คนิต_clone

ความน่าจะเป็น
วชิ าคณิตศาสตร์

การทดลองสมุ่ ( random experiment ) คือการทดลองท่ีไม่สามารถทานาย
ผลลพั ธไ์ ดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง

ตวั อยา่ ง การโยนเหรยี ญขนึ้ ไปในอากาศ ถือวา่ เป็นการทดลองสมุ่ เพราะยงั ไม่
ทราบว่าเหรยี ญจะหงายหวั หรอื กอ้ ย

การทอดลกู เตา๋ 1 ลกู ถือว่าเป็นการทดลองสมุ่ เพราะยงั ไมท่ ราบวา่ ลกู เตา๋ จะขนึ้
แตม้ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรอื 6

แซมเปิลสเปซ ( sample space ) คอื เซตของผลลพั ธท์ ่ีอาจเป็นไปไดท้ งั้ หมดของ
การทดลองสมุ่

ตวั อย่าง เชน่ ในการโยนเหรยี ญ 2 อนั 1 ครงั้ ถา้ มีผลลพั ธท์ ่ีเราสนใจคือ การขนึ้
หวั หรอื กอ้ ย

จะไดแ้ ซมเปิลสเปซ คือ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} เม่ือ (H,T) หมายถงึ เหรียญ
อนั ท่ี 1 ขนึ้ หวั และเหรยี ญอนั ท่ี 2 ขนึ้ กอ้ ย

ในการโยนเหรยี ญ 2 อนั 1 ครงั้ ถา้ มีผลลพั ธท์ ่ีเราสนใจคือ จานวนกอ้ ยท่ขี นึ้ จะได้
แซมเปิลสเปซ คอื { 0 , 1 , 2 }

เม่ือ 0 หมายถึงไมข่ นึ้ กอ้ ยทงั้ 2 อนั (น่นั คอื ขนึ้ หวั ทงั้ สองอนั )

1 หมายถงึ ขนึ้ กอ้ ยเพยี ง 1 อนั (ขนึ้ หวั 1 อนั )

2 หมายถงึ ขนึ้ กอ้ ยทงั้ 2 อนั

เหตกุ ารณ์ ( event ) คอื สบั เซตของแซมเปิลสเปซ

หลกั การหาความน่าจะเป็น

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซง่ึ แตล่ ะผลลพั ธใ์ น S มโี อกาสเกิดขนึ้ เทา่ ๆกนั E
เป็นสบั เซตของ S

ให้ P(E) เป็นสญั ลกั ษณแ์ ทน ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ E เราสามารถหา
P(E) ไดด้ งั นี้

ตวั อย่าง ความนา่ จะเป็นท่ี A เรยี งเป็นตวั แรก จากการเรยี งตวั อกั ษร 2 ตวั จาก
อกั ษร 3 ตวั คือ A , B และ C
S = { AB , BA , AC , CA , BC , CB }
E = { AB , AC }
P(E) =
น่นั คอื ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่ี A เรยี งเป็นตวั แรก =
E1 = { (2,4) }
E2 แทนเหตกุ ารณท์ ่ีหยิบไดล้ กู บอลซง่ึ ผลบวกของหมายเลขเป็นจานวนคู่
E2 = { (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }
E3 แทนเหตกุ ารณท์ ่ีหยบิ ไดล้ กู บอลซง่ึ ผลบวกของหมายเลขเป็นจานวนค่ี
E3 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }

E4 แทนเหตกุ ารณท์ ่ีหยบิ ไดล้ กู บอลซ่งึ หมายเลขเรยี งกนั
E4 = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }
E1 U E2 = { (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }
P(E1 U E2) =
E1 E2 = { (2,4) }
P(E1 E2) =
E3 U E4 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
P( EE3 E4 = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }
P( E3 E4) =
E1 - E2 = { }
P(E1 - E2) = 0
E2 - E1 = { (1,3) , (1,5) , (3,5) }
P(E2 - E1 ) =
E4 ' = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5)}
P(E4' ) =
E1' E3' = ( E1U E3 )'

E1U E 3 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
(E1U E3)'= { (1,3) , (1,5) , (3,5) }
ดงั นนั้ E1' E3' = { (1,3) , (1,5) , (3,5) }
P(E1'E3') =3 U E4) = ตวั อยา่ ง จะจดั นกั เรยี น 10 คน ซง่ึ มีนายสาทศิ กบั
นางสาวสดุ าอย่ดู ว้ ย ความน่าจะเป็นท่ี
ก. นายสาทศิ กบั นางสาวสดุ าจะน่งั ตดิ กนั
ข. นายสาทิศกบั นางสาวสดุ าจะน่งั แยกกนั
ค. นายสาทศิ อย่หู วั แถวและนางสาวสดุ าอยทู่ า้ ยแถว
1) หา n(S) ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ จดั ได้ 10! วิธี
หา n(E) Eก นายสาทิศกบั นางสาวสดุ าจะน่งั ติดกนั จดั ได้ ( 9! X 2! )
P(Eก) = = ดงั นนั้ ความน่าจะเป็นท่ีนายสาทิศกบั นางสาวสดุ าจะน่งั ตดิ กนั
เท่ากบั
2) หา n(E) ให้ Eข นายสาทศิ กบั นางสาวสดุ าจะน่งั แยกกนั จดั ได้ 10! - (9! 2!)
วิธี
P(Eข) = = 1 - =
ดงั นนั้ ความน่าจะเป็นท่ีนายสาทศิ กบั นางสาวสดุ าจะน่งั แยกกนั เทา่ กบั

3) หา n(E) ให้ Eค นายสาทศิ อยหู่ วั แถวนางสาวสดุ าทา้ ยแถว จดั ได้ 1 X 8! X 1
วิธี
P(Eค) = =
ดงั นนั้ ความน่าจะเป็นท่ีนายสาทศิ อยหู่ วั แถวนางสาวสดุ าทา้ ยแถว เท่ตวั อยา่ ง ถงุ
ใบหนง่ึ บรรจลุ กู บอล 10 ลกู เป็นสีแดง 5 ลกู สนี า้ เงิน 3 ลกู สเี ขียว 2 ลกู ถา้ หยิบ
ลกู บอลอยา่ งสมุ่ ออกมา 2 ลกู
จงหาความนา่ จะเป็นท่ีลกู บอลทงั้ 2 ลกู มสี ีเหมือนกนั
ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตกุ ารณท์ ่ีลกู บอลทงั้ 2 ลกู มีสเี หมอื นกนั
1) หา n(S) คือหาจานวนวิธีท่ีจะเกิดขนึ้ ไดท้ งั้ หมดจากการหยิบบอล 2 ลกู จาก
10 ลกู
จานวนวิธีท่ีจะเกิดได้ = = 45 วิธี
2) หา n(E) E เป็นเหตกุ ารณท์ ่ีลกู บอลทงั้ 2 ลกู มสี ีเหมือนกนั
กรณีท่ี 1 สีแดงทงั้ คู่ จานวนวิธี = = 10 วธิ ี
กรณีท่ี 2 สนี า้ เงนิ ทงั้ คู่ จานวนวิธี = = 3 วธิ ี
กรณีท่ี 3 สเี ขียวทงั้ คู่ จานวนวิธี = 1 วธิ ี
n(E) จานวนวิธีทงั้ หมดท่ลี กู บอลทงั้ 2 ลกู มสี ีเหมือนกัน = 10 + 3 + 1 = 14 วธิ ี

ความนา่ จะเป็นท่ี P(E) = ากบั กฎสาคญั บางประการของความน่าจะเป็น
ให้ A เป็นเหตกุ ารณใ์ ดๆ และ S เป็นแซมเปิลสเปช สมบตั ิความน่าจะเป็นของ A
ดงั นี้
1. 0 P(A) 1
2. ถา้ A = { } แลว้ P(A) = 0 น่นั คือ P( { } ) = 0
3. ถา้ A = S แลว้ P(A) = 1 น่นั คือ P( S ) = 1
สมบตั ิของความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ 2 เหตกุ ารณ์
ให้ A และ B เป็นเหตกุ ารณ์ 2 เหตกุ ารณ์ ใน S แซมเปิลสเปซ
1. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)
2. P(A U B) = P(A) + P(B) เม่ือ A B = { }
3. P(A) = 1 - P(A')
4. P(A-B) = P(A) - P(Aตวั อยา่ ง กาหนดให้ P(A) = 0.6 P(B') = 0.4 และ P(A -
B) = 0.2 จงหา P(A ' B')
จาก P(B' ) = 0.4
จะไดว้ ่า P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0.4 = 0.6
จาก P(A) = 0.6 และ P(A - B) = 0.2

เน่ืองจาก P(A) = P(A - B) + P(A B)
( ถา้ นกั เรยี นไมเ่ ขา้ ใจใหเ้ ขียนแผนภาพทางดา้ นเซตดู )
0.6 = 0.2 + P(A B)
P(A B) = 0.4
เน่ืองจาก P(A' B') = P( A U B)'
= 1 - P(A U B)
จากสมบตั คิ วามนา่ จะเป็น P(A' B') = 1 - [ P(A) + P(B) - P(A B) ]
= 1 - [ 0.6 + 0.6 - 0.4] = 1 - 0.8 = 0.2ตวั อยา่ ง จากการสารวจในหม่บู า้ นหน่งึ
ไดผ้ ลวา่ ความน่าจะเป็นของครอบครวั ท่ีทาสวนยางเทา่ กบั 0.5
ความนา่ จะเป็นของครอบครวั ท่ีขดุ บอ่ เลยี้ งปลาเทา่ กบั 0.7 และความนา่ จะเป็น
ของครอบครวั ท่ีทาสวนยาง
และมบี อ่ เลยี้ งปลาเทา่ กบั 0.3 ถา้ เลือกครอบครวั ขนึ้ มา 1 ครอบครวั อยา่ งส่มุ จง
หาความน่าจะเป็นของ
ครอบครวั ทาสวยยางหรอื เลยี้ งปลา
ให้ A เป็นเหตกุ ารณท์ ่ีครอบครวั ทาสวนยาง ดงั นนั้ P(A) = 0.5
B เป็นเหตกุ ารณท์ ่ีครอบครวั ขดุ บอ่ เลยี้ งปลา ดงั นนั้ P(B) = 0.7

A B เป็นเหตกุ ารณท์ ่ีครอบครวั ทาสวนยางและขดุ บอ่ เลยี้ งปลา
P(A B) = 0.3
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
= 0.5 + 0.7 - 0.3 = 0.9
ความนา่ จะเป็นของครอบครวั ทาสวยยางหรือเลยี้ งปลา เท่ากบั 0.ความน่าจะ
เป็นแบบเง่ือนไข
บางครงั้ เราทราบวา่ เหตกุ ารณห์ นง่ึ เกิดขนึ้ เราตอ้ งการหาความน่าจะเป็นท่ีอกี
เหตกุ ารณห์ น่งึ เกิดขนึ้ เรยี กความน่าจะเป็นแบบนีว้ ่า ความน่าจะเป็นแบบ
เง่อื นไข
ให้ A และ B เป็นเหตกุ ารณ์ โดยท่ี P(B) > 0 เขียน P(A/B) แทนความนา่ จะเป็น
ของ A เม่อื กาหนดวา่ เหตกุ ารณ์ B เกิดขนึ้ แลว้
และให้ P(A/B) =
ถา้ P(B) = 0 ให้ P(A/B) = 09ตวั อยา่ ง ในการทอดลกู เตา๋ 1 ลกู จงหาความนา่ จะ
เป็นท่ีจะขนึ้ หนา้ นอ้ ยกว่า 4 ถา้ รูแ้ ลว้ วา่ ขนึ้ หนา้ เลขค่ี
ให้ B แทนเหตกุ ารณท์ ่ีลกู เตา๋ ขนึ้ หนา้ เลขค่ี
A แทนเหตกุ ารณท์ ่ีลกู เตา๋ ขนึ้ หนา้ นอ้ ยกว่า 4
A B แทนเหตกุ ารณท์ ่ีลกู เตา๋ ขนึ้ หนา้ เลขค่ี และนอ้ ยกวา่ 4

P(B) = =
เน่ืองจากมี 1 และ 3 เทา่ นนั้ ท่ีเป็นเลขค่ี และนอ้ ยกว่า 4
ดงั นนั้ P(A B) =
เพราะฉะนนั้ P(A/B) ===ตวั อยา่ ง กลอ่ งใบหน่งึ มีลกู หินสขี าว 3 ใบ และสีดา 2
ใบ ถา้ หยบิ ลกู แรกแลว้ ไม่ใสค่ ืน จงหาความนา่ จะเป็นท่ีจะหยบิ ลกู หินสีดาทงั้ สอง
ลกู
วิธีท่ี 1 หยบิ ครงั้ แรกมวี ิธีเลือกได้ 5 วธิ ี ครงั้ ท่ีสองมีวิธีเลือก 4 วธิ ี
ดงั นนั้ มีวธิ ีเลอื กทงั้ หมด 5 X 4 = 20 วิธี
หยบิ ลกู หนิ สดี าครงั้ แรกมี 2 วธิ ี ครงั้ ท่ีสองมี 1 วธิ ี
ดงั นนั้ มีวิธีเลือกทงั้ หมด 2 X 1 = 2 วิธี
ความนา่ จะเป็นท่ีจะหยิบลกู หนิ ดาทงั้ คู่ โดยท่ีหยิบครงั้ แรกแลว้ ไมใ่ สค่ นื เทา่ กบั
วิธีท่ี 2 ให้ A เป็นเหตกุ ารณห์ ยบิ ลกู หินลกู แรกสีดา และ
B เป็นเหตกุ ารณห์ ยิบลกู หนิ ลกู ท่ีสองสีดา
P(A) = =
P(B/A) = =
ดงั นนั้ P( B) = P(A) P(B/A)

= () () =ตวั อยา่ ง ในการทอดลกู เตา๋ 2 ครงั้ จงหาความนา่ จะเป็นท่ีจะขนึ้ 4 , 5
หรือ 6 ในการทอดครงั้ แรกและขนึ้ 1 , 2, 3 หรอื 4 ในการทอดครงั้ ท่ี 2
วธิ ีท่ี 1 ให้ A เป็นเหตกุ ารณ์ ซง่ึ ทอดลกู เตา๋ ครงั้ แรก ขนึ้ 4 , 5 หรอื 6 B เป็น
เหตกุ ารณ์ ซง่ึ ทอดลกู เตา๋ ครงั้ ท่ีสอง ขนึ้ 1 , 2, 3 หรอื 4
ทอดครงั้ แรกมหี นา้ ท่ีจะเกิดได้ 6 วธิ ี ทอดครงั้ ท่ีสองมหี นา้ ท่ีจะเกิดได้ 6 วิธี
ดงั นนั้ มีวิธีเกิดไดท้ งั้ หมด 6 X 6 = 36 วธิ ี
ทอดครงั้ แรกไดเ้ หตกุ ารณ์ A มี 3 วธิ ี ทอดครงั้ ท่ีสองไดเ้ หตกุ ารณ์ B มี 4 วธิ ี
ดงั นนั้ ทอดไดเ้ หตกุ ารณ์ A และ B มี 3 X 4 = 12 วธิ ี
เพราะฉะนนั้ P(A B) = =
วิธีท่ี 2 P(A) =
P(B/A) = P(B) =
P(A B) = P(A) P(B/A)
= () () =ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่ีเป็นอสิ ระตอ่ กนั
พิจารณาในการโยนเหรยี ญ 1 อนั 2 ครงั้ จะเห็นวา่ การท่ีการโยนเหรยี ญครงั้ หน่งึ
ขนึ้ หวั หรอื กอ้ ย ไม่มผี ลตอ่ การขนึ้ หวั หรอื กอ้ ยในการโยนครงั้ ท่ีสอง
เรากลา่ ววา่ การโยนทงั้ สองครงั้ เป็นอสิ ระตอ่ กนั

นยิ าม เหตกุ ารณ์ A และเหตกุ ารณ์ B เป็นอสิ ระตอ่ กนั กต็ อ่ เม่อื P(A B) = P(A)
P(B)
ทฤษฎบี ท เหตกุ ารณ์ A และเหตกุ ารณ์ B เป็นอิสระตอ่ กนั ก็ตอ่ เม่อื P(A/B) =
P(A)
เหตกุ ารณ์ A และเหตกุ ารณ์ B เป็นอิสระตอ่ กนั กต็ อ่ เม่อื P(B/A) = P(B)ตวั อยา่ ง
โยนลกู เตา๋ 2 ลกู 2 ครงั้ จงหาความจะเป็นท่ีผลรวมของแตม้ แตล่ ะครงั้ เทา่ กบั 5
ให้ A แทนเหตกุ ารณท์ ่ีผลรวมของแตม้ ในการโยนครงั้ ท่ี 1 เป็น 5
B แทนเหตกุ ารณท์ ่ีผลรวมของแตม้ ในการโยนครงั้ ท่ี 2 เป็น 5
จะได้ P(A) == และ P(B) ==
เน่ืองจากการโยนลกู เตา๋ แตล่ ะครงั้ เป็นอสิ ระตอ่ กนั
ดงั นนั้ ความน่าจะเป็นท่ีผลรวมของแตม้ แตล่ ะครงั้ เป็น 5 เท่ากบั
P(A B) = P(A) P(B)
= X =ตวั อย่าง ในการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ และลกู เตา๋ 1 ลกู พรอ้ มกนั จงหา
ความน่าจะเป็นท่ีเหรยี ญจะขนึ้ หวั และลกู เตา๋ ขนึ้ แตม้ นอ้ ยกว่า 3
ให้ A แทนเหตกุ ารณท์ ่ีเหรยี ญขนึ้ หวั
B แทนเหตกุ ารณท์ ่ีลกู เตา๋ ขนึ้ แตม้ นอ้ ยกว่า 3

จะได้ P(A) = และ P(B) = =

เน่ืองจากการขนึ้ ของเหรยี ญและของลกู เต๋าเป็นอิสระตอ่ กนั ดงั นนั้ P(A B) =
P(A) P(B)

= x=

เพราะฉะนนั้ ความน่าจะเป็นท่ีเหรยี ญจะขนึ้ หวั และลกู เตา๋ ขนึ้ แตม้ นอ้ ยกวา่ 3
เท่ากบั

จดั ทาโดย
นายศภุ ากร แกว้ งามประเสรฐิ
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี4เลขท6