ความน่าจะเป็น 1
แบบฝึกทักษะ
เรื่อง ความน่าจะเป็น (Probability)
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
โรงเรียนนวัตกรรมเข็มศาสตร์นุสรณ์ องค์การบริหารส่วนจังหวัดชัยภูมิ
ความน่าจะเป็น 2
ความน่าจะเป็น
การทดลองสุ่มและเหตุการณ์
การทดลองสุ่ม (random experiment) คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง
ั
แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลพธ์ที่อาจ
เป็นได้เหล่านั้น เช่น ในการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง แต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าอาจจะเป็น 1, 2, 3, 4,
5 หรือ 6 แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่า แต้มที่ได้จะเป็นแต้มใด เรียกการทอดลูกเต๋าดังกล่าวว่า
การทดลองสุ่ม และเรียกเซตของแต้มที่ปรากฏบนหน้าลูกเต๋าที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่า ปริภูมิตัวอย่าง หรือ
แซมเปิลสเปซ (sample space)
ปริภูมิตัวอย่างหรือแซมเปิลสเปซ (sample space) คือเซตที่มีสมาชิกเป็น
ผลลพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม แทนด้วย S
ั
ตัวอย่างที่ 1 หาปริภูมิตัวอย่างของการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง เมื่อสนใจแต้มที่ปรากฏ
วิธีทำ การทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้งเป็นการทดลองสุ่ม เนื่องจากสามารถบอกได้ว่าผลลพธ์ที่อาจจะ
ั
เกิดขึ้นคือ แต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แต่บอกไม่ได้แน่นอนว่า เมื่อทอดลูกเต๋าแล้วจะได้แต้มใด
ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มนี้
จะได้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ตัวอย่างที่ 2 เขียนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) การแข่งขันระหว่างทีมฟุตบอล ก กับทีมฟุตบอล ข โดยสนใจผลการแข่งขันของทีม ก
2) การโยนเหรียญหนึ่งเหรียญสี่ครั้ง โดยสนใจจำนวนครั้งที่เหรียญจะขึ้นหัว
3) การผลิตหลอดไฟ 1,000 หลอด ใน 24 ชั่วโมง โดยสนใจจำนวนหลอดไฟที่เสียเมื่อผลิตครบ 24 ชั่วโมง
4) การหยิบลูกปิงปองหนึ่งลูกออกจากถุงซึ่งบรรจุลูกปิงปองสีขาวและสีส้ม โดยสนใจว่าได้ลูกปิงปองสีใด
วิธีทำ ให้ S , S , S และ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มข้อ 1), 2), 3) และ 4) ตามลำดับ
1
4
3
2
้
1) การแข่งขันฟุตบอล ผลการแข่งขันของทีม ก เป็นได้ 3 แบบ คือ ชนะ แพ หรือเสมอ
ดังนั้น S = {ชนะ, แพ้, เสมอ}
1
2) การโยนเหรียญหนึ่งเหรียญสี่ครั้ง จำนวนครั้งที่เหรียญจะขึ้นหัวอาจจะเป็น 0, 1, 2, 3 หรือ 4 ครั้ง
ดังนั้น S = {1, 2, 3, 4}
2
3) จำนวนหลอดไฟเสียที่ผลิตได้ ใน 24 ชั่วโมง อาจไม่มีหลอดไฟเสียหรือมีจำนวน 1, 2, 3, ... , 1000 หลอด
ดังนั้น S = {0, 1, 2, … , 1000}
3
4) การหยิบลูกปิงปองในถุง เป็นไปได้คือ สีขาว และสีส้ม
ี
ดังนั้น S = {สีขาว, สส้ม}
4
ตัวอย่างที่ 3 เขียนปริภูมิตัวอย่างของการการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง โดยสนใจแต้มหน้าลูกเต๋า
วิธีทำ ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง
จะได้ S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3),
(5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
ความน่าจะเป็น 3
ตัวอย่างที่ 4 การแข่งขัน 2 นัดของทีมวอลเลย์บอลไทย โดยสนใจผลการแข่งขัน
้
ให้ ช แทน ชนะ พ แทน แพ
S = {ชช, ชญ, ญช, ญญ}
แบบฝึกหัด 1 ปริภูมิตัวอย่าง (S)
1. เขียนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มในแต่ละข้อต่อไปนี้
้
1) การหยิบลูกอม 1 เม็ด จากถุงซึ่งบรรจุลูกอม รสสม รสองุ่น รสมะนาว และรสกาแฟ โดยสนใจ
ว่าได้ลูกอมรสใด
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
2) ภาคภูมิทำข้อสอบแบบถูกผิด 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน โดยสนใจคะแนนสอบของภาคภูมิ
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
3) การทอดลูกเต๋าสามลูกหนึ่งครั้ง โดยสนใจผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสาม
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
4) นิดามีพัดลมไว้ขาย 5 เครื่อง โดยสนใจจำนวนพัดลมที่นิดาขายได้
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
5) ในการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญสองครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือหน้าของเหรียญ
ให้ H แทน เหรียญขึ้นหัว (Head)
T แทน เหรียญขึ้นก้อย (Tail)
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
6) ในการตรวจสภาพสินค้าชนิดหนึ่ง ผู้ตรวจสอบจะหยิบสินค้าขึ้นมาตรวจทีละชิ้นรวม 3 ชิ้น ผลลพธ์ที่
ั
สนใจ คือ ผลการตรวจสภาพของสินค้าทั้งสามชิ้นว่า แต่ละชิ้นผ่านหรือไม่ผ่านมาตรฐาน
ให้ ผ แทน สินค้าที่ผ่านมาตรฐาน ม แทน สินค้าที่ไม่ผ่านมาตรฐาน
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
ั
7) ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกันหนึ่งครั้ง ถ้าผลลพธ์ที่สนใจ คือ
หน้าของเหรียญและแต้มบนหน้าลูกเต๋า
ให้ H แทน เหรียญขึ้นหัว (Head)
T แทน เหรียญขึ้นก้อย (Tail)
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
8) หยิบลูกบอลพร้อมกัน 2 ลูก ออกจากกล่องซึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 3 (W , W , W ) ลูก และสีแดง 2
3
2
1
ิ
(R , R ) ลูก โดยที่ลูกบอลทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าผลลพธ์ที่สนใจคือลูกบอลที่หยบ
ั
1
2
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
9) สามีภรรยาคู่หนึ่งต้องการมีลูก 2 คน ถ้าสมมติว่าโอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเป็นชายหรือหญิงเท่ากัน
หาปริภูมิตัวอย่างของโอกาสที่มีลูก 2 คน
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ความน่าจะเป็น 4
เหตุการณ์ (event) คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ แทนด้วย E
ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือแต้มที่ได้ หา
1) ปริภูมิตัวอย่าง S = …………………………………………………………………………………….
2) เหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว E = …………………………………………………
1
1
3) เหตุการณ์ที่ได้แต้มน้อยกว่า 4
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มน้อยกว่า 4 E = ..………………………………………………
2
2
4) เหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 6
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 6 E = ..………………………………………………
3
3
5) เหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 0
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 0 E = ..………………………………………………
4
4
แบบฝึกหัด 2 เหตุการณ์ (E)
1. ในการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญสองครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือหน้าของเหรียญ หา
1) ปริภูมิตัวอย่าง ให้ H แทน เหรียญขึ้นหัว (Head) T แทน เหรียญขึ้นก้อย (Tail)
S = ……………………………………………………………………………………….
2) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวทั้งสองครั้ง
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวทั้งสองครั้ง E = …………………………………………………………….
1
1
3) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้า ต่างกัน
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้า ต่างกัน E = …………………………………………………………..….
2
2
2. ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงสองลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือแต้มบนหน้าลูกเต๋า หา
เหตุการณ์ที่
1) ผลบวกของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 10 E = …………………………………………………………..…….…….
1
2) ผลบวกของแต้มหารด้วย 3 ลงตัว E = ………………………………………………………………..…….
2
3. การทอดลูกเต๋าสามลูกหนึ่งครั้ง โดยสนใจคือแต้มบนหน้าลูกเต๋า หาเหตุการณ์ที่ผลรวมหน้าลูกเต๋า
มากกว่า 15 E = ……………………………………………………………………………………………………………………
4. ในการตรวจสภาพสินค้าชนิดหนึ่ง ผู้ตรวจสอบจะหยิบสินค้าขึ้นมาตรวจทีละชิ้นรวม 3 ชิ้น ผลลพธ์ที่
ั
สนใจ คือ ผลการตรวจสภาพของสินค้าทั้งสามชิ้นว่า แต่ละชิ้นผ่านหรือไม่ผ่านมาตรฐาน หา
ปริภูมิตัวอย่าง และเหตุการณ์ที่มีสินค้าผ่านมาตรฐานอย่างน้อย 2 ชิ้น (E ) และเหตุการณ์ที่ไม่ผ่าน
1
มาตรฐานทั้ง 3 ชิ้น (E )
2
ให้ ผ แทน สินค้าที่ผ่านมาตรฐาน ม แทน สินค้าที่ไม่ผ่านมาตรฐาน
S = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
1
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
2
ความน่าจะเป็น 5
5. หยิบลูกบอลพร้อมกัน 2 ลูก ออกจากกล่องซึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 3 (W1, W2, W3) ลูก และสีแดง 2
(R1, R2) ลูก โดยที่ลูกบอลทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบ หาปริภูมิตัวอย่าง หา
เหตุการณ์ที่ได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก (E ) และหาเหตุการณ์ที่ได้ลูกบอลสขาวทั้งสองลูก (E )
ี
2
1
S = …………………………………………………………………………………………………………………………………
E = ………………………………………………………………………………………………………………………………..
1
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
2
ั
6. ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกันหนึ่งครั้ง ถ้าผลลพธ์ที่สนใจ คือ หน้าของ
เหรียญและแต้มบนหน้าลูกเต๋า ให้ H แทน เหรียญขึ้นหัว (Head) T แทน เหรียญขึ้นก้อย (Tail) หา
1) ปริภูมิตัวอย่าง S = …………………………………………………………………………………………………………….
2) เหตุการณ์ที่ได้แต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจำนวนคู่
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
1
3) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
2
4) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นก้อยและแต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็น 6
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
3
5) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นก้อยและแต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจำนวนคี่
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
4
6) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวและแต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจำนวนคู่
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
5
7) เหตุการณ์ที่แต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
6
8) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นก้อยและแต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัว
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
7
9) เหตุการณ์ที่แต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจำนวนที่หารด้วย 7 ไม่ลงตัว
E = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
8
7. สามีภรรยาคู่หนึ่งต้องการมีลูก 2 คน ถ้าสมมติว่าโอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเป็นชายหรือหญิงเท่ากัน หา
เหตุการณ์ที่
1) ลูกคนแรกเป็นชายและคนที่สองเป็นหญิง E = …………………………………………………………………
1
2) มีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคน E = …………………………………………………………………
2
3) ไม่มีลูกชายเลย E = …………………………………………………………………
3
ความน่าจะเป็น 6
ความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น (probability) คือ อัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจ
กับจำนวนสมาชิกของแซมเปลสเปซ ( )
ี่
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) โดยท ( ) =
( )
เมื่อ n(E) แทนจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E
กฎที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น
และ n(S) แทนจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ S
ตัวอย่าง 1 สามีภรรยาคู่หนึ่งต้องการมีลูก 2 คน ถ้าสมมติว่าโอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเป็นชายหรือหญิงเท่ากัน
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่
1) ลูกคนแรกเป็นชายและคนที่สองเป็นหญิง(E ) 2) มีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคน(E ) 3) ไม่มีลูกชายเลย(E )
2
3
1
วิธีทำ ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดสองสุ่มนี้
ช แทนลูกเป็นชาย ญ แทนลูกเป็นหญิง
จะได้ S = {ชช, ชญ, ญช, ชช} ดังนั้น n(S) = 4
ให้ E , E และ E เป็นเหตุการณ์ในข้อ 1), 2) และ 3)
1
2
3
( ) 1
1) เนื่องจาก E = {ชญ} จะได้ ( ) = 1 =
1
1
( ) 4
1
ดังนั้นน ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนี้จะมีลูกคนแรกเป็นชายและคนที่สองเป็นหญิง เท่ากับ
4
( ) 3
2) เนื่องจาก E = {ชช, ชญ, ญช} จะได้ ( ) = 2 =
2
2
( ) 4
3
ดังนั้นน ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนี้จะมีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคน เท่ากับ
4
( ) 1
3
3) เนื่องจาก E = {ญญ} จะได้ ( ) = ( ) =
3
3
4
1
ดังนั้นน ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนี้จะไม่มีลูกชายเลย เท่ากับ
4
ตัวอย่าง 2 ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงพร้อมกันหนึ่งครั้ง หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่
1) ผลบวกของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 10 (E ) 2) ผลบวกของแต้มหารด้วย 3 ลงตัว (E )
2
1
วิธีทำ ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดสองสุ่มนี้
ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง ลูกเต๋าลูกแรกปรากฎผลได้ 6 วิธี และลูกเต๋าลูกที่สอง
ปรากฏผลได้อีก 6 วิธี ดังนั้น จากหลักการคูณ จะได้ n(S) = 6 x 6 = 36
1) เนื่องจาก E = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5),(6,6)}
1
( ) 6 1
จะได้ ( ) = 1 = =
1
( ) 36 6
1
ดังนั้นน ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 10 เท่ากับ
6
( ) 12 1
2) เนื่องจาก n(E ) = 12 จะได้ ( ) = 2 = =
2
2
( ) 36 3
1
ดังนั้นน ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มหารด้วย 3 ลงตัว เท่ากับ
3
ความน่าจะเป็น 7
แบบฝึกหัด 3 ความน่าจะเป็น
1. ในการเลือกจำนวนสองจำนวนโดยไม่เจาะจงจาก {1, 2, 3, 4, 5} โดยเลือกทีละจำนวนและไม่ให้ซ้ำกัน
หาความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนแรกมากกว่า 3
วิธีทำ วิธีเลือกจำนวนสองจำนวนที่ไม่ซ้ำกัน ทั้งหมด ............................................................ วิธี n(S) = …………..
หา จำนวนสมาชิก E ได้ดังนี้
ขั้นที่ 1 เลือกจำนวนแรกได้ ....................... วิธี คือ .......................................
ขั้นที่ 2 ในแต่ละวิธีของขั้นที่ 1 จะมีวิธีเลือกจำนวนที่สองที่ไม่ซ้ำกับจำนวนแรกได้ ................................ วิธี.
( )
ดังนั้น n(E) = …………………………………… จะได้ ( ) = = ...................................................
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนแรกมากกว่า 3 เท่ากับ .............................................................
่
2. ไพ่สำรับหนึ่งมีไพ่ทั้งหมด 52 ใบ สุ่มหยิบไพ 2 ใบ จากสำรับ โดยหยิบไพทีละใบและไม่ใส่คืนก่อนหยิบใบ
่
ที่สอง หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่
่
1) ไพใบแรกเป็นไพ่ที่มีหน้าสีแดงและไพ่ใบที่สองเป็นไพ่ที่มีหน้าสีดำ
2) หยิบได้ไพ่ K ทั้งสองใบ 3) หยิบได้ไพ่โพดำและไพ่โพแดงอย่างละใบ
่
วิธีทำ หา n(S) หยิบไพ 2 ใบ ใบแรกมี.................................. วิธี ใบสอง..................................... วิธี
จากหลักการคูณจะได้ n(S) = ……………………………………………………………………………………..
1) ไพใบแรกเป็นไพ่ที่มีหน้าสีแดงและไพ่ใบที่สองเป็นไพที่มีหน้าสีดำ (E )
่
่
1
่
หยิบไพ 2 ใบ ใบแรกมี.................................. วิธี ใบสอง..................................... วิธี
( )
หลักการคูณจะได้ n(E ) = …………………………… จะได้ ( ) = 1 = ................................
1
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไพ่ใบแรกเป็นไพ่ที่มีหน้าสีแดงและไพ่ใบที่สองเป็นไพ่ที่มีหน้าสีดำ
เท่ากับ .............................................................
2) หยิบได้ไพ่ K ทั้งสองใบ (E )
2
หยิบไพ 2 ใบ ใบแรกมี.................................. วิธี ใบสอง..................................... วิธี
่
( )
หลักการคูณจะได้ n(E ) = …………………………… จะได้ ( ) = 2 = ................................
2
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ไพ่ K ทั้งสองใบ เท่ากับ .......................................................
3) หยิบได้ไพ่โพดำและไพ่โพแดงอย่างละใบ (E ) เกิดได้ 2 กรณี
3
กรณีแรก หยิบใบแรกได้ไพ่โพดำ
ใบแรกมี.................................. วิธี ใบสอง..................................... วิธี
หลักการคูณจะได้ …………………….………………………… วิธี
กรณีสอง หยิบใบแรกได้ไพ่โพแดง
ใบแรกมี.................................. วิธี ใบสอง..................................... วิธี
หลักการคูณจะได้ …………………….………………………… วิธี
รวมสองกรณีจะได้ n(E )................................................ จะได้ ( ) = ( ) = .........................
3
3
3
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ไพ่โพดำและไพ่โพแดงอย่างละใบ เท่ากับ ..........................
ความน่าจะเป็น 8
ตัวอย่าง 3 ถ้าครูสุ่มนักเรียน 3 คน จากนักเรียน 10 คน ซึ่งเป็นผู้ชาย 6 คน และผู้หญิง 4 คน หาความน่าจะ
เป็นที่ครูสุ่มได้ผู้ชาย 2 คน และผู้หญิง 1 คน
10!
วิธีทำ ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดสองสุ่มนี้ จะได้ n(S) = C = = 120
10,3
7!3!
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ครูสุ่มได้ผู้ชาย 2 คน และผู้หญิง 1 คน
ขั้นที่ 1 เลือกผู้ชาย 2 คนจากผู้ชาย 6 คน ทำได้ C
6,2
ขั้นที่ 2 เลือกผู้หญิง 1 คนจากผู้หญิง 4 คน ทำได้ 4 วิธี
ดังนั้น n(E) = C x 4 = 6! = 60
6,2
4!2!
( ) 60 1
จะได้ ( ) = = =
( ) 120 2
1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ครูสุ่มได้ผู้ชาย 2 คน และผู้หญิง 1 คน เท่ากับ
2
ตัวอย่าง 4 บริษัทผลิตเสื้อยี่ห้อ tomorrow จัดกิจกรรมลุ้นรางวัลให้กับลูกค้า โดยนำคำที่ได้จากการเรียง
ตัวอักษรในคำว่า “tomorrow” ทั้งหมดมาพมพลงบนป้ายติดคอเสื้อตัวละ 1 คำ เมื่อขายเสื้อที่ติด
์
ิ
คำเหล่านี้หมดแล้ว บริษัทจะสุ่มคำที่ได้จากการเรียงตัวอักษรในคำว่า “tomorrow” จำนวน 1 คำ
เพื่อหาผู้โชคดี หาความน่าจะเป็นที่สุ่มได้คำที่ขึ้นต้นด้วยตัวอักษร m
วิธีทำ ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดสองสุ่มนี้
เนื่องจากคำว่า “tomorrow” ประกอบด้วยตัวอักษรทั้งหมด 8 ตัว โดยเป็นตัวอักษร o ทั้งหมด 3 ตัว
ตัวอักษร r ทั้งหมด 2 ตัว และตัวอักษร t, m และ w อย่างละ 1 ตัว
8!
จะได้ n(S) = = 8 x 7 x 6 x 5 x 2
3!2!1!1!1!
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่สุ่มได้คำที่ขึ้นต้นด้วยตัวอักษร m
7!
ดังนั้น n(E) = = 7 x 6 x 5 x 2
3!2!1!1!
( ) 7 × 6 × 5 × 2 1
จะได้ ( ) = = =
( ) 8 × 7 × 6 × 5 × 2 8
1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มได้คำที่ขึ้นต้นด้วยตัวอักษร m เท่ากับ
8
ตัวอย่าง 5 ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผู้เข้าร่วมประชุม 10 คน โดย 2 ใน 10 คนนี้ คือ ชานนท์และวิภา ถ้าโต๊ะที่
ใช้ประชุมเป็นโต๊ะกลมและกำหนดชื่อสำหรับแต่ละที่นั่งแบบสุ่ม หาความน่าจะเป็นที่ชานนท์และวิภา
ได้นั่งติดกัน
วิธีทำ ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดสองสุ่มนี้
จะได้ n(S) = (10 – 1)! = 9!
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ชานนท์และวิภาได้นั่งติดกัน
พิจารณาว่าชานนท์และวิภาเป็นเสมือนคนคนเดียวกัน ดังนั้น จะเสมือนมีคนทั้งหมด 9 คน
ซึ่งจะจัดคน 9 คน นั่งรอบโต๊ะกลมได้ (9 – 1)! = 8! แบบ
เนื่องจากสามารถสลับตำแหน่งของชานนท์และวิภาได้ 2 แบบ ดังนั้น n(E) = 8! X 2
2
จะได้ P(E) = ( ) = 8!×2 =
( ) 9! 9
2
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ชานนท์และวิภาได้นั่งติดกันในการประชุมนี้ เท่ากับ
9
ความน่าจะเป็น 9
แบบฝึกหัด 4 ความน่าจะเป็น (ต่อ)
1. ในการจับสลากชื่อของนักเรียนหนึ่งคนจากนักเรียน 30 คน ซึ่งเป็นชาย 18 คน และหญิง 12 คน หา
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่
1) สลากที่ได้เป็นชื่อของนักเรียนชาย 2) สลากที่ได้เป็นชื่อของนักเรียนหญิง
วิธีทำ ในการจับสลากชื่อของนักเรียนหนึ่งคนจากนักเรียนได้ ........................................ วิธี
นั่นคือ n(S) = ………………………………
1) สลากที่ได้เป็นชื่อของนักเรียนชาย (E )
1
จับสลากชื่อนักเรียนชายได้........................................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
1
1
จะได้ P(E ) = ( ) = ...................................................
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สลากที่ได้เป็นชื่อของนักเรียนชาย เท่ากับ ......................................
2) สลากที่ได้เป็นชื่อของนักเรียนหญิง (E )
2
จับสลากชื่อนักเรียนหญิงได้........................................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
2
( )
จะได้ P(E ) = 2 = ...................................................
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สลากที่ได้เป็นชื่อของนักเรียนหญิง เท่ากับ ......................................
2. หวานเย็นสมหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากถุงใบหนึ่งซึ่งมีลูกปิงปองสีแดง 15 ลูก และลูกปิงปองสีขาว สี
ุ่
เหลือง สีเขียว สีฟ้า และสีดำอย่างละ 1 ลูก หาความน่าจะเป็นที่จะหยิบ
1) ได้ลูกปิงปองสีแดง 2) ไม่ได้ลูกปิงปองสีดำ 3) ได้ลูกปิงปองสีดำหรือสีขาว
วิธีทำ เลือกลูกปิงปองได้ .......................................... วิธี นั่นคือ n(S) = ………………………………………..
1) ได้ลูกปิงปองสีแดง (E )
1
หยิบได้ลูกปิงปองสีแดงมี ............................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
1
( )
จะได้ P(E ) = 1 = ...................................................
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีแดง เท่ากับ ............................................
2) ไม่ได้ลูกปิงปองสีดำ (E )
2
หยิบได้ลูกปิงปองสีอื่นที่ไม่ใช่สีดำม ............................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
ี
2
( )
จะได้ P(E ) = 2 = ...................................................
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะหยิบไม่ได้ลูกปิงปองสีดำ เท่ากับ ............................................
3) ได้ลูกปิงปองสีดำหรือสีขาว (E )
3
กรณีที่ 1 หยิบได้ลูกปิงปองสีดำ หยิบได้ลูกปิงปองสีดำมี ............................ วิธี
กรณีที่ 2 หยิบได้ลูกปิงปองสีขาว หยิบได้ลูกปิงปองสีขาวมี ............................ วิธี
รวม 2 กรณี ได้ .................................. วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
3
( )
จะได้ P(E ) = 3 = ...................................................
3
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีดำหรือสีขาว เท่ากับ ............................................
ความน่าจะเป็น 10
ี
3. กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้ว 13 ลูก เป็นสีแดง 6 ลูก สขาว 4 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้ว 1
ลูก หาความน่าจะเป็นที่จะได้
1) ลูกแก้วสีเหลือง 2) ลูกแก้วที่ไม่ใช่สีแดง
วิธีทำ หยิบลูกแก้วได้ ........................................ วิธี นั่นคือ n(S) = ………………………………
1) ลูกแก้วสีเหลือง (E )
1
หยิบลูกแก้วสีเหลืองได้........................................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
1
( )
จะได้ P(E ) = 1 = ...................................................
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีเหลือง เท่ากับ ......................................
2) ลูกแก้วที่ไม่ใช่สีแดง (E )
2
ี
หยิบลูกแก้วที่ไม่ใช่สแดง ได้........................................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
2
( )
จะได้ P(E ) = 2 = ...................................................
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วที่ไม่ใช่สีแดง เท่ากับ ......................................
่
4. ไพ่สำรับหนึ่งมีไพ่ทั้งหมด 52 ใบ สุ่มหยิบไพ 1 ใบ จากสำรับ หาความน่าจะเป็นที่จะได้
1) ไพ่หมายเลข 7 3) ไพ่ดอกจิก
2) ไพ่ J, Q หรือ K 4) ไพ่ A โพแดง
วิธีทำ หยิบไพได้ ........................................ วิธี นั่นคือ n(S) = ………………………………
่
1) ไพ่หมายเลข 7 (E )
1
หยิบไพ่หมายเลข 7 ได้........................................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
1
( )
จะได้ P(E ) = 1 = ...................................................
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่หมายเลข 7 เท่ากับ ......................................
2) ไพ่ J, Q หรือ K (E )
2
่
หยิบไพ่ไพ J, Q หรือ K ได้........................................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
2
2
จะได้ P(E ) = ( ) = ...................................................
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพไพ่ J, Q หรือ K เท่ากับ ......................................
่
่
3) ไพดอกจิก (E )
3
่
หยิบไพดอกจิก ได้........................................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
3
( )
จะได้ P(E ) = 3 = ...................................................
3
( )
่
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพดอกจิก เท่ากับ ......................................
4) ไพ่ A โพแดง (E )
4
หยิบไพ A โพแดง ได้........................................ วิธี นั่นคือ n(E ) = ……………………………….
่
4
( )
จะได้ P(E ) = 4 = ...................................................
4
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่ A โพแดง เท่ากับ ......................................
ความน่าจะเป็น 11
้
ี้
5. กล่องใบหนึ่งบรรจุเบี้ย 6 อัน โดยมีหมายเลข 3, 4, 7, 9, 10 และ 11 กำกับไว้ ถาสุ่มหยิบเบย 1 อัน
จากกล่องใบนี้ หาความน่าจะเป็นที่จะได้เบี้ยที่มีหมายเลขเป็น
1) จำนวนเฉพาะ 2) จำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว 3) จำนวนที่หารด้วย 6 ลงตัว
วิธีทำ n(S) = ………………………………
1) จำนวนเฉพาะ (E )
1
( )
n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = 1 = ...................................................
1
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เบี้ยที่มีหมายเลขเป็น ......................................................... เท่ากับ .................
2) จำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว (E )
2
( )
n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = 2 = ...................................................
2
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เบี้ยที่มีหมายเลขเป็น ......................................................... เท่ากับ .................
3) จำนวนที่หารด้วย 6 ลงตัว (E )
3
( )
n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = 3 = ...................................................
3
3
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เบี้ยที่มีหมายเลขเป็น ......................................................... เท่ากับ .................
6. ถุงใบหนึ่งใส่เหรียญบาทไว้ 100 เหรียญ โดยมีหมายเลข 1, 2, 3, … , 100 กำกับไว้ ถ้าสุ่มหยิบ
เหรียญ 1 เหรียญ จากถงใบนี้ หาความน่าจะเป็นที่จะได้เหรียญที่มีหมายเลขเป็น
ุ
1) จำนวนเต็มบวก 3) จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว
2) จำนวนคู่ 4) จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัว
วิธีทำ n(S) = ………………………………
1) จำนวนเต็มบวก (E )
1
( )
n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = 1 = ...................................................
1
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เหรียญที่มีหมายเลขเป็น ........................................................ เท่ากับ .................
2) จำนวนคู่ (E )
2
( )
n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = 2 = ...................................................
2
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เหรียญที่มีหมายเลขเป็น ........................................................ เท่ากับ .................
3) จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว (E )
3
3
n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = ( ) = ...................................................
3
3
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เหรียญที่มีหมายเลขเป็น ........................................................ เท่ากับ .................
4) จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัว (E )
4
n(E ) = ……………………………….
4
( )
จะได้ P(E ) = 4 = ...................................................
4
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้เหรียญที่มีหมายเลขเป็น ........................................................ เท่ากับ .................
ความน่าจะเป็น 12
7. สามีภรรยาคู่หนึ่งต้องการมีลูก 2 คน ถ้าสมมติว่าโอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเป็นชายหรือหญิงเท่ากัน หา
ความน่าจะเป็นที่ 1) มีลูกเป็นชายทั้งคู่หรือหญิงทั้งคู่ 2) มีลูกเป็นหญิงอย่างน้อยหนึ่งคน
S = ………………………………………………………………………………… จะได้ n(SP) = …………………………..
1) มีลูกเป็นชายทั้งคู่หรือหญิงทั้งคู่ (E ) = ……………………………………………………………………………..
1
( )
n(E ) = …………………………… จะได้ P(E ) = 1 = .................................................................
1
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ............................................................................................................................
2) มีลูกเป็นหญิงอย่างน้อยหนึ่งคน (E ) = …………………………………………………………………………….
2
( )
n(E ) = …………………………… จะได้ P(E ) = 2 = ................................................................
2
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ............................................................................................................................
ึ่
8. กล่องใบหนึ่งบรรจุหลอดไฟ 5 หลอด ซงเป็นหลอดดี 3 หลอด และหลอดเสีย 2 หลอด ถ้าสุ่มหยิบ
หลอดไฟ 2 หลอด พร้อมกัน หาความน่าจะเป็นที่จะได้หลอดดี 1 หลอดและหลอดเสีย 1 หลอด
S = ………………………………………………………………………………… จะได้ n(S) = …………………………..
E แทนเหตุการณ์ที่จะได้หลอดดี 1 หลอดและหลอดเสีย 1 หลอด
ขั้นตอน 1 ได้หลอดดี 1 หลอด …………………………………………………………………………………………………..
ขั้นตอน 2 ได้หลอดเสีย 1 หลอด ………………………………………………………………………………………………..
n(E) = ………………………….…………… จะได้ P(E) = ( ) = ................................................................
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
ุ
9. ในลิ้นชักมีถงเท้าที่จัดเป็นคู่ไว้ 4 คู่ โดยเป็นถุงเท้าสีดำ 2 คู่ และสีขาว 2 คู่ ถ้าสุ่มหยิบถุงเท้า 2 คู่
พร้อมกัน หาความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองคู่เป็นสีเดียวกัน
S = ………………………………………………………………………………… จะได้ n(S) = …………………………..
E แทนเหตุการณ์ที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองคู่เป็นสีเดียวกัน
กรณีที่ 1 หยิบได้ถุงเท้าทั้งสองคู่เป็นสีดำ ……………………………………………………………………………………..
กรณีที่ 2 หยิบได้ถุงเท้าทั้งสองคู่เป็นสี......……………………………………………………………………………………..
( )
n(E) = ………………………….…………… จะได้ P(E) = = ....................................................................
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ .........................................................................................................................................
10. ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงสองลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง หาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของแต้มเป็นจำนวนคู่
n(S) = ……………………………………… หาผลคูณของแต้มเป็นคี่
ขั้นตอนที่ 1 ลูกเต๋าลูกที่ 1 แต้มบนหน้าลูกเต๋า เป็น ............................................................ ได้ ................วิธี
ขั้นตอนที่ 2 ลูกเต๋าลูกที่ 2 แต้มบนหน้าลูกเต๋า เป็น ........................................................... ได้ ................วิธี
จะมีจำนวนวิธีที่ผลคูณของแต้มเป็นจำนวนคี่ เป็น .................................................................................วิธี
นั่นคือ จะมีวิธีทอดลูกเต๋าที่ผลคูณของแต้มที่ได้ เป็นจำนวนคู่ .................................................................. วิธี
ได้ n(E) = ……………………….…………… จะได้ P(E) = ( ) = .................................................
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ........................................................................................................................................
ความน่าจะเป็น 13
ี
11. ข้าวตังสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูก จากถุงใบหนึ่งซึ่งมีลูกบอลสแดง 2 ลูก และสีเขียว 2 ลูก หาความน่าจะ
ี
เป็นที่หยิบได้ลูกบอลสีแดงและสีเขยวอย่างละ 1 ลูก เมื่อกำหนดให้
1) หยิบลูกบอล 2 ลูก พร้อมกัน (S )
1
จะได้ n(S ) = ………………………………….. ให้ E แทนหยิบได้ลูกบอลสีแดงและสีเขียวอย่างละ 1 ลูก
1
1
ขั้นตอนที่ 1 หยิบได้สีแดง 1 ลูก ……………………………………………………………………………………..
ขั้นตอนที่ 2 หยิบได้สีเขียว 1 ลูก ..…………………………………………………………………………………..
( )
นั่นคือ n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = 1 = ...................................................
1
1
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ .........................................................................................................................................
2) หยิบลูกบอลทีละลูกโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบลูกบอลลูกที่สอง (S )
2
จะได้ n(S ) = ………………………………….. ให้ E แทนหยิบได้ลูกบอลสีแดงและสีเขียวอย่างละ 1 ลูก
2
2
กรณีที่ 1 หยิบได้สีแดงเป็นลูกแรก
ขั้นตอนที่ 1 หยิบได้สีแดง 1 ลูกเป็นลูกแรก ……………………………………………………………………..
ขั้นตอนที่ 2 หยิบได้สีเขียว 1 ลูกเป็นลูกสอง ..…………………………………………………………………..
กรณีที่ 1 หยิบได้...................................................................................... วิธี
กรณีที่ 2 หยิบได้สีเขยวเป็นลูกแรก
ี
ี
ขั้นตอนที่ 1 หยิบได้สีเขยว 1 ลูกเป็นลูกแรก …………………………………………………………………..
ขั้นตอนที่ 2 หยิบได้สีแดง 1 ลูกเป็นลูกสอง ..…………..……………………………………………………..
กรณีที่ 2 หยิบได้...................................................................................... วิธี
( )
นั่นคือ n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = 2 = ..................................................
2
2
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ .........................................................................................................................................
3) หยิบลูกบอลทีละลูกโดยใส่คืนก่อนจะหยิบลูกบอลลูกที่สอง (S )
3
จะได้ n(S ) = ………………………………….. ให้ E แทนหยิบได้ลูกบอลสีแดงและสีเขียวอย่างละ 1 ลูก
3
3
กรณีที่ 1 หยิบได้สีแดงเป็นลูกแรก
ขั้นตอนที่ 1 หยิบได้สีแดง 1 ลูกเป็นลูกแรก ……………………………………………………………………..
ขั้นตอนที่ 2 หยิบได้สีเขียว 1 ลูกเป็นลูกสอง ..…………………………………………………………………..
กรณีที่ 1 หยิบได้...................................................................................... วิธี
กรณีที่ 2 หยิบได้สีเขยวเป็นลูกแรก
ี
ี
ขั้นตอนที่ 1 หยิบได้สีเขยว 1 ลูกเป็นลูกแรก …………………………………………………………………..
ขั้นตอนที่ 2 หยิบได้สีแดง 1 ลูกเป็นลูกสอง ..…………..……………………………………………………..
กรณีที่ 2 หยิบได้...................................................................................... วิธี
( )
นั่นคือ n(E ) = ………………………………. จะได้ P(E ) = 3 = ..................................................
3
3
( )
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ .........................................................................................................................................
ความน่าจะเป็น 14
12. นักกีฬาคนหนึ่งมีเสื้อกีฬา 5 ตัว เป็นเสื้อสีขาว 3 ตัว สีฟ้า 2 ตัว และมีกางเกงกีฬา 4 ตัว เป็นกางเกง
สีขาว 1 ตัว สีเทา 3 ตัว ถ้านักกีฬาคนนี้แต่งตัวเพื่อไปเล่นกีฬา โดยไม่เจาะจง หาความน่าจะเป็นที่
นักกีฬาคนนี้จะสวม 1) เสื้อและกางเกงสีเดียวกัน 2) เสื้อและกางเกงสีต่างกัน 3) เสื้อสีฟ้า
n(S) = ………………………………………….
1) เสื้อและกางเกงสีเดียวกัน (E )
1
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อสี................................. ได้................................................. วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงสี................................. ได้................................................. วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = .................................................................
1
1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ..................................................................................................................................
2) เสื้อและกางเกงสีต่างกัน (E )
2
กรณีที่ 1 ได้เสื้อสี.......................... และกางเกงสี..............................
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อสี................................. ได้................................................. วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงสี................................. ได้................................................. วิธี
กรณีที่ 1 ได้.................................................................................................................... วิธี
กรณีที่ 2 ได้เสื้อสี.......................... และกางเกงสี..............................
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อสี................................. ได้................................................. วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงสี................................. ได้................................................. วิธี
กรณีที่ 2 ได้.................................................................................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = .................................................................
2
2
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ..................................................................................................................................
3) เสื้อสีฟ้า (E )
3
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อสี................................. ได้................................................. วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงสี................................. ได้................................................. วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = .................................................................
3
3
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ..................................................................................................................................
13. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอล 30 ลูก เป็นลูกบอลสแดง 10 ลูก สีเขียว 10 ลูก และสีเหลือง 10 ลูก ถ้าหยิบ
ี
ลูกบอลครั้งละ 1 ลูก 2 ครั้ง
S แทน การหยิบลูกบอลครั้งละ 1 ลูกแล้วไม่ใส่คืน จะได้ n(S ) = …………………………………………..
1
1
S แทน การหยิบลูกบอลครั้งละ 1 ลูกแล้วใส่คืน จะได้ n(S ) = ………………….…………………………..
2
2
1) หาความน่าจะเป็นที่ ได้ลูกบอลลูกแรกเป็นสีแดงและลูกบอลลูกที่สองเป็นสีเหลือง (E ) เมื่อ
1
กำหนดให้หยิบลูกบอลลูกแรกแล้วไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบลูกบอลลูกที่สอง
ขั้นตอนที่ 1 หยิบลูกบอลลูกแรกเป็นสีแดง ได้.................................................................................. วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบลูกบอลลูกสองเป็นสีเหลือง ได้............................................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = .................................................................
1
1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ .................................................................................................................................
ความน่าจะเป็น 15
2) หาความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบอลลูกแรกเป็นสีแดงและลูกบอลลูกที่สองเป็นสีเหลือง (E ) เมื่อ
2
กำหนดให้หยิบลูกบอลลูกแรกแล้วใส่คืนก่อนจะหยิบลูกบอลลูกที่สอง (S )
2
ขั้นตอนที่ 1 หยิบลูกบอลลูกแรกเป็นสี....................... ได้....................................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบลูกบอลลูกสองเป็นสี....................... ได้...................................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
2
2
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
3) หาความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบอลสีเขียวทั้งสองครั้ง เมื่อกำหนดให้หยิบลูกบอลลูกแรกแล้วใส่คืนก่อนจะ
หยิบลูกบอลลูกที่สอง
ขั้นตอนที่ 1 หยิบลูกบอลลูกแรกเป็นสี....................... ได้....................................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบลูกบอลลูกสองเป็นสี....................... ได้...................................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
3
3
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
4) หาความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบอลสีเขียวทั้งสองครั้ง เมื่อกำหนดให้หยิบลูกบอลลูกแรกแล้วไม่ใส่คืนก่อน
จะหยิบลูกบอลลูกที่สอง
ขั้นตอนที่ 1 หยิบลูกบอลลูกแรกเป็นสี....................... ได้....................................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบลูกบอลลูกสองเป็นสี....................... ได้...................................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
4
4
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
5) หาความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก เมื่อกำหนดให้หยิบลูกบอลลูกแรกแล้วไม่ใส่คืน
ก่อนจะหยิบลูกบอลลูกที่สอง
หยิบได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก แบ่งได้เป็น 3 กรณี
กรณีที่ 1 ได้สีแดง 1 ลูก ในครั้งที่ 1
ขั้นตอนที่ 1 หยิบลูกบอลลูกแรกเป็นสี....................... ได้.......................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบลูกบอลลูกสองเป็นสี....................... ได้.......................................................... วิธี
กรณีที่ 1 หยิบได้ลูกบอลสีแดง 1 ลูก ....................................................................................... วิธี
กรณีที่ 2 ได้สีแดง 1 ลูก ในครั้งที่ 2
ขั้นตอนที่ 1 หยิบลูกบอลลูกแรกเป็นสี....................... ได้.......................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบลูกบอลลูกสองเป็นสี....................... ได้.......................................................... วิธี
กรณีที่ 2 หยิบได้ลูกบอลสีแดง 1 ลูก ....................................................................................... วิธี
กรณีที่ 3 ได้สีแดง 2 ลูก
ขั้นตอนที่ 1 หยิบลูกบอลลูกแรกเป็นสี....................... ได้.......................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบลูกบอลลูกสองเป็นสี....................... ได้.......................................................... วิธี
กรณีที่ 3 หยิบได้ลูกบอลสีแดง 2 ลูก ...................................................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
5
5
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
ความน่าจะเป็น 16
่
14. ไพ่สำรับหนึ่งมีไพ่ทั้งหมด 52 ใบ สุ่มหยิบไพ 3 ใบ พร้อมกันจากสำรับ
จะได้ n(S ) = ………………………………………………………………………………………………………………..……..
1
่
1) หาความน่าจะเป็นที่ได้ ไพ J, Q และ K อย่างละใบ
ขั้นตอนที่ 1 หยิบได้ไพ่ J 1 ใบ จาก 4 ใบ ได้....................................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบได้ไพ่................................................. ได้....................................................................... วิธี
่
ขั้นตอนที่ 3 หยิบได้ไพ................................................. ได้....................................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
1
1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
2) หาความน่าจะเป็นที่ได้ ไพ่ที่มีหน้าสีแดง 2 ใบ
่
ขั้นตอนที่ 1 หยิบได้ไพหน้าสีแดง................ ใบ จากไพ่หน้าสีแดง .................... ใบ ได้....................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 หยิบได้ไพหน้าสีดำ................ ใบ จากไพ่หน้าสีดำ .................... ใบ ได้....................... วิธี
่
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
2
2
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
3) หาความน่าจะเป็นที่ได้ ไพ่ที่มีหมายเลขหรือตัวอักษรเดียวกันทั้งสามใบ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกหมายเลขหรือตัวอักษร 1 ตัว จาก 13 ตัว ได้...................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกไพ 3 ใบ จากไพ่ที่มีหมายเลขหรือตัวอักษรเดียวกันซึ่งมี 4 ใบ ได้........................ วิธี
่
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
3
3
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
4) หาความน่าจะเป็นที่ได้ ไพ่ที่มีหมายเลขหรือตัวอักษรต่างกันทั้งสามใบ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกหมายเลขหรือตัวอักษร 3 ตัว จาก 13 ตัว ได้ .............................................................. วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกไพใบที่ 1 จากไพ่ที่มีหมายเลขหรือตัวอักษรตัวที่ 1 จากขั้นตอนที่ 1 ได้...................... วิธี
่
ขั้นตอนที่ 3 เลือกไพ่ใบที่ 2 จากไพ่ที่มีหมายเลขหรือตัวอักษรตัวที่ 2 จากขั้นตอนที่ 1 ได้..................... วิธี
ขั้นตอนที่ 4 เลือกไพ่ใบที่ 3 จากไพ่ที่มีหมายเลขหรือตัวอักษรตัวที่ 3 จากขั้นตอนที่ 1 ได้..................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = …………………………………………………………………………………………………………….…..
3
จะได้ P(E ) = ................................................................................................................................................
3
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
15. วันภาษาไทยแห่งชาติตรงกับวันที่ 29 กรกฎาคม ของทุกปี ซึ่งในปีนี้โรงเรียนได้จัดประกวดแต่งกลอนสด
่
โดยมีผู้เข้ารอบสุดท้าย 3 คน ถ้าผู้เข้าแขงขันแต่ละคนต้องสุ่มหัวข้อที่จะแต่งกลอนสด 1 หัวข้อ จากหัวข้อ
ที่มีอยู่ 5 หัวข้อ หาความน่าจะเป็นที่มีผู้เข้าแข่งขัน 2 คน สุ่มได้หัวข้อเดียวกัน และอีกคนได้หัวข้ออื่น
จะได้ n(S ) = ……………………………………………………………………………………………………………..……..
1
ั
ขั้นตอนที่ 1 เลือกผู้เข้าแข่งขนที่ได้กลอนหัวข้อเดียวกัน ............ คน จาก 3 คน ได้.......................... วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกหัวข้อ 2 หัวข้อไม่ซ้ำกัน ได้ ........................................................................................ วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
1
1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
ความน่าจะเป็น 17
16. บริษัทแห่งหนึ่งมีตำแหน่งที่ต่างกันว่างอยู่ 5 ตำแหน่ง โดยเป็นตำแหน่งสำหรับผู้ชาย 3 ตำแหน่งและ
ตำแหน่งสำหรับผู้หญิง 2 ตำแหน่ง ถ้ามีผู้มาสมัครเข้าทำงานเป็นผู้ชาย 6 คน และผู้หญิง 5 คน
จะได้ n(S ) = ……………………………………………………………………………………………………………..……..
1
1) หากศิวัชเป็นหนึ่งในผู้สมัครงานชาย หาความน่าจะเป็นที่ศิวัชจะได้เข้าทำงานที่บริษัทนี้ (E )
1
ขั้นตอนที่ 1 เลือกตำแหน่งที่ว่างสำหรับศิวัช ได้.................................................................. วิธี
ขั้นตอนที่ 2 จัดผู้ชายที่เหลือ............. คน เข้าทำงานตำแหน่งว่าง ........................ ตำแหน่ง ได้
...................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 3 จัดผู้หญิง............. คน เข้าทำงานตำแหน่งว่าง ........................ ตำแหน่ง ได้
...................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ………………………………….….. จะได้ P(E ) = ...............................................................
1
1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
2) หากสร้อยและปรายฟ้าเป็นสองคนในผู้สมัครงานหญิง หาความน่าเป็นจะเป็นที่สร้อยจะได้เข้า
ทำงาน แต่ปรายฟ้าไม่ได้เข้าทำงานที่บริษัทนี้ (E )
2
ขั้นตอนที่ 1 เลือกตำแหน่งที่ว่างสำหรับสร้อย ได้.................................................................. วิธี
ี
ขั้นตอนที่ 2 จัดผู้หญิงที่เหลือที่ไม่ใช่ปลายฟ้า ม ............. คน เข้าทำงานตำแหน่งว่าง
........................ ตำแหน่ง ได้...................................................... วิธี
ขั้นตอนที่ 3 จัดผู้ชาย............. คน เข้าทำงานตำแหน่งว่าง ........................ ตำแหน่ง ได้
...................................................... วิธี
นั่นคือ n(E ) = ……………………………………….…….….. จะได้ P(E ) = ................................................
2
2
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ ...............................................................................................................................
17. นำนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน มายืนเรียงแถวหน้ากระดาน หาความน่าจะเป็นที่
นักเรียนชายและนักเรียนหญิงจะยืนสลับกัน
จะได้ n(S ) = ……………………………………………………………………………………………………………..……..
1
กรณีที่ 1 นักเรียนชายยืนหัวแถว
จัดนักเรียนชายยืนก่อนได้…………………………………………………………………………………………..
จัดนักเรียนหญิงยืนแทรกได้………………………………………….……………………………………………
ดังนั้น จะมีวิธีจัดนักเรียนชายและหญิงยืนสลับกัน โดยนักเรียนชายยืนหัวแถว
..................................................................................................... วิธี
กรณีที่ 2 นักเรียนหญิงยืนหัวแถว
จัดนักเรียนหญิงยืนก่อนได้………….………………………………………………………………………………..
จัดนักเรียนชายยืนแทรกได้…………………………………………………………………………………………..
ดังนั้น จะมีวิธีจัดนักเรียนชายและหญิงยืนสลับกัน โดย…………………………………………………..…
............................................................................................................................................................ วิธี
นั่นคือ n(E) = ……………………………………………..….…….….. จะได้ P(E) = ................................................
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ .......................................................................................................................................
ความน่าจะเป็น 18
18. ทรายสั่งไอศกรีม 5 ลูก เป็นรสวานิลลา ชาเขียว สตรอว์เบอร์รี เผือก และช็อกโกแลต อย่างละ 1 ลูก
ถ้าคนขายนำไอศกรีมแต่ละลูกมาวางเรียงซ้อนกันบนโคนในแนวตั้งแบบสุ่ม หาความน่าจะเป็นที่ไอศกรีม
ลูกบนสุดเป็นรสวานิลลา และไอศกรีมลูกล่างเป็นรสชาเขียว
จะได้ n(S) = ……………………………………………………………………………………………………………..……..
ขั้นตอน 1 ชั้นบน ................... วิธี ขั้นตอน 2 ชั้นล่าง ................... วิธี ขั้นตอนที่ 3 ชั้นอื่น .................... วิธี
นั่นคือ n(E) = ……………………………………………..….…….….. จะได้ P(E) = ................................................
19. บริษัทแห่งหนึ่งฉลองครบรอบ 10 ปี ในวันที่ 10 พฤศจิกายน ค.ศ. 2011 จึงจัดกิจกรรมมอบโชคให้แก่
ลูกค้า มีรางวัลใหญ่ 1 รางวัล โดยบริษัทนำตัวเลข 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1 มาจัดเรียงเป็นรหัส
10 หลัก แล้วส่งให้กับลูกค้าแบบสุ่ม จากนั้นจึงใช้คอมพวเตอร์สุ่มรหัสเพื่อหาผู้โชคดี หาความน่าจะเป็น
ิ
ที่รหัสของผู้ที่ได้รับรางวัลใหญ่ขึ้นต้นด้วย 1 และลงท้ายด้วย 2
จะได้ n(S) = ……………………………………………………………………………………………………………..……..
ขั้นตอน 1 ขึ้นต้นด้วย 1 .................... วิธี ขั้นตอน 2 ลงทายด้วย 2 .................... วิธี
้
ขั้นตอน 3 ขึ้นต้นด้วยเลขอื่น ๆ ................................................................................. วิธี
นั่นคือ n(E) = ……………………………………………..….…….….. จะได้ P(E) = ................................................
20. มีหนังสือเคมีต่างกัน 3 เล่ม หนังสือคณิตศาสตร์ต่างกัน 2 เล่ม และหนังสือภาษาอังกฤษต่างกัน 4 เล่ม
ต้องการนำหนังสือทั้งหมดมาวางเรียงบนชั้นหนังสือชั้นหนึ่ง
จะได้ n(S) = ……………………………………………………………………………………………………………..……..
1) หาความน่าจะเป็นที่หนังสือคณิตศาสตร์อยู่ในตำแหน่งหัวแถวและท้ายแถว
ขั้นตอน 1 จัดคณิตศาสตร์ได้ ............................ วิธี ขั้นตอน 2 จัดหนังสืออื่นได้ ............................ วิธี
นั่นคือ n(E) = ……………………………..….…….….. จะได้ P(E) = .............................................................
2) หาความน่าจะเป็นที่หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน
ขั้นตอน 1 จัด 3 วิชาได้ ............................ วิธี ขั้นตอน 2 จัดเคมีได้ ............................ วิธี
ขั้นตอน 3 จัดคณิตศาสตร์ได้ .......................... วิธี ขั้นตอน 4 จัดภาษาอังกฤษได้ ........................... วิธี
นั่นคือ n(E) = ……………………………..….…….….. จะได้ P(E) = .............................................................
21. ถ้าต้องการจัดลูกเสือ 5 คน และเนตรนารี 6 คน นั่งล้อมเป็นวงกลมรอบกองไฟ หาความน่าจะเป็นที่ไม่
มีลูกเสือสองคนใดนั่งติดกัน
จะได้ n(S) = ……………………………………………………………………………………………………………..……..
ขั้นตอน 1 จัดเนตรนารีนั่งก่อน ...................................................................................................................... วิธี
ขั้นตอน 2 จัดลูกเสือแทรก ซึ่งมีที่ให้แทรก 6 ที่ จัดได้ ............................................................................ วิธี
นั่นคือ n(E) = ……………………………..….…….….. จะได้ P(E) = .............................................................
ความน่าจะเป็น 19
แบบฝึกหัด 5 ท้ายบท
1. โรงงานแห่งหนึ่งประกอบรถยนต์จำหน่าย โดยมีตัวถังรถ 2 ชนิด เครื่องยนต์ 2 ชนิด และสีพ่นรถ 3 สี
หาปริภูมิตัวอย่าง(แซมเปิลสเปซ)ของการผลิตรถยนต์แบบต่าง ๆ
ให้ B , B แทนตัวถังรถชนิดที่ 1, 2 ตามลำดับ M , M แทนเครื่องยนต์ชนิดที่ 1, 2 ตามลำดับ
2
1
2
1
C , C , C แทนสีพ่นรถสีที่ 1, 2, 3 ตามลำดับ
2
1
3
จะได้ S =
ั
2. ในการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญสามครั้ง ถ้าผลลพธ์ที่สนใจคือหน้าของเหรียญ หา
1) ปริภูมิตัวอย่าง(แซมเปิลสเปซ) S =
ี
2) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวเพยงหนึ่งครั้ง E =
1
3) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวทั้งสามครั้ง E =
2
4) เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัวอย่างน้อยหนึ่งครั้ง E =
3
5) เหตุการณ์ที่เหรียญไม่ขึ้นหัวเลย E =
4
3. บริษัทแห่งหนึ่งมีจำนวนใบสั่งซื้อสินค้าในเดือนหนึ่งจำแนกตามภาคต่าง ๆ ดังนี้
ภาค เหนือ กลาง ตะวันออก ตะวันออกเฉียงเหนือ ใต้
จำนวนใบสั่งสินค้า 212 389 124 105 170
ถ้าผู้จัดการสุ่มใบสั่งซื้อสินค้ามา 1 ใบ หาความน่าจะเป็นที่ใบสั่งซื้อสินค้าที่สุ่มมาจะเป็นใบสั่งซื้อสินค้าจาก
ภาคแต่ละภาค n(S) =
ความน่าจะเป็นที่ใบสั่งซื้อสินค้าที่สุ่มมาจะเป็นใบสั่งซื้อสินค้าจากภาคเหนือ P(E ) =
1
ความน่าจะเป็นที่ใบสั่งซื้อสินค้าที่สุ่มมาจะเป็นใบสั่งซื้อสินค้าจากภาคกลาง P(E ) =
2
ความน่าจะเป็นที่ใบสั่งซื้อสินค้าที่สุ่มมาจะเป็นใบสั่งซื้อสินค้าจากภาคตะวันออก P(E ) =
3
ความน่าจะเป็นที่ใบสั่งซื้อสินค้าที่สุ่มมาจะเป็นใบสั่งซื้อสินค้าจากภาคตะวันออกเฉียงเหนือ
P(E ) =
4
ความน่าจะเป็นที่ใบสั่งซื้อสินค้าที่สุ่มมาจะเป็นใบสั่งซื้อสินค้าจากภาคใต้ P(E ) =
5
4. นักเรียน 100 คน สวมรองเท้าขนาดต่าง ๆ ดังแสดงในตารางต่อไปนี้
ขนาดรองเท้า (เบอร์) 5 6 7 8 9 10
จำนวนนักเรียน (คน) 3 12 35 27 16 7
ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน n(S) =
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสวมรองเท้าเบอร์ 7 P(E ) =
1
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสวมรองเท้าเล็กกว่าเบอร์ 8 P(E ) =
2
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสวมรองเท้าเบอร์ 8 หรือ 9 P(E ) =
3
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสวมรองเท้าเบอร์ 5 หรือ 10 P(E ) =
4
ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสวมรองเท้าใหญ่กว่าเบอร์ 10 P(E ) =
5
ความน่าจะเป็น 20
5. หมุนวงล้อที่มีหมายเลข 1 – 7 เขียนกำกับไว้ดังรูป สมมติว่าในการหมุนแต่ละครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ช่องใด
ช่องหนึ่งมีเท่ากัน ถ้าหมุนวงล้อหนึ่งครั้ง n(S) =
หาความน่าจะเป็นที่ลูกศรจะชี้ที่ 1) ช่องที่มีหมายเลข 1 กำกับไว้ P(E ) =
1
2) ช่องที่มีหมายเลข 6 กำกับไว้ P(E ) =
2
3) ช่องที่มีหมายเลขที่กำกับไว้เป็นจำนวนคู่ P(E ) =
3
4) ช่องที่มีหมายเลขที่กำกับไว้เป็นจำนวนเฉพาะ P(E ) =
4
5) ช่องที่มีหมายเลขกำกับไว้เป็นจำนวนที่น้อยกว่า 8 P(E ) =
5
6. ในการโยนเหรียญที่เที่ยงตรงหนึ่งเหรียญห้าครั้ง หาความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัวในการโยนครั้งแรก
n(S) = n(E) =
P(E) =
7. สามีภรรยาคู่หนึ่งต้องการมีลูก 3 คน ถ้าสมมติว่าโอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเป็นชายหรือหญิงเท่ากัน
n(S) =
1) หาความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสามคนเป็นหญิง
ขั้นตอน 1 ลูกคนที่ 1 เป็นหญิง มี วิธี
ขั้นตอน 2 ลูกคนที่ 2 เป็นหญิง มี วิธี
ขั้นตอน 3 ลูกคนที่ 3 เป็นหญิง มี วิธี
n(E ) = P(E ) =
1
1
2) หาความน่าจะเป็นที่มีลูกชายอย่างน้อย 2 คน
กรณี 1 มีลูกชาย 2 คน มี วิธี
กรณี 2 มีลูกชาย 3 คน มี วิธี
n(E ) = P(E ) =
2
2
3) หาความน่าจะเป็นที่ลูกคนแรกและคนสุดท้ายเป็นชาย
ขั้นตอน 1 ลูกคนแรก เป็นชาย มี วิธี
ขั้นตอน 2 ลูกคนสุดท้าย เป็นชาย มี วิธี
ขั้นตอน 3 ลูกคนกลาง เป็นชายหรือหญิง มี วิธี
n(E ) = P(E ) =
3
3
8. ห้องประชุมแห่งหนึ่งมีประตู 6 บาน หาความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าประชุมคนหนึ่งจะเข้าและออกโดยไม่ใช้ประตู
บานเดิม n(S) =
ขั้นตอน 1 เลือกประตูเข้าได้ วิธี ขั้นตอน 2 เลือกประตูออกได้ วิธี
n(E) = P(E) =
9. ข้อสอบข้อหนึ่งมีตัวเลือก 5 ตัวเลือก แต่มีตัวเลือกที่ถูกเพียงตัวเลือกเดียว ถ้านักเรียนคนหนึ่งทำข้อสอบข้อนี้
โดยไม่มีความรู้เลย หาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะตอบผิด
n(S) =
จำนวนที่นักเรียนจะตอบผิดมี วิธี
n(E) = P(E) =
ความน่าจะเป็น 21
10. ในการแข่งขันวิ่งระยะทาง 100 เมตร มีผู้เข้าแข่งขันจำนวน 5 คน ได้แก่ พิมพ์ หนึ่ง อ้อย เตย และมะลิ ถ้า
ผู้เข้าแข่งขันทุกคนวิ่งเข้าเส้นชัยในลำดับที่แตกต่างกัน หาความน่าจะเป็นที่เตยจะวิ่งเข้าเส้นชัยเป็นอันดับท 1
ี่
และ 2 n(S) =
ขั้นตอน 1 เตยจะวิ่งเข้าเส้นชัยเป็นอันดับที่ 1 และ 2 วิธี
ขั้นตอน 2 ผู้เข้าแข่งขันอีก 4 คนที่เหลือจะวิ่งเข้าเส้นชัยได้ วิธี
n(E) = P(E) =
ี
11. กล่องใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 8 ลูก เป็นลูกบอลสแดง 2 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูก
ิ
บอลจากกล่องครั้งละ 1 ลูก 3 ครั้ง โดยหยบแล้วไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบลูกบอลลูกถัดไป หาความน่าจะเป็นที่
ี
ครั้งที่ 1 หยิบได้ลูกบอลสแดง และครั้งที่ 2 และ 3 หยิบได้ลูกบอลสีเหลือง
n(S) =
ขั้นตอน 1 ครั้งที่ 1 หยิบได้ลูกบอลสีแดง วิธี
ขั้นตอน 2 ครั้งที่ 2 หยิบได้ลูกบอลสีเหลือง วิธี
ขั้นตอน 3 ครั้งที่ 3 หยิบได้ลูกบอลสีเหลือง วิธี
n(E) = P(E) =
้
12. นักเรียนห้องหนึ่งมี 30 คน เป็นผู้ชาย 12 คน และผู้หญิง 18 คน ถาครูสุ่มนักเรียนสองคนให้ออกมาทำ
โจทย์หน้าชั้นเรียน หาความน่าจะเป็นที่นักเรียนทั้งสองเป็นผู้ชายทั้งคู่หรือผู้หญิงทั้งคู่
n(S) =
กรณีที่ 1 สุ่มได้ผู้ชายทั้งคู่ ได้ วิธี
กรณีที่ 2 สุ่มได้ผู้หญิงทั้งคู่ ได้ วิธี
n(E) = P(E) =
13. ในงานเลี้ยงของบริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงานเข้าร่วม 30 คน เป็นผู้หญิง 20 คน และผู้ชาย 10 คน ถ้าทำ
สลากใส่ชื่อพนักงานที่เข้าร่วมงาน แล้วสุ่มหยิบสลากครั้งละ 1 ใบ 2 ครั้ง เพื่อแจกรางวัล โดยหยิบแล้วไม่ใส่
คืนก่อนจะหยิบสลากใบทสอง หาความน่าจะเป็นที่พนักงานที่ได้รางวัลเป็นผู้ชายทั้งคู่
ี่
n(S) =
ขั้นตอน 1 เลือกผู้ชาย 1 คนรับรางวัลได้ วิธี
ขั้นตอน 2 เลือกผู้ชาย 1 คนรับรางวัลได้ วิธี
n(E) = P(E) =
14. ในชมรมกรีฑามีนักกรีฑาทั้งหมด 40 คน โดยมีฝาแฝด 3 คู่ ถ้าสุ่มนักกรีฑามา 1 คน หาความน่าจะเป็นที่
นักกรีฑาคนนี้จะมีฝาแฝด n(S) =
มีฝาแฝด 3 คู่ ซึ่งหมายถึงมีนักกรีฑา คนที่มีฝาแฝด นั่นคือ n(E) =
P(E) =
15. นักเรียนคนหนึ่งมีจดหมาย 3 ฉบับ ถ้ามีตู้จดหมาย 5 ตู้ หาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะใส่จดหมาย
ในตู้ที่ไม่ซำกันเลย n(S) =
้
นักเรียนคนนี้จะใส่จดหมายในตู้ที่ไม่ซำกันเลยมี วิธี
้
นั่นคือ n(E) = P(E) =
ความน่าจะเป็น 22
16. ในการคัดเลือกพนักงานเพื่อเป็นกรรมการฝ่ายบริหารแทนกรรมการ 2 คน ที่พ้นตำแหน่งตามวาระ ม ี
พนักงานที่มีคุณสมบัติครบทจะเป็นกรรมการได้ 10 คน โดยเป็นผู้ชาย 7 คน และผู้หญิง 3 คน ถ้า
ี่
ประธานบริษัทตัดสินใจเลือกพนักงาน 2 คนจาก 10 คน โดยไม่เจาะจง หาความน่าจะเป็นที่พนักงานที่
ได้รับเลือกเป็นกรรมการทั้งสองนี้เป็นผู้ชายหนึ่งและผู้หญิงหนึ่งคน
n(S) =
ขั้นตอน 1 เลือกพนักงานผู้ชายเป็นกรรมการได้ วิธี
ขั้นตอน 2 เลือกพนักงานผู้หญิงเป็นกรรมการได้ วิธี
n(E) = P(E) =
17. ชมรมหนึ่งมีสมาชิก 20 คน โดยสมศรีและสมปองเป็นสมาชิกของชมรมนี้ด้วย ถ้าใช้การจับสลากเลือก
คณะกรรมการชุดหนึ่งซึ่งประกอบด้วยนายกชมรม อุปนายกชมรม เลขานุการและเหรัญญิก ตำแหน่งละ 1 คน
หาความน่าจะเป็นที่สมศรีได้เป็นนายกชมรมและสมปองได้เป็นอุปนายกชมรม
n(S) =
ขั้นตอน 1 สมศรีได้เป็นนายกชมรมได้ วิธี
ขั้นตอน 2 สมปองได้เป็นอุปนายกชมรมได้ วิธี
ขั้นตอน 3 เลือกสมาชิกที่เหลือ คนเป็นเลขาณุการ ได้ วิธี
ขั้นตอน 4 เลือกสมาชิกที่เหลือ คนเป็นเหรัญญิก ได้ วิธี
n(E) = P(E) =
18. ครูคนหนึ่งมีเสื้อ 5 ตัว เป็นสีดำ 1 ตัว สีขาว 4 ตัว และมีกางเกงขายาว 4 ตัว เป็นสีดำ 2 ตัว สีเทา 2
ื้
ตัว ถ้าครูคนนี้แต่งตัวออกจากบ้านโดยไม่เจาะจง หาความน่าจะเป็นที่ครูคนนี้สวมเสอและกางเกงสี
ต่างกัน n(S) =
กรณีที่ 1 ได้เสื้อสี กางเกงสี (E )
1
ขั้นตอน 1 เลือกเสื้อสี ได้ วิธี
ขั้นตอน 2 เลือกกางเกงสี ได้ วิธี
E =
1
กรณีที่ 2 ได้เสื้อสี กางเกงสี (E )
2
ขั้นตอน 1 เลือกเสื้อสี ได้ วิธี
ขั้นตอน 2 เลือกกางเกงสี ได้ วิธี
E =
2
กรณีที่ 2 ได้เสื้อสี กางเกงสี (E )
3
ขั้นตอน 1 เลือกเสื้อสี ได้ วิธี
ขั้นตอน 2 เลือกกางเกงสี ได้ วิธี
E =
3
n(E) = P(E) =
ความน่าจะเป็น 23
19. บริษัทนำเที่ยวจัดโปรแกรมเที่ยวรอบเมืองลำปางสำหรับกลุ่มนักท่องเที่ยว 10 คน โดยใช้รถม้าทั้งหมด 3 คัน
สองคันแรกนั่งได้คันละ 4 คน และคันที่สามนั่งได้ 2 คน ถ้ามีนักท่องเที่ยว 2 คนเป็นเพื่อนสนิทกัน หาความ
น่าจะเป็นที่ทั้งสองคนจะได้นั่งรถม้าคันที่สาม โดยไม่สนใจตำแหน่งที่นั่งในรถ
n(S) =
ขั้นตอน 1 จัดเพื่อนสนิทนั่งรถคันที่สาม ได้ วิธี
ขั้นตอน 2 จัดคนอื่นที่เหลือนั่งรถอีก 2 คัน ได้ วิธี
n(E) = P(E) =
20. ลัดดาต้องการประดับตกแต่งรั้วบ้านต้อนรับเทศกาลปีใหม่ โดยนำหลอดไฟที่มีอยู่แล้วจำนวน 10 หลอด ซึ่ง
เป็นหลอดไฟสีแดง 2 หลอด สีเขียว 3 หลอด สีฟ้า 2 หลอด สีม่วง สีชมพู และสีส้มอย่างละ 1 หลอด ไป
ติดเรียงในแนวเสนตรง ถ้าหลอดไฟสีเดียวกันถือว่าเหมือนกัน หาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟสุดท้ายเป็นสี
้
ม่วงหรือสีส้ม n(S) =
ขั้นตอน 1 จัดหลอดไฟหลอดสุดท้ายเป็นสีมวงหรือสีส้ม ได้ วิธี
่
ขั้นตอน 2 จัดหลอดที่เหลือ หลอด ได้ วิธี
n(E) = P(E) =
21. ครอบครัวสองครอบครัวไปรับประทานอาหารร่วมกันที่ภัตตาคารแห่งหนึ่ง ถ้าแต่ละครอบครัวประกอบด้วย
พ่อ แม่ และลูก 1 คน และโต๊ะอาหารเป็นโต๊ะกลมซึ่งมี 6 ที่นั่ง
n(S) =
1) หาความน่าจะเป็นที่ไม่มีสมาชิกในครอบครัวเดียวกันนั่งติดกัน
ขั้นตอน 1 จัดครอบครัวแรก ได้ วิธี
ขั้นตอน 2 จัดครอบครัวที่สองแทรกครอบครัวแรก ได้ วิธี
n(E ) = P(E ) =
1
1
2) หาความน่าจะเป็นที่สมาชิกในครอบครัวเดียวกันนั่งติดกัน
ขั้นตอน 1 จัด 2 ครอบครัว ได้ วิธี
ขั้นตอน 2 สลับที่นั่งภายในครอบครัว ได้ วิธี
n(E ) = P(E ) =
2
2
22. ครอบครัวหนึ่งประกอบด้วยพ่อ แม่ และลูกอีก 3 คน ไปรับประทานอาหารที่ร้านอาหารแห่งหนึ่ง ถ้าโต๊ะ
อาหารเป็นโต๊ะกลมซึ่งมี 5 ที่นั่ง n(S) =
1) หาความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสามคนนั่งติดกัน (นับลูกรวมเป็น 1 คน)
ขั้นตอน 1 จัดพ่อ แม่และลูก เป็นวงกลม ได้ วิธี
ขั้นตอน 2 สลับที่นั่งลูก ได้ วิธี
n(E) = P(E) =
2) หาความน่าจะเป็นที่พ่อและแม่ไม่นั่งติดกัน
ขั้นตอน 1 จัดลูกนั่งก่อน ได้ วิธี
ขั้นตอน 2 จัดพ่อและแมแทรกที่นั่ง ได้ วิธี
่
n(E) = P(E) =