SPLTV

MATERI AJAR BERBASIS PROBLEM BASED LEARNING
MATEMATIKA

MATERI : SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

NI NYOMAN AYU ARINA, S.Pd.,M.Pd.
201502619136

SMA NEGERI 11 DENPASAR
PPG DALAM JABATAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

TAHUN 2022

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

1. BENTUK UMUM 

a x + by + cz = p
d x + ey + fz  = q
g x + hy + iz = r

a, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q, r R 
a, d, g = koefisien dari x
b, e, h = koefisien dari y
c, f, i = koefisien dari z
p, q, r = konstanta
 x, y, z = variabel

2. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga v ariabel, antara lain :

Perhatikan SPLTV berikut !

      .................(1)
       ...............(2)
       .................(3)

Penyelesaian :

             Dari persamaan (1)
  , substitusikan nilai z kedalam

persamaan (2) dan (3)

Jika z di substitusikan ke persamaan (2)

           ..............................(4)

Jika z di substitusikan ke persamaan (3)

       ............................(5)

Persamaan (4) akan di ubah menjadi y=  substitusikan fungsi tersebut ke persamaan

(5)sehingga diperoleh :

    ()

Substitusikan nilai x = 2 ke persamaan (4) yang telah diubah sehingga diperoleh:

y= y =
y = 
 y =

Substitusikan nilai x =2 dan y = 3 ke persamaan (3)

     = 0 3(2) + 2(3)- 3z = 0
6 +6 -3z = 0
 z =4

Jadi, himpunan selesaiannya adalah {(2, 3, 4)}

Dari contoh penyelesaian di atas, apakah ada hal yang belum kalian pahami? Jika kalian sudah
paham kerjakanlah soal pada bagian Ayoo berlatih berikut!

Untuk melatih , ayo …. Kalian coba yang lain
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode
sibstitusi

x + 3y +z = 4
2x + y + z = 4
3x + y - z = 3

Perhatikan SPLTV berikut !
4 x  + 3y  + z=  21.................(1)
2 x  + y  + 2z  = 15 ...............(2)
3 x  + 2y  - 3z = 0 .................(3)

Tentukan penyelesaian ketiga persamaan tersebut dengan menggunakan metode eliminasi.
Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2)
4 x + 3 y +  z=  21 | x 2| 8 x + 6 y + 2 z   = 42
2 x +  y + 2 z   = 15 |x 1| 2 x + y + 2z = 1_5
6 x + 5y = 27 ........................................(4)

Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (3)
4 x + 3y + z= 21 | x 3| 12 x + 9y + 3z = 63
3 x + 2y - 3z = 0 |x 1| 3 x + 2y - 3z = 0 +

15x +11y = 63........................................(5)

Eliminasi variabel x dari persamaan (4) dan (5)
6 x + 5y = 27 |x 15| 90 x + 75y = 405
15 x +11y = 63 |x 6| 90 x +66y = 378 -

9y = 27
y = 3

Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)
6 x + 5y = 27 |x 11| 66 x + 55y = 297
15 x +11y = 63 |x 5| 75 x + 55y = 315 -

-9 x=-18
x = 2  

Lakukan kembali seperti langkah 4 dengan mengeliminasi variabel y atau x sehinggak di peroleh nilai z
Sehingga himpunan selesaiannya adalah {(2, 3, 4)}
Dari contoh penyelesaian di atas, apakah ada hal yang belum kalian pahami? Jika kalian sudah paham
kerjakanlah soal pada bagian Ayoo berlatih berikut!

Ayoo berlatih!

Untuk melatih , ayo …. Kalian coba yang lain
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode
eliminasi

 x + 3y +z = 4
2 x + y + z = 4
3 x + y - z = 3

c.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

  x   y  z   1

2 x   y   z   11 dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !

 x  2 y  z   12

Jawab:

 x  y  z  1 .....(1)
2 x  y  z  11 .....(2)
 x  2 y  z  12 .....(3)

Dari (1) dan (2) eliminir z
x + y – z = 1
2x + y +z = 11 _
3x + 2y = 12 ….. (4)
Dari (2) dan (3) eliminir z
2x + y +z = 11
x + 2y +z = 12 _

x - y = -1 ….. (5)

Dari (4) dan (5) eliminir y

3x  2y 12  x1 3 x  2 y  12
 x - y  -1  x2 2 x  2 y  2

5x = 10
x=2

x = 2 substitusi ke (5)
x – y = -1
2 – y = -1

-y = -1 – 2
y=3
x = 2, y = 3 substitusi ke (1)
x + y – z = 1
2 + 3 – z = 1

-z = 1 – 5
z=4

Jadi HP = {(2, 3, 4)}

d.  DETERMINAN

ax  by  cz  p
Sistem persamaan : dx  ey  fz  q

gx  hy  iz  r 

diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy, dan Dz.

ab c  p b c a  p c a b  p
Dz = d  e q
D = d  e  f    Dx = q e  f   Dy = d  q  f  
 g  h r 
 g  h i r  h i  g  r  i

x =  D x y =  D y z =  D z 
 D  D  D

1) Determinan cara sarrus
---

a b ca b = aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb
D = d  e  f   d  e

 g  h i  g  h

+++

2) Determinan cara cramer

ab c e  f   d   f   d  e
D = d  e  f  
= a  - b  + c
 g  h i
h i  g  i  g  h

= a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg)

= aie – afh – bdi + bfg + cdh – ceg

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

 2 x  y  z   5

 x  2 y  3 z   9 dengan cara determinan !

  x  3 y  z   0

Jawab:

--- = -4 + (-3) + 3 – (-2) – 18 - (-1) = -4 – 3 + 3 + 2 – 18 + 1

2 1 1 2 1
D= 1 2 3 1 2

1 3 11 3

= -19

+++

---

5 1 1 5 1 = (-10) + 0 + 27 – 0 – 45 - (-9) = -10 + 0 + 27 – 0 – 45 + 9
Dx = 9  2 3 9  2

0 3 10 3

= -19

+++

---

2 5 12 5 = 18 + 15 + 0 – 9 – 0 - 5 = 19
Dy = 1 9 3 1 9

1 0 11 0

+++

--- = 0 + (-9) + 15 – (-10) – 54 - 0 = 0 - 9 + 15 +10 – 54 - 0

2 1 5 2 1
Dz = 1  2 9 1  2

1 3 01 3

= -38

+++

x=  D x  =  19 =1 y=  D y  = 19 = -1 z=  D z   =  38
 D  19  D  D 19  = 2
 19

Jadi HP ={(1, -1, 2)}

2. PENYELESAIAN MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERKAITAN DENGAN SPLTV

Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita menemukan masalah
yang dapat diterjemahkan ke dalam model matematika yang berupa sistem persaman linear tiga
variabel. Untuk menyelesaikannya kita harus membuat model matematika berupa sistem persamaan
linearterlebih dahulu, kemudian baru menafsirkan penyelesaiannya.

Langkah-langkah menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
tiga variabel adalah sebagai berikut.

a. Menentukan model matematika dari permasalahan yang dimaksud
b. Menyelesaikan model matematika yang berbentuk SPLTV
c. Menafsirkan selesaian dari permasalahan berdasarkan selesaian model matematika pada langkah

kedua.

Contoh :

Ayu, Bimo, dan Candra berbelanja di suatu Toko buku bersama-sama. Ayu membeli 3 set pensil, 4

penghapus dan satu buku tulis. Bimo membeli 6 set pensil, 2 penghapus, dan 1 buku tulis. Candra

membeli 2 set pensil, 5 penghapus, dan 10 buku tulis. Di kasir, Ayu membayar Rp83.000,00; Bimo

membayar Rp86.000,00; dan Candra membayar Rp158.000,00. Berapakah harga masing-masing benda

tersebut?

Jawab:

Misalkan :

 x = harga 1 set pensil

y = harga 1 penghapus

z = harga 1 buku tulis

Sistem persamannya adalah {

Eliminasi persamaan (1) dan (2) :

  ......(4)

Eliminasipersamaan(2)dan|(3):| ......(5)

Persamaan (4) dan (5) membentuk sistem persamaan linear dua variabel, eliminasi persamaan (4) dan

(D5e)n.gancaramensubtitu|si nila|ipadapersamaan (4), diperoleh nilai .
  Kemudiansubtitusinilai
 dan  ke persamaan (1), 2), atau (3), maka akan diperoleh
nilai .

Jadi, harga 1 set pensil adalah Rp9.000,00; 1 penghapus Rp12.000,00; dan 1 buku tulis adalah

Rp8.000,00.