Analisis Penerapan Metode Gomory Cutting Plane Pada Optimasi Keuntungan Produksi : Studi Kasus Griya Batik Notonegoro Jember

E-MONOGRAF

Program
Linear

Analisis Penerapan Metode Gomory
Cutting Plane Pada Optimasi Keuntungan Produksi :

Studi Kasus Griya Batik Notonegoro Jember

Disusun oleh :
Girlyas Rasta Yunta
Susi Setiawani, S.Si., M.Sc.
Rafiantika Megahnia P., S.Pd., M.Si.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER

E-MONOGRAF PROGRAM LINIER

Analisis Penerapan Metode Gomory Cutting Plane pada Optimasi
Keuntungan Produksi: Studi Kasus Griya Batik Notonegoro Jember

Girlyas Rasta Yunta
Susi Setiawani, S.Si., M.Sc.
Rafiantika Megahnia P., S.Pd., M.Si.

Author
©Juli, 2022, Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember

i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahhirobbil’alamin,
Puji syukur kehadirat Allah Subhanahu wa ta'ala atas segala limpahan

nikmat, rahmat dan karunia-Nya, sehingga e-monograf yang berjudul “Analisis
Penerapan Metode Gomory Cutting Plane pada Optimasi Keuntungan
Produksi: Studi Kasus Griya Batik Notonegoro Jember” dapat terselesaikan.
E-monograf ini merupakan suatu karya ilmiah hasil penelitian yang dituangkan
dalam bentuk buku dan membahas mengenai permasalahan program linier.

E-monograf ini dibuat dengan tujuan agar dapat memberikan pengetahuan
baru dan membantu para pembaca untuk dapat lebih memahami penyelesaian
masalah program linier terkait optimasi keuntungan produksi melalui pencarian
solusi integer programming menggunakan metode gomory cutting plane.

Semua bentuk dukungan dari berbagai pihak sangat membantu
terselesaikannya e-monograf ini. Untuk itu, terima kasih kepada dosen
pembimbing, dosen penguji, dan validator yang membantu dalam penyusunan e-
monograf ini. Penulis menyadari bahwa e-monograf ini masih jauh dari kata
sempurna, oleh karena itu segala bentuk kritik dan saran yang membangun
sangatlah diperlukan agar buku ini dapat jauh lebih baik nantinya.

Jember, Juli 2022

Penulis

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i
KATA PENGANTAR........................................................................................... ii
DAFTAR ISI......................................................................................................... iii
DAFTAR GAMBAR............................................................................................ iv
DAFTAR TABEL ................................................................................................. v
BAB 1. PENDAHULUAN .................................................................................... 1
BAB 2. MODEL PROGRAM LINIER ............................................................... 3

2.1 Program Linier ....................................................................................... 3
2.2 Model Program Linier ........................................................................... 3
BAB 3. METODE SIMPLEKS .......................................................................... 15
3.1 Metode Simpleks................................................................................... 15
3.2 Metode Simpleks Berbantuan software QM for Windows V5 ........... 16
BAB 4. METODE GOMORY CUTTING PLANE ............................................ 20
4.1 Metode Gomory Cutting Plane............................................................. 20
4.2 Metode Gomory Cutting Plane Berbantuan Microsoft Excel ............ 24
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 32
GLOSARIUM...................................................................................................... 33

iii

DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Motif Batik Sebagai Peubah Keputusan.............................................. 5
Gambar 3.1 Tampilan Awal QM for Windows V5................................................ 17
Gambar 3.2 Pilihan Modul Pada QM for Windows V5 ......................................... 17
Gambar 3.3 Menu Bar File ................................................................................... 17
Gambar 3.4 Tampilan Data Linear Programming................................................ 18

iv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Data Kebutuhan Bahan Baku Pada Produksi Kain Batik ....................... 6
Tabel 2.2 Persamaan Fungsi Kendala Ketersediaan Bahan Baku........................... 7
Tabel 2.3 Data Kebutuhan Bahan Pendukung Pada Produksi Kain Batik.............. 7
Tabel 2.4 Persamaan Fungsi Kendala Ketersediaan Bahan Pendukung ................. 8
Tabel 2.5 Data Rincian Waktu Pada Proses Pembuatan Kain Batik ...................... 8
Tabel 2.6 Waktu Produksi Setiap Produk Kain Batik............................................. 9
Tabel 2.7 Jumlah Produksi Maksimal Setiap Produk Kain Batik........................... 9
Tabel 2.8 Biaya Listrik Setiap Produk Kain Batik................................................ 10
Tabel 2.9 Biaya Pengemasan Setiap Produk Kain Batik ...................................... 11
Tabel 2.10 Biaya Produksi Setiap Produk Kain Batik .......................................... 12
Tabel 2.11 Upah Tenaga Kerja Setiap Produk Kain Batik ................................... 12
Tabel 2.12 Keuntungan per Lembar Produk Kain Batik....................................... 13
Tabel 2.13 Persamaan Fungsi Kendala ................................................................. 14
Tabel 3.1 Tabel Awal Simpleks ............................................................................ 18
Tabel 3.2 Solusi Optimal Menggunakan Metode Simpleks ................................. 18
Tabel 4.1 Tabel Simpleks Pencarian Solusi Optimal............................................ 21
Tabel 4.2 Tabel Dual Simpleks Setelah Penambahan Kendala Gomory .............. 23
Tabel 4.3 Solusi Optimum Metode Simpleks (Iterasi Ke-4)................................. 24
Tabel 4.4 Tabel Dual Simpleks Setelah Penambahan Potongan Gomory Ke-1 ... 26
Tabel 4.5 Iterasi Ke-1 Algoritma Metode Simpleks ............................................. 27
Tabel 4.6 Tabel Dual Simpleks Setelah Penambahan Potongan Gomory Ke-2 ... 29
Tabel 4.7 Iterasi Ke-2 Algoritma Metode Simpleks ............................................. 29
Tabel 4.8 Iterasi Ke-6 Setelah Penambahan Potongan Gomory Ke-5 .................. 30
Tabel 4.9 Iterasi Ke-7 Algoritma Metode Simpleks ............................................. 30

v

PENDAHULUAN

Pemrograman linier merupakan teknik pemodelan matematika yang
digunakan untuk menentukan hasil atau solusi terbaik dari serangkaian parameter
atau persyaratan tertentu dan direperesentasikan dalam bentuk hubungan linier.
Permasalahan pada pemrograman linier banyak membicarakan mengenai masalah
optimasi yang berkaitan dengan pembentukan model matematika. Model optimasi
yang terbentuk digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan dalam
bidang pemerintahan, bisnis, teknik, ekonomi, ilmu-ilmu fisika dan sosial yang
berhubungan dengan adanya keterbatasan pengalokasian sumber daya (Hillier &
Lieberman, 1990). Oleh karenanya, optimasi sangat diperlukan dalam berbagai
bidang, dimana salah satunya adalah bidang industri dalam mencapai keuntungan
dari target yang diinginkan dan mengurangi risiko kerugian yang dihadapi.

Setiap daerah pasti memiliki jenis industri yang berbeda dan menjadi ciri
khas bagi daerah tersebut. Sejalan dengan hal tersebut, Kabupaten Jember
merupakan kabupaten yang sangat terkenal dengan sumber daya alam berupa hasil
pertanian terutama komoditi tembakau. Selain dikenal sebagai daerah penghasil
tembakau, Kabupaten Jember juga dikenal akan batiknya yaitu Batik Jember.
Salah satu industri batik di Kabupaten Jember adalah Griya Batik Notonegoro
Jember. Kegiatan yang ada di perusahaan Griya Batik Notonegoro Jember
mempunyai keterkaitan dengan kegiatan produksi. Dalam melakukan kegiatan
produksi harus ada fasilitas produksi. Ketidaktepatan dalam penggunaan fasilitas
produksi dapat menyebabkan perusahaan mengalami pemborosan biaya produksi,
sehingga perusahaan tidak dapat mencapai target yang diinginkan pada
produknya. Oleh karenanya, pengelolaan produksi menjadi tantangan yang besar
bagi para pelaku usaha untuk mengoptimalkan keuntungan dalam perusahaannya.
Pengoptimalan dapat dilakukan dengan berbagai cara, dimana salah satu caranya
yaitu dengan cara program linier.

1

Penyelesaian menggunakan program linier dapat dilakukan dengan
beberapa metode yaitu metode grafik dan metode simpleks. Penggunaan metode
tersebut dapat menghasilkan penyelesaian optimalnya berupa bilangan real yang
artinya penyelesaiannya dapat berupa bilangan cacah maupun bilangan pecahan.
Kendati demikian, banyak permasalahan di kehidupan sehari-hari yang variabel
keputusannya berupa bilangan pecahan, sehingga dalam hal ini dibutuhkan
penyelesaian masalah yang nantinya didapatkan variabel keputusan berupa
bilangan cacah (integer) yang optimal. Sejalan dengan hal tersebut, terdapat
pengembangan dari program linier, yaitu program bilangan cacah (integer
programming), dimana dalam program ini semua variabel keputusannya berupa
bilangan cacah atau integer. Menurut Nico et al., (2014) menyatakan bahwa
dalam menyelesaikan permasalahan yang variabelnya harus bulat, maka dapat
digunakan metode cutting plane, dengan cara menambahkan batasan baru yang
disebut persamaan potongan gomory. Penambahan sejumlah batasan baru dengan
metode cutting plane dapat menghasilkan daerah feasible baru yang
penyelesaiannya berupa bilangan cacah.

E-monograf ini membahas tentang penyelesaian pencarian solusi optimum
pada optimasi keuntungan produksi suatu perusahaan. Penyelesaian pencarian
solusi optimum yang diinginkan yaitu solusi optimum yang bernilai bulat
(integer). Oleh karenanya, penyelesaian diawali dengan pencarian solusi optimum
menggunakan metode simpleks berbantuan software QM for Windows V5,
kemudian apabila solusi optimum yang dihasilkan belum bernilai bulat (integer),
maka dilanjutkan dengan pencarian solusi optimum menggunakan metode gomory
cutting plane berbantuan software Microsoft Excel. Dalam penulisan e-monograf
ini, menggunakan pendekatan Realistic Mathematics Education (RME), yaitu
pendekatan pembelajaran yang dikaitkan dengan realita kehidupan sehari-hari
dengan tujuan agar membantu proses pembelajaran matematika berjalan lancar.
Diharapkan e-monograf ini dapat mempermudah para pembaca untuk
menyelesaikan masalah terkait program linier.

2

Model program linier

2.1 Program Linier
Program linier atau Linear Programming (LP) merupakan suatu metode

matematika yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan terkait dengan
pengalokasian sumber daya yang langka guna mencapai suatu tujuan, yaitu
memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan pengadaan biaya maupun
keduanya dengan penyelesaian terbaik yang mungkin dilakukan. Dalam hal ini,
pengalokasian yang dimaksudkan dapat timbul dari berbagai arah, yaitu meliputi
pengalokasian sumber daya, persediaan, pendistribusian dan lain sebagainya.
Program linier banyak diterapkan dalam berbagai bidang, yaitu bidang ekonomi,
industri, sosial, militer dan lain sebagainya. Program linier berkaitan dengan
penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang
terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier
(Siringoringo, 2005). Program linier mempunyai dua komponen utama yaitu
sebuah fungsi objektif dan satu atau lebih fungsi kendala (Susanto et al., 2006).

2.2 Model Program Linier
Pembentukan suatu model program linier mempertimbangkan beberapa

karakteristik yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut.
a) Variabel keputusan

Variabel keputusan adalah variabel persoalaan yang dibuat dalam rangka
mencapai tujuan yang akan dicapai. Dalam rangka merumuskan fungsi tujuan dan
kendala-kendalanya, maka terlebih dahulu harus memodelkan variabel keputusan.
b) Fungsi tujuan

Fungsi tujuan adalah fungsi yang mengilustrasikan suatu tujuan yang
hendak dicapai dengan memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya
produksi pada permasalahan program linier.

3

c) Pembatas

Pembatas adalah bentuk rumusan kendala yang dihadapi dalam mencapai

tujuan dan dapat dibuat dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan.

Model program linier secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut:

n

Maksimumkan/Minimumkan Z  c1x1  c2 x2  c3 x3    cn xn  c j x j
j 1

Dengan fungsi kendala atau pembatas:

n  atau  atau  bi dan x j  0 (fungsi kendala non - negatif)

 aij x j
j 1

Keterangan:
x j  Variabel keputusan untuk aktivitas j ; j  1, 2, 3,, n
Z  Fungsi tujuan
c j  Koefisien x j

bi  Batas ketersediaan sumber ke- i yang dapat dialokasikan; i  1, 2, 3,, m
aij  Banyak sumber ke- i yang dialokasikan oleh setiap unit pertambahan x j
n  Banyak aktivitas
m  Banyak sumber

(Surachman & Astuti, 2015).

Model program linier optimasi keuntungan produksi diperlukan data-data

yang mempengaruhi proses produksi di Griya Batik Notonegoro Jember.

Permasalahan produksi di Griya Batik Notonegoro Jember menggunakan 10

faktor produksi, yaitu 4 macam motif kain batik yang penjualannya paling laris,

bahan baku, bahan pendukung, waktu pembuatan setiap produk batik, jumlah

produksi maksimal, biaya listrik, biaya pengemasan, biaya produksi, upah tenaga

kerja dan keuntungan setiap produk batik. Sebelumnya, telah dijelaskan bahwa

dalam pembentukan suatu model program linier mempertimbangkan beberapa

karakteristik yang perlu diperhatikan, yaitu variabel keputusan, fungsi pembatas

atau kendala, dan fungsi tujuan. Berikut merupakan model program linier pada

optimasi keuntungan produksi batik di Griya Batik Notonegoro Jember.

4

1. Variabel keputusan
Variabel keputusan yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah 4

macam motif kain batik yang penjualannya paling laris di Griya Batik Notonegoro
Jember, dan 4 macam motif kain batik yang menjadi fokus penelitian ini adalah 4
variabel keputusan motif batik yaitu:

x1  banyak produksi batik motif mbako semak dalam satuan unit (lembar);
x2  banyak produksi batik motif sekar jagad dalam satuan unit (lembar);

x3  banyak produksi batik motif kopi daun dalam satuan unit (lembar);

x4  banyak produksi batik motif parakopi dalam satuan unit (lembar).

(a) (b)

(c) (d)
(a) Motif Mbako Semak; (b) Motif Sekar Jagad; (c) Motif Kopi Daun; (d) Motif Parakopi

Gambar 2.1 Motif Batik Sebagai Peubah Keputusan

5

2. Fungsi pembatas atau kendala

Fungsi pembatas atau kendala merupakan model matematika dari berbagai

faktor yang mempengaruhi produksi atau batasan ketersediaan sumber daya

produksi. Fungsi kendala yang menjadi fokus penelitian ini meliputi:

1) Batasan ketersedian bahan baku

Produksi batik yang dihasilkan tidak boleh melebihi dari ketersediaan

bahan baku yang ada. Penggunaan bahan baku tersebut dibatasi dan

dimodelkan seperti berikut:

n

ki xi  K

i1

dengan:

ki  banyaknya penggunaan bahan baku yang digunakan dari macam motif

batik i (satuan unit)
K  persediaan bahan baku dalam satu kali produksi (satuan unit)

Ada 4 macam motif kain batik yang penjualannya paling laris di Griya

Batik Notonegoro Jember, yaitu kain batik motif mbako semak, kain batik

motif sekar jagad, kain batik motif kopi daun dan kain batik motif parakopi.

Rincian bahan baku yang dibutuhkan dalam satu kali produksi untuk membuat

4 macam motif kain batik tersebut dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Data Kebutuhan Bahan Baku Pada Produksi Kain Batik

Kain Batik

Bahan Baku Satuan Motif Motif Motif Motif Jumlah
Mbako Sekar Kopi Parakopi Ketersediaan
Semak Jagad Daun
220 9000
Kain Katun Primisima Centimeter 220 220 220 325 15000
Lilin/Malam Batik Gram 0,165
Pewarna Batik Remasol 450 500 200 0,65 7
Pengunci Warna (Water Glass) Kilogram 20
Kilogram 0,15 0,12 0,18

0,5 0,35 0,75

Berdasarkan ketersediaan bahan baku dan Tabel 2.1, maka dari 4 macam bahan
baku tersebut memiliki jumlah takaran yang berbeda-beda dan pada penelitian
ini khusus untuk pewarna batik remasol yang digunakan diasumsikan memiliki
warna yang sama. Sehingga, untuk fungsi pembatas atau kendala dalam
pemakaian bahan baku tersebut adalah sebagai berikut (lihat Tabel 2.2):

6

Tabel 2.2 Persamaan Fungsi Kendala Ketersediaan Bahan Baku

No. Kendala Persamaan
1. Kain Katun Primisima
2. Lilin/Malam Batik 220x1  220x2  220x3  220x4  9000
3. Pewarna Batik Remasol 450x1  500x2  200x3  325x4  15000
4. Pengunci Warna (Water Glass) 0,15x1  0,12x2  0,18x3  0,165x4  7
0,5x1  0,35x2  0,75x3  0,65x4  20

2) Batasan ketersediaan bahan pendukung

Produksi batik yang dihasilkan tidak boleh melebihi dari ketersediaan

bahan pendukung yang ada. Penggunaan bahan pendukung tersebut dibatasi

dan dimodelkan seperti berikut:

n

qi xi  Q

i1

dengan:

qi  banyaknya penggunaan bahan pendukung yang digunakan dari macam

motif batik i (satuan unit)
Q  persediaan bahan pendukung dalam satu kali produksi (satuan unit)

Bahan pendukung yang digunakan untuk memproduksi 4 macam motif
kain batik tersebut adalah gas LPG ukuran 3 kg dan 12 kg. Berdasarkan

akumulasi perhitungan, maka gas LPG ukuran 3 kg dan 12 kg yang dibutuhkan

dalam satu kali produksi untuk memproduksi masing-masing 4 macam kain

batik dalam satu kali produksi dapat dilihat pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3 Data Kebutuhan Bahan Pendukung Pada Produksi Kain Batik

Kain Batik Jumlah
Ketersediaan
Bahan Pendukung Motif Mbako Motif Sekar Motif Kopi Motif
Semak Jagad Daun Parakopi (kilogram)
Gas LPG ukuran 3 kg (kilogram)
(pengecapan) (kilogram) (kilogram) (kilogram) 6
Gas LPG ukuran 12 kg 0,025
(pelorodan) 0,045 0,05 0,03 24
0,14
0,165 0,17 0,125

Berdasarkan ketersediaan bahan pendukung dan Tabel 2.3, maka fungsi
pembatas atau kendala dalam pemakaian bahan pendukung tersebut dapat
dituliskan sebagai berikut (lihat Tabel 2.4):

7

Tabel 2.4 Persamaan Fungsi Kendala Ketersediaan Bahan Pendukung

No. Kendala Persamaan
1. Gas LPG ukuran 3 kg (pengecapan)
0,045x1  0,05x2  0,03x3  0,025x4  6
2. Gas LPG ukuran 12 kg (pelorodan) 0,165x1  0,17x2  0,125x3  0,14x4  24

3) Batasan waktu produksi

Proses produksi batik tidak boleh melebihi waktu yang tersedia, sehingga

batasan waktu produksi dalam penelitian ini dapat dimodelkan seperti berikut:

n

ti xi  MT

i1

dengan:

ti  waktu yang dibutuhkan untuk membuat jenis motif batik i (menit)
M  jumlah seluruh tenaga kerja
T  ketersediaan jam kerja (menit/hari)

Proses produksi 4 macam kain batik tersebut dalam satu kali produksi

dibatasi waktu hanya 8 jam/hari atau sama dengan 480 menit/hari dan jam

kerja yang tersedia mulai dari pukul 08.00-16.00 WIB. Berikut merupakan

rician waktu yang dibutuhkan pada masing-masing proses pembuatan kain

batik (lihat Tabel 2.5).

Tabel 2.5 Data Rincian Waktu Pada Proses Pembuatan Kain Batik

Kain Batik

No. Tahap Proses Motif Mbako Motif Sekar Motif Kopi Motif Parakopi
Semak (menit) Jagad (menit) Daun (menit) (menit)
1. Proses Pengecapan 7
2. Proses Pewarnaan 12 15 10 80
3. Proses Penguncian Warna 80 6
4. Proses Pencucian I 6 80 80 0,5
5. Proses Pelorodan 0,5 4
6. Proses Pencucian II 5 66 0,5
7. Proses Penjemuran 0,5 2
8. Proses Finishing 2 0,5 0,5 8
9. Proses Pengemasan 8 1
1 72 109
Total Waktu (menit) 115
0,5 0,5

22

88

11

120 110

Semua tenaga kerja yang membuat batik tersebut merupakan freelance
(pekerja lepas). Satu kali produksi, biasanya terdapat 12 orang freelance yang
memproduksi 4 macam kain batik. Waktu total yang tersedia adalah 28.800

8

menit. Berdasarkan akumulasi perhitungan waktu produksi yang dibutuhkan
untuk membuat 4 macam kain batik dapat dilihat pada Tabel 2.6.

Tabel 2.6 Waktu Produksi Setiap Produk Kain Batik

No. Produk Kain Batik Waktu Pembuatan (menit)

1. Kain Batik Motif Mbako Semak 115
2. Kain Batik Motif Sekar Jagad 120
3. Kain Batik Motif Kopi Daun 110
4. Kain Batik Motif Parakopi 109

Berdasarkan Tabel 2.6, maka didapatkan model fungsi batasan waktu
sebagai berikut:

115x1 120x2 110x3 109x4  28800
4) Batasan jumlah produksi maksimal

Macam-macam motif batik yang diproduksi tidak boleh melebihi jumlah
produksi maksimal kain batik yang ada, sehingga produksi batik tersebut
dibatasi dan dimodelkan seperti berikut:

xi  P
dengan:
P  jumlah produksi maksimal produk kain batik dalam satu kali produksi

Jumlah produksi maksimal dari masing-masing produk 4 macam kain
batik tersebut dapat dilihat pada Tabel 2.7.

Tabel 2.7 Jumlah Produksi Maksimal Setiap Produk Kain Batik

No. Produk Kain Batik Jumlah Produksi Maksimal (lembar)

1. Kain Batik Motif Mbako Semak 12
2. Kain Batik Motif Sekar Jagad 10
3. Kain Batik Motif Kopi Daun 10
4. Kain Batik Motif Parakopi 8

Berdasarkan Tabel 2.7, maka didapatkan model fungsi batasan jumlah
produksi maksimal sebagai berikut:

x1  12
x2  10
x3  10
x4  8

9

5) Batasan biaya listrik
Kebutuhan listrik yang dibutuhkan untuk produksi tidak boleh melebihi

ketersediaan biaya listrik. Penggunaan biaya produksi tersebut dibatasi dan
dimodelkan seperti berikut:

n

 ei xi  E

i1

dengan:
ei  biaya listrik yang dibutuhkan memproduksi motif batik i (ribu rupiah)
E  jumlah ketersediaan seluruh biaya listrik

Biaya listrik yang dikeluarkan dalam satu bulan adalah Rp700.000,00.
Satu bulan terjadi 4 kali produksi, dimana satu kali produksi membutuhkan
waktu 5 hari untuk memproduksi 40 lembar kain batik dengan 4 macam motif
yaitu kain batik motif mbako semak, kain batik motif sekar jagad kain batik
motif kopi daun dan kain batik parakopi. Berdasarkan akumulasi perhitungan,
maka dalam satu kali produksi biaya listrik yang disediakan adalah
Rp175.000,00. Berdasarkan akumulasi perhitungan, biaya listrik yang
dibutuhkan untuk membuat 4 macam kain batik dapat dilihat pada Tabel 2.8.

Tabel 2.8 Biaya Listrik Setiap Produk Kain Batik

No. Produk Kain Batik Biaya Listrik (rupiah)

1. Kain Batik Motif Mbako Semak 875
2. Kain Batik Motif Sekar Jagad 875
3. Kain Batik Motif Kopi Daun 875
4. Kain Batik Motif Parakopi 875

Berdasarkan Tabel 2.8, maka didapatkan model fungsi batasan untuk biaya
listrik sebagai berikut:

875x1  875x2  875x3  875x4  175000
6) Batasan biaya pengemasan

Jumlah produk batik yang diproduksi tidak boleh melebihi jumlah
ketersediaan biaya pengemasan yang disediakan. Penggunaan biaya
pengemasan tersebut dibatasi dan dimodelkan seperti berikut:

10

n

 di xi  D

i1

dengan:

di  biaya yang dibutuhkan untuk pengemasan motif batik i (ribu rupiah)
D  jumlah ketersediaan seluruh biaya pengemasan

Biaya pengemasan produksi yang digunakan untuk memproduksi kain

batik motif mbako semak, kain batik motif sekar jagad, kain batik motif kopi

daun dan kain batik motif parakopi dapat dilihat pada Tabel 2.9.

Tabel 2.9 Biaya Pengemasan Setiap Produk Kain Batik

No. Produk Kain Batik Jenis Kemasan Total Biaya
Box Paper Bag Pengemasan

1. Kain Batik Motif Mbako Semak 3500 3500 (Rupiah)
3500
2. Kain Batik Motif Sekar Jagad 3500 3500 7000
3500
3. Kain Batik Motif Kopi Daun 3500 7000

4. Kain Batik Motif Parakopi 3500 7000

Total Persediaan (Rupiah) 7000

280000

Berdasarkan Tabel 2.9 di atas, maka didapatkan model fungsi batasan
untuk biaya pengemasan produksi sebagai berikut:

7000 x1  7000 x2  7000 x3  7000 x4  280000
7) Batasan biaya produksi

Pembelian bahan yang dibutuhkan untuk produksi tidak boleh melebihi
ketersediaan biaya produksi. Penggunaan biaya produksi tersebut dibatasi dan
dimodelkan seperti berikut:

n

 gi xi  G

i1

dengan:
gi  biaya yang dibutuhkan memproduksi motif batik i (ribu rupiah)
G  jumlah ketersediaan seluruh biaya produksi

Proses produksi 4 macam kain batik dalam satu kali produksi
membutuhkan pengeluaran biaya bahan baku, bahan pendukung, listrik,
pengemasan dan upah tenaga kerja. Jumlah produksi maksimal dalam satu kali

11

produksi dapat menghasilkan 12 lembar kain batik motif mbako semak, 10
lembar kain batik motif sekar jagad, 10 lembar kain batik motif kopi daun dan
8 lembar kain batik motif parakopi. Berdasarkan akumulasi perhitungan, maka
biaya produksi yang dibutuhkan untuk membuat masing-masing 4 macam kain
batik dapat dilihat pada Tabel 2.10.

Tabel 2.10 Biaya Produksi Setiap Produk Kain Batik

No. Produk Kain Batik Total Biaya Produksi (rupiah)

1. Kain Batik Motif Mbako Semak 177178
2. Kain Batik Motif Sekar Jagad 165680
3. Kain Batik Motif Kopi Daun 180118
4. Kain Batik Motif Parakopi 178760
7014196
Total Persediaan (rupiah)

Berdasarkan Tabel 2.10, maka didapatkan model fungsi batasan untuk
biaya produksi sebagai berikut:

177178 x1 165680 x2 180118 x3 178760 x4  7014196
8) Batasan upah tenaga kerja

Fungsi kendala/batasan untuk upah tenaga kerja dapat dibatasi dan
dimodelkan sebagai berikut:

n

ri xi  M

i1

dengan:
ri  upah yang diterima tenaga kerja per macam motif batik
M  ketersediaan upah untuk tenaga kerja dalam satu kali produksi

Upah tenaga kerja ditentukan berdasarkan jumlah kain batik yang dapat
diselesaikan oleh setiap tenaga kerja. Untuk lebih jelas, upah tenaga kerja dapat
dilihat pada Tabel 2.11.

Tabel 2.11 Upah Tenaga Kerja Setiap Produk Kain Batik

No. Produk Kain Batik Upah Tenaga Kerja (Rp/Lembar)

1. Kain Batik Motif Mbako Semak 25000
2. Kain Batik Motif Sekar Jagad 25000
3. Kain Batik Motif Kopi Daun 25000
4. Kain Batik Motif Parakopi 25000

12

Pemilik Griya Batik Notonegoro Jember menyediakan biaya untuk upah
tenaga kerja dalam satu kali produksi sebesar Rp1.000.000,00, sehingga fungsi
batasan untuk upah tenaga kerja dapat ditulis seperti berikut:

25000 x1  25000 x2  25000 x3  25000 x4  1000000

3. Fungsi tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu memaksimalkan

keuntungan dari hasil penjualan batik dengan memaksimalkan produksi dari
masing-masing produk kain batik yang paling laris penjualannya. Keuntungan
penjualan produk kain batik didapatkan dari harga jual dari produk kain batik i

 i  dikurangi harga beli bahan pokok (bahan baku dan bahan pendukung) yang
diperlukan dalam proses pembuatan produk kain batik i i , dikurangi biaya
listrik dalam proses pembuatan produk kain batik   i , biaya pengemasan dalam
proses pengemasan produk kain batik i  i  serta dikurangi upah tenaga kerja
dalam mengerjakan produk kain batik i per hari  ri  . Keuntungan dari setiap

produk kain batik dapat dilihat pada Tabel 2.12.
Tabel 2.12 Keuntungan per Lembar Produk Kain Batik

No. Produk Kain Batik Keuntungan (Rp/Lembar)

1. Kain Batik Motif Mbako Semak 72882
2. Kain Batik Motif Sekar Jagad 84320
3. Kain Batik Motif Kopi Daun 44882
4. Kain Batik Motif Parakopi 46240

Dengan demikian, berdasarkan Tabel 2.12, maka didapatkan model fungsi
tujuan sebagai berikut:

Z  72882 x1  84320 x2  44882 x3  46240 x4
Setelah itu, melakukan penyusunan model matematis dari nilai-nilai fungsi tujuan
dan fungsi pembatas atau kendala yang terbentuk dalam satu model program linier
seperti berikut.
Maksimumkan:

Z  72882 x1  84320 x2  44882 x3  46240 x4
dengan kendala:

13

Tabel 2.13 Persamaan Fungsi Kendala

No. Kendala Persamaan

1. Bahan baku kain katun primisima 220x1  220x2  220x3  220x4  9000
450x1  500x2  200x3  325x4  15000
2. Bahan baku lilin/malam batik 0,15x1  0,12x2  0,18x3  0,165x4  7

3. Bahan baku pewarna batik remasol 0,5x1  0,35x2  0,75x3  0,65x4  20
0,045x1  0,05x2  0,03x3  0,025x4  6
4. Bahan baku pengunci warna (water glass) 0,165x1  0,17x2  0,125x3  0,14x4  24
115x1 120x2 110x3 109x4  28800
5. Bahan pendukung Gas LPG ukuran 3 kg
x1 12
6. Bahan pendukung Gas LPG ukuran 12 kg
x2  10
7. Waktu produksi
x3 10
8. Jumlah produksi maksimal kain batik
motif mbako semak x4  8
875x1  875x2  875x3  875x4  175000
9. Jumlah produksi maksimal kain batik 7000x1  7000x2  7000x3  7000x4  280000
motif sekar jagad 177178x1 165680x2 180118x3 178760x4  7014196
25000x1  25000x2  25000x3  25000x4  1000000
10. Jumlah produksi maksimal kain batik
motif kopi daun x1, x2, x3, x4  Z

11. Jumlah produksi maksimal kain batik
motif parakopi

12. Biaya listrik

13. Biaya pengemasan

14. Biaya produksi

15. Upah tenaga kerja

16. Kendala non negatif dan bilangan bulat

14

METODE SIMPLEKS

3.1 Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan salah satu metode dalam program linier

untuk menentukan solusi optimal yang pertama kali dikembangkan pada tahun
1947 oleh George Dantzing. Metode simpleks merupakan bentuk penerapan dari
penyelesaian permasalahan program linier dengan dua atau lebih variabel
keputusan. Suatu permasalahan yang diselesaikan dengan menggunakan metode
simpleks secara manual tetap mengutamakan keahlian dalam mengembangkan
formulasi program linier.Menurut Sriwidadi & Agustina (2013) metode simpleks
merupakan prosedur algoritma yang digunakan untuk menghitung dan
menyimpan banyak angka pada iterasi-iterasi yang sekarang dan untuk
pengambilan keputusan pada iterasi berikutnya.

Prosedur algoritma metode simpleks menggunakan pendekatan tabel yang
dikenal sebagai tabel simpleks. Model program linier yang akan diselesaikan
dengan menggunakan metode simpleks harus diubah ke dalam bentuk umum yang
disebut “bentuk standar simpleks”. Ciri-ciri dari bentuk standar simpleks adalah
setiap pertidaksamaan dari fungsi kendala/pembatas diekspresikan dalam bentuk
persamaan dengan sisi kanan berupa bilangan non-negatif dan sisi kiri persamaan
dilakukan penambahan variabel slack atau menguranginya dengan variabel
surplus. Langkah-langkah iterasi dalam algoritma pengerjaan metode simpleks
(Surachman, 2015:45) dapat dijelaskan sebagai berikut:
1) ubah formulasi model program linier ke bentuk standar. Fungsi tujuan diubah

menjadi fungsi implisit, artinya semua c j x i j digeser ke kiri. Pada bentuk
standar, fungsi pembatas dengan tanda  ditambahkan dengan variabel slack.
Fungsi pembatas dengan tanda  kurangi dulu dengan variabel surplus

kemudian tambahkan variabel artificial. Fungsi pembatas dengan tanda 

tambahkan variabel artificial;

15

2) bawa bentuk standar dari model program linier ke bentuk siap simpleks
(sampai memuat basis; atau koefisien variabel dalam fungsi kendalanya bisa
membentuk matriks identitas);

3) siapkan tabel awal simpleks, pilih kolom kunci dengan aturan untuk kasus

maksimasi pilih kolom dengan nilai  z j  c j paling negatif, sedangkan untuk

kasus minimasi pilih yang paling positif terbesar. Jika terdapat lebih dari satu
maka pilihlah salah satu sembarang;
4) pilih baris kunci yaitu baris dengan nilai ratio Ri (nilai ruas kanan bi dibagi
elemen kolom kunci yang  0) positif terkecil. Jika terdapat lebih dari satu,
pilih salah satu sembarang;
5) buat tabel baru dengan langkah sebagai berikut:
a) mengganti variabel basis: variabel basis yang bersesuaian dengan baris

kunci diganti dengan variabel basis yang bersesuaian dengan kolom kunci.
Koefisien variabel basisnya juga ikut disesuaikan dengan variabel basis
yang baru;
b) mengganti elemen pada baris kunci;

c) baris i baru  (elemen baris i sebelumnya)  (koefisien baris ke- i kolom

kunci)  (elemen baris r yang baru);

6) kembali ke langkah 3;
7) hasil optimal sudah dicapai. Berhenti, interpretasikan hasil optimal untuk

keputusan manajemen.

3.2 Metode Simpleks Berbantuan software QM for Windows V5
Analisis optimasi keuntungan produksi menggunakan metode simpleks

berbantuan software QM for windows V5 pada studi kasus Griya Batik
Notonegoro Jember adalah sebagai berikut:
a) Langkah 1. Buka software QM for windows V5, kemudian akan terlihat

tampilan awal software QM for windows seperti pada Gambar 3.1.

16

Gambar 3.1 Tampilan Awal QM for Windows V5
b) Langkah 2. Pada tampilan awal software QM for windows akan tampak 9 menu

bar, klik menu bar “MODULE” seperti pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Pilihan Modul Pada QM for Windows V5
c) Langkah 3. Pilih “MODULE” yang akan digunakan, pada penelitian ini akan

menggunakan “MODULE, Linear Programming”.
d) Langkah 4. Pilih menu bar “FILE”, klik “New” seperti pada Gambar 3.3.

Gambar 3.3 Menu Bar File
e) Langkah 5. Setelah klik “New”, selanjutnya ketik Title, Number of Constraints,

Number of Variables, pilih tujuan yang ingin dicapai Maximize atau Minimize,
dan pilih Row Names, kemudian klik “OK” seperti pada Gamber 3.4.

17

Gambar 3.4 Tampilan Data Linear Programming
f) Langkah 6. Model program linier yang telah diperoleh pada sub bab

sebelumnya, ditulis ke dalam tabel awal simpleks seperti pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1 Tabel Awal Simpleks

g) Langkah 7. Pada toolbar, klik “Solve”, maka akan ditampilkan hasil solusi
optimal masalah optimasi keuntungan produksi pada studi kasus Griya Batik
Notonegoro Jember yang dapat dilihat pada Tabel 3.2.
Tabel 3.2 Solusi Optimal Menggunakan Metode Simpleks

18

Griya Batik Notonegoro Jember dalam membuat produk kain batik
memerhatikan ketersediaan produk dan jumlah permintaan dari konsumen.
Sehingga, setiap kali produk kain batik tersebut berkurang ketersediaannya, maka
perusahaan akan tetap membuat produk kain batik tersebut dengan batas jumlah
produksi maksimal untuk kain batik motif mbako semak sebanyak 12 lembar,
kain batik motif sekar jagad sebanyak 10 lembar, kain batik motif kopi daun
sebanyak 10 lembar dan kain batik motif parakopi sebanyak 8 lembar, dengan
menggunakan motode simpleks berbantuan software QM for windows V5

diperoleh penyelesaian maksimum Z  Rp. 2 .404.870,00 yang terjadi saat x1  12
lembar, x2 10 lembar, x3  7,07 lembar, dan x4  8 lembar. Artinya pada
variabel x1  kain batik motif mbako semak, x2  kain batik motif sekar jagad,
dan x4  kain batik motif parakopi proses produksi sudah maksimal, sedangkan
untuk variabel x3  kain batik motif kopi daun masih belum produksi terbaik

dikarenakan dengan ketersediaan bahan yang ada hanya dapat dibuat 7,07 lembar
kain batik. Selain itu, alasan lainnya yaitu dikarenakan nilai solusi optimal dari
variabel keputusan yang dihasilkan menggunakan motode simpleks berbantuan
software QM for windows V5 masih belum bernilai bulat (integer), sedangkan
untuk membuat kain batik diperlukan hasil bernilai bulat (integer) berupa
bilangan cacah. Oleh karena itu, masalah berupa bilangan cacah tersebut dapat
diselesaikan dengan optimasi solusi bilangan cacah yang disebut program
bilangan cacah atau integer programming dan metode pencarian solusi integer
programming yang digunakan penelitian ini yaitu metode gomory cutting plane.

19

METODE gomory cutting plane

4.1 Metode Gomory Cutting Plane
Metode gomory cutting plane merupakan salah satu metode bagian dari

solusi program bilangan cacah untuk menentukan solusi optimal berupa bilangan
cacah yang pertama kali dikembangkan pada tahun 1958 oleh Ralph E. Gomory
dan diperluas kembali pendekatannya dengan menciptakan potongan gomory pada
tahun 1960. Menurut Genova & Guliashki, (2011) dalam penelitiannya yang
berjudul “Linear Integer Programming Methods and Approaches – A Survey”,
disebutkan bahwa terdapat beberapa metode yang tepat untuk memecahkan
masalah optimasi program bilangan cacah, diantaranya yaitu: (1) metode Cutting
Plane; (2) metode Branch-and-Bound (B&B); (3) metode Branch-and-Cut
(B&C); (4) metode Branch-and-Price (B&P); (5) metode Relaxation dan
Decomposition. Dari kelima metode tersebut, maka dalam e-monograf ini hanya
akan membahas tentang metode cutting plane atau metode gomory cutting plane.

Metode gomory cutting plane merupakan salah satu metode yang berguna
dalam menyelesaikan permasalahan program linier yang menghendaki solusi
optimal dari variabel keputusannya harus berupa bilangan cacah, baik bilangan
cacah murni maupun bilangan cacah campuran dengan penambahan kendala yang
dikenal sebagai kendala gomory. Program linier tidak efektif untuk menyelesaikan
permasalahan tersebut sehingga dikembangkan metode cutting plane yang lebih
efektif dan memberikan hasil yang lebih baik (Dimyati, 2011). Dalam
menerapkan metode gomory cutting plane terdapat langkah-langkah algoritma
pengerjaan metode gomory cutting plane yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai
berikut (Taha, 1996):
1) Selesaikan masalah program bilangan cacah (integer) menggunakan metode

simpleks dengan syarat bilangan cacah (intger) diabaikan.
2) Periksa solusi optimum yang didapatkan dari langkah 1.

20

 Apabila solusi optimum semua variabel keputusan memiliki nilai bulat
(integer), maka solusi optimum berupa bilangan cacah (integer) telah
didapatkan dan proses selesai.

 Apabila solusi optimum dari satu atau lebih variabel keputusan masih
bernilai pecahan maka proses pencarian solusi optimum dapat dilanjutkan
ke langkah berikutnya.

Untuk memeriksa solusi optimum pada permasalahan program linier maka
dapat dilihat pada Tabel 4.1 berikut.

Tabel 4.1 Tabel Simpleks Pencarian Solusi Optimal

Variabel
Basis

Dengan:

xi  Variabel basis, dimana i  1, 2, 3,, n
S j  Variabel bukan basis, dimana j  1, 2, 3,, m

Misalkan :

Diberikan tabel optimal simpleks (lihat Tabel 4.1). Apabila xi  0 , maka

n (4.1)

 aij S j  bi

j 1

ketika  aij   aij dan S j  0 , maka persamaan (4.1) dapat ditransformasikan

sebagai berikut:

21

n (4.2)

 aij S j  bi

j1

n (4.3)

 aij S j  Si  bi

j1

dimana Si merupakan variabel slack.

3) Pembentukan kendala gomory yang digunakan sebagai kendala/batasan baru.

Misalkan :

Asumsikan variabel basis xi bernilai tidak bulat maka persamaan ke- i dapat

dituliskan sebagai berikut:

n (4.4)

xi  bi  aij S j , dimana bi tidak bulat (baris sumber)
j 1

Selanjutnya, bi dan aij dipisahkan menjadi bagian yang bulat dan bagian

pecahan non-negatif seperti berikut:

bi   bi   fi dan aij   aij  fij dengan 0  fij  1 dan 0  fi  1

Sehingga, kendala gomory dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut:

n (4.5)

Sgi  aij S j   fi
j 1

Keterangan:
Sgi  Variabel slack gomory ke-i
fi  Bagian pecahan non-negatif
aij  Koefisien fungsi kendala pada model program linier tersebut

bi  Konstanta ruas kanan pada setiap kendala
S j  Variabel bukan basis

4) Menambahkan persamaan (4.5) yang telah terbentuk pada langkah 3 ke baris

terakhir dalam Tabel 4.1 dengan Sg adalah variabel slack gomory non-negatif

yang menjadi variabel basis seperti pada persamaan (4.5). Persamaan (4.5)

tersebut merupakan kendala gomory yang dibutuhkan dan mewakili kondisi

yang dibutuhkan agar xi bernilai bulat. Penambahan kendala gomory dapat

22

dilihat pada Tabel 4.2. Pada Tabel 4.2 terlihat bahwa nilai S j  0 dan
Sgi   fi yang menunjukkan suatu kondisi tidak layak, maka dapat dikatakan
bahwa kendala gomory belum fisibel. Oleh karenanya, metode dual simpleks
dapat digunakan untuk menyelesaikan kondisi ketidaklayakan ini.

Tabel 4.2 Tabel Dual Simpleks Setelah Penambahan Kendala Gomory

Variabel
Basis

5) Selesaikan dengan metode dual simpleks untuk mendapatkan solusi optimal
yang baru.
 Proses dikatakan selesai apabila setelah diterapkan metode dual simpleks
diperoleh penyelesaian baru yang bernilai bulat (integer).
 Proses dikatakan belum selesai apabila setelah diterapkan metode dual
simpleks diperoleh penyelesaian baru yang masih bernilai pecahan. Oleh
karenanya, langkah berikutnya yaitu menentukan persamaan kendala
gomory lagi dari tabel yang dihasilkan dari langkah 4, setelah itu kembali
diselesaikan menggunakan metode dual simpleks dan langkah ini dilakukan
secara berulang-ulang sampai didapatkan penyelesaian solusi optimal yang
bernilai bulat (integer).

23

 Proses dikatakan tidak memiliki solusi bilangan cacah (integer) yang layak
apabila salah satu iterasi metode dual simpleks tersebut memperlihatkan
hasil bahwa tidak ada solusi yang layak.

6) Kembali ke langkah 2.

4.2 Metode Gomory Cutting Plane Berbantuan Microsoft Excel
Analisis optimasi keuntungan produksi menggunakan metode gomory

cutting plane berbantuan software Microsoft Excel pada studi kasus Griya Batik
Notonegoro Jember adalah sebagai berikut:
a) Langkah 1. Selesaikan masalah program bilangan cacah (integer) terkait

optimasi keuntungan produksi pada studi kasus Griya Batik Notonegoro
Jember menggunakan metode simpleks berbatuan software QM for windows
V5 sesuai model program linier yang telah didapatkan sebelumnya dengan
syarat bilangan cacah (intger) diabaikan.
b) Langkah 2. Periksa solusi optimum yang didapatkan dari langkah 1.
Untuk memeriksa solusi optimum dari penyelesaian permasalahan program
linier tersebut menggunakan metode simpleks pada maka dapat dilihat pada
Tabel 4.3 berikut.

Tabel 4.3 Solusi Optimum Metode Simpleks (Iterasi Ke-4)

Berdasarkan Tabel 4.3, maka dapat diketahui bahwa baris nilai Z j  C j sudah
tidak ada yang bernilai negatif, artinya solusi optimum yang didapat dari
pengerjaan dengan metode simpleks telah diperoleh, yaitu x1  12 , x2  10 ,
x3  7,07 , x4  8 dan nilai Z  Rp 2.404.870,00 . Selanjutnya, dikarenakan
solusi optimum dari satu atau lebih variabel keputusan masih bernilai pecahan

24

dan solusi optimum yang diinginkan adalah integer, maka proses pencarian

solusi optimum dapat dilanjutkan ke langkah berikutnya.

c) Langkah 3. Pembentukan persamaan potongan gomory ke-1 yang akan

digunakan sebagai kendala/batasan baru, dengan cara memilih secara acak

baris pada tabel optimal simpleks yang pada kolom ruas kanannya memuat

bilangan pecahan, dimana baris yang terpilih tersebut nantinya akan dijadikan

kendala baru gomory. Berdasarkan Tabel 4.3, dipilih x3 sebagai batasan

gomory, maka diperoleh persamaan potongan gomory ke-1 sebagai berikut:

x3 1,33333 S4  0,66667 S8  0,46667 S9  0,86667 S11  7,06667

1  0 x3  1  0,33333  S4  1  0,33333  S8  1  0,53333  S9  1  0,13333  S11  7  0,06667  (4.6)
Berdasarkan persamaan (4.6), dapat dibentuk persamaan untuk kendala gomory

ke-1 dengan mengabaikan koefisien yang bernilai bulat (integer), sedangkan

koefisien yang bernilai pecahan disubsitusikan pada persamaan berikut:

n

Sgi  aijs j   fi
j1

Sg1 0,33333 S4  0,33333 S8  0,53333 S9  0,13333 S11  0,06667 (4.7)

d) Langkah 4. Menambahkan persamaan (4.7) yang telah terbentuk pada langkah

3 ke baris terakhir dalam Tabel 4.3 dengan Sg1 adalah variabel slack gomory

non-negatif ke-1 yang menjadi variabel basis. Penambahan kendala gomory ke-

1 dapat dilihat pada Tabel 4.4. Pada Tabel 4.4 terlihat bahwa nilai Z j  C j

sudah tidak ada yang bernilai negatif, artinya solusi sudah optimal, tetapi

terdapat nilai bi atau nilai ruas kanan yang bernilai negatif, artinya

menunjukkan suatu kondisi tidak layak, maka dapat dikatakan bahwa kendala

gomory belum fisibel. Oleh karenanya, metode dual simpleks dapat digunakan

untuk menyelesaikan kondisi ketidaklayakan ini.

e) Langkah 5. Selesaikan Tabel 4.4 dengan metode dual simpleks untuk

mendapatkan solusi optimal yang baru, dengan cara sebagai berikut:

 Pastikan Tabel 4.4 dalam kondisi optimal.

25

Pada Tabel 4.4 dapat terlihat bahwa nilai Z j  C j sudah tidak ada yang

bernilai negatif (kasus maksimasi), artinya solusi sudah optimal.

 Periksa, apakah solusi Tabel 4.4 sudah fisibel, yaitu: bi  0 untuk semua i

(nilai semua variabel basisnya non-negatif). Pada Tabel 4.4 dapat terlihat

bahwa baris Sg1 memiliki nilai bi negatif yaitu  0,06667 , artinya solusi

belum fisibel, maka dapat dilanjutkan ke langkah selanjutnya.

 Menentukan baris kunci (leaving variable) dengan memilih variabel basis

yang mempunyai nilai ruas kanan  bi  paling negatif. Pada Tabel 4.4 dapat
terlihat bahwa variabel basis yang memiliki nilai ruas kanan  bi  paling

negatif yaitu baris Sg1.

 Menentukan kolom kunci (entering variable) di antara variabel-variabel non

basis dengan cara menghitung nilai perbandingan (rasio) antara koefisien

persamaan Z dengan koefisien persamaan leaving variable seperti berikut.

Rasio kolom Sj  zj cj ; dimana aij koefisien fungsi kendala pada baris
aij

kunci yang  0 saja. Berdasarkan perhitungan rasio, maka pada Tabel 4.4

dapat terlihat bahwa nilai rasio yang terkecil yaitu kolom S11.

Tabel 4.4 Tabel Dual Simpleks Setelah Penambahan Potongan Gomory Ke-1

 Buat tabel baru dengan melakukan operasi baris seperti dalam algoritma
simpleks biasa seperti berikut (Tabel 4.5):

26

Tabel 4.5 Iterasi Ke-1 Algoritma Metode Simpleks

Berdasarkan Tabel 4.5, maka optimum yang didapat dari pengerjaan dengan

metode dual simpleks telah diperoleh, yaitu x1  12 , x2  10 , x3  7,5 ,

x4  7,5 dan nilai Z  Rp 2.401.199,00 . Selanjutnya, dikarenakan solusi
optimum dari satu atau lebih variabel keputusan masih bernilai pecahan dan

solusi optimum yang diinginkan adalah integer, maka proses pencarian

solusi optimum dapat dilanjutkan ke langkah berikutnya.

f) Langkah 6. Pembentukan persamaan potongan gomory ke-2. Pada Tabel 4.7,

dapat terlihat bahwa bilangan pecahan x3 dan x4 sama besar, sehingga dapat

dipilih salah satu. Berdasarkan Tabel 4.5, maka dapat diperoleh persamaan

potongan gomory ke-2 sebagai berikut:

x3  3,5 S4 1,5 S8  3 S9  6,5 Sg1  7,5 (4.8)

1 0 x3  3  0,5S4  1 0,5S8  3  0S9   7  0,5Sg1  7  0,5

Berdasarkan persamaan (4.8), dapat dibentuk persamaan untuk kendala gomory

ke-2 dengan mengabaikan koefisien yang bernilai bulat (integer), sedangkan

koefisien yang bernilai pecahan disubsitusikan pada persamaan berikut:

n

Sgi  aij s j   fi
j1

Sg 2  0,5 S4  0,5 S8  0,5 Sg1  0,5 (4.9)

g) Langkah 7. Menambahkan persamaan (4.9) yang telah terbentuk pada langkah

6 ke baris terakhir dalam Tabel 4.5 dengan Sg 2 adalah variabel slack gomory

non-negatif ke-2 yang menjadi variabel basis. Penambahan kendala gomory ke-

27

2 dapat dilihat pada Tabel 4.6. Pada Tabel 4.6 terlihat bahwa nilai Z j  C j

sudah tidak ada yang bernilai negatif, artinya solusi sudah optimal, tetapi

terdapat nilai bi atau nilai ruas kanan yang bernilai negatif, artinya

menunjukkan suatu kondisi tidak layak, maka dapat dikatakan bahwa kendala

gomory belum fisibel. Oleh karenanya, metode dual simpleks dapat digunakan

untuk menyelesaikan kondisi ketidaklayakan ini.

h) Langkah 8. Selesaikan Tabel 4.6 dengan metode dual simpleks untuk

mendapatkan solusi optimal yang baru, dengan cara sebagai berikut:

 Pastikan Tabel 4.6 dalam kondisi optimal.

Pada Tabel 4.6 dapat terlihat bahwa nilai Z j  C j sudah tidak ada yang

bernilai negatif (kasus maksimasi), artinya solusi sudah optimal.

 Periksa, apakah solusi Tabel 4.6 sudah fisibel, yaitu: bi  0 untuk semua i

(nilai semua variabel basisnya non-negatif). Pada Tabel 4.6 dapat terlihat

bahwa baris Sg 2 memiliki nilai bi negatif yaitu  0,5 , artinya solusi belum

fisibel, maka dapat dilanjutkan ke langkah selanjutnya.

 Menentukan baris kunci (leaving variable) dengan memilih variabel basis

yang mempunyai nilai ruas kanan  bi  paling negatif. Pada Tabel 4.6 dapat
terlihat bahwa variabel basis yang memiliki nilai ruas kanan  bi  paling

negatif yaitu baris Sg 2 .

 Menentukan kolom kunci (entering variable) di antara variabel-variabel non

basis dengan cara menghitung nilai perbandingan (rasio) antara koefisien

persamaan Z dengan koefisien persamaan leaving variable seperti berikut.

Rasio kolom Sj  zj cj ; dimana aij koefisien fungsi kendala pada baris
aij

kunci yang  0 saja. Berdasarkan perhitungan rasio, maka pada Tabel 4.6

dapat terlihat bahwa nilai rasio yang terkecil yaitu kolom S8 .

28

Tabel 4.6 Tabel Dual Simpleks Setelah Penambahan Potongan Gomory Ke-2

 Buat tabel baru dengan melakukan operasi baris seperti dalam algoritma
simpleks biasa seperti berikut (Tabel 4.7):
Tabel 4.7 Iterasi Ke-2 Algoritma Metode Simpleks

Berdasarkan Tabel 4.7, terlihat bahwa nilai Z j  C j sudah tidak ada yang
bernilai negatif, artinya solusi sudah optimal, tetapi baris Sg 5 memiliki nilai
bi negatif yaitu  0,5 artinya solusi belum fisibel, maka untuk
menyelesaikan kondisi ketidaklayakan tersebut dapat dilanjutkan dengan
mengunakan metode dual simpleks hingga didapatkan tabel iterasi ke-6
seperti berikut (lihat Tabel 4.8).

29

Tabel 4.8 Iterasi Ke-6 Setelah Penambahan Potongan Gomory Ke-5

 Buat tabel baru dengan melakukan operasi baris seperti dalam algoritma
simpleks biasa seperti berikut (Tabel 4.9):
Tabel 4.9 Iterasi Ke-7 Algoritma Metode Simpleks

Tabel 4.9 menunjukkan hasil pencarian solusi integer programming
menggunakan metode gomory cutting plane berbantuan software Microsoft Excel
pada produksi batik di Griya Batik Notonegoro Jember. Dalam Tabel 4.9
menunjukkan bahwa semua nilai pada baris Z j  C j sudah tidak ada yang bernilai
negatif, artinya solusi sudah optimal, kemudian semua nilai bi atau nilai ruas
kanan sudah tidak ada yang bernilai negatif, artinya menunjukkan suatu kondisi
layak atau feasible, dan selain itu dapat terlihat untuk semua nilai variabel
keputusan sudah bernilai bulat (integer) berupa bilangan cacah, artinya dengan
menggunakan metode gomory cutting plane solusi optimum integer programming
telah dicapai. Solusi optimum integer programming menggunakan metode
gomory cutting plane yang didapat oleh Griya Batik Notonegoro Jember

30

berbantuan software Microsoft Excel diperoleh penyelesaian maksimum
Z  Rp 2 . 352. 922, 00 yang terjadi saat x1  12 lembar, x2 10 lembar, x3  9
lembar, dan x4  5 lembar.

Keuntungan dari pencarian solusi integer programming yang didapat
menggunakan metode gomory cutting plane berbantuan software Microsoft Excel
adalah Rp2.352.922,00, sedangkan untuk optimasi produksi menggunakan metode
simpleks berbantuan software QM for windows V5 keuntungan yang didapat
adalah Rp2.404.870,00. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa telah terjadi
peningkatan keuntungan sebesar Rp51.948,00 atau 2,16 % setiap produksi.
Sehingga, untuk optimasi produksi menggunakan metode simpleks merupakan
solusi yang paling optimal, kendati demikian ditemukan kekurangan dari solusi
optimal yang didapat yaitu koefisien dari satu atau lebih variabel keputusan yang
dihasilkan bukan bilangan cacah (integer). Sedangkan untuk membuat kain batik
diperlukan hasil bernilai bulat (integer) berupa bilangan cacah.

Oleh karena itu, penerapan metode gomory cutting plane pada optimasi
keuntungan produksi batik sangat tepat untuk digunakan. Hal ini dikarenakan
algoritma metode gomory cutting plane secara praktis mampu memotong solusi
pecahan yang tidak diinginkan dengan cara menghilangkan titik ruang
penyelesaian bilangan cacah (integer) yang tidak feasible, kendati demikian tidak
satupun titik ruang penyelesaian bilangan cacah (integer) yang feasible dengan
cara tersebut dihilangkan, sehingga cara tersebut secara praktis mampu
memperpendek perhitungan dengan menghasilkan solusi optimum yang sangat
realistik yaitu berupa bilangan cacah (integer) pada masalah optimasi keuntungan
produksi batik di Griya Batik Notonegoro Jember.

31

DAFTAR PUSTAKA

Genova, K., & Guliashki, V. (2011). Linear Integer Programming Methods and
Approaches - A Survey. Cybernetics and Information Technologies, 11(1),
3–25.

Hillier, F. S., & Lieberman, G. J. (1990). Introduction to Operations Research,
Seventh Edition. New York: The McGraw-Hill Companies, Inc.

Nico, Iryanto, & Tarigan, G. (2014). Aplikasi Metode Cutting Plane Produksi
Tahunan. Saintia Matematika, 2(2), 127–136.

Siringoringo, H. (2005). Riset Operasional Seri Pemrograman Linear.
Yogyakarta: Graha Ilmu.

Sriwidadi, T., & Agustina, E. (2013). Analisis Optimalisasi Produksi dengan
Linear Programming Melalui Metode Simpleks. Binus Business Review,
4(2), 725–741. https://doi.org/10.21512/bbr.v4i2.1386

Surachman, M. A. (2015). Operations Research. Malang: Media Nusa Creative.
Susanto, S., Suryadi, D., Adianto, H., Bidang, K., Management, I., Industri, J. T.,

Teknologi, F., Parahyangan, U. K., & Industri, J. T. (2006). Pemodelan
Pemrograman Linier dengan Koefisien Fungsi Objektif Berbentuk Bilangan
Kabur Segitiga dan Kendala Kabur Beserta Usulan Solusinya. Jurnal Teknik
Industri, 8(1), 14–27.
T.T. Dimyati, A. D. (2011). Operations Research: Model-model Pengambilan
Keputusan. Bandung: Sinar Baru Algensindo.
Taha, H. A. (1996). Riset Operasi: Suatu Pengantar (5th ed.). Jakarta: Binarupa
Aksara.

32

GLOSARIUM

Algoritma : Serangkaian langkah-langkah yang
Baris kunci (leaving variable)
Bilangan cacah disusun secara terstruktur untuk
Feasible (fisibel)
menyelesaikan masalah tertentu.
Kolom kunci (entering variable)
Metode dual simpleks : Baris variabel basis yang nilai ruas

Metode gomory cutting plane kanannya memiliki nilai negatif terbesar
Metode simpleks
Model program linier pada tabel dual simpleks.
Produksi
Program linier : Gabungan dari himpunan bilangan asli

Rasio dan angka 0.
Solusi optimum
: Kondisi daerah penyelesaian yang layak

dengan ditandai oleh tidak terdapat ruas

kanan yang benilai negatif pada tabel

simpleks.

: Kolom variabel basis dengan nilai rasio

terkecil pada tabel dual simpleks.

: Metode dalam program linier yang

digunakan untuk membuat kondisi suatu

iterasi pada tabel simpleks menjadi

optimal dan fisibel.

: Metode yang digunakan untuk

memaksimumkan keuntungan produksi

pada Griya Batik Notonegoro Jember

: Metode dalam program linier yang

digunakan untuk menentukan solusi

optimal.

: Cara untuk menafsirkan suatu

permasalahan program linier.

: Kegiatan untuk meningkatkan nilai guna

suatu benda dengan menghasilkan barang

atau jasa.

: Metode matematika dalam

menyelesaikan masalah pengalokasian

sumber daya dengan tujuan

memaksimumkan keuntungan atau

meminimumkan biaya.

: Perbandingan antara koefisien persamaan

dengan koefisien persamaan leaving

variable pada tabel dual simpleks.

: Solusi yang didapatkan melalui uji

optimalitas dengan ditandai oleh semua

indeks bernilai positif untuk masalah

maksimasi.

33

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER