ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน

+ –  ชดุ ท่ี 1 คอู่ ันดับและผลคูณคาร์ทีเซยี น หนา้  0


Cartesian product

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชนั

ชุดที่ 1 คูอ่ นั ดับและผลคณู คารท์ ีเซยี น หนา้  1

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน สำหรับการเรียนรู้
แบบแบ่งกลุ่มผลสัมฤทธ์ิ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL เพื่อส่งเสริมความสามารถในการส่ือสาร
ทางคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 จัดทำขึ้นเพ่ือส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน

เกิดความคิดรวบยอดในเรือ่ งความสัมพันธ์และฟังก์ชัน อีกทั้งยังส่งเสริมและพัฒนาความสามารถใน
การส่ือสารทางคณิตศาสตร์ มีการประเมินตนเองตามผลสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตร

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน
พุทธศกั ราช 2551 และ ซง่ึ มีทั้งหมด 9 ชดุ เวลา 24 ช่ัวโมง ดงั น้ี

ชุดท่ี 1 เรื่อง การเขยี นคอู่ นั ดบั และผลคูณคารท์ เี ซียน (3 ชั่วโมง)
ชุดที่ 2 เรื่อง ความสมั พันธ์และอินเวอรส์ ของความสัมพันธ์ (4 ชว่ั โมง)
ชุดท่ี 3 เรือ่ ง ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟังก์ชัน (3 ชว่ั โมง)
ชดุ ท่ี 4 เร่ือง ฟังก์ชันเชิงเสน้ และการแก้ปญั หา (2 ชว่ั โมง)
ชดุ ท่ี 5 เรื่อง ฟงั กช์ ันกำลังสองและการวาดกราฟ (3 ช่วั โมง)
ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง การแกป้ ัญหาโดยใช้ฟงั ก์ชนั กำลังสอง (2 ชว่ั โมง)
ชดุ ท่ี 7 เร่ือง ฟงั กช์ ันคา่ สมั บรู ณ์และฟงั ก์ชันข้ันบนั ได (2 ช่วั โมง)
ชุดที่ 8 เรื่อง ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั ก์ชนั (3 ชว่ั โมง)

ชดุ ท่ี 9 เร่อื ง อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั และฟังก์ชนั ประกอบ (2 ชว่ั โมง)

โดยในชุดท่ี 1 เรื่อง การเขียนคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน ประกอบด้วย คำช้ีแจงสำหรับครู
คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบกอ่ นเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมและแบบทดสอบหลังเรียน โดย
เนื้อหาแต่ละเร่ืองมีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชา
คณิตศาสตร์ตามลำดับข้ันตอน พร้อมทั้งตรวจคำตอบท่ีถูกต้องของชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชา
คณิตศาสตร์ไดด้ ว้ ยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 1 เรื่อง คู่อันดับและ
ผลคูณคารท์ ีเซียน จะช่วยพัฒนาความคดิ รวบยอด และส่งเสริมความสามารถในการส่ือสารทางคณิตศาสตร์
และเหมาะสมกับผเู้ รียนทกุ คน เหมาะสมสำหรบั ครทู จ่ี ะนำไปจดั การเรียนการสอน

นายสรุ ชยั สุขรี
ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู ำนาญการพิเศษ

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 1 คูอ่ ันดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น หนา้  2

สารบัญ

เรอ่ื ง หน้า

คำนำ 1
สารบัญ 2
คำชี้แจงสำหรับครู
คำแนะนำสำหรับนักเรียน 3
แผนผังการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ชุดท่ี 1 4
การจัดการเรียนรู้แบบแบ่งกลุม่ ผลสมั ฤทธ์ิ (STAD) โดยเน้นเทคนคิ KWDL 5
ผลการเรยี นรู้
สาระการเรยี นรเู้ พิม่ เติม 6
จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 7
แบบทดสอบก่อนเรยี นชุดท่ี 1 การเขียนค่อู นั ดบั และผลคูณคารท์ ีเซียน
1.1 ค่อู นั ดบั และการเท่ากันของคูอ่ นั ดับ 7
7
ใบความรู้ท่ี 1.1 คอู่ นั ดบั และการเท่ากันของคูอ่ นั ดบั 8
ใบกิจกรรมท่ี 1.1 คูอ่ ันดับและการเท่ากันของคู่อนั ดบั
1.2 ผลคณู คาร์ทีเซียน 11
ใบความรู้ที่ 1.2 ผลคูณคารท์ ีเซียน 11
ใบกิจกรรมที่ 1.2 ผลคูณคาร์ทีเซียน
1.3 สมบตั ิของผลคูณคาร์ทเี ซียน 16
ใบความรู้ท่ี 1.3 สมบัติของผลคูณคาร์ทเี ซยี น 18
ใบกิจกรรมที่ 1.3 สมบัตขิ องผลคูณคาร์ทีเซียน 18
แบบทดสอบหลงั เรียนชุดที่ 1 การเขยี นคู่อนั ดบั และผลคูณคารท์ ีเซยี น
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นชดุ ที่ 1 การเขยี นคอู่ นั ดบั และผลคูณคารท์ เี ซียน 21
23
เฉลยใบกิจกรรมท่ี 1.1 คอู่ นั ดับและการเท่ากนั ของคอู่ ันดบั
เฉลยใบกิจกรรมท่ี 1.2 ผลคณู คาร์ทเี ซียน 23
เฉลยใบกิจกรรมที่ 1.3 สมบตั ิของผลคูณคารท์ ีเซยี น 28
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นชดุ ที่ 1 การเขยี นคอู่ นั ดับและผลคูณคาร์ทีเซียน 30

บรรณานุกรม 35
36

38
40
42

43

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 1 คอู่ นั ดับและผลคูณคาร์ทีเซยี น หน้า  3

คำชแ้ี จงสำหรบั ครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 1 เรื่อง การเขียนคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม2 รหัสวิชา ค31202 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
ชุดท่ี 1 เรื่อง การเขียนคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 3 ช่ัวโมง ประกอบด้วย
เนอ้ื หา ดังนี้

1.1) คอู่ ันดับและการเท่ากันของคอู่ ันดบั (1 ช่ัวโมง)
1.2) ผลคูณคาร์ทเี ซียน (1 ช่วั โมง)

1.3) สมบตั ขิ องผลคูณคาร์ทีเซยี น (1 ชัว่ โมง)
ในชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 1 เรือ่ ง การเขียนค่อู ันดับและผลคณู คารท์ ีเซียน
ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครูคำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรม ผลการเรียนรู้

สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมที่มีแนวทางการหา
คำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวกซึ่งประกอบด้วยเฉลยแบบทดสอบ

ก่อนเรียน เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนนและเกณฑ์การประเมิน
ในการใชช้ ดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ชุดน้ี ครผู ู้สอนควรปฏบิ ตั ิตามข้ันตอนต่อไปน้ี

ขขน้ั ้นั ทที่ ่ี11 ชแี้ จงข้นั ตอนการเรียนโดยใช้ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้นี้ให้นักเรยี นเข้าใจ

ขขนั้ ้นั ทท่ี ่ี22 ใหน้ ักเรยี นทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี นกอ่ นศกึ ษาเนื้อหาจากใบความรู้
ทำใบกจิ กรรมและตรวจคำตอบตามเฉลยในภาคผนวกทลี ะใบกจิ กรรม

ขข้ัน้นั ทท่ี ี่33 ดูแลใหน้ ักเรยี นปฏิบัติตามข้ันตอนและให้คำแนะนำเมื่อนักเรยี นพบปญั หา

ขข้นั ้นั ทท่ี ่ี44 ประเมนิ ผลการเรยี นของนกั เรียนอย่างตอ่ เน่ืองและใหแ้ รงเสรมิ
ในการปฏบิ ัติกจิ กรรมของนกั เรยี น

ขขน้ั ้นั ทที่ 5่ี 5 ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลงั เรียน เม่ือศกึ ษาเน้อื หาจากใบความรู้
และทำใบกิจกรรมเสร็จสน้ิ

ขข้ัน้นั ทท่ี 6่ี 6 บนั ทกึ ผลการประเมินหลังการจัดการเรยี นรโู้ ดยใชช้ ุดกิจกรรมทกุ ครง้ั

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสัมพันธ์และฟังก์ชนั

ชุดท่ี 1 ค่อู นั ดับและผลคูณคาร์ทีเซยี น หน้า  4

คำแนะนำสำหรับนกั เรียน

นักเรียนควรปฏิบัติในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดที่ 1 เร่ือง การเขียน
คอู่ นั ดบั และผลคูณคาร์ทีเซยี น ดังน้ี

ขนั้ ที่ 1 ศึกษาข้ันตอนการใช้ชุดกิจกรรมมการเรยี นรู้ใหเ้ ขา้ ใจชดั เจน

ขนั้ ที่ 2 ศึกษาผลการเรยี นรู้ สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
และเวลาท่ใี ช้ในการจัดการเรียนรู้

ขั้นท่ี 3 ทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แลว้ บันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ข้ันที่ 4 ศกึ ษาและทำความเข้าใจเนอ้ื หาจากใบความรู้และทำใบกิจกรรม
ดว้ ยตนเองและตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทลี ะใบกจิ กรรม

ตามลำดับเมอ่ื พบปัญหาให้ขอคำแนะนำจากครูทนั ที

ขนั้ ท่ี 5 ทำแบบทดสอบหลังเรียน ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แลว้ บันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ประเมนิ ผลว่านักเรียนผ่านเกณฑห์ รือไม่
ขัน้ ที่ 6  “ผา่ นเกณฑ์การประเมิน” ให้นกั เรียนศึกษาชดุ กิจกรรมชดุ ต่อไป

 “ไมผ่ ่านเกณฑ์การประเมนิ ” ให้นกั เรยี นย้อนกลบั ไปศกึ ษาและ
ทำความเข้าใจเนอื้ หาจากใบความร้แู ละทำใบกิจกรรมด้วยตนเองใหม่

อา่ นคำแนะนำใหเ้ ขา้ ใจและปฏบิ ัตติ ามใหถ้ กู ตอ้ ง
กอ่ นที่จะลงมอื ทำกิจกรรมในชดุ กจิ กรรม
และที่สำคัญตอ้ งมีความซอื่ สัตย์นะครบั

ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 1 คู่อันดับและผลคณู คารท์ ีเซียน หน้า  5

แผนผงั การใชช้ ดุ กิจกรรมการเรียนรชู้ ดุ ท่ี 1

ศกึ ษาขั้นตอนการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้
ศกึ ษาผลการเรยี นรู้ และจดุ ประสงค์การเรียนรู้

ทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ศึกษาเน้อื หา ศกึ ษาใบความรู้ที่ 1.1-1.3
และทำใบกิจกรรม
คณิตศาสตร์

ศกึ ษาเน้อื หาสาระใบความรู้
ตัวอย่างการหาคำตอบตามเทคนิค KWDL

ในชุดที่ 1 ให้ครบตามกำหนดไว้

ทำใบกิจกรรม 1.1-1.3

ตรวจให้คะแนนดว้ ยตนเอง

ไม่ผา่ นเกณฑร์ อ้ ยละ 80

ผา่ นเกณฑร์ อ้ ยละ 80

เก็บสถติ ิคะแนน
ทดสอบหลงั เรยี น

ไม่ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 80 ผ่านเกณฑ์รอ้ ยละ 80

จบชดุ ท่ี 1

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั

ชดุ ท่ี 1 คู่อันดับและผลคณู คาร์ทีเซียน หน้า  6

การจัดการเรียนรู้แบบแบง่ กลุ่มผลสมั ฤทธ์ิ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL

ขน้ั ท่ี 1 ข้นั นำเขา้ สบู่ ทเรยี น
กระต้นุ ความสนใจ เตรยี มความพร้อมของนกั เรยี น หรอื ทบทวนความรทู้ จ่ี ำเป็น

ขั้นที่ 2 ข้ันเสนอบทเรยี นต่อทงั้ ชั้น
ครูนำเสนอตัวอย่างการแกป้ ญั หาตามแผนผังเทคนิค KWDL ต่อนกั เรียนทั้งหอ้ ง
โดยใช้เทคนิควิธกี ารสอน ใชส้ ื่อการเรียนการสอน ใช้คำถามกระตนุ้ ความคิด

ขนั้ ท่ี 3 ขน้ั กจิ กรรมกลุ่มยอ่ ยเทคนิค KWDL
นักเรยี นท่มี ีความสามารถต่างกันทำงานรว่ มกันเป็นกลุ่มเล็กๆ กล่มุ ละ 4 คน
(อัตราส่วน เก่ง : ปานกลาง : อ่อน = 1 : 2 : 1) นักเรียนศึกษาใบความรู้

ท่ีมตี วั อยา่ งการแกป้ ัญหาตามแผนผังเทคนคิ KWDL
1. (K) นักเรยี นรอู้ ะไรจากทโ่ี จทย์ 2. (W) นกั เรยี นหาสิง่ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบ
3. (D) นักเรยี นต้องทำอะไรเพ่อื หาคำตอบ 4. (L) นักเรียนสรปุ สงิ่ ทีไ่ ด้เรียนรู้

ครูเดนิ สำรวจการศึกษาใบความรู้พรอ้ มทง้ั ให้ข้อเสนอแนะ และตอบขอ้ ซักถาม

ขัน้ ที่ 4 ขน้ั วัดและประเมนิ ผล ทำใบกิจกรรม คิดคะแนนพัฒนาการ
เมื่อนกั เรยี นศึกษาใบความรู้เรยี บรอ้ ยแล้ว ใหน้ กั เรยี นทำใบกิจกรรมเปน็ รายบุคคล

เพอ่ื พัฒนาความสามารถในการส่ือสารทางคณิตศาสตร์ตามแผนผัง KWDL
เมอ่ื ทำใบกิจกรรมเสรจ็ แลว้ ครเู ฉลยใบกิจกรรม พร้อมท้ังคิดคะแนนพฒั นาการ

ข้ันท่ี 5 ขนั้ สรปุ บทเรียนและยกย่องกลมุ่ ท่ปี ระสบผลสำเรจ็
นกั เรียนและครูรว่ มกันอภิปรายสรปุ สง่ิ ที่ได้จากการปฏบิ ัติกิจกรรมการเรยี นร้รู ่วมกัน

ครูยกยอ่ งกล่มุ ท่ีประสบความสำเรจ็ และนำคะแนนพฒั นาของสมาชิกทุกคน
มาเฉล่ยี เพ่อื นำไปเทียบกบั เกณฑก์ ารกำหนดกลุ่มทไ่ี ดร้ ับรางวัล

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 1 คอู่ นั ดับและผลคณู คารท์ ีเซียน หนา้  7

ผลการเรยี นรู้/สาระการเรยี นรู้เพิ่มเติม
/จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ผลการเรยี นรู้

สาระจำนวนและพีชคณติ
เขา้ ใจและวิเคราะหแ์ บบรปู ความสมั พันธ์ ฟังกช์ นั ลำดับและอนกุ รม และนำไปใช้
ผลการเรยี นรู้
1. หาผลลพั ธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟงั กช์ นั หาฟงั กช์ นั ประกอบ

และฟังก์ชนั ผกผัน
2. ใช้สมบตั ขิ องฟงั ก์ชนั ในการแก้ปัญหา

สาระการเรยี นรู้เพม่ิ เติม

ความสัมพนั ธ์ ฟังก์ชนั ฟงั ก์ชันในชวี ิตจริง กราฟของฟังก์ชนั การดาํ เนินการของฟังก์ชัน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ด้านความรู้ นกั เรียนสามารถ
1. อธิบายเกยี่ วกบั ความหมายของคอู่ นั ดับและการเทา่ กนั ของคู่อันดบั ได้
2. อธบิ ายเกีย่ วกบั ความหมายของผลคูณคารท์ ีเชียนได้
3. อธิบายเก่ยี วกับสมบัตขิ องผลคูณคารท์ ีเซยี นได้
ด้านทักษะ/กระบวนการ นักเรียนสามารถ
1. แกป้ ญั หาเก่ยี วกบั การเท่ากันของคอู่ ันดบั และผลคูณคารท์ เี ชียนได้
2. ให้เหตุผลเกย่ี วกับคำตอบทไี่ ด้จากการแกป้ ัญหาอยา่ งสมเหตุสมผล
3. ใช้ภาษา หรอื สญั ลกั ษณ์ หรือแผนภาพทางคณิตศาสตร์ เพือ่ เขียนอธิบายหรอื
นำเสนอขนั้ ตอนการแก้ปญั หาเกย่ี วกบั การเท่ากนั ของคู่อนั ดับและผลคณู คาร์ทีเชยี นได้
ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ นักเรยี นมี
1. ความใฝ่รู้ไฝ่เรียน
2. ความมุ่งมนั่ ในการทำงาน
3. ความรบั ผดิ ชอบ
4. ความรอบคอบ

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพนั ธแ์ ละฟังกช์ นั

ชดุ ท่ี 1 คอู่ นั ดับและผลคณู คารท์ ีเซยี น หน้า  8

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 (ค31202) ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4
คำชี้แจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องท่ีสุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. คู่อันดบั ในขอ้ ใดเท่ากนั

ก. (-5, 3) = (-2+3, 3) ข. (-x , y) = (-x ,y)
ค. (x, y) = (x 2 , y 2 ) ง. (5, 15) = (( 5 ) 2 , 4 2 -1)

2. ถ้า (2x , -x +1) = (y + 2, y) แล้ว x + 2y เท่ากบั ข้อใด

ก. - 1 ข. 1
ค. -2 ง. 2

3. กำหนดให้ A = {1, 2}, B = {2, 3} และ C = {3, 4}
แลว้ เซต {(1, 2), (2, 2)} คอื ผลคณู คาร์ทเี ซยี นในข้อใด

ก. AB ข. AC
ค. (AB) – (AC) ง. A(BC)

4. ถา้ A = { 0,1, 2, 3, ... , 99 }, B = { -15, -14, -13, ... ,5 } แลว้ n(AB) เทา่ กับขอ้ ใด

ก. 2,100 ข. 1,250
ค. 1,500 ง. 1,550

5. ข้อใดตอ่ ไปน้ีไมถ่ ูกตอ้ ง

ก. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
ข. A  (B - C) = (A  B) - (A  C)
ค. (A  B)  (C  D) = (A  C)  (B  D)
ง. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 1 คอู่ ันดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น หน้า  9

6. พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้

1. A  B =  ก็ตอ่ เมอื่ A =  หรือ B = 

2. A  B = B  A กต็ ่อเมอื่ A = B
ขอ้ ใดต่อไปนี้ ถกู ตอ้ ง

ก. 1. ถกู และ 2. ถูก ข. 1. ถูก และ 2. ผิด
ค. 1. ผิด และ 2. ถกู ง. 1. ผิด และ 2. ผิด

7. ถา้ A={ 1 , 2 , 3 , ... , 25 } B={ 1 , 2 , 3, ... , 50 } แลว้ n(AB) เท่ากับขอ้ ใด

ก. 1,200 ข. 1,250
ค. 1,500 ง. 1,550

8. คูอ่ นั ดับในข้อใดเท่ากนั

ก. (4, 3) = (2+2, a) ข. (c, d) = (c 2 , d 2 )
ค. (-x, y) = (y, -x) ง. (5, 17) = (( 5 ) 2 , 4 2 +1)

9. กำหนด A = {4, 5, 6, 7}, B = {4, 6, 8}, C = {3, 6, 9}

1. (6, 6) เปน็ สมาชิกของ [(AB)  C] และ A  (BC)

2. (5, 9) เป็นสมาชิกของ [(A-B)  C] หรอื A  (B-C)
ขอ้ ใดต่อไปนี้ ถกู ต้อง

ก. 1. ถูก และ 2. ถูก ข. 1. ถกู และ 2. ผดิ
ค. 1. ผดิ และ 2. ถูก ง. 1. ผิด และ 2. ผิด

10. กำหนดให้ A = {-1, -2, -3}, B = {2, 4} และ C = {3, 5}
พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ขี อ้ ใดถูกตอ้ ง

ก. AB = {(-1, 2), (-1, 4), (-2, 2), (-2, 4), (-3, 2),(-3, 4)}

ข. AC = {(-1, 3), (-1, 5), (-2, 3), (-2, 5), (-3, 3), (-3, 3), (-3, 5)}
ค. BC = {(2, -2), (2, -3), (2, 4), (2, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5)}
ง. CA = {(3, -1), (3, -2), (3, -3), (5, -1), (5, -2), (5, -3), (5, 5)}

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 1 ค่อู นั ดับและผลคูณคาร์ทีเซยี น หนา้  10

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบก่อนเรียน

ชอ่ื – นามสกุล ..................................................................... ชัน้ ................. เลขท่ี ...........
คำช้ีแจง จงทำเครื่องหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ขอ้ ที่ 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี นเสร็จแล้ว

ไป...เรียนรู้คอู่ นั ดับและผลคูณค่าร์ทีเซยี นกนั เลย

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังกช์ นั

ชดุ ที่ 1 คู่อันดับและผลคณู คารท์ ีเซียน หนา้  11

ค่อู ันดับ (Ordered Pairs)

ค่อู ันดับ คอื สัญลักษณ์ท่ีแสดงการจับคู่กนั ระหวา่ งส่ิง 2 ส่ิง
เช่น ระยะทางกับเวลา ถ้าเราจะแสดงการจับคู่ระยะทาง (กโิ ลเมตร) กบั เวลา (ชั่วโมง)
เราจะเขียนระยะทางกับเวลาลงในวงเลบ็ เล็ก และค่นั ดว้ ยเครื่องหมายจลุ ภาค เชน่

ความสมั พันธ์ระหว่างจำนวนไข่ไกก่ บั ราคาขาย

จากแผนภาพข้างบนสามารถเขียนแทนด้วยคู่อันดับได้เป็น
(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15)

การเขยี นคอู่ ันดบั จะตอ้ งคำนึงถงึ ลำดับของสมาชิก
(1,3) หมายความวา่ ไขไ่ ก่ 1 ฟอง ใช้เงินซื้อ 3 บาท

เงนิ 3 บาท ซอื้ ไขไ่ ก่ได้ 1 ฟอง
(3,1) หมายความวา่ ไขไ่ ก่ 3 ฟอง ใช้เงินซ้ือ 1 บาท

เงิน 1 บาท ซื้อไขไ่ กไ่ ด้ 3 ฟอง

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชนั

ชุดที่ 1 คอู่ นั ดับและผลคูณคาร์ทีเซยี น หนา้  12

ส่วนประกอบของคอู่ ันดับ

ค่อู ันดบั ประกอบด้วยสมาชกิ 2 ตวั คือ สมาชกิ ตัวหนา้ และสมาชกิ ตัวหลงั
หรอื สมาชกิ ตัวที่หนึ่งและสมาชกิ ตัวทส่ี อง

(3, 9) อ่านวา่ คอู่ ันดับสามเก้า
3 เปน็ สมาชิกตัวหน้าหรือสมาชิกตัวที่หน่งึ ของคู่อันดบั (3, 9)
9 เปน็ สมาชกิ ตวั หลงั หรือสมาชิกตัวท่สี องของคู่อนั ดับ (3, 9)
(a, b) อ่านวา่ ค่อู นั ดบั เอบี
a เป็นสมาชกิ ตวั หน้าหรอื สมาชิกตวั ที่หนึง่ ของคอู่ ันดบั (a, b)
b เปน็ สมาชิกตวั หลังหรือสมาชิกตวั ท่ีสองของคู่อนั ดบั (a, b)
การเขียนคู่อันดบั จะสับเปลยี่ นสมาชกิ ไม่ได้ จะทำให้ความหมายเปล่ยี นไป เช่น (a, b) เปน็ (b, a)
จะทำให้ (a, b) ไม่เทา่ กบั (b, a) ยกเว้น a = b

ตัวอย่างที่ 1

คู่อันดับท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ี (1, 2), (4, 8) , (3, 6) , (5, 10) , (2, 4)
แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาท่ีใช้กับระยะทางท่ีขับรถได้
สมาชิกตัวท่ี 1 แทน เวลาท่ีใช้ (นาที)
สมาชิกตัวที่ 2 แทน ระยะทางท่ีขับรถได้ (กิโลเมตร)
จงอธิบายความหมายของคู่อันดับต่อไปนี้
(1, 2) หมายความว่า เวลา 1 นาที ขับรถได้ระยะทาง 2 กิโลเมตร
(4, 8) หมายความว่า เวลา 4 นาที ขับรถได้ระยะทาง 8 กิโลเมตร
(3, 6) หมายความว่า เวลา 3 นาที ขับรถได้ระยะทาง 6 กิโลเมตร
(5, 10) หมายความว่า เวลา 5 นาที ขับรถได้ระยะทาง 10 กิโลเมตร
(2, 4) หมายความว่า เวลา 2 นาที ขับรถได้ระยะทาง 4 กิโลเมตร

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 1 คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน หน้า  13

การเท่ากันของค่อู นั ดับ
บทนยิ าม

คูอ่ ันดบั (a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เมอ่ื a = c และ b = d
เมื่อ a, b, c, d เปน็ จำนวนจริงใดๆ

การวเิ คราะหก์ ารเทา่ กนั ของคู่อันดบั ดว้ ยเทคนคิ KWDL

ตัวอย่างที่ 2 จงหาวา่ คูอ่ นั ดับ (5, 3 + 4) และ (2 + 3, 7) เทา่ กันหรอื ไม่
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่ือสารด้านการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สิง่ ทโ่ี จทย์กำหนดให้

1. K (What we know) 1. คู่อนั ดับ (5, 3 + 4)
นักเรียนรู้อะไรบ้างจากท่โี จทย์กำหนดให้ 2. คอู่ นั ดบั (2 + 3, 7)

2. W (What we want to know) สิง่ ทโ่ี จทย์ต้องการทราบ
นักเรียนหาส่ิงที่โจทยต์ ้องการทราบหรอื
สงิ่ ท่ีนักเรยี นตอ้ งการรู้ 1. คอู่ นั ดับ (5, 3 + 4) และ (2 + 3, 7)
เท่ากนั หรือไม่

3. D (What we do to find out) วธิ ีแกป้ ัญหา
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพือ่ หาคำตอบ
ตามท่ีโจทยต์ อ้ งการ หรอื สง่ิ ที่ตนเอง ประโยคสัญลักษณ์
ต้องการรู้ (5, 3+4) = (2+3, 7)

4. L (What we learned) คำตอบ
นกั เรียนสรปุ สิ่งทไ่ี ดเ้ รยี นรู้ คอู่ นั ดบั (5, 3 + 4) และ (2 + 3, 7) เท่ากัน
ความร้ทู ไ่ี ดร้ บั
ไมย่ ากเลยใช่ไหมละ่
งนั้ เราไปศกึ ษากนั ตอ่ เลยครับ (a, b) = (c, d) กต็ ่อเมอื่ a = c และ b = d

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 1 คู่อนั ดับและผลคูณคาร์ทีเซียน หน้า  14

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาค่า x และ y ทีท่ ำให้ (x + 2, y + 10) = (6, 12)
(สง่ เสริมความสามารถในการสื่อสารด้านความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่ิงท่ีโจทย์กำหนดให้

นักเรยี นร้อู ะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้ (x + 2, y + 10) = (6, 12)

2. W (What we want to know) ส่งิ ทโี่ จทย์ต้องการทราบ
นกั เรยี นหาสิ่งทีโ่ จทย์ต้องการทราบหรือ
ค่า x และ y ทที่ ำให้
สง่ิ ทีน่ ักเรยี นต้องการรู้ (x + 2, y + 10) = (6, 12)

3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปัญหา
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่ือหาคำตอบ x + 2 = 6 และ y + 10 = 12
ตามท่ีโจทยต์ ้องการ หรือสิ่งที่ตนเอง
ต้องการรู้ x = 4 และ y = 2

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรยี นสรปุ ส่ิงทไ่ี ดเ้ รียนรู้
x = 4 และ y = 2

ความรู้ทไ่ี ด้รับ
(a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เมื่อ a = c และ b = d

ตัวอย่างท่ี 3 ไมย่ ากเลย
ไปศึกษาโจทย์ปัญหาการเทา่ กันของคอู่ นั ดับ

ในตวั อย่างท่ี 4 กนั ตอ่ เลยนะครบั

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดท่ี 1 คู่อันดับและผลคณู คาร์ทีเซียน หนา้  15

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาค่า x และ y ท่ที ำให้ (2x + y, 24) = (6, 3x – y)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสอื่ สารด้านความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สงิ่ ทโ่ี จทย์กำหนดให้
(2x + y, 24) = (6, 3x – y)
1. K (What we know)
นกั เรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่งิ ทโ่ี จทย์ต้องการทราบ
นกั เรียนหาสิ่งทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรือ
สิ่งทนี่ ักเรียนต้องการรู้ คา่ x และ y ทท่ี ำให้
(2x + y, 24) = (6, 3x – y)

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปัญหา

นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หาคำตอบ จากความหมายการเทา่ กนั ของคู่อนั ดบั
ตามที่โจทยต์ ้องการ หรอื สง่ิ ท่ีตนเอง จะได้วา่
ตอ้ งการรู้ 2x + y =6 ……………………….. 

3x – y =24 …………………..……..
 +  ; 5x = 30

x =6
แทนค่า x ในสมการ 
จะได้ 2(6) + y = 6 ………

12 + y = 6
y = 6 - 12

y = -6

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรียนสรุปส่ิงทไี่ ด้เรยี นรู้
x = 6 และ y = -6

ความรู้ท่ีได้รับ

(a, b) = (c, d) ก็ต่อเม่อื a = c และ b = d

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชนั

ชดุ ที่ 1 คู่อนั ดับและผลคูณคารท์ ีเซยี น หน้า  16

ใบกิจกรรมที่ 1.1 คอู่ นั ดบั และการเท่ากนั ของคู่อันดับ

1) ให้นักเรยี นพิจารณาว่าคอู่ ันดับ (4, 9 ) และ ( 16 , 3) เท่ากันหรอื ไม่
(5 คะแนน)

(ส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ทโ่ี จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นักเรียนรูอ้ ะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้ .............................................................................

2. W (What we want to know) สงิ่ ทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบ (1 คะแนน)
นักเรียนหาสิง่ ท่โี จทยต์ ้องการทราบหรอื
สิ่งทนี่ ักเรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ัญหา (1 คะแนน)
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบ .............................................................................

ตามทโี่ จทยต์ อ้ งการ หรอื ส่งิ ที่ตนเอง .............................................................................
ตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรยี นสรุปสง่ิ ทไี่ ด้เรียนรู้
.............................................................................
ความรทู้ ี่ได้รับ (1 คะแนน)

.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชนั

ชุดที่ 1 ค่อู นั ดับและผลคูณคาร์ทีเซียน หน้า  17

คำชแ้ี จง 2) จงหาค่า x และ y ทท่ี ำให้ (x + y, 3) = (0, 2x – y) (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสอื่ สารด้านความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สง่ิ ทโ่ี จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

1. K (What we know) .............................................................................
นักเรียนรู้อะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ .............................................................................

2. W (What we want to know) ส่งิ ที่โจทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
นักเรียนหาสิ่งทีโ่ จทยต์ ้องการทราบหรือ
สิ่งท่ีนักเรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ ีแก้ปัญหา (1 คะแนน)
.............................................................................
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่อื หาคำตอบ .............................................................................
ตามท่ีโจทยต์ อ้ งการ หรอื สิ่งที่ตนเอง .............................................................................
ต้องการรู้
.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรยี นสรุปสิ่งทไ่ี ด้เรียนรู้
.............................................................................
.............................................................................

ความรทู้ ี่ไดร้ ับ (1 คะแนน)

.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 1 คู่อนั ดับและผลคณู คารท์ ีเซียน หน้า  18

ผลคณู คาร์ทเี ซยี น (Cartesian product)

บทนิยาม ผลคูณคาร์ทเี ซยี นของเซต A และเซต B คอื เซตของค่อู นั ดับ (a, b) ท้ังหมด
โดยที่ aA และbB เขียนแทนดว้ ย AB
AB = {(a, b) aA และbB } โดย AB อ่านวา่ เอคณู บี

การเขียนผลคณู คาร์ทีเซียน ดว้ ยเทคนคิ KWDL

ตวั อย่างที่ 1 จงหา AB เม่ือกำหนด A = {1, 2} และ B = {3, 4, 5}
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการส่ือสารด้านภาษาทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิง่ ทโ่ี จทย์กำหนดให้
A = {1, 2} และ B = {3, 4, 5}
1. K (What we know)
นกั เรียนร้อู ะไรบ้างจากท่โี จทย์กำหนดให้ สิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบ
AB (ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B)
2. W (What we want to know)
นกั เรียนหาสิ่งท่โี จทยต์ อ้ งการทราบหรอื วิธแี ก้ปัญหา
สง่ิ ทนี่ ักเรยี นตอ้ งการรู้ เขยี นแผนภาพแสดงการจบั ค่จู ากสมาชกิ ของ
3. D (What we do to find out) เซต A ไปยังสมาชกิ ของเซต B โดยแยกเป็นกลมุ่
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบ ได้ 2 กลุม่ ดังน้ี
ตามทีโ่ จทย์ตอ้ งการ หรือสิ่งท่ีตนเอง
ตอ้ งการรู้

4. L (What we learned) คอู่ นั ดับกลมุ่ ที่ 1 ไดแ้ ก่ (1,3) , (1,4) , (1,5)
นักเรยี นสรุปสิง่ ทไี่ ดเ้ รียนรู้ คู่อันดับกลมุ่ ท่ี 2 ได้แก่ (2,3) , (2,4) , (2,5)
คำตอบ

AB = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

นน่ั คอื AB = {(a, b) aA และbB }

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ นั

ชุดที่ 1 คอู่ นั ดับและผลคูณคารท์ ีเซยี น หน้า  19

ตัวอย่างที่ 2 จงหา BA เมอื่ กำหนด A = {1, 3} และ B = {0, 2, 4, 6}
(ส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารด้านภาษาทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL ส่ิงทโี่ จทย์กำหนดให้
A = {1, 3} และ B = {0, 2, 4, 6}
1. K (What we know)
นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ สิง่ ท่โี จทย์ตอ้ งการทราบ
BA (ผลคูณคารท์ เี ซยี นของเซต B และเซต A)
2. W (What we want to know)
นักเรยี นหาสิ่งทีโ่ จทย์ต้องการทราบหรือ วิธีแกป้ ัญหา
สง่ิ ทน่ี กั เรียนตอ้ งการรู้ เขียนแผนภาพแสดงการจับค่จู ากสมาชกิ ของ
เซต B ไปยงั สมาชิกของเซต A โดยแยกเปน็ กล่มุ
3. D (What we do to find out) ได้ 4 กลมุ่ ดงั นี้
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพื่อหาคำตอบ
ตามท่ีโจทย์ตอ้ งการ หรือสิ่งที่ตนเอง B AB A
ต้องการรู้

คอู่ ันดับกลุ่มที่ 1 คือ (0, 1), (0, 3) A
คอู่ ันดับกลุ่มที่ 2 คอื (2, 1), (2, 3)

B AB

4. L (What we learned) คูอ่ ันดบั กลุ่มท่ี 3 คอื (4, 1), (4, 3)
นกั เรียนสรุปส่ิงทไ่ี ด้เรียนรู้ คู่อันดบั กลุม่ ที่ 4 คอื (6, 1), (6, 3)
คำตอบ

BA = {(0, 1), (0, 3), (2, 1), (2, 3), (4, 1),
(4, 3), (6, 1), (6, 3)}

นั่นคือ B A = {(b, a) bB และaA }

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 1 คอู่ นั ดับและผลคูณคาร์ทีเซยี น หนา้  20

ข้อสงั เกต จำนวนสมาชิกของผลคณู คารท์ ีเซยี น
ถา้ A มีจำนวนสมาชกิ n ตวั ; B มีจำนวนสมาชิก m ตัว
แล้ว AB มจี ำนวน สมาชกิ ทั้งหมดเท่ากับ nm
จะไดว้ ่า n(AB) = n(A)n(B) = nm

ตัวอยา่ งที่ 3 กำหนด A = {2, 4, 6} , B = {a, b} จงหา n (A B) , n(BA)

และ n(AA)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่อื สารด้านความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิ่งทโ่ี จทย์กำหนดให้
A = {2, 4, 6} , B = {a, b}
1. K (What we know)
นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ สิ่งที่โจทย์ตอ้ งการทราบ

2. W (What we want to know) n (A B) , n(BA) และ n(AA)
นักเรียนหาส่ิงท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบหรือ
ส่ิงทน่ี ักเรยี นตอ้ งการรู้ วธิ ีแก้ปัญหา

3. D (What we do to find out) n(AB) = n(A)n(B) = (3) (2) = 6
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพ่ือหาคำตอบ n(BA) = n(B)n(A) = (2) (3) = 6
ตามท่ีโจทยต์ อ้ งการ หรอื สง่ิ ท่ีตนเอง n(AA) = n(A)n(A) = (3) (3) = 9
ตอ้ งการรู้
คำตอบ
4. L (What we learned) n(A B) = 6
นกั เรียนสรุปสิง่ ท่ไี ดเ้ รียนรู้ n(BA) = 6
n(AA) = 9
ความรทู้ ไี่ ด้รับ

n(A B) = n(A)n(B)
n(BA) = n(B)n(A)

n(A B) = n(BA)

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความสัมพนั ธ์และฟังกช์ นั

ชุดที่ 1 คู่อนั ดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น หนา้  21

ใบกจิ กรรมที่ 1.2 ผลคณู คารท์ เี ซียน

1) จงหา AB เมอื่ กำหนด A = {1, 3} และ B = {0, 2, 4, 6} (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการส่ือสารด้านภาษาทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิง่ ทโี่ จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
.............................................................................
1. K (What we know)
นักเรียนรู้อะไรบ้างจากท่โี จทยก์ ำหนดให้

2. W (What we want to know) สง่ิ ท่ีโจทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)

นกั เรยี นหาสิ่งทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบหรอื .............................................................................
สิ่งทีน่ กั เรยี นต้องการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธีแก้ปญั หา (2 คะแนน)
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพือ่ หาคำตอบ .............................................................................

ตามทโ่ี จทยต์ อ้ งการ หรอื สิ่งที่ตนเอง .............................................................................
ต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นกั เรียนสรุปส่งิ ที่ไดเ้ รยี นรู้
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ทำไดห้ รือเปล่าครับ....
ไปทำโจทยข์ ้อท่ี 2 ตอ่ กนั เลย

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 1 คู่อนั ดับและผลคูณคารท์ ีเซียน หนา้  22

คำชแ้ี จง 2) กำหนด A = {a, b, c} , B = {1, 5} จงหา n (A B) , n(BA)

และ n(AA) (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการส่ือสารด้านความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิ่งทโี่ จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
.............................................................................
1. K (What we know)
นักเรียนรู้อะไรบ้างจากท่ีโจทยก์ ำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่ิงทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรียนหาส่ิงท่โี จทยต์ ้องการทราบหรือ
ส่ิงท่นี กั เรียนต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ ีแกป้ ัญหา (2 คะแนน)
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพือ่ หาคำตอบ
ตามทโ่ี จทย์ต้องการ หรอื สงิ่ ท่ีตนเอง .............................................................................
ต้องการรู้ .............................................................................

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรียนสรุปสิง่ ท่ีไดเ้ รียนรู้
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

เหน็ ไหมครบั วา่
ผลคูณคาร์ทีเซียน...ไม่ยากเลย
เพื่อความต่อเนือ่ งไปศึกษาใบความรทู้ ่ี 1.3 ต่อเลย

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ นั

ชุดท่ี 1 คู่อนั ดับและผลคูณคาร์ทีเซยี น หน้า  23

ทบทวนการดำเนนิ การของเซต

 ยเู นียน

บทนิยาม ยูเนยี นของเซต A และเซต B คอื เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชกิ ทอ่ี ยใู่ นเซต A

หรือเซต B หรอื เปน็ สมาชกิ ของทั้งสองเซต A ยูเนยี น B เขยี นแทนด้วย AB

นั่นคือ AB = xxA หรอื xB

ตวั อยา่ ง 1 กำหนด A = 1, 2, 3 , B = 3, 5 จะไดว้ า่

▪ สมาชิกของ A ได้แก่ 1, 2 และ 3

▪ สมาชิกของ B ไดแ้ ก่ 3, 5 A 35 B
▪ A และ B เปน็ เซตทีม่ สี มาชิกรว่ มกนั 1

ดังน้ัน AB = 1, 2, 3, 5 2

 อินเตอร์เซกชนั
บทนยิ าม อินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และเซต B คือเซตทปี่ ระกอบด้วยสมาชิกทอ่ี ยู่ใน
เซต A และ เซต B เซต A อนิ เตอร์เซกชนั กบั เซต B เขยี นแทนด้วย AB
นน่ั คอื AB = xxA และ xB
ตวั อย่างที่ 2 กำหนดให้ A = 2, 3, 5, 7, 11, B = 1, 3, 5, 7, 9, 11
และ C = 2, 4, 6, 8, 10 จะได้วา่
▪ AB = 3, 5, 7, 11
▪ AC = 2
▪ BC = 

ทบทวนการดำเนินการของเซต
เกย่ี วกับยูเนยี น และอนิ เตอรเ์ ซกชันกันแล้ว
ไปทบทวนคอมพลเี มนต์ และผลตา่ งกนั ต่อเลยครับ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชนั

ชดุ ที่ 1 คอู่ นั ดับและผลคณู คาร์ทีเซียน หนา้  24

คอมพลเี มนต์
บทนิยาม เมอ่ื กำหนดเซต A ทีม่ ี U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ เรยี กเซตซงึ่ ประกอบดว้ ยสมาชกิ ที่
เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่ใชส่ มาชิกของเซต A วา่ คอมพลีเมนตข์ องเซต A
คอมพลเี มนตข์ องเซต A เขยี นแทนดว้ ย A นน่ั คือ A = xxU และ xA
ตัวอย่างท่ี 3 กำหนด U = 0, 1, 2, 3, …, A = 1, 3, 5, 7, …,
B = 0, 2, 4, 6, … และ C = 1, 2, 3, 4, …
จะได้
▪ A = 0, 2, 4, 6, …
▪ B = 1, 3, 5, 7, …
▪ C = 0

ผลตา่ งระหว่างเซต
บทนยิ าม ถ้าเซต A และเซต B ตา่ งกเ็ ปน็ สบั เซตของเอกภพสมั พัทธ์เดยี วกัน จะหา
คอมพลเี มนตข์ องเซตหนงึ่ เทียบกบั อกี เซตหน่ึง ซง่ึ เรยี กวา่ ผลต่างระหว่างเซต ไดด้ งั น้ี
1. ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขยี นแทนดว้ ย A - B
2. ผลต่างระหวา่ งเซต B และเซต A เขียนแทนด้วย B – A

A - B = xxA และ xB
B - A = xxB และ xA

ตวั อย่างท่ี 4 กำหนดให้ U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
A = 2, 4, 6 , B = 1, 3, 5, 7, 9  และ C = 7, 8, 9 
จะได้ B – A = 1, 3, 5, 7, 9 

ทบทวนคอมพลเี มนต์ และผลตา่ งกันแล้ว
ไปเรยี นร้โู จทยป์ ัญหากันตอ่ เลยครับ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 1 ค่อู นั ดับและผลคณู คารท์ ีเซยี น หนา้  25

การวิเคราะหส์ มบัติของผลคณู คารท์ ีเซยี น ด้วยเทคนิค KWDL

ตัวอยา่ งท่ี 5 กำหนด A = {1, 2} , B = {2, 3} และ C = {3, 4}
จงแสดงว่า A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

(สง่ เสริมความสามารถในการสื่อสารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สง่ิ ทโี่ จทย์กำหนดให้
A = {1, 2}, B = {2, 3} และ
1. K (What we know) C = {3, 4}
นักเรยี นรู้อะไรบา้ งจากทีโ่ จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่งิ ทโี่ จทย์ต้องการทราบ
นกั เรยี นหาสง่ิ ที่โจทยต์ อ้ งการทราบหรอื
ส่งิ ท่ีนักเรยี นตอ้ งการรู้ A  (B  C) = (A  B)  (A  C) หรอื ไม่

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปัญหา
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพื่อหาคำตอบ 1. หา A  (B  C)
ตามท่โี จทยต์ อ้ งการ หรอื สงิ่ ที่ตนเอง
ตอ้ งการรู้ (B  C) = {2, 3, 4}
A  (B  C) = {1, 2}  {2, 3, 4}

= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2),
(2, 3), (2, 4)}

2. หา (A  B)  (A  C)
A  B = {1, 2}  {2, 3}
= {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
A  C = {1, 2}  {3, 4}
= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

(A  B)  (A  C) = {(1, 2), (1, 3), (2, 2),
(2, 3), (1, 4), (2, 4)}

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรียนสรปุ ส่งิ ทไี่ ด้เรียนรู้ A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 1 คอู่ ันดับและผลคูณคารท์ ีเซยี น หน้า  26

ตัวอยา่ งท่ี 6 กำหนด A = {1, 2} , B = {2, 3} และ C = {3, 4}

จงแสดงวา่ A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL ส่งิ ทโี่ จทย์กำหนดให้
A = {1, 2}, B = {2, 3} และ
1. K (What we know) C = {3, 4}
นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากทโี่ จทยก์ ำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่ิงที่โจทย์ต้องการทราบ
นักเรยี นหาสิ่งท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบหรือ
สง่ิ ที่นกั เรยี นตอ้ งการรู้ A  (B  C) = (A  B)  (A  C) หรือไม่

3. D (What we do to find out) วธิ ีแกป้ ญั หา
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หาคำตอบ 1. หา A  (B  C)
ตามทโี่ จทย์ต้องการ หรอื สิ่งท่ีตนเอง
ตอ้ งการรู้ (B  C) = {3}
A  (B  C) = {1, 2}  {3}

= {(1, 3), (2, 3)}
2. หา (A  B)  (A  C)

A  B = {1, 2}  {2, 3}
= {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}

A  C = {1, 2}  {3, 4}
= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

(A  B)  (A  C) = {(1, 3), (2, 3)}

4. L (What we learned) คำตอบ
นกั เรียนสรุปส่ิงทไี่ ด้เรียนรู้ A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 1 คู่อันดับและผลคูณคารท์ ีเซยี น หน้า  27

สมบัตขิ องผลคณู คาร์ทีเซยี น

กำหนด A , B , C , D เปน็ เซตจำกัดใด ๆ จะได้ว่า

1) ถา้ A เป็นเซตจำกดั และ B เป็นเซตจำกัด แล้ว A  B จะเป็นเซตจำกัดดว้ ย
2) ถ้า A เปน็ เซตอนันต์ หรอื B เป็นเซตอนันต์ แลว้ A  B จะเป็นเซตอนันตด์ ้วย
3) A  B =  กต็ ่อเมือ่ A =  หรอื B = 
4) A  B = B  A ก็ต่อเมื่อ A = B หรอื A =  หรือ B = 
5) n(A  B) = n(A)  n(B)
6) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
7) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
8) A  (B - C) = (A  B) - (A  C)
9) (A  B)  (C  D) = (A  C)  (B  D)
10) ถา้ A  B และ C  D แลว้ (A  C)  (B  D)

ระวังมากๆ ขอ้ ความต่อไปนีต้ อ้ งจำใหแ้ ม่นๆ อยา่ สบั สน
1) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
2) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)

เห็นไหมครบั วา่
สมบตั ิของผลคูณคารท์ เี ซียน

ไม่ยากเลย
เพอ่ื ความแมน่ ยำไป
ไปทำใบกจิ กรรมที่ 1.3 ต่อเลย

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชนั

ชุดที่ 1 คอู่ ันดับและผลคณู คารท์ ีเซียน หนา้  28

ใบกิจกรรมท่ี 1.3 สมบัติของผลคูณคารท์ เี ซียน

1) กำหนด A = {1, 2} , B = {2, 3} และ C = {3, 4}

จงแสดงว่า A  (B - C) = (A  B) - (A  C) (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิ่งทโี่ จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
.............................................................................
1. K (What we know)
นักเรยี นรอู้ ะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) สงิ่ ท่โี จทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
นักเรียนหาสิ่งที่โจทยต์ ้องการทราบหรอื
สิ่งทนี่ ักเรยี นต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปัญหา (2 คะแนน)
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพือ่ หาคำตอบ .............................................................................

ตามทโ่ี จทยต์ ้องการ หรอื สงิ่ ที่ตนเอง .............................................................................
ตอ้ งการรู้ .............................................................................

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรยี นสรุปสิ่งท่ีไดเ้ รียนรู้
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความสัมพนั ธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 1 คอู่ ันดับและผลคณู คารท์ ีเซยี น หนา้  29

คำชแี้ จง 2) กำหนด A = {1, 2} , B = {2, 3} และ C = {2, 3, 4}
จงแสดงว่า A  (B  C)  (A  B)  (A  C) (5 คะแนน)

(ส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารด้านการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งทโี่ จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากทโ่ี จทยก์ ำหนดให้ .............................................................................

2. W (What we want to know) สิ่งทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรียนหาส่ิงท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบหรือ
ส่ิงท่ีนักเรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปัญหา (2 คะแนน)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพือ่ หาคำตอบ .............................................................................

ตามท่โี จทยต์ อ้ งการ หรือสิ่งท่ีตนเอง .............................................................................
ต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นกั เรียนสรปุ ส่ิงทีไ่ ดเ้ รียนรู้
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

นักเรยี นทุกคนเก่งจรงิ ๆ
ขอปรบมือใหด้ งั ๆ ...
ไปทำแบบทดสอบหลังเรียน

กนั ต่อเลย

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพนั ธแ์ ละฟังกช์ นั

ชุดท่ี 1 คู่อนั ดับและผลคณู คาร์ทีเซียน หน้า  30

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 (ค31202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4
คำชี้แจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. คู่อันดับในข้อใดเท่ากนั

ก. (x, y) = (x 2 , y 2 ) ข. (5, 15) = (( 5 ) 2 , 4 2 -1)
ค. (-5, 3) = (-2+3, 3) ง. (-x , y) = (-x ,y)

2. ถ้า (2x , -x +1) = (y + 2, y) แล้ว x + 2y เท่ากบั ขอ้ ใด

ก. -2 ข. 2
ค. - 1 ง. 1

3. กำหนดให้ A = {1, 2}, B = {2, 3} และ C = {3, 4}
แลว้ เซต {(1, 2), (2, 2)} คอื ผลคูณคารท์ ีเซียนในขอ้ ใด

ก. (AB) – (AC) ข. A(BC)
ค. AB ง. AC

4. ถ้า A = { 0,1, 2, 3, ... , 99 }, B = { -15, -14, -13, ... ,5 } แลว้ n(AB) เท่ากบั ขอ้ ใด

ก. 1,500 ข. 1,550
ค. 2,100 ง. 1,250

5. ข้อใดตอ่ ไปน้ไี ม่ถกู ต้อง

ก. (A  B)  (C  D) = (A  C)  (B  D)
ข. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
ค. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
ง. A  (B - C) = (A  B) - (A  C)

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 1 คอู่ ันดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น หน้า  31

6. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

1. A  B = B  A ก็ต่อเมอ่ื A = B

2. A  B =  ก็ตอ่ เมื่อ A =  หรอื B = 
ขอ้ ใดต่อไปน้ี ถกู ตอ้ ง

ก. 1. ถกู และ 2. ถกู ข. 1. ถกู และ 2. ผดิ
ค. 1. ผิด และ 2. ถูก ง. 1. ผดิ และ 2. ผิด

7. ถา้ A={ 1 , 2 , 3 , ... , 25 } B={ 1 , 2 , 3, ... , 50 } แล้ว n(AB) เทา่ กับขอ้ ใด

ก. 1,500 ข. 1,550
ค. 1,200 ง. 1,250

8. คูอ่ นั ดับในข้อใดเท่ากัน ข. (5, 17) = (( 5 ) 2 , 4 2 +1)
ง. (c, d) = (c 2 , d 2 )
ก. (-x, y) = (y, -x)
ค. (4, 3) = (2+2, a)

9. กำหนด A = {4, 5, 6, 7}, B = {4, 6, 8}, C = {3, 6, 9}

1. (5, 9) เปน็ สมาชิกของ [(A-B)  C] หรือ A  (B-C)

2. (6, 6) เปน็ สมาชกิ ของ [(AB)  C] และ A  (BC)
ข้อใดตอ่ ไปน้ี ถูกตอ้ ง

ก. 1. ถูก และ 2. ถกู ข. 1. ถกู และ 2. ผดิ
ค. 1. ผิด และ 2. ถกู ง. 1. ผิด และ 2. ผิด

10. กำหนดให้ A = {-1, -2, -3}, B = {2, 4} และ C = {3, 5}
พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ขี ้อใดถูกต้อง

ก. BC = {(2, -2), (2, -3), (2, 4), (2, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5)}
ข. CA = {(3, -1), (3, -2), (3, -3), (5, -1), (5, -2), (5, -3), (5, 5)}
ค. AB = {(-1, 2), (-1, 4), (-2, 2), (-2, 4), (-3, 2), (-3, 4)}

ง. AC = {(-1, 3), (-1, 5), (-2, 3), (-2, 5), (-3, 3), (-3, 3), (-3, 5)}

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชนั

ชดุ ที่ 1 คอู่ ันดับและผลคณู คาร์ทีเซียน หน้า  32

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลงั เรยี น

ชอ่ื – นามสกุล ..................................................................... ชนั้ ................. เลขท่ี ...........

คำช้ีแจง จงทำเคร่ืองหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ขอ้ ท่ี 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ถา้ นักเรยี นทราบผลคะแนนแลว้
อยูใ่ นเกณฑ์ที่ไม่นา่ พอใจ

ลองกลบั ไปศกึ ษาเนอ้ื หาไดอ้ ีกนะครบั ...

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ความสัมพันธ์และฟังก์ชนั

ชุดท่ี 1 ค่อู ันดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น หน้า  33

แบบบันทกึ คะแนน

ชุดกิจกรรม ชดุ ที่ 1 เรอื่ ง การเขยี นคู่อนั ดับและผลคูณคารท์ เี ซยี น

ช่อื .............................................................เลขท.่ี ..........ช้ัน...........หอ้ ง........

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ ผลการประเมิน
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
10
ใบกิจกรรมท่ี 1.1 10
ใบกิจกรรมท่ี 1.2 10
ใบกิจกรรมท่ี 1.3 10
แบบทดสอบหลังเรียน 50

รวม

เกณฑ์การประเมิน ในแตล่ ะชดุ นกั เรยี นต้องทำใบกิจกรรม ใหไ้ ด้คะแนน

ไม่นอ้ ยกว่าร้อยละ 80 เชน่ ใบกิจกรรมทีม่ ี 10 คะแนน นกั เรียนตอ้ ง

ทำให้ได้ไมน่ อ้ ยกวา่ 8 คะแนนจึงจะถอื ว่า “ผ่านเกณฑ์”

“ผา่ นเกณฑ์” “ไมผ่ า่ นเกณฑ์”

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชนั

ชุดที่ 1 คู่อันดับและผลคณู คารท์ ีเซยี น หน้า  34

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยใบกจิ กรรม
และเฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชดุ ท่ี 1
ชุดที่ 2
แฟกทอเรียลและวิธีเรยี งสบั เปลยี่ น

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 1 คู่อนั ดับและผลคูณคารท์ ีเซียน หนา้  35

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ชดุ ที่ 1

ขอ้ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน ชุดท่ี 1

1. ง. (5, 15) = (( 5 ) 2 , 4 2 -1) ข้อ คำตอบ
2. ข. 1
3. ค. (AB) – (AC) 6. ข. 1. ถูก และ 2. ผดิ
7. ข. 1,250
4. ก. 2,100 8. ง. (5, 17) = (( 5 ) 2 , 4 2 +1)
5. ง. A  (BC) = (A  B)(A  C) 9. ก. 1. ถกู และ 2. ถูก
10. ก. AB = {(-1, 2), (-1, 4), (-2, 2),

(-2, 4), (-3, 2), (-3, 4)}

ถ้านกั เรยี นทราบผลคะแนนแล้ว

อยู่ในเกณฑ์ท่ไี มน่ า่ พอใจ
ไปศึกษาเนือ้ หาด้วยความตง้ั ใจนะครับ...

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 1 คูอ่ นั ดับและผลคูณคารท์ ีเซียน หนา้  36

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 1.1 คู่อันดับและการเทา่ กนั ของคูอ่ ันดบั

1) จงหาว่าคู่อนั ดับ (4, 9 ) และ ( 16 , 3) เท่ากันหรอื ไม่ (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสื่อสารด้านการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิง่ ทโ่ี จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากทโ่ี จทยก์ ำหนดให้
1. คอู่ นั ดับ (4, 9 )
2. คอู่ นั ดบั ( 16 , 3)

2. W (What we want to know) สิ่งทโี่ จทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นักเรยี นหาส่งิ ทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรือ
สิ่งท่ีนกั เรียนตอ้ งการรู้ 1. คู่อันดับ (4, 9 ) และ ( 16 , 3)
เทา่ กนั หรือไม่

3. D (What we do to find out) วิธีแกป้ ญั หา (1 คะแนน)
ประโยคสญั ลกั ษณ์
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพอื่ หาคำตอบ
ตามทีโ่ จทยต์ ้องการ หรอื สง่ิ ท่ีตนเอง 4 = 16 เท่ากัน
ตอ้ งการรู้ 9 = 3 เทา่ กนั

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรุปส่งิ ท่ไี ดเ้ รียนรู้
คูอ่ ันดับ (4, 9 ) และ ( 16 , 3) เท่ากัน
ความรู้ท่ไี ดร้ บั (1 คะแนน)

(a, b) = (c, d) กต็ ่อเมอื่ a = c และ b = d

ไมย่ ากเลยใชไ่ หม...
ไปดูเฉลยขอ้ ท่ี 2 กนั ต่อเลย

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความสมั พันธ์และฟังก์ชนั

ชุดที่ 1 คู่อันดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น หน้า  37

คำช้แี จง 2) จงหาคา่ x และ y ท่ที ำให้ (x + y, 3) = (0, 2x – y) (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงทโี่ จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรียนรูอ้ ะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้
(x + y, 3) = (0, 2x – y)
2. W (What we want to know)
นกั เรียนหาสิ่งทีโ่ จทยต์ ้องการทราบหรือ สง่ิ ทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบ (1 คะแนน)
สิ่งท่ีนักเรยี นต้องการรู้
คา่ x และ y ทท่ี ำให้
3. D (What we do to find out) (x + y, 3) = (0, 2x – y)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพ่อื หาคำตอบ
ตามท่ีโจทย์ต้องการ หรือส่งิ ที่ตนเอง วิธีแก้ปญั หา (2 คะแนน)
ต้องการรู้
x + y = 0 ………..(1)
2x–y = 3 ………..(2)
(1)+(2) ; x+y+2x–y = 0+3

3x = 3

x= 3 =1

3

แทนค่า x = 1 ในสมการ (1) จะได้
1+y= 0
y =0–1
y = –1

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรยี นสรุปสิง่ ทีไ่ ด้เรียนรู้ x = 1 และ y = –1

ความรทู้ ี่ได้รบั
(a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เมอื่ a = c และ b = d

ค่อู นั ดับและการเทา่ กนั ของค่อู นั ดับ
ก็งา่ ยนะเนยี่ ...นักเรยี นเก่งมากๆ

ชุดกิจกรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสัมพนั ธ์และฟังกช์ นั

ชุดท่ี 1 คอู่ นั ดับและผลคณู คารท์ ีเซยี น หนา้  38

เฉลยใบกิจกรรมที่ 1.2 ผลคณู คาร์ทเี ซียน

1) จงหา AB เม่อื กำหนด A = {1, 3} และ B = {0, 2, 4, 6} (5 คะแนน)
( ส่งเสรมิ ความสามารถในการสื่อสารดา้ นภาษาทางคณิตศาสตร์ )

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ทโี่ จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรยี นรู้อะไรบ้างจากท่ีโจทยก์ ำหนดให้ A = {1, 3} และ B = {0, 2, 4, 6}

2. W (What we want to know) ส่งิ ท่ีโจทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรียนหาสงิ่ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการทราบหรอื AB (ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B)
สิ่งทีน่ ักเรียนต้องการรู้
วธิ ีแก้ปัญหา (2 คะแนน)
3. D (What we do to find out) เขยี นแผนภาพแสดงการจับค่จู ากสมาชิกของ
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพื่อหาคำตอบ เซต A ไปยังสมาชิกของเซต B โดยแยกเปน็ กลุ่ม
ตามทีโ่ จทย์ต้องการ หรือส่ิงท่ีตนเอง ได้ 2 กลุ่ม ดังนี้
ตอ้ งการรู้

1 0 1 0
3 2 3 2
4 4
66

คอู่ นั ดบั กลุ่มที่ 1 คือ (1, 0), (1, 2), (1, 4), (1, 6)
คูอ่ นั ดบั กลมุ่ ท่ี 2 คอื (3, 0), (3, 2), (3, 4), (3, 6)

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรุปส่งิ ท่ไี ด้เรยี นรู้
AB = {(1, 0), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 0),
(3, 2), (3, 4), (3, 6)}
ความรทู้ ไ่ี ดร้ ับ

AB = {(a, b) aA และbB }

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพนั ธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 1 คู่อันดับและผลคณู คาร์ทีเซียน หน้า  39

2) กำหนด A = {a, b, c} , B = {1, 5} จงหา n(A B) , n(BA)

และ n(AA) (5 คะแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสือ่ สารดา้ นความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงทโ่ี จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรยี นรูอ้ ะไรบา้ งจากท่ีโจทยก์ ำหนดให้ A = {a, b, c} , B = {1, 5}

2. W (What we want to know) ส่งิ ที่โจทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นักเรียนหาสง่ิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบหรือ n (A B) , n(BA) และ n(AA)
สงิ่ ท่ีนักเรยี นต้องการรู้
วธิ แี กป้ ญั หา (2 คะแนน)
3. D (What we do to find out)
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพ่อื หาคำตอบ n(AB) = n(A)n(B) = (3) (2) = 6
ตามทโี่ จทย์ต้องการ หรือสง่ิ ท่ีตนเอง n(BA) = n(B)n(A) = (2) (3) = 6
ต้องการรู้ n(AA) = n(A)n(A) = (3) (3) = 9

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรยี นสรุปสง่ิ ท่ไี ด้เรียนรู้
n(A B) = 6
n(BA) = 6
n(AA) = 9
ความรทู้ ไี่ ด้รับ

n(AB) = n(A)n(B)
n(BA) = n(B)n(A)

n(A B) = n(BA)

ผลคณู คารท์ เี ซียน
ก็งา่ ยนะเนยี่ ...นักเรียนเก่งมากๆ

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 1 คู่อนั ดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น หนา้  40

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 1.3 สมบตั ิของผลคณู คารท์ ีเซยี น

1) กำหนด A = {1, 2} , B = {2, 3} และ C = {3, 4}

จงแสดงวา่ A  (B - C) = (A  B) - (A  C) (5 คะแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสื่อสารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ทโ่ี จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ A = {1, 2} , B = {2, 3} และ
C = {3, 4}

2. W (What we want to know) สิ่งทีโ่ จทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรียนหาสง่ิ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบหรือ A  (B - C) = (A  B) - (A  C) หรอื ไม่
ส่งิ ที่นกั เรยี นตอ้ งการรู้
วธิ ีแกป้ ัญหา (2 คะแนน)
3. D (What we do to find out) 1. หา A  (B - C)
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบ
ตามทีโ่ จทย์ต้องการ หรอื สง่ิ ท่ีตนเอง (B - C) = {2}
ต้องการรู้ A  (B - C) = {1, 2}  {2}

= {(1, 2), (2, 2)}

2. หา (A  B) - (A  C)

A  B = {1, 2}  {2, 3}
= {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}

A  C = {1, 2}  {3, 4}
= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

(A  B) - (A  C) = {(1, 2), (2, 2)}

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรปุ ส่ิงที่ได้เรียนรู้ A  (B - C) = (A  B) - (A  C)

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั

ชุดที่ 1 คู่อันดับและผลคณู คารท์ ีเซียน หน้า  41

คำชแ้ี จง 2) กำหนด A = {1, 2} , B = {2, 3} และ C = {2, 3, 4}

จงแสดงว่า A  (B  C)  (A  B)  (A  C) (5 คะแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสื่อสารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ทโี่ จทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
นกั เรียนรอู้ ะไรบ้างจากท่โี จทย์กำหนดให้ A = {1, 2} , B = {2, 3} และ
C = {2, 3, 4}

2. W (What we want to know) สิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรียนหาสิ่งที่โจทยต์ อ้ งการทราบหรือ A  (B  C)  (A  B)  (A  C) หรือไม่
สิ่งที่นกั เรยี นต้องการรู้
วิธีแก้ปัญหา (2 คะแนน)
3. D (What we do to find out) 1. หา A  (B  C)
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบ
ตามท่ีโจทยต์ ้องการ หรอื ส่ิงท่ีตนเอง B  C = {2, 3}  {3, 4}
ต้องการรู้ = {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

A  (B  C) = 

2. หา (A  B)  (A  C)

A  B = {1, 2}  {2, 3}
= {2}

A  C = {1, 2}  {2, 3, 4}
= {2}

(A  B)  (A  C) = {2}  {2}
= {(2, 2)}

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรียนสรุปส่ิงท่ีไดเ้ รยี นรู้ A  (B  C)  (A  B)  (A  C)

ถ้าศกึ ษาเนือ้ หาด้วยความตงั้ ใจ
ผลคะแนนก็จะอยใู่ นเกณฑ์ทพ่ี อใจ

ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชนั

ชุดท่ี 1 คูอ่ นั ดับและผลคูณคาร์ทีเซียน หนา้  42

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น ชดุ ที่ 1

ข้อ คำตอบ เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน ชุดท่ี 1

1. ข. (5, 15) = (( 5 ) 2 , 4 2 -1) ขอ้ คำตอบ
2. ง. 1
3. ก. (AB) – (AC) 6. ค. 1. ผิด และ 2. ถูก
7. ง. 1,250
4. ค. 2,100 8. ข. (5, 17) = (( 5 ) 2 , 4 2 +1)
5. ข. A (BC) = (AB)  (AC) 9. ก. 1. ถกู และ 2. ถูก
10. ค. AB = {(-1, 2), (-1, 4), (-2, 2),

(-2, 4), (-3, 2), (-3, 4)}

ถ้านักเรียนทราบผลคะแนนแล้ว
อยู่ในเกณฑ์ทไี่ มน่ ่าพอใจ

ไปศึกษาเนอ้ื หาดว้ ยความต้ังใจนะครับ...

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความสมั พันธ์และฟังกช์ นั

ชุดที่ 1 คูอ่ นั ดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น หน้า  43

กระทรวงศึกษาธกิ าร. (2551). หลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พื้นฐานพุทธศักราช 2551.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพร้าว.

กมล เอกไทยเจรญิ . (2555). Advanced Series คณิตศาสตร์ ม.4 – 6 เล่ม 2 (การใหเ้ หตผุ ล-
ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน). กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลชิ ชิ่ง.

กวยิ า เนาวประทีป. (2548). เทคนิคการเรยี นคณิตศาสตร์ : ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ นั . กรุงเทพฯ :
ฟิสกิ สเ์ ซน็ เตอร์.

จกั รินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. (2553). คมั ภีรค์ ณิตศาสตร์ O – NET ม. 4 -5-6 กรงุ เทพฯ : บรษิ ัท
สำนกั พิมพ์ พ.ศ. พัฒนา จำกดั .

_______. (2554). Mini คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 – 6 เล่ม 2 ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษา
ขนั้ พน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ : บรษิ ัท สำนกั พิมพ์ พ.ศ.พฒั นา จำกดั .

พัชรี ปญั ชะนะ. (2554). การสร้างชดุ กิจกรรมเพือ่ พฒั นาการคิดวเิ คราะหโ์ จทย์ปญั หาการบวก
ลบ คณู หารระคน ดว้ ยวิธกี ารเรยี นร้แู บบแบง่ กล่มุ ผลสมั ฤทธิ์ (STAD) รว่ มกับเทคนคิ
KWDL สำหรับนกั เรียนชนั้ ประถมศกึ ษาปที ี่ 3. วทิ ยานิพนธ์ ค.ม. อุตรดติ ถ์ : มหาวทิ ยาลยั
ราชภฏั อตุ รดติ ถ.์

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2553). คูม่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน
คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4-6 กรงุ เทพฯ : โรงพิมพส์ กสค.ลาดพร้าว.

_______. (2558). หนังสอื เรยี นรายวิชาพนื้ ฐาน คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4-6.
พมิ พ์ครงั้ ที่ 8. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.ลาดพร้าว.

_______. (2560). คมู่ อื การใชห้ ลักสูตร กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ 2560)
ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. (ออนไลน)์ .
แหล่งทม่ี า : https://www.scimath.org/. [19 ตุลาคม 2561]

_______. (2561). คู่มือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 4. (ออนไลน)์ .
แหลง่ ทมี่ า : https://www.scimath.org/ebook-mathematics/item/9119-4-2-9119
[19 ตลุ าคม 2561]

_______. (2561). หนังสือเรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 .
พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์แหง่ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย.

Krongthong Khairiree and Tran Vui. (2014). Textbook Discovering Mathematics 4.
Bangkok : PADA Education.

Randall I. Charles and others. (2010). Prentice Hall Mathematics Course 3.
The United State of America : Pearson Education.

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ นั

ชุดที่ 1 ค่อู นั ดับและผลคณู คารท์ ีเซยี น หนา้  44

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ ชดุ ท่ี 1 เรื่อง การเขยี นค่อู ันดบั และผลคูณคาร์ทีเซียน
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 รหัสวิชา ค31202 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 3 ช่ัวโมง ประกอบด้วย
เนื้อหา ดังน้ี

1.1) คอู่ ันดบั และการเทา่ กันของคู่อันดับ (1 ชัว่ โมง)
1.2) ผลคณู คารท์ เี ซียน (1 ช่วั โมง)
1.3) สมบัติของผลคูณคาร์ทเี ซียน (1 ชวั่ โมง)
ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนคู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
ประกอบด้วยคำชี้แจงสำหรับครู คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้
ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้เพ่ิมเติม จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้
ใบกิจกรรม ที่มีแนวทางการหาคำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวก
ซง่ึ ประกอบด้วยเฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึก
คะแนนและเกณฑ์การประเมนิ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชัน