3_1_Planimetria

3.1 Planimetria

Všeobecný trojuholník, sínusová a kosínusová veta

46 Dĺžky strán trojuholníka sú v pomere 7: 6: 4. Najkratšia strana má 36 . Aký obvod v cm má tento
trojuholník?

22 V trojuholníku ABC pre veľkosti strán , , platí ≤ ≤ . Dva z jeho vnútorných uhlov majú veľkosti
80° a 40°. Ktoré z nasledujúcich tvrdení o trojuholníku ABC je pravdivé?
(A) Uhol veľkosti 80° leží oproti strane a.
(B) Uhol veľkosti 40° leží oproti strane b.
(C) Tretí vnútorný uhol leží oproti strane a.
(D) Tretí vnútorný uhol leží oproti strane b.
(E) Tretí vnútorný uhol leží oproti strane c.

45 V trojuholníku ABC ležia oproti stranám , , uhly , ,  v tomto poradí. Ak  = 35° a  = 75°, tak pre
veľkosti strán tohto trojuholníka platí:
(A) < < (B) < < (C) < < (D) < < (E) < <

16 Rozhodnote, ktorá z úsečiek k, l, m, n, o
je podľa údajov znázornených na obrázku najdlhšia?
(A) úsečka k
(B) úsečka l
(C) úsečka m
(D) úsečka n
(E) úsečka o

26 Aký najmenší obvod môže mať trojuholník s celočíselnými stranami , , , pre ktoré platí nerovnosť
< < , pričom vieme, že strana = 20 ?

77 Koľko je rôznych trojuholníkov s obvodom 24 cm, ak vieme, že všetky strany trojuholníka majú

celočíselnú dĺžku v cm a tiež vieme, že jedna jeho strana má 10 cm?

(A) 14 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (E) 4

33 Existuje pre každý trojuholník ABC bod, ktorý má rovnakú vzdialenosť od všetkých jeho vrcholov A, B, C ?
(A) Nie, taký bod nemusí existovať.
(B) Áno, je to priesečník výšok trojuholníka ABC.
(C) Áno, je to priesečník ťažníc trojuholníka ABC.
(D) Áno, je to priesečník osí uhlov trojuholníka ABC.
(E) Áno, je to priesečník osí strán trojuholníka ABC.

01 Dĺžky strán trojuholníka sú 3 cm, 4 cm a 6 cm. Určte v stupňoch veľkosť tupého vnútorného uhla
trojuholníka.

63 Daný je trojuholník ABC , ktorý má strany dlhé 7 cm, 6 cm, 9 cm. Vypočítajte kosínus jeho najmenšieho
vnútorného uhla.

1

3.1 Planimetria

Všeobecný trojuholník, sínusová a kosínusová veta

48 V trojuholníku ABC sa | | = 4, uhol CAB má veľkosť 80° a uhol CBA veľkosť 40°. Aká je dĺžka strany AC
s presnosťou na dve desatinné miesta?
(A) 2,61 (B) 2,97 (C) 3,52 (D) 4,55 (E) 5,39

15 V trojuholníku ABC sú strany = 2 , = 3 a uhol  = 60°. Vypočítajte dĺžku strany .
(A) 11 cm (B) 7 cm (C) 5 cm (D) 3 cm (E) 2 cm

06 V trojuholníku ABC sú veľkosti vnútorných uhlov = 80° a = 70°.
Určte v stupňoch veľkosť uhla medzi výškou na stranu a výškou na stranu .

20 Daný je trojuholník ABC s ťažnicami = 9, = 6. Bod T je ťažisko trojuholníka a bod S je stred strany
BC. Veľkosť uhla CTS je 60°. Určte veľkosť strany BC. Výsledok uveďte s presnosťou na dve desatinné
miesta.

39 Vnútorné uhly trojuholníka majú veľkosti 30°, 45°, 105°, jeho najdlhšia strana meria 10 cm. Vypočítajte
dĺžku najkratšej strany, výsledok uveďte v cm s presnosťou na dve desatinné miesta.

09 V trojuholníku ABC je pomer dĺžok strán ∶ = 1 ∶ 2 a uhol = 30°. Určte v stupňoch veľkosť
najväčšieho vnútorného uhla trojuholníka ABC.

76 V trojuholníku ABC sú strany v pomere ∶ = 4 ∶ 5, pre veľkosť uhlov platí: | | = 2. | |.
Určte v stupňoch veľkosť najmenšieho vnútrného uhla v tomto trojuholníku.

24 Veľkosti uhlov v pravouhlom trojuholníku sú v
pomere  :  :  = 1 : 2 : 3. Pri zvyčajnom označnení
strán trojuholníka je číslo 3/3 pomerom
(A) a:b (B) b:a (C) b:c (D) a:c (E) c:b

70 Zememerač nameral tieto hodnoty |AB| = 651 m,
|BAC| = 43°, |BAC| = 36° a nakreslil
nasledujúci obrázok. Vypočítajte šírku rieky.

10 Študent geodetickej školy meria z Bratislavského hradu
šírku Dunaja. Keď zameriava v rovine kolmej na rieku,
vidí brehy Dunaja v hĺbkových uhloch 61° a 9°. Výška
stanovišťa študenta nad hladinou Dunaja je 51 metrov.
Určte šírku Dunaja podľa nameraných hodnôt. Výsledok
zapíšte zaokrúhlený na celé metre.
2

3.1 Planimetria

Všeobecný trojuholník, sínusová a kosínusová veta

56 Vzdialenosť miest A a C na rovnej ceste je 200 m. Medzi
miestami A a C sa nad cestou vznáša balón B. Z miesta A je
možné pozorovať balón B pod výškovým uhlom 10°, z miesta
C pod výškovým uhlom 20° (pozrite obrázok). Určte
zaokrúhlene na celé metre, o koľko je vzdušná vzdialenosť
balóna B od miesta C menšia ako od miesta A.

12 Pomer dĺžok strán obdĺžnika ABCD je 3√3 ∶ 1. Určte veľkosť menšieho z uhlov uhlopriečok obdĺžnika ABCD.

(A) 60° (B) 120° (C) 130° (D) 70° (E) 30°

32 V rovnoramennom trojuholníku ABC so základňou AB platí: veľkosť uhla C

BAC je 20°, |AB|=4. Os vnútorného uhla pri vrchole B pretína stranu AC v P
bode P. Vypočítajte dĺžku úsečky AP. Výsledok veďte s presnosťou na dve

desatinné miesta. 20°
A

4 B

60 Do rovnoramenného trojuholníka so základňou dlhou 2 cm a výškou na základňu
dlhou 6 cm je vpísaná kružnica (pozrite obrázok). Vypočítajte v centimetroch polomer

vpísanej kružnice.

72 Gotický štvorlístok je ornament, v ktorom sú do väčšej kružnice vpísané štyri
rovnaké dotýkajúce sa menšie kružnice, ako vidíte na obrázku. Polomer veľkej

kružnice je jeden meter. Vypočítajte v metroch polomer menšej kružnice.

3

3.1 Planimetria

Pravouhlý trojuholník, Pytagorova veta

28 Osem metrov dlhý rebrík je opretý v telocvični o stenu, s ktorou zviera uhol 11°. Zistite, do akej výšky
steny rebrík dosiahne. Svoju odpoveď uveďte v metroch s presnosťou na dve desatinné miesta.

57 Ramená dvojitého rebríka majú dĺžku 245 cm. Po roztvorení rebríka (pozrite obrázok)
ramená zvierajú uhol 40°. Určte zaokrúhlene na celé centimetre výšku takto
roztvoreného rebríka (vzdialenosť najvyšších bodov rebríka od podlahy).
(A) 230 cm (B) 208 cm (C) 188 cm (D) 157 cm (E) 84 cm

02 Dĺžky strán pravouhlého trojuholníka sú tri za sebou idúce členy aritmetickej postupnosti. Dlhšia odvesna
má dĺžku 24 cm. Vypočítajte v centimetroch dĺžku prepony trojuholníka.

27 Prepona pravouhlého trojuholníka má dĺžku 17 cm. Jedna jeho odvesna je o 7 cm kratšia ako druhá

odvesna. Vypočítajte v centimetroch obvod tohto pravouhlého trojuholníka.

(A) 50 (B) 46 (C) 42 (D) 40 (E) 36

74 Pomer strán obdĺžnika je 2 : 3. Jeho uhlopriečka má dĺžku 26 cm. Vypočítajte obsah tohto obdĺžnika
v centimetroch štvorcových.

37 V pravouhlom trojuholníku ABC s odvesnou |AC|=13cm B D
má výška na preponu dĺžku |CD|=5cm. Vypočítajte veľkosť C
uhla CAB v stupňoch s presnosťou na dve desatinné ?A
miesta.

17 Určte výšku medzi dvoma poschodiami, ak viete, že počet schodov medzi dvoma poschodiami je 18, sklon
stúpania je 30° a dĺžka schodu je 28,6 cm. Výsledok uveďte v centimetroch s presnosťou na celé

centimetre.

29 V pravouhlom trojuholníku ABC je |AB|=6, =35°. Vypočítajte dĺžku B 6
strany AC, výsledok uveďte zaokrúhlený na 1 desatinné miesto. C 35°
A

52 Na kružnici k ležia body A, B, C tak, že úsečka BC je priemerom kružnice k a úsečky AC a BC zvierajú uhol
65°. Vypočítajte dĺžku BC, ak viete, že strana AC má 10 cm. Výsledok uveďte v cm zaokrúhlený na dve

desatinné miesta.

42 Obvodový uhol patriaci k oblúku AB kružnice s polomerom 4 cm má veľkosť 50°. Aká je
vzdialenosť tetivy AB od stredu tejto kružnice?

Uveďte s presnosťou na dve desatinné miesta.

49 Bod V je vzdialený 25 cm od stredu kružnice k, ktorá má polomer 10 cm. Bodom V môžeme viesť dve

dotyčnice ku kružnici k. Akú veľkosť s presnosťou na stotiny stupňa má uhol , ktorý zvierajú tieto

dotyčnice? (A) 132,84° (B) 66,42° (C) 47,16° (D) 43,60° (E) 23,58°

4

3.1 Planimetria

Obvod a obsah

03 Dĺžka strany štvorca ABCD je 5 cm. Body E, F a G sú stredy strán štvorca
(pozrite obrázok).
Vypočítajte v centimetroch štvorcových obsah vyšrafovanej časti štvorca ABCD.

08 V trojuholníku ABC majú vnútorné uhly ležiace pri vrcholoch A a B veľkosti
30° a 45° (pozrite obrázok).
Výška na stranu AB je 1 cm.
Obsah trojuholníka ABC je

(A) (3+1)/2 (B) (3 – 1)/2 (C) (2+1)/2 (D) (2+2)/2 (E) (2 – 1)/2

14 V obdĺžniku ABCD je vzdialenosť jeho stredu od priamky AB o 3cm väčšia ako A B
od priamky BC. Obvod obdĺžnika je 52 cm. Vypočítajte obsah obdĺžnika. D C
Výsledok uveďte v cm2.

55 Olejomaľba tvaru obdĺžnika s rozmermi 80 cm a 60 cm je vložená do rámu s
rovnakou šírkou po celom obvode olejomaľby (pozrite obrázok). Obsah
olejomaľby je 16 / 5 -krát väčší ako obsah celého rámu. Vypočítajte v
centimetroch šírku rámu olejomaľby.

51 Aký najväčší obsah môže mať trojuholník ABC, v ktorom má strana a dĺžku 7cm a ťažnica ta na stranu
a dĺžku 16cm?

53 Dĺžka strany každého malého štvorčeka na obrázku je 1
cm. Všetky vrcholy vyznačeného útvaru na obrázku sú
vo vrcholoch malých štvorčekov. Vypočítajte v
centimetroch štvorcových obsah vyznačeného útvaru
na obrázku.

19 Máme tri úsečky s rôznymi dĺžkami, z ktorých sme vytvorili trojuholník. Po sčítaní dĺžok každých dvoch
úsečiek dostaneme postupne hodnoty 21 cm, 19 cm a 16 cm. Určte obvod trojuholníka v centimetroch.

18 Tupouhlý trojuholník má obsah 2 cm2 a strany určujúce tupý uhol sú dlhé 2cm a 4 cm. Určte veľkosť

tupého uhla v stupňoch. 10

2?
4

73 Kordélia z rovnostranného trojuholníka odstrihla vyfarbenú časť, ako vidíte na

obrázku (najkratšia strana vyfarbeného trojuholníka je 1/3 dĺžky strany

pôvodného trojuholníka). Vypočítajte, akú časť z trojuholníka odstrihla.

5

3.1 Planimetria

Obvod a obsah

41 Vypočítajte obsah štvoruholníka ABCD D C
znázorneného na obrázku. 10 8 .
10
8
B
A

10

34 Obvod polkruhu je 20 cm. Potom polomer polkruhu s presnosťou na dve dasatinné miesta je:
(A) 2,52 cm (B) 3,18 cm (C) 3,57 cm (D) 3,89 cm (E) 6,37 cm

05 Obvod a obsah kruhu sú vyjadrené rovnakým číslom x cm a x cm2. Určte v centimetroch priemer kruhu.

(A)  (B) 4 (C) 1 (D) 2 (E) 4

69 Obsah medzikružia tvorený dvoma kružnicami so spoločným stredom je 100 cm2. Polomer vonkajšej
kružnice sa rovná dvojnásobku polomeru vnútornej kružnice. Určte v centimetroch veľkosť polomeru
vonkajšej kružnice.

59 Do štvorca so stranou dlhou 1 cm sú vpísané dve štvrťkružnice so stredmi v
protiľahlých vrcholoch štvorca (pozrite obrázok). Vypočítajte v centimetroch
štvorcových obsah vyznačenej časti štvorca, ohraničenej dvoma štvrťkružnicami.

66 Ak jednu stranu štvorca zväčšíme o x % a druhú stranu zmenšíme o 20 %, dostaneme obdĺžnik, ktorý má o
4 % väčší obsah ako pôvodný štvorec. Určte číslo x.

67 Zoraďte rovinné útvary K, L, M (pozrite obrázok) podľa veľkosti ich obsahov.

Poradie útvarov podľa veľkosti obsahov je:

68 Je daný obdĺžnik, ktorý je rozdelený na 5 trojuholníkov. Čísla
v jednotlivých trojuholníkoch predstavujúich obsah v cm2.
Vypočítajte v centimetroch štvorcových obsah celého obdĺžnika.

6

3.1 Planimetria

Štvoruholníky

54 Obdĺžnik ABCD má rozmery |AB| = 8 cm a |BC| = 6 cm. Množina všetkých
bodov obdĺžnika ABCD, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od vrcholov B a C, je

úsečka. Určte v centimetroch dĺžku tejto úsečky.

04 Vo štvoruholníku ABCD s dĺžkami strán |AB| = 9, |BC| = 11 a |CD| = 3 sú vnútorné uhly pri
vrcholoch A a C pravé (pozrite obrázok).

Určte dĺžku strany AD štvoruholníka ABCD.

35 Konvexný štvoruholník ABCD je vpísaný do kružnice k s polomerom 5 cm tak, že
uhlopriečka AC je priemer tejto kružnice, |AB|=8cm, |AD|=7cm.
Akú dĺžku s presnosťou na jedno desatinné miesto má najkratšia strana tohto
štvoruholníka?
(A) 6,2 cm (B) 6 cm (C) 5,9 cm (D) 5 cm (E) 4,9 cm

30 Na obrázku je načrtnutý pravouhlý lichobežník.
Vypočítajte v stupňoch súčet jeho najmenšieho a

najväčšieho vnútorného uhla.

38 V rovnoramennom lichobežníku ABCD poznáme dĺžku D 120° C
|AB|=7cm, |BC|=|AD|=4cm, veľkosť uhla BCD je 120°. 44

Vypočítajte |DC|. A B
7

65 Základňa lichobežníka má dĺžku 10 cm. Všetky jeho ostatné strany majú rovnakú dĺžku. Jeden z jeho

vnútorných uhlov má veľkosť 60°. Určte v centimetroch obvod lichobežníka.

75 V rovnoramennom lichobežníku ABCD so základňami AB a CD platí |AB| = |AC|. Uhol BAC má veľkosť
32°. Aká je veľkosť uhla ADC v stupňoch?

71 Obsah lichobežníka je 132 cm2. Rozdiel dĺžok oboch základní je 6 cm, výška je o 2 cm dlhšia ako kratšia
základňa. Určte v centimetroch veľkosť výšky lichobežníka.

58 Rovnobežník ABCD (pozrite obrázok) má dĺžky strán 6 cm a 4 cm . Veľkosť jedného z
vnútorných uhlov rovnobežníka je 45°. Vypočítajte v centimetroch dĺžku dlhšej

uhlopriečky rovnobežníka ABCD .

7

Podobnosť 3.1 Planimetria

64 Trojuholníky ABC a DEF sú xM
podobné, pričom dĺžky strán
m
trojuholníka DEF tvoria tri po
C
sebe idúce členy geometrickej B

postupnosti. Určte v

centimetroch dĺžku najkratšej

strany trojuholníka DEF.

13 Dané sú kružnice k(K; 3cm) a m(M; 8cm), k P
pričom |KM|=22cm. Spoločné vnútorné x
dotyčnice týchto kružníc sa pretínajú v bode P. K
Vypočítajte vzdialenosť KP.

21 Do rovnostranného trojuholníka so stranou dlhou 6 cm je vpísaný
štvorec. Vypočítajte dĺžku strany tohto štvorca. Výsledok uveďte

v centimetroch s presnosťou na dve desatinné miesta.

07 Do trojuholníka ABC je vpísaný polkruh (pozrite obrázok).
Určte polomer polkruhu, ak dĺžka strany AB je 8

a výška na stranu AB je 4.

25 Aký musí byť pomer šírky k dĺžke obdĺžnikového listu papiera, aby sme po jeho
preložení na štvrtiny dostali štyri rovnaké obdĺžniky podobné s pôvodným

obdĺžnikom?

43 V obdĺžniku ABCD je K stred strany CD, K
S je priesečník úsečiek AK a BD. D

Vypočítajte veľkosť |AS|, ak viete, že |AK|=9. S
A

44 Na obrázku je bod K stredom strany štvorca so stranou dĺžky 18.
Vypočítajte obsah vyznačeného trojuholníka.

50 Nech S je priesečník uhlopriečok lichobežníka ABCD, ktorého základne majú dĺžky |AB|=6cm, |CD|=3cm.
Vypočítajte obsah trojuholníka ABS ak viete, že obsah trojuholníka CDS je 13 cm2.

62 V trojuholníku ABC sme pospájali stredy strán a dostali sme tak menší trojuholník s obsahom 14 cm2. Aký
je obsah trojuholníka ABC v centimetroch štvorcových?

8

3.1 Planimetria

Mnohouholníky, obvodový a stredový uhol

36 Úsečka AC je priemerom kružnice na obrázku. Pomer dĺžok
oblúkov AB a BC je 7 : 3. Určte v stupňoch veľkosť uhla
AXB.

23 Vypočítajte veľkosť menšieho z uhlov,
ktorý určujú priamky A1A4 a A2A10
v pravidelnom dvanásťuholníku A1A2A3...A12.

40 V pravidelnom n-uholníku má vnútorný uhol veľkosť 144°. Nájdite číslo n udávajúce počet strán tohto
mnohouholníka.

11 Konvexný mnohouholník má 35 uhlopriečok. Určte počet strán tohto mnohouholníka.

47 Pravidelný šesťuholník ABCDEF je vpísaný do kruhu s polomerom 6 cm. Vypočítajte s presnosťou na
jedno desatinné miesto dĺžku jeho uhlopriečky AC v cm.

61 V pravidelnom mnohouholníku (na obrázku je zobrazená jeho časť a
stred) má najkratšia uhlopriečka dĺžku 10 cm . Veľkosť uhla tejto
uhlopriečky a strany mnohouholníka je 20°. Vypočítajte v
centimetroch obvod tohto mnohouholníka.

31 Vypočítajte obsah pravidelného 15-uholníka vpísaného do kružnice s polomerom r=4. Výsledok uveďte
s presnosťou na dve desatinné miesta.

9

Správne riešenia 117,28 3.1 Planimetria
30
01 40 10
02 15,63 41 96
03 7 42 2,57
04 E 43 6
05 44 27
06 70 45 B
07 2 46 153
08 A 47 10,4
09 48 B
10 90 49 C
11 294 50 52
12 51 56
13 10 52 23,66
14 A 53 14
15 6 54 8
16 160 55 5
17 B 56 67
18 D 57 A
19 297 58 9,27
20 150 59 0,57
21 28 60 0,85
22 10,58 61 47,89
23 2,78 62 56
24 D 63 0,75
25 75 64 4
26 A 65 25
27 0,5 66 30
28 43 67 D
29 D 68 39
30 7,85 69 6,51
31 4,9 70 265,85
32 180 71 11
33 48,81 72 0,41
34 1,39 73 0,22
35 E 74 312
36 D 75 106
37 B 76 26,05
38 63 77 D
39 22,62
3
5,18

10