2) = 1

คำตอบและความร้ทู ่ีได้รบั (1 คะแนน)

f-1(-2) = - 6

g-1(2) = 1

ผ่านไปแล้วสำหรับการหาอนิ เวิร์สของฟังกช์ นั
ไปดเู ฉลยใบกจิ กรรมที่ 9.2

กันตอ่ เลยนะครับ เด็กท่นี า่ รกั ทุกคน

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชนั ประกอบ หน้า 37

เฉลยใลกิจกรรมท่ี 9.2 ฟังกช์ ันประกอบ

1) กำหนดฟงั ก์ชนั f = { (0,3) ,(1,4) ,(2,5) ,(3,6) }
g = { (3,6) , (4,7) , (5,8) ,(7,9) }

จงหา gof และ fog (5 คะแนน)
(สง่ เสริมความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรียนรูอ้ ะไรบา้ งจากท่โี จทย์ กำหนดฟงั กช์ ัน f = { (0,3) ,(1,4) ,(2,5) ,(3,6) }
กำหนดให้
g = { (3,6) , (4,7) , (5,8) ,(7,9) }

2. W (What we want to สิง่ ท่ีโจทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
know) จงหา gof และ fog
นักเรียนหาส่ิงทโี่ จทย์ตอ้ งการ
ทราบหรอื วธิ แี ก้ปัญหา (2 คะแนน)
ส่งิ ที่นักเรียนตอ้ งการรู้ Rf Dg = 3,4,5

3. D (What we do to find
out)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพือ่
หาคำตอบตามท่ีโจทยต์ อ้ งการ
หรือสงิ่ ท่ีตนเองต้องการรู้

4. L (What we learned) gof = (0,6),(1,7),(2,8)
นักเรยี นสรุปสง่ิ ทไี่ ด้เรยี นรู้ จากตวั อยา่ ง Rg Df =  ไมส่ ามารถหาฟงั กช์ ัน fog ได้

คำตอบและความรูท้ ไ่ี ด้รับ (1 คะแนน)
gof = (0,6),(1,7),(2,8)
ไมส่ ามารถหาฟังกช์ ัน fog ได้

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 38

คำช้แี จง 2) ให้ f(x)= 9 - x2 และ g(x) = x + 2 จงหาฟังก์ชัน gof และ fog
พรอ้ มทัง้ บอกโดเมนของฟงั ก์ชนั ท้ังสอง (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่ือสารดา้ นการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นกั เรียนรู้อะไรบ้างจากทีโ่ จทย์กำหนดให้
2. W (What we want to know) ให้ f(x)= 9 - x2 และ g(x) = x + 2
นักเรยี นหาสง่ิ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบหรอื
สิง่ ท่ีนกั เรียนต้องการรู้ สิ่งที่โจทย์ตอ้ งการทราบ (1 คะแนน)
3. D (What we do to find out) หาฟังก์ชัน gof และ fog
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หา
คำตอบตามทีโ่ จทย์ตอ้ งการ หรือสง่ิ ที่ วิธแี กป้ ญั หา (2 คะแนน)
ตนเองต้องการรู้ Df = R และ Rf = (− ,9
Dg = R และ Rg = R
4. L (What we learned)
นกั เรียนสรุปส่ิงทีไ่ ด้เรยี นรู้ เน่อื งจาก Rf Dg = (− ,9  จงึ มี gof

และ Rg Df = R   จงึ มี fog

(gof)(x) = g(f(x)) = g (9 - x2)
= (9 - x2) + 2

ดงั นัน้ (gof)(x) = 11 - x2

Dgof = x  D f f(x)  Dg 

 
= xR f(x)R

=R
(fog)(x) = f(g(x)) = f (x + 2)

= 9 - (x + 2)2
= 9 - (x2+ 4x +4)
ดงั น้ัน (fog)(x) = 5 - 4x - x2

Dfog = x Dg g(x)Df 

= xR g(x)R

=R
คำตอบและความรทู้ ีไ่ ดร้ ับ (1 คะแนน)

(gof)(x) = 11 - x2 , Dgof = R
(fog)(x) = 5 - 4x - x2, Dfog= R

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 9 อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟงั ก์ชนั ประกอบ หนา้  39

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น ชดุ ที่ 9

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชุดท่ี 9

ขอ้ คำตอบ ขอ้ คำตอบ
6. ก. 2
1. ข. - 6

2. ข. 7. ง. x6 + 2

3. ก. 5x - 3 8. ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด
3x - 4
4. ค. D f –1 = [0, ) 9. ก. 1. ถกู และ 2. ถกู
10. ค. 1. ผดิ และ 2. ถูก
5. ก. f-1(x) = 3 x −8

ถ้านกั เรยี นทราบผลคะแนนแลว้
อยใู่ นเกณฑ์ที่ไม่น่าพอใจ

ลองกลบั ไปศึกษาเนอื้ หาไดอ้ กี นะครับ...

