MODUL 25 MATEMATIK TAMBAHAN JPN SABAH

 Ramalan

3) Hasil tambah dua nombor ialah 9 dan hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah 53. Cari hasil

darab dua nombor itu. (Jwp : 14)

[6 markah]

Jawapan :

4) Fernandez membeli x ekor ayam dan y ekor itik dengan bayaran RM208. Diberi jumlah bilangan ayam

dan itik yang dibeli ialah 20 ekor. Harga seekor ayam dan itik masing-masing ialah RMx dan RMy dengan

keadaan y > x. Cari nilai x dan y. (Jwp : x = 8, y = 12)

[6 markah]

Jawapan :

51

5) Seutas dawai yang panjangnya 52 cm dipotong kepada dua bahagian yang berlainan panjang. Setiap bahagian
dawai itu dibengkokkan untuk membentuk sebuah segi empat sama sisi seperti dalam rajah di bawah.

x cm

y cm

Jika jumlah luas kedua-dua buah segi empat sama sisi itu ialah 89 cm 2, carikan nilai x

dan nilai y. (Jwp : x = 5, y = 8)

[6 markah]

Jawapan :

6) Beza lilitan antara dua buah bulatan ialah 4 cm dan hasil tambah luas dua buah bulatan itu ialah 52 cm2.

Cari jejari setiap bulatan. (Jwp :

4, 6)

[6 markah]

Jawapan :

52

7) Seutas dawai berbentuk bulatan dengan jejari 14 cm dibengkok untuk membentuk sebuah segi empat tepat
dengan panjang (2y + 20) cm dan lebar (x + 10) cm. Diberi luas segi empat terbentuk itu ialah 420 cm2, cari

nilai x dan nilai y. (Jwp : x =4, y = 5 dan x = 20, y = −3)

[6 markah]

Jawapan :

8) Diberi perimeter sebuah segi empat tepat ialah 36 cm dan kuasa dua pepenjuru segiempat tepat itu ialah
170 cm2. Cari panjang dan lebar segi empat tepat itu.
(Jwp : 7, 11)

[6 markah]

Jawapan :

53

9) Rajah menunjukkan sekeping papan berbentuk segi empat tepat.

3x cm

y cm

Seorang pekerja ingin memotong papan itu kepada dua keping papan berbentuk segi tiga. Perimeter segi tiga
ialah 24 cm dan ukuran sisi terpanjang segi tiga itu ialah (x + y) cm. Hitung luas, dalam cm2, papan
itu. (Jwp : 48)
[6 markah]
Jawapan :

10) Rajah menunjukkan sekeping cermin berbentuk segi empat tepat yang diletakkan di atas permukaan
meja bulat.

Jika perimeter segi empat tepat dan diameter bulatan itu masing-masing ialah 44 cm dan 340 cm, cari

panjang dan lebar segi empat tepat itu. (Jwp : panjang = 18, lebar

= 4)

[6 markah]

Jawapan :

54

11) Seutas dawai dengan panjangnya 32 cm dibengkokkan untuk membentuk sebuah trapezium PQRS seperti
ditunjukkan dalam Rajah di bawah dengan keadaan PQR = SRQ = 90, PQ = y cm, QR = 2x cm,
RS = 12 cm dan PS = 10 cm .

Q y cm P 10 cm
2x cm

R 12 cm S

Carikan nilai x dan nilai y. (Jwp : x = 3, y = 4)
Jawapan : [6 markah]

12) Hafizie mempunyai sebidang tanah berbentuk segi empat tepat. Dia menanam padi dan keladi di tanah itu
pada kawasan-kawasan seperti yang ditunjukkan dalam rajah.

ym

Yam 5m
xm

Paddy

15 m

Kawasan tanaman keladi berbentuk segi empat tepat. Diberi luas kawasan tanaman padi ialah 115 m2 dan

perimeter kawasan keladi ialah 24 m. Carikan luas kawasan tanaman keladi itu. (Jwp : 35
m2)

[6 markah]

Jawapan :

55

13) Rajah menunjukkan sebuah prisma dengan segi tiga bersudut tegak sebagai keratan rentasnya.

x cm 5 cm

2x cm

y cm

Diberi tinggi prisma ialah 2x cm. Jika jumlah panjang sisi dan jumlah luas permukaan bagi prisma masing-
masing adalah 42 cm 84 cm2, cari

(a) nilai x dan y dengan keadaan kedua-duanya bukan nombor bulat, (Jwp : x= 2 4 , y= 4 4 )
5 5

(b) isi padu prisma itu. (Jwp : 37 79 )
125

[7 markah]

Jawapan :

14) Sebuah kotak tertutup berbentuk kuboid mempunyai tapak berbentuk segi empat sama. Diberi
jumlah panjang sisi kotak itu ialah 76 cm dan jumlah luas permukaan kuboid itu ialah 238 cm2. Cari

panjang sisi tapak dan tinggi bagi kuboid itu. (Jwp : x = 17 , y = 23
33

and x = 7, y = 5)

[6 markah]

Jawapan :

56

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN
SPM TAHUN 2020

5. INDEKS DAN LOGARITMA

NOTA

57

an indeks / index
asas / base

an = a  a  a ... a

n factors

Contoh:

54 = 5  5  5  5 p7 = p  p  p  p  p  p  p
Hukum Indeks
Contoh

a) 43  45 = 43+5 = 48

am  an = am+n b) x3  x7 = x3+7 = x10

c) d 6  d −5 = d 6+(−5) = d1 = d

am  an = am−n a) 94  92 = 94−2 = 92

am = am−n b) x7 = x7−4 = x3
an x4

c) d 6  d −5 = d 6−(−5) = d11

a) (42 )5 = 410

(am )n = amn b) (g 2 )3 = g 6

c) 1 21 61 = a1b3 = ab3

(a2b6 )2 = (a 2 )(b 2 )

a) 52  42 = (5 4)2 = 202

b) x3 y3 = (xy)3

an  bn = (ab)n ,  5 2
 4 
an =  a n c) 52  42 =
bn b
x 5
d) x5 =  
y5  y 


1 1

an = n a a) 43 = 3 4

m 11 3 11

a n = (am )n = (an )m b) x 4 = (x3 )4 = (x 4 )3

m ( )5 5

a n = n am = (n a)m c) d 6 = 6 d 5 = 6 d

a) 7−4 = 1
74

a−n = 1 b) = x−4 = 1
an x4

c) d −x = 1
dx

a) 80 = 1

a0 =1 b) g0 = 1

c) 1 = 2 1 6 1 ) = a1b3 = ab3

(a2b6 )2 (a 2 )(b 2

58

Hubungan antara indeks untuk menyelesai persamaan indeks

am = an  m = n .
am = bm  a = b .

Logaritma dan Hukum Logaritma

Hubungan antara indeks dan logaritma
y = ax  loga y = x

Hukum Logaritma Contoh

loga 1 = 0 a) logx 1 = 0
b) log5 1 = 0

loga a = 1 a) log4 4 = 1
b) logx x = 1
c) logab ab = 1

lg y = log10 y a) log10 4 = lg 4
loga xy = loga x + loga y b) lg ab = log10 ab

a) log3 12 = log3(4  3) = log3 4 + log3 3
b) logx ab = logx a + logx b

x a) log10 1.5 = log10 3 = log10 3 − log10 2
y 2
loga = loga x − loga y
x)
b) loga ( y = loga x − loga y

a) logx 25 = logx 52 = 2 logx 5

loga xn = n loga x b) loga 1 = 1 loga y
2
y2

logc b a) log4 8 = log2 8
logc a log2 4
loga b =
log3 14
b) loga 14 = log3 a

Peringatan : log10 a = lg a
Hubungan antara logaritma untuk menyelesaikan persamaan logaritma.

y = ax  loga y = x

59

NOTA TAMBAHAN

Pengenalan kepada Nombor Indeks
https://www.youtube.com/watch?v=aWAWzyvwMH8&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=1

Indeks Sifar dan Indeks Negatif
https://www.youtube.com/watch?v=C9GEZsFlCAc&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=2

Indeks Pecahan - Bahagian 1
https://www.youtube.com/watch?v=-ME6Llfggi4&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=3

Indeks Pecahan - Bahagian 2
https://www.youtube.com/watch?v=VL_qNOixnEk&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=4

Hukum Indeks - Hasil Darab Nombor Indeks
https://www.youtube.com/watch?v=WFkEWwHLLh0&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=5

Hukum Indeks - Hasil Bahagi Nombor Indeks
https://www.youtube.com/watch?v=47r3DvZA-6c&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=6

60

Hukum Indeks - Indeks Bagi Hasil Darab/ Bahagi Dua Nombor
https://www.youtube.com/watch?v=9f5Dz5hlXxk&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=7

Hukum-hukum Indeks (Contoh Soalan - Bahagian 1)
https://www.youtube.com/watch?v=3qX_JNZrJz0&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=8

Hukum-hukum Indeks (Contoh Soalan - Bahagian 2)
https://www.youtube.com/watch?v=P_N5BOgtyKo&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=9

Menyelesaikan Persamaan Indeks - Bahagian 1
https://www.youtube.com/watch?v=xK0qc-3wyuk&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=16

Menyelesaikan Persamaan Indeks - Bahagian 2
https://www.youtube.com/watch?v=GsmFMRB4D9U&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=17

Menyelesaikan Persamaan Serentak Nombor Indeks
https://www.youtube.com/watch?v=HO2TEfWRM4E&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=18

61

Hukum Logaritma
Pengenalan Kepada Logaritma - Bahagian 1
https://www.youtube.com/watch?v=7xGWyLCKGFc&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=10

Pengenalan kepada Logaritma - Bahagian 2
https://www.youtube.com/watch?v=g87-5fZo7o4&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=11

Hukum-hukum Logaritma (Bahagian 1)
https://www.youtube.com/watch?v=v1q6Nl2QKoY&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=12

Mencari Nilai Logaritma - Bahagian 1
https://www.youtube.com/watch?v=fySw4JUU0l4&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=13

Menukar Asas Logaritma
https://www.youtube.com/watch?v=m6csVN1JmQE&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=14

Menukar Asas Logaritma - (Contoh Soalan - Bahagian 2)
https://www.youtube.com/watch?v=Hu_qDUcwfM0&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=15

Menyelesaikan Persamaan Logaritma - Contoh Soalan (Bahagian 1)
https://www.youtube.com/watch?v=qItYKucPlRU&list=PLP7MKjUAZ-
wvfz38CGOKjcYQasOMnhD2u&index=20

62

CONTOH (Indeks)

1. Permudahkan 4n+1  2n+1  82n−1

Penyelesaian:
4n+1  2n+1  82n−1

= 22(n+1)  2n+1  23(2n−1) → (am )n = amn

= 22(n+1)+n+1−3(2n−1) → am  an = am+n
= 22n+2+n+1−6n+3
= 2−3n+6

2. Permudahkan 63n+2  21−3n

32+3n

Penyelesaian:

63n+2  21−3n = (2  3)3n+2  21−3n
32+3n 32+3n

= 23n+2  33n+2  21−3n → (ab)n = an  bn : (6)3n+2 = (2  3)3n+2 = 23n+2  33n+2
32+3n

= 23n+2+1−3n  33n+2−(2+3n) → am  an = am+n , am = am−n
an

= 23  33n+2−2−3n

= 23  30

=8

3. Tunjukan bahawa 3n+2 − 3n +15(3n−1) boleh dibahagikan tepat dengan 13.

Penyelesaian: → am+n = am  an : 3n+2 = 3n (32 ) , am = am−n : 3n−1 = (3n )
3n+2 − 3n +15(3n−1) an 3

= 3n (32 ) − 3n +15 (3n ) → factorise 3n
3

= 3n (32 ) − 3n + 5(3n )

= 3n 32 −1+ 5
= 3n (13)

Oleh sebab 13 adalah penggandaan 13, maka 3n+2 − 3n +15(3n−1) boleh dibahagikan tepat oleh 13.

63

 3 2 x
 2 
4. tunjukan 32 x+1  (4x+1 − 22x ) = .

Penyelesaian: (L.H.S = Sebelah Tangan Kiri)
L.H.S = 32x+1  (4x+1 − 22x )

= 32x+1  (22x+2 − 22x ) → (am )n = amn : 22(x+1) = 22x+2

= 32x  3  (22x  22 − 22x ) → am+n = am  an : 32x+1 = 32x  3, 22x+2 = 22x  22

= 32x (3) [22x (22 −1)] → Faktorkan 22x

= 32x (3)  22x (3)

= 32 x (3)
22x (3)

 3 2 x → an  a n 32 x  3 2 x
 2  bn  b  22x  2 
= = : =

=R.H.S (tertunjuk)

5. Seleseikan persamaan 2434x = 98x+6 .

Penyelesaian:
2434x = 98x+6

35(4 x) = 32(8x+6) → (ab)n = an  bn

5(4x) = 2(8x + 6) → am = an  m = n

20x = 16x +12
4x = 12
x=3

6. Selesaikan persamaan 25x  42x = 400 .

Penyelesaian: → an  bn = (ab)n
25x  42x = 400 → am = an  m = n
52x  42x = 400
(5 4)2x = 202

202x = 202
2x = 2
x =1

7. Selesaikan persamaan 5x2 − 256−2x = 0

Penyelesaian: → (am )n = amn
5x2 − 256−2x = 0 → am = an  m = n
5x2 = 52(6−2x)

x2 = 2(6 − 2x)

x2 = 12 − 4x
x2 + 4x −12 = 0
(x + 6)(x − 2) = 0
x = −6 or x = 2

64

8. Selesaikan persamaan 3x+2 − 3x = 24

Penyelesaian: → am+n = am  an
3x+2 − 3x = 24
3x (32 ) − 3x = 24

3x (32 −1) = 24 → faktorkan 3x

3x (8) = 24

3x = 3 → am = an  m = n
x =1

9. Diberi 5a = 11b = 55c , ungkapkan c dalam sebutan a dan b.

Penyelesaian: 1
Biarkan 5a = k ,
5 = ka
11b = k ,
55c = k , 1

11 = k b

1

55 = k c

55 = 11  5 → am  an = am+n
→ am = an  m = n
1 11
→ samakan penyebut
kc = ka kb

1 1+1

kc = ka b
1 = 1+1
c ab
1 = 1b+1a
c abba
1= b + a
c ab ab
1 = b+a
c ab
c = ab

b+a

65

CONTOH (Logaritma)

1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi log4 128 + logm−2 1
m−2

Penyelesaian:

log4 128 + logm−2 1
m−2

= log2 128 + logm−2 1 → loga b = logc b : log4 128 = log2 128
log2 4 logc a log2 4
(m 1

− 2)2

= log2 27 −1 → 1 = a−n : 1 −1
log2 22 an
+ logm−2 (m − 2) 2 1 = (m − 2) 2

(m − 2)2

= 7 log 2 2 − 1 log m−2 (m − 2) → loga xn = n loga x : log2 27 = 7 log2 2
2 log 2 2 2 → loga a = 1: log2 2 = 1, logm−2 (m − 2) = 1

=7−1
22

=3

2. Diberi log5 x = 3 . Cari nilai bagi x.
Penyelesaian:

log5 x = 3
x = 53 → loga y = x  y = ax

2( ) ( )x 53 2 → kuasa dua kedua-dua bahagian untuk menghilangkan punca kuasa dua

=

x = 15625
3. Selesaikan persamaan log3( y +1) = 1+ log3( y − 5)

Penyelesaian: → loga a = 1: 1 = log3 3
log3( y +1) = 1+ log3( y − 5) → loga x + loga y = loga xy : log3 3 + log3( y − 5) = log3 3( y − 5)
log3( y +1) = log3 3 + log3( y − 5) → logb x = logb y  x = y
log3( y +1) = log3 3( y − 5)

( y +1) = 3( y − 5)
y +1 = 3y −15
16 = 2 y
y =8

4. Cari nilai bagi .32log3 4

Penyelesaian: → y = ax  loga y = x
Let 32log3 4 = y → n loga x = loga xn : 2 log3 4 = log3 42
→ logb x = logb y  x = y
2 log3 4 = log3 y
log3 42 = log3 y

42 = y
y = 16

32 log3 4 = 16

66

5. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi 2 log4 8 + 2 log2 5 − 2 − log2 50

Penyelesaian:

2 log4 8 + 2 log2 5 − 2 − log2 50

= 2 log2 8 + log 2 52 − 2 log2 2 − log 2 50 → loga b = logc b , n loga x = loga xn ,1 = loga a
log2 4 logc a

=2 log2 23 + log2 52 − log2 22 − log2 50 → n loga x = loga xn
log2 22

= 2 log2 23 + log2 52 − log2 22 − log2 50 ,
2 log2 2

= log2 23 + log2 52 − log2 22 − log2 50

= log 2  8  25  → loga x + loga y = loga xy , loga x − loga y = loga x
 4  50  y

= log2 1

=0 → loga 1 = 0

6. Permudahkan log9 x − 4 log9 y+1.
2

Penyelesaian:

log9 x − 4 log9 y+1
2

= log9 x − log9  1 2 + 1 log9 9 → n loga x = loga xn , 1 = loga a
  2
y2

1 → n loga x = loga xn

= log9 x − log9 y + log9 92

= log9  3x  → loga x + loga y = loga xy , loga x − loga y = loga x
 y  y
 

67

7. Diberi 2 log4 x − 4 log16 y = 3 , ungkapkan x dalam sebutan y.

Penyelesaian:

2 log4 x − 4 log16 y = 3

log4 x2 − 4 log4 y =3 → n loga x = loga xn , loga b = logc b
log4 42 logc a

log4 x2 − 4 log4 y = 3 → loga xn = n loga x , loga a = 1
2

log4 x2 − 2 log4 y = 3

log4 x2 − log4 y2 = 3 → n loga x = loga xn

log4 x2 =3 → loga x − loga y = loga x
y2 y

x2 = 43 → loga y = x  y = ax
y2

 x 2 = 82 → an =  a n
 y  bn  b 
 

x =8 → am = bm  a = b
y

8. Diberi log2 3 = 1.585 dan log2 5 = 2.322 , tanpa menggunakan kalkulator, nilaikan log8  5  .
 9 

Penyelesaian:

log8  5  = log8 5 − log8 9 → loga x = loga x − loga y
 9  y

= log2 5 − log2 9 → loga b = logc b
log2 8 log2 8 logc a

= log2 5 − log2 32
log2 23 log2 23

= log2 5 − 2 log2 3 → loga xn = n loga x
33

= 2.322 − 2(1.585)
3

=−0.2827

68

9. Diberi log10 a = p , log10 b = q dan log10 c = r , ungkapkan loga 1  dalam sebutan p, q dan r.
 bc 

Penyelesaian:

log a  1  = log a 1 − loga bc → loga x = loga x − loga y
 bc  y

= − (loga b + loga c) → loga xy = loga x + loga y

= −  log10 b + log10 c  → loga b = logc b
 log10 a log10 a  logc a
 

= −  q + r 
 p p 
 

= −  q + r 
 p 
 

=−q+r
p

10. Selesaikan persamaan log3[log2 (2x −1)] = log2 4

Penyelesaian:

log3[log2 (2x −1)] = log2 4

log3[log2 (2x −1)] = log2 22

log3[log2 (2x −1)] = 2 → loga xn = n loga x , loga a = 1

log2 (2x −1) = 32 → loga y = x  y = ax

(2x −1) = 29 → loga y = x  y = ax

2x = 29 +1

x = 513 = 256.5
2

11. Selesaikan persamaan 42x−3 = 5x .

Penyelesaian: → x = y  logb x = logb y
42x−3 = 5x → loga xn = n loga x
log10 42x−3 = log10 5x →Expand

(2x − 3) log10 4 = x log10 5
2x log10 4 − 3log10 4 = x log10 5
2x log10 4 − x log10 5 = 3log10 4
x(2 log10 4 − log10 5) = 3log10 4

x = 3log10 4
2 log10 4 − log10 5

x = 3.576

69

LATIHAN ASAS

1. Permudahkan ungkapan-ungkapan algebra berikut:

(a) 53x  5 (b) c4d 3  c3d 5 (c) (xy2 )3  x3 y5
5− x (f) (49−2 xy)3  (7xy)−2

(d) ( pq5 )4  p3 (e) (7x−1)2  (49−2 xy)3

2. Permudahkan ungkapan-ungkapan algebra berikut:.

1 −1 4a3
(b) −3
(a) a3  2a 2
a5

(c) 5 a7  4 a−9 −3 1 −3 −5

(d) a 2 (a 2 + 3a 2 − 3a 2 )

3. Tukarkan berikut kepada bentuk logaritma.

(a) 34 = 81 (b) 128 = 27 (c) b3 = 125

(d) 6x = 216 (e) 3x = y

4. Tukarkan berikut kepada bentuk indeks.

(a) log10 10000 = 4 (b) log2 128 = 7 (c) logx 3 = 4

(d) 6 = logk h (e) log2 y = x

5. Dengan menggunakan kalkulator, cari nilai berikut:

(a) log10 9 (b) log10  5 2 (c) log2 20 (d) log4 18
 6 

6. Cari nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) log2 64 (b) log10 1000 (c) log4 256 (d) log3 81

7. Selesaikan persamaan berikut.

(a) log2 x = 4 (b) log5 y = 3 (c) log2 h = 8 (d) 2 log3 x = log3 4

8. Cari nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) log5 750 − log5 6 (b) log3 21+ log3 18 − log3 14

(c) log3 8 + 2 log3 6 − log3 96 (d) 2 log4 2 − 1 log 4 9 + log 4 12
9 2

(e) log2 7 + log2 12 − log2 21

70

9. Tulis ungkapan berikut dalam logaritma tunggal.

(a) log2 x + log2 y2 (b) logb x − 3logb y

(c) log3 x + 3log3 y (d) 1 log4 x + 2 − 3 log 4 y
2

(e) log3 m4 + 2 log3 n − log3 m

10. Diberi log2 3 = p dan log2 5 = q , ungkapkan setiap berikut dalam sebutan p dan q

(a) log2 10 (b) log2 45 (c) log2 15

11. Diberi log3 2 = p , ungkapkan setiap berikut dalam sebutan p.

(a) log2 9 (b) log9 8 (c) log2 18 (d) 9
log2 4

12. Diberi log2 m = a dan log2 n = b , ungkapkan setiap berikut dalam sebutan a dan b

(a) log4 m2n3 (b) log8 m (c) logmn 8n
n2

71

LATIHAN FORMAT SPM

1. Permudahakan 2n+1  4n 2n 2. Permudahkan  2x2 3  9y2 2
 3y   4x3 
83    

3. Permudahan 2n+3 − 2n+2 − 2n dalam bentuk 4. Permudahkan 3n+1 + 3n + 9(3n−2 ) dalam
k(2n ) , di mana k adalah pemalar. bentuk k(3n ) , di mana k adalah pemalar.

1 6. Selesaikan persamaan 3x+2 − 3x = 24 .

5. Selesaikan persamaan t 5 = 9 .
3
−4
t5

72

7. Selesaikan persamaan 25(5x−1) − 5x = 100 . ( )8. Diberi 9 3n−1 = 27n , cari nilai bagi n.

9. Selesaikan persamaan: 23x = 8 + 23x−1 . 10. Diberi 25h+3 = 1, ungkapkan p dalam
125 p−1

sebutan h.

11. Diberi 3p = 5q = 15r , ungkapkan r dalam 12. Diberi m = 3a dan n = 3b , ungkapkan
sebutan p dan q.
 mn4 
log3  27  dalam bentuk a dan b.



73

13. Selesaikan persamaan 5x = 32x−1 , berikan 14. Diberi log5 2 = m dan log5 7 = p , ungkapkan
jawapan anda dalam 2 tempat perpuluhan. log5 2.45 dalam sebutan m dan p.

15. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai 16. Selesaikan persamaan
bagi log4 5 log5 6  log6 7 log3( y + 2) = 1+ log3( y − 4) .
log8 7

17. (a) Diberi h = 3p dan k = 2q , ungkapkan (b) Selesaikan persamaan berikut:

log8 k 2 − log9 3 h dalam sebutan p dan log3[log3(80x + 3)] = log4 16

q.

74

18. Diberi log27 (x + 2) = log3 6 , cari nialai bagi 19. Selesaikan persamaan:
x.
log x 8 + 1 log 8=5
3
x

20. Diberi loga 5 = p , ungkapkan dalam bentuk 21. Diberi log3 2 = 0.631 dan log3 5 = 1.465 , cari
p: nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator
(a) loga 25 saintifik.
(b) log5 125a4 (a) log3 1.5

(b) log5 50

Jawapan: 2. 3y , 3. 3(2n ) , 4. 5(3n ) , 5. 1 , 6) x = 1 , 7. 2,
243 13. 1.87, 14. 2p-2m-1
1. 2(n+1), 2 10. p = 2h + 9 , 11. r = pq
3 p+q 12. a + 4b − 3
8. ½, 9. 4/3

15. 1.5, 16. y = 7, 17.(a) 2 q − 1 p (b) x = 246, 18. x = 214, 19. x = 2,
36

3p + 4 21. (a) 0.369 (b) 2.431
20. (a) 2p (b)

p

75

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN
SPM TAHUN 2020

6. GEOMETRI KOORDINAT

76

NOTA DAN CONTOH

6.1: JARAK ANTARA DUA TITIK 6.2: PEMBAHAGIAN TEMBERENG
(a) Titik tengah

atau

(b) Pembahagian tembereng garis dengan nisbah m:n

CONTOH DAN LATIHAN

1. Contoh : (x1, y1) (x2, y2) 2 Diberi dua titik X( –4, –1) dan Y(–2, 1). Cari jarak
antara titik tersebut.

Diberi dua titik A(2, 3) dan B(4, 7). Cari jarak
antara titik tersebut.

Jarak AB = (4 − 2)2 + (7 − 3)2
=
= 4 + 16
20 unit.

3 Contoh : [ 8]
Jarak di antara dua titik A(1, 3) dan B(4, k) ialah 4 Jarak di antara dua titik P(–1, 3) dan Q(5, k) ialah
5 unit. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k.
10 unit. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k.
(4 − 1)2 + (k − 3)2 = 5
9 + k2 − 6k + 9 = 25 [11, −5]
k2 − 6k – 7 = 0
(k – 7)(k + 1) = 0
k = 7 atau k = –1

77

5 6 3. P(0,−1), dan Q(−1, −5)
Contoh :
P(3, 2) dan Q(5, 7)

Titik Tengah, M =  3 + 5 , 2 + 7 
 2 2 

= (4 , 9 ) (- ½ , −3)
2

7 Contoh : 8 Titik P membahagi dalam satu tembereng garis yang

Titik P membahagi dalam satu tembereng garis yang menghubungkan titik M(4, 5) dan N(−8,−5) dalam
menghubungkan titik M(3, 7) dan N(6, 2) dalam nisbah 1 : 3. Cari koordinat titik P.

nisbah 2 : 1. Cari koordinat titik P.

2 ●1

M(3, 7) P(x, y) N(6, 2)

P = 1(3) + 2(6) , 1(7) + 2(2) 
 2+1 2+1 

= 15 , 11
3 3

=  5, 11 
 3 

1, 5
2 

78

6.3: LUAS POLIGON

CONTOH DAN LATIHAN 2 Cari luas bagi segitiga berikut :
1 Contoh : P(2, 6), Q(6, 1) dan R(−1, −7)

Cari luas bagi segitiga berikut :
P(0, 1), Q(1, –3) dan R(2,5)

Luas ∆ PQR

10 1 2 0
=

2 1 −3 5 1
=

1 (0  −3) + (1 5) + (2 1) − (11) − (2  −3) − (0  5)
2
= 1 0 +5+ 2 −1+ 6 −0

2
= 1 12

2
= 6 unit 2

33 1 unit 2 
2 

3 Contoh : 4 Titik-titik (0, 3), (2, t) dan (−2, −1) adalah bucu-

Bucu-bucu sebuah segitiga A(5, 2), B(4, 6) dan bucu sebuah segitiga. Diberi luas segitiga itu ialah 4
unit2, cari nilai-nilai bagi t.
C(p, –2). Diberi luas segitiga ialah 30 unit2, cari

nilai-nilai p.

15 4 p 5
=  30
2 2 6 −2 2

1 30 + (−8) + 2 p − 8 − 6 p − (−10) =  30
2

24 − 4 p =  60

24 – 4p = 60 or 24 – 4p = −60
– 4p = 36 – 4p = −84

p = −9 p = 21

[t = 11, 3]

79

6.4: PERSAMAAN GARIS LURUS 2 Persamaan garis lurus boleh dinyatakan dalam bentuk
1 Rumus kecerunan: berikut :

i)

i) Bentuk am :

ii) ii) Bentuk kecerunan :
;

m = kecerunan , c = pintasan-y

xy
iii) Bentuk pintasan : + = 1 ,

ab
a = pintasan-x , b = pintasan-y

3. Persamaan garis lurus boleh diperoleh dengan dua kaedah.
i) Kaedah 1:

ii) Kaedah 2:

i) Kaedah 1: Contoh :
Jika diberi kecerunan dan satu titik. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (2, −3) dan
mempunyai kecerunan 4.
●
P(x1, y1) y − y1 = m(x − x1 )

Kecerunan = m y – (−3) = 4(x – 2)
y + 3 = 4x – 8
y = 4x – 8 – 3
y = 4x – 11

1 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (5, 2) 2 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−8, 3)

dan mempunyai kecerunan −2. 3
dan mempunyai kecerunan .

4

[y = −2x + 12] [4y = 3x + 36]
80

ii) Kaedah 2: dan pintasan-y, Contoh :
Jika satu garis lurus berkecerunan Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (2, −3) dan
mempunyai kecerunan 4.
;
maka persamaan garis lurus ialah ;

y = 4x – 11

1 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (5, 2) 2 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−8, 3)

dan mempunyai kecerunan −2. 3
dan mempunyai kecerunan .

4

[y = −2x + 12] [4y = 3x + 36]

4. 3 BENTUK PERSAMAAN GARIS LURUS; (a) Bentuk kecerunan;
(a) Bentuk Kecerunan, Contoh:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A(2, 3) dan
dengan keadaan keceruan, B(-1, 6).
pintasan-y.
; A(2, 3)
(b) Bentuk Am
y – (3) = -1(x – 2)
dengan keadaan , dan adalah
pemelar.

(c) Bentuk pintasan, pintasan-y
dengan keadaan
pintasan-x;

81

(b) Bentuk Am; (c) Bentuk Pintasan;

Contoh: Contoh:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A(2, 3) Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A(2, 3) dan
dan B(-1, 6). B(-1, 6).

; A(2, 3) ; A(2, 3)
y – (3) = -1(x – 2) y – (3) = -1(x – 2)

1 Soalan: 2 (b) Bentuk Am;

(a) Bentuk kecerunan; Cari persamaan garis lurus yang melalui
titik T(3, 4) dan U(7, 12).
Cari persamaan garis lurus yang melalui
titik T(3, 4) dan U(7, 12).

[ ] []
[]
3 (c) Bentik Pintasan

Cari persamaan garis lurus yang melalui
titik T(3, 4) dan U(7, 12).

82

6.5 GARIS SELARI DAN GARIS SERENJANG Contoh :
(a) Garis Selari
Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang
Dua garis adalah selari jika,
berikut adalah selari atau tidak.
1) Tentukan sama ada setiap pasangan garis y = 3x – 2 dan 3x – y = 4
lurus yang berikut adalah selari atau
tidak. y = 3x – 2 ,
m1 = 3
y = 2x + 5 and 4x + 2y = 9 3x – y = 4

y = 3x – 4 ,
m2 = 3

Oleh sebab m1 = m2 ,

 dua garis adalah selari.

2) Tentukan sama ada setiap pasangan garis

lurus yang berikut adalah selari atau tidak.

6y = 2 − 3x and x − y = 4
36

[N] [Y]
Contoh :
(b) Garis serenjang
Dua garis adalah serenjang jika Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut

adalah berserenjang atau tidak.
y = 3x – 2 dan x + 3y = 4

y = 3x – 2 , x + 3y = 4
m1 = 3 3y = – x + 4

y = −1x + 4 ,
33

m2 = − 1
3

Oleh sebab m1× m2 = 3  − 1 = −1 ,
3

 dua garis lurus adalah berserenjang.

83

1) Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang 2) Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut
berikut adalah berserenjang atau tidak. adalah berserenjang atau tidak.

y = 2x + 5 and 4x + 2y = 9 6y = 2 − 3x and x − y = 4
36

[T] [Y]

Contoh : 1 Rajah 2 menunjukkan garis lurus PQ yang mempunyai

Rajah 1 menunjukkan garis lurus PQ yang mempunyai persamaan x + y = 1 . Carikan persamaan garis lurus yang
persamaan x + y = 1. Carikan persamaan garis lurus 62

23 berserenjang dengan PQ dan melalui titik P.

yang berserenjang dengan PQ dan melalui titik Q. y
(SPM 2004)

y Q Rajah 2
Q P
O
Rajah 1 Jawapan: x

P [y = 3x – 18]
Ox
Jawapan :
x + y =1
23
Kecerunan PQ, m1 = − 3 , so m2 = 2

23
Koordinat Q (0, 3)

 Persamaan garis lurus yang berserenjang dengan PQ
dan melalui titik Q:

y – 3 = 2 (x – 0)
3
2

y= x+3
3

84

2 Rajah 3 menunjukkan garis lurus RS yang mempunyai 3 Rajah 4 menunjukkan garis lurus AB yang mempunyai

persamaan x + 2y = 6. persamaan 2x – 3y = 6.

Carikan persamaan garis lurus yang berserenjang dengan Carikan persamaan garis lurus yang berserenjang dengan AB

RS dan melalui titik S. dan melalui titik B.

yy

R Rajah 3 O Bx
O A Rajah 4
S Jawapan :
x

Jawapan :

[y = 2x + 3] [y = − 3 x – 2]

2

85

6.6 PERSAMAAN LOKUS Kes 1:
i) Rumus:

dan adalah titik koordinat. Contoh:
Cari persamaan lokus bagi titik P yang bergerak supaya
ii) Terdapat 2 kes iaitu; jaraknya dari titik A(−4, 9) sentiasa 5 unit.
Kes 1:
Lokus bagi satu titik yang bergerak dengan keadaan Katakan titik P(x, y)
jaraknya dari satu titik tetap adalah suatu pemalar. PA = 5

Kes 2: ( x + 4)2 + ( y − 9)2 = 5
Lokus bagi satu titik yang bergerak dengan keadaan
nisbah jarak dari dua titik tetap adalah satu pemalar. Kuasaduakan kedua-dua belah persamaan untuk
menghapuskan punca kuasa dua,

(x + 4)2 + (y – 9)2 = 25
x2 + 8x + 16 + y2 – 18y + 81 – 25 = 0

x2 + y2 + 8x − 18y + 72 = 0

Kes 3:

Lokus bagi satu titik yang bergerak di mana

jaraknya dari A dan B adalah dalam nisbah

Soalan: 2 Cari persamaan lokus bagi titik P yang bergerak supaya

1 jaraknya dari titik A(−3, 2) sentiasa 3 unit.
Cari persamaan lokus bagi titik P yang bergerak supaya
jaraknya dari titik A(2, 3) sentiasa 5 unit.

[ x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0] [ x2 + y2 + 6x − 4y + 4 = 0]
86

Kes 2:

Contoh: Q(6,●-5) R(1, 9)
Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P dimana
jarak P dari titik Q(6, −5) dan R(1, 9) adalah sama. ●

Katakan P = (x, y), ●P(x, y)
PQ = PR
Locus of P
(x − 6)2 + ( y − (−5)2 = (x − 1)2 + ( y − 9)2

Kuasaduakan kedua-dua belah persamaan untuk menghapuskan punca kuasa dua,

( ) ( )x − 6)2 + ( y + 5 2 = x −1)2 + ( y − 9 2

x2 −12x + 36 + y 2 + 10 y + 25 = x2 − 2x + 1 + y 2 −18y + 81

10x − 28y + 21 = 0

Soalan: 2 Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P dimana jarak P
1 Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P dimana jarak dari titik Q(2, -3) dan R(-4, 5) adalah sama.

P dari titik Q(2, 5) dan R(4, 2) adalah sama.

[4x – 6y+ 9 =0] [3x – 4y + 7 = 0]

87

Kes 3:
(Nota : Lakar rajah untuk membantu anda menggunakan formula jarak dengan betul.)

Contoh :

Suatu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(-2, 3) dan B(4, 8) adalah dalam nisbah 1 : 2. Cari

persamaan lokus titik P.

A(−2, 3), B(4, 8) dan m : n = 1: 2 B(4, 8)
2
Katakan P = (x, y)

PA = 1 A(-2, 3)
PB 2
2PA = PB

2 (x − (−2))2 + ( y − 3)2 = (x − 4)2 + ( y − 8)2

2 1 ●P(x, y)

(x + 2)2 + ( y − 3)2 =
( ) ( )(2)2
x − 4)2 + ( y − 8 2

4 (x + 2)2 + ( y − 3)2  = ( x − 4)2 + ( y − 8)2

4x2 +16x +16 + 4 y2 − 24 y + 36 = x2 − 8x +16 + y2 −16 y + 64

3x2 + 3y2 + 24x − 8y − 28 = 0

Soalan: 2 Suatu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari
titik A(1, 3) dan B(-2, 6) adalah dalam nisbah 1 : 2.
1 Cari persamaan lokus titik P.
Suatu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari
titik A(1, 5) dan B(4, 2) adalah dalam nisbah 2 : 1. A(1, 3), B(−2, 6) dan m : n = 1 : 2
Cari persamaan lokus titik P.

A(1, 5), B(4, 2) dan m : n = 2 : 1

[x2+ y2 – 4x – 4y = 0]

[x2+y2 – 10x – 2y + 19 = 0]

88

NOTA TAMBAHAN

QR CODE / LINK VIDEO

https://youtu.be/IryKqz_85ys

https://youtu.be/NJKYFfeT40E

https://youtu.be/mvkpmuSJ4Q8

89

LATIHAN TAMBAHAN: SOALAN BERFORMAT SPM (Kertas 1)

1 Persamaan dua garis lurus adalah y + x = 1 dan 5y 2 Persamaan dua garis lurus adalah x − y = 4 dan 3y =
53 32

= 3x + 24. Tentukan sama ada kedua-dua garis lurus 2x + 6. Tentukan sama ada kedua-dua garis lurus itu

itu berserenjang antara satu sama lain. berserenjang antara satu sama lain.

(2003)

[N]
[Y]

3 Maklumat berikut adalah berkaitan dengan 4 Maklumat berikut adalah berkaitan dengan persamaan
persamaan dua garis lurus, JK dan RT, yang dua garis lurus, PQ dan RS, yang berserenjang antara

berserenjang antara satu sama lain. (2005) satu sama lain.

JK : y = px + k PQ : px + y = k
RT : y = (k – 2)x + p RS : y = (2k –1)x + p

dengan keadaan p and k adalah pemalar. dengan keadaan p and k adalah pemalar.

Ungkapkan p dalam sebutan k. Ungkapkan p dalam sebutan k.

 p = − 2 1 k   p = 1
 −   2k −1

90

5 Diberi titik A(−1, 2) dan B(4, 6). Titik P bergerak 6 Diberi titik R (3, −5) dan S (0, 1). Titik P bergerak
dengan PA : PB = 2 : 3. Cari persamaan lokus P. dengan PR : PS = 2 : 1. Cari persamaan lokus P.

(2004)

[5x2+5y2+50x+12y – 163=0] [x2+y2+2x – 6 y – 10 = 0]

7 Diberi titik A(8, −2) dan B(4, 6). Cari persamaan 8 Diberi titik R(2, −3) dan S(4, 5). Titik P bergerak di
pembahagi dua sama serenjang AB. mana jaraknya sentiasa sama dari titik R dan titik S.

Cari persamaan lokus titik P.

2y = x – 2 x+4y = 7

91

LATIHAN TAMBAHAN : SOALAN BERFORMAT SPM (Kertas 2)

SPM 2005
Contoh:
Dalam rajah, ABC = 90° dan persamaan garis lurus BC ialah 2y + x + 6 = 0

A(−4, 9) y

B x
2y + x + 6 = 0 O

C

(a) Carikan [2
[3
(i) persamaan garis lurus AB,
markah]
(ii) koordinat B.

markah]

(b) Garis lurus AB dipanjangkan ke suatu titik D dengan keadaan AB : BD = 2 : 3. Cari koordinat D.
[2 markah]

(c) Suatu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A adalah sentiasa 5 unit. Carikan persamaan lokus bagi P.
[3 markah]

Jawapan: (c) ( x − 9)2 + ( y + 4)2 = 5
(a) (i) 2y = −x – 6
x2 – 18x + 81 + y2 + 8y + 16 – 25 = 0
y = −1 x−3 x2 + y2 – 18x + 8y + 72 = 0
2

m1 = − 1
2

m2 = 2

Persamaan AB : y – 9 = 2(x + 4)
y = 2x + 8 + 9
y = 2x + 17

(ii) y = 2x + 17 ……..(1)
2y + x + 6 = 0 …………(2)

Gantikan (1) ke dalam (2);

2(2x + 17) + x + 6 = 0

5x = −40

x = −8

Gantikan x = −8 ke dalam (1);

y = 2(−8) + 17

y = 1  koordinat B = (−8, 1)

(b) 2(x) + 3(−4) = −8 , 2( y) + 3(9) = 1
55

2x - 12 = −40 2y + 27 = 5

x = −14 y = −11

 koordinat D = (−14, −11)

92

1 Dalam Rajah 1, garis lurus PQ dan QR adalah berserenjang antara satu sama lain. Persamaan garis lurus QR ialah
y
y + 3x − 22 = 0 .

Q

y + 3x – 22 = 0

P (−3, 1) x
O R

Rajah 1

(a) Cari [6 markah]
(i) persamaan garis lurus PQ. [2 markah]
(ii) koordinat titik Q.

(b) Garis lurus PQ dipanjangkan ke titik S dengan keadaan PQ : QS = 3 : 2. Cari koordinat titik S.

(c) Titik T bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik P sentiasa 3 unit. Cari persamaan lokus bagi titik T.
[2 markah]

Jawapan :

(a) (i) y = 1 x + 2
3

(ii) Q(6, 4)
(b) S =( 12, 6)
x2+ y2 + 6x – 2y + 1 = 0

93

2

Rajah 2
Rajah 2 menunjukkan sebuah segitiga OEF di mana O ialah titik asalan. Titik G terletak pada garis OF.
(a) Hitungkan luas, dalam unit2, segitiga OEF.
(b) Diberi OG : GF = 3 : 2, cari koordinat bagi G.
(c) Titik W bergerak dengan keadaan jaraknya dari F sentiasa dua kali jaraknya dari E.

(i) Cari persamaan lokus bagi titik W.
(ii) Tentukan ada atau tidak lokus itu berpintas dengan paksi-y.

[10 markah]

Jawapan :

(a) 23 units

(b)  36 ,3 
 5 

(c) (i) 3x2 + 3y2 + 40x – 14y – 117 = 0

(ii) lokus bagi titik w bersilang paksi-y.

94

MODUL MATEMATIK TAMBAHAN
SPM TAHUN 2020
7. PEMBEZAAN

95

NOTA

96

97

TITIK MAKSIMUM/ MINIMUM

98

99

100