เอกสารประกอบการสอน เรื่องความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง

เอกสารประกอบการสอน
รายวชิ า (ค 22101) คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน
เรอ่ื ง ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั จานวนจรงิ

ชอ่ื -สกลุ __________________________________________
ช้นั __________________ เลขท_ี่ ______________________

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
โรงเรยี นเบญจมราชทู ศิ จงั หวดั ปตั ตานี

คานา

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชา คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ค 22101 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 2 จัดทาตาม
มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวช้ีวัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตร
แกนกลางข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 โดยคานึงถึงการส่งเสริมให้ผู้เรียนมีทักษะท่ีจาเป็น สอดคล้องกับการ
เรียนรู้ในศตวรรษที 21 เป็นสาคัญ รวมทั้งเน้นด้านการวิเคราะห์ การแก้ปัญหา การคิดสร้างสรรค์ และการ
นาไปประยกุ ต์ใชเ้ พือ่ พฒั นาคณุ ภาพชีวติ ของตนเอง

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิง่ ว่าเอกสารประกอบการเรยี นเล่มนจ้ี ะเป็นประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ และ
เปน็ สว่ นสาคัญในการพัฒนาคุณภาพและมาตรฐานการศึกษา

อาจารย์สุดารตั น์ สมุ งั คละพนั ธ์
อาจารย์ปรารถนา รักประเทศ
นกั ศึกษาปฏิบตั กิ ารสอน อามีน จิ
นักศึกษาปฏิบตั ิการสอน มาซีเตาะ ตาเละ

สารบญั

เรอ่ื ง หนา้
ทบทวนความรเู้ บอ้ื งตน้
2-8
1) จานวนตรรกยะ 3
7
ใบงานที่ 2.1 ก 9-10
10
ใบงานท่ี 2.1 ข 11-19
15
2) จานวนอตรรกยะ 17
19
ใบงานที่ 2.2 20-26
3) รากทสี่ อง 23
26
ใบงานท่ี 2.3 ก 27
ใบงานท่ี 2.3 ข
ใบงานท่ี 2.3 ค
4) รากทสี่ าม
ใบงานท่ี 2.4 ก
ใบงานท่ี 2.4 ข
บรรณานุกรม

ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ

มาตรฐานและตวั ช้วี ดั

เข้าใจจานวนจริงและความสัมพันธข์ องจานวนจรงิ และใช้สมบตั ิของจานวนจรงิ ในการแก้ปญั หา
คณติ ศาสตร์และปัญหาในชีวติ จริง (ค1.1 ม2/2)

จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

เม่อื เรยี นจบบทนี้แลว้ นกั เรยี นสามารถ
1. จาแนกจานวนจรงิ ไดว้ า่ จานวนใดเป็นจานวนตรรกยะ จานวนใดเปน็ จานวนอตรรกยะ
2. เขยี นทศนยิ มซ้าให้อย่ใู นรปู เศษส่วน
3. เปรยี บเทียบจานวนจริง
4. หารากท่สี องของจานวนจรงิ และหารากทส่ี ามของจานวนท่เี ปน็ กาลังสามสมบูรณ์
5. แก้ปัญหาโดยใช้สมบัติของจานวนจริง

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความรู้เบอื้ งต้นเก่ียวกบั จานวนจริง | 1

ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ

ทบทวนความรกู้ อ่ นเรียน

 เลยยกกาลงั an = a × a × a × ⋯ × a

เม่ือ a เป็นจานวนใด ๆ และ n เป็นจานวนเตม็ บวก

เช่น (1.3)2 = (1.3) × (1.3) = 1.69

(−5)3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

(23)2 = (32) × (23) = (49)
(− 57)3 =
(− 57) × (− 57) × (− 75) = − 125
343

 ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

ในรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากใด ๆ กาลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเทา่ กบั ผลบวกของกาลงั

สองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

เมอ่ื c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

a และ b แทนความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก

จะได้

c2 = a2 + b2

 โครงสรา้ งของระบบจานวนจรงิ

จานวนจรงิ

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

จานวนเต็มบวก จานวนเตม็ เศษส่วนท่ีไม่ใช่จานวนเตม็
จานวนเต็มศนู ย์ จานวนเต็มลบ

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยท่ี 2 ความรูเ้ บ้ืองตน้ เกีย่ วกับจานวนจรงิ | 2

1) จานวนตรรกยะ

1.1 การเขยี นเศษสว่ นใหอ้ ยใู่ นรปู ทศนยิ ม

หลักการ/วิธีการ:……………………………………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขียนเศษส่วนต่อไปนี้ ให้อยใู่ นรูปทศนยิ ม

1) 3 2) 53
40 20

3) 1 4) 26
3 7

จากตัวอย่างที่ 1 สามารถแบ่งทศนยิ มซา้ เป็น 2 กลุ่ม ได้แก่
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความรเู้ บอื้ งต้นเก่ียวกับจานวนจรงิ | 3

ใบงานที่ 2.1 ก
จานวนตรรกยะ

1) จงเขยี นเศษสว่ นตอ่ ไปนใี้ ห้อยใู่ นรปู ทศนยิ ม (10 คะแนน)

โจทย์ คาตอบ เขยี นในรปู ทศนยิ มซา้
0.545454… 0. 5̇ 4̇
เชน่ 6 ………………………..
11 ……………………….. ……………………......
……………………….. ……………………......
1) 2 ……………………….. ……………………......
3 ……………………….. ……………………......
……………………….. ……………………......
2) 7 ……………………….. ……………………......
9 ……………………….. ……………………......
……………………….. ……………………......
3) 13 ……………………….. ……………………......
17 ……………………......

4) 15
37

5) 227
90

6) − 50
33

7) − 35
24

8) − 5
132

9) − 83
276

10) − 978
999

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยที่ 2 ความรเู้ บื้องตน้ เกีย่ วกบั จานวนจริง | 4

1.2 การเขยี นทศนยิ มซา้ ใหอ้ ยใู่ นรปู เศษสว่ น
ในทางกลบั กนั เราสามารถเขียนทศนยิ มซา้ ให้อยใู่ นรูปเศษส่วนได้ ซ่ึงนักเรียนเคยเขียน

ทศนิยมซ้าใหอ้ ยู่ในรปู เศษส่วนมาแล้ว เช่น

0.15 = 15 -0.165 = - 165
100 1,000

สาหรับทศนิยมซ้าอื่นๆ ที่ไมใ่ ชท่ ศนยิ มํซา้ ศูนย์ อาจเขียนให้อยู่ในรปู เศษส่วนได้ ดงั ตัวอย่าง
ตอ่ ไปนี้

ตวั อยา่ งที่ 2.1 จงเขียน 0. 7̇ ให้อยูใ่ นรปู เศษส่วน ......(1)
......(2)
วธิ ที า ให้ N = 0. 7̇
ดังน้นั N = 0.7777 ⋯

นา (1) × 10 จะได้ 10N = 10 × 0.7777 ⋯

หรือ 10N = 7.7777 ⋯
นา (2) - (1) จะได้ 10N − N = (7.7777 ⋯ ) − 0.7777 ⋯

9N = (7.7777 ⋯ ) − (0.7777 ⋯ )

9N = 7

ดงั นัน้ N = 7
9

น้ันคือ 0. 7̇ = 7
9

ตวั อยา่ งท่ี 2.2 จงเขยี น 0.62̇ 5̇ ใหอ้ ย่ใู นรูปเศษส่วน
วธิ ที า

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความร้เู บอ้ื งตน้ เกย่ี วกับจานวนจริง | 5

นอกจากนก้ี ารเขียนทศนยิ มไม่รจู้ บแบบซา้ ให้เป็นเศษสว่ นนัน้ สามารถทาได้โดยวธิ ลี ัด มีหลักการดังนี้

0. a⏟1a2 ⋯ ak a⏟̇ k+1ȧ k+2 ⋯ ȧ m = (a1a2 ⋯ am) − (a1a2 ⋯ ak)
9⏟99 ⋯ 9 0⏟0 ⋯ 0
k ตำแหนง่ m−k ตำแหน่ง
m−k ตวั k ตวั

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงเขยี นทศนิยมซา้ ต่อไปนี้ ใหอ้ ยู่ในรปู เศษส่วน

1) 1.58 วธิ ีลัด
วิธที า............................................................................................ ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
.....................................................................................................

