คณิตศาสตร์พื้นฐานภาคเรียนที่1 ชั้นม.5

1

1. เลขยกกำลังท่ีมีเลขชี้กำลงั เป็นจำนวนเตม็

บทนิยาม an แทน ตวัaa a a...a เมอื่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก
n

เรียก an วา่ เลขยกกาลัง (อา่ นว่า “กาลังทเ่ี อน็ ของเอ” หรือ “เอ ยกกาลงั เอ็น”) รู้แล้ว กเ็ ริ่มเดินทาง
มี a เป็นฐาน และ n เป็นเลขชกี้ าลงั ไปผจญภัยกันเลยครับ
เช่น เราเรียก 34 วา่ เลขยกกำลัง

เรยี ก 3 ว่า ฐำนของเลขยกกำลัง
เรียก 4 วา่ เลขชีก้ ำลัง

ครูบัญญัติ ศรปี ระเสริฐ กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรยี นเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

2

ตวั อย่ำงท่ี 1 1. 34  3 3 3 3  81

2.  1 5  1  1  1  1  1  11111  1

 2  2 2 2 2 2 2  2  2  2  2 32

3.   3 3    3     3     3   (3)(3)(3)   27
 5  5  5  5 555 125

4. 1.13  1.1 1.1 1.1 1.331

ครูบัญญัติ ศรีประเสริฐ กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาภาคใต้

3

ทฤษฎีบท 1 ถ้า a, b เป็นจานวนจรงิ ใดๆ m และ n เปน็ จานวนเตม็ บวก จะได้

1.1 a m  a n  a m n เอาไปใชห้ ลายๆครงั้ กจ็ ะ
1.2 (ab )n  a n  b n จาได้อย่างแมน่ ยาเองคะ่

1.3 (a m )n  a mn

1.4 เมื่อ a  0 ; am   1 เม่ือ m n
an  am n เมื่อ m n
 เม่ือ n  m

1
a n m

1.5 เมื่อ b  0  a n  an
b bn

ครูบัญญตั ิ ศรีประเสริฐ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศกึ ษาภาคใต้

4

ตวั อย่ำงท่ี 2 1. 73  75  735  78
2.  3 2   3    3 21   3 3

4 4 4 4

3. 65  (2  3)5  25  35

 4. 82  23 2  232  26

5. 37  374  33

34

6. 124  (4  3)4  (22 )4  34  224  34  28  34

182 (2  9) 2 22  (32 )2 22  34 22  34
 282  344  26  30

ครบู ัญญัติ ศรีประเสรฐิ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรยี นเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

5

จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 1.4 พจิ ารณา a2  a24  a2  1
a4 a2

a3  a33  a0 1
a3

จากประโยคดังกล่าวสามารถนิยาม a 0 และ a n ดังน้ี

บทนิยำม a0  1 เมื่อ a เป็นจานวนจริงใดๆที่ไมเ่ ท่ากับ 0

บทนิยำม a n  1 เมอ่ื a เป็นจานวนจริงใดๆท่ไี ม่เทา่ กับ 0 และ n เปน็ จานวนเต็มบวก
an

จากบทนิยามข้างตน้ จะได้ทฤษฎีบทเลขยกกาลงั ท่มี เี ลขชก้ี าลังเปน็ จานวนเต็มดงั นี้

ทฤษฎบี ท 2 ถ้า a, b เปน็ จานวนจริงใดๆท่ีไม่เป็น 0 และ m , n เปน็ จานวนเต็ม จะได้

2.1 a m  a n  a m n
2.2 (ab )n  a n  b n

2.3 (a m )n  a mn

2.4 am  am n
an

2.5  a n  an
b bn

ครบู ัญญตั ิ ศรีประเสรฐิ กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

6

ตอ้ งกำรพสิ จู น์ว่ำ a m  a n  a mn

กรณีที่ 1 ถ้า m > 0 และ n > 0 จะได้ aman  amn ……………….. (กฎขอ้ ที่ 1)

กรณีที่ 2 ถ้า m < 0 และ n < 0

ให้ m = - p และ n = - q เมือ่ p และ q เป็นจานวนเตม็ บวก

จะได้ a ma n  a pa q

11 ....................................................(บทนิยาม)
ap aq .....................................................(กฏข้อที่ 1)
......................................................(บทนิยาม)
 1
a pq

 a (pq)

 a pq  a (p)(q)  a mn

ครูบัญญัติ ศรีประเสริฐ กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศกึ ษาภาคใต้

7

กรณีท่ี 3 ถ้า m และ n มจี านวนหนง่ึ เป็นจานวนบวก และ อีกจานวนหนง่ึ เปน็ จานวนลบ

สมมติให้ m > 0 และ n < 0

ให้ m = p และ n = -q เมอ่ื p และ q เป็นจานวนเต็มบวก

จะได้ a ma n  a pa q

ap  1 ....................................................(บทนยิ าม)
aq

 ap
aq

 a pq

 a p(q)  a mn

สาหรับกรณีท่ี m < 0 และ n > 0 สามารถพสิ จู น์ได้ในทานองเดียวกนั

ครูบัญญัติ ศรีประเสรฐิ กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศกึ ษาภาคใต้

8

กรณีท่ี 4 ถ้า m และ n มอี ย่หู นึ่งจานวนที่มีค่าเป็น 0
สมมติให้ m = 0 และ n > 0
จะได้ a ma n  a0a n

 1 a n

 an
 a 0n
 a mn

สาหรับกรณีที่เหลือ เราใชว้ ิธีพสิ จู น์ในทานองเดยี วกัน

ครบู ญั ญัติ ศรีประเสรฐิ กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศกึ ษาภาคใต้

9

กรณีที่ 5 ถา้ m = 0 และ n = 0
จะได้
am an  a0 a0
 11
1
 a0
 a 00
 a mn

สรุป จากทงั้ 5 กรณี เราสรุปได้ว่า a m  a n  a mn เปน็ จรงิ เมอื่ m และ n เปน็ จานวนเต็ม

กำรพิสจู นข์ ้อ 2 – 5 ให้นักเรียนทำเปน็ แบบฝกึ หดั กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรยี นเตรียมอุดมศกึ ษาภาคใต้
ครูบญั ญัติ ศรีประเสริฐ

10

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1
1. จงทาใหเ้ ปน็ รูปอยา่ งง่ายและมเี ลขชก้ี าลงั เปน็ บวก

1.1 92  35  ...............................................................................................

1.2 (21)2  7 3  ............................................................................................
3

1.3  24 3  16 2  ...........................................................................................
25 15

ครูบญั ญตั ิ ศรีประเสริฐ กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรยี นเตรยี มอดุ มศึกษาภาคใต้

11

2. ถ้า x  0, x  1, m และ n เปน็ จานวนเตม็ บวก จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนวี้ ่าถูกหรือผดิ

……… 2.1 1  1  x m n
……… 2.2 xm xn

1 xn
x n

……... 2.3 xm  x m n
……... 2.4 x n

x m  x n  x m n

……... 2.5 x m  1 ก็ตอ่ เม่ือ x > 1

……… 2.6 ถา้ x m  x 0 แล้ว x n เป็นอินเวอรส์ การคูณของ x m
xn

……... 2.7 ถา้ x m  x n  0 จะได้ m เป็นอนิ เวอร์สการคูณของ n

…….. 2.8 ถา้ x m  x p จะได้ m – n – p = 0
xn

…….. 2.9 ถ้า m  x n แลว้ mx n  0

…….. 2.10 (x m  x n )1  1 1
xm xn

ครบู ัญญตั ิ ศรปี ระเสริฐ กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาภาคใต้

12

3. จงหาคา่ ของ

1) 2 33 5  ………………………………………………………………………………………
3520

2) a 5b 7 a 2b 7c 0  = ………………………………………………………………………

3) 2ab 1 ab 2 2 = ……………………………………………………………………………

4)  1 x  3y 2 4 =…………………………………………………………………………………
2

5)  3a 1  3 2 =…………………………………………………………………………………….
2b

6) x 2y 3z 5 x 2y 3z 8  =………………………………………………………………………

7)  x 5y 4 2 x 4y 5 3 =…………………………………………………………………….....
 x 2y 2   x 3y 7 

8)  a 1b  2 2  a  4b 2 2 =………………………………………………………………………
 c3   
c 3

9) a 3  b 3 =………………………………………………………………………………………
a 1  b 1

ครูบญั ญัติ ศรีประเสรฐิ กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรยี นเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

13

10) 9  x 4 =………………………………………………………………………………………………………………
3x 1  x
……………………………………………………………………………………………………………………………

2
11) a2  b 2  ab =…………………………………………………………………………………………………………
a  b 2 2
 1  1
a b

……………………………………………………………………….……………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………

12) a 2n 3  an 5 =…………………………………………………………………………………………………………………
a 3n 1 an 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

   13)3xn1 2  xn =……………………………………………………………………………………………………………..
x 2n 1 xn 3

……………………………………………………………………………………………………………………………………

ครบู ญั ญัติ ศรปี ระเสริฐ กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอดุ มศึกษาภาคใต้

14

14) 3  2n  4  2n 2 =………………………………………………………………………………………………………………...
2n  2n 1
..…………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..

 15) 2  22n3  24  22n1 =…………………………………………………………………………………………………………
10 2n 2
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………

 16)
2n  2n1 n  1 =………………………………………………………………………………………………………………
2n1  2n1 4n
……………………………………………………………………………………………………………………………………..

17) 6  2n  4  2n2 =……………………………………………………………………………………………………………

2n1  2n1

……………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูบญั ญัติ ศรปี ระเสรฐิ กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์
โรงเรยี นเตรยี มอุดมศกึ ษาภาคใต้

15

2. รำกที่ n ในระบบจำนวนจรงิ และจำนวนจรงิ ในรปู กรณฑ์

บทนยิ ำม ถา้ x , y เป็นจานวนจรงิ y เป็นรากทสี่ องของ x กต็ ่อเมื่อ y 2  x

เนอ่ื งจาก y 2  (y )2 ดงั นนั้ ถา้ มีจานวนจรงิ y ทย่ี กกาลงั สองแลว้ ได้ x กจ็ ะมจี านวนจรงิ (-y ) ทยี่ กกาลังสองแลว้ x ดว้ ย
เพราะฉะน้นั ถ้า x  0 แลว้ x จะมีรากท่สี องท่ีมากกวา่ หรือเท่ากับศนู ย์เสมอ เรียกรากน้ีวา่ รากท่สี องท่ีไม่เป็นลบ ของ x
จะแทนดว้ ยสัญลักษณ์ x
ถ้า x > 0 จะมีรากทีส่ องของ x สองรากคือ x และ  x จะได้ x เปน็ จานวนบวก และ  x เป็นจานวนลบ
ถา้ x = 0 จะมจี านวนจรงิ เพียงจานวนเดียวคือ 0 เปน็ รากทสี่ องของ x นัน่ คอื 0  0
ถา้ x < 0 ไมม่ รี ากทสี่ องของ x ทีเ่ ปน็ จานวนจรงิ

ครูบญั ญตั ิ ศรีประเสรฐิ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศกึ ษาภาคใต้

16

สมบตั ขิ องรำกท่ีสองทไ่ี มเ่ ป็นลบ

ทฤษฎีบท 3 ถ้า x  0 และ y  0 แล้ว x  y  xy
ทฤษฎบี ท 4 ถ้า x  0 และ y > 0 แลว้ x  x

yy

ข้อสังเกต จำนวนจริงท่ีไม่เป็นลบ จะมีรำกที่ n เสมอ และจำนวนลบจะมรี ำกท่ี n เมอ่ื n เป็นจำนวนี่ี

บทนิยาม ให้ x เป็นจานวนจริงท่มี ีรากท่ี n จานวนจริง y จะเป็นคา่ หลักของรากท่ี n ของ x กต็ ่อเม่อื
1. y เป็นรากที่ n ของ x
2. xy  0

ครูบัญญัติ ศรีประเสรฐิ กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศกึ ษาภาคใต้

17

หมำยเหตุ
1. เีรื่องหมำย n เรยี กวำ่ เีร่ืองหมำยกรณฑ์ เรียก n ว่ำ ดชั นขี องกรณฑ์
2. เม่อื x เป็นจำนวนจริง จำนวนจริงท่ีเขยี นในรูป n x เรยี กว่ำกรณฑ์
3. n x อ่ำนวำ่ กรณฑ์ที่ n ของ x หรือ ีำ่ หลักของรำกท่ี n ของ x
4. ถ้ำ n = 2 จะเขยี น แทน 2

5. n 1  1

6.  n x n  x นัน่ ีอื กำลงั ที่ n ของีำ่ หลักของรำกที่ n ของ x ีอื x

ครบู ัญญตั ิ ศรปี ระเสรฐิ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรยี นเตรียมอดุ มศึกษาภาคใต้

18

สมบตั ิของรำกที่ n

ทฤษฎีบท 5 ถา้ x และ y มีรากที่ n แล้ว n x  n y  n xy

ทฤษฎีบท 6 ถา้ x และ y มรี ากที่ n และ y  0 แลว้ n x  n x

ny y

ทฤษฎีบท 7 ถา้ x มีรากที่ r และ x มรี ากที่ n แล้ว x มรี ากท่ี (r)(n)

ตัวอยำ่ ง จงทาให้เป็นผลสาเรจ็ 3 5  7 2  5  3 2 

วธิ ีทำ 3 5  7 2 5  3 2  3 5 5  3 53 2  7 2 5  7 23 2

 15  9 10  7 10  42
 27  2 10

ครูบญั ญัติ ศรีประเสรฐิ กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศกึ ษาภาคใต้

ตัวอยำ่ ง จงทาเป็นผลสาเร็จ 80  45  125 19
วธิ ที ำ 80  45  125  4 5  3 5  5 5
กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์
 (4  3  5) 5 โรงเรียนเตรยี มอดุ มศึกษาภาคใต้
6 5

ตวั อย่ำง จงเขียน 5  3 ใหอ้ ยู่ในรปู ท่ีสว่ นไมต่ ิดกรณฑ์

15

 วธิ ที ำ 5  3  5  3  15
15 15 15

  5  3  15
15
 75  45

15
5 3 3 5

15 15
 3 5

35

ครบู ญั ญัติ ศรปี ระเสรฐิ

20

ตวั อย่ำง จงเขยี น 2  1 ให้อย่ใู นรปู ท่ีส่วนไม่ติดกรณฑ์
วิธที ำ
2 1

  2  1  2  1 2  1
  2  1 2  1 2  1

 2 2 2 1
2 1

12 2

ตัวอย่ำง จงแกส้ มการ x  2  x  4

วธิ ีทำ จากสมการ x2 x4

ยกกาลงั สองท้ังสองขา้ ง x  2  (x  4)2

x  2  x 2  8x  16

x 2  9x  14  0

(x  2)(x  7)  0

ดังน้ัน x = 7 .... (ค่า x = 2 เป็นค่าทีไ่ มถ่ กู ตอ้ ง)

ครบู ัญญตั ิ ศรีประเสริฐ กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

21

ตวั อย่ำง จงเขียนเซตคาตอบของสมการ x  2  7  x  3

วิธีทำ จากสมการ x2  7x 3

ยกกาลังสองท้งั สองข้าง x  2  7  x  3
จะได้ ( x  2  7  x )2  (3)2

(x  2)  2 x  2 7  x  (7  x)  9

9  2 (x  2)(7  x)  9
 2 (x  2)(7  x)  0

(x  2)(7  x)  0
(x  2)(7  x)  0

x   2, 7

เพราะวา่ คา่ x = 7 ทาให้สมการเปน็ เท็จ ดงั นั้นเซตคาตอบของสมการคือ { -2 }

ครูบญั ญตั ิ ศรปี ระเสริฐ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

22

ตัวอยำ่ ง จงหาเซตคาตอบของสมการ 3 x  9x 13 13  0
วิธีทำ
จากสมการ 3 x  9x 13 13  0

ยกกาลงั สองทง้ั สองขา้ ง ได้ 9x 13  13  3 x
9x 13  169  78 x  9x

78 x  156

ตรวจคาตอบ x 2

x4

แทน x  4 ในสมการ 3 x  9x 13 13  0
จะได้ 3 x  9x 13 13  3 4  9(4) 13 13

 3(2)  49 13
 6  7 13
0

เซตคาตอบของสมการคือ { 4 }

ครบู ัญญตั ิ ศรปี ระเสริฐ กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรยี นเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

23

แบบฝึกทักษะท่ี 1.2

1. จงทาจานวนต่อไปนีใ้ หอ้ ย่ใู นรูปอย่างงา่ ย

1) 3 2a 2  3 4a …………………………………………………………………………………
2) 2  12 ……………………………………………………………………………………..
3) 3 54  3 4 …………………………………………………………………………………….
4) 3  9  27 ……………………………………………………………………………….
2. จงเขียนจานวนตอ่ ไปนใ้ี ห้อยู่ในรูปท่ีสว่ นไม่ติดกรณฑ์

1) 5 ……………………………………………………………………………………………

2

2) 21 …………………………………………………………………………………………..

15

3) 5a …………………………………………………………………………………………..

2b

4) 2  6 ………………………………………………………………………………………

35

3. จงทาให้เป็นผลสาเร็จ
1) (a  b ) x  (a  b ) x ……………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………....

ครูบัญญัติ ศรปี ระเสรฐิ กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

24

2) 3 8  2  32 ……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

3) a  12a  4a ……………………………………………………………………………………………………………

33

………………………………………………………………………………………………………………………………..

4) 3 5 10  2 5……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

5)  3  2 3  2…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………….

6) 2  32 ………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

7)  5  22 5 1……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

8) 2 3  72 3  7………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครบู ญั ญัติ ศรีประเสริฐ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอดุ มศึกษาภาคใต้

25

4. จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปนี้
1) 7 3x  5  28 6  4 x  2  9
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) 2 x 1  4x 11
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครบู ัญญัติ ศรปี ระเสริฐ กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
โรงเรยี นเตรยี มอดุ มศึกษาภาคใต้

26

3) 14  25x  7  9x  1 4x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) 4x 1 2 x2  6x  2  x2  2x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครบู ัญญตั ิ ศรปี ระเสริฐ กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอดุ มศึกษาภาคใต้

27

5) 3x  2x2  6x 1  1 x2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) 2x2  3 2x2  7x  7  7x  3
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครบู ัญญัติ ศรีประเสรฐิ กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอดุ มศึกษาภาคใต้

28

7) 3 3 5x  35  5 3 2x  7
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………

 8) (x 1)2  5 x2  2x  2 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูบญั ญตั ิ ศรีประเสริฐ กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาภาคใต้

29

3. เลขยกกำลงั ที่มเี ลขช้ีกำลังเปน็ จำนวนตรรกยะ

บทนิยำม เม่อื a เป็นจานวนจรงิ n เป็นจานวนเตม็ ท่ีมากกว่า 1 และ a มีรากท่ี n

1

an na

1

บทนิยำม ให้ a เป็นจานวนจริง p , q เป็นจานวนเต็มท่ี ( p , q ) = 1 , q > 0 และ a q  R

โดยเม่ือ p< 0 แล้ว a ต้องไม่เป็น 0 p  a 1  p
q 
aq

ทฤษฎีบท 8 ถา้ a เปน็ จานวนจริงท่ีมรี ากท่ี q และ p เป็นจานวนเตม็ ทที่ าให้ a p เปน็ จานวนจริง
จะได้ a p มีรากท่ี q

ครูบัญญัติ ศรีประเสริฐ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศกึ ษาภาคใต้

30

ตัวอย่ำง จงหาผลสาเร็จของ 27 2  1643  2 52
3
2 2
83 45

1

2 1634 2 5 2 2 3 2  25
วิธีทำ    27 3 3
    33  24 4
2 2    23 2 2
3 22 5
83 45

1

 32  23 2  25
22
4

25

5

 9  8  23  25

 9 8 8 2

 11

ครูบญั ญตั ิ ศรีประเสริฐ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรยี นเตรยี มอดุ มศึกษาภาคใต้

31

แบบฝึกทักษะท่ี 1.3

จงหาค่าของแต่ละข้อต่อไปนี้

1. 1 ...........................................................................................................................................

42

2

2. 83 ............................................................................................................................................

3.  2732 ...................................................................................................................................

2

4.  1  3 .......................................................................................................................................

8

5.  9   3 ………………………………………………………………………………………
2

16 

32

6. 55  55 ………………………………………………………………………………………

ครูบัญญตั ิ ศรปี ระเสรฐิ กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

32

25

7. 4 3  43 ……………………………………………………………………………………...…………………………………
1

43

……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………

5 3

8. 3 2 32 ……………………………………………………………………………………………………………………….
7 9
32 3 2

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูบัญญัติ ศรปี ระเสริฐ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรยี มอุดมศึกษาภาคใต้

33

 3 13   1
  2
 x4 y2z2 
2. จงเขยี น ใหอ้ ยใู่ นรปู อยา่ งง่าย และมีเลขช้ีกาลังเป็นบวก
5 7 9

x 4y2z2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………................................

ครบู ัญญัติ ศรปี ระเสรฐิ กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
โรงเรยี นเตรียมอุดมศึกษาภาคใต้

34

อยา่ ลมื ทบทวนและทาแบบฝกึ หดั จากใน
หนังสือเรียนเพือ่ เสริมทกั ษะและความเข้าใจ

ด้วยนะครบั

!!! สวัสดี !!!
กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์
ครบู ัญญตั ิ ศรปี ระเสรฐิ โรงเรยี นเตรียมอดุ มศึกษาภาคใต้