เอกสารประกอบการเรียน

เอกสารประกอบการเรยี น
วิชาคณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน(ค32104)

เร่อื ง สถติ ิ

ผ้จู ดั ทำ
นายธนทัต จติ ดี
ตำแหนง่ ครู คศ.1

โรงเรยี นพนมเบญจา อำเภอเขาพนม จังหวัดกระบ่ี
สำนกั งานเขตพื้นทก่ี ารศึกษามธั ยมศกึ ษาตรงั กระบี่

ก

คำนำ

เอกสารประกอบการเรียน วชิ า คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน(ค32104) เรอ่ื ง สถิติ กลมุ่ สาระการ
เรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 เป็นสว่ นของส่อื การจดั การเรยี นการสอน ตามหลกั สตู ร
แกนกลางการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์(ฉบบั ปรบั ปรุง
พุทธศกั ราช 2560)

เอกสารประกอบการเรียนฉบบั น้จี ดั ทำขนึ้ เพอ่ื ใชป้ ระกอบการจัดกจิ กรรมการเรียนการสอน
ให้นักเรยี นฝึกและทบทวนในขณะทีด่ ำเนินการสอน นอกจากนีส้ ามารถใช้เป็นเอกสารทบทวนไดต้ าม
ความเหมาะสม

ผู้จดั ทำหวังเป็นอย่างยง่ิ วา่ เอกสารประกอบการเรียน วชิ าคณิตศาสตร์พื้นฐาน(ค32104)
เรื่อง สถิติ เลม่ นี้ จะทำใหผ้ ู้เรียนเกดิ การเรยี นร้ไู ด้อยา่ งเต็มศักยภาพของแต่ละบุคคล เหน็
ความกา้ วหนา้ ของตนเองอย่างเป็นระบบ สง่ เสริมให้ผเู้ รียนมคี วามสนใจ ต้ังใจเรียนมากข้ึน บรรลุ
เปา้ หมายของหลักสตู ร หากพบมีข้อบกพร่องประการใด ผูจ้ ดั ทำขอน้อมรบั เพื่อนำไปปรับปรุงและ
พฒั นาในโอกาสต่อไป

นายธนทัต จติ ดี

สารบญั ข

คำนำ หน้า
สารบัญ ก
คำชแ้ี จง ข
มาตรฐานการเรยี นร้/ู ตัวช้ีวดั /จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ค
สถติ ิ ง
การวเิ คราะห์ข้อมลู เบื้องต้น 1
การนำสถติ ไิ ปใช้ 4
สถติ กิ ับการตัดสินใจ 5
การนำเสนอข้อมลู 6
การวดั ตำแหน่งที่ของข้อมูล 8
การวดั ค่ากลางของขอ้ มลู 16
การวดั การกระจายของขอ้ มูล 22
สตู รสถติ ิ 37
แบบฝึกหดั ที่ 1 เร่อื ง สถติ ิและข้อมลู 51
แบบฝึกหัดท่ี 2 เรอื่ ง การแจกแจงความถี่ 54
แบบฝกึ หดั ท่ี 3 เรื่อง การวดั ตำแหนง่ ท่ขี องข้อมูล 55
แบบฝกึ หดั ท่ี 4 เรื่อง การวิเคราะห์ขอ้ มลู (ค่าเฉลย่ี เลขคณิต) 60
แบบฝกึ หดั ท่ี 5 เรอ่ื ง การวเิ คราะห์ข้อมูล(มธั ยฐาน) 62
แบบฝึกหัดท่ี 6 เรอื่ ง การวเิ คราะห์ขอ้ มลู (ฐานนิยม) 64
แบบฝกึ หดั ท่ี 7 เรื่อง การกระจายของขอ้ มูล 66
แบบทดสอบ 68
เฉลยแบบฝกึ หดั ท่ี 1 เรือ่ ง สถิติและขอ้ มูล 70
เฉลยแบบฝกึ หดั ที่ 2 เร่ือง การแจกแจงความถี่ 74
เฉลยแบบฝึกหดั ท่ี 3 เรอ่ื ง การวดั ตำแหน่งท่ขี องข้อมลู 75
เฉลยแบบฝกึ หัดท่ี 4 เรอื่ ง การวิเคราะหข์ ้อมูล(คา่ เฉล่ียเลขคณิต) 80
เฉลยแบบฝึกหัดที่ 5 เรอ่ื ง การวิเคราะห์ขอ้ มูล(มธั ยฐาน) 83
เฉลยแบบฝึกหดั ท่ี 6 เร่อื ง การวิเคราะหข์ ้อมูล(ฐานนยิ ม) 86
เฉลยแบบฝึกหดั ท่ี 7 เร่อื ง การกระจายของขอ้ มลู 88
เฉลยแบบทดสอบ 90
93

ค

คำชแ้ี จง

เพื่อให้เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน(ค32104) เรื่องสถิติ
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เป็นประโยชนส์ ูงสุดต่อผู้ที่ทำการศกึ ษาควรศึกษาคำชี้แจงและปฏิบัติตาม
ขัน้ ตอนดังนี้

1.ใชส้ ำหรบั การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในช่ัวโมงเรียน สำหรบั นกั เรยี นทกุ คน และ
นักเรยี นที่เรียนไมท่ นั เพื่อนหรอื ไมไ่ ด้เรยี นในช่วั โมงเรียน

2. เป็นเอกสารประกอบการเรยี นที่ครูจะใหน้ กั เรียนได้ฝึกทำหลังจากทค่ี รสู อนตามแผนการ
จัดการเรยี นรูเ้ ร่อื งนัน้ ๆ เสร็จเรียบรอ้ ยแลว้

3. เมอื่ นกั เรยี นมีปญั หาในการทำแบบฝึกหัดหรอื ไม่เขา้ ใจ หรือทำแบบฝึกหดั ไม่ได้ ครูตอ้ ง
อธิบายเพ่มิ เติมสำหรับนักเรียนท่ีมปี ัญหา

4. ให้นกั เรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลังเรียนใช้เวลาประมาณ 60 นาที
5. ครรู ว่ มกับนักเรียนช่วยกนั เฉลยและตรวจคำตอบแบบฝึกหัด พร้อมท้ังรว่ มกนั ตรวจ
แบบทดสอบ แล้วใหน้ กั เรยี นบนั ทกึ คะแนนทุกครั้ง
8. ครเู น้นย้ำให้นกั เรียนมีความซือ่ สัตยต์ ่อตนเองในการทำแบบฝกึ หัดทุกชุด
9. เวลาในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้แต่ละครั้ง อาจมกี ารปรับเปลีย่ นไดต้ ามความ
เหมาะสม ตามความสามารถและศักยภาพของแต่ละบุคคล
10. ในทกุ ข้ันตอนของการจดั กจิ กรรมการเรยี นการสอนโดยใชช้ ุดฝึกทักษะ ครตู ้องคอย
ดูแลให้คำแนะนำและช่วยเหลอื อยา่ งใกลช้ ิด

ง

มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 3.1 เข้าใจกระบวนการทางสถิติ และใช้ความรูท้ างสถติ ิในการแก้ปญั หา

ตวั ชี้วัด

ม.6/1 เข้าใจและใช้ความรทู้ างสถิติในการนำเสนอข้อมลู และแปลความหมายของคา่ สถติ ิเพอ่ื ประกอบการตดั สินใจ

จุดประสงค์การเรียนรู้

เมื่อศึกษาเอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง สถิติ นักเรียนสามารถ

1) สามารถบอกความหมายและประโยชนข์ องสถิติศาสตร์ได้
2) สามารถระบคุ ำสำคญั ต่าง ๆ จากสถานการณ์ทกี่ ำหนดได้
3) สามารถจำแนกประเภทของขอ้ มูลได้
4) สามารถระบุไดว้ า่ สถานการณท์ กี่ ำหนดใช้วธิ ีการของสถติ ิศาสตร์เชิงพรรณนาหรอื สถิติศาสตร์เชงิ อนมุ าณได้
5) สามารถวิเคราะห์และนำเสนอข้อมลู เชิงคุณภาพด้วยตารางความถ่แี ละแผนภาพพร้อมท้ังสรุปผลทีไ่ ด้จาก
การนำเสนอขอ้ มลู ดว้ ยตารางความถแี่ ละแผนภาพแบบตา่ ง ๆ ได้
6) สามารถวเิ คราะห์และนำเสนอข้อมูลเชงิ ปรมิ าณดว้ ยตารางความถแี่ ละแผนภาพพรอ้ มทั้งสรุปผลทไี่ ด้จาก
การนำเสนอขอ้ มูลด้วยตารางความถแี่ ละแผนภาพแบบต่าง ๆ ได้
7) สามารถหาคา่ กลางของขอ้ มูลพรอ้ มทั้งเลอื กค่ากลางของขอ้ มูลที่เหมาะสมเป็นตัวแทนของข้อมลู และใช้
ค่ากลางของข้อมลู ในการแกป้ ญั หา
8) สามารถหาคา่ วดั การกระจายสมั บูรณแ์ ละค่าวัดการกระจายสมั พัทธ์ พรอ้ มทงั้ เลอื กใช้คา่ วดั การกระจายท่ี
เหมาะสมในการอธบิ ายการกระจายของข้อมลู และใช้ค่าวัดการกระจายในการแกป้ ญั หา
9) สามารถหาคา่ ตำแหนง่ ที่ของขอ้ มูลพร้อมทง้ั ใช้ค่าวัดตำแหน่งท่ขี องข้อมูลในการแก้ปัญหา

สถิติ 1

คาว่า “ สถิติ ” มีความหมายกว้างๆ 2 ประการดงั นี้ คือ
1. สถิติ หมายถึง กลมุ่ ของตัวเลข ข้อมูล ข่าวสาร ที่เกบ็ รวบรวมได้ แลว้ นามาประยุกต์ใช้ใน

กิจกรรมต่างๆ ของการดารงชีวิตประจาวนั การบรหิ ารองค์กรตลอดจนการบรหิ ารประเทศ เช่น สถิติจานวน
นกั ท่องเทีย่ วทีเ่ ข้ามาในประเทศไทย สถิติจานวนผู้สาเร็จการศึกษาในระดับปรญิ ญาตรี

2. สถิติ หมายถึง ศาสตร์ที่ว่าด้วยวิธีการที่ใช้ในการศึกษาขอ้ มูล เพื่อหาข้อสรุปจากขอ้ มูลที่
เกีย่ วข้องแล้วนามาอธิบายปรากฏการณ์หนึ่ง หรือตามคาตอบ หรือประเด็นปัญหาทีส่ นใจ โดยอาศยั ข้อมลู
ที่ไดจ้ ากการเกิดซ้า ๆ ของปรากฏการณ์น้ัน ๆ

ระเบียบวิธีการทางสถิติ(Statistical Method) ซึ่งประกอบดว้ ย
1.การเก็บรวบรวมข้อมลู (Data Collection) เป็นการรวบรวมข้อมลู จากแหลง่ ข้อมลู ตามทีไ่ ดม้ ี

การวางแผนไว้ซึง่ อาจเป็น ไดท้ ้ัง ข้อมลู ปฐมภูมิหรือทตุ ยิ ภมู ิ เช่น การสอบถาม การสังเกต การทดลอง เปน็ ต้น
2. การนาเสนอข้อมูล(Data Presentation) เปน็ การจดั ทาขอ้ มูลที่รวบรวมได้ให้อยใู่ นรูปแบบที่

กะทดั รดั เช่น ตารางแจกแจงความถี่ กราฟ แผนภาพต้น-ใบ เปน็ ต้น
3. การวิเคราะหข์ ้อมูล(Data Analysis) เป็นข้ันตอนการประมวลผลข้อมลู ซ่งึ ในการวิเคราะห์

จาเปน็ ต้องใช้สูตรทางสถิติต่างๆ หรือใช้การอ้างอิงทางสถิติข้นึ กบั วัตถุประสงค์ของงานนั้นๆเช่น นามาหา
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน เปน็ ต้น

โดย ข้อมลู ทีน่ ามาวิเคราะห์มาจากขอ้ มูลทั้งหมด เรียกว่า ประชากร
 ข้อมูลที่นามาวิเคราะหม์ าจากเพียงส่วนหนึ่งของประชากร เรียกว่า กลมุ่ ตวั อย่าง

การวิเคราะห์ขอ้ มูลนีอ้ าจแบ่งออกเป็นสองสว่ น คือ การวิเคราะห์ขน้ั ต้นที่มุ่งวิเคราะห์เพื่อ
อธิบายลกั ษณะกว้าง ๆ ของข้อมลู ชุดนีซ้ ึ่งเรยี กว่า สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) กับ
การวิเคราะห์ขอ้ มลู ทีเ่ ก็บรวบรวมได้จากตัวอยา่ งเพื่ออ้างอิงไปถงึ ข้อมูลท้ังหมดซ่งึ เรียกว่า สถิติเชิงอนมุ าน
(Inferential Statistics)

สถิติเชิงพรรณนาจะว่าด้วยวิธีการสรปุ ข้อมลู แต่ละชดุ ทเ่ี ราสนใจดา้ นการวัดค่าวดั แนวโน้ม
สสู่ ว่ นกลาง(ค่าเฉล่ยี เลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม) และค่าวัดการกระจาย (ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน พิสยั
ฯลฯ) ตลอดจนการแจกแจงความถี่ของข้อมูล และการนาเสนอผลสรุปดงั กลา่ วดว้ ยตาราง หรือดว้ ยแผนภูมิ
แผนภาพ และกราฟ เช่น แผนภมู ิรูปวงกลม แผนภูมิแท่ง แผนภาพการกระจาย และกราฟเส้น เพื่ออธิบาย
ข้อมูลชุดน้ัน

สถิติเชิงอนุมานเปน็ ศาสตร์ที่ให้วิธีการว่าในสถานการณ์หนึง่ จะเลอื กตัวแทน (ตัวอย่าง) จาก
ข้อมูลท้ังหมด (ประชากร) ได้อยา่ งไรจึงจะเป็นตัวแทนที่ดีของประชากร หรือกาหนดแบบแผนการทดลอง
อย่างไรจึงจะสามารถทาการวิเคราะห์ เพื่อตอบคาถามทีต่ ้องการได้

4. การตีความหมายข้อมูล(Data Interpretation) เปน็ ข้ันตอนของการนาผลการวิเคราะห์มา
อธิบายให้บุคคลทั่วไปเข้าใจ

สถิติม.5

2

ข้อมูล ( DATA)หมายถึง ข้อเทจ็ จรงิ ทีเ่ กบ็ รวบรวมได้จากตวั อย่างหรือประชากร

ประเภทของข้อมูล สามารถแบ่งได้หลายวิธี ขนึ้ อยู่กบั เกณฑใ์ นการแบ่ง เช่น

แบ่งตามลักษณะของข้อมูล ได้แก่

1) ขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ คือ ขอ้ มลู ที่ใช้แทนขนาดปริมาณซึง่ สามารถวดั ออกมาเปน็ ตัวเลข และนามา
เปรยี บเทียบกันได้โดยตรง เช่น น้าหนกั สว่ นสูง เงินเดอื น เปน็ ต้น แบ่งไดเ้ ป็น

ขอ้ มลู แบบตอ่ เนือ่ ง (Continuous Data) หมายถึง ข้อมลู ทีม่ คี ่าตอ่ เนือ่ งกนั ในช่วงที่กาหนด
สามารถแจงสมาชิกในข้อมูลได้ เช่น ความสูง อายุ ระยะทาง เป็นต้น
ขอ้ มลู แบบไมต่ อ่ เนื่อง (Discrete Data) หมายถึง ข้อมูลที่มคี ่าเป็นจานวนเตม็ หรือจานวนนับ
เช่น จานวนนักศึกษา จานวนสมาชกิ ในครวั เรือน เปน็ ต้น

2) ข้อมูลเชิงคณุ ภาพ คือ ข้อมลู ทีไ่ ม่สามารถวดั ออกมาเป็นตวั เลขได้โดยตรง แตอ่ ธิบายลกั ษณะหรือ
คุณสมบัติในเชิงคุณภาพได้ เช่น ลกั ษณะของดอกไม้ จดุ เดน่ และจดุ ด้อยของสินค้าชนิดหนึ่งฯลฯ

แบง่ ตามแหลง่ ทมี่ าของขอ้ มูล ได้แก่

1) ข้อมลู ปฐมภมู ิ(Primary Data) คือ ข้อมูลทผี่ ู้ใช้เกบ็ รวบรวมเองโดยตรง(ไม่ว่าจะเปน็ การนับ การวัด
การทดลอง การสอบถาม การสงั เกต ฯลฯ) ซึง่ จะเกบ็ รวบรวมได้ ใน 2 ระดบั คือ

>>ระดับประชากร(Population) เรียกว่า ขอ้ มูลประชากร
>>ระดับตวั อย่าง(Sample) เรียกว่า ข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง
การสามะโน คือ การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทกุ ๆ หน่วยของประชากรหรือส่งิ ที่เราต้องการ
ศึกษา ซึง่ เกบ็ ข้อมลู ในลักษณะนีท้ าให้เสยี เวลาและเสยี ค่าใช้จา่ ยในการเก็บรวบรวมข้อมลู มาก การเกบ็
รวบรวมข้อมูลโดยวิธีนีจ้ ึงไม่ค่อยนิยมใช้ในทางปฏิบัติยกเว้นกรณีที่ประชากรมีขนาดเล็กหรือมีขอบเขต
ไม่กว้างขวางนัก

การสารวจจากกลุ่มตวั อย่าง คือ การเกบ็ รวบรวมข้อมลู จากบางหน่วยที่เลอื กมาเป็นตวั แทน
จากทกุ ๆ หน่วยของประชากร ที่เรียกว่า กลุ่มตัวอย่าง เนือ่ งจากการเก็บรวบรวมข้อมลู จากทกุ หน่วย
ของประชากรอาจทาให้เสยี เวลาและค่าใช้จา่ ยโดยไมจ่ าเปน็

สถิติม.5

3

2) ขอ้ มูลทุติยภูมิ(Secondary Data) คือ ข้อมลู ท่มี ีผู้รวบรวมไว้แล้ว ผู้ใช้ไม่ต้องทาการสารวจเอง (ส่วนมาก
ข้อมูลทตุ ิยภูมิจะผ่านการวิเคราะห์ขนั้ ต้นแล้วด้วย) เช่น รายงานวิจยั บทความ ฯลฯ

แหลง่ ทีม่ าของข้อมูลทุติยภมู ิทีส่ าคญั

 รายงานต่าง ๆ ของหน่วยงานราชการและองค์การของรัฐบาล โดยทั่ว ๆ ไปหน่วยงาน
ราชการหรือองค์การของรัฐบาล มกั จะมีรายงานแสดงข้อมูลพิมพ์ออกมาเผยแพร่เป็นประจาและองค์การ
ของรฐั บาลนีอ้ าจถือได้ว่าเปน็ ทีม่ าของข้อมลู ทตุ ิยภมู ิทีส่ าคญั ทีส่ ดุ

 รายงานและบทความจากหนังสือ หรือรายงานเอกชน หน่วยงานของเอกชนบางแห่ง
โดยเฉพาะหน่วยงานใหญ่ ๆ จะพิมพ์รายงานเกีย่ วกับผลการดาเนนิ งานของตนออกเผยแพร่เช่นเดยี วกนั กับ
หน่วยงานของราชการ

ปัญหาในการใชข้ อ้ มูล

ขอ้ มูลปฐมภูมิ ข้อมลู ทตุ ิยภูมิ
1) ไมท่ ราบว่าจะใช้วิธเี ลอื กตัวอย่างหรือวิธกี ารวาง 1) ความถกู ต้องเชื่อถือได้ของข้อมลู
แผนการทดลองแบบใดจึงจะเหมาะสม 2) ความทนั สมยั ของข้อมลู
2) ไมท่ ราบว่าจะประเมินความถกู ต้องเชือ่ ถอื ไดข้ อง 3) การขาดหายไปของข้อมลู บางรายการ
ข้อมลู ทีเ่ ก็บรวบรวมได้อยา่ งไร
3) ไมท่ ราบว่าจะวิเคราะห์ขอ้ มลู อยา่ งไรในกรณีที่
เกบ็ รวบรวมได้ไม่ครบถ้วน หรือขาดหายไปมาก

พารามิเตอร์ (Parameter) หมายถึง ค่าทคี่ านวณมาจากทกุ ๆ หน่วยของประชากรเปน็ ตัวทีบ่ ่งชีถ้ ึง
คุณลกั ษณะของประชากร

ค่าสถิติ (Statistic) หมายถึง ค่าทีค่ านวณไดจ้ ากข้อมลู ทีเ่ ป็นตัวอย่าง เป็นตวั ทีบ่ ่งชถี้ ึงคุณลกั ษณะ
ของตัวอย่าง ค่าสถติ ิจะเป็นตัวประมาณค่าพารามิเตอร์

สถิติม.5

4

การวิเคราะห์ขอ้ มูลเบือ้ งตน้

การวิเคราะห์ขอ้ มลู เบอื้ งต้นเกี่ยวกับเรื่องใด ๆ เป็นการวิเคราะหเ์ พือ่ ทราบลักษณะโดยรวมของ
ข้อมลู เกี่ยวกบั เรือ่ งน้ัน ๆ เช่น

1) การวิเคราะห์ขอ้ มูลเบอื้ งต้นเกีย่ วกับโรงเรียนใดโรงเรียนหนึง่ ลกั ษณะโดยรวมของข้อมลู เกีย่ วกบั
โรงเรียนที่ควรจะทราบ เช่น จานวนนักเรียนจาแนกตามชน้ั เรียนที่เปิดสอน

2) การวิเคราะห์ขอ้ มลู เบอื้ งต้นเกีย่ วกับความเปน็ อยขู่ องประชาชนในท้องที่แห่งหนึ่ง ลักษณะ
โดยรวมของข้อมูลเกีย่ วกับความเป็นอยู่ของประชาชนที่ควรจะทราบ เช่น จานวนสมาชกิ โดยเฉลีย่ ของ
ครอบครัว

ลักษณะโดยรวมของข้อมูลตามตวั อย่างขา้ งต้น จะเหน็ ได้ว่ามาจากการวิเคราะหท์ ีเ่ กี่ยวกับเรื่อง
ต่าง ๆ ต่อไปนี้เช่น การแจกแจงความถีข่ องข้อมลู การหาค่ากลางของข้อมูล เป็นต้น

ก่อนกลา่ วถึงรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีวิเคราะห์ขอ้ มูลเบือ้ งต้น ควรจะต้องทราบความหมายของ
“ตวั แปร” (Variable) หมายถึงลกั ษณะของประชากรทีเ่ ราสนใจวิเคราะห์โดยทีล่ กั ษณะน้ัน ๆ ของประชากร
สามารถเปลย่ี นค่าได้ ไม่ว่าจะเป็นเชงิ ปรมิ าณหรือเชิงคุณภาพ เช่น

1) จานวนสมาชกิ ของครอบครวั เป็นตัวแปร เนือ่ งจากเปล่ยี นค่าได้ต้ังแต่ 1, 2, 3 เรื่อยไป และ
เปน็ ตัวแปรเชงิ ปรมิ าณ

2) คะแนนสอบเปน็ ตวั แปร เนื่องจากเปล่ยี นค่าได้ตั้งแต่ 0, 1, 2 เรือ่ ยไปจนถึง 100 (คะแนนเต็ม
100) และเปน็ ตัวแปรเชงิ ปรมิ าณ

3) ตัวแปรทีไ่ ม่สามารถเปล่ยี นค่าหรือวัดออกมาเปน็ จานวนได้ เป็นตัวแปรเชงิ คณุ ภาพ

ตัวแปรที่นามาวิเคราะห์ส่วนใหญ่มกั เปน็ ตัวแปรที่เปลย่ี นค่าในเชิงปรมิ าณ ซึ่งสามารถวัดออกมาเปน็

จานวนได้ เช่น อายุ รายได้ ราคาสนิ ค้า จานวนคนงาน ฯลฯ

ถ้าให้ x เป็นตวั แปรทีใ่ ช้แสดงผลการสอบซึง่ มคี ะแนนเตม็ 5 คะแนน คะแนนที่นักเรยี นแตล่ ะคนสอบ

ได้นีเ้ รียกว่า “คา่ จากการสงั เกต” และเรียกคะแนนทีอ่ าจเปน็ ไปได้สาหรบั การสอบ ซึง่ มี 6 ค่า คือ 0, 1, 2,

3, 4 และ 5 ว่า “ค่าทเี่ ป็นไปได้”

ตัวอย่างของตัวแปรเชงิ คุณภาพและค่าที่เปน็ ไปได้ ได้แก่

ตวั แปร ค่าทีเ่ ป็นไปได้

ฤดกู าล ฤดูใบไม้ผลิ ฤดใู บไม้ร่วง ฤดหู นาว ฤดฝู น

สถานภาพการสมรส โสด สมรส หย่า

วนั ในสัปดาห์ วนั จันทร์ วันองั คาร วันพธุ วันพฤหัสบดี วนั ศกุ ร์ วันเสาร์ วันอาทิตย์

สถิติม.5

การนาสถิติไปใช้ 5

สถิติเปน็ ศาสตร์ทีใ่ ช้เปน็ เคร่อื งมือชว่ ยในการตัดสินใจอย่างมีเหตุผล การแก้ปัญหาสว่ นใหญ่
มีความจาเปน็ ทีต่ ้องใช้ขอ้ มลู สารสนเทศ และกระบวนการทางสถิติมาช่วยในการสรปุ ผล ในที่นจี้ ะนาเสนอ
ตัวอย่างปญั หา หรือกรณีที่เกีย่ วข้องกับการใชส้ ถิติในชีวิตประจาวนั สถิติสามารถนาไปประยุกต์ใช้ในงาน
ดา้ นต่าง ๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ด้านเศรษฐศาสตร์ ในการเจริญเติบโตทางดา้ นเศรษฐกิจในปัจจบุ ันนอี้ ยู่ในสภาวะทีไ่ มม่ ีความ
แนน่ อน ดังน้ันการทาธรุ กจิ ต่างๆ นั้นจาเป็นต้องมีการตดั สินใจท่ามกลางความไมแ่ นน่ อนน้ันจาเปน็ ต้องใช้
เทคนิควิธีการทางสถิตินั่นคือ ทฤษฎีการตัดสินใจมาชว่ ย นอกจากนใี้ นการทานายแนวโน้มทางเศรษฐกิจ
หรือวิจัยตลาด จาเปน็ ต้องใช้เทคนคิ การวิเคราะห์การถดถอย และวิธกี ารทางสถิติอื่นๆ ที่เหมาะสม

ดา้ นการศึกษา สถิติทางการศึกษามีความสาคัญต่อการกาหนดนโยบาย และวางแผน
การศึกษา

ดา้ นวิทยาศาสตร์ การพยากรณ์เกีย่ วกบั ฝนตกของกรมอตุ ุนิยมวิทยาต้องอาศยั สถิติและ
ความนา่ จะเปน็ ของการมีฝนตกภายในสภาพต่างๆ

ดา้ นการเกษตร ซึง่ ต้องอาศยั ข้อมลู ท้ังในอดตี และปจั จบุ นั ตลอดจนวิธีวิเคราะห์เชงิ สถิติเข้ามา
ช่วยจะใช้สถิติในงานวิเคราะห์วิจัย และจะตอ้ งมีการวางแผนการทดลองเพื่อให้การวิเคราะหแ์ ละการสรุปผล
ที่ถกู ต้อง เช่น การทดลองผลของยาฆ่าแมลงทีม่ ีต่อพืช ความอุดมสมบรู ณ์ของดิน การปรบั ปรุงวิธกี าร
เล้ยี งสัตว์ ฯลฯ

ดา้ นวิศวกรรมศาสตร์ ใช้สถิติเปน็ เคร่อื งมือในการวางแผนการผลติ และการควบคมุ คุณภาพ
ของการผลติ

ด้านการเมืองการปกครอง ใช้ในการสารวจประชามติ ทาให้ทราบถึงสภาพความเป็นจริง
สะท้อนให้เห็นถึงความตอ้ งการของสงั คม เช่น สวนดสุ ิตโพล เอแบคโพล เปน็ ต้น

ด้านการแพทย์ การทดสอบประสทิ ธิผลของยารกั ษาโรคตามปกติ เราจะกระทาโดยการเก็บ
รวบรวมข้อมลู จากการทดลอง ซึง่ มกี ารวางแผนไว้อย่างชดั เจน เช่น เลอื กคนไข้ทีม่ ลี กั ษณะเหมือนกัน
เปน็ คู่ๆ เลอื กคนหนึง่ คน ในแตล่ ะคู่เข้ารับการรักษายาตวั น้ี อีกคนที่เหลอื ให้เข้ารับการรักษาโดยไมใ่ ช้ยา
ดงั กล่าว ข้อมูลทีไ่ ดจ้ ากการทดลองจะนามาใช้ทดสอบผลของยารกั ษาโรค ดว้ ยวิธกี ารทดลองสมมติฐานเชิง
สถิติเกีย่ วกบั ความแตกต่างระหว่างผลทีไ่ ดจ้ ากการใช้และไม่ใช้ยาดังกลา่ ว

ดา้ นอุตสาหกรรม การควบคุมคุณภาพสนิ ค้าทีผ่ ลิตผู้ผลติ ให้ความสนใจมากคือ การควบคมุ
คุณภาพสนิ ค้าที่ผลิตให้มีมาตรฐานตามที่กาหนดมีมาตรฐานตามทีแ่ จ้งไว้ดว้ ยวิธกี ารตามข้ันตอนของ
กระบวนการทางสถิติ

สถิติม.5

6

สถิติกบั การตดั สินใจ

การสารวจความคดิ เหน็ หรอื โพล (Poll)
การสารวจความคิดเหน็ เป็นสิง่ ทีท่ าเพือ่ แสดงถึงความคิดเหน็ ของคนท่ัวไปที่มตี ่อเรื่องหนึง่ ๆ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เป็นส่งิ ทีเ่ กี่ยวข้องกับบคุ คลท่วั ไปในชมุ ชนหรือประเทศน้ัน ๆ เช่น ความคดิ เห็นเกีย่ วกบั
การดาเนนิ งานของรัฐบาล หรือตอ่ ผู้บริหารประเทศ เป็นต้น เนื่องจากเป็นเรื่องเกีย่ วข้องกบั คนหมู่มาก
แตต่ ้องการทราบผลในเวลาอันรวดเร็ว เพื่อให้เร่อื งที่สนใจนั้นยงั คงความทนั สมัยอยู่ ปัญหาของการสารวจ
ความคิดเห็นจึงอยทู่ ีจ่ ะทาอย่างไรจึงจะมีตวั แทนของคนกลุ่มน้ันที่เปน็ ตวั แทนที่ดีและสามารถให้ผลทีเ่ ชื่อถือ
ได้โดยไมต่ ้องใช้ตัวแทนจานวนมาก และต้องมีความสามารถบอกไดว้ ่า ผลการสารวจมีความถูกต้องเชือ่ ถือ
ไดม้ ากน้อยเพียงใด และสามารถนาไปใช้ประโยชน์ได้ดว้ ยความม่ันใจเพียงใด

การสารวจความคิดเห็นจึงเกบ็ ข้อมูลเฉพาะจากตัวอย่างของกลมุ่ คนเท่าน้ันก็เป็นการเพียงพอ
ซึ่งจะต้องใช้ความรู้ในวิชาสถิติที่เกี่ยวข้องกบั วิธเี ลอื กตวั อย่างและการกาหนดขนาดตัวอย่างที่เหมาะสมกบั
ระดบั คุณภาพของผลลัพธ์ทีต่ ้องการ การจดั ทาแบบสารวจ รวมท้ังวิธกี ารประมาณค่า เช่น คา่ สัดสว่ น
ประชากรที่เห็นดว้ ยกบั เรือ่ งที่ต้องการทราบความคิดเห็น เป็นต้น
สถิตกิ ับการตัดสินใจและวางแผน

ในชีวิตประจาวนั ของแต่ละคน อาจกล่าวได้ว่าต้องมีการตดั สินใจเกีย่ วกับเรือ่ งต่าง ๆ อยู่ตลอดเวลา
การตดั สินใจดงั กล่าวอาจจะเป็นการตดั สินใจเพือ่ ตัวเอง เพื่อครอบครวั เพือ่ ญาติพีน่ ้อง เพื่อนฝูง หรือเพื่อ
หน่วยงานที่รบั ผิดชอบ เช่นตัดสินใจว่าวันนีจ้ ะเดนิ ทางไปโรงเรียนโดยใช้รถประจาทางสายใด

ตดั สินใจว่า ควรจะซือ้ ประกนั ชีวิตแบบใดกบั บริษัทใดจึงจะเหมาะสมทีส่ ุด
ตดั สินใจว่า ควรจะเลอื กซ้ือเคร่อื งปรับอากาศยี่ห้อใดจึงจะประหยดั พลังงาน
ตัดสินใจว่า จะซือ้ เคร่อื งจกั รอปุ กรณ์ยีห่ ้อใดมาใช้งานในบรษิ ทั หรือโรงงาน
การตดั สินในเกี่ยวกบั เรือ่ งต่าง ๆ ดงั กล่าวน้ี แต่ละคนอาจมีวิธีการตัดสินใจทีแ่ ตกต่างกันไป เช่น
บางคนอาจตดั สินใจโดยใช้ประสบการณ์ของตนเองหรือผู้ทีเ่ กี่ยวข้อง ใช้ความเชื่อของตนเองหรือผู้ทีต่ นเอง
เคารพนับถือ ใช้สามัญสานึก หรือบางคนอาจตัดสินใจโดยใช้ขอ้ มูลหรอื ข่าวสารที่เกีย่ วข้อง
การตัดสินใจโดยใช้วิธตี ่าง ๆ ข้างต้นนบี้ างครง้ั ตดั สินใจถูกแตบ่ างครงั้ ตดั สินใจผิด ท้ังนขี้ นึ้ อยู่กบั
ประสบการณ์ ความเชื่อ สามญั สานึก หรือข้อมลู ข่าวสารที่แตล่ ะคนมีอยวู่ ่าถูกต้องและเหมาะสมกบั
ลกั ษณะ ของปัญหาที่ผู้น้ันต้องตัดสนิ ใจมากเพียงใด แตอ่ ย่างไรก็ตาม อาจจะกลา่ วได้ว่า ไมว่ ่าจะใช้
วิธีการใดมาชว่ ย ในการตดั สินใจกจ็ าเปน็ ต้องเกีย่ วข้องกบั ข้อมลู และข่าวสารไมท่ างตรงก็ทางอ้อมท้ังสนิ้
ตวั อย่างเรอ่ื งการตดั สินใจว่าจะขายสนิ ค้าในราคาทีล่ กู ค้าตอ่ รองหรือไม่ อาจพิจารณาลักษณะ
การเปน็ ลูกค้าของผู้ซ้ือว่าเปน็ ลูกค้าประจาหรอื ลูกค้าจร การตัดสินใจดังกล่าวข้างต้น หากผู้ตดั สินใจทราบ
หรือมีความรเู้ กี่ยวกบั ข้อมูลที่เกีย่ วข้องกับเรื่องทีต่ ้องตดั สนิ ใจมากเพียงใด โอกาสทีจ่ ะตัดสินใจผิดพลาดกจ็ ะ
น้อยลงเพียงนั้น