2) 3. 6̇ 9̇ วธิ ลี ัด
วิธีทา............................................................................................ ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
...................................................................................................... ………………………………………
.................................................................................................... .. ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
.....................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยท่ี 2 ความร้เู บื้องตน้ เกย่ี วกับจานวนจรงิ | 6

3) −8.21̇ 5̇ วิธีลัด

วธิ ที า............................................................................................ ………………………………………

..................................................................................................... ………………………………………

..................................................................................................... ………………………………………

..................................................................................................... ………………………………………

...................................................................................................... ………………………………………

..................................................................................................... ………………………………………

..................................................................................................... ………………………………………

..................................................................................................... ………………………………………

..................................................................................................... ………………………………………

..................................................................................................... ………………………………………

......................................................................................................

4) −1.03̇ 07̇ วิธลี ัด
วิธที า............................................................................................ ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
...................................................................................................... ………………………………………
...................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
..................................................................................................... ………………………………………
.....................................................................................................

จากตวั อยา่ งที่ 3 สามารถสรปุ การเขียนทศนิยมซา้ ให้อยใู่ นรปู เศษส่วนโดยวธิ ีลดั ไดว้ ่า
............................................................................................................................. .................................................
................................................................................................................................................................... ...........
........................................................................................................................ ....................................................

จานวนตรรกยะ คือ ………………………………………………………………………………………………………………
............................................................................................................................. ...........................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยท่ี 2 ความร้เู บ้อื งต้นเก่ยี วกบั จานวนจริง | 7

ใบงานท่ี 2.1 ข

จานวนตรรกยะ

1) จงเขยี นทศนิยมตอ่ ไปนใี้ หอ้ ยใู่ นรูปเศษสว่ น (10 คะแนน)

2.1) 0. 6̇ 2.2) 3.74̇

วธิ ที า……………………………………………………….. วธิ ที า………………………………………………………….

………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

ตอบ……………………………................................. ตอบ……………………………..................................

2.3) 1.23̇ 6̇ 2.4) 0.31̇ 27̇

วธิ ที า……………………………………………………… วธิ ที า…………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………..

……………………………………………………………… ………………………………………………………………..

……………………………………………………………… ………………………………………………………………..

……………………………………………………………… ………………………………………………………………..

……………………………………………………………… ………………………………………………………………..

……………………………………………………………… ………………………………………………………………..

……………………………………………………………… ………………………………………………………………..

ตอบ……………………………............................... ตอบ…………………………….................................

2.5) −0. 97̇ 8̇

วธิ ที า………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………..

ตอบ……………………………............................…………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยที่ 2 ความรูเ้ บอื้ งตน้ เก่ียวกับจานวนจรงิ | 8

2) จงแสดงวธิ ที าต่อไปน้ี (10 คะแนน)

1. จซี ูซือ้ มะเขือเทศ 3 ลกู 10 บาท แต่โรสซอ้ื ได้ร้อยละ 330 บาท ใครซื้อมะเขือเทศได้ถูกกว่ากนั เพราะเหตใุ ด

..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
......................................................................................................................................................................... .....
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................

