Matrix E-Book

For Teacher Keng

MATHEMATICS

MATRIX
เมทริกซ์

หนังสือ E-Book สำหรับสรุป
เนื้อหาเรื่องเมทริกซ์

นายผลิโชค ปั ญจวรกุล

ม.4/3 เลขที่ 38

Mathematics is the language
with which God wrote
the universe. — Galileo

เมทริกซ์คืออะไร

WHAT IS MATRIX ?

เมตริกซ์ (Matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือ
โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และ
ใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเม
ทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนว
ความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์
เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

เป็นกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริง ใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียง
เป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและ
เขียน วงเล็บ คร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม)

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว (Row) เรียกแถวในแนว
ตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก (Column) และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเใน
เมทริกซ์ว่าสมาชิกของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะ
ต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง

1

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5



เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ m x n เรา
เรียกจำนวน m และ n ว่า มิติหรือขนาดของเมทริกซ์
เราใช้สัญลักษณ์ A = (aij)m x n เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมี m
แถว และ n หลัก โดยที่ aijหมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง i แถว และ
j หลักของเมทริกซ์

เช่น

aij

2

กระบวนการเมทริกซ์

MATRIX OPERATIONS

การบวกเมทริกซ์ (Matrix Addition)
คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน

การคูณด้วยสเกลาร์ (Scalar Multiplication)
คำนวณโดยการนำจำนวนใด ๆ คูณเข้ากับสมาชิกทุกของเมทริกซ์นั้น ๆ

การคูณด้วยสเกลาร์ (Scalar Multiplication)
ขนาดของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเท่ากับ m ของเมทริกซ์แรก x n ของเม
ทริกซ์สอง
คำนวณโดยการนำแถวแต่ละแถวของเมทริกซ์แรกคูณกับหลักแต่ละ
หลักของเมทริกซ์ที่สอง

3

การสลับเปลี่ยน (Transposition)
เมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิกแต่ละสมาชิก จากแถวเป็นหลักและจาก
หลักเป็นแถวของเมทริกซ์ต้นแบบ

เมทริกซ์ย่อย (Submatrix)
คำนวณโดยการแถวหรือหลักของเมทริกซ์ออกไป

หลักการเมทริกซ์ (Row Operations)
สามารถคูณค่าคงที่ในสมการได้
สามารถนำสมการหนึ่งไปบวกับค่าคงที่ที่คูณกับสมการหนึ่งได้
สามารถสลับสมการได้

4

ชนิดของเมทริกซ์

TYPES OF MATRIX

เมทริกซ์จัตุรัส (Square Matrix)
เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและหลักเท่ากัน

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (Upper Triangular Matrix)
เมทริกซ์ที่มีสมาชิกบางตัวมีค่า i แถว > j หลัก

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Lower Triangular Matrix)
เมทริกซ์ที่มีสมาชิกบางตัวมีค่า i แถว < j หลัก

เมทริกซ์ทแยงมุมหลัก (Diagonal Matrix)
เมทริกซ์ที่มีสมาชิกบางตัวมีค่า i แถว = j หลัก เป็นจำนวนจริงและมี
สมาชิกบางตัวมีค่า i แถว ≠ j หลัก เป็น 0

5

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix)
เมทริกซ์ที่มีสมาชิกบางตัวมีค่า i แถว = j หลัก เป็น 1 และมีสมาชิกบาง
ตัวมีค่า i แถว ≠ j หลัก เป็น 0

เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar Matrix)
เมทริกซ์ที่มีสมาชิกบางตัวมีค่า i แถว = j หลัก เป็นจำนวนจริงเพียงค่า
เดียวที่ ≠ 1 และมีสมาชิกบางตัวมีค่า i แถว ≠ j หลัก เป็น 0

เมทริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix)
เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์

เมทริกซ์แถว (Row Matrix)
เมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียวเท่านั้น

6

เมทริกซ์หลัก (Column Matrix)
เมทริกซ์ที่มีเพียงหลักเดียวเท่านั้น

เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric Matrix)
เมทริกซ์ที่สมาชิกหนึ่งมีค่าเท่ากับค่าทรานซ์โพสของสมาชิกนั้น

เมทริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew Symmetric Matrix)
เมทริกซ์ที่สมาชิกหนึ่งมีค่าเท่ากับค่าติดลบทรานซ์โพสของสมาชิกนั้น

7

อินเวิร์สของเมทริกซ์

INVERSE MATRIX

อินเวิร์สของเมทริกซ์ A สามารถเขียนได้เป็น A-1 เมื่อนำ A x A-1 จะได้
เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix)
ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)
ฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ n ใน
มิติ n×n ของเมทริกซ์จัตุรัส A
สำหรับจำนวนเต็มบวก n ที่กำหนดขึ้น ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์จะมีเพียง
หนึ่งเดียวบนเมทริกซ์มิติ n×n เหนือริงสลับที่ใดๆ (commutative
ring) โดยเฉพาะเมื่อฟังก์ชันนี้นิยามไว้บนริงสลับที่ที่เป็นฟีลด์ของ
จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A สามารถเขียนแทนได้ด้วย det(A) หรือ
|A|

⋅ การหา Determinant ในเมทริกซ์ 2x2
เป็นการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0 , 0)
(a , b) ,(a + c , b + d) และ (c , d) เมื่อเมทริกซ์นั้นมีสมาชิกเป็น
จำนวนจริง
det(A) = ad - bc

8

⋅ การหา Determinant ในเมทริกซ์ 3x3

การหาอินเวิร์สการคูณของเมทริกซ์ (Matrix Inversion)
⋅ Minor

เป็นการคำนวณโดยใช้หลักการหา Determinant ในเมทริกซ์
ย่อย ๆ โดยการนำแถวและหลักหนึ่งออกก่อน จะเขียนในรูป C(A)

⋅ Cofactor

เเปม็นทขรัิ้กนซต์ทอี่ไนด้กแาตร่ลคะำตนัววคณูณหล-ั1งจi า+กjหจาคะ่เาขียMนiใnนoรูปr ได้แล้ว นำสมาชิกใน
M(A)

⋅ Adjoint
เป็นกระบวนการการ Transpose เมทริกซ์ที่ได้จากขั้น
Cofactor จะเขียนในรูป Adj(A)
ผลลัพธ์จะออกมาในรูป A-1 = 1/det(A) x Adj(A)

9

เมทริกซ์เติมแต่ง

AUGMENTED MATRIX

เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมกันของเมทริกซ์อื่ นสองเมทริกซ์ที่มี
จำนวนแถวเท่ากัน เพื่อประโยชน์ในการคำนวณหาตัวผกผันของเมทริกซ์
และการแก้ระบบสมการเชิงเส้น เช่น

ตำราบางเล่มอาจใช้เส้นตรงคั่นระหว่างกลางในตัวเมทริกซ์ เพื่อแยกแยะ
ว่าสมาชิกตัวไหนเป็นของเมทริกซ์ใด

การใช้เมทริกซ์เติมแต่งและหลักการเมทริกซ์ในการหาอินเวิร์สการคูณ

ของเมทริกซ์ Row Operations [ I | A-1]
[A|I]

THANK YOU
FOR READING

เมทริกซ์ METRIX