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 9 อินเวอร์สของฟังก์ชนั และฟังก์ชันประกอบ หน้า 40

กระทรวงศกึ ษาธิการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พ้ืนฐานพุทธศักราช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพค์ ุรุสภาลาดพรา้ ว.

กมล เอกไทยเจริญ. (2555). Advanced Series คณติ ศาสตร์ ม.4 – 6 เลม่ 2 (การใหเ้ หตุผล-
ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน). กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลิชชิ่ง.

กวิยา เนาวประทปี . (2548). เทคนคิ การเรยี นคณติ ศาสตร์ : ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั กช์ นั . กรุงเทพฯ :
ฟสิ กิ สเ์ ซน็ เตอร์.

จักรนิ ทร์ วรรณโพธก์ิ ลาง. (2553). คมั ภีร์คณติ ศาสตร์ O – NET ม. 4 -5-6 กรุงเทพฯ : บริษทั
สำนักพิมพ์ พ.ศ. พฒั นา จำกัด.

_______. (2554). Mini คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ม.4 – 6 เลม่ 2 ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษา
ขน้ั พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ : บรษิ ทั สำนักพิมพ์ พ.ศ.พฒั นา จำกัด.

พชั รี ปญั ชะนะ. (2554). การสร้างชดุ กจิ กรรมเพอื่ พัฒนาการคดิ วเิ คราะห์โจทย์ปัญหาการบวก
ลบ คูณ หารระคน ด้วยวิธีการเรียนรู้แบบแบง่ กล่มุ ผลสมั ฤทธิ์ (STAD) รว่ มกบั เทคนิค
KWDL สำหรับนักเรยี นชน้ั ประถมศกึ ษาปีท่ี 3. วทิ ยานิพนธ์ ค.ม. อุตรดติ ถ์ : มหาวทิ ยาลัย
ราชภฏั อตุ รดติ ถ.์

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน
คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4-6 กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์สกสค.ลาดพร้าว.

_______. (2558). หนงั สอื เรียนรายวชิ าพืน้ ฐาน คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4-6.
พมิ พ์ครัง้ ที่ 8. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.ลาดพรา้ ว.

_______. (2560). คมู่ อื การใช้หลักสตู ร กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรุง 2560)
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551. (ออนไลน์).
แหล่งที่มา : https://www.scimath.org/. [19 ตลุ าคม 2561]

_______. (2561). คมู่ อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4. (ออนไลน)์ .
แหลง่ ทีม่ า : https://www.scimath.org/ebook-mathematics/item/9119-4-2-9119
[19 ตุลาคม 2561]

_______. (2561). หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4 .
พมิ พ์ครั้งที่ 1. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์แห่งจฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั .

Krongthong Khairiree and Tran Vui. (2014). Textbook Discovering Mathematics 4.
Bangkok : PADA Education.

Randall I. Charles and others. (2010). Prentice Hall Mathematics Course 3.
The United State of America : Pearson Education.

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 9 อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั และฟงั ก์ชันประกอบ หน้า 41

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชดุ ที่ 9 เรื่อง อนิ เวอร์สของฟงั ก์ชันและฟังก์ชนั ประกอบ
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 รหัสวิชา ค31202 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
ชดุ ท่ี 9 เรอ่ื งเลอม่ ิน1เว-2อ.รก์สรขุงอเทงฟพังมกห์ชาันนแคลระ:ฟสังำกน์ชกั ันพปมิ รพะ์กบอรบิษัทใชเ้เรวือลงาแจสัดงกกาารรเพรยีิมนพร์ (ู้ 220ช0ั่ว2โ)มจงำปกัดระ, ก2อ5บ54ด.้วย
เนือ้สหุวรา ดกังานญี้ จนมยรู . คณติ คดิ เป็น ตอน การบวก ลบ คูณ หาร พหุนาม. กรงุ เทพมหานคร:

บริษัท9เ.จ1้า)พอรนิ ะเยวอากร์สารขพอมิงฟพัง์ จก์ชานั กดั (1, 2ช5่ัว5โม3.ง)
9.2) ฟงั ก์ชันประกอบ (1 ชว่ั โมง)

ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดท่ี 9 เร่ือง อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชัน
ประกอบ ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรม
การเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้เพ่ิมเติม จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน
ใบความรู้ ใบกิจกรรม ที่มีแนวทางการหาคำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และ
ภาคผนวก ซึ่งประกอบด้วยเฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน
แบบบันทกึ คะแนนและเกณฑ์การประเมิน

1 a2
2 b4
3 c6
4 e8

gof

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน