pdf_20221230_154156_0000

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

จัดทำโดย
ด.ญ.ณัฐชญาพเ ร จันธศร

ชั้น ม.1/2 เลขที่ 23
เสนอ

ครู รจนา พุ่มจันทร์

สารบัญ

1.การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง
2.การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
3.การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็็นผลต่างกำลังสอง

4.การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็็นกำลังสองสมบูรณ์

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยใช้สมบัติการแจกแจง

ถ้า a, b และ

c

แทนจำนวนใด

ๆ แล้ว

a(b + c) = ab + ac หรือ

(b + c)a = ba + ca

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยใช้สมบัติการแจกแจง

เราอาจเขียนใหม่เป็นดังนี้

ab + ac = a(b + c) หรือ

ba + ca = (b + c)a

ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยใช้สมบัติการแจกแจง


1) แยกตัวประกอบของแต่ละพจน์

2) หาตัวประกอบร่วมของแต่ละพจน์

3) ดึงตัวประกอบร่วมแต่ละพจน์มาไว้หน้าวงเล็บ

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยใช้สมบัติการแจกแจง


ถ้าต้องการทราบว่าการแยกตัวประกอบของ

พหุนามนั้นถูกต้องหรือไม่ มีวิธีการอย่างไร

ตอบ ตรวจสอบค าตอบโดยการหาผลคูณของ


พหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยใช้สมบัติการแจกแจง


การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์

นอกจากใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว ยังสามารถใช้สมบัติ

อื่นได้อีก เช่น สมบัติการสลับที่สมบัติการเปลี่ยนหมู

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 5xy + 6x2
วิธีทำ


5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x)
= x(5y + 6x)

ข้อสังเกต x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy และ 6x2
ดึง x ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา



ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 12y2z + 20yz
วิธีทำ


12y2z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)
(5)


= 4yz(3y + 5)

ข้อสังเกต 4yz เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y2z
และ 20yz ดึง 4yz ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปร
เดียว

ตัวอย่าง ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

3x2+ 4x + 5 , 2x2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+
3y – 7 , -y2+ 8y

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่
เขียนในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c

เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว



ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b เป็น
จำนวนเต็ม และ c = 0



ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปร
เดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx สามารถใช้สมบัติ

การแจกแจงแยกตัวประกอบได้

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x
วิธีทำ


x2 + 2x = (x)(x) + (2)(x)


= x(x + 2)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 20x
วิธีทำ


4x2 - 20x = (4x)(x) - (4x)(5)


= 4x(x - 5)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ -4x2 - 6x




วิธีทำ -4x2 - 6x = -2x(2x + 3)




หรือ -4x2 - 6x = 2x(-2x - 3)

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผล
ต่างกำลังสอง

นิพจน์ x2 – y2 มีเพียง 2 พจน์ ซึ่งแต่ละพจน์
อยู่ในรูปกำลังสอง เราเรียกนิพจน์ที่มัลักษณะ

เช่นนี้ว่า ผลต่างของกำลังสอง (The
Difference of Two Squares) ซึ่งตัวอย่าง
ของนิพจ์ที่สามารถเขียนอยู่ในรูปผลต่างของ

กำลังสอง เช่น
………. x2 – 9 , y2 – 16 , 4x2 – 25 , x2 –

4y2, 121 – 36x2



ดังนั้น ถ้าให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน
พจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี

สองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง ได้เป็น
………. A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)

เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำในการนำไปใช้ ให้จำ
ย่อ ๆ ดังนี้



………. (หน้า)2 – (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)
(หน้า – หลัง)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบ x2 – 9

วิธีทำ x2 – 9 = x2 – 32

……………………= (x + 3)(x – 3)




ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบ 49x2 – 25

วิธีทำ 49x2 – 25 = (7x)2 – 32

……………………..= (7x + 5)(7x – 5)




ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบ (3x-2)2 –

(x+5)2

วิธีทำ (3x-2)2 – (x+5)2 = [(3x – 2)+

(x+5)][(3x-2) – (x+5)]

……………………………= (4x + 3)(2x – 7)

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลัง
สองสมบูรณ์

ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ

B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนาม

ดีกรีสอง

ที่เป็นก าลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้


A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)

(พจน์หน้า + พจน์หลัง)2

= (พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2

(พจน์หน้า - พจน์หลัง)2

= (พจน์หน้า)2 - 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2

ตัวอย่างที่1 จงแยกตัวประกอบของ x2

+ 12x + 36

วิธีท า

x2


+ 12x + 36 = (x + 6)(x + 6)

= x2


+ 6x + 6x + 62

= x2


+ 2(x)(6) + 62

= (x + 6)²

ตัวอย่างที่2 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 10x + 25วิธีทำ

x2 – 10x + 25 = (x – 5)(x – 5)

= x

2 – 5x – 5x + 52

= x

2 – 2(x)(5) + 52

= (x – 5)2