2แฟกทอเรียลการเรียงสับเปลี่ยน

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝึกหดั คณติ ศาสตร์ ค31105 หน้า 10

ช่อื .............................................................................................ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่........../............ เลขท่ี....................

2 แฟกทอเรียล(Factortial)

เมอ่ื n เป็นจานวนเตม็ บวก แฟกทอเรียล n หมายถงึ ผลคูณของจานวนเต็มบวกตง้ั แต่ 1 ถงึ n
เขียนแทนด้วย n!

n!  n  n 1  n  2  n  3  . . .  3  2  1

จะเห็นว่า n!  n  n 1!

แทนค่า n 1
จะได้
1!  1 11!

1  1 0!

ดังนน้ั 0!  1
แบบฝกึ หัดท่ี 1

1. จงเตมิ คาตอบ
1) 0!  ................................................................ 2) 1!  ................................................................

3) 2!  ................................................................ 4) 3!  ................................................................

5) 4!  ................................................................ 6) 5!  ................................................................

7) 6!  ................................................................ 8) 7!  ................................................................

9) 5!  ................................................................ 10) 8!  ................................................................

4! 7!

11) 4!  ................................................................ 12) 7!  ................................................................

3! 5!

13) 4!  ................................................................ 14) 15!  ...............................................................

0! 13!

15) 8!  ................................................................ 16) 5!  ................................................................

6! 6!

17) 11!  .............................................................. 18) 3!  ................................................................

12! 1!

19) 9!  ............................................................... 20) 9!  ................................................................

10! 7!

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ค31105 หนา้ 11

21) n!  ............................................................................................................................

(n 1)!

22) n!  ............................................................................................................................

(n 2)!

23) n!  ............................................................................................................................

(n 3)!

24) (n 1)!  ............................................................................................................................

(n  1)!

25) (n  2)!  ............................................................................................................................

n!

26) (n 1)!  ............................................................................................................................

(n 2)!

27) (n  2)!  ............................................................................................................................

n!

28) n!n!  ............................................................................................................................

(n1)!(n 1)!

2. จงหาค่า n จากสมการตอ่ ไปนี้ 2) n!  30
1) n!  7
(n 2)!
(n  1)!

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

3) n!  132 4) (n  2)!  12

(n 2)! n!

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝึกหดั คณติ ศาสตร์ ค31105 หน้า 12

5) (n  1)!  420 6) n!  210

(n  1)! (n 3)!

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

7) n!  n! 8) n!  n!

(n 8)!8! (n 9)!9! (n 6)!6! (n 8)!8!

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

....................................................................................... .......................................................................................

3. จงเขียนผลคูณตอ่ ไปนใ้ี ห้อยใู่ นรปู แฟกทอเรียล 2) 10  9 8
1) 4  3 2 1

= ................................................................................... = ...................................................................................

................................................................................... ...................................................................................

3) 70  69  68  67  66 4) (n 3)  (n 2)  (n1)

= ................................................................................... = ...................................................................................

................................................................................... ...................................................................................

5) n(n1)  (n 2)  (n 3)  (n 4) 6) แถม n(n2 1)  (n2  4)  (n2  9)  (n2 16)

= ................................................................................... = ...................................................................................

................................................................................... ...................................................................................

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ค31105 หนา้ 13

3 วธิ เี รยี งสับเปลี่ยน (Permutation)

ถ้ามีสิ่งของ n สงิ่ ทมี่ ลี ักษณะแตกตา่ งกนั

วิธเี รยี งสบั เปล่ียน (Permutation) หมายถึง การนาส่งิ ของ n ส่ิง มาจัดเรยี งคราวละ r สง่ิ
โดยท่ี (1  r  n) โดยถืออันดบั เปน็ สาคัญ

ตวั อยา่ งเชน่ สมมตติ วั อักษร a b c
เมื่อนามาจดั เรียงอันดบั ท้ัง 3 สิ่ง จะได้ดงั นี้ abc acb bca bac cab cba ซงึ่ ได้ทง้ั หมด 6 วธิ ี

วธิ เี รียงสบั เปลี่ยนท่ีจะกล่าวถงึ ในที่นี้มี 2 ลกั ษณะ คือ
1. วธิ เี รียงสบั เปลีย่ นเชิงเสน้ หรือวิธเี รียงสับเปลยี่ นในแนวตรง
2. วิธีเรยี งสบั เปลย่ี นเชิงวงกลม

ซึ่งในแต่ละลักษณะจะแยกเป็นวธิ ีเรยี งสบั เปล่ยี นของส่ิงของท่ีแตกตา่ งกนั ทัง้ หมด
และวิธเี รียงสับเปล่ียนของส่งิ ของทม่ี ีบางส่งิ ซ้ากนั ดงั น้ี

3. 1 วธิ ีเรียงสบั เปลยี่ นเชงิ เส้น (Linear permutation)

1. การหาจานวนวธิ เี รยี งสับเปล่ียนของ n สง่ิ ซ่งึ แตกต่างกันทง้ั หมด นามาจัดเรียงครง้ั ละ n สง่ิ

ตวั อย่าง ในการจัดนักเรยี น 4 คน น่งั เรียงเป็นแถวตรงสามารถใชก้ ฎเกณฑ์เบื้องต้นเกยี่ วกับการนบั
โดยใช้หลกั การคูณมาคานวณหาจานวนวธิ ีได้ทง้ั หมด ดงั นี้

ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กนักเรยี น 1 คน จากนักเรยี น 4 คน มาน่ังในตาแหน่งท่ี 1 ซ่งึ สามารถเลอื ก ได้ 4 วิธี
ขนั้ ตอนท่ี 2 เลอื กนักเรียน 1 คน จากนักเรียนเหลือ 3 คน มานั่งในตาแหน่งท่ี 2 ซึ่งสามารถเลือก ได้ 3 วธิ ี
ข้นั ตอนท่ี 3 เลือกนักเรยี น 1 คน จากนักเรยี นเหลือ 2 คน มาน่ังในตาแหน่งที่ 3 ซง่ึ สามารถเลอื ก ได้ 2 วธิ ี
ขน้ั ตอนที่ 4 เลือกนักเรียน 1 คน จากนักเรียนเหลือ 1 คน มาน่งั ในตาแหน่งท่ี 4 ซ่งึ สามารถเลอื ก ได้ 1 วธิ ี
จากการทางาน 4 ขั้นตอนท่ตี ่อเน่ืองกัน จะได้จานวนวิธที ้ังหมด 4 × 3 × 2 × 1 วธิ ี หรือ 4! วธิ ี ซึ่งเท่ากับ 24 วิธี

นนั่ คอื

ถ้ามสี ิง่ ของที่แตกต่างกัน n สิ่งตอ้ งการนาสงิ่ ของท้งั หมด n สงิ่
มาเรยี งสับเปล่ยี นเชงิ เส้นจะไดจ้ านวนวธิ ที ้งั หมด n! วิธี

“ ตื่นเชา้ ....ไดง้ านหลาย
ต่ืนสาย....ไดง้ านนอ้ ย ”

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝกึ หดั คณติ ศาสตร์ ค31105 หนา้ 14

2. การหาจานวนวิธเี รยี งสับเปล่ียนของ n สง่ิ ซง่ึ แตกต่างกนั ท้ังหมด นามาจดั เรียงคร้ังละ r สง่ิ
(r  n) จะได้ดังน้ี

จานวนวิธเี รียงสบั เปล่ียนของ n สง่ิ ซึ่งแตกต่างกันทง้ั หมด นามาจัดเรยี ง

ครั้งละ r สง่ิ (r  n) จะได้ n! วธิ ี
(n r)!

ใชส้ ญั ลักษณ์ Pn,r หรือ nPr หรอื n Pr แทน “จานวนวธิ ีเรียงสับเปลี่ยนของ n ส่ิง ซ่งึ แตกตา่ งกันท้งั หมด
นามาจดั เรียงคร้งั ละ r สงิ่ ” (r  n)

Pn,r  n!
(n r)!

ตวั อย่าง มหี นังสอื 9 เล่มแตกต่างกัน จะจดั เรยี งบนชัน้ หนังสือซ่ึงมีทว่ี า่ ง 4 ท่ี ได้ก่วี ิธี

วิธที ำ จาก Pn,r  n!
(n r)!

พบวา่ n = 9 และ r = 4

จะได้ P9,4  (9 9!
 4)!

 9!
5!

 9876

 3,024 วิธี

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ค31105 หน้า 15

3. การหาจานวนวธิ เี รยี งสับเปล่ียนของ n สง่ิ ซง่ึ ไม่แตกต่างกนั ท้ังหมด

ถา้ มีสง่ิ ของอยู่ n สง่ิ ในจานวนนีม้ ี

n1 สิ่งท่ีเหมือนกันเปน็ กลุ่มที่ 1
n2 ส่ิงทเ่ี หมอื นกันเป็นกลุ่มท่ี 2
.

.

.

nk สิง่ ท่เี หมอื นกนั เป็นกลุ่มท่ี k

โดยที่ n1  n2  n3 ... nk  n แลว้ จะไดว้ ่าจานวนวิธีเรียงสบั เปลี่ยนกลมุ่ ของสิ่งของ n ส่งิ
เทา่ กบั n!

n1 !  n2 !  n3 !  ...  nk !

ตวั อย่าง จงหาจานวนวธิ เี รียงสบั เปลี่ยนตัวอักษรจากคาว่า MATHEMATICS ทแี่ ตกต่างกนั
โดยไม่คานึงถงึ ความหมาย
วธิ ีทา มตี ัวอักษรท้ังหมด 11 ตวั เปน็ M 2 ตวั A 2 ตัว T 2 ตัว และ H , E , I , C , S อยา่ งละตัว

ดังน้นั จะเรยี งสับเปลย่ี นได้  11! วธิ ี

2!  2!  2!

“ เวลาโกรธอย่าตัดสินใจ
เวลาดใี จอยา่ ให้สัญญา ”

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝึกหดั คณิตศาสตร์ ค31105 หน้า 16

แบบฝึกหัดที่ 2
1. จะจดั เดก็ 6 คน เขา้ แถวเป็นเส้นตรงไดก้ ว่ี ิธี

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
2. มดี อกไม้ประดับ 4 ชนดิ ๆ ละ 1 ตน้ จะมวี ธิ ีจดั เรยี งกันเป็นแนวตรงได้ก่ีวิธี
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
3. นานกั เรยี น 7 คน นัง่ เกา้ อีเ้ ปน็ แถว 7 ตวั จัดไดก้ ่ีวิธี
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
4. จัดตัวอักษรจากคาวา่ APRIL เป็นคาใหม่ โดยไม่คานึงว่าจะมีความหมายหรือไม่ ได้แตกต่างกนั ทั้งหมดกี่วิธี
........................................................................................................................................................................... ...
.......................................................................................................................... ....................................................
............................................................................................................................. .................................................
5. สามภี รรยาคูห่ นึง่ พรอ้ มดว้ ยลกู อีก 3 คน มายนื เรียงแถวเพื่อถา่ ยรปู จะมวี ธิ ีจัดใหย้ ืนถา่ ยรูปได้ท้ังหมดก่ีวิธี
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
6. มีเลขโดดอยู่ 5 ตวั คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 จะสร้างจานวนเตม็ บวก 5 หลกั ไดแ้ ตกตา่ งกันทัง้ หมดกี่จานวน
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
7. จงหาคา่ ของ

1) P5,3  ……………………………………………………………………………………………………………

2) P10,3  ……………………………………………………………………………………………………………

3) P6,2  ……………………………………………………………………………………………………………

4) P12,3  ……………………………………………………………………………………………………………

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝกึ หดั คณิตศาสตร์ ค31105 หนา้ 17

8. จงหาคา่ n จากสมการ
1) Pn,2  56

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

2) Pn,3  720

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

3) Pn1,3  504

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

9. มีหนงั สือที่แตกตา่ งกนั 6 เล่ม ตอ้ งการนามา 4 เล่ม เพือ่ จัดเรยี งเป็นแถวบนช้นั จะจัดได้ก่วี ธิ ี

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

10. คนกล่มุ หน่ึงมี 6 เลม่ จะนาคนกลมุ่ นี้มา 3 คน เพ่ือเข้าแถวปน็ เสน้ ตรงจะจัดได้กี่วิธี

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

11. จากตวั อักษรในคา ANOTHER ถา้ นามาสร้างคาใหม่ ประกอบด้วยตัวอกั ษร 4 ตวั ท่ไี ม่ซา้ กนั โดยไม่คานึงถึง
ความหมาย จะสร้างได้กคี่ า

.................................................................................................... ..........................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝกึ หดั คณิตศาสตร์ ค31105 หน้า 18

12. มหี นังสือเคมี 3 เล่ม หนังสือคณิตศาสตร์ 2 เลม่ และหนงั สือภาษาอังกฤษ 4 เล่ม จะนาทั้งหมดจดั วางบนช้ัน
หนังสอื ในแนวเส้นตรงได้กวี่ ธิ ี

............................................................................................................................. .................................................
........................................................................................................................................... ...................................
.......................................................................................... ....................................................................................

13. เรียงสับเปลยี่ นตวั อกั ษรจากคาว่า NOON ได้กีว่ ธิ ี

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

14. เรียงสบั เปล่ียนตัวอกั ษรจากคาวา่ PERMUTATION ได้ก่ีวธิ ี

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

แบบฝึกหัดทา้ ทาย

1. จะจัดชาย 6 คน และหญงิ 2 คน ยืนเรียงแถวหน้ากระดานไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี ถ้า

1) ไมม่ เี ง่ือนไขเพิ่มเติม

2) ใหผ้ ู้หญงิ หนึง่ คนยืนหัวแถวและอกี หนึ่งคนยืนทา้ ยแถวเสมอ

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................

ใบความรู้ ใบงาน แบบฝึกหัดคณติ ศาสตร์ ค31105 หนา้ 19

2. จะจัดชาย 4 คน หญงิ 3 คน ยนื เรยี งกนั เปน็ แถวตรง ยนื เรยี งแถวหน้ากระดานได้ทง้ั หมดกี่วธิ ี ถ้า

1) ไมม่ เี งื่อนไขเพ่ิมเตมิ 2) ให้ผู้หญงิ ทัง้ 3 คนไม่ยนื ติดกนั

........................................................................................................ ......................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

3. ตอ้ งการจดั นักเรียนหญงิ 4 คน นักเรียนชาย 5 คน ให้น่ังบนเกา้ อ้ีทวี่ างเรียงเป็นแถวยาว 9 ตวั ได้ท้ังหมดกว่ี ิธี ถ้า

1) ไม่มีนักเรยี นหญิง 2 คนใดเลยนัง่ ติดกัน 2) ไม่มีนกั เรยี นชาย 2 คนใดเลยนัง่ ติดกนั

............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
......................................................................................................................................................................... .....

4. มนี ักเรยี น 7 คน ในจานวนนี้มี ด.ญ.บัว และ ด.ช. เกม รวมอยูด่ ว้ ย ถา้ จดั นักเรียนทัง้ หมดน่ังบน

เกา้ อ้ีท่ีวางเรียงเปน็ แถวยาว 7 ตวั จะมวี ธิ กี ารน่งั ไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ี เมอ่ื

1) ด.ญ.บัว นั่งตรงกลางเสมอ 2) ด.ช. เกม นง่ั หัวแถวเสมอ

3) ด.ญ. บัว และ ด.ช. เกม นัง่ ตดิ กัน 4) ด.ญ. บัว และ ด.ช. เกม น่ังแยกกนั

............................................................................................................................. .................................................

............................................................................................................................................................................ ..

........................................................................................................................... ...................................................

............................................................................................................................. .................................................

................................................................................................................................................ ..............................

............................................................................................... ...............................................................................

............................................................................................................................. .................................................

............................................................................................................................. .................................................

..............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .................................................

............................................................................................................................. .................................................

.................................................................................................................................................................... ..........