3 บทที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว เปล่า update

เรือ่ ง สมการกาลังสองตัวแปรเดียว

การแกส้ มการกาลงั สองตวั แปรเดยี วโดยใชส้ ตู ร

สมการกาลงั สอง 2 + + = 0 เม่อื , , เป็นค่าคงตัว และ ≠ 0 สามารถหาคาตอบ
โดยใชส้ ตู รตอ่ ไปน้ี

− ± 2 − 4
= 2

โดยมีเงื่อนไขต่อไปน้ี
ถา้ 2 − 4 > 0 คาตอบของสมการกาลงั สองจะมี 2 คาตอบ
ถา้ 2 − 4 = 0 คาตอบของสมการกาลงั สองจะมี 1 คาตอบ
ถ้า 2 − 4 < 0 ไมม่ ีจานวนจรงิ ใดเปน็ คาตอบของสมการ

กลมุ่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 3

เร่อื ง สมการกาลังสองตวั แปรเดียว

ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ 2 − 3 − 18 = 0

วธิ ี1 แยกตวั ประกอบ วิธี2 โดยใชส้ ูตร

จาก 2 − 3 − 18 = 0

จาก 2 − 3 − 18 = 0 = 1, = −3, = −18

+ 3 − 6 = 0 แทนคา่ ในสูตร = − ± 2−4
2
+ 3 = 0 หรอื − 6 = 0
3 ± −3 2 − 4 1 −18
= 2 1
= −3 = 6
3±9
ดงั นน้ั คาตอบของสมการน้ี คือ −3 และ 6 = 2

ดังนัน้ คาตอบของสมการน้ี คอื -3 และ 6

กลมุ่ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3

เรอื่ ง สมการกาลงั สองตัวแปรเดียว

กรณี 2 − 4 > 0

ตัวอยา่ ง จงแกส้ มการ 2 − 2 − 5 = 0

จาก 2 − 2 − 5 = 0

= 1, = −2, = −5

แทนคา่ ในสูตร = − ± 2−4
2

2 ± −2 2 − 4 1 −5
= 2 1

2 ± 24 2 ± 2 6 =1± 6
= 2 =2
ดังนนั้ คาตอบของสมการนี้ คือ 1 + 6 และ 1 − 6

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 3

เร่อื ง สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว

ตัวอยา่ ง จงแก้สมการ 2 − 7 − 10 = 0

จาก 2 − 7 − 10 = 0

= 1, = −7, = −10

แทนค่าในสูตร = − ± 2−4
2

7 ± −7 2 − 4 1 −10
= 2 1

7 ± 89 7 − 89 และ 7 + 89
= 2 2
2
ดงั น้ันคาตอบของสมการน้ี คือ
ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 3
กลุ่มสาระการเรยี นคณติ ศาสตร์

เรื่อง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

ตวั อย่าง จงแก้สมการ 2 + 11 + 2 = 0

จาก 2 + 11 + 2 = 0

= 1, = 11, = 2

แทนคา่ ในสูตร = − ± 2−4
2

−11 ± 11 2 − 4 1 2
= 2 1

−11 ± 113
= 2

ดังนัน้ คาตอบของสมการน้ี คือ −11 − 113 และ −11 + 113

22

กล่มุ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 3

เรอื่ ง สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว

ตัวอยา่ ง จงแกส้ มการ 2 + 20 − 6 = 0

จาก 2 + 20 − 6 = 0

= 1, = 20, = −6

แทนคา่ ในสูตร = − ± 2−4
2

−20 ± 20 2 − 4 1 −6
= 2 1

−20 ± 424 −20 ± 2 106 = −10 ± 106
= 2 =2

ดังน้นั คาตอบของสมการนี้ คือ −10 − 106 และ −10 + 106

กลุม่ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 3

เรอื่ ง สมการกาลังสองตวั แปรเดียว

ตวั อย่าง จงแกส้ มการ 2 2 + 5 − 3 = 0

จาก 2 2 + 5 − 3 = 0

= 2, = 5, = −3

แทนคา่ ในสตู ร = − ± 2−4
2

−5 ± 5 2 − 4 2 −3
= 2 2

−5 ± 49 −5 ± 7
= 4 =4

ดงั นน้ั คาตอบของสมการน้ี คอื 1 และ −3

2

กลุม่ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3

เรื่อง สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว

ตัวอย่าง จงแก้สมการ 3 2 + 7 − 2 = 0

จาก 3 2 + 7 − 2 = 0 −7 − 73
6
= 3, = 7, = −2
ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3
แทนค่าในสตู ร = − ± 2−4
2

