ตรรกศาสตร์

หน่วยท่ี 5 ตรรกศาสตร์

รายวิชา คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์

ครเู นติมา ชาญชยั ศกั ด์ิ

ตรรกศาสตร์

บทนิยาม ประพจน์ คือ ประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฏิเสธ

ที่เป็นจริงหรือเท็จอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเทา่ นนั้

ตวั อย่างประพจน์
ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ 3 + 4 =10 เซตวา่ งเป็นสบั เซตทุกเซต

ตวั อย่างที่ไม่เป็ นประพจน์ ประโยคไม่อย่ใู นรปู บอกเล่า
หรือปฏิเสธไม่ทราบค่าความจริง
ฝนตกหรือเปลา่ (คาถาม) ไม่เป็ นประพจน์
อยา่ คุยกนั (หา้ ม)
ออกไปใหพ้ น้ (คาส่งั )
ขอใหโ้ ชคดี (อวยพร)
ยุงรา้ ยกวา่ เสือ (สุภาษิต)

ตารางค่าความจริงประพจนท์ ่ีเช่ือมดว้ ย “ หรือ (V)

” p q pVq

TTT เท็จกรณีเดียว คือ ( F ทงั้ คู่ )
TFT

FTT
FF F

ตวั อย่าง

ให้ p แทน 2 + 3 = 9 , q แทน 6 - 5 = 1

(มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ) (มีคา่ ความจริงเป็นจริง )

จะไดป้ ระพจน์ p q แทน 2 +F3 = 9 หรื อ 6 -5T =1 (เป็ นจริ ง)



โดยตารางค่าความจริง T

จะไดป้ ระพจน์ 0 เป็นจานวนนบั หรือ 4 + 6 = 6 - 4 (เป็นเท็จ)

F F

F

ตารางค่าความจริงประพจนท์ ี่เชื่อมดว้ ย “ และ 
” p q pq
TTT จริ งกรณีเดียว คือ ( T ทงั้ คู่ )

TFF

FTF

FFF

ตวั อย่าง

ให้ p แทน 2 + 3 = 9 , q แทน 6 - 5 = 1

(มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ) (มีคา่ ความจริงเป็นจริง )

จะไดป้ ระพจน์ p q แทน 2 +F3 = 9 และ 6 -5T = 1 (เป็ นเท็จ)



โดยตารางค่าความจริง F

จะไดป้ ระพจน์ 0 เป็นจานวนคู่ และ 4 + 6 = 6 + 4 (เป็นจริง)

T T

T

ตารางค่าความจริงประพจนท์ ี่เช่ือมดว้ ย “ถา้ …แลว้ ”

p q p q
T T T เท็จกรณีเดียว คือ ( T แลว้ F )
TFF
FTT
FFT

ตวั อย่าง

ให้ p แทน 2 + 3 = 9 , q แทน 6 + 5 = 1

(มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ) (มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ )

จะไดป้ ระพจน์ p q แทน ถา้ 2F+ 3 = 9 แลว้ 6F + 5 = 1(เป็นจริง)


โดยตารางค่าความจริง T

จะไดป้ ระพจน์ ถา้ 0 เป็นจานวนคู่ แลว้ 4 + 6 = 5 (เป็นเท็จ)

T F

F

ตารางค่าความจริงประพจนท์ ี่เช่ือมดว้ ย “…ก็ต่อเม่ือ...”

p q p q
TTT
TFF
F T F เหมือนกนั เป็น จริ ง
FFT

ตวั อย่าง

ให้ p แทน 2 + 3 = 9 , q แทน 6 + 5 = 1

(มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ) (มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ )

จะไดป้ ระพจน์ p q แทน 2 +F3 = 9 ก็ตอ่ เม่ือ 6F + 5 = 1 (เป็นจริง)



โดยตารางค่าความจริง T

จะไดป้ ระพจน์ 0 เป็นจานวนคู่ ก็ตอ่ เม่ือ 4 + 6 = 5 (เป็นเท็จ)

T F

F

นิเสธของประพจน์

นิเสธ ของประพจน์ 2 + 3 = 5 คือ 2 + 3  5
นิเสธ ของประพจน์ 2 < 3 คือ 2  3 ( 2ไมน่ อ้ ยกวา่ 3 )
นิเสธ ของประพจน์ p เขยี นแทนดว้ ย ~ p ดงั ตารางคา่ ความจริง

p ~p
TF
FT

การหาค่าความจริงของประพจน์

ตวั อย่าง จงหาคา่ ความจริงของ ~ (A ~ B ) เม่ือ A , B
วิธีทา เป็นประพจน์ ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริง

~ (A ~B)
T FT

F
T

ดงั น้ันประพจน์ ~ (A ~ B ) มีคา่ ความจริงเป็นจริง

ตวั อย่าง กาหนด p เป็ นจริง q เป็ นเท็จ r เป็ นเท็จ และ s เป็ นจริง

จงหาค่าความจริงของ [ (p  q )  r ]  (p  s )

วิธีทา [ (p  q )  r ]  (p  s )

TF TT

FF

FT

T

ดงั นั้น ประพจน์ [ (p  q )  r ]  (p  s ) มีคา่ ความจริงเป็นจริง

ตวั อย่าง ถา้ (r  t )  ~ (s  t ) มีค่าความจริงเป็ นจริง

แลว้ จงหา
วิธีทา ค่าความจริงของ r , s และ t

(r  t )  ~ (s  t )

FF FF

F

T TT

ดงั นนั้ r มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ s มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ
t มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ

การสรา้ งตารางค่าความจริง

พิจารณากรณีคา่ ความจริงของ ประพจน์ p , q และ r

p q r pq r

T TT T
TF TT F
T TF T ถา้ มี n ประพจน์
F T TF F
F FT T จะมีจานวนกรณี
FT F ทงั้ หมด 2n กรณี
FF T
TT FF F
FF

FT
F

ตวั อย่าง จงสรา้ งตารางคา่ ความจริงของ (p  q ) (~ p q )

ตวั เช่ือมหลกั

วิธีทา (p  q )  (~ p  q )
TTT F F F T
T FF T F F F
FTT T T T T
FTF F T F F

ค่าความจริงของประพจน์ ทง้ั 4 กรณี

ตวั อย่าง จงสรา้ งตารางคา่ ความจริงของประพจน์ r (~ p q )

วิธีทา r  (~ p  q )
T F F FT

F T F FT
T F F FF

F T F FF
T T T TT
FT T TT
TF T FF
F T T FF

คา่ ความจริงของประพจน์ ทงั้ 8 กรณี

ประพจนท์ ่ีสมมลู กนั

ประพจนท์ ่ีสมมูลกนั คือ ประพจนท์ ่ีมีคา่ ความจริงเหมือนกนั กรณีตอ่ กรณี

ตวั อย่าง p q p q ~ p ~ p q

TT T F T

TF F F F
FT T T T
FF T T T

จะเห็นวา่ ประพจน์ p q และ ~ p  q มีคา่ ความจริงเหมือนกนั ทุกกรณี
ดงั น้ัน p  q สมมูลกบั ~ p  q

ตวั อย่าง จงตรวจสอบวา่ ~ (p  q ) สมมูลกบั~ p  ~ q หรื อไม่

วิธีทา ~ ( p  q ) ~ p  ~q
F T TT
F T TF F FF
F FT
F F TT
T F FF T FF
T TT

จะเห็นวา่ คา่ ความจริง ~ (p  q ) แล~ะ p  ~ q เหมือนกนั ทุกกรณี

ดงั นั้น ~ (p  q )  (สมมูล) ~ p  ~ q

รปู แบบประพจนส์ มมูล ท่ีสาคญั

1. p  p p สำคญั มำก
2. p  p p

3. p q  ~ p q  ~ q ~ p

4. p q  (p q )  (q  p )
5. ~ (~ p )  p

6. ~ (p  q )  ~ p  ~ q
7. ~ (p  q )  ~ p  ~ q
8. p  (q  r )  (p q )  (p  r )
9. p  (q  r )  (p q )  (p  r )
10 . (p  q ) r  p  ( q  r )

ประพจนท์ ่ีนิเสธกนั

ประพจนท์ ่ีนิเสธกนั คือ ประพจน์ท่ีมีคา่ ความจริงตา่ งกนั กรณีตอ่ กรณี

ตวั อย่าง p q p q ~ q p~ q

TT T F F

TF F T T
FT T F F
FF T T F

จะเห็นวา่ ประพจน์ p q และ p  ~ q มีคา่ ความจริงต่างกนั ทุกกรณี
ดงั น้ัน p  q เป็นนิเสธกบั p  ~ q

ตวั อย่าง จงตรวจสอบวา่ ~ (p  q ) เป็นนิเสธกบั~ q  p

หรื อไม่ ~q  p
วิธีทา ~ ( p  q )
F TT
F T TT T TT
F T TF F TF
T FF
F F TT

T F FF

จะเห็นวา่ คา่ ความจริง ~ (p  q ) แล~ะ q  p ต่างกนั ทุกกรณี
ดงั น้ัน ~ (p  q ) เป็นนิเสธกบั ~ q  p

สจั นิรนั ดร์

บทนิยาม สจั นิรนั ดร(์ tautology) คือ รปู แบบประพจน์ ท่ีมีค่าความจริง

เป็ นจริงทกุ กรณี

ตวั อย่าง p  ( p  q )

TT T TT

TT T TF
FT F TT
FT F FF

จะเห็นวา่ ประพจน์ p  (p  q ) มีคา่ ความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ดงั น้ัน p  (p  q ) เป็นสจั นิรนั ดร์

ตวั อย่าง จงตรวจสอบวา่ (p  q ) q เป็นสจั นิรันดรห์ รือไม่

วิธีทา พิจารณาวา่ มีกรณีเท็จหรือไม่

(p  q)  q

F
FF

F

ใหป้ ระพจนม์ ีคา่ ความจริงเป็นเท็จแลว้ ขดั แยง้

ดงั น้ันไมม่ ีกรณีเป็นเท็จ จึงเป็นสจั นิรนั ดร์

ประโยคเปิ ด

บทนิยาม ประโยคเปิ ด คือประโยคบอกเลา่ หรือปฏิเสธท่ีมีตวั แปรไมเ่ ป็น
ประพจน์แตเ่ ม่ือแทนตวั แปรดว้ ยสมาชิกในเอกภาสมั พทั ธแ์ ลว้ ไดป้ ระพจน์

เช่น 2x + 1 = 3
เพราะว่า ถา้ แทน x = 1 ได้ 2 + 1 = 3 ไดป้ ระพจนท์ ี่เป็ น จริง
เพราะว่า ถา้ แทน x = 0 ได้ 0 + 1 = 3 ไดป้ ระพจนท์ ่ีเป็ น เท็จ

เขาเป็ นนกั คณิตศาสตร์
เพราะว่า ถา้ แทน เขา ดว้ ย ยุคลิด ไดป้ ระพจนท์ ี่เป็ นจริง

ตวั บ่งปริมาณ

ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แทน สาหรบั … ทุกตวั
ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แทน สาหรบั … บางตวั

เช่น x แทน สาหรบั x ทกุ ตวั

x แทน สาหรบั x บางตวั

ตวั อย่าง สาหรบั x ทุกตวั x + x = 2x

เขียนเป็นสญั ลกั ษณไ์ ด้ x [ x + x = 2x ] , U = R

มีจานวนจริง x ซ่ึง x + 0 = 2x
เขียนเป็นสญั ลกั ษณไ์ ด้ x [ x + 0 = 2x ] , U = R

ตวั อย่าง จงเขียนขอ้ ความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ yx [x 2  y 2  8 ]

จะเขียนได้ สาหรบั จานวนจริง y ทุกตวั จะมีจานวนจริง x บางตวั
ซ่ึง x2 + y2 = 8

จงเขียนขอ้ ความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ yx [x 2  y 2  8 ]

จะเขียนได้ มีจานวนจริง y บางจานวน ซ่ึงสาหรับจานวนจริง x
ทุกจานวน x2 + y2 = 8

จงเขยี นขอ้ ความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ xy [x  y  R ]
จะเขียนได้ จานวนจริง x , y ทุกจานวนบวกกนั ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นจานวนจริง

บทนิยาม

ประโยค x [P(x )] มีคา่ ความจริงเป็นจริง ก็ตอ่ เม่ือแทนตวั แปร x
ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกแตล่ ะตวั ในเอกภพสมั พทั ธแ์ ลว้ ไดป้ ระพจน์ท่ีมีคา่
ความจริงเป็นจริงทง้ั หมด

ประโยค x [P(x )] มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ ก็ตอ่ เม่ือแทนตวั แปร x
ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ในเอกภพสมั พทั ธแ์ ลว้ ไดป้ ระพจน์ท่ีมีคา่
ความจริ งเป็ นเท็จ

บทนิยาม

ประโยค x [P(x )] มีคา่ ความจริงเป็นจริง ก็ตอ่ เม่ือแทนตวั แปร x
ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ในเอกภพสมั พทั ธแ์ ลว้ ไดป้ ระพจน์
ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริง

ประโยค x [P(x )] มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ ก็ตอ่ เม่ือแทนตวั แปร x
ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกแตล่ ะตวั ในเอกภพสมั พทั ธแ์ ลว้ ไดป้ ระพจนท์ ่ีมีคา่
ความจริงเป็นเท็จทง้ั หมด

ตวั อย่าง จงหาคา่ ความจริงของประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณ
x [ x  5 ] , U = { 1 , 2 ,3 }

วิธีทา ให้ P(x) แทน x < 5
จะได้ P (1) แทน 11< 5 ซ่ึงเป็นจริง

P (2) แทน 2 < 5 ซ่ึงเป็นจริง
P (3) แทน 3 < 5 ซ่ึงเป็นจริง
จะเห็นวา่ เม่ือแทน x ดว้ ยสมาชิกแตล่ ะตวั ใน U ในประโยค
x < 5 แลว้ ไดป้ ระพจน์เป็นจริงทงั้ หมด

ดงั น้ัน ประโยคน้ีมีคา่ ความจริงเป็นจริง

ตวั อย่าง จงหาคา่ ความจริงของประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณ
x [ x  5 ] , U = I

วิธีทา ให้ P(x) แทน x < 5
จะได้ P (6) แทน 6 < 5 ซ่ึงเป็นเท็จ

จะเห็นวา่ มีสมาชิกใน I อยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั คือ 6 เม่ือนาไปแทน x
ใน P(x) แลว้ ไดป้ ระพจน์ท่ี เป็นเท็จ

ดงั นนั้ ประโยคน้ีมีค่าความจริงเป็ น เท็จ

ตวั อย่าง จงหาคา่ ความจริงของประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณ
x [ x  5 ] , U = I

วิธีทา ให้ P(x) แทน x < 5
จะได้ P (4) แทน 4 < 5 ซ่ึงเป็นจริง

จะเห็นวา่ มีสมาชิกใน I บางตวั เชน่ 4 เม่ือนาไปแทน x
ใน P(x) แลว้ ไดป้ ระพจนท์ ่ี เป็นจริง

ดงั นนั้ ประโยคน้ีมีค่าความจริงเป็ น จริง

ตวั อย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณ
x [ x  5 ] , U = { 6, 7, 8 }

วิธีทา ให้ P(x) แทน x < 5

จะเห็นว่า ไม่ว่าจะแทน x ดว้ ย 6 หรือ 7 หรือ 8 ใน x < 5
จะไดป้ ระพจนท์ ่ี เป็ นเท็จทง้ั หมด

ดงั นน้ั ประโยคน้ีมีค่าความจริงเป็ น เท็จ

ตวั อย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ
x [ x  0  x 2  0 ] , U = { -1 , 0 , 1 }

วิธีทา พิจารณา ประโยคเปิด x [ x  0  x 2  0 ]

แทนคา่ x = -1 จะได้ -1 < 0 (-1) 2 > 0 ซ่ึงเป็นจริง

แทนคา่ x = 0 จะได้ 0 < 0 (0) 2 > 0 ซ่ึงเป็นจริง

แทนคา่ x = 1 จะได้ 1 < 0 (1) 2 > 0 ซ่ึงเป็นจริง

ดงั น้ัน x [ x  0  x 2  0 ] เป็ นจริง

ตวั อย่าง จงหาคา่ ความจริงของประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณ
x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ] , U = { -1 , 0 ,1 }

วิธีทา พิจารณาประโยค x [ x  0 ]
แทนคา่ x = -1 จะได้ - 1 < 0 เป็นจริง

ดงั น้ัน x [ x  0 ] มีคา่ ความจริงเป็น จริง

พิจารณาประโยค x [ x 2  0]
แทนคา่ x = 0 จะได้ 02 > 0 เท็จ

ดงั นั้น x [ x 2  0] มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ

ดงั นั้น x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ] มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ

สมมลู และนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ
รปู แบบที่ 1 ~ x [P (x ) ] ÊÁÁÙšѺx [~ P (x ) ]

หรือ

นิเสธของ x [P (x ) ] ¤×Í x [~ P (x ) ]

รปู แบบที่ 2 ~ x [P (x ) ] ÊÁÁÙšѺx [~ P (x ) ]

หรือ

นิเสธของ x [P (x ) ] ¤×Í x [~ P (x ) ]

ตวั อย่าง จงหานิเสธของขอ้ ความ x [x  3  5 ]
ตอบ x [~ (x  3  5)] หรือ x [x  3  5]

ตวั อย่าง จงหานิเสธของขอ้ ความ
จานวนจริงทกุ จานวนเป็ น จานวนค่ี

ตอบ มี จานวนจริงบางจานวนไม่เป็ นจานวนค่ี

ตวั อย่าง จงหานิเสธของขอ้ ความ
จานวนจริงบาง จานวนเป็ น จานวนคู่

ตอบ จานวนจริงทุก จานวนไม่เป็ นจานวนคู่

ตวั อย่าง จงหานิเสธของขอ้ ความ )

x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ]

เขียนแทนดว้ ย ~ ( x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ]

 ~ x [ x  0]  ~ x [ x 2  0 ]
 x [ x  0]  x [x 2  0]

ดงั น้ัน นิเสธของ x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ] คือ

x [ x  0]  x [x 2  0]

ตวั อย่าง จงหานิเสธของขอ้ ความ

เขียนแทนดว้ ย x [ P (x )  Q (x ) ]

~ x [ P (x )  Q (x ) ]

 x [ ~ (P (x )  Q (x ) ) ]
 x [ ~ ( ~ P (x )  Q (x ) ) ]
 x [ P (x )  ~ Q (x ) ]

ดงั น้ัน นิเสธของ x [ P (x )  Q (x ) ] คือ

x [ P (x )  ~ Q (x ) ]

ตวั อย่าง จงหานิเสธของขอ้ ความ

xy [xy  0  (x  0  y  0 ) ]

นิเสธคือ xy [ ~ (xy  0  (x  0  y  0 ) ) ]

 xy [ ~ (xy  0  (x  0  y  0 ) ) ]
 xy [ xy  0  (x  0  y  0 ) ]

ดงั น้ัน นิเสธของ xy [xy  0  (x  0  y  0 ) ]
คือ xy [ xy  0  (x  0  y  0 ) ]

การอา้ งเหตุผล

ถา้ P1 , P2 P3 , . . . , Pn เป็ นเหตุ
และ C เป็ นผล

แลว้ ( P1  p 2  P3  . . .  Pn )  C

เป็ นสจั นิรนั ดร์ จะกล่าวว่า การอา้ งเหตผุ ล สมเหตสุ มผล (valid)
ไม่เป็ นสจั นิรนั ดร์ จะกล่าวว่า การอา้ งเหตุผล ไมส่ มเหตสุ มผล (invalid)

ตวั อย่าง จงพิจารณาว่าการอา้ งเหตผุ ลน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. p  q

2. p

ผล q

วิธีทา ตรวจสอบรูปแบบประพจน์ [ (p  q )  p ]  q

เป็นสจั นิรันดรห์ รือไม่ [(p q)  p ]  q

FFF F

เป็นสจั นิรนั ดร์ TF T

ดงั นนั้
สมเหตุสมผล

ตวั อย่าง จงพิจารณาวา่ การอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. ถา้ ฝนตก แลว้ หลงั คาบา้ นเปียก

2. หลงั คาบา้ นไมเ่ ปียก

ผล ฝนไม่ตก

วิธีทา ให้ p แทน ฝนตก q แทน หลงั คาบา้ นเปียก

จะไดป้ ระโยคสญั ลกั ษณ์ เหตุ 1. p  q

2. ~ q

ผล ~ p

พิจารณารูปแบบประพจน์ (p q )  ~ q ]  ~ p
จะได้ เป็นสจั นิรนั ดร์ ดงั นน้ั สมเหตสุ มผล

รปู แบบประพจนท์ ่ีสมเหตุสมผล

รปู แบบท่ี 1 เหตุ 1. p q รปู แบบท่ี 2 เหตุ 1. p q

2. p 2. ~ q

ผล q ผล ~ p

รปู แบบที่ 3 เหตุ 1. p q รปู แบบท่ี 4 เหตุ p q
ผล ~ q ~ p
2. q r
หรื อ ผล ~ p q
ผล p  r

รปู แบบประพจนท์ ่ีสมเหตสุ มผล

รปู แบบที่ 5 เหตุ 1. p q รปู แบบท่ี 6 เหตุ 1. p r
ผล
2. ~ p 2. q s

q 3. p q

ผล ~ p

รปู แบบที่ 7 เหตุ p q รปู แบบที่ 8 เหตุ p
ผล p q
ผล p
หรือ ผล q

ตวั อย่าง จงพิจารณาวา่ การอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. p q

2. q s

3. ~ t ~ s

ผล t เขียนเสน้ โยงเหตุและผลสมั พนั ธต์ อ่ เน่ืองกนั ไดด้ งั น้ี

à˵Ø1. p q q s

à˵Ø2. q s t ผล

à˵Ø3. ~ t ~ s s t ดงั นนั้ สมเหตสุ มผล