BAB III BENTUK ALJABAR Kompetensi Inti 1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleransi, gotong –royong), santun, percaya diri dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan social dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. 3. Memahami pengetahuan (factual,konseptual, dan procedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. 4. Mencoba, mengolah dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi dan membuat) dan ranah abstark (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang / teori. Kompetensi Dasar 3.6 Mampu menjelaskan bentuk aljabar dan unsure – unsurnya menggunakan masalah kontekstual. 3.7 menjelaskan dan melakukan operasi pada bentuk aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian). 4.6 menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk aljabar. 4.7 menyelesaikan masalah yang berkaitan drngan operasi pada bentuk aljabar.
A. MENGENAL BENTUK ALJABAR a. Variabel, Koefisien dan Konstanta Perhatikan bentuk aljabar berikut : 5x + 3y + 8x – 6y + 9 Pada bentuk aljabar tersebut : • x dan y disebut dengan variabel. Variabel adalah lambangpengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas.Variabel disebut juga dengan peubah, biasanya ditulis dengan huruf kecil a, b, c,…, z • Angka 5 dan 8 adalah koefisien x, 3 dan –6 koefisien y Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. • Sedangkan 9 adalah konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. b. Suku Sejenis dan Suku Tidak sejenis • Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang • Sukusejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama Contoh :5x dan –2x, 3a2 dan a2 , y dan 4y • Suku tidak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama Contoh : 2x dan 3x2 , –y dan –y 3 , 5x dan –2y • Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atauselisih Contoh : 3x, 2a2, –4xy • Suku dua (binom) adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih Contoh :2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x • Suku tiga (trinom) adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih Contoh :2x2 – x + 1, 3x + y – xy • Suku banyak (polinom) adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh lebih dari dua operasi jumlah atau selisih Contoh :5x2 + 3y3 + 8x – 6y + 9 1. Pak Tohir memiliki dua jenis hewan ternak, yaitu sapi dan ayam. Banyaknya sapi dan ayam yang dimilik Pak Tohir secara berturut – turut adalah 27 sapi dan 1500 ayam. Seluruh sapi dan ayam tersebut akan dijual kepada seorang pedagang ternak. Jika harga satu sapi dinyatakan dengan A c o n t
x rupiah dan harga satu ayam dinyatakan dengan y rupiah, tuliskan bentuk aljabar harga hewan ternak Pak Tohir. Jawab : harga hewan ternak = harga sapi + harga ayam = 27. x + 1500.y = 27x + 1500y 2. Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut : a. 4x + 9 – 5x – 2 b. 2x + 3y + 4x – 5y c. 9a2 + 3ab – 7b2 – 12a2 + 6ab + 2b2 Jawab : a. 4x + 9 – 5x – 2 = 4x – 5x + 9 – 2 = (4 – 5)x + 7 = –1x + 7 –1x selanjutnya boleh hanya ditulis –x, demikian juga 1x boleh hanya ditulis x. Jadi, bentuk sederhana dari 4x + 9 – 5x – 2 adalah –x + 7 b. 2x + 3y + 4x – 5y = (2x + 4x) + (3y – 5y) = (2 + 4)x + (3 – 5)y = 6x – 2y c. 9a2 + 3ab – 7b2 – 12a2 + 6ab + 2b2 = (9a2 – 12a2 ) + (3ab + 6ab) + (–7b2 + 2b2 ) = (9 – 12)a2 + (3 + 6)ab + (-7 + 2)b2 = –3a2 + 9ab – 5b2 1. Pak deni memiliki tiga gelondong kain untuk keperluan menjahit baju seragam pesanan MTs N 4 Boyolali. Setelah semua seragam berhasil dijahit, ternyata kain masih tersisa 4 meter. Nyatakan bentuk aljabar kain yang digunakan untuk menjahit. 2. Gunakan variabel x dan y untuk menuliskan bentuk aljabar dari setiap kalimat berikut. a. Aku adalah suatu bilangan. Jika aku dikalikan 2 kemudian dikurangi 6 akan menghasilkan 7. b. Ukuran panjang persegi panjang 8cm lebih dari lebarnya. c. Dua belas merupakan keliling dari persegi. d. Umur Pak Iwan tiga kali umurnya Udin, sedangkan 10 tahun yang akan datang jumlah umur mereka adalah 72 tahun 3. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut a. 5x – 3y –1 c. –2y2 + 3y – 2x + 6 b. – x +5 d. x 2 + y2 + x –2y + 8 4. Tentukan suku, variabel, koefisien, dan konstanta dari bentuk – bentuk aljabar berikut. a. 9x c. 2s2 + 3a + 4a3 + 5t4 – 7 b. 3x2 + 6y + 2 5. Sederhanakan bentuk – bentuk aljabar berikut. a. 9 + 4x – 1 c. 7 – 2x – x + 5 b. 4x – 8x + 12 d. 3x2 + 3y2 – 5xy + 2x2 – 5y2 + 6xy
MEMAHAMI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK ALJABAR 1. Penjumlahan Bentuk Aljabar Penjumlahan merupakan pengerjaan hitung untuk menyederhanakan suku dua atau suku banyak yang memuat suku-suku sejenis. Sifat-sifat pada operasi penjumlahan : • Sifat komutatif (pertukaran tempat) : a + b = b + a • Sifat asosiatif (pengelompokan) : a + (b + c) = (a+b) + c • Sifat distributif (penyebaran) : ab + ac = a(b+c) = (b+c)a 2. Pengurangan Bentuk Aljabar Pengurangan adalah pengerjaan hitung kebalikan dari penjumlahan sehingga suku-suku sejenis, suku dua, dan suku banyak dapat dikurangkan. Sifat – sifat pada operasi pengurangan aljabar : Sifat komutatif (pertukaran tempat) : a – b = a + (–b) Sifat distributif (penyebaran) : ab – ac = a(b – c) Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis. 1. Tentukan penjumlahan 10x + 3y oleh – 12x – 4y Jawab :10x + 3y + (– 12x – 4y)= 10x + 3y – 12x – 4y = 10x – 12x + 3y – 4y = –2x – y 2. Tentukan hasil penjumlahan 5x2 + 6x – 10 dengan – 2x2 – 7x + 6 Jawab:(5x2 + 6x – 10) + (– 2x2 – 7x + 6)= 5x2 + 6x – 10 – 2x2 – 7x + 6 = 5x2 – 2x2 + 6x – 7x – 10 + 6 = 3x2 – x – 4 3. Kurangkan 3x + 4y dengan 5x – 6y. Jawab : (3x + 4y) – (5x – 6y) = 3x + 4y – 5x + 6y = 3x – 5x 4. Tentukan hasil pengurangan 3y2 + 4y – 7 dari 3(4y2 – 3y + 5) Jawab:3(4y2 – 3y + 5) – (3y2 + 4y – 7)= 12y2–9y +15 – 3y2 – 4y + 7 = 12y2 – 3y2 –9y– 4y+ 15 + 7 = 9y2 –13y + 22 1. Tentukan hasil penjumlahan bentuk aljabar berikut. a. (13a – 8b) + (21a + 9b) c. (3x – 17y + 35z) + (4x + 23y – 9z) b. (15i – 14j + 13k) + (–30i – 45j + 51k) d. –2(p 3 – 2pq + q 2 ) + 3(p 3 + 4pq –q 2 ) 2. Tentukan jumlah dari: a. a 2 + 8a dan –a 2 – 6a c. –x 2 + 5xy dan 4x2 – 4xy B
b. 5x –2xy + 6y dan –4x + 3xy –5y d. 2(4a2 – 5a) dan 4 (3a2 + 2a) 3. Kurangkanlah! a. 2a – 5 dan 8a + 4 c. 4a2 + 2a –7 dan a2 + 3a + 2 b. b. 8x2 + 7y dan 10x2 – y d. 2( 2p2 + pq) dan 5(p2 + 2pq) 4. Tentukan hasil pengurangan bentuk aljabar berikut. a. (42n + 35m + 7) – (–50m – 20n + 9) c. (2y + 15z) – (4y – 8) b. (5x + 3) – (x – 1) d. 5(x – 2y) – 3(2x – y) 5. Sebuah segitiga memiki ukuran panjang sisi terpendek (2x – 5)cm dan panjang sisi terpanjang (3x + 6)cm. Jika panjang sisi sisanya (x + 6)cm, maka tentukan keliling segitiga tersebut. MEMAHAMI PERKALIAN BENTUK ALJABAR Untuk lebih memahami tentang perkalian bentuk aljabar, amati perkalian bentuk – bentuk aljabar pada tabel berikut. No. A B A x B Keterangan 1 5 y + 10 5y + 50 (5 x y) + (5 x 10) = 5x + 50 2 7 y – 3 7y – 21 (7 x y) + (7 x (-3)) = 7y – 21 3 y + 10 y + 3 y 2 + 13y + 30 (y x y) + (y x 3) + (10 x y) + (10 x 3) = y2 + 3y + 10y + 30 = y2 + 13y + 30 4 y – 2 y + 7 y 2 + 5y – 14 (y x y) + (y x 7) + ((-2) x y) + ((-2) x 7) = y2 + 7y – 2y – 14 = y2 + 5y – 14 5 y 2 + 4y 3y – 7 3y3 + 5y2 – 28y (y2 x 3y) + (y2 x (-7)) + (4y x 3y) + (4y x (-7)) = 3y3 – 7y2 + 12y2 – 28y = 3y3 + 5y2 – 28y 6 (x + a) (x + b) …….. ………. Secara umum hasil perkalian bentuk aljabar (x + a) (x + b) mengikuti proses berikut Sifat – sifat pada operasi perkalian : • Sifat komutatif (pertukaran tempat) : a x b = b x a • Sifat asosiatif (pengelompokan) : a x (b x c) = (a x b) x c • Sifat distributif (penyebaran) : a x (b+c) = (a x b) + (a x c) Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut! 1.5a (3a – 2b) 2.(2x + 2y) (3x – y) Jawab : 1. 5a(3a – 2b) = (5a x 3a) + (– 5a x 2b) = 15a2 – 10ab 2. (2x + 2y) (3x – y) = (2x . 3x) + (2x . (-y)) + (2y . 3x) + (2y . (-y)) = 6x2 + 4xy – 2y2 Tentukan nilai r pada persamaan bentuk aljabar
(2x + 3y)(px +qy) = rx2 + 23xy + 12y2 1. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut. a. 9(x + 4) d. (2x + 3) (x – 4) b. –3(a – 2b) e. (a + 3b) (a – 5b) c. 5(3x + 2y) f. (5m – 1) (2m + 4) 2. Tentukan nilai r pada persamaan bentuk aljabar (2x + 3y)(px +qy) = rx2 + 23xy + 12y2 MEMAHAMI PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR Untuk lebih memahami tentang pembagian bentuk aljabar, amati pembagian bentuk – bentuk aljabar pada tabel berikut. Langkah – langkah Pembagian Bentuk aljabar Hasil bagi x2 + 5x – 300 oleh x + 20 Keterangan Berikut alternatif penyelesaiannya yang disajikan dalam bentuk pembagian bersusun yang disajikan langkah demi langkah. Langkah 1 20 5 300 2 x + x + x − x 2 + 5x – 300 dibagi (x + 20) Langkah 2 x x 20 x 5x 300 2 + + − x 2 dibagi x sama dengan x Langkah 3 x x x x x x 20 20 5 300 2 2 + + + − x kali x sama dengan x2 x kali 20 sama dengan 20x Langkah 4 x x x x x x 20 20 5 300 2 2 + + + − –15x– 300 x 2 dikurangi x2 sama dengan 0 5x dikurangi 20x sama dengan –15x –300 dikurangi 0 sama dengan –300 Langkah 5 x x x x x x 20 15 20 5 300 2 2 + − + + − –15x– 300 –15x dibagi x sama dengan –15 Langkah 6 x x x x x x 20 15 20 5 300 2 2 + − + + − –15x– 300 –15x– 300 –15 dikali x sama dengan –15x –15 dikali 20 sama dengan –300 D
Langkah 7 x x x x x x 20 15 20 5 300 2 2 + − + + − –15x– 300 –15x– 300 0 –15x dikurangi –15x sama dengan 0 –300 dikurangi –300 sama dengan 0 Jadi hasil bagi dari x2 + 5x – 300 oleh x + 20 adalah x – 15 Tentukan pembagian bentuk aljabar berikut. 1. 6x2 + 12x oleh 3x 2. 2x2 + 9x – 5 oleh x + 5 3. 2x2 – 5x – 10 oleh (2x + 1) Jawab : 1. 6x2 + 12x oleh 3x 2 2 6 2 4 3 6 12 x x x x x + + 12x 12x 0 Jadi hasil bagi dari 6x2 + 12x oleh 3x adalah 2x + 4 2. 2x2 + 9x – 5 oleh x + 5 x x x x x x 2 10 2 1 5 2 9 5 2 2 + − + + − –x – 5 –x – 5 0 Jadi hasil bagi dari 2x2 + 9x – 5 oleh x + 5 adalah 2x – 1 2. 2x2 – 5x – 10 oleh (2x + 1) x x x x x x + − + − − 2 2 2 3 2 1 2 5 10 –6x – 10 –6x – 3 –7 Jadi hasil bagi dari 2x2 – 5x – 10 oleh (2x + 1) adalah x – 3 1. Tentukan hasil bagi : a. 8x2 + 4x – 16 oleh 4 c. x 3 + 7x2 – 14x – 40 oleh 2x – 5 b. x 2 + 5x + 6 oleh x + 2 d. 12x3 + 4x2 oleh 2x2 c. 2x2 – x – 10 oleh x + 2 2. Tentukan hasil bagi 4x + 6 oleh 2x + 8 3. Bentuk aljabar x2 – 4x – 60 jika dibagi suatu bentuk aljabar hasilnya adalaha x – 10. Tentukan bentuk aljabar pembagi tersebut.
4. Tentukan bentuk aljabar yang bila dibagi x + 2 hasilnya adalah 2x – 6. 5. Suatu bentuk aljabar memiliki tiga faktor yaitu, x + 3, x – 6, dan 2x + 7. Tentukan bentuk aljabar tersebut jika dibagi 6 – x. MENYEDERHANAKAN PECAHAN BENTUK ALJABAR 1. Menyederhanakan pecahan aljabar Menyederhanakan Pecahan Aljabar adalah mengubah bentuk pecahan agar pembilang dan penyebutnya hanya memiliki faktor persekutuan 1 (satu) saja. Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut. 1. x x 63 35 2 2. 3 3 2 18 54 pq p q r 3. a a a 5 5 15 2 + Jawab : 1. x x 63 35 2 = x x 2 . 63 35 = x 9 5 2. 3 3 2 18 54 pq p q r = 18 1 54 3 3 2 r q q p p = )( ) 1 (3)( )( 2 r q p = q p r 2 3 3. a a a 5 5 15 2 + = a a a a 5 15 5 5 2 + = + a a a a 5 15 5 5 2 = (1).(a) + (3).(1) = a + 3 2. Sifat – sifat Operasi Pecahan Bentuk Aljabar a. Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar (i) bd ad bc d c b a + + = (ii) bd ad bc d c b a − − = , dengan b ≠ 0, d ≠ 0 Sederhanakanlah pecahan aljabar berikut. 1. x 4x 1 3 2 + 2. 2 3 3 4 1 3 2 a a a + − E
Jawab : 1. x x x x 12x 11 12 3 12 8 4 1 3 2 + = + = 2. 3 2 3 3 3 2 2 3 12 8 3 36 12 36 12 3 12 3 8 4 1 3 2 a a a a a a a a a a a + − + − = + − = b. Perkalian dan penbagian pecahan aljabar (i) bxd axc d c x b a = , dengan b ≠ 0, d ≠ 0 (ii) bxc axd c d x b a d c b a : = = Sederhanakanlah pecahan aljabar berikut. 1. b a 5 2 x 4 3 2. 15 6 : 5 2y2 y Jawab : 1. b a x b ax b x a 20 6 4 5 3 2 5 2 4 3 = = 2. 15 6 : 5 2 2 y y = y x y 6 15 5 2 2 = y y y = 3 3 2 Sederhanakanlah bentuk – bentuk aljabar berikut 1. x y x y 2 5 2 28 6. 3 8 2 p q × 2 pq 15 2. x x x 9 18 54 2 + 7. 2 3 2 y x × 2 6 x y 3. x y y x y x − + + 8. ac b c ab : 2 4. x x a 2 4 3 4 − 9. 6 18 : 3 2 3 xy z x y 5. ( 2) 3 ( 3) 2 − − x + x 10. x y y x x y x y + + + 2 2