−7 ± 7 2 − 4 3 −2
= 2 3

−7 ± 73
= 6

ดงั น้นั คาตอบของสมการน้ี คือ −7 + 73 และ

6

กลุ่มสาระการเรียนคณิตศาสตร์

เร่อื ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

กรณี 2 − 4 < 0

ตัวอย่าง จงแกส้ มการ 2 − 5 + 8 = 0

จาก 2 − 5 + 8 = 0

= 1, = −5, = 8

แทนค่าในสตู ร = − ± 2−4
2

5 ± −5 2 − 4 1 8
= 2 1

5 ± −7
= 2

เนอ่ื งจาก 2 − 4 < 0 ไมม่ ีจานวนจรงิ ใดเปน็ คาตอบของสมการ

กลุ่มสาระการเรียนคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3

เรื่อง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

ตัวอย่าง จงแกส้ มการ 2 + 3 + 12 = 0

จาก 2 + 3 + 12 = 0

= 1, = 3 = 12

แทนค่าในสูตร = − ± 2−4
2

−3 ± 3 2 − 4 1 12
= 2 1

−3 ± −39
= 2

เนอ่ื งจาก 2 − 4 < 0 ไมม่ ีจานวนจริงใดเปน็ คาตอบของสมการ

กลุม่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3

เรอื่ ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

ตัวอย่าง จงแกส้ มการ 2 − + 1 = 0

จาก 2 − + 1 = 0

= 1, = −1 = 1

แทนคา่ ในสูตร = − ± 2−4
2

1 ± −1 2 − 4 1 1
= 2 1

1 ± −3
= 2

เนอ่ื งจาก 2 − 4 < 0 ไมม่ จี านวนจรงิ ใดเป็นคาตอบของสมการ

กลุม่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3

กรณี 2 − 4 = 0 เร่อื ง สมการกาลงั สองตัวแปรเดยี ว

ตวั อย่าง จงแกส้ มการ 2 2 − 4 + 2 = 0 ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 3

จาก 2 2 + 4 + 2 = 0

= 2, = 4, = 2

แทนคา่ ในสตู ร = − ± 2−4
2
−4 ± 4 2 − 4 2 2

= 2 2
2± 0

= 2

ดังนั้นคาตอบของสมการนี้ คอื 1

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์

ตัวอยา่ ง จงแกส้ มการ 2 − 6 + 9 = 0 เรอื่ ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว
จาก 2 − 6 + 9 = 0
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 3
= 1, = −6, = 9

แทนค่าในสตู ร = − ± 2−4
2
6 ± −6 2 − 4 1 9

= 2 1
6± 0

= 2

ดังน้ันคาตอบของสมการนี้ คอื 3

กล่มุ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์

ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ 2 − 8 + 16 = 0 เร่ือง สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว
จาก 2 − 8 + 16 = 0
ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 3
= 1, = −8, = 16

แทนค่าในสตู ร = − ± 2−4
2
8 ± −8 2 − 4 1 16

= 2 1
8± 0

= 2

ดงั นน้ั คาตอบของสมการนี้ คอื 4

กล่มุ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์

เร่ือง สมการกาลังสองตัวแปรเดียว

3.3 โจทยป์ ญั หา

ตวั อยา่ ง จานวนเต็มบวกสองจานวนรวมกนั เทา่ กบั 14 ถา้ ยกกาลงั สองของแตล่ ะจานวนมา
บวกกนั จะเทา่ กับ 106 จงหาจานวนสองจานวนน้นั

ให้ จานวนแรกคือ หาร 2 ตลอด

อีกจานวนหน่งึ คอื 14 - 2 − 14 + 45 = 0
ยกกาลงั สองของแต่ละจานวนมาบวกกนั จะเทา่ กบั 106
− 9 − 5 = 0

2 + 14 − 2 = 106 − 9 = 0 และ − 5 = 0
= 9 และ = 5
2 + 196 − 28 + 2 = 106 ดังน้นั จานวนแรกคอื 9 อีกจานวนคือ 5
2 2 − 28 + 196 = 106

2 2 − 28 + 90 = 0

กลุม่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 3

เรอื่ ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

ตัวอย่าง ผลคูณของจานวนคู่บวกสองจานวนทเ่ี รียงตดิ กนั เปน็ 224 จงหาจานวนคู่สอง
จานวนนน้ั

ให้ จานวนแรกคอื + 16 = 0 และ − 14 = 0
อีกจานวนหนง่ึ คือ + 2
= −16 = 14
ผลคณู ของจานวนคู่บวกสองจานวนท่เี รยี งติดกนั เป็น 224
ดังน้นั จานวนแรกคอื 14
+ 2 = 224 อีกจานวน คอื 14 + 2 = 16

2 + 2 = 224 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 3
2 + 2 − 224 = 0
+ 16 − 14 = 0

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์

เรื่อง สมการกาลงั สองตัวแปรเดยี ว

ตวั อยา่ ง รูปส่เี หลี่ยมมมุ ฉากรปู หน่งึ มีด้านหน่ึงยาวกวา่ สองเทา่ ของอีกด้านหนง่ึ อยู่ 3 เซนติเมตร
และมพี ืน้ ท่ี 65 ตารางเซนตเิ มตร จงหาความยาวเส้นรอบรูปของรปู ส่ีเหลี่ยมนี้

ให้ สเ่ี หล่ยี มมมุ ฉากด้านหนึ่งยาว 2 + 13 − 5 = 0

ดา้ นกว้างยาว 2 +3 2 + 13 = 0 และ − 5 = 0
2 +3
2 = −13 =5

13
= − 2

เน่อื งจากความยาวดา้ นต้องเป็นบวกดงั นนั้ ด้านกว้างยาว

2 + 3 = 65 เท่ากับ 5

2 2 + 3 = 65 ความยาวดา้ นยาวเท่ากับ 2 5 + 3 = 13

2 2 + 3 − 65 = 0 ความยาวรอบรปู เท่ากับ 2 5 + 2 13 = 36 เซนตเิ มตร

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3

เรอ่ื ง สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว

ตวั อยา่ ง รูปสี่เหล่ยี มผืนผ้ามีพืน้ ท่ี 500 ตารางหน่วย มดี ้านยาวยาวกวา่ ด้านกว้าง 5 หน่วย
รปู สี่เหลี่ยมนม้ี ีความยาวรอบรปู เทา่ ใด

ให้ สเ่ี หล่ยี มมีด้านยาว + 25 − 20 = 0
ดา้ นกว้างยาว +5
+5 + 25 = 0 และ − 20 = 0

= −25 =20

+ 5 = 500 เนื่องจากความยาวดา้ นตอ้ งเป็นบวก ดังน้นั ดา้ นกว้างยาว
2 + 5 = 500 เท่ากบั 20
2 + 5 − 500 = 0
ความยาวด้านยาวเท่ากบั 20 + 5 = 25

ความยาวรอบรปู เทา่ กบั 2 20 + 2 25 = 90 เซนตเิ มตร

กล่มุ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3

เร่อื ง สมการกาลงั สองตัวแปรเดียว

ทดสอบ

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 3

1. ค่า จากสมการ 2 + 3 = 0 ตรงกบั ขอ้ ใด เร่อื ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

ก. 0 ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 3
ข. -3, 3
ค. 0, −3
ง. 0,3

กล่มุ สาระการเรียนคณิตศาสตร์

เรอ่ื ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

2. คา่ จากสมการ 2 ( − 3) = 0 ตรงกับข้อใด

ก. 3 ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 3
ข. −3
ค. 0, −3
ง. 0, 3

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์

เรอ่ื ง สมการกาลังสองตวั แปรเดยี ว

3. ค่า จากสมการ 2 + 15 + 36 = 0 ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. −3, −12
ข. 3,12
ค. 3
ง. −12

กลมุ่ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 3

เรอื่ ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

4. ค่า จากสมการ 2 + 7 − 18 = 0 ตรงกบั ข้อใด

ก. 2,13 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3
ข. −6,8
ค. −6, −13
ง. 6,13

กล่มุ สาระการเรียนคณิตศาสตร์

เรอ่ื ง สมการกาลังสองตวั แปรเดยี ว

5. ค่า จากสมการ 2 + 15 + 36 = 0 ตรงกบั ข้อใด

ก. −9, 2
ข. 9,2
ค. 3,2
ง. −9,5

กลมุ่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 3

เร่ือง สมการกาลังสองตวั แปรเดยี ว

6. คา่ จากสมการ 7 2 + 37 − 30 = 0 ตรงกบั ข้อใด

ก. 5
6, − 7

ข. 3
−2, − 7

ค. 5
−6, 7

ง. 3
6, − 7

กลุม่ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3

เรือ่ ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

7. ค่า จากสมการ 2 − 8 − 2 = 0 ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 8 − 6 2 8 + 6 2 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3
6,6

ข. 4 − 3 2 4 + 3 2
6,6

ค. 8 − 6 2, 8 + 6 2

ง. 4 − 3 2, 4 + 3 2

กล่มุ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์

8. สมการในข้อใดมี 1 คาตอบ เรอื่ ง สมการกาลังสองตวั แปรเดียว

ก. 2 − 2 − 8 = 0 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3
ข. 2 − 5 − 2 = 0
ค. 2 − 20 + 10 = 0
ง. 2 − 10 + 25 = 0

กล่มุ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์

เรือ่ ง สมการกาลังสองตัวแปรเดียว

9. ผลคณู ของจานวนคู่บวกสองจานวนทเ่ี รียงติดกนั เปน็ 1088 ข้อใดคือผลบวก
ของจานวนคสู่ องจานวนนั้น

ก. 66
ข. 20

ค. 34
ง. 88

กลมุ่ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 3

เร่อื ง สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว

10. รูปสเ่ี หลีย่ มผนื ผ้ามพี นื้ ท่ี 120 ตารางหนว่ ย มดี า้ นยาวยาวกวา่ ด้านกว้าง 2
หนว่ ย รปู สเ่ี หลย่ี มนม้ี ีความยาวรอบรูปเท่ากับข้อใด

ก. 36
ข. 22

ค. 44
ง. 58

กลุม่ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 3