เมทริกซ์

นางสาวภัทรภร คู่ธนาภรณ์ ม.4/2 เลขที่ 4

Matrix

อาจารย์เก่ง

What is Matrix

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (อังกฤษ: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่อง
บรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่
ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัวเราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเม
ทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิง
เส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

ในทางสถิติศาตร์ มีการใช้เมทริกซ์แบบสโตแคสติกในการอธิบายถึงชุด (Set) ของความน่า
จะเป็น อาทิ มีการประยุกต์ใช้ร่วมกับอัลกอริทึมแบบ PageRank ในการเรียงหน้าผลการ
ค้นหาในเว็บไซต์เสิร์จเอนจินอย่างGoogle ในการศึกษาแคลคูลัส มีการใช้แคลคูลัสเชิงเม
ทริกซ์ (Matrix calculus) ในการวิเคราะห์อนุพันธ์(Derivative) และฟังก์ชั่นเอกซ์โพเนน
เชียลในมิติที่อยู่สูงขึ้นไป (Higher dimension) นอกจากนั้นยังมีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ใน
การอธิบายระบบความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจ

1

ชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์จตุรัส (square matrix)

เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n
ยกเว้น n = 1

เมทริกซ์ทรานส์โพส (transpose matrix)

เป็นเมทริกซ์ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของ
เมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A ที่มีมิติ m×n จะเขียนแทนด้วย At
(บางครั้งอาจพบในรูปแบบ At , Atr, t A หรือ A′) ซึ่งจะมีมิติเป็น n×m (สลับกัน)

เมทริกซ์สมมาตร (symmetric matrix)

เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมบัติว่า ij a =ji a สำหรับทุกค่า i และ j นั้นคือ ถ้า A
เป็นเมทริกซ์สมมาตรจะtได้A = A

เมทริกซ์เสมือนสมมาตร (skew – symmetric matrix)

เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่มีสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทุกตัวและเป็นเมทริกซ์

ทสี่มมีมสามตบัรติวจ่าะไดa้ijA=t aij สำหรับทุกค่า i และ j นั่นคือถ้า A เป็นเมทริกซ์เสมือน
= -A

2

ชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ทแยงมุม (diagonal matrix)

เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่สมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็นจำนวนใดใด และสมาชิกนอก
แนวทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์

เมทริกซ์สเกลาร์ (scalar matrix)

เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากันทุกตัว

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix)

เป็นเมทริกซ์สเกลาร์ที่มีสมาชิกในเส้นทะแยงมุมหลักมีค่าเป็น 1 เท่ากันหมด
สัญลักษณ์ใช้ I แทน identity matrix

เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน (upper triangular matrix)

เป็นเมถีบที่มีสมาชิกใต้เส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ทุกตัว

เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านล่าง (lower triangular matrix)

เป็นเมจิกที่มีสมาชิกเหนือเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ทุกตัว

3

การดำเนิดการบน
เมทริกซ์

การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์จะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อมีขนาดเท่ากันเเละมีสมาชิกของเมทริกซ์ที่
ตำเเหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากับ

การบวก ลบเมทริกซ์

เมทริกซ์จะบวกลบกันได้ต่อเมื่อมีขนาดเท่ากัน เเละการบวกลบให้นำสมาชิก
ในตำแหน่งเดียวกันมาดำเนินการ

การคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์จะคูณกันได้ก้ต่อเมื่อ จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ตัวตั้งเท่ากับ
จำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวคูณ
ส่วนผลลัพธ์ของการคณู จะได้เมทริกซ์

4

การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์

ถ้าแถวและหลักของเมทริกซ์มีการสลับที่กัน กล่าวคือ แถวที่หนึ่งของเมทริกซ์เปลี่ยนไป

เป็นหลักที่หนึ่ง แถวที่สองของเมทริกซ์เปลี่ยนไปเป็นหลักที่สองทำเช่นนั้นไปเรื่อยๆ จน

กระทั่งแถวในเมทริกซ์ที่กำหนดให้หมดไป เมทริกซ์ใหม่ที่ได้เรียกว่า การสลับเปลี่ยนของเม

ทริกซ์ Tt

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนการสลับเปลี่ยนของเมทรijิกซ์ คือ A หรือ A นั่นคือ ถ้าa เป็นสมาชิก

แถT วที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ A แล้ว a นี่จะเป็นสมาชิกในแถว j เเละ หลักที่ i ของ

A ด้วย ไม่จำเป็นว่าเมทริกซ์ A ต้องเป็นเมทริกซ์จตุรัสจึงจะสลับที่ได้

ทฤษฎีบท

ถ้า k เป็นสเกลาร์ใดๆและ A B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติแล้วจะได้ว่า

1.[ AT ]T = A
2.[ A + B ] = AT + BT และ [ AT - BT ] = AT - BT
3.[ AB ]T = BT AT
4.[ kA ]T = kAT

5

อินเวอร์การคูณเมทริกซ์

นิยาม :

ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ และถ้า B เป็นเมทริกซ์ที่ซึ่ง AB = BA = nI
แล้วจะเรียก B ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของ A
ถ้าA หาอินเวอร์สการคูณไม่ได้ เรียก A ว่าเมทริกซ์เอกฐาน
ถ้าA หาอินเวอร์สการคูณได้ เรียก A ว่าเมทริกซ์ไม่ใช่เอกฐาน

ทฤษฎีบท

ถ้า B และ C เป็นอินเวอร์สการคูณของ A แล้ว B = C
ถ้า A = a โดยที่ a≠0 และอินเวอร์สการคูณของ A หาได้จาก A- = [—a1]

สมบัติการของอินเวอร์สของเมทริกซ์

ทฤษฎีบทกำหนด A B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติเดียวกันและมีอินเวอร์สการคูณ

6

Thank you!

PATTHARAPORN khutanaporn
4/2 no.4

7