2 TRIGONOMETRI 8 JAN 2018

KOLEJ
VOKASIONAL
KUANTAN

KOLEJ VOKASIONAL KUANTAN,JALAN TENGKU MUHAMAD
25050 KUANTAN, PAHANG

KERTAS PENERANGAN 2
TRIGONOMETRI

KOD DAN NAMA UMT 1112
KURSUS MATEMATIK TEKNOLOGI I

SEMESTER 1

NO DAN TAJUK 2 TRIGONOMETRI

STANDARD 2 TRIGONOMETRI
PEMBELAJARAN
2.1 Menentukan amplitud dan kitaran bagi graf sin x, kos x dan tan x.
TUJUAN 2.2 Melukis dan melakar graf bagi fungsi trigonometri

(a) y = c + a sin bx
(b) y = c + a kos bx
(c) y = c + a tan bx

dengan keadaan 0 ≤  ≤ 360, a, b dan c ialah
pemalar, a ≠ 0 dan b > 0.
2.3 Menentukan nilai maksimum dan minimum dari graf sin x, kos x

dan tan x.

NO KOD UMT 1112

NAMA PELAJAR

PROGRAM

NO. KAD PENGENALAN

TARIKH

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
2.1 MENENTUKAN AMPLITUD DAN KITARAN BAGI GRAF Sin x , Kos x dan Tan x .

(a) Graf y  sin x

➢ Bentuk am graf sin, y = a sin bx
➢ a = amplitud,

b = Kitaran lengkap dlm setiap 3600
➢ Nilai maksimum : 1 apabila x  900
➢ Nilai minimum : - 1 apabila x  2700

Contoh 1
y = 2 sin x
Penyelesaian:

a=2 b=1
amplitud = 2 Kitaran = 1

2

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

(b) Graf y = cos x

➢ am graf kosine, y = a kos bx
➢ a = amplitud,

b = Kitaran lengkap dlm setiap 3600
➢ Nilai maksimum : 1 apabila x  00 dan 3600
➢ Nilai minimum : - 1 apabila x  1800

Contoh 2
y = 3 kos 2x
Penyelesaian:
a=3 b=2
amplitud = 3 Kitaran = 2

3

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

(c) Graf y = tan x

➢ Bentuk am graf tangen, y = a tan bx
➢ Amplitude graf tidak dapat ditentukan.

Kitaran setiap 1800
➢ Graf ini tiada nilai maksimum dan nilai

minimum.

Contoh 3

y = 2 tan 2x
Penyelesaian:
b=2
Kitaran = 2

4

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

Latihan 1

Tentukan nilai amplitud dan kitaran untuk fungsi trigonometri di bawah:

(a) y = 3 sin 2 x (a) y = sin 3 x

Amplitud = ______ Amplitud = ______
Kitaran = ______ Kitaran = ______

(a) y = 2 sin 1 x (a) y = 3 sin x
2 4

Amplitud = ______ Amplitud = ______
Kitaran = ______ Kitaran = ______

(a) y = 3 kos x (a) y = 2 kos 3 x

Amplitud = ______ Amplitud = ______
Kitaran = ______ Kitaran = ______

(a) y = kos 2 x (a) y = 1 kos 2 x
3 2

Amplitud = ______ Amplitud = ______
Kitaran = ______ Kitaran = ______

(a) y = 3 tan 2 x (a) y = tan x

Kitaran = ______ Kitaran = ______
(a) y = 2 tan 3 x (a) y = 1 tan 4 x

2 2

Kitaran = ______ Kitaran = ______

5

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

2.2 Melukis dan melakar graf bagi fungsi trigonometri
(a) y = c + a sin bx
(b) y = c + a kos bx
(c) y = c + a tan bx
dengan keadaan 0 ≤  ≤ 360, a, b dan c ialah
pemalar, a ≠ 0 dan b > 0.

y

Amplitud x

0
180 360

Amplitud

Kitaran graf

❖ Kitaran graf = 360
b

❖ Amplitud graf = |a| (untuk graf sinus dan kosinus sahaja)
❖ Nilai pemalar a dan b memberi maklumat tentang graf :

(a) a = nilai maksimum / minimum graf sinus dan kosinus
(b) b = bilangan graf dalam 360
(c) c = Pintasan-y
(d) y = c ialah paksi pantulan graf
❖ Langkah-langkah untuk melukis graf fungsi trigonometri

(a) Membina dan melengkapkan jadual mengikut julat nilai sudut yang diberi.
(b) Melukis paksi mengikut skala yang diberi.
(c) Memplot semua titik.
(d) Sambung semua titik dengan kemas dan licin.
❖ Langkah-langkah untuk melakar graf fungsi trigonometri

(a) Membina dan melengkapkan jadual mengikut julat nilai sudut yang diberi.
(b) Melukis paksi mengikut kesesuaian nilai pada jadual.
(c) Memplot semua titik.
(d) Sambung semua titik dengan kemas dan licin.

6

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

❖ MELUKIS GRAF

1. y = c + a sin bx
dengan keadaan a,b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan b > 0.

Contoh 4
Graf bagi y = 3 + 3sin 2x, 0 ≤ x ≤ 360.

x 00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
y

7

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

Latihan 2

1. Lengkapkan Jadual 1 bagi Fungsi Trigonometri.
x0 00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600

Y = 2+2sin x
y = 3 - 2sin x
y = 4+sin 2x
y = 3 +2 sin 2x

Jadual 1

2. a) Lengkapkan Jadual 2 bagi persamaan trigonometri y = 2 + 4 sin 2x bagi 0° ≤x≤360°.

x 00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
y = 2 + 4 sin 2x

Jadual 2
b) Menggunakan skala 2 cm kepada 45° pada paksi x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada

paksi y, lukis graf y = 2 sin x bagi 0° ≤x≤360°.

8

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

9

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

3. a) Lengkapkan Jadual 3 bagi persamaan trigonometri y = 5 - 2sin 3x bagi 0° ≤x≤360°.

x 00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
y = 5 - 2sin 3x Jadual 3

b) Menggunakan skala 2 cm kepada 30° pada paksi x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada
paksi y, lukis graf y = 5 - 2sin 3x bagi 0° ≤x≤360°.

10

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
4. a) Lengkapkan Jadual 4 bagi persamaan trigonometri y = 5 + 3 sin 2x bagi 0° ≤x≤360°.
x 00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
y = 5 + 3 sin 2x

Jadual 4
b) Menggunakan skala 2 cm kepada 45° pada paksi x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada

paksi y, lukis graf y = 5 + 3 sin 2x bagi 0° ≤ x ≤ 360°.

11

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
2. y = c + a kos bx
dengan keadaan a,b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan b> 0.
Contoh 5
Graf bagi y = 3 + 3 kos 3x, 0 ≤ x ≤ 360.
x 00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
y

12

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

Latihan 3

1. Lengkapkan Jadual 1 bagi Fungsi Trigonometri.

X (radian)
0

y = 2 +3 kos 3x

y = 5 -2kos 2x

y = 3 + kos 2x

Jadual 1

2. a) Lengkapkan Jadual 2 bagi persamaan trigonometri y = 2 + 4kos 2x bagi
0° ≤x≤360°.

X 00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
y = 2 + 4kos 2x

Jadual 2

b) Menggunakan skala 2 cm kepada 45° pada paksi x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada
paksi y, lukis graf y = 2 + 4kos 2x bagi 0° ≤ x ≤ 360°.

13

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

14

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
3. a) Lengkapkan Jadual 3 bagi persamaan trigonometri y = 4 +2 kos 3x bagi 0° ≤x≤360°.
x 00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
y = 4 +2 kos 3x
Jadual 3
b) Menggunakan skala 2 cm kepada 30° pada paksi x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada
paksi y, lukis graf y = 4 +2 kos 3x bagi 0° ≤ x ≤ 360°.

15

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

3. y = c + a tan bx

dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 dan b > 0.
Contoh 6
Graf bagi y = 2 + 3tan 2x, 0 ≤ x ≤ 360.

X 00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
y = 2 + 3tan 2x

16

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

Latihan 4

1. a) Lengkapkan Jadual 1 bagi persamaan trigonometri y = 3 +3 tan 2x bagi 0° ≤x≤360°.
X 00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600

y = 3 +3 tan 2x
Jadual 1

b) Menggunakan skala 2 cm kepada 45° pada paksi x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada
paksi y, lukis graf y = 3 +3 tan 2x bagi 0° ≤ x ≤ 360°.

17

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
2. a) Lengkapkan Jadual 2 bagi persamaan trigonometri y = 4 +3 tan 2x bagi 0° ≤x≤360°.
X 00 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600
y = 4 +3 tan 2x
Jadual 2
b) Menggunakan skala 2 cm kepada 45° pada paksi x dan 2 cm kepada 1.0 unit pada
paksi y, lukis graf y = 4 +3 tan 2x bagi 0° ≤ x ≤ 360°.

18

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

❖ MELAKAR GRAF

1. y = a sin bx

Contoh 7
Lakarkan graf y = 2 + 3sin 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 180 .

Penyelesaian: 450 900 1350 1800

y = 2 + 3sin 2x
X 00

Y

Latihan 5

19

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
1. Bagi fungsi-fungsi trigonometri yang berikut:
Lakarkan graf tersebut.
(a) y = 4 + 3 sin 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 180
x 0° 45° 90° 135° 180°
y

(b) y = 2 - 2sin 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 180
x 0° 45° 90° 135° 180°
y

20

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
(c) y = 2 – 4 sin 3x, untuk 0 ≤ x ≤ 360
x 00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
y

(d) y = -3 + 2sin 2x , untuk 0 ≤ x ≤ 180
x 0° 45° 90° 135° 180°
y

21

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

(e) y = 5 + 2sin 2x

(f) y = 3 – sin2x

(g) y = 3 + 2sin 3x

22

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

2. y = c + a kos bx

Contoh 8
Lakarkan graf y = 3 + 2kos 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 180

Penyelesaian: 45° 90° 135° 180°
x 0°
y

23

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

Latihan 6

1. Bagi fungsi-fungsi trigonometri yang berikut:
Lakarkan graf tersebut.

(a) y =4+3 kos 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 360
x 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
y

(b) y = 2- kos 3x, untuk 0 ≤ x ≤ 360
x 00 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
y

24

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
(c) y = 3 +4kos 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 360

(d) y = 3 + kos x

25

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
(d) y = 2-3 kos 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 360

(e) y = 4+2 kos 3x

26

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

3. y = c + a tan bx

Contoh 9
Lakarkan graf y = 2 + 2tan 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 360

Penyelesaian:

x 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
y

27

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

Latihan 7

1. Bagi fungsi-fungsi trigonometri yang berikut:
Lakarkan graf tersebut.

(a) y = 3+3tan 2x, untuk 0 ≤ x ≤ 360
x 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
y

(e) y = 12 + 3tan 3x, untuk 0 ≤ x ≤ 360

28

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI
(c) y = 5+3tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 360

(d) y = 3 + 4tan 4x untuk 0 ≤ x ≤ 360

29

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

2.3 MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM DARI GRAF SIN x,
KOS x DAN SIN x.

1. y = sin x

Nilai maksimum y = sin x

a

Nilai minimum -b

Nilai maksimum = a
Nilai minimum = - b

Latihan 8

1. Pada ruang jawapan, tentukan nilai maksimum dan minimum bagi setiap graf.
a) y = 2 sin 2x

Nilai maksimum ………………
Nilai minimum ………………

30

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

b) y = 3 sin x

3
2
1

-1
-2
-3

Nilai maksimum ………………
Nilai minimum ………………

2. y = kos x a
-b
Nilai maksimum

Nilai minimum

Nilai maksimum = a
Nilai minimum = - b

31

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

Latihan 9

Pada ruang jawapan, tentukan nilai maksimum dan minimum bagi setiap graf.
1.a) y = 2 kos x

Nilai maksimum ………………
Nilai minimum ………………

a) y = kos 2x

1

-1

Nilai maksimum ………………
Nilai minimum ………………

32

KERTAS PENERANGAN 2 DVM TAHUN 1 SEM 1
MATEMATIK TEKNOLOGI I - UMT 1112 TRIGONOMETRI

3. y = tan x

Tiada nilai maksimum dan nilai minumum.

Latihan 10

1. Pada paksi di ruang jawapan, tentukan nilai maksimum dan nilai minimum bagi graf.
y = 2 tan x

Nilai maksimum ………………
Nilai minimum ………………

33