สรุป คณิตศาสตร์เซต

หนังสือ สรุปเข้มเรื่องเซต

ในการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์มีความต้องการให้ผู้เรียนที่มีความใฝีเรียนใฝ่รู้วิชาคณิตศาสตร์
จากการเรียนในห้องเพียงอย่างเดียว อาจไม่สามารถทำให้นักเรียน คิด คำนวณ วิเคราะห์ หรือตีโจทย์ให้
แตกได้ แต่ต้องการให้นักเรียนนักศึกษา ค้นคว้าจากแหล่งที่สามารถให้นักเรียนฝึกทำโจทย์ หรือฝึกตีโจทย์
ให้แตกฉานได้

ในการจัดทำโครงงานนี้เป็นการใช้คณิตศาสตร์ขั้นเป็นพื้นในการเรียนรู้กับสิ่งที่อยู่รอบตัว ไม่ว่าจะ
เป็นการคำนวณ บวก ลบ คูณ หาร กับสิ่งของหรือ จำนวนของที่เรามองเห็นหรือจับต้องได้ให้นักเรียนที่อยู่
ระดับชั้นประถมศึกษาสามารถคำนวณเลขคณิตศาสตร์ได้เป็นอย่างดียิ่ง

คณะผู้จัดทำ

เนื้อหา

หน้าที่



1.ความรู้เบื้องต้นของเซต

1

ความหมายของเซต

เซต คือ กลุ่มของคน สัตว์ สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ ที่สามารถบอกได้ว่าสิ่ง
ใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม

Ex สิ่งที่เป็นเซต

1.เดือนในหนึ่งปี จะกล่าวว่า เซตของเดือนในหนึ่งปี
2.ผลไม้ในประเทศไทย จะกล่าวว่า เซตของผลไม้ในประเทศไทย
3.ชื่อสมาชิกวง BTS จะกล่าวว่า เซตของชื่อสมาชิกวง BTS

Ex สิ่งที่ไม่เป็นเซต

1.คนที่ดีที่สุดในโลก เพราะไม่สามารถระบุได้ว่าใครดีที่สุด
2.กลุ่มของอาหารอร่อย เพราะ แต่ละคนไม่สามารถบอกเหมือนกันได้
3.กลุ่มของคนเก่ง เพราะไม่สามารถระบุได้ว่าใครเก่ง

สมาชิก (element)

เรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (element)
เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 เขียนเเทนด้วย {1,2,3,4}

ดังนั้น 1,2,3,4 เป็นสมาชิก หรือสิ่งอยู่ภายในวงเล็บปีกกา

1.ความรู้เบื้องต้นของเซต

2

จำนวนสมาชิกของเซต

เราใช้สัญลักษณ์ n(A) ในการบอกจำนวนสมาชิกของเซต A
เช่น n(A)=5 แปลว่า เซต A มีสมาชิก 5 ตัว

สัญลักษณ์ของเซต
{ } วงเล็บปีกกา เเสดงความเป็นเซต
( , ) ใช้คั่นระหว่างสมาชิกเเต่ละตัว

∈ ∈เเทน เป็นสมาชิก เช่น x B จะได้ว่า x เป็นสมาชิกของเซต B
∉ แทน ไม่เป็นสมาชิกของเซต

เอกภพสัมพัทธ์
ขอบเขตของสมาชิกในเซตทั้งหมด เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ u
ในกรณีที่ไม่กำหนดเอกภพสัมพัทธ์มาให้ จะถือว่า u คือ จำนวนจริง

เซตว่าง (empty set หรือ null set)

∈คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนเเทนด้วยสัญลักษณ์ { } หรือ Ø

เช่น 1.A={x|X I และ 4<x<5} A=Ø
2.B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } B=Ø

1.ความรู้เบื้องต้นของเซต

3

เซตจำกัด (finite set)

คือ เซตที่เราสามารถจำนวนสมาชิกได้ทุกตัว
เช่น เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่มีคำว่า“นคร”

เซตของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 20 = {1,2,3,…,20}

เซตอนันต์ (infinite set)

คือ เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตได้ (มีมากแบบไม่มีสิ้นสุด)
เช่น เซตของจำนวนเต็ม I = {…-1,0,1,…}

เซตของจำนวนนับ N = {1,2,3,…}

วิธีการเขียนเซต
วิธีการเขียนเซตทำได้ 2 วิธี

1.เเบบเเจกเเจงสมาชิก
เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา { }

และใช้เครื่องหมาย จุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว
เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}

เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

* ซึ่งเป็นการเขียนแสดงสมาชิกของเซตให้เห็นออกมาเลยว่ามีอะไรบ้าง*

1.ความรู้เบื้องต้นของเซต

4

2.แบบบอกเงื่อนไข
การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกพร้อม

ทั้งบอกสมบัติหรือบอกเงื่อนไขการเป็นสมาชิก โดยใช้เครื่องหมาย “ | ” คั่น
ระหว่างตัวแปร และเงื่อนไข ซึ่ง เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่
เช่น 1.A = {x | x เป็นพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤษ }
อ่านว่า A เท่ากับเซตของ x โดยที่ x เป็นพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤษ

การเท่ากันของเซต

1.เซตที่เท่ากัน (Equal sets)
คือเซตที่เท่ากันตั้งแต่สองเซตขึ้นไป จะต้องมีแต่เซตเหมือนกันทุกตัว
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A = B
เช่น A = {1, 2, 3} และ B = {2, 1, 1, 3} จะได้ A = B

A={2,4,6} และ B={4,6,2} จะได้ A=B
2.เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalentsets)

คือเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไป ต้องมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน

↔เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A B
↔เช่น A = {x, y, z} เช่น B = {1, 2, 3} จะได้ A B

1.ความรู้เบื้องต้นของเซต

5

Exercise 1.1

1.ให้พิจารณาข้อใดต่อไปนี้ว่าเป็นเซตหรือไม่

1.1.กลุ่มของเดือนที่มี 29 วัน ...........................

1.2.กลุ่มของสี ...........................

1.3.คนที่หล่อที่สุดในโลก ...........................

1.4.ผลไม้ฤดูหนาว ...........................

1.5.กลุ่มของนักเรียน ม.4/1 ...........................

2.จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบเเจกแจงสมาชิก ...........................
2.1.เซตของจำนวนคี่ที่น้อยกว่าห้า ............................
2.2.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย ............................
2.3.เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า10

3.จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

3.1.A={2,4,6,8,} ............................................................

3.2.B={1,4,9,16,…,100} ............................................................

3.3.C={8,7,6,5,…} ............................................................

1.ความรู้เบื้องต้นของเซต

6

Exercise 1.2

1.จงบอกจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้

1.1.A={1,2,3,4} ...........................

1.2.B={2,2,4,6,8} ...........................

1.3.C={-1,{1,2},3} ...........................

1.4.D={{1,3,5}7} ...........................

1.5.E={{{1}}} ...........................

2.ให้พิจารณาว่าเซตต่อไปนี้เป็นเซตจำกัด,เซตอนันต์หรือเซตว่าง

2.1.A={1,3,5,…,59} ……………………….

2.2.B={x|x เป็นจำนวนเต็มคู่} ……………………….

2.3.c={ก,ข,ค,ง,…,ฮ} ……………………….
∈2.4.D={x|x R และ 3<x<5} ……………………….
∈2.5.E={x|x I และ 8 < x < 9} ……………………….

3.จงพิจารณาเซตต่อไปนี้ว่าเป็นเซตที่เท่ากันหรือไม่

3.1.A={1,2,3,4} B={2,4,3,1} ……………………….

∈3.2.A={a,b,c} B={1,2,3} ……………………….

3.3.A={0,1,3,7} B={x|x I และx<10} ……………………….

3.4.A={x|x เป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่า10} ……………………….

B={1,3,5,7}

1.ความรู้เบื้องต้นของเซต

7

Exercise 1.3

1.ถ้า U ={-1,0,1} แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือผิด
∈1.1. 1 U
∈1.2.-1 U ...........................

∉1.3.-1 U ...........................

...........................
∉1.4.{0,1} U ...........................
∈1.5.-1,0,1 U ...........................

2.ถ้า A={1,{1,2},3} แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือผิด
∈2.2. 1 A
∉2.3.{1,2} A ……………………….

∈2.4.{1,3} A ……………………….

……………………….

2.5.{1,{1,2},3} = A ……………………….

3.ถ้า B={1,2,{2,3},{4}} และ C={1,2,{2,3},{4},{4}} แล้วพิจารณาข้อความต่อ

ไปนี้ว่าถูกหรือผิด B ……………………….
……………………….
∈3.1.{2,3} B ……………………….
∉3.2.{4} C
≠3.3.{1,2,{2,3},{4},{4}}

3.4.{1,2,{2,3},{4}} = C ……………………….

3.5.B = C ……………………….

2.สับเซตและเพาว์เวอร์เซต

8ึ

ความหมายของสับเซต

สับเซต คือ เซตย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากการนำสมาชิกที่มีอยู่มาสร้าง
เป็นเซตใหม่

สัญลักษณ์ของสับเซต

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A B

สบบัติของสับเซต


⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^n ( 2 ยกกำลัง n )

สับเซต

2.สับเซตและเพาว์เวอร์เซต

9

ตัวอย่างการเขียนสับเซต

1.A = {1,3,5,7} , B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

เราจะสังเกตเห็นว่า สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B ดังนั้น

⊂ ⊄A เป็นสับเซตของ B (A B) แต่ B ไม่เป็นสับเซตของเซต A (B A)

เพราะ สมาชิกบางตัวของB ไม่อยู่ใน A

วาดรูปเพื่อให้เข้าใจมากขึ้น

จากรูป
เราจะเห็นได้ชัดเลยว่าสมาชิกทุกตัวของเซต A
อยู่ในเซต B แต่สมาชิกบางตัวของเซต B ไม่อยู่
ในเซต A

**ข้อควรรู้ เซตว่าง(Ø)เป็นสับเซตของทุกเซต**

A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

⊂A เป็น สับเซตแท้ ของ B เมื่อA B แต่่ a ไม่เท่ากับ B (ไม่ใช่เซตตัวมันเอง)

2.สับเซตและเพาว์เวอร์เซต

10

ความหมายของเพาว์เวอร์เซต

คือ ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไป
ด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ของเพาว์เวอร์เซต

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมดของ A}

Ex A = {1, 2}

∅วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, A
∅ดังนั้น P(A) = { , {1}, {2}, A }

สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∅ ∈ ∅ ⊂1). P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2). P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน
∈ ⊂3). A P(A) เพราะ A A เสมอ

4). ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมี
สมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลังn(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5). A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6). P(A) P(B) = P(A B
∪ ⊂ ∪7). P(A) P(B) P(A B)

2.สับเซตและเพาว์เวอร์เซต 11

ตัวอย่างการเขียนเพาว์เวอร์เซต

1.A = {1,2,3}
จะได้ว่า P(a) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

จำนวน. สมาชิกของ P(A) = 8 = 2³
2.

จำนวนสมาชิกของ P(A) และ P(B) เท่ากับเท่าใด?

5

ตอบ จำนวนสมาชิกของ P(A) เท่ากับ 2 = 32

เพราะ เซต A มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 5

3

จำนวนสมาชิกของ P(B) เท่ากับ 2 = 8

เพราะ เซต B มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3

2.สับเซตและเพาว์เวอร์เซต

12 Exercise 2.1

1. จงเขียนสับเซตท้ังหมดและบอกจํานวนสับเซตของเซตท่ีกําหนดให้ต่อไปนี้
1.1 A = {3}
สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ ......................................................................
จำนวนสับเซตของเซต A เท่ากับ ..................................................................
1.2 B = {2, 4}
สับเซตทั้งหมดของเซต B คือ .......................................................................
จำนวนสับเซตของเซต B เท่ากับ ...................................................................
1.3 C = {2, {3}}
สับเซตทั้งหมดของเซต C คือ ......................................................................
จำนวนสับเซตของเซต C เท่ากับ ..................................................................
1.4 D = {Ø}
สับเซตทั้งหมดของเซต D คือ ......................................................................
จำนวนสับเซตของเซต D เท่ากับ ..................................................................
1.5 E={a,b,c}
สับเซตทั้งหมดของเซต E คือ ..................................................................…..
จำนวนสับเซตของเซต E เท่ากับ ..................................................................

2.สับเซตและเพาว์เวอร์เซต

13

1.6 F={ }
สับเซตทั้งหมดของเซต F คือ ..................................................................…..
จำนวนสับเซตของเซต F เท่ากับ ...................................................................
1.7 G={1,{1,2}}
สับเซตทั้งหมดของเซต G คือ ..................................................................…..
จำนวนสับเซตของเซต G เท่ากับ ...................................................................
1.8 H={Ø,{Ø}}
สับเซตทั้งหมดของเซต H คือ ..................................................................…..
จำนวนสับเซตของเซต H เท่ากับ ..................................................................…..
1.9 I={-1,0,1}
สับเซตทั้งหมดของเซต I คือ ..................................................................…..
จำนวนสับเซตของเซต I เท่ากับ ...................................................................
1.10 J = {-1, {-2, -3}}


สับเซตทั้งหมดของเซต J คือ........................................................................

จำนวนสับเซตของเซต J เท่ากับ....................................................................

2.สับเซตและเพาว์เวอร์เซต

14 Exercise 2.2

คําชี้แจง จงหาเพาว์เวอร์เซตและจํานวนสมาชิกของเพาว์เวอร์เซตจากเซตท่ีกําหนดให้
ต่อไปนี้
1. A = {1}
ตอบ P(A) =.............................................................................................
จำนวนสมาชิกของ p(A) =...........................................................................
2. B = {a, b}
ตอบ P(B) =..............................................................................................
จำนวนสมาชิกของ P(B) =...........................................................................
3. C =Ø
ตอบ P(C) =..............................................................................................
จำนวนสมาชิกของ P(C) =............................................................................
4. D = {2, 4, 6}
ตอบ P(D) =...............................................................................................
จำนวนสมาชิกของ P(D) =.............................................................................
5. E={Ø}
ตอบ P(E) =.............................................................................................
จำนวนสมาชิกของ P(E) =...........................................................................

2.สับเซตและเพาว์เวอร์เซต

15

6.F={1,{3,5}}
ตอบ P(F) =..............................................................................................

∈ ≤ ≤จำนวนสมาชิกของ P(F) =...........................................................................

7. G = {x | x I และ 1 x 3}
ตอบ P(G) =.............................................................................................
จำนวนสมาชิกของ P(G) =...........................................................................
8. H = {x | x สอดคล้องกับสมการ x^2 = 4}
ตอบ P(H) =.............................................................................................

∈จำนวนสมาชิกของ P(H) =..........................................................................

9. I = {x | x N และ x^2 = 9}
ตอบ P(I) =..............................................................................................

∈จำนวนสมาชิกของ P(I) =.............................................................................

10. J = {x | x I และ |x| = 1}


ตอบ P(J) =..............................................................................................

จำนวนสมาชิกของ P(J) =............................................................................

3.ปฏิบัติการของเซต

16
การปฏิบัติการของเซต เป็นการกระทำเพื่อสร้างเซตใหม่ มี 4 วิธี
ยูเนียน (union)
∪A B คือ เซตที่ได้จากการนำสมาชิกจาก A และB มารวมเข้าด้วยกัน

∪ ∪สมบัติของยูเนียน ∪ ∪2.A Ø = Ø a = a
∪ ∪4.A u = u a = u
1.A B = b a ∪6.ถ้า A b = Ø แล้ว a = Ø และ b= Ø

∪3.A a = a
∪5.A a' = u

บทนิยาม 1

∪ ∈ ∈A B = {x|x A หรือ x B}

หมายเหตุ ในทางคณิตศาสตร์ "หรือ" หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง

3.ปฏิบัติการของเซต

17

อินเตอร์เซกชัน (intersection)

∩A B คือ การดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการหา
∩สมาชิกทั้งหมดที่เหมือนกันในเซตต้นแบบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

สมบัติของอินเตอร์เซกชัน ∩2.A b=a ก็ต่อเมื่อ
∩ ⊂4.A b a
∩ ∩1.A B = b a 6.a∩b⊂a∪
⊂ ⊂ ∩ ⊂3.ถ้า A c และ B c และ a b c
∩ ⊂5.A B b

บทนิยาม 2

∩ ∈ ∈A B = {x|x A และ x B}

3.ปฏิบัติการของเซต

18

ผลต่าง (difference) b-a คือ เซตของสมาชิกที่อยู่ใน b แต่ไม่อยู่ใน a

a-B คือ เซตของสมาชิกที่อยู่ใน A แต่ไม่อยู่ใน b

สมบัติของอินเตอร์เซกชัน ⊂2.ถ้า A B แล้ว A-B =Ø

∩1.A-B = A B' 4.A-Ø= A

3.A-A = Ø ∪ ∩6.A-(B C)=(A-B) (A-C)

5.Ø-A=Ø

บทนิยาม 3

∈ ∉A-B = {x|x A และ A B}

3.ปฏิบัติการของเซต

19

คอมพลีเมนต์ (compiement)

A' คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ (U) แต่ไม่เป็นสมาชิก
ของ A เขียนแทนด้วย a' (อ่านว่า เอไพรม์)

สมบัติของคอมพลีเมนต์ 2.Ø'=u

1.(A')' = A ∪ ∩4.(A B)' = A' B'
3.U'=Ø ∩6.A-B=A B'

∩ ∪5.(A B)'=A' B'

บทนิยาม 4

∈ ∉A' = {x|x U และ x A}

3.ปฏิบัติการของเซต

18

ข้อ1 กำหนดให้ U={1,2,3,4,5,a,b,c}
A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,5,a,b} จงหา

∪1.(A B)-(A’-A)
∪ ∩2.(A B)-(A B)
∪3.(A-B) B’

ข้อ2 กำหนดให้U={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A= {-1,0,1,3,4,8} B= {0,1,2,4,8,9} จงหา

∪ ∩ ∪1.(A B’) (A’ B)
∩ ∪2.(A B) (A-B)
∪ ∩3.(A B)-(A B)

3.ปฏิบัติการของเซต 19

ข้อ1 กำหนดให่ U={1,2,3,4,5,a,b,c}
A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,5,a,b} จงหา

∪1.(A B)-(A’-A)
∪ ∩2.(A B)-(A B)
∪3.(A-B) B’

ข้อ2 U={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A= {-1,0,1,3,4,8} B= {0,1,2,4,8,9} จงหา

∪ ∩ ∪1.(A B’) (A’ B)
∩ ∪2.(A B) (A-B)
∪ ∩3.(A B)-(A B)

4.โจทย์ปัญหาเซต

20

สู ต ร สำ ห รั บ ก า ร ใ ช้ ใ น ก า ร แ ก้ โ ด ย ใ ช้ เ ซ ต
สำหรับเซต 2 วง

∩ ∩ ∪ ∪n(A B) = n(A)+n(B)-n(A B) n(A B C)

สำหรับเซต 3 วง

∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩n(A B C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(B C)- n(A C)+n(A B C)

∩ข้อที่ 1.กำหนดให้ A,B,C เป็นเซตถ้า n(B) = 42 , n(c) = 28 , n(A C) = 8
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ ∪n(A B C) = 3 , n(A B C') = 2 , n(A B' C') = 20 และ n(A B C) = 80
∩ ∩แล้ว n(A' B C) เท่ากับเท่าใด (Entrance'44)

วิธีทำ จากโจทย์

n(B) = 42 ∩ ∩โจทย์ถามหา n(A' B C) คือเท่าใด
n(c) = 28
ขั้นตอน
∩n(A C) = 8
∩ ∩n(A B C) = 3 1.หา b 2. หา c
∩ ∩n(A B C') = 2
∩ ∩n(A B' C')= 20 จากโจทย์ n(B)=42 จากโจทย์ n(C)=28
∪ ∪n(A B C) = 80
2+3+X+b=42 3+5+c+X=28

b=42-3-2-X c=28-3-5-X

b=37-x c=20-x

∩ ∩หา n(A' B C) ก็คือส่วนที่แรเงา วาดแผนภาพเวนน์ ใหม่ได้ดังนี้

จะได้ 80=20+2+3+5+(37-x)+x+(20-x)

80=30+37-x+x+20-x

80=87-x

x=87-80

∩ ∩x=7

เพราะฉะนั้น n(A' B C) มีค่าเท่ากับ 7

4.โจทย์ปัญหาเซต

21

สู ต ร สำ ห รั บ ก า ร ใ ช้ ใ น ก า ร แ ก้ โ ด ย ใ ช้ เ ซ ต

สำหรับเซต 2 วง

∩ ∩ ∪ ∪n(A B) = n(A)+n(B)-n(A B) n(A B C)

สำหรับเซต 3 วง

∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩n(A B C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)- n(A C)+n(A B C)

ข้อที่ 2.กำหนดเอกภพสัมพันธ์ U ซึ่ง n(U) = 30 ให้ A และ B เป็นสับเซตของ U โดยที่

∩ ∪n(A)=15, n(B)=10 และ n(A B) = 3 จงหา n(A B)
∩ ∩วิธีทำ n(A B) = n(A)+n(B)-n(A B)

= 15+10-3
= 22

∪นอกจากการหาจำนวนสมาชิกของ A B โดยใช้สูตรแล้วยังสามารถใช้แผนภาพ

แสดงเซตเพื่อคำนวนหาจำนวนสมาชิกของเซตได้ดังนี้
A BU

12 3 7

8

∩เนื่ องจาก n(A)=15 และ n(A B) = 3
∩ตังนั้น ส่วนของเซต 4 ที่ไม่อยู่ในเซต B ซึ่งคือ A-B มีจำนวนสมาชิก 15 -3 = 12 ตัว

เนื่ องจาก n(B) =10 และ n(A B) = 3
จะได้ว่า ส่วนของเซต B ที่ไม่อยู่ในเซต A ซึ่งคือ B-A มีจำนวนสมาชิก 10-3 = 7 ตัว
จากแผนภาพ จะได้ n(AU B) =12+3+7=22

4.โจทย์ปัญหาเซต

23

ข้อที่3.จากการสำรวจนั กเรียนที่เรียนแผนการเรียนภาษาระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่4
ของโรงเรียนแห่งหนึ่ ง พบว่ามีนั กเรียนชอบวิชาคณิตศาสตร์ 37คน ชอบวิชาภาษา

อังกฤษ 35คน ชอบวิชาภาษาจีน 15คน ชอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษ 17คน
ชอบวิชาภาษาอังกฤษและวิชาภาษาจีน 12คน ชอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาจีน
13คน ชอบทั้งสามวิชา 5คน จงหา

1)นั กเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์อย่างเดียว
3)นั กเรียนที่ชอบวิชาภาษาจีนอย่างเดียง
4)นั กเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ แต่ไม่ชอบวิชาภาษาอังกฤษ
5)นั กเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ แต่ไม่ชอบวิชาภาษาจีน
ุ6)นั กเรียนที่ชอบวิชาภาษาจีนและวิชาภาษาอังกฤษ แต่ไม่ชอบวิชาคณิตศาสตร์
7)นั กเรียนที่ชอบวิชาเดียว

วิธีทำ จากโจทย์วาดแผนภาพเวนน์ ได้

1)นั กเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์อย่างเดียว M=37 E=35
ตอบ 37-12-5-8=12คน
3)นั กเรียนที่ชอบวิชาภาษาจีนอย่างเดียง
ตอบ 31-8-5-7=11คน
4)นั กเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ แต่ไม่ชอบ
วิชาภาษาอังกฤษ
ตอบ M-E=20คน
5)นั กเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ แต่ไม่ชอบ
วิชาภาษาจีน
ตอบ M-C=24คน
ุ6)นั กเรียนที่ชอบวิชาภาษาจีนและวิชาภาษา

∩อังกฤษ แต่ไม่ชอบวิชาคณิตศาสตร์

ตอบ n((C E)-M)=7คน
7)นั กเรียนที่ชอบวิชาเดียว
ตอบ 12+11+11=34คน

4.โจทย์ปัญหาเซต

ข้อที่4. จากการสำรวจลูกค้าที่ดื่มกาแฟ จำนวน 125 คน ของร้านกาแฟ 24
แห่งหนึ่ ง เกี่ยวกับการใส่น้ำตาล นมสด
หรือครีมเทียมในกาแฟ พบว่า
1) มีลูกค้าที่ใส่น้ำตาลในกาแฟ 40 คน
2) มีลูกค้าที่ใส่ครีมเทียมในกาแฟ 50 คน
3) มีลูกค้าที่ใส่น้ำตาลและครีมเทียมในกาแฟ 20 คน
มีลูกค้าที่ใส่น้ำตาลและนมสดในกาแฟ 5 คน
5) ไม่มีลูกค้าที่ใส่นมสดและครีมเทียมในกาแฟ
6) มีลูกค้าที่ไม่ใส่น้ำตาล ไม่ใส่นมสด และไม่ใส่ครึมเทียมในกาแฟ 25 คน
ในการสำรวจนี้ มีลูกค้าที่ใส่นมสดในกาแฟเพียงอย่างเดียวกี่ด่น (ONET 63)

วิธีทำ 125=25+40+30+x ใส่นมสดU
125=95+x
125-95=x ใส่น้ำตาล 5 x
30=x
15

200 0

25 30

ใส่ ครีมเทียม

เพราะฉะนั้ น มีลูกค้าที่ใส่นมสดในกาแฟเพียงอย่างเดียว 30คน

4.โจทย์ปัญหาเซต

25

1.นักเรียนชายชั้น ม. 4/8 จำนวน 50 คน ชอบเล่นฟุตบอล 25 คน ชอบเล่นบาสเกตบอล 20
คน และชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล 5 คน อยากทราบว่า
1) ชอบเล่นฟุตบอลอย่างเดียวกี่คน
2) ชอบเล่นบาสเกตบอลอย่างเดียวกี่คน
3) มีกี่คนที่ไม่ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล

2.จากการตรวจสุขภาพของนักเรียนชั้น ม.4/8 จำนวน 40 คน ปรากฎว่าเป็นโรคฟันผุหรือโรค
ตาแฉะจำนวน 32 คน เป็นทั้งโรงฟันผุและโรคตาแฉะจำนวน 5 คน ถ้ามีนักเรียนเป็นโรคฟันผุ
อย่างเดียว 17 คน อยากทราบว่า
1) มีนักเรียนเป็นโ่รคฟันผุกี่คน
2) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะกี่คน
3) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะอย่างเดียวกี่คน
4) มีกี่คนที่ไม่เป็นทั้งโรคฟันผุและโรคตาแฉะ

3.จากการสอบถามพ่อบ้านพบว่า มีผู้ที่ดื่มชาหรือกาแฟเป็นประจำจำนวน 120 คน มีผู้ที่ชอบดื่ม
ชา 60 คน ชอบดื่มกาแฟ 70 คน จงหาจำนวนพ่อบ้านที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ

4.จากการสอบถามความนิยมอ่านหนังสือพิมพ์สามฉบับ คือ หนังสือพิมพ์อื่นไทยงาม
ไทยนิยม และรักไทย ของประชาชน 600 คน ปรากฎว่าประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์
ถิ่นไทย 162คน ไทยนิยม 116คน รักไทย 135คน ถิ่นไทยงานและไทยนิยม 38คน
ไทยนิยมและรักไทย 35คน รักไทยและถิ่นไทย 32คน อ่านทั้งสามฉบับนี้ 20คน
จะมีประชาชนกี่คนที่ไม่ได้อ่านหนังสือพิมพ์สบับใดในสามฉบับนี้

เฉลย

เฉลยแบบฝึกหัด

Exercise 1.1

1.ให้พิจารณาข้อใดต่อไปนี้ว่าเป็นเซตหรือไม่

1.1.กลุ่มของเดือนที่มี 29 วัน ........เป็นเซต........

1.2.กลุ่มของสี ........เป็นเซต........
1.3.คนที่หล่อที่สุดในโลก .......ไม่เป็นเซต......

1.4.ผลไม้ฤดูหนาว ........เป็นเซต........

1.5.กลุ่มของนักเรียน ม.4/1 ........เป็นเซต.......

2.จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบเเจกแจงสมาชิก

2.1.เซตของจำนวนคี่ที่น้อยกว่าห้า ..............{1,3}…..........

2.2.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย ........{ก,ข,ค,…,ฮ}........

2.3.เซต ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า10 .….{1,2,3,4,5,6,7,8,9}…..

3.จงเขียนเสร็จต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก
3.1.A={2,4,6,8,}

ตอบ A={x|x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า10}....

3.2.B={1,4,9,16,…,100}

ตอบ B={x|x เป็นจำนวนสองของจำนวนนับตั้งแต่หนึ่งถึง 10}...

3.3.C={8,7,6,5,…}

ตอบ C={x|x เป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่า9}

เฉลยแบบฝึกหัด

Exercise 1.2

1.จงบอกจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้

1.1.A={1,2,3,4} .........n(A)=4.......

1.2.B={2,2,4,6,8} .....….n(A)=5......…

1.3.C={-1,{1,2},3} .........n(A)=3.....…

1.4.D={{1,3,5}7} .........n(A)=2.....…

1.5.E={{{1}}} ..........n(A)=1........

2.ให้พิจารณาว่าเซตต่อไปนี้เป็นเซตจำกัด,เซตอนันต์หรือเซตว่าง

2.1.A={1,3,5,…,59} ……เซตจำกัด……….

2.2.B={x|x เป็นจำนวนเต็มคู่} ……เซตอนันต์……….

2.3.c={ก,ข,ค,ง,…,ฮ} ……เซตจำกัด………
∈2.4.D={x|x R และ 3<x<5} ……เซตจำกัด……….
∈2.5.E={x|x I และ 8 < x < 9} ……เซตว่าง……….

3.จงพิจารณาเซตต่อไปนี้ว่าเป็นเซตที่เท่ากันหรือไม่

3.1.A={1,2,3,4} B={2,4,3,1} ………A=B……….

∈3.2.A={a,b,c} B={1,2,3} ≠………A B……..
≠………A B………
3.3.A={0,1,3,7} B={x|x I และx<10}

3.4.A={x|x เป็นจำนวนเต็มกี่ที่น้อยกว่า10} …….…A=B……….

B={1,3,5,7}

เฉลยแบบฝึกหัด

Exercise 1.3

1.ถ้า U ={-1,0,1} แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือผิด
∈1.1. 1 U
∈1.2.-1 U ....…...…ถูก............

∉1.3.-1 U .............ถูก............

.............ผิด............
∉1.4.{0,1} U ........…..ถูก.........…
∈1.5.-1,0,1 U .............ถูก............

2.ถ้า A={1,{1,2},3} แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าถูกหรือผิด
∈2.2. 1 A
∉2.3.{1,2} A …………ถูก………….

∈2.4.{1,3} A …………ผิด………….

…………ผิด………….

2.5.{1,{1,2},3} = A …………ถูก………….

3.ถ้า B={1,2,{2,3},{4}} และ C={1,2,{2,3},{4},{4}} แล้วพิจารณาข้อความต่อ

ไปนี้ว่าถูกหรือผิด B ………ถูก……..
………ผิด……..
∈3.1.{2,3} B ………ผิด……..
∉3.2.{4} C
≠3.3.{1,2,{2,3},{4},{4}}

3.4.{1,2,{2,3},{4}} = C ………ถูก……..

3.5.B = C ………ถูก……..

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 1.4


1.1 A = {3}
สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ Ø, {3}
จำนวนสับเซตของเซต A เท่ากับ 2 สับเซต

1.2 B = {2, 4}
สับเซตทั้งหมดของเซต B คือ Ø, {2}, {4}, {2, 4}
จำนวนสับเซตของเซต B เท่ากับ 4 สับเซต

1.3 C = {2, {3}}
สับเซตทั้งหมดของเซต C คือ Ø, {2}, {{3}}, {2, {3}}
จำนวนสับเซตของเซต C เท่ากับ 4 สับเซต

1.4 D = {Ø}
สับเซตทั้งหมดของเซต D คือ Ø, {Ø}
จำนวนสับเซตของเซต D เท่ากับ 2 สับเซต

1.5 E={a,b,c}
สับเซตทั้งหมดของเซต E คือ Ø,{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
จำนวนสับเซตของเซต E เท่ากับ 8 สับเซต

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 1.4

1.6 F={ }
สับเซตทั้งหมดของเซต F คือ Ø
จำนวนสับเซตของเซต F เท่ากับ 1 สับเซต

1.7 G={1,{1,2}}
สับเซตทั้งหมดของเซต G คือ Ø, {1}, {{1, 2}}, {1, {1, 2}}
จำนวนสับเซตของเซต G เท่ากับ 4 สับเซต

1.8 H={Ø,{Ø}}
สับเซตทั้งหมดของเซต H คือ Ø, {Ø}, {{Ø}}, {Ø, {Ø}}
จำนวนสับเซตของเซต H เท่ากับ 4 สับเซต

1.9 I={-1,0,1}
สับเซตทั้งหมดของเซต I คือ Ø, {-1}, {0}, {1}, {-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1}, {-1, 0, 1}
จำนวนสับเซตของเซต I เท่ากับ 8 สับเซต

1.10 J = {-1, {-2, -3}}
สับเซตทั้งหมดของเซต J คือ Ø, {-1}, {-2, -3}, {-1, {-2, -3}}
จำนวนสับเซตของเซต J เท่ากับ 4 สับเซต

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 1.5

1. A = {1}
ตอบ P(A) = {Ø, {1}}
จำนวนสมาชิกของ P(A) = 2^1 = 2 ตัว

2. B = {a, b}
ตอบ P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}}
จำนวนสมาชิกของ P(B) = 2^2 = 4 ตัว

3. C =Ø
ตอบ P(C) = {Ø}
จำนวนสมาชิกของ P(C) = 2^0 = 1 ตัว

4. D = {2, 4, 6}
ตอบ P(D) = {Ø, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}
จำนวนสมาชิกของ P(D) = 2^3 = 8 ตัว

5. E={Ø}
ตอบ P(E) = {Ø, {Ø}}
จำนวนสมาชิกของ P(E) = 2^1 = 2 ตัว

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 1.5

6.F={1,{3,5}}
ตอบ P(F) = {Ø, {1}, {{3, 5}}, {1, {3, 5}}}
จานวนสมาชิกของ P(F) = 2^2 = 4 ตัว

∈ ≤ ≤7. G = {x | x I และ 1 x 3}

ตอบ P(G) ={Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
จานวนสมาชิกของ P(G) = 2^3 = 8 ตัว

8. H = {x | x สอดคล้องกับสมการ x^2 = 4}
ตอบ P(H) = {Ø, {-2}, {2}, {-2, 2}}
จำนวนสมาชิกของ P(H) = 2^2 = 4 ตัว

∈9. I = {x | x N และ x^2 = 9}

ตอบ P(I) = {Ø, {3}}
จำนวนสมาชิกของ P(I) = 2^1 = 2 ตัว

∈10. J = {x | x I และ |x| = 1}

ตอบ P(J) = {Ø, {-1}, {1}, {-1, 1}}
จำนวนสมาชิกของ P(J) = 2^2 = 4 ตัว

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 4.1

ข้อที่ 1

วิธีทำ มาเคราะห์โจทย์คร่าวๆก่อนครับ จะเห็นว่า มีเซตอยู่ 2 เซต

คือเซตของนั กเรียนที่ชอบเล่นฟุตบอล และ เซตของนั กเรียนที่ชอบเล่นบาสเกตบอล

และมีนั กเรียนชายทั้งหมด 50 คน ความหมายก็คือ n(U)=50 ก็จำนวนสมาชิกทั้งหมดในนี้ คือ 50 คน

กำหนดให้

A คือ เซตของนั กเรียนที่ชอบเล่นฟุตบอล

B คือ เซตของนั กเรียนที่ชอบเล่นบาสเกตบอล

สังเกตตรงที่โจทย์บอกว่า ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล 5 คน ตรงนี้ สำคัญมาก

∩จากตรงนี้ เราจะได้ว่า n(A B)=5 อย่าลืมนะอินเตอร์เซค คือการมีสมาชิกร่วมก้ันในที่นี้ ก็คือชอบเล่น

กีฬาชนิ ดเดียวกันนั่ นเอง ลองวาดรู ปคร่าวก็จะได้ดังนี้

จากรูป
ตรงที่แรเงาสีเหลือคือบริเวณที่นั กเรียนชายชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล คือมี 5 คน เวลา
วาดรู ปใส่ ตัวเลขให้ใส่ ในส่ วนที่มันซ้ำกันก่อนนะ(ถ้าใส่ ได้)
โจทย์บอกว่ามีคนชอบเล่นฟุตบอล 25 คน ก็แสดงว่าชอบเล่นฟุตบอลอย่างเดียว 20 คน เพราะยี่สิบ
เอาไปรวมกันห้าคนที่เล่นทั้งอย่างเป็นยี่สิ บห้า
โจทย์บอกว่ามีคนชอบเล่นบาสเกตบอล 20 คน ก็แสดงว่าชอบเล่นบาสเกตบอลอย่างเดียว 15 คน

ถ้าเราเอาตัวเลขในวงกลมบวกกันดูเราจะได้ 20+5+15=40 คน แสดงว่ามีคนชอบเล่นฟุตบอลและ
บาส 40 คน
จากคนทั้งหมด 50 คน ชอบเล่นกีฬา 40 คน ก็แสดงว่าไม่เล่นฟุตบอลและบาสเกตบอลจำนวน 50-
40=10 คน
แค่นี้ ก็ตอบคำถามทั้งหมดได้แล้วครับ
1) ชอบเล่นฟุตบอลอย่างเดียวกี่คน ตอบ 20 คน
2) ชอบเล่นบาสเกตบอลอย่างเดียวกี่คน ตอบ 15 คน
3) มีกี่คนที่ไม่ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล ตอบ 10 คน

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 1.5

2.จากการตรวจสุขภาพของนักเรียนชั้น ม.4/8 จำนวน 40 คน ปรากฎว่าเป็นโรคฟันผุหรือโรค
ตาแฉะจำนวน 32 คน เป็นทั้งโรงฟันผุและโรคตาแฉะจำนวน 5 คน ถ้ามีนักเรียนเป็นโรคฟันผุ
อย่างเดียว 17 คน อยากทราบว่า
1) มีนักเรียนเป็นโ่รคฟันผุกี่คน
2) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะกี่คน
3) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะอย่างเดียวกี่คน
4) มีกี่คนที่ไม่เป็นทั้งโรคฟันผุและโรคตาแฉะ
วิธีทำ จะเห็นว่ามีเซตสองเซตนะ คือ เป็นโรคฟันผุ กับ เป็นโรคตาแฉะ
ผมกำหนดให้
A คือเซตของคนที่เป็นโรคฟันผุ
B คือเซตของคนที่เป็นโรคตาแฉะ
ที่สำคัญๆที่โจทย์บอกมาก็คือ

∩เป็นทั้งโรคฟันผุและโรคตาแฉะจำนวน 5 คน นั่นคือ n(A B)=5
∪เป็นโรคฟันผุหรือโรคตาแฉะจำนวน 32 คน นั่นคือ n(A B)=32 จากตรงนี้ก็แสดงว่าทั้ง

วงกลมรวมกันแล้วต้องเท่ากับ 32 คนนะ ดูภาพประกอบ

มีคนเป็นโรคฟันผุอย่างเดียว 17 คน รวมกับเป็นทั้งโรคฟันผุกับโรคตาแฉะอีก 5 คน เท่ากับ 22
คน
17+5=22 แต่มันต้องรวมกันแล้วให้ได้ 32 ก็แสดงว่าเป็นโรคตาแฉะอย่างเดียว 10 คน
จะได้ว่า
1) มีนักเรียนเป็นโ่รคฟันผุกี่คน ตอบ 22 คน
2) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะกี่คน ตอบ 15 คน
3) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะอย่างเดียวกี่คน ตอบ 10 คน
4) มีกี่คนที่ไม่เป็นทั้งโรคฟันผุและโรคตาแฉะ ตอบ 8 คน

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 1.5

3.จากการสอบถามพ่อบ้านพบว่า มีผู้ที่ดื่มชาหรือกาแฟเป็นประจำจำนวน 120 คน มีผู้ที่ชอบดื่ม
ชา 60 คน ชอบดื่มกาแฟ 70 คน จงหาจำนวนพ่อบ้านที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ
วิธีทำ ข้อนี้วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยจะทำให้มองเห็นภาพชัดเจนขึ้นครับ แต่ไม่ยาก
หรอกข้อนี้ แต่ผมจะวาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ให้ดูแล้วกันครับ เผื่อบางคนไม่เข้าใจ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ผมให้ x คือจำนวนพ่อบ้านที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ ดังนั้นจะได้
ว่ามีพ่อบ้านทึี่ชอบดื่มชาอย่างเดียว จำนวน 60-x คน มีพ่อบ้านที่ชอบดื่มกาแฟอย่างเดียว
จำนวน 70-x คน แต่โจทย์บอกว่ามีคนชอบดื่มชาหรือกาแฟจำนวน 120 คน จำนวนสมาชิก
ของเซตของผู้ดืมชาชอบดื่มกาแฟรวมมีทั้งหมด 120 คน

นั่นคือ 60−x+x+70−x=120

130−x=120

−x=−10

x=10

ดังนั้นจำนวนพ่อบ้านที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟคือ 10 คน

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 1.5

4.จากการสอบถามความนิยมอ่านหนังสือพิมพ์สามฉบับ คือ หนังสือพิมพ์อื่นไทยงาม
ไทยนิยม และรักไทย ของประชาชน 600 คน ปรากฎว่าประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์
ถิ่นไทย 162คน ไทยนิยม 116คน รักไทย 135คน ถิ่นไทยงานและไทยนิยม 38คน
ไทยนิยมและรักไทย 35คน รักไทยและถิ่นไทย 32คน อ่านทั้งสามฉบับนี้ 20คน
จะมีประชาชนกี่คนที่ไม่ได้อ่านหนังสือพิมพ์สบับใดในสามฉบับนี้
วิธีทำ เขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์แทนเชตได้คังนี้

ให้
A แทน เซตของประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์ ถิ่นไทยงาม
B แทน เซตของประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์ไทยนิยม
C แทน เซตของประชาชนชอบอ่านหนังสือพิมพ์รักไทย

1. สำรวจประชาชน 600คน

2. ให้ประชาชนที่ไม่ได้อ่านหนังสือพิมพ์ใคเลยเป็น xคน

3. อ่านหนังสือพิมพ์ถิ่นไทยงาม 162คน

4. อ่านหนังสือพิมพ์ถิ่นไทยงามอย่างเดียว 162-(1820+12)=112คน

5. อ่านหนังสือพิมพ์ไทยนิยม 116คน

6. อ่านหนังสือพิมพ์ไทยนิยมอย่างเดียว 116-(18+20+15)=63คน

7. อ่านหนังสือพิมพ์รัคไทย 135คน

8. อ่านหนังสือพิมพ์รักไทยอย่างเดียว 135-(12+20+15)=88คน

9. จะได้สมการ 162+63+15+88+x=600

10. ดังนั้น x = 272คน

ดังนั้น มีประชาชนที่ไม่ได้อ่านหนังสือพิมพ์ใดเลยในสามฉบับนี้ จำนวน 272