แบบฝึกชุด 1

ก

คำรบั รองของผบู้ ริหำร
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องจานวนเชงิ ซอ้ น ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 ซึง่ จัดทาโดย นางสาวประภัสสร
เบา้ ชารี ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ โรงเรียนหล่มเก่าพิทยาคม อาเภอหล่มเก่า จังหวดั เพชรบรู ณ์
สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 40 เปน็ แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ที่จัดทาข้ึน เพื่อใชเ้ ป็น
เครือ่ งมือในการจัดกจิ กรรมการเรียนการสอนสาหรับผู้เรียนให้มีความรคู้ วามสามารถตามมาตรฐานที่กาหนดใน
หลักสตู ร จงึ เป็นการพัฒนางานในหนา้ ท่ขี องตนให้มปี ระสิทธิภาพ เป็นทย่ี อมรบั จากบุคคลท่ัวไป
ข้าพเจา้ นายวเิ ศษ ป่ินพิทักษ์ ผอู้ านวยการโรงเรียนหล่มเก่าพทิ ยาคม อาเภอหลม่ เก่า จงั หวัด
เพชรบรู ณ์ ขอรับรองว่า นางสาวประภสั สร เบา้ ชารี ได้จัดทาแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื งจานวนเชงิ ซ้อน
ชุดนี้ ขน้ึ ดว้ ยตนเองอย่างเตม็ ความสามารถ เพอ่ื ให้เกิดประโยชน์สูงสุดแกผ่ เู้ รยี น

(นายวิเศษ ปิ่นพิทกั ษ์)
ผู้อานวยการโรงเรียนหลม่ เก่าพทิ ยาคม

ข

คำนำ
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองจานวนเชงิ ซ้อน ชดุ นจี้ ดั ทาแบบฝกึ ทกั ษะย่อยจานวน 9 ชดุ เพ่ือใช้
ประกอบการจัดการเรยี นรู้ รหสั วชิ า ค32202 รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม 4 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5
การจดั ทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ งจานวนเชงิ ซ้อน ไดจ้ ัดทาขึน้ ด้วยการนาความรู้ทไ่ี ด้จาก
การประมวลจากหนังสอื หลากหลายมาพฒั นาให้อยู่ในรปู แบบท่เี ปน็ ระบบ มุ่งเน้นให้เป็นแนวทางในการจัด
การเรยี นรู้ เพื่อถา่ ยทอดความรู้ และทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ท่ีสอดคล้องกับผลการเรยี นรูใ้ นสาระ
การเรยี นรู้เพมิ่ เตมิ ของหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 แกไ้ ขพทุ ธศกั ราช 2553
ผจู้ ดั ทาหวงั เปน็ อย่างย่งิ ว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชดุ นี้ จะเป็นประโยชน์ต่อการจดั การเรยี นรู้
ของครู และนกั เรยี นไดร้ บั ความร้แู ละทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรต์ ามทีม่ ่งุ หวังไว้

ประภสั สร เบา้ ชารี

สำรบญั ค

เรือ่ ง หน้า
คารบั รองของผู้บรหิ าร ก
คานา ข
สารบัญ ค
คาชี้แจง ง
คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรบั ครู ฉ
คาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรบั นักเรยี น ช
ผลการเรยี นรแู้ ละจดุ ประสงค์การเรยี นรู้ ซ
แบบทดสอบก่อนเรียน เรอื่ ง จานวนเชิงซอ้ นและการเทา่ กัน และกระดาษคาตอบ 1
ใบความรทู้ ี่ 1.1 เรื่อง จานวนเชิงซอ้ น 4
ใบความรูท้ ี่ 1.2 เรอ่ื ง จานวนจินตภาพและสญั ลกั ษณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน 5
ใบความรู้ท่ี 1.3 เร่ือง รากที่สองของจานวนจรงิ ลบ 7
แบบฝึกทักษะท่ี 1.1 เร่อื ง จานวนเชิงซอ้ น 10
ใบความรทู้ ่ี 1.4 เรอ่ื ง การเท่ากนั ของจานวนเชงิ ซอ้ น 13
แบบฝึกทักษะท่ี 1.2 เร่อื ง การเท่ากนั ของจานวนเชงิ ซ้อน 15
แบบทดสอบหลังเรียน เร่ือง จานวนเชงิ ซอ้ นและการเท่ากัน และกระดาษคาตอบ 17
แบบบันทึกคะแนน เรื่อง จานวนเชิงซอ้ นและการเทา่ กัน 20
บรรณานุกรม 21
ภาคผนวก 22
เกณฑ์การให้คะแนนด้านความรู้ ทักษะกระบวนการ และคุณลกั ษณะ 23
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1.1 เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อน 26
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1.2 เรื่อง การเทา่ กันของจานวนเชงิ ซ้อน 30
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อนและการเทา่ กัน 33
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น เรอื่ ง จานวนเชงิ ซอ้ นและการเท่ากัน 34

ง

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่องจานวนเชิงซ้อน ในรายวชิ า คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 รหสั วชิ า ค32202
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 ชุดน้ี ประกอบด้วยแบบฝึกทกั ษะย่อย จานวน 9 ชดุ ดงั น้ี

ชุดท่ี 1 จานวนเชงิ ซอ้ นและการเทา่ กนั
ชุดที่ 2 การหาผลบวกและผลลบของจานวนเชงิ ซ้อน
ชุดที่ 3 การหาผลคณู ของจานวนเชิงซ้อน
ชดุ ที่ 4 การหาผลหารและสงั ยุคของจานวนเชิงซอ้ น
ชุดที่ 5 กราฟและคา่ สัมบรู ณ์ของจานวนเชิงซ้อน
ชุดท่ี 6 รูปเชงิ ขัว้ ของจานวนเชิงซ้อน
ชุดที่ 7 การหาผลคูณ เลขยกกาลัง ตัวผกผนั การคูณ และผลหารของจานวนเชิงซ้อน โดยใชร้ ปู เชิงข้ัว
ชดุ ที 8 การหารากของจานวนเชงิ ซ้อน
ชดุ ที่ 9 สมการพหุนาม
แบบฝกึ ทักษะชุดน้ีเปน็ แบบฝึกทกั ษะชุดท่ี 1 เร่ือง จานวนเชงิ ซ้อนและการเท่ากนั ใช้เวลาในการ
จดั การเรยี นรู้ท้ังหมด 2 ช่วั โมง มีสว่ นประกอบดังนี้

1) ปก
2) คารบั รองของผู้บริหาร
3) คานา
4) สารบญั
5) คาชี้แจง
6) คาแนะนาการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์สาหรบั ครู
7) คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตรส์ าหรับนกั เรียน
8) ผลการเรยี นรแู้ ละจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
9) แบบทดสอบก่อนเรียน เรอ่ื ง จานวนเชิงซอ้ นและการเท่ากนั และกระดาษคาตอบ
10) แบบฝกึ ทกั ษะ ประกอบด้วย

10.1) ใบความรูท้ ่ี 1.1 เรอื่ ง จานวนเชิงซ้อน

จ

10.2) ใบความรู้ที่ 1.2 เรอ่ื ง จานวนจินตภาพและสัญลักษณ์ของจานวนเชิงซ้อน
10.3) ใบความรูท้ ่ี 1.3 เรอ่ื ง รากท่สี องของจานวนจรงิ ลบ
10.4) แบบฝึกทักษะที่ 1.1 เรอื่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น
10.5) ใบความรูท้ ี่ 1.4 เรื่อง การเทา่ กันของจานวนเชิงซอ้ น
10.6) แบบฝกึ ทักษะที่ 1.2 เรอื่ ง การเทา่ กันของจานวนเชิงซ้อน
11) แบบทดสอบหลงั เรียน เร่ือง จานวนเชิงซอ้ นและการเท่ากัน และกระดาษคาตอบ
12) แบบบนั ทึกคะแนน เรื่อง จานวนเชงิ ซอ้ นและการเท่ากัน
13) บรรณานุกรม
14) ภาคผนวก ประกอบด้วย
14.1) เกณฑ์การใหค้ ะแนนด้านความรู้ ทกั ษะกระบวนการ และคุณลกั ษณะ
14.2) เฉลยแบบฝกึ ทักษะ

14.2.1) เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.1 เร่อื ง จานวนเชิงซอ้ น
14.2.2) เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.2 เร่ือง การเทา่ กันของจานวนเชิงซ้อน
14.3) เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เรื่อง จานวนเชงิ ซอ้ นและการเทา่ กัน
14.4) เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เร่ือง จานวนเชิงซอ้ นและการเทา่ กนั

ฉ

คำแนะนำกำรใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศำสตร์สำหรบั ครู

1) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องจานวนเชิงซ้อนนี้ มีทั้งหมด 9 ชดุ
2) แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์น้ีเปน็ แบบฝึกทกั ษะชดุ ที่ 1 เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ นและ
กำรเทำ่ กนั ประกอบแผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 2
3) ศกึ ษาการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ แผนการจดั การเรยี นรู้ มาตรฐานการเรียนรู้
ผลการเรยี นรู้ สาระสาคัญ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระการเรยี นรู้ ทักษะกระบวนการ คุณลกั ษณะ กิจกรรม
การเรยี นรู้ สอ่ื และแหล่งการเรียนรู้ ตลอดจนการวัดผลและประเมนิ ผลในแตล่ ะแบบฝกึ ทักษะใหเ้ ข้าใจอย่าง
ชัดเจน
4) จัดเตรยี มแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์และอุปกรณ์ เชน่ แบบทดสอบ แบบสงั เกตพฤติกรรม
ด้านทักษะกระบวนการ แบบสังเกตพฤติกรรมด้านคุณลกั ษณะ และตรวจสอบให้พร้อม เพอื่ สะดวกต่อการใช้
5) อธิบายให้นักเรียนทราบถึงความสาคัญของการฝึกด้วยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ บทบาท
หน้าทขี่ องนักเรยี น และกาหนดขอ้ ตกลงร่วมกนั ว่า นักเรยี นต้องปฏบิ ตั ิตามขัน้ ตอนของการจัดกิจกรรมการ
เรยี นรู้ดว้ ยตนเองอย่างเคร่งครัด โดยไม่เปิดดูเฉลยก่อน แต่ท้งั น้ีครูจะใหค้ าแนะนาแกน่ ักเรยี น หากนกั เรยี น
มขี อ้ สงสัย เพ่ือให้นักเรียนเห็นประโยชน์ทีจ่ ะไดร้ บั จากการฝึกทกั ษะดว้ ยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
6) ทาการวดั ผลและประเมนิ ผลนกั เรียนในด้านทักษะกระบวนการและคุณลักษณะ
ในระหว่างการปฏิบตั ิกจิ กรรม

ช

คำแนะนำกำรใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณติ ศำสตรส์ ำหรบั นักเรยี น
1) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื งจานวนเชิงซอ้ นน้ี มีทง้ั หมด 9 ชุด
2) แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์นี้เป็นแบบฝกึ ทกั ษะชุดที่ 1 เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ นและ
กำรเทำ่ กนั
3) ข้นั ตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

3.1) ศกึ ษาคาชี้แจง คาแนะนาการใชแ้ บบฝกึ ทักษะ สาหรับนักเรียน ผลการเรยี นร้แู ละ
จุดประสงค์การเรียนรู้

3.2) ทาแบบทดสอบก่อนเรียน
3.3) รว่ มกจิ กรรมการเรยี นรู้ ศกึ ษาใบความรแู้ ละตวั อย่างให้เข้าใจก่อนทาแบบฝึกทกั ษะ
3.4) เม่อื นักเรียนลงมือทาแบบฝึกทักษะแล้วเกิดตดิ ขัด ให้กลบั ไปศึกษาใบความรู้และ
ตวั อย่างเพิ่มเตมิ
3.5) ทาแบบทดสอบหลังเรียน
3.6) ตรวจกระดาษคาตอบของตนเอง โดยดูเฉลยจากภาคผนวก ทั้งเฉลยแบบทดสอบ
กอ่ นเรียน เฉลยแบบฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน
3.7) หากนักเรยี นยังไม่ทราบสาเหตุท่ที าให้ได้คาตอบผดิ ควรขอให้ครอู ธบิ ายเพมิ่ เติม
เพื่อเปน็ แนวทางในการแก้ไขความเข้าใจผดิ นัน้ ๆ

ซ

ผลกำรเรยี นรแู้ ละจดุ ประสงค์กำรเรยี นรู้

ผลกำรเรยี นรู้ เร่อื ง จำนวนเชงิ ซ้อน

1. มีความคิดรวบยอดเกยี่ วกับจานวนเชิงซอ้ น เขยี นกราฟและหาค่าสัมบรู ณข์ องจานวนเชิงซ้อนได้
2. เขยี นจานวนเชิงซอ้ นในรปู เชงิ ขวั้ หากาลงั n และรากที่ n ของจานวนเชิงซอ้ น เมื่อ n เป็น
จานวนเตม็ บวกได้
3. แก้สมการพหุนามตัวแปรเดยี วทมี่ สี ัมประสทิ ธเิ์ ปน็ จานวนเต็มและมีดีกรีไม่เกินสามได้

จดุ ประสงคก์ ำรเรยี นรู้ เร่ือง จำนวนเชิงซ้อนและกำรเทำ่ กนั
1. นักเรียนหาค่ารากท่สี องของจานวนจริงลบได้
2. นักเรยี นสามารถบอกสว่ นจรงิ และสว่ นจินตภาพของจานวนเชงิ ซ้อนได้

3. นกั เรียนสามารถเขียนจานวนเชงิ ซ้อนในรูป a  bi ใหอ้ ยใู่ นรปู a,b และเขียนจานวนเชิงซ้อน
ในรปู a,b ใหอ้ ยู่ในรปู a  bi ได้ เมื่อ a,b เป็นจานวนจริงใด ๆ ได้

4. นกั เรียนบอกได้ว่าจานวนเชงิ ซอ้ นสองจานวนท่ีกาหนดให้เทา่ กันหรอื ไม่
5. นกั เรยี นนาความรู้เรอ่ื งการเท่ากนั ของจานวนเชิงซ้อนไปใช้ได้

1

เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซ้อนและกำรเท่ำกัน

คำชแ้ี จง 1. แบบทดสอบน้ีเป็นแบบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก มี 10 ขอ้ เต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที

2. จงกากบาท () คาตอบท่ถี ูกต้องทส่ี ดุ เพยี งคาตอบเดียว ลงในกระดาษคาตอบท่ีกาหนดให้

1. ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูก

ก.  8  2 2i ข. 4i  4 i

ค. 5 2  5 2 ง. 3  3i

2. รากท่สี องของ – 3 คือจานวนในขอ้ ใด

ก. 3i และ  3i ข. 3 และ  3

ค. 3i และ 3i ง. 3 และ – 3

3. ขอ้ ใดกลา่ วผิดเกย่ี วกับรากทส่ี องของ – 25 คอื ขอ้ ใด

ก. มีสว่ นจริงเป็น 0 ข. รากที่สองของ – 25 คอื 5i

ค. มีสว่ นจริงคอื 5 และส่วนจินตภาพ คือ 0 ง. มสี ว่ นจินตภาพ คือ 5

4. ข้อใดผดิ

ก. สว่ นจรงิ ของ 0,5 คือ 0 ข. สว่ นจนิ ตภาพของ (5,0) คือ 5

ค. ส่วนจริงของ 12  2i คือ 12 ง. ส่วนจินตภาพของ 12  2i คือ – 2

5. ขอ้ ใดถูก

ก. 4  3 เขยี นไดเ้ ป็น 4, 3 ข. 3,2 เขียนไดเ้ ป็น 3 2i

ค. 1 5i เขยี นไดเ้ ปน็ 1,5 ง. 3,2 เขยี นไดเ้ ป็น 3 2i

6. ขอ้ ใดกลา่ วถูก

ก. –5 ไม่เป็นจานวนเชงิ ซ้อน

ข. อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซตของจานวนตรรกยะและเซตของจานวนอตรรกยะเปน็ จานวนเชงิ ซ้อน

ค. ยเู นียนของเซตจานวนจริงและจานวนจินตภาพไม่เท่ากับเซตของจานวนเชงิ ซอ้ น

ง. จานวนตรรกยะเป็นจานวนเชิงซอ้ น

2

7. ค่า x และ y ทส่ี อดคล้องกับ 2x 1  y  5i  3  2i ตรงกบั ข้อใด

ก. x  1 และ y  7 ข. x  1 และ y  7

ค. x  1 และ y  7 ง. x  1 และ y  7

8. ข้อใดไมใ่ ช่คา่ x และ y ทที่ าให้ 1 x2, x  y  10,4 เป็นจริง

ก. x  3i และ y  4  3i ข. x  3i และ y  4  3i

ค. x  3i และ y  4  3i ง. ทุกข้อท่ีกลา่ วมา

9. ค่า x และ y ทส่ี อดคล้องกับสมการ 2x  3 yi  3y  3x  5i ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. x  12 และ y  1 ข. x  12 และ y   1

77 77

ค. x  12 และ y  1 ง. x  12 และ y   1

77 77

10. ขอ้ ใดผดิ เกี่ยวกบั คา่ x และ y ท่ีสอดคล้องกบั สมการ  x  y, xy  1,2

ก. x  1  7 i และ y  1  7 i ข. x  1  7 i และ y  1  7 i
22 22 22 22

ค. หาคาตอบไม่ได้ ง. ไม่มคี าตอบในระบบจานวนจริง

3

ชอื่ -สกุล กระดำษคำตอบ
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ นและกำรเท่ำกัน

เลขท่ี ชั้น

คำชแี้ จง จงกากบาท () คาตอบทถ่ี ูกต้องทสี่ ุดเพียงคาตอบเดียว ลงในกระดาษคาตอบท่กี าหนดให้

ข้อ ก ข ค ง ขอ้ ก ข ค ง คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้

16 10
27
38
49

5 10

สาหรับทดเลข

4

ใบควำมร้ทู ่ี 1.1

เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน
การแก้สมการพหุนาม x2  4  0 คาตอบก็คอื ไมม่ ี x ท่ีเปน็ จานวนจริงทที่ าให้สมการนี้เป็นจรงิ
เพราะว่า x2   4 (ไมม่ จี านวนจริงใด ๆ ทยี่ กกาลังสองแล้วได้คา่ ที่เป็นลบ) ด้วยเหตผุ ลดังกล่าว
นกั คณติ ศาสตรจ์ งึ ไดค้ ิดสร้างระบบของจานวนข้นึ มาเพ่ือให้แก้ปญั หาโจทยข์ ้างต้นได้ ซงึ่ เรียกจานวนท่ีสร้างข้ึนมา
ใหมว่ ่า “จำนวนเชงิ ซ้อน” จานวนเชิงซ้อนประกอบดว้ ย จานวนจรงิ และจานวนจินตภาพ ดังแผนภาพต่อไปนี้

แผนผังแสดงควำมสัมพันธข์ องจำนวนชนดิ ต่ำง ๆ

จำนวนเชิงซ้อน
Complex number ( )

จำนวนจริง จำนวนเชงิ ซ้อนท่ีไม่ใช่จำนวนจรงิ
Real number ( ) Imaginary number

จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ
Irrational number ( ) Rational number ( )

จำนวนตรรกยะทีไ่ มใ่ ช่จำนวนเต็ม จำนวนเตม็
Fraction and Decimal Integer ( )

จำนวนเต็มลบ ศนู ย์ จำนวนเตม็ บวก
Negative number ( ) Zero Positive number ( )

(สุวัฒนา เอีย่ มอรพรรณ. 2549 : 3)

5

ใบควำมร้ทู ี่ 1.2
เร่ือง จำนวนจนิ ตภำพและสญั ลักษณข์ องจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนจนิ ตภำพ (Imaginary Number)
นกั คณิตศาสตรก์ าหนดจานวนท่ีไม่เป็นจานวนจริงดังนี้

นิยำม จานวนจนิ ตภาพ คือ จานวนทอี่ ย่ใู นรูป bi เมอ่ื b เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ b  0 และ i  1
เรยี ก วา่ “หน่วยจนิ ตภาพ” (imaginary unit)

ซ่ึงจานวนจินตภาพนเ้ี ป็นจานวนที่ไม่มีอยจู่ รงิ ในชวี ติ จริง เช่น i,i,2i,2i,3i,3i,... เปน็ ตน้

ซ่งึ จะไดว้ า่ 2  2 1  2i

3  3 1  3i

4  4 1  4i  2i

นอกจากนี้ยงั ไดว้ ่า i2  i i   1 1  1

ขอ้ สังเกต เมื่อกาหนด i  1

i2  1
i3  i

i4 1 i0

สรปุ ไดว้ ่า ถา้ N และ k เป็นจานวนเตม็ บวก iN มคี า่ ดงั น้ี

iN  i4k1  i1  i เมอื่ 4 หาร N เหลือเศษ 1

iN  i4k2  i2  1 เมื่อ 4 หาร N เหลอื เศษ 2

iN  i4k3  i3  i เมื่อ 4 หาร N เหลอื เศษ 3

iN  i4k  i0 1 เมือ่ 4 หาร N ลงตัว

6

สัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

นิยำม กาหนด z เป็นจานวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ a,b เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ เขยี นจานวนเชิงซอ้ น z ได้ 2 แบบ
คอื z  a,b หรอื z  a  bi
โดย จำนวนจริง a เรียกวา่ ส่วนจรงิ (real part) เขยี นแทนดว้ ย Re z
จำนวนจริง b เรียกว่า สว่ นจนิ ตภำพ (imaginary part) เขยี นแทนดว้ ย Im z

ข้อควรทรำบ จากบทนิยาม
1. การเขียน z ในรูปคู่อันดบั z  a,b หรือในรูป z  a  bi มคี วามหมายเหมือนกัน นน่ั คือ

z  a,b  a  bi

เช่น จานวนเชิงซ้อน 3,2  3  2i นนั่ เอง

2. เราสามารถเขยี นจานวนเชิงซ้อนไดอ้ ีกหน่งึ รูปแบบคือ ในรปู เชิงขัว้ ซง่ึ จะกล่าวต่อไปในช่วงหลัง

3. จาก z  a,b  a  bi ถา้ b  0 แล้ว z  a ซ่ึงกค็ ือจานวนจรงิ น่ันเอง

4. จาก z  a,b  a  bi ถ้า a  0 แล้ว z  bi เราเรียกจานวนเชงิ ซ้อนน้ีวา่ “จำนวนจนิ ตภำพแท”้

(pure imaginary number)

ตัวอย่ำง จงบอกค่าของสว่ นจรงิ และสว่ นจินตภาพของจานวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนี้

จำนวนเชิงซ้อน ส่วนจรงิ ( Re z ) ส่วนจนิ ตภำพ ( Im z )
1. z  0, 6 0 -6
2. z  3,0 3 0
3. z  2  3i -2 3
4. z  5 5 0
5. z  7i3
จดั รูป 7i3  7i 0 7

 7i

7

ใบควำมรทู้ ี่ 1.3

เรอื่ ง รำกทีส่ องของจำนวนจรงิ ลบ
รำกทสี่ องของจำนวนจรงิ ลบ

เมอ่ื มีเซตของจานวนจนิ ตภาพแล้วสามารถหารากท่สี องของจานวนจรงิ ทุกจานวนได้ ไม่ว่าจะเปน็ บวก
หรือลบ นน่ั คือ bi2  b2 i2  b2 1  b2

โดยสาหรับจานวนจริง b ใด ๆ ซึ่งเม่ือ   0 และ b   (จาไว้เสมอวา่   0 ดงั นั้น
คา่ รากท่สี องของ  เป็นจานวนจริงเสมอ) น่นั คือ b2   ดงั นน้ั bi   นั่นคอื หาก a เป็นจานวนจรงิ
บวก รากทส่ี องของ a คอื  a   ai ดงั นยิ าม

นิยำม
กาหนด a เป็นจานวนจรงิ บวก รากทีส่ องของ a คอื  a   ai

การหารากทสี่ องของจานวนจริงลบ หาได้งา่ ยขนึ้ จากการเขียนเป็นสมการ x2  a เมอ่ื a เป็น
จานวนจรงิ บวก ซึง่ สามารถหาไดห้ ลายวธิ โี ดยอาศยั ความรู้เก่ียวกบั จานวนจินตภาพ เช่น การลองแทนค่า

การแยกตวั ประกอบ และการใชส้ ตู ร b  b2  4ac ดงั ตัวอย่าง

2a

ตวั อย่ำง 1 จงหารากท่สี องของ – 11

เขยี นในรูปสมการ x2  11

กำรแทนคำ่ กำรแยกตัวประกอบ กำรใชส้ ูตร

x2  11 x2  11 x2  11
x2  11  0
2 x2  11  0
จัดสมการให้อยู่ในรปู ax2  bx  c  0
11
 x2  เพ่ือหาคาตอบโดยใชส้ ตู ร

2 x  b  b2  4ac
2a
11i  0
 x2   111 2  x2  จะได้ x2  0x 11  0

2 x  11i,  11i

1
 x2  11

2

11i
 x2 

x   11i

8

กำรแทนค่ำ กำรแยกตัวประกอบ กำรใช้สูตร
ซ่ึงได้ค่า a,b,c เป็น 1,0,11 ตามลาดับ

แทนค่าในสตู ร จะได้

0  02  4111
x  21

x   0  44
2

x   44
2

 441

x
2

 22 11i2

x
2

x   2 11i
2

x   11i

ตวั อย่ำง 2 จงหารากทีส่ องของ – 36

เขยี นในรูปสมการ x2  36

กำรแทนค่ำ กำรแยกตวั ประกอบ กำรใชส้ ูตร

x2  36 x2  36 x2  36
x2  36  0
2 x2  36  0
x2  6i2  0 จดั สมการให้อยู่ในรูป ax2  bx  c  0
36  x  6i  x  6i  0
 x2  เพ่อื หาคาตอบโดยใช้สตู ร x  b  b2  4ac
x  6i, 6i
 x2   36 1 2 2a

2 จะได้ x2  0x  36  0

1
 x2  36

x2  6i2

x  6i

9

กำรแทนค่ำ กำรแยกตัวประกอบ กำรใชส้ ตู ร
ซึ่งไดค้ ่า a,b,c เป็น 1,0,36 ตามลาดบั

แทนคา่ ในสตู ร จะได้

0  02  4136
x  21

x   0 144
2

x   144
2

 1441

x
2

 122 i2

x
2

x  12i
2

x  6i

10

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1 คะแนนเต็ม 64
เรอื่ ง จำนวนเชิงซอ้ น คะแนนทไ่ี ด้

ชอื่ -สกุล เลขที่ ชน้ั

1. ใหน้ ักเรยี นกาเคร่ืองหมาย  ลงในตาราง เพ่ือพจิ ารณาถึงเซตของจานวนที่กาหนดให้

เซต

ข้อ จำนวน จำนวน จำนวน จำนวน จำนวน จำนวน จำนวน
เต็ม ตรรกยะ อตรรกยะ จริง จินตภำพ เชงิ ซ้อน

1.1 2,7
1.2 3
1.3 0

1.4 9i
1.5 2
1.6 3 4i
1.7 0,1

1.8 0, 10

1.9  , 1)
(
6

1.10  ,0

2. จงแสดงการหารากที่สองของจานวนจริงลบต่อไปน้ี

2.1 – 121 2.2  36

5

11

2.3 – 72 2.4 – 35

3. จงบอกสว่ นจริงและส่วนจินตภาพของจานวนเชงิ ซอ้ น ( z ) ตอ่ ไปน้ี

3.1 z  0,0 จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................

3.2 z  (1,  ) จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................
จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................
2

3.3 z  0, 2

3.4 z  5  e2 จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................

3.5 z  4  3 1i จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................
3.6 z  2x 1, y  5 จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................
3.7 z  7x   x  3yi จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................
3.8 z  x   y  2i จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................
3.9 z  i  5 จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................

3.10 z  ( 1 , 1 ) จะได้ Re z  ................. และ Im z  .................

22

12

4. จงเขยี นจานวนทกี่ าหนดให้ตอ่ ไปน้ีในรปู ของจานวนเชงิ ซ้อน a  bi

4.1 3,4 เขยี นได้เปน็ ............................

4.2 5,3 เขียนไดเ้ ปน็ ............................

4.3 1 4 เขียนไดเ้ ป็น ............................

4.4 2 2 เขยี นไดเ้ ปน็ ............................

4.5  5 เขียนไดเ้ ป็น ............................

5. จงเขียนจานวนท่กี าหนดให้ตอ่ ไปน้ีในรปู ของจานวนเชิงซ้อน a,b

5.1 4  3i เขียนได้เป็น ............................

5.2 4 เขยี นได้เปน็ ............................

5.3 4i เขยี นไดเ้ ปน็ ............................

5.4 135 เขียนได้เป็น ............................

5.5 3 144 เขยี นได้เป็น ............................

13

ใบควำมรทู้ ่ี 1.4

เรือ่ ง กำรเทำ่ กันของจำนวนเชิงซ้อน
การเปรยี บเทียบจานวนเชิงซ้อนทีไ่ มใ่ ชจ่ านวนจริง สามารถพจิ ารณาการเท่ากนั และการไม่เท่ากนั ของ
จานวนเชิงซ้อนได้เท่านนั้ สว่ นการเปรยี บเทียบวา่ มากกว่าหรอื นอ้ ยกวา่ นัน้ ไม่สามารถทาได้
การเทา่ กนั ของจานวนเชิงซ้อน พจิ ารณาได้ดงั นยิ าม

นยิ ำม
กาหนด z1  a1  b1i  a1,b1 และ z2  a2  b2i  a2,b2  เป็นจานวนเชงิ ซ้อนใด ๆ

แล้ว z1  z2 กต็ ่อเมื่อ Re z1   Re z2  และ Im z1   Im z2 
น่นั คอื a1  a2 และ b1  b2

โดยมากจะนาความร้เู ก่ยี วกับเท่ากนั ของจานวนเชงิ ซ้อนไปใช้ ดังน้ี

ตัวอย่ำง 1 จงหาคา่ ของ x และ y ท่ีทาให้  x,3  1, y 1

วิธีทา  x, 3  1, y 1

จากนยิ าม การเทา่ กันของจานวนเชงิ ซ้อน

จะไดว้ ่า x 1 และ 3  y 1

น่นั คือ x 1 และ y  31

ดังนั้น x 1 และ y  4
y  4

ตัวอยำ่ ง 2 จงหาค่าของ x และ y ท่ที าให้  x  2y  2x  yi  4  3i

วิธที า  x  2y  2x  yi  4  3i

จากนยิ าม การเท่ากนั ของจานวนเชงิ ซ้อน

จะไดว้ า่ x  2y  4 และ 2x  y  3

จะได้ระบบสมการ

x2y  4 (1)
(2)
2x  y  3

(2) 2; 4x  2y  6 14
(1) + (3); x2 (3)
แทน x  2 ใน (2) จะได้
22 y  3

y 34

y  1

ดังน้ัน x  2 และ y  1

15

แบบฝึกทักษะท่ี 1.2 คะแนนเตม็ 18
เร่ือง กำรเทำ่ กนั ของจำนวนเชิงซ้อน คะแนนทไี่ ด้

ชอ่ื -สกลุ เลขท่ี ช้ัน

จงแสดงการหาคา่ x และ y โดยอาศยั การเท่ากนั ของจานวนเชงิ ซอ้ น

1.  x,5  3, y

2. 3y, x  y  6,0

3. 2x  3y  4i  3  3x  4yi

16

4. 7x   x  3yi  3y  9i
5.  x  2y,2x  y  5,5
6. x  2y  2x  yi  4  3i

17

เรอ่ื ง จำนวนเชิงซ้อนและกำรเทำ่ กนั

คำช้แี จง 1. แบบทดสอบนีเ้ ปน็ แบบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก มี 10 ข้อ เต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที

2. จงกากบาท () คาตอบทถี่ ูกต้องท่สี ดุ เพียงคาตอบเดยี ว ลงในกระดาษคาตอบที่กาหนดให้

1. ข้อใดต่อไปนี้ถูก

ก. 5 2  5 2 ข. 3  3i

ค.  8  2 2i ง. 4i  4 i

2. รากทีส่ องของ – 3 คือจานวนในขอ้ ใด

ก. 3i และ 3i ข. 3 และ – 3

ค. 3i และ  3i ง. 3 และ  3

3. ขอ้ ใดกลา่ วผดิ เก่ยี วกับรากท่สี องของ – 25 คอื ขอ้ ใด

ก. มีส่วนจริงคือ 5 และสว่ นจินตภาพ คือ 0 ข. มีสว่ นจนิ ตภาพ คอื 5

ค. มสี ่วนจริงเป็น 0 ง. รากทสี่ องของ – 25 คอื 5i

4. ข้อใดผิด

ก. สว่ นจริงของ 12  2i คือ 12 ข. ส่วนจนิ ตภาพของ 12  2i คอื – 2

ค. ส่วนจริงของ 0,5 คือ 0 ง. สว่ นจนิ ตภาพของ (5,0) คือ 5

5. ขอ้ ใดถูก

ก. 3,2 เขียนไดเ้ ป็น 3 2i ข. 1 5i เขยี นไดเ้ ป็น 1,5

ค. 4  3 เขยี นไดเ้ ปน็ 4, 3 ง. 3,2 เขยี นไดเ้ ป็น 3 2i

6. ขอ้ ใดกล่าวถูก

ก. จานวนตรรกยะเป็นจานวนเชิงซ้อน

ข. อนิ เตอร์เซกชันของเซตของจานวนตรรกยะและเซตของจานวนอตรรกยะเป็นจานวนเชงิ ซอ้ น

ค. ยูเนียนของเซตจานวนจรงิ และจานวนจนิ ตภาพไม่เท่ากับเซตของจานวนเชิงซอ้ น

ง. –5 ไม่เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น

18

7. คา่ x และ y ทีส่ อดคล้องกับ 2x 1  y  5i  3  2i ตรงกับข้อใด

ก. x  1 และ y  7 ข. x  1 และ y  7

ค. x  1 และ y  7 ง. x  1 และ y  7

8. ข้อใดไม่ใช่คา่ x และ y ทที่ าให้ 1 x2, x  y  10,4 เปน็ จริง

ก. x  3i และ y  4  3i ข. x  3i และ y  4  3i

ค. x  3i และ y  4  3i ง. ทกุ ข้อที่กลา่ วมา

9. ค่า x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ 2x  3 yi  3y  3x  5i ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. x  12 และ y   1 ข. x  12 และ y  1

77 77

ค. x  12 และ y  1 ง. x  12 และ y   1

77 77

10. ข้อใดผิดเกีย่ วกบั ค่า x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ  x  y, xy  1,2

ก. x  1  7 i และ y  1  7 i ข. x  1  7 i และ y  1  7 i
22 22 22 22

ค. ไม่มคี าตอบในระบบจานวนจริง ง. หาคาตอบไมไ่ ด้

19

ชื่อ-สกุล กระดำษคำตอบ
แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง จำนวนเชิงซ้อนและกำรเท่ำกัน

เลขที่ ชัน้

คำช้ีแจง จงกากบาท () คาตอบท่ีถูกตอ้ งทสี่ ุดเพียงคาตอบเดยี ว ลงในกระดาษคาตอบทก่ี าหนดให้

ข้อ ก ข ค ง ขอ้ ก ข ค ง คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

16 10
27
38

49

5 10

สาหรบั ทดเลข

20

ชอ่ื -สกลุ แบบบันทึกคะแนน ชน้ั
เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อนและกำรเทำ่ กัน

เลขที่

1. คะแนนจากแบบทดสอบ คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้
10
แบบทดสอบ 10
ก่อนเรยี น
หลังเรียน

2. คะแนนจากแบบฝึกทักษะ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้
64
แบบฝกึ ทักษะท่ี 18
1.1 จานวนเชิงซอ้ น 82
1.2 การเท่ากนั ของจานวนเชงิ ซอ้ น

รวม

ลงชื่อ ผตู้ รวจ
/ /

21

บรรณำนกุ รม
กวยิ า เนาวประทปี . (2556). เทคนิคกำรเรยี นคณิตศำสตร์ : จำนวนเชงิ ซ้อน. กรงุ เทพฯ : ฟสิ กิ สเ์ ซ็นเตอร์.
เจรญิ ภภู ัทรพงศ์ และศรลี ดั ดา ภูภัทรพงศ์. (ม.ป.ป.) คณิตศำสตร์เพิ่มเตมิ เข้ม ม.5 เลม่ 2. กรงุ เทพฯ :

SCIENCE CENTER.
ณฐั อดุ มพาณชิ ย.์ (2555). ยุทธวธิ ีแก้ปญั หำโจทยย์ ำก : ตะลุยโจทย์คณิตศำสตร์ 25 พ.ศ. กรุงเทพฯ :

สถาบนั สอนวิชาคณิตศาสตร์ NUTTY PROFESSOR.
ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2554). คมู่ ือครูรำยวิชำเพม่ิ เติม คณิตศำสตร์ เล่ม 4

ช้นั มธั ยมศกึ ษำปีท่ี 4-6. (พิมพ์ครง้ั ที่ 3). กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.
ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2555). หนงั สือเรยี นรำยวิชำเพ่ิมเตมิ คณิตศำสตร์

เลม่ 1 ช้ันมธั ยมศึกษำปีท่ี 4-6. (พิมพ์ครั้งที่ 4). กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.
ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2555). หนงั สือเรียนรำยวชิ ำเพ่ิมเติม คณิตศำสตร์

เล่ม 4 ช้ันมธั ยมศึกษำปีที่ 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.
สชุ ีพ งามเจริญ, และไอศรุ ยิ สุดประเสรฐิ . (ม.ป.ป.) คณติ คดิ เรว็ ทีละเร่ือง : จำนวนเชงิ ซ้อน. นนทบุรี :

ธรรมบณั ฑติ .
สวุ ฒั นา เอี่ยมอรพรรณ. (2549). วธิ แี ละเทคนคิ กำรสอนคณติ ศำสตร์เพอื่ พฒั นำกำรคิด. (พมิ พค์ ร้งั ที่ 3).

กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์แห่งจฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั .
Vieta’s Formulas. [ระบบออนไลน์]. สืบค้นจาก https://www.artofproblemsolving.com/wiki/

index.php?title=Vieta%27s_Formulas. [2557, สงิ หาคม 4].

22

ภำคผนวก
เกณฑ์การให้คะแนนด้านความรู้ ทกั ษะกระบวนการ และคุณลกั ษณะ

เฉลยแบบฝึกทักษะและแบบทดสอบ

23

เกณฑ์กำรใหค้ ะแนนด้ำนควำมรู้ ทกั ษะกระบวนกำร และคณุ ลกั ษณะ

1. ด้านความรู้

1.1 การตรวจให้คะแนนแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลังเรียน กาหนดเกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดงั น้ี

คะแนน เกณฑก์ ำรให้คะแนน

1 ตอบถูก

0 ตอบผดิ หรอื ไม่ตอบ

1.2 การตรวจให้คะแนนแบบฝกึ ทักษะ กาหนดเกณฑ์การใหค้ ะแนน ดังน้ี

1.2.1 กรณแี สดงวิธีทา

คะแนน เกณฑ์กำรใหค้ ะแนน

3 แสดงวธิ กี ารหาคาตอบไดช้ ดั เจน ครบถว้ นสมบรู ณ์ คาตอบถูกต้อง

2 แสดงวธิ ีการหาคาตอบได้ชัดเจน ครบถว้ นสมบูรณ์ แตค่ าตอบไมถ่ กู ตอ้ ง

1 แสดงวิธีการหาคาตอบได้ไม่ชัดเจน หรือไม่ครบถ้วนสมบูรณ์ แตค่ าตอบถูกต้อง

0 แสดงวธิ ีการหาคาตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไม่แสดงวิธีการหา

1.2.2 กรณเี ตมิ คาตอบ

คะแนน เกณฑก์ ำรใหค้ ะแนน

1 ตอบถูกตาแหนง่ ละ 1 คะแนน
0 ตอบผิดทั้งหมดหรือไม่ตอบ

2. ด้านทักษะกระบวนการ

2.1 การแกป้ ญั หา

คะแนน เกณฑ์กำรให้คะแนน

3 แก้ปัญหาสาเรจ็ อย่างมปี ระสิทธภิ าพ สามารถอธิบายวธิ ีการแก้ปญั หาท้ังหมดได้ชัดเจน

2 แกป้ ัญหาสาเร็จ สามารถอธบิ ายวธิ ีการแก้ปญั หาไดบ้ างส่วน

1 แกป้ ัญหาสาเรจ็ บางสว่ น สามารถอธิบายวิธกี ารแกป้ ัญหา

0 แกป้ ัญหาไม่สาเร็จ

24

2.2 การให้เหตุผล

คะแนน เกณฑก์ ำรใหค้ ะแนน

3 เสนอแนวคิดได้สมเหตสุ มผล

2 เสนอแนวคิดไดส้ มเหตสุ มผลเป็นสว่ นใหญ่

1 เสนอแนวคิดไดส้ มเหตสุ มผลเปน็ บางส่วน

0 ไมเ่ สนอแนวคิด

2.3 การส่อื สาร

คะแนน เกณฑ์กำรใหค้ ะแนน

3 ใชภ้ าษาและสัญลักษณท์ างคณิตศาสตรใ์ นการนาเสนอได้ถูกต้องตามลาดับข้ันตอน และมี

รายละเอียดสมบรู ณช์ ดั เจน

2 ใช้ภาษาและสัญลกั ษณท์ างคณติ ศาสตร์ในการนาเสนอไดถ้ ูกตอ้ งตามลาดบั ข้นั ตอน และมี
รายละเอยี ดไม่สมบูรณ์

1 ใช้ภาษาและสญั ลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ในการนาเสนอได้ตามลาดับขัน้ ตอน แต่ไม่มรี ายละเอยี ด

0 ไม่ใชภ้ าษาหรือสัญลักษณท์ างคณติ ศาสตร์ใด ๆ ในการนาเสนอเลย

3. ด้านคณุ ลักษณะ

3.1 การทางานเปน็ ระบบ

คะแนน เกณฑก์ ำรให้คะแนน

3 วางแผนการทางานเปน็ ระบบ ดาเนินการตามข้นั ตอนครบทุกข้ันตอน

2 วางแผนการทางานเปน็ ระบบ ดาเนินการไม่ครบทุกข้ันตอน

1 วางแผนการทางานไมเ่ ป็นระบบ เกดิ ผลเสียหาย

0 ไมด่ าเนนิ การวางแผนการทางาน

3.2 ความรอบคอบ

คะแนน เกณฑ์กำรใหค้ ะแนน
3 ผลงานถกู ต้อง สะอาดเรยี บร้อย
2 ผลงานถูกต้อง แต่ไมส่ ะอาดเรียบร้อย
1 ผลงานตกหล่นบา้ ง และไมส่ ะอาดเรยี บรอ้ ย
0 ผลงานตกหล่นมากจนผดิ พลาด

25

3.3 ความรบั ผดิ ชอบ

คะแนน เกณฑก์ ำรใหค้ ะแนน

3 สง่ งานกอ่ นหรือตรงกาหนดเวลา มีความรับผดิ ชอบจนเปน็ นิสยั เป็นแบบอย่างแกผ่ ู้อ่ืนและ

แนะนาชกั ชวนใหผ้ ้อู น่ื ปฏิบัติ

2 ส่งงานชา้ กวา่ เวลาท่ีกาหนดเล็กน้อย แต่ได้มีการตดิ ต่อชี้แจง โดยมีเหตุผลรบั ฟังได้

1 ส่งงานชา้ กว่าเวลาทกี่ าหนด ปฏบิ ัติงานโดยต้องอาศัยคาแนะนา และการตักเตอื น

0 ไม่สง่ งาน

3.4 ความซื่อสตั ย์

คะแนน เกณฑก์ ำรให้คะแนน

3 ทางานดว้ ยตนเองทงั้ หมด และสง่ งานก่อนหรือตรงกาหนดเวลา

2 ทางานด้วยตนเองท้งั หมด แต่ส่งงานชา้ กวา่ เวลาทก่ี าหนดเล็กน้อย

1 ทางานด้วยตนเองบ้าง แตส่ ่งงานตามเวลาทกี่ าหนด

0 คดั ลอกผลงานของผอู้ นื่ และส่งงานชา้ กวา่ เวลาท่กี าหนด

3.5 จติ สาธารณะ

คะแนน เกณฑ์กำรให้คะแนน
3 ทางานด้วยตนเองทงั้ หมด และส่งงานก่อนหรือตรงกาหนดเวลา
2 ทางานด้วยตนเองทง้ั หมด แต่ส่งงานช้ากว่าเวลาทีก่ าหนดเล็กน้อย
1 ทางานดว้ ยตนเองบา้ ง แต่สง่ งานตามเวลาที่กาหนด
0 คัดลอกผลงานของผ้อู น่ื และสง่ งานช้ากวา่ เวลาทกี่ าหนด

26

เฉลย จำนวน
เชิงซ้อน
แบบฝึกทกั ษะที่ 1.1 เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

1. ให้นกั เรยี นกาเครื่องหมาย  ลงในตาราง เพื่อพจิ ารณาถงึ เซตของจานวนท่ีกาหนดให้

เซต
ข้อ จำนวน จำนวน จำนวน จำนวน จำนวน จำนวน

เตม็ ตรรกยะ อตรรกยะ จรงิ จินตภำพ
1.1 2,7

1.2 3  

1.3 0  

1.4 9i 
1.5 2
1.6 3 4i  
1.7 0,1




1.8 0, 10 

1.9  , 1) 
( 
6

1.10  ,0

27

2. จงแสดงการหารากทสี่ องของจานวนจรงิ ลบต่อไปนี้

2.1 – 121 2.2  36

5

x2  121 x2   36
x2  121i2 5

x2  112 i2 x2    36   0
 5 
x  11i
x2   36  i 2  0
ค่ารากท่ีสองของ -121 คือ 11i และ 11i  5 
 

x2   6i 2  0
 5 

 x  6i   x  6i   0
 5   5 

x  6i ,  6i
55

ค่ารากท่ีสองของ  36 คอื 6i และ  6i
55 5

2.3 – 72 2.4 – 35

x2  72 x2  35
x2  72i2
x2  36 2i2 x2  35  0

 x2  6 2 2 i2 เทียบกบั สมการพหนุ าม ax2  bx  c  0
จะได้ a  1,b  0,c  35
x  6 2i
แทนค่าในสูตร x  b  b2  4ac
ค่ารากทีส่ องของ -72 คือ 6 2i และ 6 2i
2a

จะได้ 0  02  4135
x  21

x   140
2

28

x  2 35i
2

x   35i

คา่ รากท่ีสองของ -35 คอื 35i และ  35i

3. จงบอกส่วนจรงิ และส่วนจินตภาพของจานวนเชิงซ้อน ( z ) ต่อไปน้ี

3.1 z  0,0 จะได้ Re z  .........0........ และ Im z  ........0.......

3.2 z  (1,  ) จะได้ Re z  .........1...... และ Im z  ........ ......
จะได้ Re z  .......0.......
2 2

3.3 z  0, 2 และ Im z  ...... 2....

3.4 z  5  e2 จะได้ Re z  ......5  e2.... และ Im z  ........0......

3.5 z  4  3 1i จะได้ Re z  .......4...... และ Im z  ......3 1.....
3.6 z  2x 1, y  5 จะได้ Re z  .....2x 1.... และ Im z  ......y  5.....

3.7 z  7x   x  3yi จะได้ Re z  .......7x....... และ Im z  ......x  3y....

3.8 z  x   y  2i จะได้ Re z  ......x...... และ Im z  .....y  2.....

3.9 z  i  5 จะได้ Re z  ......5....... และ Im z  ....... 1.......

3.10 z  ( 1 , 1 ) จะได้ Re z  ..... 1 ....... และ Im z  ...... 1 ....

22 22

4. จงเขียนจานวนท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ีในรปู ของจานวนเชิงซ้อน a  bi

4.1 3,4 เขยี นได้เปน็ ........... 3 4i .................

4.2 5,3 เขยี นได้เป็น ........... 53i ..............

4.3 1 4 เขยี นไดเ้ ป็น ........... 1 2i ..............

4.4 2 2 เขียนได้เปน็ ........ 2 2i ................

4.5  5 เขยี นไดเ้ ป็น ........  5i ....................

29

5. จงเขียนจานวนทก่ี าหนดให้ต่อไปน้ีในรูปของจานวนเชงิ ซ้อน a,b

5.1 4  3i เขียนได้เป็น .........4,3.................

5.2 4 เขียนไดเ้ ป็น .........0,2 .................

5.3 4i เขยี นไดเ้ ปน็ .........0,4 ..............

5.4 135 เขียนได้เป็น ......... 135,0.............

5.5 3 144 เขียนได้เปน็ ......... 3,12 ............

30

เฉลย

แบบฝึกทักษะท่ี 1.2 เรอ่ื ง กำรเทำ่ กนั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

จงแสดงการหาค่า x และ y โดยอาศยั การเทา่ กันของจานวนเชิงซ้อน

1.  x,5  3, y

จากนยิ าม การเทา่ กนั ของจานวนเชงิ ซอ้ น

จะได้ว่า x  3 และ 5   y

ดงั นนั้ x  3 และ y  5

2. 3y, x  y  6,0

จากนิยาม การเทา่ กนั ของจานวนเชิงซอ้ น

จะได้วา่ 3y  6 และ x  y  0

y  6 และ x  y (1)
(2)
3 (3)
(4)
ดงั นน้ั y  2 และ x  2
3. 2x  3y  4i  3  3x  4yi

จากนยิ าม การเทา่ กันของจานวนเชงิ ซ้อน
จะไดว้ า่ 2x  3y  3 และ 4  3x  4y
จะได้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ดังน้ี 2x  3y  3

3x  4y  4

(1) x 4; 8x 12y  12

(2) x 3; 6x 12y  12

(3) + (4); 14x  0

จะได้ x  0

แทนคา่ x  0 ใน (1) จะได้ 20  3y  3

จะได้ y  1

ดังนน้ั x  0 และ y  1

4. 7x   x  3yi  3y  9i 31
จากนยิ าม การเท่ากนั ของจานวนเชงิ ซ้อน
จะได้ว่า 7x  3y และ x  3y  9 (1)
จะไดร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ดงั นี้ 7x  3y  0 (2)

(1) + (2); x3y  9 (1)
8x  9 (2)
(3)
จะได้ x  9

8

แทนคา่ x  9 ใน (2) จะได้ 9 3y  9
8
8

9 9  3y
8

33 y
8

3  24  y
8

 21  y
8

จะได้ x  9 และ y   21
5.  x  2y,2x  y  5,5
88

จากนิยาม การเทา่ กันของจานวนเชงิ ซอ้ น

จะได้ x  2y  5 และ 2x  y  5

จะได้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ดงั นี้ x  2y  5

(2) x 2; 2x  y  5
(1) + (3); 4x  2y  10
จะได้
แทนค่า x  3 ลงใน (2) จะได้ 5x 15
x3

23  y  5

6 y 5

32

y 56

y  1 (1)
(2)
ดงั น้ัน x  3 และ y  1 (3)
6. x  2y  2x  yi  4  3i

จากนยิ าม การเท่ากนั ของจานวนเชิงซอ้ น
จะได้ x  2y  4 และ 2x  y  3
จะไดร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ดงั น้ี x  2y  4

(2) x2; 2x  y  3
(1) + (3); 4x  2y  6
จะได้
แทนค่า x  2 ใน (2) จะได้ 5x 10
x2

22 y  3

4 y 3

y 34

จะได้ y  1
ดังน้ัน x  2 และ y  1

33

เฉลย
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอ้ นและกำรเทำ่ กัน

1. ง
2. ก
3. ค
4. ข
5. ค
6. ง
7. ก
8. ข
9. ก
10. ค

34

เฉลย
แบบทดสอบหลังเรยี น เร่ือง จำนวนเชงิ ซอ้ นและกำรเทำ่ กัน

1. ข
2. ค
3. ก
4. ง
5. ข
6. ก
7. ง
8. ก
9. ค
10. ง