สถิติม.5

7

แตก่ ารตัดสินใจบางเรือ่ งการใช้ขอ้ มูลต่าง ๆ ทีเ่ กี่ยวข้องไมส่ ามารถนามาใช้เพื่อชว่ ยในการตดั สนิ ใจ
ได้โดยตรง แตจ่ ะต้องนามาวิเคราะห์เสยี ก่อน ซึง่ อาจใช้วิธวี ิเคราะห์เบอื้ งต้นง่าย ๆ เพือ่ ทราบลักษณะท่วั ๆ
ไปของข้อมูล เช่น การจาแนกขอ้ มลู ตามลกั ษณะตา่ ง ๆ ที่สาคญั เรียกว่า การแจกแจงความถี่ การหา
สดั สว่ นหรือร้อยละ การหาค่าเฉล่ยี และค่าการกระจายของข้อมูล เรียกว่า ค่ากลางและส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานตามลาดบั หรืออาจใช้วิธวี ิเคราะห์ขนั้ สงู เช่น การประมาณค่าขอ้ มูล การทดสอบสมมุติฐานหรือ
ความเชื่อเกี่ยวกับเรือ่ งต่าง ๆ การหาความสัมพนั ธ์ระหว่างข้อมลู และการพยากรณ์ขอ้ มูลในอนาคต ซึ่งการ
วิเคราะห์ขอ้ มลู ขั้นสูงดังกล่าวค่อนขา้ งยุ่งยากและซับซ้อน

การตัดสินใจเกี่ยวกบั เรือ่ งต่างๆ ข้างต้นในบางเรื่องอาจจะไม่สามารถใช้ขอ้ มูลแต่เพียงอย่างเดียวได้
ต้องมีการวิเคราะห์ขอ้ มูลต่าง ๆ ทีเ่ กีย่ วข้องเสยี ก่อน จึงจะนามาใช้เพือ่ การตัดสนิ ใจได้ ข้อมลู ทีผ่ ่านการ
วิเคราะห์แลว้ น้ี ไม่ว่าจะวิเคราะห์โดยใช้การวิเคราะห์เบอื้ งต้นหรือวิเคราะห์ขน้ั สูงกต็ าม เรียกว่า สารสนเทศ
หรือ ข่าวสาร(Information)

กล่าวโดยสรุปกค็ ือการตัดสินใจมีโอกาสผดิ พลาดมากน้อยเพียงใดขึ้นอยู่กบั ขอ้ มูลและสารสนเทศ
ซึง่ ผู้ตัดสินใจมีอยเู่ ปน็ สาคญั ข้อมูลและสารสนเทศดังกล่าวน้สี ามารถหามาได้โดยใช้วิธกี ารทางสถิติ ซึง่ เปน็
เทคนิคเกี่ยวกบั กบั การเก็บรวบรวมและการวิเคราะห์ขอ้ มลู นัน่ เอง

ในการใช้สถิติเพื่อการตัดสินใจและวางแผนไม่ว่าจะเปน็ การตัดสินใจและวางแผนในชีวิตประจาวนั
หรือในการประกอบอาชีพกต็ าม ผู้ตดั สินใจอาจจะตอ้ งทราบว่าขอ้ มูลหรอื ข่าวสารทีจ่ าเป็นอะไรบ้างที่
สามารถนามาใช้ช่วยในการตัดสินใจได้ หากต้องการใช้ขอ้ มลู ใดก็จะต้องตรวจสอบเสยี ก่อนว่ามีใครหรือ
หน่วยงานใดเป็นผผู้ ลติ หรือเกบ็ รวบรวมข้อมลู ที่ต้องการ ในกรณีที่ตรวจสอบแลว้ ปรากฏว่ามีข้อมูล
ทีต่ ้องการก่อนจะนามาใช้กต็ ้องตรวจสอบความครบถ้วน ความทนั สมัยและความเชือ่ ถือได้ของข้อมูล
เสยี ก่อน หากขอ้ มลู ขาดสมบัตดิ ังกล่าวผู้ตดั สินใจอาจจะตอ้ งเก็บรวบรวมข้อมูลเอง

สถิติม.5

8

การนาเสนอขอ้ มูล

วิธีการนาเสนอข้อมูลทีน่ ิยมใช้และมปี ระโยชน์มากในปจั จบุ นั ได้แก่

1.ตารางแจกแจงความถี่ เปน็ การนาเสนอข้อมูลโดยจัดข้อมูลทีม่ ีอยใู่ ห้เป็นกลมุ่ ๆโดยให้ข้อมลู ที่มีค่า
ใกลเ้ คียงกันอยู่ด้วยกัน เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์และการจดั เกบ็ การแจกแจงความถี่ เปน็ วิธกี ารทาง
สถิติอยา่ งหนึ่งทีใ่ ช้ในการจดั ข้อมลู ที่มีอยู่ หรือทีเ่ กบ็ รวบรวมมาได้ ให้อยู่เป็นพวก ๆ เพื่อความสะดวกในการ
นาเสนอข้อมูลและการวิเคราะห์ขอ้ มลู เหลา่ นั้น การแจกแจงความถี่มักจะทาเมอื่ ข้อมลู ที่จะทาการศึกษา
หรือวิเคราะห์มเี ป็นจานวนมาก หรือข้อมลู มีค่าซ้ากันอยู่มากเพราะ จะช่วยให้ประหยัดเวลา และสรุปผลได้
ชัดเจนขนึ้ และเหมาะสมที่จะนาไปใช้ให้เป็นประโยชน์ต่อไป

ตัวอยา่ งที่ 1 ในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ซ่งึ มีคะแนนเตม็ 10 คะแนนและมีนักเรยี นเข้าสอบ 6 คน โดย
สอบได้คะแนน 0, 2, 5, 5, 7 และ 10 คะแนน จงเขียนตารางแจกแจงความถีส่ าหรับทุกค่าของคะแนนที่
เปน็ ไปได้ท้ัง 11 ค่า
วิธีทา นาคะแนนสอบของนกั เรยี นเข้าสอบ 6 คน มาเขียนให้อยู่ในรปู ตารางแจกแจงความถี่

สาหรับทุกค่าของคะแนนทีเ่ ป็นไปได้ทั้ง 11 ค่าได้ดังนี้
x (คะแนน) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f (ความถี่) 1 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1

จากตารางในตวั อย่างที่ 1 จะได้
ตัวแปร คือ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์
ค่าจากการสงั เกต คือ 0, 2, 5, 7 และ 10
ค่าทีเ่ ป็นไปไดม้ ี 11 ค่า คือ 0 ถึง 10

และจะเป็นว่ามีนักเรยี นที่สอบได้ 5 คะแนนอยู่ 2 คน เรียก 2 ว่า “ความถี่” ของคะแนน 5
ในทานองเดยี วกนั 1 เป็นความถี่ของคะแนน 0, 2, 7 และ 10 สว่ นคะแนน 1, 3, 4, 6, 8 และ 9 มีความถี่
เปน็ 0 จานวนที่แสดงว่าค่าทีเ่ ปน็ ไปได้แต่ละค่าเกิดขนึ้ กี่คร้ัง เรียกว่า “ความถี่” การหาค่าความถีข่ องค่า
ที่เป็นไปได้เชน่ นั้นเรียกว่า “การแจกแจงความถี่”

จะเหน็ ว่าตารางแจกแจงความถี่ข้างต้นไมค่ ่อยมีประโยชน์ต่อการวิเคราะห์ขอ้ มลู มากนัก ท้ังนี้
เนือ่ งจากค่าที่เป็นไปไดม้ ีน้อยและค่าจากการสังเกตกม็ ีจานวนน้อยด้วย แตถ่ ้าค่าที่เป็นไปได้มีจานวนมากจะ
แจกแจงความถี่ สาหรบั แต่ละค่าของค่าทีเ่ ปน็ ไปได้ทั้งหมด จึงหาความถี่ของคะแนนในแตล่ ะช่วงแทน โดย
การแบ่งค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดออกเปน็ ช่วง ๆ ให้แต่ละช่วงประกอบดว้ ยค่าทีเ่ ปน็ ไปได้หลาย ๆ ค่า เพือ่ ทาให้
ค่าทีเ่ ปน็ ไปไดใ้ หม่มีจานวนลดลง ค่าที่เปน็ ไปไดใ้ หม่แทนด้วยช่วง เรียกแตล่ ะช่วงว่า อนั ตรภาคชนั้ จากน้ันดู
ว่าค่าจากการสงั เกตหรือคะแนนสอบของนักเรยี น 60 คนน้ัน ตกอยู่ในแตล่ ะอนั ตรภาคช้ันเป็นจานวนเท่าใด

สถิติม.5

9

ก่อนอืน่ เราควรจะรู้จกั พิสยั = ข้อมูลสงู สุด - ข้อมูลต่าสุด
จานวนชั้น = พิสัย ÷ ความกวา้ งของอนั ตรภาค

ช้ัน
ตวั อย่างที่ 2 ข้อมูลต่อไปนีเ้ ป็นคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ มีคะแนนเตม็ 100 คะแนนของนักเรยี น 60 คน

84 79 65 78 78 62 80 67 82 73 81 68
60 74 67 75 48 80 71 62 52 62 76 76
65 63 68 51 48 53 71 75 74 77 68 73
61 66 99 79 67 70 61 81 57 71 57 69
60 76 81 93 75 72 60 65 56 75 88 30
จงสร้างแจกแจงความถีข่ องคะแนนทั้งหมดนี้ โดยให้แตล่ ะอนั ตรภาคช้ันประกอบด้วย ค่าที่เป็นไปได้

10 ค่า หรือ 10 คะแนน (ความกว้างของอนั ตรภาคช้ัน เปน็ 10 )

วิธีคิด ในการสร้างตารางแจกแจงความถี่โดยทัว่ ๆ ไป มักจะทาเปน็ ข้ัน ๆ ดังนี้
(1) หาพิสยั = 99 - 30 = 69 (จาก ความกว้างของอันตรภาคช้ันเปน็ 10)

จานวนช้ัน = = 6.9  7 ชั้น

(2) หาจานวนคะแนนหรือค่าจากการสงั เกตท้ังหมดที่จะตกอยู่ในแตล่ ะอนั ตรภาคชั้น โดยทา

เคร่อื งหมายแทนจานวนไว้ในแตอ่ นั ตรภาคช้ัน โดยปกติมกั ใช้เครื่องหมาย / แทนหนึง่ ค่า และเพือ่ ความ

สะดวกในการนบั จานวนคะแนนที่ตกอยู่ในแตล่ ะอนั ตรภาคชั้น เมื่อถึงทุกๆ คะแนนทีห่ ้าของแตล่ ะอันตรภาค

ช้ัน มักนิยมทาเคร่อื งหมายไว้ให้ทราบ โดยการขีดฆ่าเครือ่ งหมาย / ท้ังสก่ี ่อนหนา้ นั้น ดังนี้ //// หรือ ////

(3) นับจานวนคะแนนทีไ่ ดท้ าเครอ่ื งหมายเอาไว้ แล้วบันทึกลงในช่องความถี่ทีต่ รงกนั ของแตล่ ะค่า

ทีเ่ ปน็ ไปได้ หรือแต่ละอันตรภาคชั้น

วิธีทา

อันตรภาคชน้ั รอยขีด ความถี่

30 – 39 / 1
40 – 49 // 2
50 – 59 //// 6
60 – 69 //// //// //// //// 20
70 – 79 //// //// //// //// / 21
80 – 89 //// /// 8
90 – 99 // 2

หมายเหตุ เนือ่ งจากไมม่ ีค่าจากการสงั เกตใดต่ากว่า 30 จึงไม่จาเปน็ ต้องมี อนั ตรภาคช้ันที่มีค่าตา่ กว่า
30 ในตารางแจกแจงความถีน่ ีช้ ่วงคะแนนแตล่ ะช่วง คือ 30–39,40 – 49, … 90 – 99 เป็นอนั ตรภาคช้ัน

สถิติม.5

10

ในการกาหนดจานวนและความกว้างของอนั ตรภาคชั้นมีสังเกต ดงั นี้

ถ้าค่าจากการสังเกตบางค่าตา่ งไปจากค่าอืน่ ๆ ในข้อมลู น้ันมากเช่น ถ้าผู้เข้าสอบคนหนึ่งสอบได้ 5

คะแนน ในขณะที่คนอืน่ ๆ ได้มากกว่า 39 คะแนน ควรกาหนดอนั ตรภาคช้ันช้ันแรกเปน็ อนั ตรภาคชั้นเปิด

(Open – ended class interval) โดยกาหนดอนั ตรภาคชั้นแรกเปน็ “ไม่เกนิ 39”

อันตรภาคช้ัน ความถี่

ไมเ่ กิน 39 1
40 – 49 2
50 – 59 6
60 – 69 20

1.1 การแจกแจงความถี่สะสม
ความถี่สะสม (Cumulative frequency) ของค่าที่เป็นไปได้ค่าใด หรือของอันตรภาคชั้นใด คือ

ผลรวมของความถี่ของค่าน้ัน หรือของอันตรภาคชั้นน้ันกับความถี่ของค่าหรือของอันตรภาคชั้นที่มีช่วง
คะแนนต่ากว่าทั้งหมด (หรือสูงกว่าท้ังหมดอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ในหนังสือเล่มนี้จะใช้ความถี่ของค่าหรือ
อนั ตรภาคชั้นทีม่ ีช่วงคะแนนตา่ กว่าทั้งหมดเนื่องจากเป็นที่นิยมใช้กันทัว่ ไป)

ตวั อย่างที่ 3 จงสร้างตารางแจกแจงความถสี่ ะสมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 60 คน
จากตารางแจกแจงความถี่ในตัวอย่างที่ 2
วิธีทา เขียนตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี น 60 คน ได้ดงั นี้

อันตรภาคช้ัน ความถี่ ความถีส่ ะสม หลกั ในการหาความถี่
สะสม คือ บวกความถีจ่ าก
30 – 39 1 1 อนั ตรภาคช้ันที่คะแนนมีค่า
40 – 49 2 3 น้อยไปสชู่ ้ันทีม่ ีค่ามาก และ
50 – 59 6 9 ความถี่สะสมของอนั ตร
60 – 69 20 29 ภาคช้ันสุดท้ายจะเท่ากับ
70 – 79 21 50 จานวนขอ้ มลู ท้ังหมดเสมอ
80 – 89 8 58
90 – 99 2 60

สถิติม.5

11

1.2 การแจกความถี่สมั พทั ธ์
ความถี่สมั พัทธ์ (Relative frequency) ของค่าทเี่ ปน็ ไปได้ค่าใดหรอื ของอนั ตรภาคช้ันใด คือ

อตั ราสว่ นระหว่างความถีข่ องค่านนั้ หรือของอนั ตรภาคช้ันนั้นกบั ผลรวมของความถีท่ ั้งหมด ความถี่สมั พัทธ์
อาจแสดงในรปู แบบเศษสว่ นหรือทศนิยมหรือร้อยละกไ็ ด้

ตวั อยา่ งที่ 4 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่สมั พทั ธ์ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 60 คน
ในตัวอย่างที่ 2
วิธีทา เขียนตารางแจกแจงความถีส่ มั พัทธ์ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี น 60 คน ได้ดงั นี้

อันตรภาคช้ัน ความถี่ ความถีส่ ัมพทั ธ์ รอ้ ยละของความถี่สัมพัทธ์

30 – 39 1 1 ÷ 60 = 0.017 0.017x100 = 1.7
40 – 49 2 2 ÷ 60 = 0.033 0.033x100 = 3.3
50 – 59 6 6 ÷ 60 = 0.100 0.100x100 = 10.0
60 – 69 20 20 ÷ 60 = 0.333 0.333x 100 = 33.3
70 – 79 21 21 ÷ 60 = 0.350 0.350x 100 = 35.0
80 – 89 8 8 ÷ 60 = 0.133 0.133x 100 = 13.3
90 – 99 2 2 ÷ 60 = 0.033 0.033x 100 = 3.3

