MODUL PEMBELAJARAN

Matematika Minat
Kelas X-IPA

MODUL

Wira Aditya Ariyanto, S.Pd.

DAFTAR MATERI MATEMATIKA MINAT
KELAS X – IPA
SEMESTER I

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL

A. Fungsi Eksponensial
B. Persamaan Eksponensial
C. Pertidaksamaan Eksponensial
D. Aplikasi Fungsi Eksponensial

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

A. Fungsi Logaritma
B. Persamaan Logaritma
C. Pertidaksamaan Logaritma
D. Aplikasi Fungsi Logaritma

KOMPETENSI DASAR KOMPETENSI DASAR
3.1Mendeskripsikan dan menentukan 4.1Menyajikan dan menyelesaikan masalah

penyelesaian fungsi eksponensial dan yang berkaitan dengan fungsi eksponensial
fungsi logaritma menggunakan masalah dan fungsi logaritma.
kontekstual, serta keberkaitannya.

BAB I
EKSPONEN DAN LOGARITMA

PETA KONSEP

Eksponen dan
Logaritma

Definisi Eksponen dan Bentuk Eksponen Logaritma
Logaritma

Pangkat Bulat Positif Sifat-sifat Logaritma

Pangkat Nol atau Bulat Menentukan Nilai
Negatif Logaritma

Pangkat Pecahan

1

A. Eksponen
Suatu bentuk perkalian berulang dengan bilangan pokok yang sama dapat dinyatakan dalam

bentuk bilangan berpangkat, dimana pangkat atau eksponennya menunjukkan banyaknya bilangan
yang dikalikan.
Contoh:
32 = 3 × 3, bilangan 3 dikalikan dengan bilangan 3 sebanyak 2 kali.
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2, bilangan 2 dikalikan dengan 2 sebanyak 5 kali.
(−5)3 = (−5) × (−5) × (−5), bilangan (−5) dikalikan sebanyak 3 kali.

Bilangan 32, 25, dan (−5)2 berturut-turut mempunyai pangkat (eksponen) 3, 4, dan 5 yang
merupakan bilangan bulat positif. Bilangan berpangkat yang pangkatnya bilangan bulat positif
disebut bilangan berpangkat sebenarnya. Sementara itu, untuk bilangan berpangkat yang pangkatnya
bukan bilangan bulat positif disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.

1. Pangkat Bulat Positif
Apabila terdapat bilangan real dan bilangan bulat positif , definisi bilangan berpangkat

bulat positif pangkat (ditulis ) adalah perkalian berulang sebanyak faktor dari bilangan
real . Dalam notasi matematika, ditulis sebagai berikut.

= ⏟ × × × … ×



Pada bilangan berpangkat ,
disebut bilangan pokok (basis) dan
disebut pangkat atau eksponen.
Jika = 1 maka 1 = .

Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
Jika dan adalah bilangan real, sedangkan dan adalah bilangan bulat positif, berlaku sifat-
sifat berikut.

a. × = +

b. = − , dengan > ; ≠ 0


c. ( ) = ×

d. ( × ) = ×

e. ( ) = , dengan ≠ 0



Di sini akan dibuktikan sifat a.
Sifat a. × = +
Berdasarkan pengertian bilangan berpangkat maka

= ⏟ × × × … ×



= ⏟ × × × … ×



2

Oleh karena itu,

× = (⏟ × × × … × ) × ( ⏟ × × × … × )


× = ⏟ × × × … × × × × × … ×

( + )

× = + (terbukti)

Contoh:

23 × 24 = (⏟2 × 2 × 2) × (⏟2 × 2 × 2 × 2)

3 4

23 × 24 = (⏟2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)

7

23 × 24 = 27
23 × 24 = 23+4

Kegiatan 1

Coba kalian buktikan sifat-sifat pangkat bulat positif b., c., d., dan e., serta berikan satu
contohnya. Silakan cari referensi dari berbagai sumber (buku, internet, dan lain-lain).

2. Pangkat Nol

Pada pembahasan sebelumnya, kamu telah memahami sifat-sifat bilangan berpangkat, seperti

= − . Dengan menggunakan sifat itu, coba kalian lakukan Kegiatan 2 berikut ini.

Kegiatan 2

Tentukan nilai pembagian berikut.
a. 32: 32
b. 53: 53

Penyelesaian:

Menurut sifat pangkat bulat positif bahwa = − , dengan > dan ≠0

diperoleh hasil sebagai berikut.

a. 32: 32 = 32 = 32−2 = 30, untuk soal ini = = 2 dan = 3 ≠ 0 .
32
32
Di lain pihak, dapat kalian perhatikan bahwa 32 = 3×3 = 9 = 1.
3×3 9
Berarti, 30 = 1.

b. 53: 53 = 53 = 5. . . − . . . = 5. . ., untuk soal ini = = 3 dan = 5 ≠ 0.

...
53
Di lain pihak, dapat kalian perhatikan bahwa . . . = 5×5×5 = . . . =. . ..
... . . .
Berarti, 5. . . = . . . .

3

Setelah melakukan Kegiatan 2, maka pangkat nol suatu bilangan ditentukan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real , dengan ≠ 0, berlaku

0 = 1

3. Pangkat Bulat Negatif

Bilangan dengan pangkat bulat negatif tidak dapat diartikan sebagai perkalian berulang dari

bilangan pokok yang dipangkatkan. Oleh karena itu, bilangan berpangkat bulat negatif disebut

juga bilangan berpangkat tak sebenarnya. Untuk membuktikan pangkat bulat negatif, akan kita

gunakan sifat bilangan berpangkat = − pada Kegiatan 3 berikut.


Kegiatan 3

Tentukan nilai pembagian berikut.

a. 32: 35
b. 5: 54

Penyelesaian:

Menurut sifat pangkat bulat positif bahwa = − , dengan < dan ≠ 0

diperoleh hasil sebagai berikut.

a. 32: 35 = 32 = 32−5 = 3−3
35
32
Di lain pihak, dapat kalian perhatikan bahwa 35 = 3×3 = 1
3×3×3×3×3 33
1
Berarti, 3−3 = 33

b. 5: 54 = 5 = 5. . . − . . . = 5. . .

... 5 5 =. . .
. ... . .
Di lain pihak, dapat kalian perhatikan bahwa . . = . . . . . ..

Berarti, 5. . . = . . . .

Setelah melakukan Kegiatan 3, maka pangkat bulat negatif suatu bilangan ditentukan sebagai
berikut.

Untuk setiap bilangan real , dengan ≠ 0, berlaku

− = 1


Bilangan berpangkat negatif dapat diubah menjadi bilangan berpangkat positif. Untuk
mengubah bilangan berpangkat negatif menjadi bilangan berpangkat positif perhatikan perkalian
berikut ini.

4

− × = − +
⇔ − × = 0
⇔ − × = 1

⇔ − = 1


⇔ = 1
−

Jadi, dari persamaan terakhir dapat disimpulkan bahwa untuk suatu bilangan dengan pangkat

negatif berlaku hubungan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real , dengan ≠ 0, berlaku

− = 1 atau = 1
−

4. Pangkat Pecahan
Pecahan adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk , dengan dan bilangan

bulat dan ≠ 0. Jika adalah suatu bilangan real bukan nol maka bilangan berpangkat pecahan


dapat ditulis sebagai .
Misalkan bilangan real, > 0, anggota himpunan bilangan bulat, anggota himpunan

bilangan asli lebih besar dari 1. Berdasarkan pengertian pangkat suatu bilangan, berlaku sebagai

berikut.


( ) = ⏟ × × . . . ×



( ) = + + . . .+ ( )



( ) = ×



( ) =

Catatan

Untuk = 1 dan = 2 (akar pangkat dua atau akar kuadrat), angka 2
biasanya tidak ditulis sehingga 2√ hanya ditulis √ .



Oleh karena itu, diperoleh ( ) = . Jika kedua ruas persamaan itu diambil akar pangkat

, diperoleh
√ ( ) = √

⇔ = √



Jadi, berdasarkan uraian di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pengertian pangkat pecahan

adalah sebagai berikut.

5

Misalkan adalah bilangan real, > 0, adalah bilangan bulat, adalah

bilangan asli ≥ 2. Bilangan berpangkat pecahan, pangkat dituliskan sebagai


= ( √ ) = √



Dari materi dan kegiatan yang sudah dijelaskan di atas dapat dapat disimpulkan bahwa

1. Eksponen adalah bentuk perkalian berulang dengan bilangan pokok yang sama yang

dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat.

2. Sifat-sifat bilangan berpangkat

a. × = +

b. = − , dengan ≠ 0

c. ( ) = ×

d. ( × ) = ×

e. ( ) = , dengan ≠ 0



f. 0 = 1, dengan ≠ 0

g. − = 1 dan = 1 dengan ≠ 0
−

h. = ( √ ) = √


Setelah memahami materi yang sudah dijelaskan, silakan kerjakan Kegiatan 4 untuk mengasah
kemampuan kalian.

Kegiatan 4

1. Tentukan hasil operasi berikut dalam bentuk yang paling sederhana

a. 32 4 2 × 3 3

b. (−7)4 2(− )3 × (−7)3 (− )4

9 2 4

c. 3 2
d. ( 4 3)3 × ( −2 −6)2

e. ( 2)2 × ( −−13)2


f. 2 +3 × 4 −2 ∶ 2

2. Selesaikan soal-soal berikut dan nyatakan hasilnya dalam pangkat bulat positif

a. 2−4 2 −9 × 23 −3 −4

(5 −3 −2 3)−4

b. (52 −4 −3 2)2

c. (136 −22 −25)−3 × ( −3 4)3



6

Kegiatan 4

3. Hitunglah nilai-nilai berikut

1

a. 164
b. 9−12

4. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk √

2

a. 33

b. 7152

c. (2 )112

5. Benar atau salahkah pernyataan-pernyataan berikut? Berikan alasanmu!

a. 4√27 = 3

34

b. 1 1

32 = √3

c. 7√ 1 = 2−1

128

13

d. 2 ( 2 + 4) = + √

e. ( 2 + 2)2 = 4 + 4

1 11 1

f. − = ( 2 + 2) ( 2 − 2)

7

B. Logaritma
1. Definisi Logaritma
Kalian tentunya masih ingat dengan istilah invers atau kebalikan dari suatu operasi
matematika. Miasalnya, invers dari penjumlahan adalah pengurangan, invers dari perkalian
adalah pembagian, dan invers dari penguadratan adalah penarikan akar pangkat dua. Pada
pembahasan ini, kalian akan belajar tentang logaritma yang merupakan invers dari perpangkatan.
Pada bilangan berpangkat , disebut bilangan pokok dan disebut pangkat atau
eksponen. Jika bilangan pokok dan eksponennya diketahui, kita dapat menentukan nilai bilangan
berpangkat tersebut.
Perhatikan perhitungan berikut.
20 = 1
21 = 2
22 = 2 × 2 = 4
23 = 2 × 2 × 2 = 8
Pada perhitungan di atas tampak bahwa nilai dari suatu bilangan berpangkat dapat
ditentukan jika bilangan pokok dan pangkatnya sudah diketahui. Sekarang, bagaimana
menentukan pangkat bilangan jika diketahui bilangan pokok dan hasil perpangkatannya?
Misalnya:

Berapa nilai yang memenuhi 2 = 2?
Berapa nilai yang memenuhi 2 = 4?
Berapa nilai yang memenuhi 2 = 8?

Tentu kalian dapat menjawab dengan mudah jika kalian memperhatikan contoh
perhitungan di atas.

Operasi mencari nilai pangkat suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah
diketahui seperti pada contoh di atas disebut mencari nilai logaritma. Istilah logaritma disingkat
log.

Secara umum pengertian logaritma adalah sebagi berikut.

Jika = , untuk > 0 dan ≠ 1 maka log =

Notasi log dibaca: logaritma dengan bilangan pokok . Dalam hal ini, disebut
bilangan pokok atau basis, sedangkan disebut numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya.
Karena operasi logaritma adalah mencari pangkat suatu bilangan maka logaritma sering disebut
juga invers operasi perpangkatan.

Dari pengertian logaritma di atas, kita dapat menuliskan sifat logaritma sebagai berikut.
a. Karena = dan = log maka = log = .
b. Karena = dan = log maka log =

Jadi, diperoleh sifat berikut

log = dan log =

8

Contoh:

Tentukan nilai logaritma berikut:

a. 2 log 32

b. 1 log 1
2
64

Penyelesaian:

a. 2 log 32 = 2 log 25 = 5

b. 1 1 = 1 log (1)6 = 6
2
2 log 64 2

Dalam menentukan logaritma suatu bilangan, perlu diperhatikan hal-hal berikut.
a. Bilangan pokok suatu logaritma dibatasi, yaitu bilangan positif bukan 1 karena hal-hal

berikut.
1.) Apabila bilangan pokoknya nol (0), operasi logaritma tidak memiliki penyelesaian.

Misalnya:
• 0 log 9 = ⇔ 0 = 9 tidak mempunyai penyelesaian;
• 1 log 100 = ⇔ 1 = 100 tidak mempunyai penyelesaian
2.) Untuk bilangan pokok logaritma negatif, kita akan mengalami kesulitan.
Misalnya:
• −2 log(−2) = 1 karena (−2)1 = −2, tetapi −2 log(−4) = ⇔ (−2) = −4 tidak

mempunyai penyelesaian.
• −3 log 81 = 4 karena (−3)4 = 81, tetapi −3 log 27 = ⇔ (−3) = 27 tidak

mempunyai penyelesaian.
b. Numerus suatu logaritma dibatasi pada bilangan positif karena hal-hal berikut.

1.) Bilangan nol tidak mempunyai nilai logaritma karena log 0 = ⇔ = 0 tidak
mempunyai penyelesaian.

2.) Bilangan negatif tidak mempunyai nilai logaritma jika bilangan pokoknya positif.
Misalnya:
2 log(−8) = ⇔ 2 = −8 tidak mempunyai penyelesaian.

Kegiatan 5

Untuk mengasah kemampuan kalian, kerjakanlah Kegiatan 5 berikut.

1. Tulislah bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan notasi logaritma
a. 23 = 8
b. 34 = 81

c. 41 = 4

1

d. 1002 = 10

e. 200 = 1

f. 125−31 = 1

5

9

Kegiatan 5

2. Tulislah bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan notasi pangkat (eksponen).
a. 4 log 16 = 2
b. 3 log 27 = 3
c. 10 log 100 = 2
d. 5 log 1 = 0
e. 10 log 0,01 = −2
f. √2 log 16 = 8

3. Di antara penulisan logaritma berikut, manakah yang mempunyai nilai? Jika ada,
berapakah nilainya?
a. 5 log 125
b. 10 log 10.000
c. −10 log 2
d. √3 log 1

3

1

e. 2 log −2
f. 20 log 0

10

2. Sifat-Sifat Logaritma
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah membicarakan definisi logaritma suatu bilangan,

yaitu jika = , untuk > 0 dan ≠ 1 maka = log . Berdasarkan pengertian tersebut,
kita mendapatkan sifat-sifat berikut.

log = dan log =

Selain kedua sifat di atas, pada logaritma berlaku sifat-sifat berikut.

Untuk > 0, ≠ 1, > 0, > 0, > 0, dan > 0, berlaku sebagai berikut.

a. log = 1

b. log( × ) = log + log

c. log ( ) = log − log



d. log = × log

e. 1.) log = log , ≠1
log

2.) log = 1
log

f. log × log = log

g. log = log ⇔ =

h. 1.) log = log = × log



2.) log = log

i. log = − log



Berikut ini akan dibuktikan beberapa sifat logaritma.
a. log = 1

Bukti:
Misalkan log = . Berdasarkan definisi logaritma, diperoleh = 1 ⇔ = 1.
Jadi. log = 1 (terbukti).

b. log( × ) = log + log

Bukti:

log( × ) = × (sifat log = sesuai definisi logaritma)

= log × log (sifat log = sesuai definisi logaritma)

= log + log (sifat bilangan eksponen × = + )

Karena log( × ) = log + log maka log( × ) = log + log (terbukti)

c. log ( ) = log − log



Bukti: (sifat log = sesuai definisi logaritma)
log =



11

= log log (sifat log = sesuai definisi logaritma)
log

= log − log (sifat bilangan eksponen = − , dengan ≠ 0)


Karena log = log − log maka log ( ) = log − log (terbukti).



d. log = × log

Bukti: (sifat log = sesuai definisi logaritma)
log = (sifat log = sesuai definisi logaritma)
= ( log )

= × log (sifat bilangan eksponen ( ) = × )

Karena log = × log maka log = × log (terbukti).

Kegiatan 6

Buktikanlah sifat-sifat logaritma e., f., g., h., dan i.
Tulislah di buku tulismu.
Silakan cari referensi dari berbagai sumber (buku, internet, dan lain-lain).

12

3. Menentukan Nilai atau Menyederhanakan Bentuk Logaritma

Dalam menentukan nilai atau menyederhanakan bentuk-bentuk logaritma, akan

digunakan sifat-sifat logaritma yang sudah dipelajari sebelumnya. Berikut akan dicontohkan

beberapa cara menentukan nilai atau menyederhanakan bentuk logaritma.

Contoh:

1. Tentukan nilai logaritma berikut.

a. 6 log 9 + 6 log 4

b. 2 log 1 + 2 log 64

8

c. 3 log 54 − 3 log 2

d. 5 log 1000 − 5 log 8

Penyelesaian:
a. 6 log 9 + 6 log 4 = 6 log(9 × 4)

= 6 log 36

= 6 log 62

=2

b. 2 log 1 + 2 log 64 = 2 log (1 × 64)

88

= 2 log 8

= 2 log 23

=3

c. 3 log 54 − 3 log 2 = 3 log 54

2

= 3 log 27

= 3 log 33

=3

d. 5 log 1000 − 5 log 8 = 5 log (1000)

8

= 5 log 125

= 5 log 53

=3

2. Jika 2 log 5 = , nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam .
a. 2 log 125
b. 16 log 25

c. 5 log 2

d. 125 log 4

Penyelesaian:
a. 2 log 125 = 2 log 53

= 3 × 2 log 5 (digunakan sifat logaritma d.))

= 3 ×

= 3

b. 16 log 25 = 2 log 25 (digunakan sifat logaritma e.), diambil basis sembarang, misal 2)
2 log 16

13

= 2 log 52
2 log 24

= 2× 2 log 5
4× 2 log 2

= 1 ×

21

= 1

2

c. 5 log 2 = 1

5 log 2 (digunakan sifat logaritma e.))

=1



d. 125 log 4 = 2 2 log 4 (digunakan sifat logaritma e.), diambil basis sembarang, misal 2)
log 125

= 2 log 22
2 log 53

= 2× 2 log 2
3× 2 log 5

= 2×1

3×

=2

3

3. Hitunglah hasil operasi berikut.
a. 3 log 12 × 12 log 9

b. 2 log 3 × 4 log 8 × 3 log 4

c. 3 log 6× 2 log 3
32 log 6

Penyelesaian:

a. 3 log 12 × 12 log 9 = 3 log 9 (digunakan sifat logaritma f.))
= 3 log 32

=2

b. 2 log 3 × 4 log 8 × 3 log 4 = 2 log 3 × 3 log 4 × 4 log 8 (sifat komutatif perkalian)

= 2 log 8 (digunakan sifat logaritma f.))

= 2 log 23

=3

c. 3 log 6× 2 log 3 = 3 log 6 × 2 log 3 × 1
32 log 6 32 log 6

= 3 log 6 × 2 log 3 × 6 log 32 (digunakan sifat logaritma e.))

= 2 log 3 × 3 log 6 × 6 log 32 (sifat komutatif perkalian)

= 2 log 32

= 2 log 25

=5

14

Kegiatan 7

Untuk mengasah kemampuan kalian, silakan kerjakan Kegiatan 7 berikut.

1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk logaritma berikut

a. log 25 + log 4

b. 6 log 72 + 6 log 1

2
2 log 3 + 2 log 5 1
c.
3
log 50 − log 1
d.
2
e. ( +1) log( − 1) − ( +1) log( 2 − 1)

f. log 4 + 3 log − 7 log

2. Jika 8 log 5 = , tentukan nilai logaritma berikut.
a. 4 log 1

5

b. 2 log √5
c. 64 log 125

d. 512 log 3√5

3. Jika 4 log 3 = , 9 log 8 = , dan 4 log 6 = , nyatakan logaritma berikut dalam ,

atau .
a. 4 log 18

b. 2 log √3 + √3 log 64
4 log 1 −
c. 2 log √6
9
d. 81 log 64 : 64 log 27

4. Sederhanakanlah bentuk-bentuk logaritma berikut.
a. 2 log 25 × 5 log 16
b. 3 log 16 × ( 4 log 9 + 4 log 3)
c. 9 log 64 × 25 log 27 × 16 log 25

2 log 3× 5 log 2× 3 log 36

d. 5 log 6

5. Tentukanlah nilai dari bentuk logaritma berikut.

a. 2 log 8 + 3 log 9

b. log(0,125) − 5 log 1
log 2 625

c. 2 ∙ 3 log 4 − 9 log 25 + 3 log 5

16

d. 5 log √27 ∙ 9 log 125 + 16 log 32

15

BAB II
FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA

PETA KONSEP

Fungsi Eksponen dan Fungsi
Logaritma

Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma

Grafik Fungsi Eksponen Grafik Fungsi Logaritma

Pergesaran Grafik Fungsi Pergeseran Grafik Fungsi
Eksponen Logaritma

16

A. Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen dengan bilangan pokok adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan

real ke dengan > 0 dan ≠ 1, ditulis sebagai:

Bentuk pemetaan:
: → , > 0 ≠ 1

Atau

Bentuk formula:
( ) = , > 0 ≠ 1

Contoh: Menghitung nilai fungsi eksponen

Diberikan ( ) = 8 . Carilah nilai dari:

a. (2)

b. (−2)

c. ( 1 )

√3

d. ( )

3

Pembahasan:

a. (2) = 82 = 64

b. (−2) = 8−2 = 1 = 1
82 64

c. ( 1 ) = 1 = 1 = 3 = 2√3

√3 8√3 (23)√3 2√3

d. ( ) = = = 23× 3 = 2
3
83 (23)3

B. Grafik Fungsi Eksponen

Pada materi sebelumnya, kita telah mendefinisikan fungsi eksponen, dengan bilangan pokok
dalam kondisi sembarang bilangan positif yang tidak sama dengan 1. Selanjutnya kita akan

melukis grafik fungsi eksponen.

Untuk melukis grafik fungsi eksponen, perhatikan langkah berikut.
1) Cari nilai fungsi ( ) = untuk bilangan rasional , Hitung nilai fungsi ( ) = di titik
= . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . .
2) Gambarkan titik-titik ( , ) tersebut dalam koordinat Cartesius.

3) Hubungkan dengan garis mulus (bukan garis patah-patah antar titik). Garis tersebut adalah
skesta grafik ( ) = .

1. Grafik Fungsi Eksponen ( ) = dengan >

Akan dilukis grafik fungsi eksponen ( ) = dengan > 1, yaitu ( ) = 2

Dicari dahulu nilai-nilai fungsi = ( ) = 2 yang disajikan dalam tabel berikut

. . . −3 −2 −1 0 1 2 3 ...
...
= 2 . . . 1 1 1 1248
...
842

( , ) ... 111 (0,1) (1,2) (2,4) (3,8)
(−3, 8) (−2, 4) (−1, 2)

17

Contoh cara perhitungan.

( ) = 2

(−3) = 2−3 = 1 = 1
23 8

Digambar koordinat yang telah diperoleh dalam bidang Cartesius.
Tips:
• Dalam membuat bidang Cartesius (sumbu x dan sumbu y), sesuaikan kebutuhan atau

sesuaikan dengan pasangan koordinat yang sudah diperoleh. Jadi, tidak menyisakan atau
kekurangan bidang gambar.
• Buat skala pada sumbu x dan sumbu y sama. Misalkan di sumbu x, jarak antara 0 ke 1 adalah
1 satuan (1 kotak), maka lakukan hal yang sama untuk sumbu y. Berilah jarak antar satuan
secukupnya, agar gambar kalian menjadi detail.

Langkah terakhir, hubungkan titik-titik dengan garis mulus (bukan garis patah-patah antar titik).
18

( ) = 2

Pada gambar di atas, grafik fungsi ( ) = 2 ditunjukkan oleh garis berwarna merah. Di tiap
ujung-ujung grafik fungsi diberi panah. Hal ini dikarenakan daerah asal (nilai ) tidak terbatas
(pada tabel nilai fungsi disimbolkan titik-titik, artinya dan seterusnya), tapi dalam perhitungan
kita hanya mengambil −3 ≤ ≤ 3.

Kegiatan 1

Tulislah tabel nilai fungsi dan lukislah grafik fungsi ( ) = 2 seperti yang dicontohkan di atas!
Lukislah grafik di kertas millimeter blok, kemudian tempel di bukumu!

2. Grafik Fungsi Eksponen ( ) = dengan < <

Kegiatan 2

Lukislah grafik fungsi eksponen ( ) = dengan 0 < < 1, yaitu ( ) = (1)

2

sesuai dengan langkah-langkah pada grafik fungsi ( ) = 2 .

1. Dicari dahulu nilai-nilai fungsi = ( ) = (1) dan sajikan dalam tabel berikut

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
...
1 ...
= (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( , ) ... ... ... ... ... ... ... ...

2. Tentukan minimal 7 koordinat, lebih banyak gambar grafik akan lebih detail, namun bidang

gambar yang dibutuhkan juga akan semakin besar.

3. Lukislah grafik di kertas millimeter blok, kemudian ditempel di bukumu.

19

Kegiatan 2

Setelah melukis kedua grafik tersebut, dapat disimpulkan bahwa grafik ( ) = dapat dibedakan

menjadi dua keadaan, yaitu > 1 dan 0 < < 1. Dengan memperhatikan kedua grafik tersebut

diperoleh:
1. Persamaan grafik fungsi ( ) = , dengan > 1 dan ( ) = , dengan 0 < < 1

a. Kedua grafik memotong sumbu di titik . . . .

b. Grafik hanya terdapat di atas sumbu . . . karena selalu positif untuk semua nilai , sehingga grafik

tidak pernah memotong sumbu . . .
c. Kedua grafik memiliki asimtot datar pada garis = . . . atau sumbu . . . .

(Asimtot adalah garis yang tidak dipotong oleh grafik atau nilai yang didekati oleh grafik namun tidak

pernah dicapai).

2. Perbedaan grafik fungsi ( ) = , dengan > 1 dan ( ) = , dengan 0 < < 1

a. Jika 1 dan 2 dua buah titik sembarang pada grafik untuk ( ) = , dengan > 1 dan 2 > 1,
maka 2 > 1 sehingga fungsi selalu naik atau kurva dalam keadaan monoton . . . .

b. Jika 1 dan 2 dua buah titik sembarang pada grafik untuk ( ) = , dengan 0 < < 1 dan

2 > 1, maka 2 < 1 sehingga fungsi selalu turun atau kurva dalam keadaan monoton . . . .

3. Grafik fungsi ( ) = (1) dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik ( ) = terhadap



sumbu . . . . Dengan kata lain, kedua grafik tersebut simetris terhadap sumbu . . . .

4. Domain fungsi = 2 adalah −∞ < < ∞ dengan range 0 < < ∞, dan domain fungsi ( ) =

(1) adalah . . . dengan range . . . .

2

C. Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan
real ke log dengan > 0, ≠ 1, dan > 0, ditulis sebagai:

Bentuk pemetaan:
: → log , > 0, ≠ 1 > 0

Atau

Bentuk formula:
( ) = log , > 0, ≠ 1, > 0

Contoh: Menghitung nilai fungsi eksponen
Diberikan ( ) = 3 log . Carilah nilai dari:

a. (1) d. ( 1 )

b. (9) √3

( 1 ) e. (5)

c. 27

20

Pembahasan:

a. (1) = 3 log 1 = 0, karena 30 = 1 (sesuai dengan definisi eksponen)

b. (9) = 3 log 9 = 3 log 32 = 2 karena 32 = 9

c. ( 1 ) = 3 log 1 = 3 log 3−3 = −3 karena 3−3 = 1
27
27 27

d. ( 1 ) = 3 log 1 = 3 log 3−12 = − 1 karena 3−12 = 1
2 √3
√3 √3

e. (5) = 3 log 5 ≈ 1,46497 (nilai pendekatan menggunakan kalkulator atau tabel logaritma)

D. Grafik Fungsi Logaritma
Pada materi sebelumnya, kita telah mendefinisikan fungsi logaritma, dengan bilangan pokok

dalam kondisi sembarang bilangan positif yang tidak sama dengan 1 dan numerus sembarang
bilangan positif. Selanjutnya kita akan melukis grafik fungsi logaritma.
Untuk melukis grafik fungsi logaritma, perhatikan langkah berikut.

1) Cari nilai fungsi ( ) = log untuk bilangan rasional . Ubah menjadi bentuk eksponen
untuk mempermudah perhitungan, ( ) = = log ⇔ 2 = . Pilih nilai dengan
bilangan rasional.

2) Gambarkan titik-titik ( , ) tersebut dalam koordinat Cartesius.
3) Hubungkan dengan garis mulus (bukan garis patah-patah antar titik). Garis tersebut adalah

skesta grafik ( ) = log .

1. Grafik Fungsi Logaritma ( ) = dengan >
Akan dilukis grafik fungsi logaritma, ( ) = 2 log
Dicari dahulu nilai-nilai fungsi = ( ) = 2 log yang disajikan dalam tabel berikut

1 1 11 2 4 8 ...
= 2 log ... 1 2 3 ...
842 (2,1) (4,2) (8,3) ...
( , )
. . . −3 −2 −1 0

... 111 (1,0)
(8 , −3) (4 , −2) (2 , −1)

Contoh cara perhitungan.

( ) = = 2 log ⇔ 2 = , diubah menjadi bentuk ekspnonen, kemudian ditentukan nilai

agar diperoleh nilai .

= −3 ⇔ 2−3 = 1

8

Jadi, titik koordinatnya adalah (1 , −3)

8

( ) = = 2 log ⇔ 2 = , diubah menjadi bentuk ekspnonen, kemudian ditentukan nilai

agar diperoleh nilai .

= −2 ⇔ 2−2 = 1

4

Jadi, titik koordinatnya adalah (1 , −2)

4

21

Digambar koordinat yang telah diperoleh dalam bidang Cartesius.

Langkah terakhir, hubungkan titik-titik dengan garis mulus (bukan garis patah-patah antar titik).
( ) = 2 log

Pada gambar di atas, grafik fungsi ( ) = 2 log ditunjukkan oleh garis berwarna merah. Di tiap
ujung-ujung grafik fungsi diberi panah. Hal ini dikarenakan daerah asal (nilai ) tidak terbatas

22

(pada tabel nilai fungsi disimbolkan titik-titik, artinya dan seterusnya), tapi dalam perhitungan

kita hanya mengambil 1 ≤ ≤ 8.
8

Kegiatan 3

Tulislah tabel nilai fungsi dan lukislah grafik fungsi ( ) = 2 log seperti yang dicontohkan di atas!
Lukislah grafik di kertas millimeter blok, kemudian tempel di bukumu!

2. Grafik Fungsi Logaritma ( ) = dengan < <

Kegiatan 4

Lukislah grafik fungsi logaritma ( ) = log dengan 0 < < 1, yaitu ( ) = 1

2 log

sesuai dengan langkah-langkah pada grafik fungsi ( ) = 2 log .

1

1. Dicari dahulu nilai-nilai fungsi = ( ) = 2 log dan sajikan dalam tabel berikut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

= 2 log

( , ) ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2. Tentukan minimal 7 koordinat, lebih banyak gambar grafik akan lebih detail, namun bidang

gambar yang dibutuhkan juga akan semakin besar.

3. Lukislah grafik di kertas millimeter blok, kemudian ditempel di bukumu.

Setelah melukis kedua grafik tersebut, dapat disimpulkan bahwa grafik ( ) = log dapat

dibedakan menjadi dua keadaan, yaitu > 1 dan 0 < < 1. Dengan memperhatikan kedua grafik

tersebut diperoleh:

1. Persamaan grafik fungsi ( ) = log , dengan > 1 dan ( ) = log , dengan 0 < < 1

a. Kedua grafik memotong sumbu di titik . . . .

b. Grafik hanya terdapat di kanan sumbu . . . karena tidak ada nilai untuk negatif atau nol, sehingga

grafik tidak pernah memotong sumbu . . .

c. Kedua grafik memiliki asimtot tegak pada garis = . . . atau sumbu . . . .

(Asimtot adalah garis yang tidak dipotong oleh grafik atau nilai yang didekati oleh grafik namun tidak

pernah dicapai).
2. Perbedaan grafik fungsi ( ) = log , dengan > 1 dan ( ) = log , dengan 0 < < 1

a. Jika 1 dan 2 dua buah titik sembarang pada grafik untuk ( ) = log , dengan > 1 dan
2 > 1, maka log 2 > log 1 sehingga fungsi selalu naik atau kurva dalam keadaan monoton .
...

b. Jika 1 dan 2 dua buah titik sembarang pada grafik untuk ( ) = log , dengan 0 < < 1 dan
2 > 1, maka log 2 < log 1 sehingga fungsi selalu turun atau kurva dalam keadaan monoton
....

23

Kegiatan 4

3. Grafik fungsi ( ) = 1 log terhadap

log dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik ( ) =

sumbu . . . . Dengan kata lain, kedua grafik tersebut simetris terhadap sumbu . . . .

4. Domain fungsi = 2 log adalah 0 < < ∞ dengan range −∞ < < ∞, dan domain fungsi

1

= 2 log adalah . . . dengan range . . . .

24

E. Grafik Fungsi Eksponen Lanjutan

Pada subbab kali ini, akan dilanjutkan pembahasan mengenai grafik fungsi eksponen lanjutan,
yakni ( ) = × dan ( ) = × + .
1. Grafik Fungsi Eksponen bentuk ( ) = ×

Perhatikan gambar berikut.

( ) = 5 × 2 ( ) = 2
( ) = 2 −1

ℎ( ) = 2 +1

( ) = 3 × 2

Dari gambar tersebut terlihat bahwa terdapat lima grafik fungsi dengan bentuk ( ) = × ,

yaitu:
(i) ( ) = 2
(ii) ( ) = 2 −1
(iii) ℎ( ) = 2 +1
(iv) ( ) = 3 × 2
(v) ( ) = 5 × 2

Kelima grafik tersebut memiliki unsur-unsur seperti pada tabel berikut

Fungsi Bentuk Fungsi dalam Nilai Titik Potong Nilai
( ) = ×

( ) = 2 ( ) = 2 2 (0,1) 1

( ) = 2 −1 ( ) = 1 × 2 2 1 1
(0, 2)
ℎ( ) = 2 +1 2 2 (0,2) 2
( ) = 3 × 2 2 2
( ) = 5 × 2 ℎ( ) = 2 × 2 2 (0,3) 3
( ) = 3 × 2 (0,5) 5
( ) = 5 × 2

Note: Berikut akan dijelaskan perubahan bentuk fungsi ( ) = 2 −1 menjadi ( ) = 1 × 2
2

( ) = 2 −1

⇔ ( ) = 2 +(−1) (digunakan sifat eksponen × = + )
⇔ ( ) = 2 × 2−1

⇔ ( ) = 1 × 2 (2−1 = 1)

2 2

25

Kegiatan 5

Lukislah grafik fungsi berikut pada satu bidang gambar seperti pada penjelasan di atas

menggunakan aplikasi geogebra!

Kemudian lengkapi tabel dan jawablah pertanyaan berikut!

Fungsi Bentuk Fungsi dalam Nilai Titik Potong Nilai
( ) = ×

( ) = 3

( ) = 5

ℎ( ) = −2

( ) = −2 −1

( ) = 3 × 5

( ) = 3 × 2−

Perhatikan grafik fungsi ℎ( ) = −2 dan ( ) = −2 −1 !

Grafik fungsi ℎ( ) = −2 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi . . . terhadap
sumbu . . .
Grafik fungsi ( ) = −2 −1 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi . . .
terhadap sumbu . . .

Dari kedua tabel tersebut dapat kita simpulkan bahwa ordinat (nilai ) titik potong grafik fungsi
dengan sumbu mewakili nilai pada fungsi eksponen atau dengan kata lain, nilai akan
menentukan titik potong grafik pada sumbu .

Selanjutnya, perhatikan dua grafik fungsi berikut ( ) = 2 −1
( ) = 2

26

Perhatikan bahwa fungsi ( ) = 2 −1 dapat ditulis sebagai berikut.
( ) = 2 × 2−1

( ) = 1 × 2

2

Grafik fungsi dapat diperoleh dengan mengalikan faktor 1 pada fungsi ( ) = 2 .
2

Misalkan ( ) = 2 , maka:

( ) = 2 −1

( ) = ( − 1)

Hal ini berarti bahwa grafik fungsi ( ) = 2 −1 dapat diperoleh dengan menggeser ke kanan
grafik fungsi ( ) = 2 sejauh satu satuan.

Atau dapat kita perhatikan pada tabel koordinat berikut. Untuk nilai yang sama, nilai terjadi

perbedaan nilai .

Nilai yang sama Nilai pada Nilai pada Perubahan nilai
pada ( ) = 2 dan ( ) = 2 ( ) = 2 −1 dari ( ) = 2 ke

( ) = 2 −1 ( ) = 2 −1

1 01 1

2 12 1

4 23 1

8 34 1

Karena perubahan nilai dari ( ) = 2 ke ( ) = 2 −1 bernilai positif 1, maka titik bergeser

ke kanan sejauh satu satuan.

Perhatikan dua grafik fungsi berikut. ( ) = 2
ℎ( ) = 2 +1

Fungsi ℎ( ) = 2 +1 dapat dijabarkan sebagai berikut.
ℎ( ) = 2 × 2
ℎ( ) = 2 × 2

27

Hal ini berarti grafik fungsi ℎ diperoleh dengan mengalikan faktor 2 pada fungsi ( ) = 2 .
Perhatikan bahwa grafik fungsi ℎ( ) = 2 +1 dapat diperoleh dengan menggeser ke kiri grafik
fungsi ( ) = 2 sejauh satu satuan.

Kegiatan 6

Lukislah grafik-grafik fungsi berikut pada satu bidang gambar di atas menggunakan
aplikasi geogebra!
1. ( ) = 3
2. ( ) = 3 −1
3. ℎ( ) = 3 +1
4. ( ) = 3 −2
5. ( ) = 3 +2
Kemudian lengkapi pernyataan-pernyataan di bawah!
Berdasarkan grafik fungsi ( ) = 3
1. Grafik fungsi ( ) = 3 −1 diperoleh dengan menggeser grafik fungsi ( ) ke . . .

sejauh . . . satuan. Titik potong grafik fungsi ( ) terhadap sumbu adalah . . . .
2. Grafik fungsi ℎ( ) = 3 +1 diperoleh dengan menggeser grafik fungsi ( ) ke . . .

sejauh . . . satuan. Titik potong grafik fungsi ℎ( ) terhadap sumbu adalah . . . .
3. Grafik fungsi ( ) = 3 −2 diperoleh dengan menggeser grafik fungsi ( ) ke . . .

sejauh . . . satuan. Titik potong grafik fungsi ( ) terhadap sumbu adalah . . . .
4. Grafik fungsi ( ) = 3 +2 diperoleh dengan menggeser grafik fungsi ( ) ke . . .

sejauh . . . satuan. Titik potong grafik fungsi ( ) terhadap sumbu adalah . . . .

28

2. Grafik Fungsi Eksponen bentuk ( ) = × + ( ) = 2
Perhatikan gambar berikut.

( ) = 2 +1

Grafik fungsi ( ) = 2 + 1 dapat diperoleh darigrafik fungsi ( ) = 2 dengan menggeser
setiap titik di grafik fungsi sejauh satu satuan ke atas..
Jika titik (2,4) berada di grafik = ( ), titik (2,4 + 1) = (2,5) berada di grafik = ( ).
Begitu pula dengan titik-titik yang lainnya, silakan kalian perhatikan.

Pada grafik fungsi ( ) = 2 + 1 yang jika ditulis dalam bentuk = × + akan berbentuk
= 1 × 2 + 1, maka nilai = 2, = 1 dan nilai = 1.

Titik potong grafik fungsi ( ) = 2 + 1 pada sumbu terdapat pada = 2, dapat diperoleh
berdasarkan
= +
⇔ = 1 + 1
⇔ = 2

Karena grafik fungsinya bergeser satu satuan ke atas, maka asimtot grafik fungsi pun berubah.
Pada ( ) = 2 , asimtot grafik adalah sumbu atau = 0, sedangkan pada ( ) = 2 + 1,
asimtot grafik fungsi adalah = 1.

29

Perhatikan gambar berikut

( ) = 2 ( ) = 2 + 1

Grafik fungsi ℎ( ) = 2 − 1 dapat diperoleh dari grafik ( ) = 2 , dengan menggeser setiap
titik di grafik fungsi sejauh satu satuan ke bawah.
Jika titik (2,4) berada di grafik = ( ), titik (2, 4 − 1) = (2,3) berada di grafik = ℎ( ).
Begitu pula dengan titik-titik yang lainnya, silakan kalian perhatikan.

Pada grafik fungsi ℎ( ) = 2 − 1 yang jika ditulis dalam bentuk = × + akan berbentuk
= 1 × 2 − 1, maka nilai = 2, = 1 dan nilai = −1.

Titik potong grafik fungsi ℎ( ) = 2 − 1 pada sumbu terdapat pada = 0, dapat diperoleh
berdasarkan
= +
⇔ = 1 + (−1)
⇔ = 0

Karena grafik fungsinya bergeser satu satuan ke bawah, maka asimtot grafik fungsi pun berubah.
Pada ( ) = 2 , asimtot grafik adalah sumbu atau = 0, sedangkan pada ℎ( ) = 2 + 1,
asimtot grafik fungsi adalah = −1.

30

Kegiatan 7

Lukislah grafik-grafik fungsi berikut pada satu bidang gambar di atas menggunakan aplikasi
geogebra!
1. ( ) = 3
2. ( ) = 3 + 1
3. ℎ( ) = 3 − 1
4. ( ) = −(3 + 1)
5. ( ) = 3 −1 + 2
Kemudian lengkapi pernyataan-pernyataan di bawah!
Berdasarkan grafik fungsi ( ) = 3
1. Grafik fungsi ( ) = 3 + 1 diperoleh dengan menggeser grafik fungsi ( ) ke . . .

sejauh . . . satuan. Asimtot grafik fungsi ( ) adalah . . . dan range fungsi ( ) adalah .
...
2. Grafik fungsi ℎ( ) = 3 − 1 diperoleh dengan menggeser grafik fungsi ( ) ke . . .
sejauh . . . satuan. Asimtot grafik fungsi ℎ( ) adalah . . . dan range fungsi ℎ( ) adalah .
...
3. Grafik fungsi ( ) = −(3 + 1) diperoleh dengan . . . grafik fungsi . . . terhadap sumbu
. . . . Asimtot grafik fungsi ( ) adalah . . . dan range fungsi ( ) adalah . . . .
4. Grafik fungsi ( ) = 3 −1 + 2 diperoleh dengan menggeser grafik ( ) ke . . . sejauh
. . . satuan dan ke . . . sejauh . . . satuan. Asimtot grafik fungsi ( ) adalah . . . dan range
fungsi ( ) adalah . . . .
5. Tanpa melukis grafiknya, grafik fungsi ( ) = 2 × 3 +1 + 2 berpotongan dengan
sumbu . . . di titik . . . dan memiliki asimtot datar pada garis . . . . (tuliskan perhitungannya
untuk mendapatkan titik potong pada garis sumbu)

31

F. Grafik Fungsi Logaritma Lanjutan
Selanjutnya, pada subbab kali ini kita akan mempelajari grafik fungsi logaritma dengan

bentuk ( ) = log( ) dan ( ) = log( + ).
1. Grafik Fungsi Logaritma ( ) = ( )

Perhatikan grafik fungsi berikut
( ) = 2 log + 2
( ) = 2 log + 1
( ) = 2 log
( ) = 2 log − 1
ℎ( ) = 2 log − 2

Gambar 1

( ) = 2 log 2
( ) = 2 log

Gambar 2

32

Pada Gambar 1 terdapat lima grafik fungsi, yaitu
(i) ( ) = 2 log
(ii) ( ) = 2 log − 1
(iii) ℎ( ) = 2 log − 2
(iv) ( ) = 2 log + 1
(v) ( ) = 2 log + 2

Sedangkan pada Gambar 2 terdapat dua fungsi, yaitu
(i) ( ) = 2 log
(ii) ( ) = 2 log 2

Jika diperhatikan grafik fungsi ( ) dan ( ) memiliki grafik fungsi yang identik, mengapa?
Mari kita ubah bentuk fungsi ( ) menjadi ( ) = log( ).

( ) = 2 log + 1
⇔ ( ) = 2 log + 2 log 2
⇔ ( ) = 2 log(2 × ) (sesuai sifat logaritma)
⇔ ( ) = 2 log 2

⇔ ( ) = ( )
Dari penjabaran di atas, terlihat bahwa ( ) dapat berbentuk fungsi ( ) = log( ) dengan

nilai = 2.

Sekarang, kita bandingkan grafik fungsi ( ) = 2 log dan ( ) = 2 log 2 pada Gambar 2.

Tampak bahwa grafik fungsi ( ) adalah pergeseran grafik fungsi ( ). Ke arah mana dan

seberapa besar pergeserannya? Perhatikan tabel berikut.

Nilai yang sama Nilai pada Nilai pada Perubahan nilai
pada ( ) = 2 log dari ( ) = 2 log
dan ( ) = 2 log 2 ( ) = 2 log ( ) = 2 log 2 ke ( ) = 2 log 2

1 01 1

2 12 1

4 23 1

8 34 1

Dari tabel tersebut terlihat bahwa terjadi perubahan nilai sebesar 1 satuan yang bernilai positif,

artinya grafik fungsi ( ) begeser ke atas sejauh 1 satuan sehingga terbentuk grafik fungsi ( ).

Kelima grafik pada Gambar 1 memiliki unsur-unsur seperti pada tabel berikut

Fungsi Bentuk Fungsi Nilai Nilai Titik Konstanta Pergeseran grafik
dalam ( ) = Potong fungsi terhadap
( ) = 2 log Sumbu 0 ( ) = 2 log
( ) = 2 log − 1 log( ) 2 1 (1,0) −1
ℎ( ) = 2 log − 2 ( ) = 2 log 2 −2 ekuivalen
( ) = 2 log + 1 ( ) = 2 log 1 2 1 (2,0) 1 1 satuan ke bawah
( ) = 2 log + 2 2 2 2
2 2 1 (4,0) 2 satuan ke bawah
4 (12 , 0)
ℎ( ) = 2 log 1 (1 , 0) 1 satuan ke atas
2
4 4 2 satuan ke atas
4
( ) = 2 log 2 33

( ) = 2 log 4

Dari paparan data pada tabel, dapat disimpulkan bahwa:

(i) Absis titik potong grafik fungsi dapat diperoleh dengan menghitung nilai dari 1 .

Contoh:

Pada ( ) = 2 log 1 , nilai = 1
2 2

maka absis titik potong terhadap sumbu adalah 1 = 2.

1

2

Hal ini ekuivalen jika mencari absis titik potong secara manual.

Contoh:

Titik potong dengan sumbu , maka nilai = ( ) = 0.

( ) = 2 log 1

2

⇔ 0 = 2 log 1

2

⇔ 20 = 1 (diubah dalam bentuk eksponen)

2

⇔ 1 = 1

2

⇔ 2 =

Diperoleh absis titik potong dengan sumbu = 2, maka titik potong grafik dengan sumbu

adalah (2,0).

(ii) Pergeseran secara vertikal grafik fungsi (ke atas atau ke bawah) terhadap grafik fungsi tertentu

dapat dilihat dari konstanta fungsi tersebut. Jika konstanta bernilai positif, maka grafik

bergeser ke atas. Jika konstanta negatif, maka grafik fungsi bergeser ke bawah.

Contoh:

Pada ( ) = 2 log 1 yang ekuivalen dengan ( ) = 2 log − 1 memiliki konstanta −1,

2

maka grafik fungsi ( ) = 2 log − 1 adalah pergeseran grafik fungsi

( ) = 2 log ke arah bawah sejauh satu satuan.

Selanjutnya, perhatikan gambar 3 dan gambar 4 berikut

( ) = 2 log

1

( ) = 2 log
Gambar 3

34

( ) = −2 log

Gambar 4

Pada Gambar 3, terdapat dua grafik fungsi, yaitu grafik fungsi ( ) = 2 log dengan nilai > 1

1

dan grafik fungsi ( ) = 2 log dengan nilai 0 < < 1. Seperti yang telah kita pelajari

sebelumnya kedua grafik tersebut simetris terhadap sumbu atau garis = 0. Perhatikan Gambar

4, apakah grafik fungsi ( ) = − 2 log ekivalen dengan grafik fungsi ( ) = 1

2 log ?

Hal ini terjadi karena grafik fungsi ( ) = − 2 log dapat disederhanakan menjadi grafik fungsi

1

( ) = 2 log dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

( ) = − 2 log

⇔ ( ) = − 1 ×2 log

⇔ ( ) = 2−1 log

1

⇔ ( ) = 2 log

⇔ ( ) = ( )

Jadi, ( ) dan ( ) adalah fungsi yang ekuivalen.

35

Kegiatan 8

Lukislah grafik fungsi berikut pada satu bidang gambar seperti pada penjelasan di atas

menggunakan aplikasi geogebra!

Kemudian lengkapi tabel dan jawablah pertanyaan berikut!

Bentuk Fungsi Nilai Nilai Titik Pergeseran

Fungsi dalam ( ) = Potong Konstanta grafik fungsi
log( ) Sumbu
( ) = 3 log terhadap
( ) = 3 log − 1 ( ) = 3 log
ℎ( ) = 3 log − 2
( ) = 3 log + 1
( ) = 3 log + 2

( ) = − 3 log
( ) = 3 log 1



Perhatikan grafik fungsi ( ) = − 3 log dan ( ) = 3 log 1 !


Grafik fungsi ( ) = − 3 log dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi . . . terhadap

sumbu . . .

Bagaimana bentuk grafik fungsi ( ) = − 3 log dan ( ) = 3 log 1 ? mengapa bisa seperti itu?



Jelaskan!

36

2. Grafik Fungsi Logaritma ( ) = ( + )
Perhatikan grafik fungsi berikut

( ) = 2 log( + 2)

ℎ( ) = 2 log( − 2) Gambar 5
( ) = 2 log( − 1)

( ) = 2 log

( ) = 2 log( + 1)

Pada Gambar 5 terdapat lima fungsi logaritma, yaitu
(i) ( ) = 2 log
(ii) ( ) = 2 log( − 1)
(iii)ℎ( ) = 2 log( − 2)
(iv) ( ) = 2 log( + 1)
(v) ( ) = 2 log( + 2)

Mari kita bandingkan grafik fungsi ( ) = 2 log dan ( ) = 2 log( − 1) pada Gambar 5.

Tampak bahwa grafik fungsi ( ) adalah pergeseran grafik fungsi ( ). Ke arah mana dan

seberapa besar pergeserannya? Perhatikan tabel berikut.

Nilai yang sama pada Nilai pada Nilai pada Perubahan nilai dari
( ) = 2 log dan ( ) = 2 log ke
( ) = 2 log( − 1) ( ) = 2 log ( ) = 2 log( − 1)
( ) = 2 log( − 1)

0 12 1

1 23 1

2 45 1

3 89 1

Dari tabel tersebut terlihat bahwa terjadi perubahan nilai sebesar 1 satuan yang bernilai positif,

artinya grafik fungsi ( ) begeser ke kanan sejauh 1 satuan sehingga terbentuk grafik fungsi

( ).

37

Dari kelima grafik pada Gambar 5 memiliki unsur-unsur seperti pada tabel berikut

Fungsi Perubahan nilai Pergeseran grafik Asimtot
pada fungsi
fungsi terhadap
( ) = 2 log

( ) = 2 log Tidak ada Tidak ada = 0

( ) = 2 log( − 1) − 1 1 satuan ke kanan = 1

ℎ( ) = 2 log( − 2) − 2 2 satuan ke kanan = 2

( ) = 2 log( + 1) + 1 1 satuan ke kiri = −1

( ) = 2 log( + 2) + 2 2 satuan ke kiri = −2

Pada Gambar 5, terlihat pula bahwa daerah asal (domain) dari masing-masing fungsi berbeda.

Untuk menentukan domain fungsi logaritma, ingatlah bentuk fungsi logaritma yaitu
( ) = log , > 0, ≠ 1, > 0
Domain fungsi logaritma sangat bergantung dari syarat numerus, yaitu > 0.

Contoh:

Tentukan domain fungsi berikut:
a. ( ) = 2 log
b. ( ) = 3 log( + 2)
c. ℎ( ) = 4 log(12 − 4 )
d. ( ) = 2 log( 2 − − 6)

Penyelesaian:
a. ( ) = 2 log

Syarat numerus:

> 0
Jadi, domain fungsi ( ) = 2 log adalah = { | > 0, ∈ ℝ} dan asimtot tegak grafik
fungsi ( ) adalah = 0.
b. ( ) = 3 log( + 2)

Syarat numerus:

+ 2 > 0
⇔ > −2
Jadi, domain fungsi ( ) = 3 log( + 2) adalah = { | > −2, ∈ ℝ} dan asimtot tegak
grafik fungsi ( ) adalah = −2.
c. ℎ( ) = 4 log(12 − 4 )

Syarat numerus:

12 − 4 > 0
⇔ −4 > −12
⇔ < −12

−4

⇔ < 3
Jadi, domain fungsi ℎ( ) = 4 log(12 − 4 ) adalah ℎ = { | < 3, ∈ ℝ} dan asimtot tegak
grafik fungsi ℎ( ) adalah = 3.

38

d. ( ) = 2 log( 2 − − 6)
Syarat numerus:
2 − − 6 > 0
Pembuat nol:
2 − − 6 = 0
⇔ ( − 3)( + 2) = 0
⇔ − 3 = 0 atau + 2 = 0
⇔ = 3 atau = −2
Uji tanda
Substitusi nilai-nilai diantara −2 dan −3
• Dibawah −2( < −2), diambil = −3
= 2 − − 6
= (−3)2 − (−3) − 6
= 6,
6 > 0 (positif)
• Diantara −2 dan 3 (−2 < < 3), diambil = 0
= 2 − − 6
= (0)2 − (0) − 6
= −6,
−6 < 0 (negatif)
• Diatas 3 ( > 3), diambil = 4
= 2 − − 6
= (4)2 − (4) − 6
= 6,
6 > 0 (positif)
Jika digambar pada garis bilangan

+++ −−− +++
−2 3

Karena syarat numerus > 0, maka yang diambil adalah daerah yang bernilai positif.
Jadi, domain fungsi ( ) = 2 log( 2 − − 6) adalah = { | < −2 > 3, ∈ ℝ}
dan asimtot tegak grafik fungsi ( ) adalah = −2 dan = 3.

39

Kegiatan 9

1. Lukislah grafik fungsi berikut pada satu bidang gambar seperti pada penjelasan di atas

menggunakan aplikasi geogebra!

Kemudian lengkapi tabel

Fungsi Titik Potong Pergeseran grafik Asimtot
Sumbu
( ) = 3 log fungsi terhadap
( ) = 3 log( − 1) ( ) = 3 log
ℎ( ) = 3 log( − 2)
( ) = 3 log( + 1)
( ) = 3 log( + 2)
( ) = 3 log(2 + 4)
( ) = 3 log(12 − 4 )

( ) = 3 log(− )

2. Tentukan domain dan range dari masing-masing fungsi di atas!
3. Perhatikan grafik fungsi ( ) = 3 log(2 + 4) dan grafik fungsi ( ) = 3 log(12 − 4 )!

a. Grafik fungsi ( ) merupakan pergeseran grafik fungsi ( ) ke arah . . . sejauh . . . satuan

dan ke arah . . . sejauh . . . satuan.
b. Grafik fungsi ( ) merupakan pergeseran grafik fungsi ( ) ke arah . . . sejauh . . . satuan

dan ke arah . . . sejauh . . . satuan.
4. Perhatikan grafik fungsi ( ) = 3 log(− )!

Grafik fungsi ( ) = 3 log(− ) dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi . . .
terhadap sumbu . . .

40

BAB III
PERSAMAAN EKSPONEN DAN PERSAMAAN LOGARITMA

PETA KONSEP

Persamaan Eksponen
dan

Persamaan Logaritma

Persamaan Eksponen Persamaan Logaritma
= log = log

= ( ) log = log ( )

= log = log ( )

= ( )log = ( ) log ℎ( )

ℎ = ℎ ( log )2 + ( log ( )) + = 0

ℎ = ℎ
2 + + = 0

41

A. Persamaan Eksponen
Di dalam menyelesaikan suatu persamaan eksponensial, kita diharuskan memahami sifat-sifat

bilangan berpangkat dan persamaan kuadrat yang telah dipelajari di kelas IX tingkat SMP/MTs.
Persamaan eksponensial merupakan persamaan dengan variabel berbentuk pangkat (eksponen).

1. Persamaan Eksponen Berbentuk ( ) =
Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk ( ) = dengan > 0 dan ≠ 1,
kita gunakan sifat berikut

( ) = ⇒ ( ) =

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponensial berikut
a. 4 = 8
b. 4 +1 = 0,25
c. 22 −1 = 32

Pembahasan:
a. 4 = 8

⇔ (22) = 23
⇔ 22 = 23
⇔ 2 = 3
⇔ = 3

2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {23}.

b. 4 +1 = 0,25
⇔ 4 +1 = 1

4

⇔ 4 +1 = 4−1
⇔ + 1 = −1
⇔ = −2
Jadi, = {−2}.

c. 22 −1 = 32
⇔ 22 −1 = 25
⇔ 2 − 1 = 5
⇔ 2 = 6
⇔ = 3
Jadi, = {3}.

2. Persamaan Eksponen Berbentuk ( ) = ( )
Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk ( ) = ( ) dengan > 0, ≠ 1,
kita gunakan sifat berikut

( ) = ( ) ⇒ ( ) = ( )

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 9 −1 = (13)4 −1.

42

Pembahasan:
9 −1 = (1)4 −1

3

⇔ (32) −1 = (3−1)4 −1
⇔ 32 −2 = 31−4
⇔ 2 − 2 = 1 − 4
⇔ 6 = 3
⇔ = 1

2

Jadi, = {1}.

2

3. Persamaan Eksponen Berbentuk ( ) = ( )
Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk ( ) = ( ), kita menggunakan sifat
berikut

( ) = ( ) > , > ≠ , ≠ ⇒ ( ) =

Contoh:
Tentukan HP dari setiap persamaan ekpsonensial di bawah ini.
a. 52 −6 = 32 −6
b. 5 2− −2 = 7 2− −2

Pembahasan:
a. 52 −6 = 32 −6

⇔ 2 − 6 = 0
⇔ 2 = 6
⇔ = 3
Jadi, = {3}.

b. 5 2− −2 = 7 2− −2
⇔ 2 − − 2 = 0
⇔ ( − 2)( + 1) = 0
⇔ − 2 = 0 atau + 1 = 0
⇔ = 2 atau = −1
Jadi, = {−1, 2}.

4. Persamaan Eksponen Berbentuk ( ) = ( )
Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk ( ) = ( ), dapat dilakukan dengan
cara berikut.
(i) Ambil ( ) = 0 dan ( ) = 0 (karena 0 = 0), kemudian tentukan nilai-nilai yang
memenuhi kedua persamaan ( ) = 0 dan ( ) = 0. Jika cara ini tidak menghasilkan nilai
, dapat dilanjutkan ke cara (ii).
(ii) Kedua ruas ditarik logaritma, yaitu:
( ) = ( )
log ( ) = log ( )
( ) log = ( ) log
Nilai-nilai diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

43

Contoh:

Tentukan HP dari setiap persamaan ekpsonensial di bawah ini.
a. 6 +1 = 7 2+3 +2
b. 22 −1 = 3 +2

Pembahasan:
a. 6 +1 = 7 2+3 +2

Oleh karena pada 60 = 70, diperoleh

+ 1 = 0

= −1

dan
2 + 3 + 2 = 0
( + 2)( + 1) = 0

+ 2 = 0 atau + 1 = 0

= −2 atau = −1
Nilai yang memenuhi kedua persamaan adalah = −1, maka = {−1}.

b. 22 −1 = 3 +2
Pada 20 = 30, diperoleh

2 − 1 = 0

2 = 1
= 1

2

dan

+ 2 = 0

= −2

Tidak ada nilai yang memenuhi kedua persamaan, maka kedua ruas ditarik logaritma

22 −1 = 3 +2

⇔ log 22 −1 = log 3 +2

⇔ (2 − 1) log 2 = ( + 2) log 3

⇔ 2 log 2 − log 2 = log 3 + 2 log 3

⇔ log 22 − log 2 = log 3 + log 32

⇔ log 4 − log 2 = log 3 + log 9

⇔ log 4 − log 3 = log 9 + log 2

⇔ (log 4 − log 3) = log 9 + log 2

⇔ (log 4) = log(9 × 2)
3
⇔ (log 4) = log 18
3
log 18
⇔ = log34

4
⇔ = 3 log 18

4

Jadi, = { 3 log 18}.

44

Kegiatan 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut!
1. 2 +1 = 8
2. 4 +3 = √8 +5
3. (1) −1 = √23 +1

4

4. 3√95− = 27√3− −1
5. 2 + 2 +2 = 20
6. 32 −8 = 52 −8
7. 3 2− −2 = 7 2− −2
8. 4 −1 = 7
9. 3 +1 = 2 +2
10. 7 +1 = 23 −2
11. Selesaikan sistem persamaan berikut

3 ∙ 92 = 27
ቊ 2 ∙ 4− = 1

8

12. Jika 1 dan 2 merupakan solusi dari persamaan eksponensial:
52 2−5 +3 = 32 2−5 +3
dengan 1 > 2, tentukanlah nilai dari 4 1 − 2

45

5. Persamaan Eksponen Berbentuk ( ) ( ) = ( ) ( )
Sebelumnya kita sudah mempelajari persamaan eksponen dengan bilangan pokok (basis) adalah
suatu konstanta, pada pembelajaran kali ini kita akan mempelajari persamaan eksponen jika
bilangan pokoknya adalah suatu bentuk fungsi.

Jika ℎ( ) ( ) = ℎ( ) ( ), maka ada beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu:
a. Eksponennya sama: ( ) = ( ),
b. Bilangan pokok: ℎ( ) = 1, sebab 1 ( ) = 1 ( ) = 1,
c. Bilangan pokok: ℎ( ) = −1, dengan syarat (−1) ( ) = (−1) ( ) untuk yang memenuhi

( ( ) dan ( ) keduanya ganjil atau keduanya genap),
d. Bilangan pokok: ℎ( ) = 0, dengan syarat ( ) dan ( ) keduanya bernilai positif.

Jadi, untuk bentuk persamaan eksponen ℎ( ) ( ) = ℎ( ) ( ) terdapat empat kemungkinan cara
penyelesaian.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
1. ( + 3)2 −1 = ( + 3) +2
2. ( 2 − 7 + 11)2 +5 = ( 2 − 7 + 11)5 +2

Pembahasan:

1. Dari persamaan tersebut, dapat kita misalkan:
ℎ( ) = + 3
( ) = 2 − 1
( ) = + 2

a. ( ) = ( )
2 − 1 = + 2
⇔ 2 − = 2 + 1
⇔ = 3

b. ℎ( ) = 1
+ 3 = 1
⇔ = 1 − 3
⇔ = −2

c. ℎ( ) = −1
+ 3 = −1
⇔ = −1 − 3
⇔ = −4
Substitusikan = −4 ke pangkat ( ( ) dan ( )) untuk melihat apakah kedua pangkat

bernilai ganjil atau genap.
( ) = 2 − 1
(−4) = 2(−4) − 1
⇔ (−4) = −9

( ) = + 2
(−4) = −4 + 2
⇔ (−4) = −2

46

maka,
ℎ( ) ( ) = ℎ( ) ( )
(−1)−9 ≠ (−1)−2
Jadi, = − bukan penyelesaian karena (−4) bernilai ganjil sedangkan (−4)

bernilai genap.

d. ℎ( ) = 0
+ 3 = 0
⇔ = −3
Substitusikan = −3 ke pangkat ( ( ) dan ( )) untuk melihat apakah kedua pangkat

bernilai positif.
( ) = 2 − 1
(−3) = 2(−3) − 1
⇔ (−3) = −7 < 0

( ) = + 2
(−3) = −3 + 2
⇔ (−3) = −1 < 0
Oleh karena (−3) dan (−3) bernilai negatif, maka = −3 bukan penyelesaian.

Jadi, berdasarkan hasil a., b., c., dan d. maka = {−2, 3}.

2. Dari persamaan tersebut, dapat kita misalkan:
ℎ( ) = 2 − 7 + 11

( ) = 2 + 5

( ) = 5 + 2

a. ( ) = ( )
2 + 5 = 5 + 2
⇔ −3 = −3
⇔ = 1

b. ℎ( ) = 1
2 − 7 + 11 = 1
⇔ 2 − 7 + 10 = 0

⇔ ( − 5)( − 2) = 0

⇔ = 5 atau = 2

c. ℎ( ) = −1
2 − 7 + 11 = −1
⇔ 2 − 7 + 12 = 0
⇔ ( − 4)( − 3) = 0

⇔ = 4 atau = 3

Substitusikan nilai = 4 dan = 3 ke pangkat ( ( ) dan ( )) untuk melihat apakah

kedua pangkat bernilai ganjil atau genap.

Untuk = 4
( ) = 2 + 5
⇔ (4) = 2 ∙ 4 + 5

47

⇔ (4) = 8 + 5
⇔ (4) = 13

( ) = 5 + 2
⇔ (4) = 5 ∙ 4 + 2
⇔ (4) = 20 + 2
⇔ (4) = 22

maka,
ℎ( ) ( ) = ℎ( ) ( )
(−1)13 ≠ (−1)22

Jadi, = bukan penyelesaian.

Untuk = 3
( ) = 2 + 5
⇔ (3) = 2 ∙ 3 + 5
⇔ (3) = 6 + 5
⇔ (3) = 11

( ) = 5 + 2
⇔ (3) = 5 ∙ 3 + 2
⇔ (3) = 15 + 2
⇔ (3) = 17

maka,
ℎ( ) ( ) = ℎ( ) ( )
(−1)11 ≠ (−1)17

Jadi, = merupakan penyelesaian.

d. ℎ( ) = 0
2 − 7 + 11 = 0

Karena sulit difaktorkan, kita gunakan rumus kuadratik.

= − ±√ 2−4

2

= −(−7)±√(−7)2−4∙1∙11

2∙1

= 7±√5

2

= 7+√5 atau = 7−√5
2
2

Substitusikan nilai = 7+√5 dan = 7−√5 ke pangkat ( ( ) dan ( )) untuk melihat
2 2

apakah kedua pangkat bernilai positif..

Untuk = 7+√5
2
( ) = 2 + 5

⇔ (7+2√5) = 2 (7+2√5) + 5

48