นิทานเรื่องพีทาโกลัส

หนดู ไี ปโรงเรียน
ตอน พีทาโกรสั

คานา

หนังสืออิเล็กทรอนิกส์(E-Book) เล่มนี้ มีเนื้อหาเกี่ยวกับนิทานเรื่อง
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ จัดทาขึ้นเพื่อให้
ความรู้ประกอบกับการบันเทิง

ผู้จัดทาหวังเป้นอย่างยิ่งว่าหนังสืออิเล็กทรอนิกส์(E-Book) เล่มนี้
จะเป็นประโยชน์สาหรับผู้อ่านไม่มากก็น้อยและหากมีข้อผิดพลาดประการ
ใด ผู้จัดทาต้องขออภัยมา ณ ที่นี้

ผู้จัดทา
บุณยกร กองธรรม

วันนี้เปิดเทอมวันแรก
หนูดีดีใจที่ได้ไปโรงเรียน

"สวัสดีแก้ม ขนมหวาน นนน ฉันคิดถึงเธอจัง
ปิดเทอมตั้งหลายวันนะ " หนูดีกล่าวทักทายเพื่อน "

"สวัสดีหนูดี ฉันก็คิดถึงเธอเช่นเดียวกัน"
แก้มตอบ

วันนี้คุณครูให้เด็กๆ แบ่งพื้นที่ทาแปลงปลูกผัก ไว้ทาอาหารกลางวันทานกัน

นนน ขนมหวาน อาสาครูมาวัดมุม เพื่อแบ่งแปลงผักให้เปน็ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

หนูดี

อ้าว แล้วที่ว่าจะสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้านะ
เราจะสร้างกันได้ยังไงล่ะ

ไม่เห็นมีไม้ฉากเลย มีแต่เชือกที่มีปมๆ

ขนมหวาน

เราก็ใช้เชือกเส้นนี้แหละในการสร้าง ซึ่งเราสองคน
เอามาจากเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสไงล่ะ

แก้ม

พีทาโกรัส เขาเป็นใครหรอ? ชื่อคุ้นๆนะ

“ พีทาโกรัส เขาเปน็ นักคณิตศาสตร์ ซึ่งขยันและก็เก่งมากๆด้วย “ ขนมหวานกล่าว
“ อ๋อ เราจาได้แล้ว ที่หนังสือเรียนเล่มนี้บอกว่าในสมัยโบราณ

เมื่อชาวอียิปต์ต้องการวัดที่ดินให้เปน็ มุมฉาก เขาก็จะใช้เชือกที่มี11ปม ห่างเท่าๆกัน
นามาขึงให้เปน็ รูปสามเหลี่ยมด้านยาว 3 4 และ 5 หน่วย

ก็จะได้มุมฉากอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาว 5 หน่วยตามต้องการไงล่ะ ”แก้มกล่าว
“ ใช่แล้วครับขนมหวาน ” นนนกล่าว

"เราเลยเริ่มอยากรู้จักพีทาโกรัสเพิ่มแล้วนะ นนน เล่าเรื่องของพีทาโกรัสให้เราฟงั หน่อยซิ "
หนูดี กล่าว

"ได้เลย เรามีหนังสือที่พูดถึงพีทาโกรัสอยู่ในกระเปา๋ ด้วย นี่ไง " นนนกล่าว

ประวตั ิพีทาโกรัส

580 ปีกีอนครสิ ตกาล

ย้อนกลับไป เมื่อประมาณก่อน 580 ปีคริสตกาล ที่เมืองซามอส
ครอบครัวคหบดีที่มีฐานะร่ารวย ได้ให้กาเนิดเด็กชายที่มีนามว่า พีทาโกรัส

ครั้งหนึ่ง ชาวเมืองซามอส เกิดภาวะข้าวยากหมากแพงอย่างหนักครอบครัว
ของพีทาโกรัสจึงได้ทาการบริจาคข้าวของให้กับชาวเมือง

ทาให้ครอบครัวนี้เปน็ ที่รู้จักและเปน็ ที่เคารพยามเกรงของชาวเมืองโดยทั่วไป

ด้วยทางที่เป็นครอบครัวคหบดีที่มีฐานะร่ารวย ทาให้หนุ่มน้อย พีทาโกรัส
ได้มีโอกาสศึกษาเล่าเรียนกับอาจารย์เก่งๆมากมาย ซึ่งรวมถึงธาเลสแห่งมิเลตูส
1ใน7 ผู้ทีปัญญาเลิศในยุคโบราณด้วยทางที่พีทาโกลัส เป็นเด็กใฝร่ ู้ ใฝ่เรียน
จึงมีผลการเรียนที่ดีมาตลอด ประกอบกับสนใจในวิชาการด้านต่างๆ

เมื่อเติบใหญ่ ครอบครัวจึงส่งพีทาโกรัส ไปสู่โลกกว้าง เพื่อตามหาครูดีและศึกษาต่อ
ในวิชาการที่สูงขึ้น ซึ่งในสมัยนั้น สถานที่ที่ขึ้นชื่อว่าเปน็ เลิศในการรวบรวมสรรพวิชา
แห่งโลกยุคโบราณ ก็คือ สานักตักศิลาแห่งตะวันตก คือ อียิปต์และบาลีโลน

นอกจากนี้ยังเชื่อกันว่า พีทาโกรัส ได้ออกเดินทางต่อ เพื่อแสวงหาความรู้ต่างๆ ไป
กระทั่งถึงอินเดียหลังจากศึกษาสรรพวิชาต่างๆแล้ว

พีทาโกรัสก็เดินทางกลับมาที่ซามอสบ้านเกิดแต่กับพบว่าเมืองซามอสได้พ่ายแพ้ใน
สงครามตกเปน็ อาณานิคมของอาณาจักรเปอร์เซีย พีทาโกรัส จึงออกเดินทางอีกครั้งและ

ตัดสินใจตั้งรกรากใหม่ที่เมืองโครโตน่า ซึ่งอยู่ทางตอนใต้ของอิตาลีในปจั จุบัน

พีทาโกรัส ได้เปิดโรงเรียนของตนเองในนามว่า สานักพีทาโกเลียน Pythagorean
School โดยรับสอนกุลบุตรในสรรพศาสตร์ต่างๆ ทั้งด้านปรัชญา
คณิตศาสตร์ ธรรมชาติวิทยา ดนตรี ดาราศาสตร์และอื่นๆ

หนึ่งในจุดเด่นของสานักพีทาโกเลียน Pythagorean School คือการเปน็ มากกว่าสถาน
สอนความรู้ เพราะในโรงเรียนเต็มไปด้วยขนบ ความเชื่อที่ยึดถือตามหลักภารดรภาพ

หรือความเปน็ พี่น้อง ทาให้โรงเรียนแห่งนี้เปน็ เหมือนสมาคมลับ

มีแนวปฏิบัติที่มีเอกลักษณ์ เช่น ผลงานที่เกิดจากสมาชิกของสานักคือเปน็ ผลงานรวม
ของสานัก ห้ามผู้หนึ่งผู้ใดอ้างเปน็ สิทธิ์เฉพาะตน เชื่อในชีวิตหลังความตาย เชื่อในการ

กลับมาเกิดใหม่ ห้ามดื่มสุราถือมังสวิรัติ ห้ามแตะต้องไก่ตัวผู้สีขาวและห้ามนุ้งห่ม
อาภรณ์จากสัตว์โดยเกรงว่าอาจจะเปน็ ญาติกลับมาเกิดใหม่

สาหรับในด้านคณิตศาสตร์นั้น สานักพีทาโกเลียน Pythagorean School
มีความเชื่อสูงสุดที่ว่า All is number หรือทุกสรรพสิ่งคือจานวน

มีซึ่งจานวนในที่นี้หมายถึงจานวนตรรกยะบวกและศูนย์ พวกเขาเชื่อว่าตัวเลขไม่ได้มี
ความหมายเกี่ยวกับการคานวณเท่านั้น แต่หากนาไปผูกกับความเชื่อและโชคลางต่างๆ
โดยเชื่อว่าตัวเลขสามารถบ่งบอกอนาคต ไขความลับต่างๆของจักรวาลได้ ตัวเลขแต่ละ
ตัวมีความหมายเฉพาะ เช่น 1 คือต้นกาเนิดและความมีเหตุผล 2 คือผู้หญิงและความ
คิดเห็น 3 คือผู้ชายและความสามัคคี 4 คือความยุคและผลกรรม 5 คือการแต่งงานเพราะ

เกิดจาก 2+3 และ 10 คือความศักดิ์สิทธิ์เพราะเกิดจาก 1+2+3+4

ซึ่งแทนจานวนจุดที่น้อยที่สุดก่อให้เกิดรูปเรขาคณิต ซึ่งเปน็ ตัวแทนของปริภูมิต่างๆ
และหนึ่งในทฤษฎีบทต่างๆของพีทาโกรัส ที่มีชื่อเสียงและเปน็ ที่รู้จักกันเปน็ อย่างดี

ในวงการคณิตศาสตร์ ตั้งแต่อดีตจนกระทั่งปจั จุบัน คือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พีทาโกรัส ได้แนวคิดนี้ จากเมื่อครั้งที่ได้เดินทางไปศึกษาหาความรู้ที่อียิปต์ โดยเขา
สังเกตเห็นชาวบ้านใช้เชือกยาวๆผูกกันเปน็ ปม 13 ปม ห่างเท่าๆกัน จากนั้นนาปลายเชือก

ทั้งสองข้างจรดกันให้เปน็ มุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม แล้วช่วยกันดึงปมที่5
และ 8 ขึงเปน็ รูปสามเหลี่ยม เพื่อสร้างมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

= +

ทฤษฎบี ทพที าโกรัส

ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุม
ฉากนั้นทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเปน็ สมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c
ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังนี้ + = (อาจแทนด้วยตัวแปรอื่นเช่น
x, y, z, ก, ข, ค)

โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่
เหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้
ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์ แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้า
เขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐาน
หลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้
หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่
สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เปน็ ทรงตัน
n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความ
ยากจะเข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยม
มากมายทั้งในวรรณกรรม ละคร ละครเพลง เพลง สแตมป์และการ์ตูน

พีทาโกรัสจึงได้นาวิธีการนี้ มาขยายเปน็ แนวคิดและพิสูจน์เปน็ ทฤษฎีบทด้วยตนเอง

ที่รู้จักกันในปจั จุบันว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากกับความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

บทกลบั พที าโกรสั

+ =

" ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด
เท่ากับผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้าน แล้ว รูป
สามเหลี่ยมนั้นย่อมเปน็ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านยาวที่สุดเปน็ ด้านตรงข้ามมุม
ฉาก "
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้

กาหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ
เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เปน็ มุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสาม เ ห=ลื ่ย ม+
มุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เปน็ a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทา
โกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c
เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสอง
เท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้น
มุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย

จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราสามารถนาไปหาว่ารูป
สามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อ
กาหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม

การนาไปใชี

ประโยชน์ของทฤษฎีบทปีทาโกรัสและบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
1. ใช้หาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้
2. ใช้หาความยาว ความกว้าง และความสูงของรูปทรงเรขาคณิตบางรูปได้
3. ใช้หาพื้นที่ และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิตบางรูปได้

ตวั อยีาง

โทรทัศน์เครื่องหนึ่งมีหน้าจอที่วัดตามเส้นทแยงมุมได้ 29 นิ้ว หน้าจอโทรทัศน์

สูง 20 นิ้ว

จงหาว่าหน้าจอโทรทัศน์ยาวกี่นิ้ว 2
29 2 = x 2 +
วิธีทา 20

x 2 = 292 - 202

x2 = 841 - 400
x2 = 441

x = 21

ตอบ หน้าจอโทรทัศน์ยาว 21 นิ้ว

เพราะทฤษฎีบทพีทาโกรัส นี่เองที่ทาให้สานักพีทาโกเลียน Pythagorean School
ต้องเจอกับปัญหาใหญ่ เพราะค้นพบว่าไม่สามารถหาจานวนที่รู้จักในตอนนั้น มาแทนความ
ยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 1 หน่วย
ได้ ซึ่งขัดแย้งกับความเชื่อสูงสุดที่ว่า All is number หรือ ทุกสรรพสิ่งคือจานวน และเพื่อ
ป้องกันไม่ให้ความเชื่อหลักนั้นสั่นคอน สานักพีทาโกเลียน Pythagorean School จึงต้อง
เก็บข้อค้นพบนี้ไว้เป็นความลับ

มีเรื่องเล่ากันว่า ฮิบปาซูส ศิษย์คนนึงในสานัก ได้พยายามเผยความลับนี้ออกไป
ทาให้เขาถูกสานักพีทาโกเลียน Pythagorean School ลงทัณฑ์ด้วยการจับโยนทิ้งทะเล

ยิ่งนานวันสานักพีทาโกเลียน Pythagorean School
ก็ยิ่งเจริญและมีอิทธิพลทางความคิดของเยาวชนผู้เปน็ อนาคตของเมืองโครโตนนามากยิ่งขึ้น

ทาให้มีคนบางกลุ่มเกิดความอิจฉาและเกลียดชัง รวมถึงฝา่ ยการเมืองก็เกิดความระแวง
และเฝา้ กับตาสานักพีทาโกเลียน Pythagorean School มากขึ้น ต่อมาเมื่อได้เกิดข้อพิพาทและการปลุกป่ัน

จึงเปน็ ผลให้สานักพีทาโกเลียน Pythagorean School ถูกทาลายลง

พีทาโกรัส ผู้เปน็ เจ้าสานักในวัยชรา ได้ออกเดินทางอีกครั้งเพื่อลี้ภัย
เขาได้ขึ้นไปทางตอนเหนือราว 200 กิโลเมตร และใช้ชีวิตบั่นปลายที่

เมืองเมตาพอนตุม Metapontum พีทาโกลัส

เสียชีวิตลงเมื่อประมาณ 496 ปีก่อนคริสตกาล รวมอายุได้84ปี
เหลือไว้เพียงตานานและผลงานมากมายที่เปน็ ประโยชน์ต่อชนรุ่นหลังสืบจนปจั จุบัน

อนุเสาวรพี ที าโกรสั ท่ีเกาะซามอส

ผลงาน
พีทาโกรัสเปน็ นักวิทยาศาสตร์คนแรกที่ตั้งทฤษฎีเกี่ยวกับโลกกลม รวมถึงการ
หมุนรอบตัวเอง ของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์ นอกจากนี้เขายัง
สนใจเกี่ยวกับเรื่องแสงอีกด้วย และได้ค้นพบเกี่ยวกับเรื่องเสียง การค้นพบของ
เขาสรุปได้ว่าเสียงเกิดจากการสั่นสะเทือนของวัตถุ ผลงานของพีทาโกรัสเช่น เขา
ได้สร้างสูตรคูณหรือตารางพีทาโกเรียน ทฤษฎีเรขาคณิตที่ว่า " ในรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากใดๆ กาลังสองของความยาว ของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของ
กาลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก สมบัติของแสง และการมองเห็น
วัตถุสมบัติของเสียง

ใช่ๆเปน็ ความเก่งที่เกิดจาก ได้เลย อย่างงั้นเราและหนูดี ขอ
ความขยัน ใฝร่ ู้ ใฝเ่ รียน และ ช่วยนนน ขนมหวาน วัดพื้นที่
ความช่างสังเกต ทาให้เขา
ได้คิดค้นสิ่งที่เป็นประโยชน์ แปลงปลูกผักด้วยนะ

ต่อผู้คนมากมาย แบบนี้ โอ้โห พีทาโกรัส นี่เก่งจริงๆ
แหละ ไอดอลเราเลย เลยนะ