รวม 60 0.999 99.9

หมายเหตุ เนือ่ งจากความถี่สัมพัทธ์ที่ได้จากการเปรียบเทียบความถี่ของแต่ละค่า หรือแต่ละ
อนั ตรภาคชั้นกบั ผลรวมของความถี่ท้ังหมด ดังน้ันผลรวมของความถี่สัมพัทธ์ของทุก ๆ ค่าที่เป็นไปได้หรือ
ของทุกอันตรภาคช้ันจะต้องมีค่าเท่ากับ 1 หรือ 100% เสมอ แต่ในตัวอย่างที่ 4 มีการปัดเศษทิ้งมากกว่า
ปัดข้ึน ทาให้ผลรวมขาดไปเลก็ น้อย

สถิติม.5

12

1.3 การแจกแจงความถี่สะสมสมั พัทธ์

ความถี่สะสมสมั พัทธ์ (Relative Cumulative Frequency) ของค่าที่เป็นไปไดค้ ่าใดหรืออนั ตรภาค
ช้ันใด คือ อตั ราสว่ นระหว่างความถีส่ ะสมของค่านั้นหรือของอนั ตรภาคช้ันน้ัน กับผลรวมของความถีท่ ั้งหมด
ซึง่ อาจแสดงในรูปเศษสว่ น ทศนิยม หรือร้อยละ

จากตารางแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 60 คน
ในตัวอย่างขา้ งต้น สร้างตารางแจกแจงความถีส่ ะสมสัมพัทธ์ได้ดังนี้

อนั ตรภาคช้นั ความถี่ ความถี่สะสม ความถี่ รอ้ ยละของความถี่
สะสมสมั พัทธ์ สะสมสัมพัทธ์
30–39 1 1 1 ÷ 60 = 0.017
40 – 49 2 3 3 ÷ 60 = 0.050 0.017 x 100 = 1.7
50 – 59 6 9 9 ÷ 60 = 0.150 0.050x 100 = 5.0
60 – 69 20 29 29 ÷ 60 = 0.483 0.150x 100 = 15.0
70 – 79 21 50 50 ÷ 60 = 0.833 0.483x 100 = 48.3
80 – 89 8 58 58 ÷ 60 = 0.967 0.833x 100 = 83.3
90 – 99 2 60 60 ÷ 60 = 1.000 0.967x 100 = 96.7
1.000x 100 = 100.0

ตารางแจกแจงความถี่สะสมสัมพัทธ์ใช้เพื่อหาว่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้หรือแต่ละอันตรภาคช้ันมี
ความถี่สะสมเป็นจานวนมากน้อยเพียงใดเมื่อเทียบกับความถี่ท้ังหมด เช่น ทราบว่าจานวนนักเรียนที่ได้
คะแนนต่ากว่า 60 เป็นร้อยละ 15 ของจานวนนักเรียนที่เข้าสอบทั้งหมด หรือจานวนนักเรียนที่ได้คะแนน
ต่ากว่า 80 เปน็ ร้อยละ 83.3 ของนกั เรยี นที่เข้าสอบท้ังหมด

สถิติม.5

13

2. การแจกแจงความถี่โดยใชก้ ราฟ
โดยทวั่ ๆ ไปการใช้กราฟแสดงการแจกแจงความถีข่ องตัวแปรสามารถทาให้เห็นการกระจาย

ของข้อมูลไดช้ ดั เจนกว่าการดูจากตารางแจกแจงความถี่ โดยเฉพาะอย่างยิง่ ตารางแจกแจงความถี่
ที่อนั ตรภาคช้ันมีความกว้างไม่เท่ากันจะดยู ากยิ่งข้นึ

กราฟที่ใช้แสดงการแจกแจงความถีท่ ี่จะกล่าวถึงต่อไปนี้ ได้แก่
2.1) ฮิสโทแกรม(Histogram)
2.2) แผนภาพต้น – ใบ (Stem–and –leaf plot หรือ Stem plot)

สิ่งที่ควรรจู้ ัก

ขอบบน เปน็ ค่ากง่ึ กลางระหว่างค่าทีส่ งู สุดของอนั ตรภาคชั้นนั้นกับค่าทีต่ ่าที่สุดของอันตรภาคชนั้ ที่มีค่า

สงู กว่าทอี่ ยู่ถัดไป

ขอบลา่ ง เป็นค่าก่งึ กลางระหว่างค่าที่ต่าที่สุดของอันตรภาคชั้นน้ันกบั ค่าที่สงู ทีส่ ดุ ของอตั รภาคช้ันที่มีค่า

ต่ากว่าทอี่ ยู่ถัดไป

ความกว้างของอันตรภาคชน้ั เปน็ ผลต่างระหว่างขอบบนและขอบลา่ งของช้ันนั้น

คา่ กง่ึ กลางของอันตรภาคช้นั คอื ขอบบน  ขอบล่าง

2

N xi = x1  x2  x3  ...  xN ( N xi อ่านว่า ผลรวมของ xi เมือ่ i = 1 ถึง N)

 
i1 i1

2.1) ฮิสโทแกรม(Histogram) คอื แผนภมู ิแท่งสเ่ี หล่ยี มวางเรียงชิดกนั ใช้แสดงข้อมูลจากแต่ละ
อันตรภาคชั้น โดยให้

แกนนอน แทนค่าข้อมลู X เขียนกากับดว้ ย ขอบบน-ขอบลา่ ง หรือ จดุ กึง่ กลางช้ันก็ได้
แกนต้ัง แทนค่าความถี่ โดยความสูงของแท่งสเ่ี หล่ยี มจะแปรตามความถี่ช้ันน้ันๆ

สถิติม.5

14

รปู หลายเหลี่ยมของความถี่ คือ รูปทีเ่ กิดจากการลากเสน้ ตรงเชื่อมจดุ ก่งึ กลางยอดแท่งสี่เหล่ยี ม
ของฮิสโทแกรมแตล่ ะแท่ง

เส้นโคง้ ของของความถี่ คือ รปู ที่เกิดจากการปรบั เสน้ ตรงในรูปหลายเหล่ยี มของความถี่ให้เป็น
เสน้ โค้งเรยี บ และพยายามให้พืน้ ที่ใต้เสน้ โค้งมีขนาดใกล้เคียงกบั พื้นทีร่ ปู เดมิ ทีส่ ุด

2.2) แผนภาพตน้ -ใบ เปน็ การนาเสนอข้อมลู โดยจัดข้อมลู ให้เปน็ กลุ่มเพื่อเห็นลกั ษณะคร่าวๆ 70
โดยข้อดี คือ ขอ้ มูลดิบแตล่ ะค่าไม่สูญหายไป 85

ตัวอยา่ งที่ 5 คะแนนสอบของนักเรยี นช้ัน ม. 5/3 เป็นดังนี้ 70 90 95 98
75 80 82 85 84 78 78 79 32 39 68 85 86 90

ต้น ใบ
3 29
4
5
68
7 005889
8 0245556
9 0058
10

ตวั อย่างที่ 6 คะแนนสอบของนกั เรยี น 2 กลุ่ม
คะแนนสอบของนกั เรยี นกลุ่มที่ 1 ได้แก่ 34 ,36 , 38 , 46 , 46 , 48
คะแนนสอบของนกั เรยี นกลุ่มที่ 2 ได้แก่ 34 ,39 , 42 , 42 , 44 , 50 เขียนแผนภาพต้น-ใบ ได้ดงั นี้

นกั เรยี นกลุ่มที่ 1 นักเรยี นกลุ่มที่ 2

864 3 49

866 4 224

50

สถิติม.5

15

ตัวอยา่ งที่ 7 นักเรยี นห้องหนึ่งมผี ลการสอบของวิชาที่ 1 และวิชาที่ 2 ซึง่ แต่ละวิชามีคะแนนเต็ม 100
คะแนน ดังนี้

วิชาที่ 1 40 53 55 58 60 62 65 66 69 70 72 72 75 75 81 82 85 100
100 100

วิชาที่ 2 32 39 68 70 75 78 78 78 79 80 82 84 85 85 85 86 90 93
95 98

จากคะแนนสอบของทั้งสองวิชาสามารถนาเสนอข้อมูลพร้อมกนั โดยใช้แผนภาพต้น – ใบ ไดด้ งั นี้

1) เขียนสว่ นที่เปน็ ต้นร่วมกนั 2) เขียนสว่ นที่เปน็ ใบ จากข้อมลู ท้ังสองชดุ ได้ดังนี้

ใบ (วิชาที่ 1) ต้น ใบ (วิชาที่ 2)

329
04
8535
9652068
55220705889
521 8024556

90358
0 0 10

จากแผนภาพพบว่า
-คะแนนต่าสดุ ของวิชาที่ 1 และ 2 คอื 40 และ 32 คะแนนตามลาดับ
-คะแนนสูงสดุ ของวิชาที่ 1 และ 2 คอื 100 และ 98 คะแนน ตามลาดับ และวิชาที่ 1 มีผู้สอบได้ 100คะแนน
2 คน วิชาที่ 2 มีผู้สอบได้ 98 คะแนน 1 คน

เมื่อพิจารณาจากแผนภาพ คะแนนเฉลี่ยของวิชาที่ 2 น่าจะสูงกว่าวิชาที่ 1 เนือ่ งจากคะแนนสว่ น
ใหญ่ของวิชาที่ 2 สูงกว่าคะแนนสว่ นใหญข่ องวชิ าที่ 1

หมายเหตุ ในกรณีที่มีจานวนที่เขียนแสดงด้วยตัวเลขมากกว่าสองหลักการเขียนแผนภาพต้น – ใบ
ในสว่ นของตน้ จะเขียนสว่ นทีไ่ ม่ใช่เลขโดดในหลักหน่วย ซึง่ ในทีน่ เี้ ขียน 10 เป็นต้นของ 100

สถิติม.5

16

การวัดตาแหนง่ ทข่ี องขอ้ มลู

การวัดตาแหน่งของข้อมลู มีจดุ ประสงค์เพือ่ บอกว่าข้อมูลนั้นอยู่ในตาแหน่งทีเ่ ท่าไรของข้อมูล
ทั้งหมดเพือ่ ทีจ่ ะสามารถบอกไดท้ นั ทีว่าตาแหนง่ น้ันดหี รือไมเ่ พียงไรในกลมุ่ ของข้อมลู น้ันๆ วิธีการดงั
กล่าวคือการวดั ตาแหน่งโดยใช้ควอร์ไทล์ (Quartil) เดไซล์ (Decile) และเปอร์เซน็ ตไ์ ทล์ (Percentile)
และเช่นเดยี วกนั ถ้าเราทราบตาแหน่งทีข่ องข้อมลู (ตาแหน่งควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นต์ไทล์) เราก็
สามารถหาค่าของข้อมูลตรงตาแหน่งนั้นๆ ได้

ควอรไ์ ทล์(Quartile)
เมื่อนาขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มาเรียงค่าของข้อมลู จากน้อยไปหามากแลว้ แบ่งขอ้ มลู ออกเปน็ 4 สว่ นโดยทีแ่ ตล่ ะ

สว่ นมจี านวนขอ้ มูลเท่าๆ กัน เรียกค่าที่ตรงกับจุด 3 จดุ นั้นว่าควอร์ไทลท์ ี่หนึง่ (Q1) ควอร์ไทลท์ ีส่ อง (Q2)
และควอร์ไทลท์ ีส่ าม (Q3) ตามลาดบั

ควอร์ไทลท์ ี่หนง่ึ (Q1) เปน็ ค่าทีม่ ีจานวนขอ้ มูลนอ้ ยกว่าค่าน้อี ยู่ประมาณหน่ึงในส่ีของขอ้ มูลท้ังหมดหรือ ร้อยละ 25
ควอร์ไทลท์ ีส่ อง (Q2) เปน็ ค่าทีอ่ ยู่ตรงกง่ึ กลางของข้อมูลทีเ่ รยี งแล้วดังนีค้ วอรไ์ ทล์ท่สี องจึงเป็นมัธยฐานน้ันเอง
ควอรไ์ ทลท์ ี่สาม (Q3) เป็นค่าทีม่ จี านวนข้อมูลน้อยกวา่ ค่านี้อยู่ประมาณสามในสี่ของข้อมลู ทั้งหมดหรือร้อยละ 75
หรืออาจกล่าวโดยทวั่ ไปว่า
ควอรไ์ ทลท์ ี่ r (Qr) เปน็ ค่าที่มีจานวนขอ้ มูลน้อยกว่าค่านอี้ ยู่ประมาณของข้อมลู ท้ังหมด

เดไซล์ (Decile)
เรานาความคิดเกี่ยวกบั ควอร์ไทล์ไปใช้ในกรณีที่แบ่งข้อมูลที่เรียงค่าของข้อมูลจากน้อยไปมากแล้ว

ออกเป็น 10 ส่วน โดยที่แตล่ ะส่วนมีจานวนขอ้ มูลเท่าๆกนั จุดแบ่งแตล่ ะจดุ เรียกว่า เดไซล์ ซึ่งจะมีทั้งหมด 9
จุดจึงเรียกว่าเดไซล์ที่หนึ่ง (D1) ถึงเดไซล์ที่เก้า (D9) ตามลาดับและจะเห็นได้ว่าเดไซล์ที่ห้า (D5) จะเป็น
มัธยฐานของข้อมลู น่นั เอง

เดไซล์ที่ r (Dr) เปน็ ค่าที่มีจานวนขอ้ มลู น้อยกว่าค่านอี้ ยู่ประมาณของข้อมลู ท้ังหมด

สถิติม.5

17

เปอร์เซ็นตไ์ ทล์ (Percentile)
นอกจากนใี้ นกรณีทีแ่ บ่งขอ้ มูลที่เรยี งค่าของข้อมลู จากน้อยไปมากแลว้ ออกเป็น 100 สว่ น โดยที่แต่ละส่วนมี
จานวนข้อมูลเท่าๆกันจุดแบ่งแต่ละจุดเรียกว่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ซึ่งจะมีทั้งหมด 99 จุดจึงเรียกว่าเปอร์เซ็นต์
ไทล์ทีห่ นึ่ง (P1) ถึงเปอร์เซน็ ต์ไทลท์ ี่เก้าสิบเก้า (P99) ตามลาดับและจะเห็นได้ว่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ห้าสิบ (P50)
จะเป็น มธั ยฐานของข้อมลู นน่ั เอง
เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ r (Pr) เปน็ ค่าที่มีจานวนขอ้ มลู น้อยกว่าค่านอี้ ยู่ประมาณของข้อมูลทั้งหมด

จากการให้ความหมายของควอร์ไทลเ์ ดไซล์และเปอร์เซน็ ต์ไทลเ์ มือ่ นามาเปรยี บเทียบกัน
จะพบว่า D1 = P10 , D2 = P20 , D3 = P30 , D4 = P40 , D5 = P50 , D6 = P60

D7 = P70 , D8 = P80 , D9 = P90 , Q1 = P25 , Q2 = P50 , Q3 = P75
นอกจากนีจ้ ะได้ว่า Q2 = D5 = P50 = Me (มัธยฐาน)

การหาควอรไ์ ทล์ เดไซลแ์ ละเปอร์เซน็ ไทลข์ องขอ้ มูลทีไ่ ม่แจกแจงความถี่

การหาควอร์ไทล์ เดไซล์และเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ r สาหรับข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่มีลาดับข้ันตอนดังนี้กาหนด
ข้อมลู ซึง่ มีค่าในข้อมลู ท้ังหมด N ค่า (ถ้า N เป็นจานวนข้อมูลท้ังหมดในประชากรและถ้าเป็นจานวนของตัวอย่างใช้ n)
1. เรียงลาดบั ค่าในข้อมลู จากน้อยไปหามาก
2. หาตาแหน่งของ Qr หรือ Dr หรือ Pr ที่ต้องการตาแหน่งดงั กล่าวหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

Qr อยู่ในตาแหน่งที่ ( ) เมื่อ r ∈ {1,2,3}
Dr อยู่ในตาแหน่งที่ ( ) เมือ่ r ∈ {1,2,3,...,9}
Pr อยู่ในตาแหน่งที่ ( ) เมื่อ r ∈ {1,2,3,...,99}

หมายเหตุ ในทางสถิติไม่นิยมหาเปอร์เซน็ ต์ไทลข์ องข้อมูลทีม่ จี านวนน้อย

สถิติม.5

18

ตัวอยา่ งที่ 1 ผลการทดสอบเกีย่ วกบั ระดบั สติปญั ญาของนักเรยี นช้ันประถมศึกษาปีที่ 4 กลุ่มหนึง่ ปรากฏ

คะแนนดงั นี้ 98 111 108 100 96 103 115 99 103 101 114

90 122 113 95 104 116 100 99 101 89 107 113 102

1) จงหา Q3 2) จงหา D7 3) จงหา P60

4) นักเรยี นจะต้องสอบได้คะแนนเท่าไร จึงจะมีนักเรยี นประมาณครึ่งหนึง่ ของชน้ั ได้คะแนนต่ากว่า

5) นักเรยี นจะต้องสอบได้คะแนนเท่าไร จึงจะมีนักเรยี นประมาณหนึ่งในสข่ี องชั้นไดค้ ะแนนสูงกว่า

6) นักเรยี นจะต้องสอบได้กค่ี ะแนน จึงจะมีผสู้ อบได้คะแนนน้อยกว่าอยู่ประมาณ 8 ใน 10

วิธีทา เรียงคะแนนของนกั เรยี นจากน้อยไปมาก ได้ดังนี้

ตำแหน่ง P30= 7.5

89 90 95 96 98 99 99 100 100 101 101 102

103 103 104 107 108 111 113 113 114 115 116 122

1) จงหา Q3 ตำแหน่ง D7= 17.5 ตำแหน่ง Q3= 18.75

ตาแหน่ง ของ Q3 = ( ) = ( ) = = 18.75

ตาแหน่ง ของ Q3 = 18.75 อยู่ระหว่างข้อมูลตาแหน่งที่ 18 และ 19 ข้อมลู นั้นคือ 111 และ 113 ตามลาดบั

19 -18 = 1 113-111 = 2

ตาแหน่งขอ้ มลู ต่างกัน 1 คะแนนต่างกนั 2 = 1.5
ตาแหน่งขอ้ มูลต่างกัน 0.75 คะแนนต่างกัน

18.75 - 18 = 0.75

ดังนั้น Q3 = 111 + 1.5 = 112.5

2) จงหา D7

ตาแหน่ง ของ D7 = ( ) = ( ) = = 17.5

ตาแหน่ง ของ D7 = 17.5 อยู่ระหวา่ งข้อมลู ตาแหน่งที่ 17 และ 18 ขอ้ มลู นั้นคือ 108 และ 111 ตามลาดบั

18 -17 = 1 111-108 = 3

ตาแหน่งขอ้ มลู ต่างกัน 1 คะแนนต่างกนั 3
ตาแหน่งขอ้ มลู ต่างกัน 0.5 คะแนนต่างกนั = 1.5

17.5 – 17 = 0.5

ดงั นั้น Q3 = 108 + 1.5 = 109.5

สถิติม.5

19

3) จงหา P30

ตาแหน่ง ของ P30= ( ) = ( ) = = 7.5

ตาแหน่ง ของ P30= 7.5 อยู่ระหว่างข้อมลู ตาแหน่งที่ 7 และ 8 ขอ้ มลู นั้นคือ 99 และ 100 ตามลาดบั

8 -7 = 1 100-99 = 1

ตาแหน่งขอ้ มูลต่างกนั 1 คะแนนต่างกัน 1

ตาแหน่งขอ้ มูลต่างกัน 0.5 คะแนนต่างกัน = 0.5

7.5 –7 = 0.5

ดังน้นั P30 = 99 + 0.5 = 99.5 คะแนน

4) คะแนนที่มีจานวนนกั เรยี นได้ตา่ กว่าค่านีอ้ ยู่ประมาณครง่ึ หนึ่งของชน้ั คือ คะแนนทีเ่ ปอร์เซน็ ต์ไทลท์ ี่ 50

ตาแหน่งที่ของ P50 คือ ( ) = = 12.5

จากคะแนนทีเ่ รียงพบว่า คะแนนในตาแหน่งในลาดบั ที่ 12 และ 13 คือ 102 และ 103 ตามลาดับ

จะหาค่าของ P50 ได้ดังนี้

ตาแหน่งที่ต่างกนั 13 – 12 = 1 คะแนนต่างกนั 103 – 102 = 1

ตาแหน่งทีต่ ่างกัน 12.5 – 12 = 0.5 คะแนนที่ต่างกัน = 0.5
ดังนั้น P50 = 102 + 0.5 = 102.5 คะแนน
นั่นคือ นักเรียนจะต้องสอบได้ 102.5 คะแนน จึงจะมนี กั เรียนประมาณครึง่ หนึง่ ของช้ันเรียนไดค้ ะแนนต่ากว่า

5) คะแนนทีม่ ีจานวนนกั เรยี นได้สูงกว่าค่านีอ้ ยู่ประมาณหนึง่ ในส่ขี องชั้น คือ คะแนนทีเ่ ปอร์เซน็ ต์ไทลท์ ี่ 75

ตาแหน่งที่ของ P75 คือ ( ) = ( )( ) = 18.75
จากคะแนนที่เรียงพบว่า คะแนนในตาแหน่งในลาดบั ที่ 18 และ 19 คอื 111 และ 113 ตามลาดบั

จะหาค่าของ P75 ได้ดงั นี้ คะแนนต่างกนั 113 – 111 = 2
ตาแหน่งที่ต่างกนั 19 – 18 = 1

ตาแหน่งที่ต่างกัน 18.75 – 18 = 0.75 คะแนนต่างกัน = 1.5

ดังน้ัน P75 = 111 + 1.5 = 112.5 คะแนน

นน่ั คือ นกั เรยี นจะต้องสอบได้ 112.5 คะแนน จึงจะมีนกั เรยี นประมาณหนึ่งในสข่ี องช้ันได้คะแนนสงู กว่า

6) คะแนนทีม่ ีจานวนนักเรียนสอบไดค้ ะแนนน้อยกว่าคะแนนนอี้ ยู่ประมาณ 8 ใน 10 คือ คะแนนที่ควอร์ไทลท์ ี่ 8
ตาแหน่งที่ของ Q8 คือ ( ) = ( )( ) = 20
จากคะแนนที่เรียงพบว่า คะแนนในตาแหน่งที่ 20 คือ 113

ดังน้ัน Q8 = 113 คะแนน
นนั่ คือ นกั เรียนจะต้องสอบได้ 113 คะแนน จึงจะมีจานวนนักเรียนที่ไดค้ ะแนนน้อยกว่าคะแนนนอี้ ยู่ประมาณ 8 ใน 10

สถิติม.5

20

การหาควอรไ์ ทล์ เดไซลแ์ ละเปอร์เซ็นไทลข์ องข้อมลู ที่แจกแจงความถี่

ตาแหน่งของควอไทล์ เดไซด์ และเปอร์เซ็นไทล์ (ถ้า N เปน็ จานวนขอ้ มลู ท้ังหมด)

Qr อยู่ในตาแหน่งที่ ( ) เมื่อ r ∈ {1,2,3}
Dr อยู่ในตาแหน่งที่ ( ) เมือ่ r ∈ {1,2,3,...,9}
Pr อยู่ในตาแหน่งที่ ( ) เมือ่ r ∈ {1,2,3,...,99}

สตู รสาหรับการหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ สาหรบั ข้อมลู ที่แจกแจงความถี่ทีม่ อี นั ตรภาคช้ัน

Qr =  rN  FL 
 4 
L   I
f Qr
 
 

Dr =  rN  FL 
 10 
L   I
 f Dr 
 

Pr =  rN  FL 
 100 
L  I
 f Pr 
 

โดยที่

Qr แทน ค่าของควอร์ไทลต์ าแหน่งที่ r
Dr แทน ค่าของเดไซล์ตาแหน่งที่ r
Pr แทน ค่าของเปอร์เซน็ ต์ไทลต์ าแหน่งที่ r
L แทน ขอบลา่ งของอันตรภาคช้ันที่มี Qr, Dr หรือ Pr ทีต่ ้องการหาอยู่
N แทน จานวนขอ้ มูลท้ังหมด

FL แทน ความถีส่ ะสมของอนั ตรภาคชั้นก่อนทีม่ ี Qr, Dr หรือ Pr อยู่
fQr แทน ความถี่ของอนั ตรภาคช้ันที่มี Qr อยู่
fDr แทน ความถีข่ องอันตรภาคชั้นที่มี Dr อยู่
fPr แทน ความถีข่ องอันตรภาคชั้นที่มี Pr อยู่
I แทน ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้ันที่มี Qr, Dr หรือ Pr อยู่

สถิติม.5

ตัวอยา่ งที่ 2 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี นกลุ่มหนึง่ เป็นดงั นี้ 21

คะแนน จานวน ความถีส่ ะสม ขอบลา่ ง-ขอบบน ช้นั ทมี่ ี D2 อยู่
ช้นั ที่มี Q3 อยู่
นักเรยี น ช้นั ที่มี P88อยู่

21-30 2 2 20.5-30.5

31-40 5 7 30.5-40.5

41-50 8 15 40.5-50.5

51-60 24 39 50.5-60.5

61-70 10 49 60.5-70.5

71-80 10 59 70.5-80.5

81-90 1 60 80.5-90.5

รวม 60

จงหา 1) Q3 2) D2 3) P88
วิธีทา
1) หา Q3 () = ( ) = 45
ตาแหน่งของ Q3 =
= 60.5   45  39 10
Q3  10

Q3 = 60.5 + 6

= 66.5

2) หา D2 = ( ) = ( ) = 12
ตาแหน่งของ D2

D2 = 40.5  12  7  10
=  8 

40.5 + 6.25

D2 = 46.75

3) หา P88 = () = ( ) = 52.8
ตาแหน่งของ P88

P88 = 70.5  52.8  49  10
=  10 

70.5 + 3.80

P88 = 74.30

สถิติม.5

22

การวดั ค่ากลางของข้อมลู

ในการหาค่ากลางของข้อมูลมวี ิธีหาได้หลายวิธี แตล่ ะวิธตี ่างกม็ ที ั้งขอ้ ดแี ละข้อเสยี และมีความ
เหมาะสมในการนาไปใช้ไม่เหมือนกัน ขนึ้ อยู่กบั ลักษณะของข้อมลู และวตั ถุประสงค์ของผู้ใช้ขอ้ มูลชนิดน้ัน ๆ
ค่ากลางของข้อมลู ทน่ี ิยมใช้กันมีอยู่ 3 ชนิด คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม

1) คา่ เฉลี่ยเลขคณติ (Arithmetic mean)
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเปน็ ค่าทีไ่ ดจ้ ากการเฉลีย่ ข้อมูลทั้งหมด ค่าเฉลย่ี เลขคณิตเหมาะทจี่ ะนามาใช้เป็น

ค่ากลางของข้อมลู เมื่อขอ้ มูลน้ัน ๆ ไมม่ ีค่าใดคา่ หนึ่งหรือหลาย ๆ ค่า ซึ่งสงู หรือต่ากว่าค่าอืน่ ๆ ที่เหลอื
อย่างผิดปกติ

การหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมูลทีไ่ ม่ได้แจกแจงความถี่ หาได้โดยตรงจากข้อมูลทีม่ ีให้ X1,
X2, X3, …XN เป็นข้อมลู N เปน็ จานวนจากประชากร และ X1, X2, X3, …Xn เป็นข้อมลู n เป็นจานวนจาก
ตวั อย่าง ซึง่ เปน็ ตวั แทนของประชากร จะได้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร คือ =

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง คือ =

สัญลกั ษณ์ อ่านว่า มิว และ อ่านว่า เอ็กซ์ บาร์

สามารถเขียนสูตรเลขคณิตได้ดังนี้ N และ N

 Xi  Xi

= i1 = i1

N n

หมายเหตุ สัญลักษณ์ ภาพ ใช้แทนผลบวกของข้อมูล Xi ทกุ ๆ ค่าจาก i = 1 ถึง i = n
หรือผลบวกของตวั แปร X ซึง่ ประกอบดว้ ยค่าจากการสงั เกตท้ังหมด n จานวน
สญั ลักษณ์ เป็นอักษรกรีกตวั พมิ พ์ใหญ่ เรียกว่า “ซิกมา” และอ่านว่า “ผลบวก” หรือ “Summation”

ตวั อย่างและโจทยป์ ญั หาเกีย่ วกบั การหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตในหวั ข้อนี้ สว่ นมากจะเปน็ ข้อมลู จาก
ตัวอย่าง ในที่นีจ้ ะใช้สญั ลักษณ์ สาหรบั ค่าเฉลย่ี เลขคณิต

สถิติม.5

23

ตวั อย่างที่ 1 จากการตรวจสอบราคาข้าวสารชนิดถงุ ละ 5 กิโลกรมั ของร้านค้าหลายแห่งปรากฏว่า ราคา

ข้าวสารต่อถุงเป็นดังนี้ 150, 153, 170, 160, 165, 180, 175, 139, 145, 149 จงหาราคาเฉลี่ยของข้าวสาร

ชนิดถุงละ 5 กิโลกรมั ของร้านค้าเหลา่ นี้

10 X

วิธีทา ราคาข้าวสารเฉลี่ยต่อถุง = i 1 i

10

=

=
= 158.60

นน่ั คือ ราคาข้าวสารชนิดถงุ ละ 5 กิโลกรัมของร้านค้าเหลา่ นั้น คือ 158.60 บาท หรือ กล่าวได้ว่า
ข้าวสารเฉลีย่ ใกลเ้ คียงกับ 159 บาทต่อถงุ

ตวั อย่างที่ 2 ผู้สอบจะให้ระดบั คะแนน 4 ถ้านกั เรยี นสอบได้คะแนนเฉลีย่ ไมต่ า่ กว่า 75 คะแนน จาก

การสอบย่อยทั้งหมด 6 คร้ัง ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตของสอบย่อย 5 คร้ัง ของนักเรียนคนหนึ่งเท่ากับ 71 คะแนน

อยากทราบว่าในการสอบครง้ั ที่ 6 เขาจะตอ้ งสอบได้คะแนนอย่างน้อยเท่าใดจงึ จะได้ระดบั คะแนน 4

วิธีทา ให้ y แทน คะแนนสอบครงั้ ที่ 6

ผลรวมของคะแนนสอบ 5 ครงั้ เท่ากบั 71  5 = 355 คะแนน

จาก = ผลรวมคะแนนสอบ ครง้ั
71 =
()

450 = 355 + y

95 = y

นัน่ คือ การสอบครงั้ ที่ 6 เขาจะตอ้ งสอบได้คะแนนอย่างน้อย 95 คะแนน

ตัวอยา่ งที่ 3 ถ้าน้าหนกั ของนกั เรียนกลุ่มหนึ่งซ่งึ มี 5 คน คอื 41, 46, 44, 49 และ 43 กิโลกรมั ถ้า
นักเรยี นกลุ่มนีม้ ีสมาชกิ เพ่มิ อีก 1 คน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียนท้ังหกคนนเี้ ป็น 46 กิโลกรัม
จงหาน้าหนกั ของนักเรียนคนทีห่ ก
วิธีทา ให้ y แทน น้าหนักของนักเรียนคนที่ 6

จาก = ผลรวมของน้าหนกั ของนกั เรียนทั้งหกคน

46 =
276 = 223 + y
53 = y
นน่ั คือ นักเรยี นคนที่หกหนกั 53 กิโลกรมั

สถิติม.5

24

ค่าเฉลีย่ เลขคณติ ถว่ งนาหนกั (Weight Arithmetic Mean)
การหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตถ่วงน้าหนกั นใี้ ช้ในกรณีที่ขอ้ มูลแต่ละค่ามีความสาคญั ไม่เท่ากนั เช่น
การหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบ 4 วิชาที่แต่ละวิชาใช้เวลาเรยี นในแตล่ ะสปั ดาห์ไม่เท่ากัน หรือ
การหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของราคาสนิ ค้าชนิดเดยี วกัน แต่มีน้าหนกั หรือราคาขายต่างกัน ถ้าจะใช้วิธหี า
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตธรรมดา คือ ไมถ่ ่วงน้าหนกั จะทาให้ค่าเฉลี่ยทีไ่ ดค้ ลาดเคล่อื นไปจากทีค่ วรจะเป็นจริง
ซึ่งอาจจะน้อยกว่าที่ควรจะเป็นจริงกไ็ ด้ ท้ังนขี้ นึ้ อยู่กับน้าหนักของข้อมูลแต่ละค่าทีน่ ามาใช้เป็นสาคัญ
ถ้าให้ w1, w2, w3, …,wn เป็นความสาคัญน้าหนักถว่ งของค่าจากการสังเกต X1, X2, X3, …, Xn
ตามลาดบั แลว้ ค่าเฉลย่ี เลขคณิตถ่วงน้าหนัก =

n

Wi Xi

= i1
n
Wi
i 1

หมายเหตุ ถ้าข้อมูลเป็นระดบั ประชากร การคานวณยังคงใช้สูตรทานองเดียวกัน แต่เปล่ียน เปน็
และ n เปน็ N

ตวั อยา่ งที่ 4 ในการคานวณเกรดเฉลี่ย (Grade point average หรือ GPA)ของนกั เรยี น สมมติว่า นักเรยี น
ลงทะเบียนเรียน 5 วิชา ซึ่งแต่ละวิชามีหน่วยกิตไมเ่ ท่ากัน ดงั นี้

วิชาที่ 1 2 3 4 5
หน่วยกิต 3 2 3 3 1

เกรด A A B B C

โดย A = 4, B = 3, และ C = 2 จงหาค่าเกรดเฉลี่ยของนักเรยี นคนนี้

วิธีทา ถ้าหาค่าเฉลีย่ ตามปกติ จะได้ค่าเฉลีย่ เท่ากับ = 3.2 ซึง่ จะเป็น

ค่าเกรดเฉลี่ยทีถ่ กู ต้อง หากแตล่ ะรายวิชามีหน่วยกิต (น้าหนัก) เท่า ๆ กัน เช่น

วิชาละ 3 หน่วยกิตเท่ากนั หมด แต่ในกรณีทีแ่ ตล่ ะวิชามีหน่วยกิตไมเ่ ท่ากัน การคานวณ

ค่าเกรดเฉลีย่ จะต้องใช้หลกั การของค่าเฉลีย่ เลขคณิตถ่วงน้าหนัก ดงั นี้

ค่าเกรดเฉลี่ยของนกั เรยี น = ผลบวกของผลคูณระหว่างเกรดรายวิชากบั จานวนหน่วยกิต
ผลบวกของจานวนหน่วยกิตรายวิชา

= ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

= 3.33
ซึง่ แตกต่างจากค่าเฉลีย่ ทีค่ ิดไว้ข้างต้นเนือ่ งจากน้าหนักรายวิชาไมเ่ ท่ากัน

สถิติม.5

25

ตัวอย่างที่ 5 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี นคนหนึง่ ซง่ึ มีการสอบ3 ครง้ั เปน็ การสอบย่อย 2 ครง้ั

และสอบปลายปีอีก 1 ครงั้ ปรากฏว่าจากคะแนนเตม็ 100 คะแนน คะแนนที่นักเรยี นสอบได้สาหรับการสอบ

ย่อยสองครงั้ เปน็ 74 และ 80 คะแนน และคะแนนที่สอบได้ปลายปี 62 คะแนน ถ้าครูผู้สอนวิชานคี้ ิดคะแนน

เตม็ ของการสอบปลายปี 70 คะแนน และคะแนนสอบย่อยแต่ละครั้ง 15 คะแนนให้หาคะแนนเฉล่ยี วิชา

คณิตศาสตร์ของนกั เรียนคนนั้น

วิธีทา ค่าจากการสังเกตมี 3 ค่า คอื X1 = 74, X2 = 80 และ X3 = 62

ความสาคญั ของคะแนนสอบย่อย คือ w1 = w2 = 15
ความสาคญั ของคะแนนสอบปลายปี w3 = 70

คะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์ n

Wi X i
= i1

n

Wi

i 1

= () () ()

=

=

= 66.5
เมือ่ คานึงถึงความสาคัญของคะแนนสอบย่อยแต่ละครั้ง และคะแนนสอบปลายปี คะแนนเฉลีย่ ของ
นกั เรยี นคนนี้ คือ 66.5 คะแนน

คา่ เฉลี่ยเลขคณติ รวม (Combined arithmetic mean)

ในการวิเคราะห์ขอ้ มูลของตวั แปรเดยี วกนั จากตัวอย่างหลาย ๆ ชดุ ท่หี าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของแตล่ ะ

ชุดไว้แลว้ หากผู้วิเคราะห์ต้องการทราบค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลท้ังหมด โดยนับรวมเปน็ ชุดเดยี วกันก็

สามารถหาได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุดท่คี านวณไว้แล้ว กล่าวคือ ถ้า 1, 2,…, kเป็นค่าเฉลี่ย
เลขคณิตของข้อมูลที่ 1, 2,…, k ตามลาดบั n1, n2, … , nkเปน็ จานวนค่าจากการสงั เกตในข้อมูลชดุ ท่ี 1, 2, …,
k ตามลาดับ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม = k

 ni X i
= i1

k

 ni

i 1

ถ้าข้อมลู เป็นระดบั ประชากร การคานวณยงั คงใช้สูตรทานองเดยี วกัน แต่เปล่ยี น เปน็ และ n เป็น N

สถิติม.5

26

ตัวอย่างที่ 6 ถ้าค่าเฉลีย่ เลขคณิตของอายนุ กั เรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 3, 4 และ 5 ของโรงเรียนแห่งหนึง่
เป็น 15 ปี 17 ปี และ 18 ปี ตามลาดบั โรงเรียนแห่งนมี้ ีนกั เรยี นในแต่ละชั้น ดงั กล่าวเปน็ 60, 50 และ 40 คน
ตามลาดับ จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของอายุของนักเรยี นชั้นมัธยมศึกษารวมทั้งสามชนั้
วิธีทา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม =

ให้ = 15 , = 17 และ = 18 n1 = 60, n2 = 50 และ n3 = 40
จะได้ = ( ) ( ) ( )

=

=

16.47
ดงั นั้น อายเุ ฉลีย่ ของนกั เรยี นช้ันมัธยมศึกษาทั้งสามชั้นประมาณ 16.47 ปี
ควรสงั เกตว่าค่าเฉล่ยี เลขคณิตรวมที่หาได้นอี้ ยู่ระหว่าง 15 และ 18 ปีซึ่งเป็นค่าเฉลีย่ เลขคณิตของ
อายุของนกั เรยี นช้ันมัธยมศึกษาที่ 3, 4 และ 5

การคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มูลที่แจกแจงความถีแ่ ลว้

ถ้าให้ f1เปน็ ความถี่ของค่าจากการสงั เกต X1 , f2 เปน็ ความถีข่ องคา่ จากการสังเกต X2 เรือ่ ยไปจนถึง
fk เปน็ ความถีข่ องค่าจากการสังเกต Xk แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ

=

k
 fi Xi
i 1
= k

 fi
i 1

k

 fi Xi

= i1

n

เมือ่ n เปน็ จานวนค่าจากการสังเกตท้ังหมดและถ้าขอ้ มลู เปน็ ระดับประชากร การคานวณยงั คงใช้

สูตรทานองเดยี วกัน แต่เปลย่ี น เป็น และ n เป็น N

การคานวณหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตโดยวิธีนี้ ใช้สูตรทานองเดยี วกนั กับการคานวณหาค่าเฉลย่ี
เลขคณิตโดยวิธีถ่วงน้าหนกั น่นั เอง โดยทีค่ วามสาคญั หรือนา้ หนกั ในที่นี้ คือ ความถีข่ องคา่ เฉลย่ี จากการ
สงั เกตแตล่ ะค่าหรือค่าเปน็ ตวั แทนของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ัน ซึ่งเรยี กว่าจดุ กึ่งกลาง (Midpoint) ของ
อันตรภาคชั้น

สถิติม.5

27

ตัวอยา่ งที่ 7 จากตารางบันทึกการลาของนักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 5/1
ในหนึ่งเดอื นทีผ่ ่านมา จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของจานวนวนั ลาของนกั เรยี นห้องน้ี

จานวนวันลา (X) ความถี่ (f)

0 7
1 8
2 9
3 7
4 3
5 2
6 2

วิธีทา สร้างตารางเพื่อคานวณหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตดังนี้

จานวนวนั ลา (X) ความถ่ี (f) f×X

0 7 70 = 0
1 8 8 1 = 8
2 9 9 2 = 18
3 7 73 = 21
4 3 3 4 = 12
5 2 2 5 = 10
6 2 2 6 = 12

รวม 38 81

k

 fi Xi
จาก = i1

n

จะได้ = 2.13

นั่นคือ ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของวันลาของนักเรยี นห้องน้ปี ระมาณ 2.13 หรือ 2 วัน

สถิติม.5

28

ในการหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตของข้อมูลที่มกี ารแจกแจงความถีใ่ นรปู ตารางที่มกี ารแจกแจงความถี่
ของข้อมลู ในแตล่ ะช่วงหรืออนั ตรภาคช้ัน สามารถทาได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตวั อย่างที่ 8 ถ้าเงินเดอื นของพนักงานจานวน 75 คน ในบริษัทแห่งหนึง่ มกี ารแจกแจงความถีด่ งั นี้

เงินเดือน (บาท) จานวนพนักงาน
(คน)
6,500 – 6,999 10
7,000 – 7,499 15
7,500 – 7,999 20
8,000 –8,499 15
8,500 – 8,999 10
9,000 – 9,999 3
9,500 – 9,999 2

จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของเงินเดอื นพนกั งานท้ัง 75 คนนี้
วิธีทา จากตารางข้างต้นหาค่าที่เปน็ ตวั แทนของข้อมลู ในแตล่ ะอันตรภาคชั้นโดยการกาหนดจุดกึ่งกลาง
ของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ัน ซึ่งหาได้จากการเฉลีย่ ค่าตา่ สดุ และค่าสงู สุดของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ัน ดังนี้

เพื่อความสะดวกในการคานวณหาค่าเฉล่ยี เลขคณิต ควรสร้างตารางดงั ต่อไปนี้

เงินเดือน จุดกึ่งกลาง จานวน fi Xi 7

(บาท) (Xi) พนกั งาน (fi) 67,495.0  fi Xi
108,742.5 = i1
6,500 – 6,999 6,749.5 10 154,990.0
7,000 – 7,499 7,249.5 15 123,742.5 7
7,500 – 7,999 7,749.5 20 87,495.0
8,000 –8,499 8,249.5 15 27,748.5  fi
8,500 – 8,999 8,749.5 10 19,499.0
9,000 – 9,999 9,249.5 3 i 1
9,500 – 9,999 9,749.5 2 = 589,712.5
=
= 75 7,862.83

ดังนัน เงินเดอื นเฉลี่ยของพนกั งาน
ทั้ง 75 คน ประมาณ 7,862.83 บาท

นอกจากการคานวณหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู ทีม่ กี ารแบ่งขอ้ มลู เปน็ อนั ตรภาคช้ัน ตามวิธกี าร
ในตวั อย่างทีก่ ล่าวมาแล้ว อาจใช้วิธกี ารเลอื กจดุ กึ่งกลางของอันตรภาคชั้นใด อนั ตรภาคชั้นหนึง่
ซึ่งโดยทั่วไปมกั จะเลอื กจากอันตรภาคชั้นที่มีความถีส่ งู สุดมาใช้เพือ่ ชว่ ยลดขั้นตอนในการคานวณให้ยุ่งยาก
น้อยลง

สถิติม.5

29

ตวั อย่างที่ 9 จงหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี น 50 คน ซึง่ มคี ะแนนเต็ม

100 คะแนนจากตารางแจกแจงความถีต่ ่อไปนี้

คะแนน ความถี่

0–9 0

10 – 19 1

20 – 29 3

30 – 39 4

40 – 49 7

50 – 59 10

60 – 69 15

70 – 79 5

80 – 89 4

90 – 99 1

วิธีทา 1) เลอื กจุดกึ่งกลางที่อยใู่ นอนั ตรภาคชั้นทีม่ ีความถี่มากทีส่ ดุ ซึ่งได้แก่

จดุ กึง่ กลางที่อยใู่ นช่วง 60 – 69 ซึ่งเท่ากับ = 64.5 กาหนดให้ A = 64.5

2) หาค่าแตกต่าง (di) ระหว่างจุดก่งึ กลางของแตล่ ะอันตรภาคช้ัน (Xi) กบั ค่า A โดยให้ di = Xi – A
3) สร้างตารางเพือ่ ความสะดวกในการหาค่า ได้ดังนี้

อันตรภาคชั้น จดุ กึ่งกลาง ความถี่ di = Xi– A fidi ผลรวมของ
A + ผลรวมของ
0 –9 (Xi) (fi) =
10 – 19
20 – 29 4.5 0 4.5 – 64.5 = –60 0 (–60) = 0 = 64.5 + ( )
30 – 39 14.5 1 14.5 – 64.5 = –50 1 (–50) = –50 = 64.5 – 7.4
40 – 49 24.5 3 24.5 – 64.5 = –40 3 (–40) = –120 = 57.1
50 – 59 34.5 4 34.5 – 64.5 = –30 4(–30) = –120
60 – 69 44.5 7 44.5 – 64.5 = –20 7 (–20) = –140 นั่นคือ ค่าเฉลีย่ เลขคณิต
70 – 79 54.5 10 54.5 – 64.5 = –10 10 (–10) = –100 ของคะแนนสอบวิชา
80 – 89 64.5 (A) 15 64.5 – 64.5 = 0 150 = 0 คณิตศาสตร์ของนกั เรียน
90 – 99 74.5 5 74.5 – 64.5 = 10 5 10 = 50 ห้องน้ี คือ 57.1 คะแนน
84.5 4 84.5 – 64.5 = 20 4 20 = 80
94.5 1 94.5 – 64.5 = 30 1 30 = 30

รวม 50 รวม –370

หมายเหตุ เนือ่ งจากในปัจจุบนั มีการใช้เครือ่ งคิดเลขอย่างแพร่หลายในการคานวณหาค่ากลาง
โดยเฉพาะค่าเฉลย่ี เลขคณิต หรือค่าสถิติอืน่ ๆของข้อมูลที่มเี ปน็ จานวนมากในทางปฏิบตั จิ ึงมกั ใช้เครือ่ ง

สถิติม.5

30

คิดเลขแบบธรรมดาทีใ่ ช้กันทัว่ ไป หรือใช้เครือ่ งคิดเลขที่มีฟงั ก์ชนั ทางวิทยาศาสตร์ ซึ่งสามารถหาค่าสถิติได้
นอกจากนยี้ ังมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ซึ่งสามารถใช้หาค่าสถติ ิ และสร้างกราฟในการนาเสนอข้อมลู ได้

2) มัธยฐาน (Median)
มัธยฐานเปน็ ค่ากลางอีกชนิดหนึ่ง ซึ่งจะหมายถึง ค่าทีม่ ีจานวนข้อมูลที่มากกว่าและน้อยกว่าค่านี้อยู่

เท่า ๆ กัน การหามัธยฐานทาได้โดยการเรียงข้อมลู ทีม่ อี ยู่ท้ังหมด จากค่านอ้ ยไปหาค่ามากหรือเรียงจาก
ค่ามากไปหาค่าน้อย อย่างใดอย่างหนึ่ง ค่าของข้อมลู ค่าใดอยู่กง่ึ กลางของข้อมูลทั้งหมดก็จะใช้ค่านั้นเป็น
มัธยฐานของข้อมูลชุดนั้น

กรณีที่จานวนขอ้ มูลทงั้ หมดที่มอี ยู่เปน็ จานวนคี่
มัธยฐานจะเป็นค่าของข้อมูลทีอ่ ยกู่ ึง่ กลาง

กรณีที่จานวนขอ้ มลู ทั้งหมดทม่ี ีอยเู่ ป็นจานวนคู่
มธั ยฐานจะเป็นค่าเฉลีย่ ของข้อมูลสองค่า ซึ่งอยู่ระหว่างกลางของข้อมูลทง้ั หมด

ค่าทีต่ ้องการ ข้อมลู ที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ ขอ้ มูลที่แจกแจง หมายเหตุ
ตาแหน่งของมธั ยฐาน ความถี่
N 1 N เป็นจานวนข้อมลู ท้ังหมด
มัธยฐาน 2 N
2 L เป็น ขอบล่างของอันตรภาค
จานวนที่อยตู่ รงกลาง ชั้นทีม่ ี มธั ยฐานอยู่
(เมือ่ N เป็นจานวนคี)่  N  FL 
 2  N เป็น จานวนข้อมูลท้ังหมด
ผลรวมของจานวนที่อยู่ตรงกลาง จานวนรวมกัน L   I FL เป็น ความถีส่ ะสมของอนั ตร-
 fM 
(เมื่อ N เป็นจานวนคู่)   ภาคช้ันก่อนทีม่ ีมธั ยฐานอยู่
f M เป็น ความถีข่ องอนั ตรภาค-

ช้ันที่มี มธั ยฐานอยู่
I เป็น ความกว้างของอันตร-

ภาคชั้นทีม่ ีมธั ยฐานอยู่

ตัวอย่างที่ 10 จงหามัธยฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยต่อไปนี้
47, 74, 48, 68, 79, 44, 32, 56, 73, 47, 76

วิธีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก ดังนี้ 32, 44, 47, 47, 48, 56, 68, 73, 74, 76, 79

มธั ยฐาน

ดังนัน มัธยฐาน คือ 56 คะแนน

สถิติม.5

31

ตวั อย่างที่ 11 จงหาค่ามัธยฐานของน้าหนักกระเทียมที่บรรจถุ ุงไว้ 10 ถุง ซึง่ มนี ้าหนกั (กิโลกรัม) ดงั นี้

วิธีทา เรียงข้อมลู จากน้อยไปมากไดด้ งั นี้
9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8, 9.8, 9.8, 9.9, 9.9

มัธยฐาน = = 9.75 กิโลกรัม

จากตวั อย่าง จะเหน็ ว่า มัธยฐานอาจเป็นค่าทีป่ รากฏอยู่ในข้อมลู ชุดนั้นหรือไมก่ ็ได้

ตวั อยา่ งที่ 12 จงหาค่ามัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรยี นช้ัน ม. 5/2

คะแนน จานวนนักเรยี น ความถี่สะสม

1-5 5 5

6-10 2 7

11-15 3 10

16-20 6 16 ช้นั ทมี่ ีมธั ยฐานอยู่

21-25 4 20

26-30 10 30

รวม 30

วิธีทา ตาแหน่งของมัธยฐาน = = 15
หมายเหตุ
มธั ยฐาน = L   N  FL  I
มัธยฐาน  2 fM 
 
 
 

= 15.5  15  10 5
 6

= 15.5 + 4.16

= 19.66

โดยท่ัวไปถา้ ข้อมูลชดุ หนง่ึ มี N ค่า มัธยฐานจะอยู่ในตาแหน่งที่

สาหรับข้อมลู ทีจ่ ะหามัธยฐานได้จะต้องเปน็ ข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น มธั ยฐาน เหมาะสมทีจ่ ะ
นามาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลเมื่อข้อมลู น้ัน ๆ มีค่าใดค่าหนึ่งหรือหลาย ๆ ค่า ซึง่ สงู หรือตา่ กว่าค่าอืน่ ๆ
อย่างผิดปกติจากความหมายของมธั ยฐาน จะเห็นว่า มธั ยฐานเปน็ ค่าทีไ่ ม่ถกู กระทบดว้ ยค่าผดิ ปกติ เช่น
ที่กระทบค่าเฉลี่ย เนื่องจากค่าต่าง ๆ ในชุดข้อมลู จะมีส่วนต่อมธั ยฐานผ่านทางลาดับทีเ่ ท่านั้น ไมไ่ ด้นาค่า
แตล่ ะค่ามาคานวณโดยตรง เช่น ค่าเฉลีย่ เลขคณิต

สถิติม.5

32

3) ฐานนิยม (Mode)
ฐานนิยมเป็นค่ากลางของข้อมลู ซึ่งการหาฐานนิยมของข้อมูลหาได้จากการดวู ่าขอ้ มูลใดมคี วามถี่

สูงสดุ หรือปรากฏบ่อยครง้ั ที่สุด ข้อมูลน้ันจะเปน็ ฐานนิยมของข้อมลู ชดุ นั้น

ค่าที่ต้องการ ข้อมูลที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ ข้อมลู ที่แจกแจงความถี่ หมายเหตุ
ฐานนิยม ค่าที่มคี วามถี่สูงที่สุด
L เป็น ขอบลา่ งของอนั ตรภาคช้ัน

ทีม่ ี มธั ยฐานอยู่

d1 เปน็ ผลต่างระหว่างความถีข่ อง
อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สงู สดุ กับ

L   d1 d1 d  I ความถีข่ องอนั ตรภาคชั้นทีต่ า่ กว่า
   d2 เปน็ ผลต่างระหว่างความถี่ของ
 2 
อนั ตรภาคชั้นทีม่ ีความถีส่ งู สุดกับ

ความถี่ของอนั ตรภาคชั้นที่สงู กว่า

I เปน็ ความกว้างของอันตรภาค

ชั้นที่มีมธั ยฐานอยู่

ตัวอยา่ งที่ 13 จงหาฐานนิยมของขนาดของรองเท้านกั เรยี นจานวน 17 คน ซึง่ มขี นาด 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5,
6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8 ตามลาดบั

วิธีทา ฐานนิยมของขนาดของรองเท้าของนกั เรยี นท้ัง 17 คน คือ ขนาด 6 เพราะมีรองเท้า ขนาด 6
มากทีส่ ุด คือ 6 คน กล่าวคอื นกั เรยี นสว่ นใหญใ่ ช้รองเท้าขนาด 6

หมายเหตุ การหาฐานนิยมโดยวิธีดังกล่าวน้จี ะเห็นไดว้ ่า ข้อมลู บางชดุ อาจจะไม่มฐี านนิยมเลยกไ็ ด้
หรืออาจจะมีฐานนิยมเกินกว่าหนึง่ ค่ากไ็ ด้ ในกรณีที่ขอ้ มูลชุดใด มีฐานนิยมมากกว่า 2 ค่า อาจจะถอื ว่า
ข้อมูลชดุ นั้นไมม่ ีฐานนิยม

สถิติม.5

33

ตัวอยา่ งที่ 14 จากแผนภาพต้น – ใบแสดงข้อมลู ซ่งึ เป็นความสงู ของนักเรยี นกลุ่มหนึง่ ดังนี้
13 8 9 7 7
14 3 4 5 5 6
15 5 8 1 3 2 1 1 4
16 1 3 2

จงหา 1) จานวนนักเรยี นทั้งหมด
2) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยมของความสูงของนกั เรียน

วิธีทา 1) จัดเรียงข้อมลู ในแผนภาพต้น – ใบ โดยเรียงจากน้อยไปมากไดด้ ังนี้

13 7 7 8 9
14 3 4 5 5 6
15 1 1 1 2 3 4 5 8
16 1 2 3

นกั เรยี นในกลุ่มนีม้ ีท้ังหมด 20 คน

2) จากแผนภาพพบว่า ฐานนิยมของข้อมูลชดุ นี้ คือ 151 เซนติเมตร

และมัธยฐานของข้อมลู ชุดนี้ คือ หรือ 151 เซนติเมตร

หาค่าเฉล่ยี เลขคณิตของความสงู ของนกั เรียนได้ดังนี้

2(137) + 138 + 139 = 551

143 + 144 + 2(145) + 146 = 723

3(151) + 152 + 153 +154 + 155 + 158 = 1225

161 + 162 + 163 = 486

รวม 2,985

= = 149.25 เซนติเมตร
นั่นคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักเรียนกลุ่มนคี้ ือ 149.25 เซนติเมตร

สถิติม.5

34

ตัวอยา่ งที่ 15 คะแนนสอบจากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ของนกั เรยี นกลุ่มหนึ่งจานวน 16 คน ที่สอบวิชา
คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เป็นดังนี้

คณิตศาสตร์ 75 93 87 56 60 73 78 69 83 89 94 97 65
73 87 85

วิทยาศาสตร์ 68 73 98 87 65 64 70 73 72 78 81 83 68
57 63 75

จงสร้างแผนภาพต้น – ใบ และหาค่าต่อไปนจี้ ากแผนภาพทีไ่ ด้
1) คะแนนสูงสุด และตา่ สดุ มธั ยฐาน และฐานนิยมของแตล่ ะวิชา
2) เมือ่ พิจารณาจากแผนภาพทีไ่ ดค้ ่าเฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนสอบวิชาใดควรมีค่าสงู กว่าอีกวิชา

หนึง่ พร้อมให้เหตุผล
วิธีทา จากข้อมูลสร้างแผนภาพต้น – ใบ และจดั ข้อมูลให้เรยี งลาดับจากน้อยไปมากไดด้ ังนี้

คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์

657

950634588

85337023358

9775381 37

74398

1) วิชาคณิตศาสตร์ คะแนนต่าสุด 56 คะแนน คะแนนสูงสุด 97 คะแนนมัธยฐาน คือ = 80.5
คะแนนวิชาวิทยาศาสตร์ คะแนนต่าสุด 57 คะแนนคะแนนสูงสุด 98 คะแนน

มัธยฐาน คือ = 72.5 คะแนน

จากแผนภาพพบว่า วิชาคณิตศาสตร์มคี ะแนนที่เป็นฐานนิยมสองค่าคือ 73 คะแนน และ 87

คะแนน วิทยาศาสตร์ มีคะแนนทีเ่ ป็นฐานนิยมสองค่า คือ 68 คะแนน และ 73 คะแนน

2) จากแผนภาพ พบว่า คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ในช่วง 80 – 99 คะแนน มีจานวนมากกว่าคะแนน
สอบของวิชาวิทยาศาสตร์

ดงั น้ัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ควรจะสูงกว่าวิชาวิทยาศาสตร์
จากการคานวณพบว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของวิชาคณิตศาสตร์ คือ 79 คะแนน และวิชา
วิทยาศาสตร์ คือ 73.44 คะแนน

สถิติม.5

35

ตวั อย่างที่ 16 จงหาค่าฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรยี นช้ัน ม. 5/3

คะแนน จานวนนกั เรียน

1-5 4

6-10 7

11-15 5

16-20 5 d1= 8-5 = 3
21-25 8
26-30 ช้นั ทมี่ ฐี านนิยม
รวม 6
35 อd2ย=ู่ 8-6 = 2

วิธีทา ตาแหน่งของฐานนิยม อยู่ในช้ันที่มีความถี่มากที่สดุ คือ อันตรภาคช้ัน 21 – 25

ฐานนิยม = *+

= * +5
= 23.5

ข้อสังเกตและหลักเกณฑ์ทีส่ าคญั ในการใชค้ ่ากลางชนดิ ตา่ ง ๆ
1. ค่าเฉลีย่ เลขคณิตเปน็ ค่ากลางที่ไดจ้ ากการนาทุก ๆ ค่าของข้อมลู มาเฉลี่ย มธั ยฐานเป็นค่ากลาง

ทีใ่ ช้ตาแหน่งที่ของข้อมลู และฐานนิยมเปน็ ค่ากลางทีไ่ ดจ้ ากข้อมูลทีม่ คี วามถีม่ ากที่สดุ
2. ถ้าในจานวนขอ้ มูลทั้งหมดมขี ้อมลู บางค่าที่มีสงู หรือตา่ กว่าข้อมลู อืน่ ๆ มากจะมผี ลกระทบต่อ

ค่าเฉลีย่ เลขคณิต กล่าวคืออาจจะทาให้ค่าเฉลยี่ เลขคณิตที่ไดม้ ีค่าสูงหรอื ตา่ กว่าข้อมูลทม่ี ีส่วนใหญ่ แต่จะ
ไมม่ ีผลกระทบต่อมธั ยฐาน หรือฐานนิยม

3. มัธยฐาน และฐานนิยมใช้เมือ่ ต้องการทราบค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดโดยประมาณและรวดเรว็
ท้ังนี้ เนื่องจากการหามัธยฐานและฐานนิยมบางครง้ั ไมจ่ าเป็นต้องมีการคานวณ ซึ่งอาจใช้เวลามาก

4. ถ้าแจกแจงความถีข่ องข้อมูลประกอบดว้ ยอนั ตรภาคชั้นทีม่ ีช่วงปิดอาจเป็นชั้นต่าสุด หรือชั้น
สูงสุดชั้นใดช้ันหนึ่งหรือท้ังสองช้ัน การหาค่ากลางโดยใช้ค่าเฉลย่ี เลขคณิตไม่สามารถทาได้ แต่สามารถหา
มัธยฐานหรือฐานนิยมได้

5. การแจกแจงความถีข่ องข้อมลู ท่มี ีความกว้างของแตล่ ะอันตรภาคช้ันไมเ่ ท่ากนั อาจจะมีผลทาให้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือฐานนิยมคลาดเคลอ่ื นไปจากทีค่ วรจะเป็นไดบ้ ้างแต่จะไม่มผี ลกระทบต่อมธั ยฐาน

6. ในกรณีที่ขอ้ มูลเป็นประเภทข้อมูลเชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมเท่าน้ัน
แตไ่ มส่ ามารถหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตหรือมัธยฐานได้

สรุปว่า การพิจารณาเลอื กใช้ค่ากลางของข้อมลู ควรเลอื กให้เหมาะสมกบั วตั ถุประสงค์ ซึง่ หาก
เลอื กใช้ค่ากลางที่ไม่เหมาะสม อาจจะทาให้การสรุปผลหรอื การตดั สินใจผิดพลาดได้ การเลอื กใช้ค่ากลาง
ควรจะพิจารณาจากลักษณะของข้อมูลทีม่ อี ยู่ จุดประสงค์ในการนาค่ากลางไปใช้ และข้อดี ข้อเสยี ของ
ค่ากลางแตล่ ะชนิด ดังนี้

สถิติม.5

ค่าเฉลี่ยเลขคณติ 36

ขอ้ ดี ข้อเสีย
1) การคานวณหาไมย่ ุ่งยากและสามารถ 1) ใช้ไดเ้ ฉพาะในกรณีทีข่ อ้ มลู เป็นข้อมลู เชงิ ปริมาณเท่าน้ัน
ใช้เครื่องคิดเลขช่วยในการคานวณได้ 2) ค่าทีค่ านวณได้ไม่จาเปน็ ต้องเปน็ ค่าของข้อมูลตวั ใดตวั หนึ่ง
2) ใช้ขอ้ มูลทุกตัว เสมอไป
3) เปน็ ทีแ่ พร่หลาย และสว่ นใหญใ่ ช้เป็น 3) ถ้ามขี ้อมูลในชุดทแ่ี ตกต่างจากขอ้ มูลตวั อืน่ มากจะมีผลต่อ
ค่ากลางของข้อมลู ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้

มธั ยฐาน

ข้อดี ข้อเสีย

1) หามธั ยฐานจากการนาข้อมูลทั้งหมด 1) ใช้ไดใ้ นกรณีที่ขอ้ มลู เปน็ ข้อมลู เชงิ ปรมิ าณเท่านั้น

มาจดั ลาดับจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อย 2) ถ้ามขี ้อมูลเปน็ จานวนมาก การจัดเรียงข้อมลู จะทาได้

2) จะเปน็ ค่าของข้อมลู ถ้ามีขอ้ มูลเปน็ จานวนคี่ ค่อนข้างลาบาก

3)จะไมใ่ ช่ค่าที่แท้จริงของข้อมลู ถ้าจานวนขอ้ มลู เป็นจานวนคู่

ฐานนิยม ขอ้ เสีย
1) ค่าที่ไดม้ กั จะไมค่ ่อยมีความหมายถ้าขอ้ มลู มจี านวนน้อย
ขอ้ ดี 2) อาจจะมีฐานนิยมมากกว่าหนึง่ ค่า
1) ใช้ไดก้ ับข้อมูลเชิงปริมาณและเชงิ คณุ ภาพ 3) ข้อมูลบางชดุ อาจจะไม่มฐี านนิยม
2) หาได้ไม่ยาก โดยการนบั จานวนขอ้ มูล
ทีเ่ กิดขนึ้ มากครั้งที่สุดในข้อมลู ชุดนั้น
3) สามารถหาได้งา่ ยจากตารางแจกแจง
ความถี่ แผนภูมิแท่ง แผนภมู ิรูปภาพ และ
แผนภูมิรูปวงกลม

สถิติม.5

37

การวัดการกระจายของข้อมูล

ในการสรุปหรืออธิบายชุดข้อมลู โดยใช้ค่าสถิติ นอกจากการนาเสนอข้อมลู ด้วยตารางแผนภูมิและ
แผนภาพแล้ว ยงั สามารถสรุปได้โดยใช้ค่ากลางชนิดต่าง ๆ ซึ่งถ้าพิจารณาให้ละเอียดจะเห็นว่า การทราบ
แตเ่ พียงค่ากลางของข้อมลู ไม่เพียงพอทีจ่ ะอธิบายการแจกแจงของข้อมลู ชุดน้ัน ค่ากลางแตล่ ะชนิดมิไดบ้ อก
ให้ทราบว่าค่าจากการสงั เกตท้ังหลายในข้อมูลชดุ นั้นต่างจากค่ากลางมากนอ้ ยเพียงใด และค่าส่วนใหญ่
รวมกลุ่มกนั หรือกระจายกันออกไป เพือ่ ให้เหน็ ลกั ษณะของข้อมูลชดั เจนขนึ้ และสามารถได้ข้อสรุปเกี่ยวกบั
ข้อมูลให้มากพอที่จะนาไปช่วย ในการตดั สินใจบางอย่างได้ จึงจาเป็นต้องทราบท้ังค่ากลางและค่าแสดง
การกระจายของข้อมลู ด้วย การวดั การกระจายของข้อมลู แบ่งออกไดเ้ ปน็ 2 วิธี คือ

(1) การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ (Absolute Variation) คือ การวัดการกระจาย ของข้อมลู เพียงชุดเดียว
เพือ่ ดูว่าในข้อมลู ชุดน้ันแต่ละค่ามีความแตกต่างกนั มากหรือนอ้ ยเพียงใด การวดั การกระจายสัมบรู ณ์ทีน่ ิยม
ใช้กนั อยู่มี 4 ชนิด คือ

1. พิสัย (range)
2. สว่ นเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ (quartile deviation)
3. สว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี (mean deviation หรือ average deviation)
4. สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (standard deviation)

(2) การวัดการกระจายสมั พทั ธ์ (Relative deviation) คือ การหาค่าเพอ่ื เปรยี บเทียบ การกระจาย
ระหว่างข้อมลู มากกว่า 1 ชดุ โดยใช้อัตราสว่ น เช่น อตั ราสว่ นระหว่างค่าการกระจายสมั บูรณ์กบั ค่ากลาง
ของข้อมลู ชดุ นั้น ๆ การวัดการกระจายสัมพทั ธ์ของข้อมลู แต่ละชดุ เพื่อนาไปใช้ในการเปรยี บเทียบการ
กระจายของข้อมูลระหว่างชดุ มีอยู่ 4 ชนิด คือ

1. สมั ประสทิ ธิข์ องพสิ ัย (coefficient of range)
2. สมั ประสทิ ธิข์ องส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (coefficient of quartile deviation)
3. สัมประสทิ ธิข์ องส่วนเบี่ยงเบนเฉลย่ี (coefficient of average deviation)
4. สัมประสทิ ธิ์ของความแปรผัน (coefficient of variation)

สถิติม.5

38

การวดั การกระจายสมั บูรณ์

1. พสิ ัย (Range) คือ ค่าที่ใช้วดั กระจายที่ได้จากผลต่างระหว่างข้อมลู ท่มี ีค่าสูงสุด และข้อมลู ทีม่ คี ่าตา่ สดุ

กรณีท่ี 1 : ขอ้ มูลท่ีไม่ไดจ้ ัดเป็นหมวดหมู่ ถ้า X1 , X2 , X3, …, Xn เปน็ ค่าของข้อมูลชดุ หนง่ึ ทีไม่ไดแ้ จกแจง
ความถี่

พิสัย = Xmax– Xmin เมื่อ Xmax เปน็ ค่าสูงสุด
Xmin เป็นค่าตา่ สุด

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาพิสัยของ 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 5, 6, 7, 11, 15, 16, 17, 5, 8, 5, 11

วิธีทา พิสยั = Xmax– Xmin
= 17 - 5

ดงั นั้น พิสยั = 12

กรณที ี่ 2 : ข้อมลู ทีจ่ ดั เปน็ หมวดหมู่ ถ้ากาหนดข้อมลู ทีจ่ ัดเปน็ หมวดหมู่ แตล่ ะอันตรภาคช้ันไม่
จาเปน็ ต้องมี ความกว้างเท่ากัน แตต่ ้องไม่เปน็ อนั ตรภาคช้ันเปิด แล้ว

พิสยั = Umax – Lmin เมื่อ Umax เป็นขอบบนของอนั ตรภาคชนั ้ ท่ีมีคา่ สงู สดุ
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพิสยั ของข้อมลู ต่อไปนี้ Lmin เป็ นขอบลา่ งของอนั ตรภาคชนั ้ ทมี่ ีคา่ ต่าสดุ

ข้อมลู จานวน วิธีทา พิสยั = Umax – Lmin
21 – 30 7 ดงั นั้น = 70.5 - 20.5
31 – 40 3 50
41 – 50 11 พิสยั =
51 – 60 9
61 - 70 5

การวดั การกระจายโดยใช้พิสัยนีเ้ ปน็ วิธวี ดั การกระจายอยา่ งคร่าว ๆ เพราะว่าค่าทีไ่ ด้ หามาจากค่า
ของข้อมูลเพียงสองค่าเท่าน้ัน ค่าอื่น ๆ ของข้อมลู ไม่ไดน้ ามาใช้ในการคานวณหาพิสัยเลย

ดังนั้น ถ้าค่าของข้อมูลค่าใดค่าหนึง่ มคี ่ามากหรือนอ้ ยผิดปกติจากค่าของข้อมลู อืน่ ๆ กจ็ ะทาให้พิสัย
มีค่ามากเกินความเป็นจริง

สถิติม.5

39

2. ส่วนเบีย่ งเบนเฉลีย่ (mean deviation หรอื average deviation) คือ ค่าทีใ่ ช้วดั การกระจายของ
ข้อมูลทีไ่ ดจ้ ากการเฉลี่ยค่าสัมบรู ณ์ ของความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่าจากค่ากลาง ของ
ข้อมูลชดุ นั้น ค่ากลางที่ใช้อาจเป็นค่าเฉลีย่ เลขคณิตหรือ มธั ยฐานกไ็ ด้ แตส่ ว่ นมากนิยมใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ใช้สัญลกั ษณ์ M.D. แทน สว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี

กรณที ี่ 1 : การหาสว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของข้อมลู ที่ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่
ถ้า x1 , x2 , x3 , … , xn เป็นข้อมลู ตวั อย่าง n จานวน และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น แล้ว ̅

M.D. = | ̅| | ̅| | ̅| | ̅| หรือ M.D. = ∑ | ̅|

ตวั อย่างที่ 3 จงหาสว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี ของข้อมลู ต่อไปนี้ 12 15 14 19 18 15 20 15 20 12 |
วิธีทา

ค่าเฉลีย่ เลขคณิต =
= 16

M.D. = ∑ | ̅|

= | || || || || || || || || ||
= | | || | | || || | | || | | || | |
=
= 2.3
ดังนั้น สว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี ของข้อมลู นี้ เท่ากับ 2.3

กรณที ี่ 2 : การหาสว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถีแ่ ลว้
ถ้า x1, x2 , x3 , … , xk เปน็ ค่าหรือค่าจดุ กึ่งกลางของอนั ตรภาคชั้นต่างๆ k ช้ัน ซึง่ มคี วามถี่ f1 , f2 , f3 , … , fk
ตามลาดบั n เปน็ จานวนขอ้ มูลตัวอย่างทั้งหมด และมีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเปน็ แล้ว ̅

M.D. = | ̅| | ̅| | ̅| | ̅| หรือ M.D. = ∑ | ̅|

เมือ่ k แทน จานวนอนั ตรภาคช้ัน
fi แทน ความถี่ของอนั ตรภาคช้ันที่ i
xi แทน จดุ กึง่ กลางของชั้นที่ i

สถิติม.5

40

ตัวอยา่ งที่ 4 ข้อมูลต่อไปนีเ้ ปน็ น้าหนกั ของคนจานวน 100 คน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
วิธีทา น้าหนัก จานวน(คน) (fi)
41-50 15
51-60 30
61-70 20
71-80 35
รวม 100

น้าหนกั จานวน(คน) (fi) จุดกึ่งกลางช้ัน (xi) 682.5 | ̅| | ̅|
41-50 15 45.5 1,665
51-60 30 55.5 1,310 17.5 262.5
61-70 20 65.5 2,642.5 7.5 225
71-80 35 75.5 6,300 2.5 50
รวม () 100 12.5 437.5
975

̅= = 63
∑ | ̅|
M.D. =

=

ดงั นนั้ M.D. = 9.75

คุณสมบัติของสว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ย
1. สว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี ของข้อมลู ใดจะต้องเป็นจานวนจริงบวกหรือศูนย์เท่าน้ัน
2. สว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี จะเท่ากบั ศนู ย์ ก็ต่อเมือ่ ค่าทุกค่าในข้อมลู เท่ากนั และเท่ากับค่าเฉล่ยี เลขคณิตของ
ข้อมูลนั้น
3. ถ้านาจานวนจริง b ไปบวกกบั ทุกค่าในข้อมลู หนึง่ แลว้ สว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี ของข้อมูลใหม่จะเท่ากับสว่ น
เบีย่ งเบนเฉลย่ี ของข้อมูลเดมิ
4. ถ้านาจานวนจริง a ไปคณู กับทกุ ค่าในข้อมูลหนึง่ แล้ว สว่ นเบีย่ งเบนเฉล่ยี ของข้อมูลใหม่จะเท่ากับ |a| เท่า
ของส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ยี เดมิ

สถิติม.5

41

3. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ คือ ค่าที่ใช้วดั การกระจายที่หาได้จากครึ่งหนึ่งของผลต่าง ระหว่างควอร์ไทล์
ทีส่ าม (Q3) และ ควอร์ไทลท์ ีห่ นึง่ (Q1) จะใช้สัญลกั ษณ์ Q.D. แทน สว่ นเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ ดังนั้น

Q.D. =

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาสว่ นเบีย่ งเบนควอไทล์ของข้อมลู ในข้อต่อไปนี้ 15 16 11 18 25 20 22
วิธีทา เรียงลาดบั ขอ้ มูล 11 15 16 18 20 22 25

ตาแหน่ง Q3 = = 6 ดังน้ัน Q3 = 22

ตาแหน่ง Q1 = = 2 ดังนัน้ Q1 = 15

Q.D. =

=
ดังน้นั Q.D. = 3.5

สว่ นดีของส่วนเบ่ยี งเบนควอรไ์ ทล์
1. ในกรณีท่คี า่ สงู สุดมีค่ามากผิดปกติ หรือคา่ ต่าสุดมคี า่ น้อยผิดปกติ (ซงึ่ มผี ลตอ่ พิสัย) จะไม่มผี ลตอ่ ส่วนเบย่ี งเบน

ควอรไ์ ทล์ เพราะการค่านวณเราตดั ค่าเหล่าน้อี อกไปแลว้
2. ในกรณีขอ้ มูลเปน็ แบบอันตรภาคช้ัน และอันตรภาคชั้นแรก หรืออันตรภาคช้นั สุดท้ายเปน็ อนั ตรภาคช้นั เปดิ เรา

สามารถค่านวณหาสว่ นเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์ได้ เพราะการคา่ นวณหา ส่วนเบ่ยี งเบนควอรไ์ ทล์ จะไม่เกยี่ วขอ้ งกับ
อนั ตรภาคช้ันแรก และอันตรภาคชั้นสดุ ทา้ ย (ซ่ึงพิสยั ทา่ ไมไ่ ด)้

สว่ นเสียของสว่ นเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์
เปน็ ค่าทีใ่ ชก้ ารวัดการกระจายของข้อมูลยังไม่ละเอียดพอ เพราะการค่านวณหา ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

ไม่ไดใ้ ชค้ ่าทุกค่าในขอ้ มลู เพียงแต่ใช้คา่ ทใี่ กลเ้ คียงกับ หรอื เท่ากบั Q1 และ Q3 มาค่านวณเท่านน้ั

สถิติม.5

42

แผนภาพกลอ่ ง (box-plot) แสดงการกระจายของข้อมูล
กระจายของข้อมลู โดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานควอไทล์อาศยั ค่าของ Q1 และ Q3 เพื่อนามาหา

ระยะห่างแลว้ นาค่าครึ่งหนึง่ ของระยะห่างดังกล่าวมาเป็นตวั วดั การกระจายของข้อมูล สามารถเขียนเปน็
แผนภาพที่เรียกว่า แผนภาพกล่อง ได้ดังนี้

แผนภาพกล่อง เปน็ แผนภาพทีใ่ ช้สรปุ ลกั ษณะของข้อมลู โดยใช้ค่าที่คานวณได้ในข้อมูล เช่น ควอไทล์
มาสร้างแผนภาพนี้ ดังน้ันแผนภาพกล่องจะแสดงลักษณะทีส่ าคัญของข้อมลู ชุดน้ันๆ เช่น ค่ากลาง
ค่าการกระจาย ลกั ษณะการแจกแจงข้อมลู

สว่ นประกอบของแผนภาพกล่อง

1. กล่องบรรจุ 50% ของข้อมลู ทีอ่ ยกู่ ึ่งกลาง
2. ขอบลา่ ง ของกล่องเปน็ ค่าควอไทล์ที่ 1 (Q1)

ขอบบน ของกล่องเป็น ค่าควอไทล์ที่ 3 (Q3)
มธั ยฐานจะอยู่ระหว่างขอบลา่ งและขอบบน
3. หนวดแมว(Whisker) คือ ความยาวจากขอบ
ลา่ งไปยังค่านอ้ ยสดุ หรือความยาวจากขอบบน
ไปยังค่ามากสดุ

ตัวอย่างที่ 6 แผนภาพกล่องในรูปต่อไปนี้ แสดงการกระจายของข้อมูลที่เป็นคะแนนสอบวิชาเดียวกัน
ของนักเรยี น 2 ห้อง จงอธิบายการเปรยี บเทียบการกระจายของข้อมูลทั้งสองชดุ

1) มัธยฐาน ห้องที่ 1 คือ 45
2) มธั ยฐาน ห้องที่ 2 คือ 45
3) พิสยั ของห้องที่ 1 คือ 60
4) พิสยั ของห้องที่ 2 คือ 80
5) สว่ นเบีย่ งเบนควอไทล์ของห้องที่ 1 คือ 17.5
6) สว่ นเบีย่ งเบนควอไทล์ของห้องที่ 2 คือ 17.5

สถิติม.5

43

ตวั อยา่ งที่ 7 พิจารณาการกระจายของข้อมูลทง้ั สองชดุ ซึ่งเปน็ การสอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทย
ของนกั เรยี น จานวน 200 คน มีคะแนนเตม็ แต่ละวิชา 100 คะแนน โดยใช้แผนภาพกล่องตอ่ ไปนี้

1) ข้อมลู ท้ังสองชุดมีมธั ยฐานและการกระจายแตกต่างกันหรือไม่
 ข้อมลู ท้ังสองชุดมี มธั ยฐาน เท่ากัน แตม่ กี ารกระจายทีแ่ ตกต่างกัน

2) คะแนนของวิชาคณิตศาสตร์และคะแนนวิชาภาษาไทย วิชาใดการกระจายมากกว่ากนั
 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ มีการกระจายมากกว่า

3) พิสัยของคะแนนสอบแตล่ ะวิชาเปน็ เท่าไร
 พิสยั ของวิชาคณิตศาสตร์ คือ 70 และ พิสัยของวิชาภาษาไทย คือ 40

4) จานวนนกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ช่วง 15-30 คะแนน มีก่คี น มากกวา่ จานวนนกั เรยี น
ที่ไดค้ ะแนนสอบวิชาภาษาไทยในช่วง 25-30 คะแนน หรือไม่
 นกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ช่วง 15-30 คะแนน มีจานวน 50 คน
และนักเรยี นทีไ่ ดค้ ะแนนสอบวิชาภาษาไทยในช่วง 25-30 คะแนน มีจานวน 50 คน ซึง่ เทา่ กัน

5) จานวนนักเรียนที่ไดค้ ะแนนวิชาคณิตศาสตร์ และวิชาภาษาไทย น้อยกว่าหรือเท่ากบั 30 คะแนน
มีจานวนก่คี น
 นกั เรยี นที่สอบได้คะแนน น้อยกว่าหรือเท่ากบั 30 คะแนน วิชาคณิตศาสตร์ มีจานวน 100 คน
และ วิชาภาษาไทย มีจานวน 100 คน เท่ากัน

6) จานวนนักเรยี นที่ได้คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ช่วง 0-55 คะแนน มีจานวนมากกว่า นกั เรยี นที่ได้
คะแนนสอบวิชาภาษาไทย ช่วง 10-50 คะแนน จริงหรือไม่
ไมจ่ ริง เนือ่ งจาก จานวนนักเรยี นที่ไดค้ ะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ช่วง 0-55 คะแนน
มีจานวน 150 คน แต่ นกั เรยี นทีไ่ ดค้ ะแนนสอบวิชาภาษาไทย ช่วง 10-50 คะแนน
มีจานวน 200 คน

สถิติม.5

44

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation)
การวัดการกระจายของข้อมูลโดยใช้สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน เปน็ วิธกี ารวดั การกระจายที่ใช้ข้อมลู

ทุกค่ามาคานวณ การหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู หาได้โดยใช้สูตรดังนี้
ถ้า X1 , X2 , X3, …, XN เปน็ ข้อมลู N เปน็ จานวนของประชากร และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น แล้ว

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากร คือ N
สญั ลกั ษณ์ อ่านว่า “ซิกมา”
(Xi  )2

= i1

N

และในกรณีที่ขอ้ มูลนั้นเป็นข้อมลู ของตวั อย่าง จะใช้สญั ลักษณ์ s หรือ S.D. หรือ SD แทน

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั อย่าง คือ n

(Xi  X)2
S = i1

n 1

เมือ่ n เปน็ จานวนขอ้ มลู ของตัวอย่าง และ เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง

ความแปรปรวน(Variance) เปน็ กาลงั ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ 2 สาหรบั ความแปรปรวนของข้อมูลของประชากร

และ s2 สาหรับความแปรปรวนของข้อมูลของตวั อย่าง

คุณสมบตั ิของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน
1. สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู ใดจะต้องเปน็ จานวนจริงบวกหรือศูนย์เท่านั้น
2. สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับศนู ย์ ก็ต่อเมื่อ ค่าทกุ ค่าในข้อมูลเท่ากันและเท่ากบั ค่าเฉล่ยี เลขคณิต
ของข้อมลู น้ัน
3. ถ้านาจานวนจริง b ไปบวกกบั ทุกค่าในข้อมลู หนึง่ แลว้ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลใหม่จะเท่ากบั
สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเดมิ
4. ถ้านาจานวนจริง a ไปคณู กบั ทุกค่าในข้อมูลหนึ่ง แล้ว สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู ใหม่จะเท่ากบั |a|
เท่าของส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเดมิ
5. สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานมีสมบัติทีส่ าคญั ดงั นี้

5.1) สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานมีหน่วยเดยี วกบั ค่าของข้อมูล
5.2) จากสูตรการคานวณสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้าเปล่ยี นค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น
ค่ากลางแบบอืน่ จะได้ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานทีม่ ากกว่าเดมิ

สถิติม.5

45

ตวั อย่างที่ 8 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายขุ องบตุ รในครอบครวั หนึง่ ดังนี้ 7, 9, 11,15, 18

วิธีทา = = = 12

จาก s = n

(Xi  X )2

i1

n 1

หาค่า 5  X ) และ 5 ได้ดงั นี้

(Xi (Xi  X )2
i1 i1

Xi Xi – (Xi – )2
7 –5 (–5)2 = (–5) (–5) = 25 จะได้ 5 (Xi  X )2 =
i1 80
9 –3 (–3)2 = (–3) (–3) = 9 =
1 –1 (–1)2 = (–1) (–1) = 1 s √

15 3 (3)2 = (3) (3) = 9 = √
18 6 (6)2 = (6) (6) = 36
4.47
รวม 0 80

ดังน้ัน สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของอายขุ องบตุ รในครอบครัวนี้ ประมาณ 4 ปี 6 เดอื น

ตวั อยา่ งที่ 9 อณุ หภูมิในหมู่บ้านแห่งหนึ่งในภาคเหนือของประเทศซึ่งวดั ทุกวนั ที่1 ของทุก ๆเดอื นในปีทีผ่ ่านมาเปน็

เดอื น ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.
อุณหภูมิ (°C) 2 6 10 24 23 23 22 21 21 20 14 6

จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน ของข้อมูลชดุ นี้

วิธีทา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต =

=
= 16

หาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานได้ดงั นี้

12 = (2 – 16)2 + (6 – 16)2 + (10 – 16)2 + (24 – 16)2+ … +(14 – 16)2 + (6 – 16)2

(Xi  X )2
i 1
= (– 14)2 + (– 10)2 + (– 6)2 + 82 + 72 + 72 + 62 + 52 + 52 + 42 + (– 2)2 + (– 10)2

= 700

สถิติม.5