BUKU AJAR TRANSFORMASI GEOMETRI Disusun oleh : “DILATASI” Culturally Responsive Teaching (CRT) Disusun oleh : Girlyas Rasta Yunta, S.Pd. Topik Bahasan : Kosep Dilatasi Peta dari Dilatasi dengan Matriks Dilatasi Berbasis Budaya Batik Aplikasi Masalah Konkret Dilatasi Latihan Soal Matematika Tingkat Lanjut Kelas XI
transformasi geometri D I L A T A S I Dilatasi adalah perubahan ukuran suatu objek yang dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil, dan proses ini sering disebut dengan perkalian. Kita sering menjumpai contoh dilatasi dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, ketika sebuah karet gelang direntangkan, ukurannya menjadi lebih besar. Saat kamu meniup balon, balon tersebut akan mengembang dan ukurannya bertambah besar. Ketika membuat kue, adonan akan mengembang menjadi lebih besar selama proses pemanggangan. Contoh-contoh ini menggambarkan bagaimana ukuran objek dapat dikalikan atau diubah skalanya. Kali ini, kita akan mencoba mengamati konsep dilatasi pada motif kain Batik Kawung yang berasal dari Yogyakarta. Motif Batik Kawung memiliki pola geometris khas yang terdiri dari bentukbentuk elips atau lingkaran yang teratur. Dengan menerapkan konsep dilatasi pada motif ini, kita dapat memperbesar atau memperkecil pola tersebut sambil mempertahankan bentuk aslinya. Hal ini akan memberikan pemahaman lebih dalam mengenai bagaimana prinsip dilatasi bekerja dalam seni tradisional dan menunjukkan aplikasi praktis dari konsep matematis ini dalam budaya lokal. Gambar 1. Motif Batik Kawung dari Yogyakata A B Sumber : https://www.popbela.com/
Pada Gambar 1 terlihat motif kawung dengan bentuk bangun datar elips, dapat kalian lihat bahwa disana kita dapat menemukan ukuran bentuk motif A (elips kecil) dan motif B (elips dengan ukuran lebih besar). Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa perubahan ukuran dari motif B merupakan dilatasi (perkalian) dari motif A. Kita akan terlebih dahulu mengamati suatu titik pada diagram kartesius apabila dilakukan dilatasi. Gambar 2 dapat kita amati bahwa titik A, B, C, D, E merupakan titik awal yang di dilatasikan oleh titik pusat O (0,0) dan P (p,q). Proses dilatasi oleh titik pusat O (0,0) dan titik pusat P (p,q) menghasilkan suatu titik bayangan, yaitu A’, B’, C’, D’, dan E’. Perpindahan suatu titik dalam proses dilatasi dipengaruhi oleh titik pusat yang diberikan. Perpindahan tersebut juga dipengaruhi oleh skala perkalian dalam memengaruhi perbesaran atau pengecilan suatu objek pada titik. Perhatikan Tabel 1, untuk mengetahui proses dilatasi yang dihasilkan pada Gambar 2. Gambar 2. Contoh dilatasi pada suatu titik dengan titik pusat O (0,0) dan P (p,q) pada diagram kartesius Sumber : Dokumentasi penulis
Tabel 1 . Dilatasi Titik Pada Pusat O (0,0), P (p,q) dan skala k
Gambar 3 merupakan contoh gambar transformasi geometri khususnya dilatasi pada motif Batik Kawung. Dari Gambar 3, dapat kalian lihat bahwa motif tersebut apabila dilakukan dilatasi akan mengalami perubahan ukuran menjadi ukuran lebih besar atau ukuran yang lebih kecil dari objek awal. Perubahan tersebut terjadi karena objek awal yang didilatasikan pada pusat tertentu dengan perkalian skala k seperti pada Gambar 3. Jika kita amati pada Gambar 3, titik awal objek tersebut yaitu C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, dan O yang didilatasikan dengan pusat (-1, -1). Sehingga dihasilkan titik bayangan hasil dilatasi yaitu C’, D’, E’, F’, G’, H’, I’, J’, K’, L’, M’, N’, dan O’. Untuk lebih memahami proses dilatasi, maka coba kalian perhatikan Tabel 2 berikut. Gambar 3. Dilatasi Motif Batik Kawung Sumber : Dokumentasi penulis
Tabel 2 . Dilatasi Titik Motif Batik Kawung melalui titik pusat P(p,q) dan Skala k
Setelah didapatkan pola perhitungan peta dari dilatasi pada Tabel 2, diperoleh kesimpulan konsep dilatasi sebagai berikut : Harap dicatat bahwa kita dapat menarik kesimpulan mengenai sifat dilatasi: suatu objek yang diperbesar atau diperkecil dengan faktor skala k akan mengalami perubahan ukuran, baik membesar atau mengecil, tanpa mengubah bentuk asli objek tersebut. Perhatikan juga bahwa apabila:
Contoh 1 Suatu kain batik dengan motif daun tembakau yang berasal dari Kota Jember, diketahui jika digambar pada sistem koordinat kartesius memiliki titik koordinat C (1.85 , 0.48), D (1 , 2), E (0.87 , 1) dan F (1.6 , 1.4). Motif tersebut didilatasikan dengan pusat P(-1, -1) dan skala 2, dimanakah letak bayangan dari motif tersebut yang didilatasikan ? k > 1 maka suatu objek akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan objek awal. k = 1 maka suatu objek tidak mengalami perubahan ukuran dan letak. o < k < 1 maka suatu objek akan diperkecil dan memiliki letak yang searah terhadap pusat dilatasi dengan objek awal. -1 < k < 0 maka suatu objek akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan objek awal. k = -1 maka suatu objek tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran, namun letak bayagan akan berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dan objek awal. k < -1 maka suatu objek akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dan objek awal. Potongan motif yang akan di dilatasi Gambar 4. Motif Batik Kopi Daun dari Jember Sumber : Dokumentasi penulis
Dihasilkan bayangan titik C adalah C’ (4.7 , 1.96) Mencari bayangan dari titik C (1.85 , 0.48) Dihasilkan bayangan titik D adalah D’ (3 , 5) Alternatif Penyelesaian Diketahui : Suatu motif memiliki titik koordinat titik C (1.85 , 0.48), D (1 , 2), E (0.87 , 1) dan F (1.6 , 1.4) Pusat (-1,-1) Skala 2 Ditanya : Titik bayangan dari motif tersebut ? Jawab: Mencari bayangan dari titik D (1 , 2)
Dihasilkan bayangan titik E adalah E’ (2.74 , 3) Mencari bayangan dari titik E (0.87 , 1) Dihasilkan bayangan titik F adalah F’ (4.2 , 3.8) Mencari bayangan dari titik F (1.6 , 1.4) Berdasarkan penyelesaian di atas, maka diperoleh titik bayangan dari motif daun tembakau yaitu : C’ (4.7 , 1.96) D’ (3 , 5) E’ (2.74 , 3) F’ (4.2 , 3.8) JIka titik-titik bayangan tersebut digambarkan pada sistem koordinat kartesius, maka dapat diperoleh gambar sebagai berikut:
Gambar 5. Dilatasi Motif Batik Kopi Daun Contoh 2 Suatu kain batik motif geblek renteng yang berasal dari Kulon Progo memiliki pola motif garis pada kainnya. Diketahui jika pola motif garis tersebut digambar pada sistem koordinat kartesius, maka garis tersebut memiliki persamaan garis - 2x + 3y - 6 = 0 yang didilatasi dengan pusat O (0,0) dan skala -1. Dimanakah bayangan dari persamaan garis tersebut? Sumber : Dokumentasi penulis
Gambar 6. Motif Batik Geblek Renteng dari Kulon Progo Pola motif garis yang akan di dilatasi Alternatif Penyelesaian Diketahui : Motif garis pada kain batik geblek renteng memiliki persamaan garis - 2x + 3y - 6 = 0 Pusat O (0,0) Skala -1 Ditanya : Titik bayangan dari motif tersebut ? Jawab: Mencari titik bayangan Sumber : https://id.pinterest.com/
Gambar 7. Dilatasi Motif Batik Geblek Renteng Sumber : Dokumentasi penulis
Latihan
A Y O B ERL A T I H