ลิมิตของฟังก์ชั่น

สมุดเล่มเล็ก

ลิมิตของฟังก์ชัน

จัดทำโดย

นางสาว สโรชา กาญจนานุนักษ์
เลขที่ 39 ม.6/6

เสนอ

อาจารย์ ศุภลักษณ์ สุวรรณ์

ภาคเรียนที่1 ปี2565
โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา

ลิมิตของฟังก์ชั่น

1.ลิมิตของฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย หมายถึง x มีค่าเข้า
ใกล้ a แล้ว f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ L

y = f(x) ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง
ขณะที่ x เข้าใกล้จำนวนจริงใด ๆ เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น
ความหมายของการที่ x เข้าใกล้จำนวนจริง a ใดๆ เมื่อ x
เข้าใกล้ a โดยที่ x < a หมายความว่า x เข้าใกล้ a ทางด้าน
ซ้าย เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a ฟังก์ชัน f ใดๆ ที่มีโด
เมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริง เมื่อ x เข้า
ใกล้ a ทางด้านซ้ายแล้ว f(x) เข้าใกล้จำนวนจริง เรียก ว่า ลิ
มิตซ้ายของ f ที่ a เขียนแทนได้ว่า f(x) =

เมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่ x > a หมายความว่า xเข้าใกล้ a ทาง
ด้านขวา เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a ฟังก์ชัน f ใดๆ ที่มี
โดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริง เมื่อ x เข้า
ใกล้ a ทางด้านขวาแล้ว f(x) เข้าใกล้จำนวนจริง เรียก ว่า ลิ
มิตซ้ายของ f ที่ a เขียนแทนได้ว่า f(x) =

ลิมิตด้านเดียว

ลิมิตด้านเดียว (One-side limits)
ลิมิตซ้าย (left-hand limits)

กำหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจำนวนจริง กล่าว
ว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือก็
ต่อเมื่อมีจานวนจริง L ที่ทำให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้
L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือ เขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์

ลิมิตขวา (right-hand limits)
กำหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจำนวนจริง กล่าว
ว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวามือก็ต่อ
เมื่อมีจำนวนจริง L ที่ทำให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L
ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางขวามือ เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์

ลิมิตสองด้าน

เป็นการพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันทั้งทางซ้ายและ
ลิมิตทางขวา ของจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง นั่นคือ
ต้องการพิจารณาค่าของ f(x) ในขณะที่ x เข้าใกล้
a ซึ่งคำว่า “เข้าใกล้ a” หมายถึง เข้าใกล้ทั้งสอง
ด้าน คือ ด้านซ้ายมือของ a และด้านขวามือของ a

การหาลิมิตของฟังก์ชั่น

วิธีหา ค่าลิมิตของฟังก์ชัน

(1).เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x) ถ้าผลที่ได้เป็น
จำนวนจริงค่านั้นคือค่าลิมิต

(2).เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x)แล้วปรากฏผลออกมาใน
รูป

ให้พิจารณาลักษณะของฟังก์ชัน ดังนี้
(2.1) ถ้าสามารถแยก f(x) ออกเป็นผลคูณของ

ตัวประกอบได้ ก็ให้แยกแล้วขจัดตัวประกอบร่วมของเศษ
และส่วนออก หลังจากนั้นก็เอาค่า a ไปแทน x ถ้าผลที่ได้
เป็นจำนวนจริง ค่านั้นคือค่าลิมิต

(2.2) ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ เนื่องจาก f(x) มักอยู่
ในรูป ก็ให้นำคอนจูเกตคูณทั้งเศษและส่วน แล้วขจัด
ตัวประกอบที่ทำให้ส่วนเป็นศูนย์ออก หลังจากนั้นก็เอาค่า a
ไปแทน x ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริง ค่านั้นคือค่าลิมิต

f(x) คือ (3x + 1) โดยที่ x เข้าใกล้ 3 ในทางลบ แทนค่า x ด้วย
ค่าที่น้อยกว่า 3 แต่ใกล้เคียง 3 ดู เช่น 2.99… (แต่ตอน
คำนวณก็คิด
เป็น 3 ไปได้เลย เพราะ 2.99… มีค่าใกล้เคียง 3 มาก ๆ) เราจึง
ได้คำ
ตอบว่า ลิมิตทางลบ (ทางซ้าย) ของ (3x + 1) มีค่าเท่ากับ 10

แทน x ด้วยค่าที่ใกล้เคียงกับ 0 ในทางลบมาก ๆ เช่น -
0.000...1 เนื่องจากตัวส่วนมีค่าน้อยมาก ๆ ทำให้หารออกมา
แล้วได้
ตัวเลขที่เยอะสุด ๆ จนเราไม่รู้ว่ามันจะไปสิ้นสุดตรงไหน คำ

∞ตอบที่ได้

จึงเป็น -

การหาค่าลิมิตจากกราฟ

การหาค่าลิมิตจากกราฟ

จากกราฟ เมื่อเราพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x
เข้า
ใกล้ -1 เรา ต้องพิจารณาลิมิตทั้ง 2 ทาง ได้แก่ลิมิต
ทาง
ซ้าย และลิมิตทางขวา
เมื่อลองลากเส้นจากจุดไปยังแกน x และแกน y ก็
จะเห็น
ว่า เมื่อ x เข้าใกล้ -1 แล้ว f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ 4 ทั้ง
ทางซ้ายและทางขวา ดังนั้น ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x
เข้า
ใกล้ -1 จึงเท่ากับ 4 ทั้งในทางบวกและทางลบ

จากตัวอย่างที่ผ่านมาจุดที่ต้องการหาลิมิตเป็นกราฟ
ที่มีความต่อ
เนื่อง ลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้าใกล้ -1 จึงหาค่า
ได้

ลิมิตทางซ้าย เมื่อเราลองลากเส้นจากจุดไปยังแกน
x และแกน
y จะเห็นว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ในทางซ้าย f(x) จะมีค่า
เข้าใกล้ 4

ส่วนลิมิตทางขวา เมื่อเราลองลากเส้นดูจากจุดไปยัง
แกน x และแกน y ก็พบว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ใน
ทางขวา f(x) จะมีค่าเข้าใกล้กราฟในจุดนี้ไม่มีความ
ต่อเนื่อง ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางซ้าย

และทางขวาจึงมี

ค่าไม่เท่ากันลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง

โจทย์อีกหนึ่งรูปแบบมักมีสัดส่วนคะแนนเยอะเมื่อ
เทียบกับโจทย์ข้ออื่น ๆ ก็คือ “โจทย์ลิมิตของฟังก์ชัน
แยกช่วง” นั่นเอง ข้อสังเกตเวลาทำโจทย์ที่เป็น
ฟังก์ชันแยกช่วงแบบนี้ก็คือ “ให้ดูว่า x ที่โจทย์สนใจ

อยู่ในเงื่อนไขไหน จากนั้นให้เลือกใช้ฟังก์ชันที่ตรง

ตาม
เงื่อนไขมาแทนค่า x เพื่อหาคำตอบ”

จากโจทย์มีเงื่อนไขของ x มา 3 กรณี คือ
1. เมื่อ x มีค่าน้อยกว่า 2 ฟังก์ชันของ x จะเป็น 2 -
x2

2. เมื่อ x มีค่าเท่ากับ 2 ฟังก์ชันของ x จะเป็น 2
3. เมื่อ x มีค่ามากกว่า 2 ฟังก์ชันของ x จะเป็น x2 +
1

1.จากข้อแรก โจทย์ต้องการให้เราหาลิมิตของ

ฟังก์ชัน เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ -1 ใน
ทางขวา (ทางบวก) สิ่งแรกที่เราต้องทำก็คือ “สังเกต
ค่าที่ x เข้าใกล้” จะเห็นว่า x

ที่โจทย์สนใจมีค่าเข้าใกล้ -1 ซึ่งมีค่าน้ อยกว่า 2 ดัง

นั้นฟังก์ชันของเราจึงเป็น 2 -
x^2 เมื่อแทนค่า -0.99… ซึ่งเป็นค่าที่ใกล้เคียง -1

ในทางขวาลงไปในฟังก์ชัน จึงได้

คำตอบว่า ลิมิตของฟังก์ชัน 2 - x^2 เมื่อ x มีค่าเข้า
ใกล้ -1 ในทางขวามีค่าเท่ากับ

ข้อที่2 x ที่โจทย์สนใจมีค่าเข้าใกล้ 3 ซึ่ง 3 มีค่า

มากกว่า 2 ทำให้เราเลือก

ฟังก์ชัน x2 + 1 มาใช้ได้เลย จากนั้นจึงแทน x ด้วย
2.99… ซึ่งเป็นค่าที่เข้าใกล้

3 ทางซ้าย (ทางลบ) ทำให้ลิมิตของฟังก์ชัน x2 + 1

เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 3 ใน

ทางซ้ายมีค่าเท่ากับ 10

ากข้อสาม โจทย์ต้องการให้เราหาลิมิตของฟังก์ชัน
เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ใน
ทางซ้าย (ทางลบ) x ของเราจึงน้ อยกว่าสองอยู่นิด
หน่อย สมมติให้เป็น 1.99…

ซึ่ง 1.99… นั้นมีค่าน้ อยกว่า 2 เราจึงต้องเลือกใช้
ฟังก์ชัน 2 - x^2มาหาลิมิต
นั้นมีค่าใกล้เคียงกับ 2 มาก ๆ เราเลยประมาณว่า x
เป็น 2 ไปเลย จึงได้คำตอบ
ว่า ลิมิตของฟังก์ชัน 2 - x2 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ใน
ทางซ้ายมีค่าเท่ากับ -2

และในข้อสี่ x ที่โจทย์สนใจมีค่าเข้าใกล้ 2 ในทางขวา
(ทางบวก) ทำให้ x
มากกว่า 2 เราเลยหยิบฟังก์ชัน x2 + 1 มาใช้ได้ทันที
จากนั้นก็แทนค่า 2.00…
ซึ่งเป็นค่าที่เข้าใกล้ 2 (แต่มากกว่า 2 อยู่นิดหน่อย)
ลงไป จึงได้คำตอบว่าลิมิต
ของฟังก์ชันx2 + 1 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ในทางขวา
มีค่าเท่ากับ 5

สรุปได้ว่า

สังเกตว่าถึง x จะเข้าใกล้ค่าเดียวกัน แต่ลิมิตของ
ฟังก์ชันทางซ้ายและทางขวาอาจจะไม่เท่ากันก็ได้ ถ้า
เกิด
ลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและทางขวาไม่เท่ากัน จะ
เป็นฟังก์ชันที่หาค่าไม่ได้