i KATA PENGANTAR Puji dan syukur senantiasa penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas Project mata kuliah Teori Bilangan. Tidak lupa penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Eri Widyastuti selaku Dosen Pengampu yang telah membimbing dan membantu penulis dalam proses penyusunan karya ilmiah ini mengenai Algoritma Euclidean. Penulis juga mengucapkan terima kasih yang sebesarnya kepada semua pihak yang membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini. Penulis berharap, semoga dengan terciptanya karya ilmiah ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan pembaca terutama terkait dengan materi Algoritma Euclidean. Penulis menyadari, bahwa dalam penyusunan dan penulisan masih melakukan banyak kesalahan. Oleh karena itu penulis memohon maaf atas kesalahan dan ketidaksempurnaan yang pembaca temukan dalam karya ilmiah ini. Penulis juga menghrapkan adanya kritik serta saran dari pembaca apabila menemukan kesalahan dalam karya ilmiah ini. Medan, 15 Mei 2023 Kelompok
1 Algoritma Euclidean Dalam matematika, algoritme Euklides adalah suatu algoritme untuk menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat. Algoritma ini dinamai setelah matematikawan Yunani Euklides menuliskannya dalam buku VII dan Buku X Elemen Euklides. Setiap bilangan bulat positif memiliki faktor (pembagi). Misalnya, 8 memiliki faktor 1, 2, 4, dan dirinya sendiri, yaitu 8. Keempat bilangan ini disebut faktor dari 8 karena membagi habis 8 tanpa sisa. Setelah itu, kita telah dikenalkan dengan faktor persekutuan terbesar (FPB), atau dalam bahasa Inggris,greatest common divisor (GCD), yaitu bilangan terbesar yang menjadi faktor bersama dari dua atau lebih bilangan yang lain. Sebagai contoh, FPB 12 dan 16, ditulis FPB (12, 16) adalah 4. Kita tentu sudah diajarkan cara mencari FPB saat masih berada di sekolah dasar. Ada yang menggunakan pohon faktor, ada juga yang menggunakan cara pagar (tabel), dan lain-lain. Sayangnya, cara-cara ini akan kurang efisien bila kita mencari FPB yang melibatkan bilangan-bilangan besar, mengingat sekolah dasar masih menitikberatkan pada pengenalan dan manipulasi bilangan yang nilainya kecil. Ada satu teorema dalam ranah teori bilangan yang cukup efisien digunakan untuk mencari FPB bilangan-bilangan besar. Namanya algoritma Euclides. Algoritme Euklides muncul dalam buku Elemen Euklides sekitar tahun 300 SM, menjadikannya salah satu algoritme numerik yang tertua dan masih digunakan secara luas. Algoritma ini memanfaatkan sifat-sifat dari sisa pembagian atau modulo. Algoritme Euklides tidak memerlukan faktorisasi. Algoritme ini dapat digunakan dalam konteks di mana pembagian bersisa memungkinkan. Ini termasuk polinomial gelanggang dalam suatu medan, juga gelanggang dari bilangan bulat Gauss, dan dalam Euklides. Algoritma Euclidean didasarkan pada prinsip bahwa pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan tidak berubah jika bilangan yang lebih besar diganti dengan selisihnya dengan bilangan yang lebih kecil. Misalnya, 21 adalah PBT dari 252 dan 105 (sebagai 252 = 21 × 12 dan 105 = 21 × 5), dan angka yang sama 21 juga merupakan PBT dari 105 dan 252 − 105 = 147 . Karena penggantian ini mengurangi angka yang lebih besar dari dua angka, mengulangi proses ini akan memberikan pasangan angka yang lebih kecil secara berturut-turut hingga kedua angka tersebut menjadi sama. Ketika itu terjadi, mereka adalah GCD dari dua angka asli. Versi algoritme Euclidean yang dijelaskan di atas (dan oleh Euclid) dapat mengambil banyak langkah pengurangan untuk menemukan GCD ketika salah satu angka yang diberikan jauh lebih besar dari yang lain. Versi algoritme yang lebih efisien mempersingkat langkahlangkah ini, alih-alih mengganti yang lebih besar dari dua angka dengan sisanya saat dibagi dengan yang lebih kecil dari keduanya (dengan versi ini, algoritme berhenti saat mencapai sisa nol). Dengan peningkatan ini, algoritme tidak memerlukan langkah lebih dari lima kali jumlah digit (basis 10) bilangan bulat yang lebih kecil. Algoritma Euclidean memiliki banyak aplikasi teoretis dan praktis. Ini digunakan untuk mengurangi pecahan ke bentuk sederhana untuk melakukan pembagian dalam aritmatika modular . Komputasi yang menggunakan algoritme ini merupakan bagian dari protokol kriptografi yang digunakan untuk mengamankan komunikasi internet , dan dalam metode untuk memecahkan sistem kripto ini dengan memfaktorkan bilangan komposit yang
2 besar . Algoritma Euclidean dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine , seperti menemukan bilangan yang memenuhi kongruensi berganda menurut teorema sisa Cina , untuk menyusun pecahan lanjutan, dan untuk menemukan perkiraan rasional yang akurat untuk bilangan real. Terakhir, dapat digunakan sebagai alat dasar untuk membuktikan teorema dalam teori bilangan seperti teorema kuadrat empat Lagrange dan keunikan faktorisasi prima . Algoritma Euclidean menghitung pembagi persekutuan terbesar (GCD) dari dua bilangan asli a dan b . Pembagi persekutuan terbesar g adalah bilangan asli terbesar yang membagi a dan b tanpa meninggalkan sisa. Sinonim untuk FPB termasuk faktor persekutuan terbesar (GCF), faktor persekutuan tertinggi (HCF), pembagi persekutuan tertinggi (HCD), dan ukuran persekutuan terbesar (GCM). Pembagi persekutuan terbesar sering ditulis sebagai gcd( a , b ). Algoritma aslinya hanya dijelaskan untuk bilangan asli dan panjang geometris (bilangan real), tetapi algoritma ini digeneralisasikan pada abad ke-19 untuk jenis bilangan lain, seperti bilangan bulat Gaussian dan polinomial dari satu variabel. Hal ini menyebabkan gagasan aljabar abstrak modern seperti domain Euclidean . Jika gcd( a , b ) = 1, maka a dan b dikatakan koprime (atau relatif prima). Sifat ini tidak menyiratkan bahwa a atau b adalah bilangan prima . Misalnya, faktor 6 dan 35 adalah 6 = 2 × 3 dan 35 = 5 × 7, jadi bukan bilangan prima, tetapi faktor primanya berbeda, jadi 6 dan 35 adalah koprime, tanpa faktor persekutuan selain 1. Pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan a dan b adalah hasil kali faktor prima yang dibagi oleh kedua bilangan tersebut, di mana setiap faktor prima dapat diulang sebanyak yang membagi a dan b . Misalnya, karena 1386 dapat difaktorkan menjadi 2 × 3 × 3 × 7 × 11, dan 3213 dapat difaktorkan menjadi 3 × 3 × 3 × 7 × 17, PBT dari 1386 dan 3213 sama dengan 63 = 3 × 3 × 7, produk dari faktor prima bersama mereka (dengan 3 diulang karena 3 × 3 membagi keduanya). Jika dua bilangan tidak memiliki faktor prima persekutuan, GCD-nya adalah 1 (diperoleh di sini sebagai turunan dari hasil kali kosong), dengan kata lain mereka adalah koprime. Keuntungan utama dari algoritma Euclidean adalah dapat menemukan GCD secara efisien tanpa harus menghitung faktor prima. Faktorisasi bilangan bulat besar diyakini menjadi masalah komputasi yang sangat sulit, dan keamanan dari banyak protokol kriptografi yang digunakan secara luas didasarkan pada ketidakmampuannya. GCD dari tiga bilangan atau lebih sama dengan perkalian faktor prima yang sama dengan semua bilangan, tetapi juga dapat dihitung dengan mengambil GCD dari pasangan bilangan secara berulang. Misalnya : gcd( a , b , c ) = gcd( a , gcd( b , c )) = gcd(gcd( a , b ), c ) = gcd(gcd( a , c ), b ). Jadi, algoritme Euclid, yang menghitung GCD dari dua bilangan bulat, cukup untuk menghitung GCD dari banyak bilangan bulat sembarang. Langkah pertama menerapkan algoritma pembagian terhadap a dan b diperoleh: = 1 + 1 0 ≤ 1 < Jika terjadi r1 = 0 maka b|a dan ppt (a,b) = b. Jika r1 ≠ 0, bagilah b oleh r1 dan diperoleh q2 dan r2 yang memenuhi = 21 + 2 0 ≤ 2 < Jika r2 = 0, maka berhenti, sebaliknya jika r2 ≠ 0, dengan cara yang sama di peroleh: 1 = 32 + 3 0 ≤ 3 < 2 Proses pembagian ini dilanjutkan sampai sisa pembagian nol, katakanlah pada langkah ke (n + 1) yang mana rn-1 dibagi rn dengan b > r1 > r2 >…≤ 0.
3 Sehingga proses tersebut menghasilkan sistem persamaan berikut : = 1 + 1 0 ≤ 1 < = 21 + 2 0 ≤ 2 < 1 = 32 + 3 0 ≤ 3 < 2 . . . . −2 = −1 + 3 0 ≤ < −1 −1 = +1 + 0 Sisa pembagian yang terakhir yang bukan nol rn = ppt (a,b). Maka dari a dan b adalah sisa tak nol terakhir pada prosedur di atas, yaitu Lemma : Jika a = qb + r, maka fpb (a, b) = fpb(b, r). Pembuktian Misalkan fpb (a, b) = d. Maka fpb(b, r) = d a) Karena fpb (a, b) = d, maka | dan |. Dari sini kita memperoleh | dan | . Sehingga |( − ) atau | Dengan demikian, | dan | b) Misalkan | dan | Dari sini kita memperoleh | . Sehingga |( + ) atau | . Karena fpb(a, b) = d, maka untuk | dan | akan diperoleh ≤ . Jadi, jika | dan | maka ≤ . Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa fpb(b, r) = d = fpb(a, b) ❖ Teorema Jika k > 0, maka FPB(ka,kb) = k FPB(a,b) Bukti : Dengan mengalikan k terhadap proses algoritma Euclid yang telah diuraikan sebelumnya, diperoleh : Dengan demikian FPB(ka,kb) = rnk = k . FPB(a,b). ❖ Teorema Akibat Untuk sebarang k ≠ 0, FPB(ka,kb) = |k| FPB(a,b).
4 Bukti : Cukup dibuktikan untuk kasus k < 0, maka -k = |k| > 0. Berdasarkan teorema ini maka FPB(ak,bk) = FPB(-ak,-bk) = FPB (a|k|,b|k|) = |k|FPB(a,b) Bagaimana dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)? apakah algoritma eulid dapat dipakai untuk mencari KPK? Nah, jika FPB dari dua bilangan telah ditemukan, maka kita dapat mencari KPK dengan menggunkan FPB. Misalkan diberikan bilangan bulat a dan b dengan FPB (a,b) = p. KPK dari a dan b sama dengan hasil kali a dan b dibagi dengan nilai FPB nya, ditulis KPK (a,b) = a×b FBP (a,b) . Contoh Soal & Pembahasan: 1. Tentukan FPB dari (60,18) tanpa menggunakan faktor-faktornya. Pembahasan: Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada 60 dan 18 60 = 3 . 18 + 6 0 ≤ < 18 Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada 18 dan 6 18 = 3 . 6 + 0 0 ≤ < 6 Jadi FPB(60,18) = FPB(18,6) = 6 2. Dengan menggunakan Algoritma Euclid, Tentukan FPB dari 124 dan 52 Iterasi 1 → 124 = 2 . 52 + 20 Iterasi 2 → 52 = 2 . 20 + 12 Iterasi 3 → 20 = 1 . 12 + 8 Iterasi 4 → 12 = 1 . 8 + 4 Iterasi 5 → 8 = 2 . 4 + 0 Jadi FPB (124,52) = FPB (52,20) = FPB (20,12) = FPB (12,8) = FPB (8,4) = 4 3. Tentukan KPK dari 36 dan 24! Penyelesaian: Pertama cari terlebih dahulu FPB nya: Iterasi 1 → 36 = 1 . 24 + 12
5 Iterasi 2 → 24 = 2 . 12 + 0 Jadi FPB (36,24) = FPB (24,12) = 12 Lalu langkah selanjutnya kita cari KPK dari 36 dan 24 sebagai berikut: 36 . 24 12 = 72 Jadi KPK dari 36 dan 24 adalah 72 4. Tentukanlah KPK dari 5454 dan 2102 berikut: Penyelesaian: Pertama cari terlebih dahulu FPB nya: Iterasi 1 → 5454 = 2 . 2102 + 1250 Iterasi 2 → 2102 = 1 . 1250 + 852 Iterasi 3 → 1250 = 1 . 852 + 398 Iterasi 4 → 852 = 2 . 398 + 56 Iterasi 5 → 398 = 7 . 56 + 6 Iterasi 6 → 56 = 9 . 6 + 2 Iterasi 7 → 6 = 3 . 2 + 0 Jadi FPB dari 5454 dan 2102 adalah 2 Lalu langkah selanjutnya kita cari KPK dari 5454 dan 2102 sebagai berikut: 5454 . 2102 2 = 5.732.154 Jadi KPK dari 5454 dan 2102 adalah 5.732.154 5. Tentukan FPB dari 4840 dan 1512 berikut! Penyelesaian: Iterasi 1 → 4840 = 3 . 1512 + 304 Iterasi 2 → 1512 = 4 . 304 + 236 Iterasi 3 → 304 = 1 . 236 + 68 Iterasi 4 → 236 = 3 . 68 + 32 Iterasi 5 → 68 = 2 . 32 + 4 Iterasi 6 → 32 = 8 . 4 + 0
6 Jadi FPB dari 4840 dan 1512 adalah 4. 6. Gunakan algoritma euclid untuk memperoleh x dan y yang memenuhi FPB (1769, 2378) = 1769x + 2378y! Penyelesaian: Pertama cari terlebih dahulu FPB(1769, 2378) • 2378 = 1 . 1769 + 609 • 17269 = 2 . 609 + 551 • 609 = 1 . 551 + 58 • 551 = 9 . 58 + 29 • 58 = 1 . 29 + 29 • 29 = 1 . 29 + 0 Jadi FPB (1769, 2378) = 29 Kemudian kita cari nila x dan y dengan rumus dibawah ini: FPB (a,b) = ax + by 29 = 58 − 29 = 58 − (551 − 58 . 9) = 58(10) − 551 = (609 − 551) . 10 − 551 = 609 . 10 − 551(11) = 609 . 10 − (1769 − 609 . 2). 11 = 609(32) − 1769 . 11 = (2378 − 1769)(32) − 1769 . 11 = 2378(32) + 1769(-43) = 32 dan = −43
7 SOAL LATIHAN 1. Carilah bilangan bulat x, y, dan z sehingga FPB (198,288,512) = 198x + 288y + 512z ! 2. Carilah FPB dari (201,52) menggunakan algoritma euclid! 3. Gunakan algoritma euclid untuk mencari KPK dari (1180,482)! 4. Gunakan algoritma euclid untuk memperoleh x dan y yang memenuhi FPB (222,97) = 222x + 97y! 5. Berapa FPB dari (225,45)!
8 DAFTAR PUSTAKA Bom Matematika. (2021). Algoritma Euclid|Teori Bilangan [video]. Youtube. https://youtu.be/4Jpgxca2WVU Dian Permatasari. (2022). Algoritma Euclid [video]. Youtube. https://youtu.be/bDuBpYmcnlk Ida Nuraida. (2022). Kuliah Teori Bilangan: Contoh Soal “Algoritma Euclid” [video]. Youtube. https://youtu.be/FlSWDK4yUiY Mathcyber1997.com. (27 Mei 2022). Materi, Soal, dan Pembahasan – Algoritma Euclides. Diakses pada 14 Mei 2023, dari https://mathcyber1997.com/materi-soal-danpembahasan-algoritma-euclid Wikipedia.org.(2023). Algoritma Euclidean. Diakses pada 14 Mei 2023, dari https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm