ลำดับอนันต์

ลำดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ 1

ใบความรู้ เร่ือง ลำดับอนันต์

บทนิยาม ลำดับ คือฟงั กช์ นั ทีม่ โี ดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, …, n} หรอื มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, …, n, …}
เรียกลำดบั ทม่ี ีโดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, …, n} ว่าลำดบั จำกัด (finite sequence) และเรียกลำดับที่มีโดเมนเปน็ เซต
{1, 2, 3, …, n, …} ว่า ลำดบั อนนั ต์ (infinite sequence)

1. ลมิ ติ ของลำดบั

ในหวั ขอ้ นี้เราจะกลา่ วถึงสมบัตบิ างประการของลำดับ โดยจะพจิ ารณาพจน์ท่ี n ของลำดับ เมื่อ n มคี า่ มากขนึ้

ตวั อย่างที่ 1 พิจารณากราฟของลำดับ an = 1
n
an

1•

•

• •
•
••
•••
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

จากรูปจะพบวา่ ถา้ n มีคา่ มากขึ้นโดยไม่มีที่สนิ้ สดุ แลว้ an มคี า่ ลดลงและเข้าใกล้ 0 แตไ่ ม่เทา่ กบั 0

ตัวอย่างท่ี 2 พจิ ารณากราฟของลำดบั an = 1
2n

ลำดับอนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 2

ตัวอย่างที่ 3 พิจารณากราฟของลำดับ an =2

เม่ือ n มีคา่ มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสดุ และพจน์ท่ี n เข้าใกล้จำนวนจรงิ L เพยี งจำนวนเดียวเทา่ นั้น แล้วเรียก
L วา่ ลิมิตของลำดบั ( limit of a sequence ) และกลา่ วว่าลำดับน้นั มีลมิ ิต เท่ากบั L และเรียกลำดับอนันต์ทม่ี ีลมิ ิต
วา่ ลำดับล่เู ขา้ (convergent sequence)

เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ lim an = L

n→

ตัวอยา่ งท่ี 4 พิจารณากราฟของลำดบั an =1 + ( −1)n
n

ตัวอย่างท่ี 5 พิจารณากราฟของลำดบั an = 2n −1

ลำดับอนันต์และอนกุ รมอนนั ต์ 3

เมื่อ n มคี ่ามากขน้ึ โดยไม่มีที่สน้ิ สุด และพจน์ที่ n ของลำดับจะมากขน้ึ และไม่เขา้ ใกล้จำนวนใดจำนวนหนง่ึ จึงกลา่ วว่า
ลำดับน้นั ไม่มีลิมติ ลำดับนีจ้ ึงไมใ่ ชล่ ำดับลเู่ ขา้ เรียกลำดับอนันตท์ ่ีไม่ใช่ลำดับลเู่ ข้าวา่ ลำดับลูอ่ ออก (divergent
sequence)

ตวั อย่างท่ี 6 พจิ ารณากราฟของลำดับ an = (−1)n+1

เม่ือ n เปน็ จำนวนค่ี พจน์ที่ n เปน็ 1
เมือ่ n เป็นจำนวนคู่ พจน์ที่ n เปน็ – 1
เมื่อ n มากข้ึนโดยที่ไม่มีทีส่ ิน้ สุด พจน์ที่ n ของลำดับไมเ่ ข้าใกลจ้ ำนวนใดจำนวนหน่ึง
ลำดบั an = (−1)n+1 จึงไมม่ ลี มิ ติ ลำดบั นีเ้ ป็นลำดบั ลู่ออก
ลักษณะของกราฟขึ้นและลงสลับกัน เรยี กวา่ ลำดบั แกว่งกวัด (Oscillating Sequence)

ตัวอย่างที่ 6 จงหาลิมติ ของลำดับต่อไปน้ี

1. an = 1 เขียนลำดบั ไดเ้ ป็น 1, 1 , 1 , 1 , ... , 1 , ...
n2 4 9 16 n2
1
ดังน้นั lim n2 = ...........0..............

n→

2. an = n3 เขียนลำดับได้เป็น 1, 8, 27, 64, ..., n3 ,...
ดงั นน้ั lim n3 หาคา่ ไม่ได้

n→

จากตวั อย่างท่ี 6 สอดคล้องกับทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1 ให้ r เปน็ จำนวนบวกใด ๆ จะได้วา่

lim 1 =0 และ lim nr หาคา่ ไมไ่ ด้
nr
n→ n→

ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 4

ตวั อย่างที่ 7 จงหาลิมิตของลำดับต่อไปนี้

1. an =  − 1 n เขียนลำดับได้เป็น − 1 , 1 , − 1 , 1 , ...,  − 1 n , ...
2 2 4 8 16 2
n
ดังนัน้ lim  − 1 =0
2
n→

2. an =  − 5 n เขยี นลำดับได้เป็น − 5 , 25 , − 125 , ...,  − 5 n , ...
4 4 16 64 4
n
ดงั นน้ั lim  − 5 หาค่าไม่ได้
4
n→

3. an = 2n เขยี นลำดับได้เปน็ 2, 4, 8, 16, ...,2n,...
ดังนน้ั lim 2n หาคา่ ไม่ได้

n→

จากตวั อย่างที่ 7 สอดคล้องกับทฤษฎบี ทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2 ให้ r เปน็ จำนวน
ถ้า r  1 แล้ว lim rn = 0

n→

ถา้ r  1 แลว้ lim rn หาคา่ ไม่ได้
n→

ลำดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 5

ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมติ ของลำดบั
การหาลมิ ติ ของลำดับต่างๆ นอกจากจะหาโดยตรงจากการพจิ ารณากราฟของลำดับหรือตำแหนง่ ของพจน์

ท่ี n ของลำดับบนเสน้ จำนวนแล้ว อาจหาได้โดยอาศัยทฤษฎีบทเกีย่ วกบั ลิมิต ซง่ึ จะกล่าวถงึ และนำไปใชโ้ ดย
ไมม่ ีการพิสูจน์

ทฤษฎีบท 3 ให้ an , bn , tn เป็นลำดบั ของจำนวนจริง A , B เป็นจำนวนจรงิ และ c เปน็ คา่ คงตัวใด ๆ

โดยท่ี lim an = A และ lim bn = B จะได้ว่า

n→ n→

1) ถ้า tn = c แล้ว lim tn = lim c = c

n→ n→

2) lim c an = c lim an = cA
n→
n→

3) lim ( an + bn ) = lim an + lim bn = A+B

n→ n→ n→

4) lim ( an − bn ) = lim an − lim bn = A −B

n→ n→ n→

5) lim ( an  bn ) = lim an  lim bn = AB

n→ n→ n→

6) ถ้า bn  0 ทุกจำนวนเตม็ บวก n และ B  0 แล้ว lim an lim an A

= n→ =

n→ bn lim bn B

n→

ตัวอย่างที่ 8 จงหาลิมิตของลำดบั ในขอ้ ต่อไปนี้

1) an = 5

lim an = lim 5

n→ n→

lim an = 5

n→

2) an = 5
n

lim 5 = 5 lim 1
n n
n→ n→

= 5(0)

=0

ลำดบั อนันต์และอนุกรมอนนั ต์ 6

3) an = 1 + 3n2
n2

( )lim 1 + 3n2 n2 1 + 3
n2 = lim n2
n→ n2
n→

= lim  1 + 3 
n2
n→

= lim 1 + lim 3
n2 n→
n→

= 0+3

=3

4) an = 4 − 3n + n2 5
2n3 − 3n2 +

4 − 3n + n2 (( ))= n3 4 − 3 + 1
2n3 − 3n2 + 5 n3 n3 n2 n
lim lim 3 5
2 − n + n3
n→ n→

( )= lim 4 − 3 + 1
( )n→ n3 n2 n
3 5
2 − n + n3

(( ))= lim 4 − 3 + 1
n3 n2 n
n→

lim 2 − 3 + 5
n n3
n→

lim 4 − lim 3 + lim 1
n3 n2 n→ n
= n→ n→

lim 2 − lim 3 + lim 5
n n3
n→ n→ n→

0 −0 + 0
= 2 −0+0

=0

ลำดับอนันตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ 7

5) an = n2 − n3 3
n+1 n2 −

สำหรบั โจทยข์ ้อนี้ไมส่ ามารถใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกบั ลมิ ิตไดท้ ันที เนื่องจาก lim n2 และ lim n3 หาคา่ ไม่ได้
n→ n +1 n→ n2 − 3

ต้องจัดรูป an กอ่ นหาลมิ ิต

( )n2 − n3 = n2 n2 − 3 − n3 (n +1)
( )n + n2 − n2 − 3 (n +1)
1 3

n4 − 3n2 − n4 − n3
= n3 + n2 − 3n − 3

− 3n2 − n3
= n3 + n2 − 3n − 3

lim  n2 1 − n3 3  = lim − 3n2 − n3
 n+ n2 −  n→ n3 + n2 − 3n − 3
n→  

( )= lim n3 − 3 − 1
( )n→ n
1 3 3
n3 1+ n − n2 − n3

( ( ) )= lim − 3 − 1
n
n→

lim 1+ 1 − 3 − 3
n n2 n3
n→

0− 1
= 1+ 0−0 −0

= –1

ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ 8

ทฤษฎีบท 4 ให้ an เป็นลำดับของจำนวนจริงทม่ี ากกว่าหรอื เทา่ กับ 0 และให้ m เป็นจำนวนเตม็ ที่มากกว่าหรอื

เท่ากบั 2 ถา้ lim an =L แล้ว lim m an =m lim an = mL

n→ n→ n→

ตวั อย่างที่ 8 จงหาลิมิตของลำดบั an = 4n
n+1

lim 4n = lim 4n
n→ n +1 n→ n +1

lim 4n
( )=
n→ n 1 + 1
n

= 4
1+0

=4

=2

ตัวอยา่ งที่ 9 จงหาลิมิตของลำดับต่อไปนี้

1) an = 3 + 2n
n
( )lim 3 + 2n 3
n n + 2
n→ n lim
= n
n→

= lim  3 + 2 
n
n→

= 0+2

=2

ลำดบั อนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 9

2) an = 3n3 − n
5n3 + 17
( )lim 1
( )n→3n3 − n n3 3 − n2
5n3 + 17 n3
= lim 17
n3
n→ 5 +

(( ))=lim 3 − 1
n2
n→

lim 5 + 17
n3
n→

3− 0
= 5+0
3
= 5

3) an = 5 243n2 − 4n
32n2 − 3n

lim 5 243n2 − 4n = 5 lim 243n2 − 4n
32n2 − 3n 32n2 − 3n
n→ n→

(( ))= n2 243 − 4
n
5 lim 3
n2 n
n→ 32 −

(( ))=lim 243 − 4
n
n→

5 3
n
lim 32 −

n→

= 5 243 − 0
32 − 0

= 5 243
32
3
= 2

ลำดับอนนั ตแ์ ละอนกุ รมอนนั ต์ 10

เทคนิคการหาลมิ ิตของลำดับอนันต์ ตัวอยา่ ง ตอบ

 การลิมิตผลหารฟงั ก์ชนั พหุนาม lim n3 + 2n2 + 2n + 5 หาคา่ ไม่ได้
รปู แบบ 7n2 + 3n −8
n→
1. กำลังสงู สุดของ n เศษ > ส่วน

ตอบทนั ทีว่า ลิมติ หาคา่ ไม่ได้

2. กำลงั สูงสดุ ของ n เศษ = สว่ น lim 2n3 + 2n2 −5n+ 4 2
ตอบทันทวี ่า ลมิ ิตเทา่ กับ ส.ป.ส.ของเศษ 9n3 + 3n−2 9
ส.ป.ส.ของส่ วน n→

3. กำลังสูงสุดของ n เศษ < ส่วน n3 + 4n2 − 2n
7n4 − 4n3 + 5n2
ตอบทันทวี ่า ลมิ ิต เทา่ กับ 0 lim 0
4. 8
n→

ตัวอยา่ งท่ี 10 ลมิ ติ ของลำดับ an = 3n2 − 6n + 5 + 8 เทา่ กบั เทา่ ใด
1. 1 6n2 3. 17
2 2. 5 2
6

ตัวอย่างที่ 11 ลิมติ ของลำดับ an = n + 3 n +1 เท่ากับเท่าใด
1. 1 5− 4 n + 3 2n 3. 0
5
2. 1 4. 1
32

ลำดับอนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 11

ตัวอย่างท่ี 12 สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม n  4 กำหนดให้ an = 13 + 23 n4 +1
+ 33 + ... + n3
ลำดับ a เป็นจริงตามข้อใด
n

1. มีลมิ ิตเปน็ 1 2. มลี ิมิตเป็น 2 3. มลี มิ ติ เปน็ 4 4. เปน็ ลำดับไดเวอรเ์ จนต์

 การหาลิมิตผลหารของฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชยี ล ตวั อยา่ ง ตอบ
รปู แบบ
หาคา่ ไม่ได้ เพราะ
เศษ > ส่วน ฐาน 5 > ฐาน 3

1. ฐานสงู สุด lim 5n + 2n + 3n
3n +52n
n→

ตอบทนั ทวี า่ ลมิ ติ หาค่าไม่ได้

2. ฐานสงู สดุ เศษ = ส่วน lim 5  3n + 2  2n 5 เพราะ
ตอบทนั ทวี า่ 7  3n −4 2n
ส.ป.ส.ของเศษ n→ 7
ส.ป.ส.ของส่วน
ฐาน 3 = ฐาน 3

3. ฐานสงู สดุ เศษ < ส่วน 3n +2n 0 เพราะ
5n + 7n + 3n ฐาน 3 < ฐาน 7
lim
4. หาคา่ ไม่ได้
n→

ตอบทันทวี า่ ลมิ ิต = 0

ตัวอย่างที่ 13 จงหาลิมิตของ an = 52n + 3−n
1. 0 7 3n + 2n−1

2. 1 3. 5

7

ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนนั ต์ 12

ตวั อย่างที่ 14 ลำดับอนนั ต์ an = 4n +1 มีลมิ ิตตรงกบั ข้อใด 4. เป็นลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์
1. 0 5n + 3n 3. 5

2. 3 4

4

ตัวอยา่ งท่ี 15 จงหาค่าของ lim 5n+1 + 3n−1 = 25
2n+1 + 5n−1
n→

ตัวอยา่ งท่ี 16 ถา้ an = n2 + n +1 และ bn = 2n − 5n แล้วลมิ ติ ของลำดับท่ีมพี จนท์ ี่ n เป็น
3n2 +1 5n + 9 3. 0 4. 1

an − bn + an bn มคี ่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี

1. – 1 2. − 1
3

ตวั อย่างที่ 17 ลมิ ติ ของลำดบั an = 2n − 3−n เทา่ กบั ขอ้ ใด
1. 0 3n + 2−n 3. 1

2. 2 4. เป็นลำดับไดเวอร์เจนต์

3

ตัวอยา่ งท่ี 18 กำหนดลำดับ an = 2 + 2n+1 + 2n + 10 แล้วลำดบั นมี้ ลี มิ ติ ตรงกับค่าในข้อใดต่อไปน้ี
1. 2 3  2n−1

2. 4 3. 6 4. 10

ลำดบั อนนั ต์และอนกุ รมอนนั ต์ 13

 การหาลมิ ติ ของลำดบั สลบั
ลำดับสลับ คือ ลำดบั ที่มเี ครื่องหมาย บวก และ ลบ สลบั กันไปเร่ือย ๆ

สังเกตจาก (−1)n, (−1)n+1, (−1)n−1
เชน่ -1 , 3 , - 5 , 7 , - 9 , …

กำหนดให้ an =  (−1)n   หรอื an =  (−1)n1   แลว้

รูปแบบที่ 1 lim  = 0 แลว้ lim an = 0  เปน็ ลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์

n→ n→

รูปแบบท่ี 2 lim  = L โดยท่ี L  0 แลว้ lim an ไม่มลี มิ ติ  เปน็ ลำดับไดเวอร์เจนต์

n→ n→

ตัวอยา่ งท่ี 19 ลมิ ติ ของลำดับ an = (−1)n 25n2 + 4 มคี า่ ตรงกบั ข้อใด
5n −10

1. 0 2. 2 3. 5 4. ไมม่ ีลิมติ

ตัวอย่างท่ี 20 ลมิ ติ ของลำดับ an = (−1)n+1 2n − 5 มีค่าตรงกับค่าในข้อใด
n4 + n3 + 3 4. เป็นลำดับไดเวอรเ์ จนต์

1. 0 2. 2 3. 2

ลำดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์ 14

 การหาลิมติ ท่มี ีรูปแบบ   ... 4. 0
หลักการ

1. ให้   ... = x

2. ยกกำลงั 2 ทงั้ สองขา้ ง จะได้

 ดังน้ัน จะได้
x

3. แยกตัวประกอบ x2 − x = 0

x (x − ) = 0

4. คำตอบ x =  , 0 ( x = 0 ไมใ่ ช้ )

สรปุ lim   ... = 
n→

ตัวอย่างที่ 21 จงหาลมิ ติ ของลำดบั อนันต์ 3, 3 3 ,3 3 3 ,3 3 3 3...

1. 3 2. 3 3 3. 9

ตวั อย่างที่ 22 ลำดับอนนั ต์ 2, 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2 2... น้ีเปน็

1. ลำดับไดเวอร์เจนต์ เพราะไม่มลี ิมติ ทเ่ี ป็นค่าจำกดั

2. ลำดบั คอนเวอร์เจนต์ เพราะ lim an = 2
n→

3. เป็นลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ เพราะ lim an = 4
n→

4. เป็นลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ เพราะ lim an = 2 2
n→

ลำดบั อนนั ต์และอนุกรมอนันต์ 15

แบบฝึกหัด

จงตรวจสอบวา่ ลำดบั ท่ีกำหนดใหต้ อ่ ไปน้เี ปน็ ลำดับคอนเวอรเ์ จนตห์ รือไดเวอร์เจนต์ ถ้าเป็นคอนเวอรเ์ จนต์ จงหาลิมิต
ของลำดบั นี้

1. an = sin 2n2 -n+3 ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ lim an = 0
n3 - 8n+5
n→

2. an = cos  9n2 + 1   ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ lim an = 0
 2n + 3 
  n→

3. an =log31 n3 +n+1 ลำดับไดเวอรเ์ จนต์
2n -1

( )4. 1 3-10n
2 2n+1
an = ลำดบั คอนเวอร์เจนต์ lim an = 32
ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์
ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ n→

5. an = -4n2 +3n+1 × 3n +1 lim an = 2 3
1 - n + 3n2 4n - 1
n→ 3

6. an = 5n 5n+1 -1 lim an = 25
+ 5n-1 6
n→

7. an = 3n+1 + sin n2 ลำดับคอนเวอร์เจนต์ lim an = 3
3n ลำดับคอนเวอร์เจนต์
ลำดับไดเวอร์เจนต์ n→

8. an = 10 - 2n + 2n-1 - 1 lim an = 37
2n+1 4
n→

9. an = (-1)n × 4n2
(n + 2)2

10. an = (-1)n × 3n +4n ลำดับคอนเวอร์เจนต์ lim an = 0
5n
n→

11. an = (-1)n+1 ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ lim an = 0
log(n + 1) ลำดับไดเวอร์เจนต์
n→

12. an = 3 n- n

13. an= n+2 - n+1 ลำดับคอนเวอร์เจนต์ lim an = 0

n→

14. an = n2 +1-n ลำดับคอนเวอร์เจนต์ lim an = 0

n→

16 ลำดับและอนกุ รม (Sequences and Series)

15. an = n n ลำดับไดเวอร์เจนต์
n+1 -

16. an = n1 ×( n2 +1 -n) ลำดับคอนเวอร์เจนต์ lim an = 0
ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์
ลำดับคอนเวอร์เจนต์ n→

17. an = n(e-n) lim an = 0

n→

18. an = (3n -1) lim an = 0

(3n) (n2 - 5) n→

19. an = 5- n+3 n +1 ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ lim an = 2
4 n+3 2n 6
n→

20. an = (−1)n +cosn ลำดับคอนเวอร์เจนต์ lim an = 0

2n n→

( )1+ n−1  3 + 1 
 
n3

21. an =  ลำดับคอนเวอรเ์ จนต์ lim an = 0
ลำดับคอนเวอร์เจนต์
2 n→

5 + n3 − n4

22. an =  1 + 1  (n −1)2 lim an = 1
n 4n2 4
n→

23. ถา้ an เป็นลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ และ an = an−1 + 2 ลมิ ิตของลำดบั
4 3
an−1 2
วธิ ที ำ จาก an = 4 + 3

จะได้ 12an = 3an−1 + 8

( )lim 12an

n→
= lim 3an−1 + 8

n→

lim 12an = lim 3an + lim 8 (เนอื่ งจาก เม่ือ n→ จะไดว้ ่า lim an = lim an−1 )
n→
n→ n→ n→ n→

12 lim an = 3 lim an + lim 8
n→
n→ n→

9 lim an = 8
n→

lim an = 8
9
n→

17 ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series)

24. กำหนดให้ A = lim  3n2 −1 3 ; B = lim 3 2n2 จงหาค่าของ AB3
 4n2 + 8n  n2 + 8n −1
n→ n→

วธิ ีทำ

A = lim  3n2 −1 3 B = lim 3 n2 2n2
 4n2 + 8n  + 8n −1
n→ n→

(( ))A n2 3 − 1 3 2n2
nl→im n2 n2  + 8n
= 8  B=3 lim n2
n  −1
4 +  n→



(( ))A lim 3 − 1 3 2n2
 n2 
=  n→  ( )B =lim
 3n→ n2
 lim 4 + 8  1 + 8 − 1
 n→ n n n2

A =  3−0 3 B=3 2
4+0 1+0−0

A =  3 3 B=3 2
4

ดงั น้ัน AB3 =  3 3 ( 3 2 )3 = 27
4 32

25. สำหรับจำนวนเตม็ บวก n ใดๆ ให้ 1 n  และ an = det (Mn) จงหาค่า lim an
n 
Mn =  1  n→
n
− n + 1



วธิ ีทำ an = det (Mn)

an = 1 (n + 1) − n − 1 
n n

an = (n + 1) + 1
n

an = 2n +1
n

lim an = lim 2n + 1
n→ n
n→

lim an = 2

n→