2. คณุ แม่และมารญี าไปทห่ี ้างสรรพสนิ คา้ แห่งหนึ่ง แล้วแวะซือ้ นา้ เปลา่ 5 ขวด สาหรับสมาชิกทกุ คนในบ้าน
ถา้ ซ้อื ปลีกจะซ้ือไดร้ าคาขวดละ 24.25 บาท แตถ่ า้ ซ้ือคร่ึงโหลจะซอ้ื ไดใ้ นราคา 130 บาท คณุ แมแ่ ละมารีญา
ควรตัดสนิ ใจซอ้ื แบบใด เพราะเหตุใด

............................................................................................................................................................ ..................
................................................................................................................. .............................................................
............................................................................................................................. .................................................
................................................................................................................................................. .............................
..................................................................................................... .........................................................................
............................................................................................................................. .................................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความรเู้ บอ้ื งต้นเกย่ี วกับจานวนจรงิ | 9

2) จานวนอตรรกยะ
จานวนอตรรกยะ คอื ………………………………………………………………………………………..

....................................................................................................................................................................

ตวั อยา่ งท่ี 1 การหาจุดบนเส้นจานวนทแ่ี ทน -√2, √2, -√3 และ √3

ตวั อยา่ งท่ี 2 ยกตวั อย่างจานวนตรรกยะมา 5 จานวน และจานวนอตรรกยะมา 5 จานวน
จานวนตรรกยะ :………………………………………………………………………………….....
จานวนอตรรกยะ :……………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงเตมิ คาแสดงความสมั พันธ์ระหวา่ งจานวนขนดิ ต่าง ๆ ดงั แผนผังต่อไปนี้
จานวนจริง

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยท่ี 2 ความรเู้ บ้อื งตน้ เกี่ยวกบั จานวนจรงิ | 10

ใบงานท่ี 2.2
จานวนอตรรกยะ

1) จงพจิ ารณาจานวนต่อไปนว้ี า่ เปน็ จานวนชนดิ ใด โดยเขยี นเคร่อื งหมาย ✔ ลงในชอ่ งชนดิ ของจานวน

ขอ้ ท่ี จานวน ชนดิ ของจานวน
จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ จานวนจรงิ

1 -3.5

2

3 , −

4

5 0.246

6 0.57577

7 0.6

8 0.203200320003…

97

11

10 จานวนเต็มทกุ จานวน

2) จงทาเครอื่ งหมาย ✓ ลงในช่องใหถ้ กู ต้อง

ข้อที่ ขอ้ ความ ถกู ต้อง ไมถ่ กู ตอ้ ง
1 ถ้า 2= 1,024 แล้ว x เปน็ จานวนอตรรกยะ
2 เป็นจานวนอตรรกยะ
3 14.343434… เป็นจานวนอตรรกยะ
4 เปน็ จานวนตรรกยะ
5 8.96 เปน็ จานวนตรรกยะ
6 ดา้ นตรงข้ามมุมฉากของรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ท่ีมดี า้ นประกอบมุม

ฉากยาว 4 และ 16 เปน็ จานวนตรรกยะ
7 จานวนตรรกยะหารดว้ ยจานวนตรรกยะท่ีไมเ่ ทา่ กับศูนย์ เท่ากบั

จานวนตรรกยะ

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยท่ี 2 ความรเู้ บ้ืองตน้ เกย่ี วกับจานวนจรงิ | 11

3) รากทสี่ อง

x1 x3

1 4

จากรปู จะได้…………………………………… จากรูปจะได้……………………………………
…………………………………… ……………………………………
…………………………………… ……………………………………

เรยี ก……. วา่ …………………………………… เรียก……. ว่า……………………………………

บทนยิ าม
กาหนดให้ a แทนจานวนจริงบวกใด ๆ หรือศนู ย์ รากทส่ี อง (square root) ของ a คือ

จานวนจรงิ ท่ยี กกาลังสองแล้วได้ a

ตวั อยา่ งท่ี 1
5 เป็นรากทส่ี องของ …………………....เน่อื งจาก…………………………..
-5 เป็นรากทส่ี องของ …………………….เนอ่ื งจาก…………………………..
11 เป็นรากทส่ี องของ …………………...เน่ืองจาก…………………………..

-11 เป็นรากท่สี องของ …………………… เนื่องจาก…………………………..

ตวั อยา่ งที่ 2 1) รากทส่ี องของ 84 มสี องราก เขยี นแทนดว้ ย.......................และ..........
เนือ่ งจาก...................................และ........................เพราะ...................
ดังนนั้ ....................................................................................................
2) รากทสี่ องของ 0.0001 มีสองราก เขยี นแทนด้วย................และ..........
เน่อื งจาก...................................และ.........................เพราะ...................
ดังน้นั .....................................................................................................
3) รากทสี่ องของ 17 มีสองราก เขยี นแทนดว้ ย.......................และ............
เนื่องจาก...............................................................................................
ดังนั้น............................................................................................. ........
........................................................................................................ ......

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยท่ี 2 ความรเู้ บื้องตน้ เกย่ี วกับจานวนจรงิ | 12

4) รากทส่ี องของ 5 มีสองราก เขยี นแทนดว้ ย.......................และ............
7
เนือ่ งจาก...............................................................................................

ดงั นน้ั .....................................................................................................

..............................................................................................................

จากตัวอยา่ งท่ี 2 สามารถสรปุ ไดด้ งั นี้

 ถา้ a เปน็ จานวนจรงิ บวก รากทีส่ องของ a มีสองราก คอื
...................................................................แทนดว้ ยสัญลักษณ์..................
และ............................................................แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์..................

 ถ้า a = 0 รากท่สี องของ a คือ...........

ตวั อยา่ งท่ี 3 การหารากที่สองของจานวนเตม็ บวก
1) หารากทสี่ องของ 36
เนอ่ื งจาก................................................................................................................
ดงั นัน้ .....................................................................................................................
2) หารากทสี่ องของ 63
เนือ่ งจาก................................................................................................................
ดงั นนั้ .....................................................................................................................

จากตัวอยา่ งที่ 3 สามารถสรปุ ไดด้ งั นี้

สาหรับจานวนเตม็ บวก
 ถ้าสามารถหาจานวนเต็มบวกหนึ่งทย่ี กกาลงั สอง แล้วเท่ากับจานวนเตม็ บวกท่ีกาหนดให้

รากทีส่ องของจานวนนน้ั จะเป็น........................................................................................
 ถา้ ไมส่ ามารถหาจานวนเต็มท่ียกกาลงั สอง แลว้ เท่ากับจานวนเต็มบวกท่กี าหนดให้ รากท่ี

สองของจานวนน้นั จะเป็น.................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความรูเ้ บอ้ื งตน้ เกยี่ วกบั จานวนจรงิ | 13

ตวั อยา่ งท่ี 4 การหารากที่สองของจานวนตรรกยะบวก

1) หารากท่สี องของ 1
9
เนื่องจาก................................................................................................................

ดังน้นั .....................................................................................................................

2) หารากทสี่ องของ 0.05

เน่ืองจาก................................................................................................................

ดังนั้น.....................................................................................................................

จากตัวอย่างที่ 4 สามารถสรุปได้ดังน้ี

สาหรบั จานวนตรรกยะบวกอน่ื ๆ ทไี่ มใ่ ชจ่ านวนเต็มบวก
 ถา้ สามารถหาจานวนตรรกยะท่ียกกาลังสอง แลว้ เทา่ กับจานวนตรรกยะบวกที่กาหนดให้

รากท่สี องของจานวนนั้นจะเป็น........................................................................................
 ถา้ ไม่สามารถหาจานวนตรรกยะทีย่ กกาลงั สอง แล้วเท่ากบั จานวนตรรกยะบวกที่กาหนดให้

รากที่สองของจานวนน้นั จะเป็น........................................................................................

การหารากทสี่ อง

 การหารากทส่ี องโดยการแยกตวั ประกอบ
ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหารากที่สองของ 900
วธิ ที า เน่ืองจาก..................................................................................................
................................................................................................................
.................................................................................................. ..............
......................................................................................... .......................
.................................................................................................. ..............
ตอบ .............................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยท่ี 2 ความรูเ้ บื้องตน้ เกย่ี วกับจานวนจรงิ | 14

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหา √1,296
วธิ ที า เนอื่ งจาก..................................................................................................

................................................................................................................
.................................................................................................. ..............
................................................................................................................
.................................................................................................. ..............
ตอบ .............................................
ตวั อยา่ งท่ี 7 จงหา -√2,704
วธิ ที า เนอ่ื งจาก..................................................................................................
................................................................................................................
.................................................................................................. ..............
................................................................................................................
.................................................................................................. ..............
ตอบ .............................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยที่ 2 ความรเู้ บือ้ งตน้ เก่ยี วกับจานวนจรงิ | 15

ใบงานท่ี 2.3 ก
รากทสี่ อง

1) จงหารากทส่ี องและกรณฑข์ องจานวนต่อไปน้ี โดยใชบ้ ทนยิ าม (8 คะแนน)

1. 121 2. 25
เนอ่ื งจาก…………………………………………………………… 207
และ…......................................................................... เนื่องจาก…………………………………………………............
ดงั นน้ั รากทีส่ องของ 121 คอื ..................................... และ….........................................................................

และกรณฑ์ทสี่ องของ 121 คือ................................... ดังนั้นรากที่สองของ 25 คอื ...................................

207

และกรณฑท์ ส่ี องของ 25 คือ.............................

207

3. 13 4. 0.025

เนอ่ื งจาก…………………………………………………………… เนอื่ งจาก…………………………………………………..……..

และ…......................................................................... และ…..............................................................………..

ดังน้นั รากทีส่ องของ 13 คือ............................... ดงั นั้นรากท่ีสองของ 0.025 คือ..........................…….

และกรณฑ์ที่สองของ 13 คอื .......................…………… และกรณฑท์ ส่ี องของ 0.025 คือ........................…….

2) จงหาคา่ ตอ่ ไปนี้ โดยการแยกตวั ประกอบ (8 คะแนน)

1. 2.
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3. 4.
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยท่ี 2 ความรูเ้ บอ้ื งตน้ เกี่ยวกับจานวนจริง | 16

 การหารากทสี่ องโดยการประมาณ
ตวั อยา่ งท่ี 8 การประมาณรากทส่ี องท่ีเปน็ จานวนอตรรกยะดว้ ยจานวนเต็ม
24 ใกล้เคยี งกับ 25 และ √25 = 5 ดงั นนั้ √24 ≈ 5
65 ใกลเ้ คยี งกับ.................................................................
221 ใกลเ้ คียงกับ.................................................................
1,026 ใกล้เคยี งกบั .................................................................
ตวั อยา่ งที่ 9 การประมาณรากที่สองทีเ่ ป็นจานวนอตรรกยะดว้ ยจานวนทศนิยม
1) การหาค่าประมาณของ √7
เน่ืองจาก √7 เปน็ จานวนอตรรกยะท่ีอยู่ระหว่างจานวนเตม็ บวกสองจานวน คือ 2
และ 3 แสดงไดด้ งั น้ี
ตารางท่ี 1
√n 2 √7 3
N 4 79
- ถา้ ตอ้ งการหาค่าประมาณของ √7 เปน็ ทศนิยมหน่งึ ตาแหน่ง แสดงการหาไดด้ ังน้ี
จากตารางที่ 1 จะเห็นวา่ √7 มคี ่าใกล้เคยี ง 3 มากกวา่ 2 เริ่มพิจารณาในชว่ ง
จาก 2.5 แตไ่ มเ่ กิน 3
ตารางท่ี 2
√n 2.5 2.6 √7 2.7
n 6.25 6.76 7.00 7.29
จากตารางจะเหน็ ว่า 7 มคี ่าใกลเ้ คียง 6.76 มากกว่า 7.29 จงึ ประมาณ √7 เป็น
ทศนิยมหนึ่งตาแหน่งได้เป็น 2.6
- ถ้าต้องการหาค่าประมาณของ √7 เปน็ ทศนยิ มสองตาแหนง่ แสดงการหาไดด้ ังน้ี
จากตารางที่ 2 จะเห็นวา่ √7 มคี ่าใกลเ้ คยี ง 2.6 มากกวา่ 2.7 เรม่ิ พจิ ารณาในชว่ ง
จาก 2.60 แตไ่ ม่เกนิ 2.65
ตารางที่ 3
√n 2.64 √7 2.65
n 6.9696 7.0000 7.0225
จากตารางจะเห็นว่า 7 มคี า่ ใกล้เคยี ง 7.0225 มากกว่า 6.9696 จงึ ประมาณ √7
เป็นทศนิยมสองตาแหน่งไดเ้ ป็น 2.65

สามารถหาคา่ ประมาณของ√7 เป็นทศนิยมหลายตาแหนง่ กวา่ นไี้ ด้ในทานองเดียวกนั

กัน

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความรูเ้ บ้ืองตน้ เกี่ยวกบั จานวนจรงิ | 17

ใบงานท่ี 2.3 ข
รากทสี่ อง

1) จงหาคา่ ประมาณของจานวนต่อไปนเ้ี ปน็ ทศนยิ ม 3 ตาแหนง่ (8 คะแนน)

1.1 √7
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 √20
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 √31
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 √53
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความรูเ้ บือ้ งตน้ เกีย่ วกบั จานวนจรงิ | 18

 การเปรยี บเทียบจานวนทอี่ ยใู่ นรปู กรณฑ์ทส่ี อง

ตวั อยา่ งท่ี 10 √3 และ √11 จานวนใดมคี า่ น้อยกวา่ กนั
วธิ ที า เนอ่ื งจาก....................................................................................................

ดงั นัน้ ..........................................................................................................
จะได้วา่ .......................................................................................................
ตอบ.....................................................

ตวั อยา่ งที่ 11 4√3 และ 6√2 จานวนใดมคี า่ น้อยกวา่ กนั
วธิ ที า ...................................................................................................................

...................................................................................................................
เนื่องจาก....................................................................................................
ดงั นนั้ ..........................................................................................................
จะได้ว่า.......................................................................................................
ตอบ.....................................................

ตวั อยา่ งท่ี 12 √2 และ √5 จานวนใดมคี ่าน้อยกวา่ กนั
√3 √7
วธิ ที า ...................................................................................................................

........................................................................................................ ...........

เนื่องจาก....................................................................................................

ดังน้ัน..........................................................................................................

จะไดว้ า่ .......................................................................................................

ตอบ.....................................................

จากตวั อย่างท่ี 10, 11 และ 12 สามารถสรปุ ได้ดังน้ี
เมือ่ a > 0, b > 0 ถา้ a < b แลว้ ............................

เม่อื a > 0, b > 0

1. √a√b = √ab

2. √a = √ba
√b

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความรเู้ บ้ืองต้นเกี่ยวกับจานวนจรงิ | 19

ใบงานท่ี 2.3 ค
รากทสี่ อง

1) จงเรยี งลาดับจานวนตอ่ ไปน้จี ากน้อยไปมาก (8 คะแนน)
โจทย์ คาตอบ

1.1 √36 , 3√6 , √63

1.2 7√3 , 4√7 , 9√2

1.3 5. 5̇ , √500 , 1 , 5√5
√5

1.4 −√80 , −8.9 , −3√3 , − 1
√81

2) กระเบือ้ งรูปสเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสขนาด 3 x 3 ตารางเซนตเิ มตร จานวน 576 แผน่ จะสามารถนามาเรยี งต่อโดยไม่

ทับซอ้ นกันใหเ้ ป็นรูปสเ่ี หลีย่ มจตั ุรสั ไดพ้ อดหี รือไม่ (แสดงวธิ คี ดิ ) (2 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยท่ี 2 ความรเู้ บือ้ งต้นเกย่ี วกับจานวนจรงิ | 20

4) รากทส่ี าม

บทนยิ าม
กาหนดให้ a แทนจานวนจริงใด ๆ รากทส่ี าม (cube root) ของ a คอื จานวนจรงิ

ท่ยี กกาลงั สามแล้วได้ a เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ √3 a

ตวั อยา่ งที่ 1
3 เปน็ รากท่สี ามของ …………………....เน่อื งจาก…………………………..
-7 เป็นรากที่สามของ …………………….เน่อื งจาก…………………………..

0.5 เป็นรากท่สี ามของ …………………...เนื่องจาก…………………………..
-0.1 เปน็ รากที่สามของ …………………… เนอ่ื งจาก…………………………..
ตวั อยา่ งท่ี 2 การหารากที่สามของจานวนเต็ม
1) หารากที่สามของ -216
วธิ ที า เนื่องจาก................................................................................................................

ดงั นั้น.....................................................................................................................
ตอบ..............................
2) หารากทส่ี ามของ 27
วธิ ที า เนอ่ื งจาก................................................................................................................

ดงั น้นั .....................................................................................................................
ตอบ..............................

จากตัวอยา่ งที่ 2 สามารถสรุปไดด้ งั น้ี

สาหรับจานวนเต็ม
 ถา้ สามารถหาจานวนเต็มจาวนหน่งึ ทย่ี กกาลังสาม แล้วเท่ากบั จานวนเต็มที่กาหนดให้

รากที่สามของจานวนนัน้ จะเป็น........................................................................................
 ถ้าไมส่ ามารถหาจานวนเต็มที่ยกกาลงั สาม แลว้ เท่ากบั จานวนเตม็ ที่กาหนดให้ รากท่ี

สามของจานวนน้ันจะเปน็ .................................................................................................

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความร้เู บอ้ื งตน้ เก่ียวกบั จานวนจรงิ | 21

ตวั อยา่ งที่ 3 การหารากทส่ี ามของจานวนตรรกยะ

1) หารากที่สามของ - 27
64
วธิ ที า เนือ่ งจาก.............................................................................................................

ดังนนั้ .................................................................................................................

ตอบ.....................

2) หารากท่ีสามของ 0.125

วธิ ที า เนอ่ื งจาก.............................................................................................................

ดงั นัน้ .................................................................................................................

ตอบ.....................

จากตัวอย่างที่ 3 สามารถสรปุ ได้ดงั น้ี

สาหรบั จานวนตรรกยะอน่ื ๆ ท่ีไมใ่ ชจ่ านวนเตม็

 ถ้าสามารถหาจานวนตรรกยะที่ยกกาลังสาม แล้วเทา่ กับจานวนตรรกยะท่ีกาหนดให้
รากที่สามของจานวนนน้ั จะเป็น........................................................................................

 ถา้ ไม่สามารถหาจานวนตรรกยะทีย่ กกาลงั สาม แลว้ เทา่ กบั จานวนตรรกยะที่กาหนดให้
รากที่สามของจานวนน้ันจะเป็น........................................................................................

การหารากทส่ี าม

 การหารากทสี่ ามโดยการแยกตวั ประกอบ
ตวั อยา่ งที่ 4 จงหารากที่สามของ 512
วธิ ที า เนือ่ งจาก..................................................................................................
.................................................................................. ..............................
.................................................................................................. ..............
.................................................................................................. ..............
.................................................................................................. ..............
ตอบ .............................................

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยท่ี 2 ความรเู้ บอื้ งตน้ เก่ียวกับจานวนจรงิ | 22

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหา √3 -42,875
วธิ ที า เน่อื งจาก..................................................................................................

................................................................................................................
................................................................................................................
................................................................................................................
................................................................................................................
ตอบ .............................................

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหา √3 33,34735
วธิ ที า เนือ่ งจาก..................................................................................................

................................................................................................................
.................................................................................................. ..............
................................................................................................................
.................................................................................................. ..............
ตอบ .............................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความร้เู บ้ืองตน้ เก่ียวกับจานวนจริง | 23

ใบงานท่ี 2.4 ก
รากทสี่ าม

1) จงหารากทสี่ ามของจานวนต่อไปน้ีโดยใชบ้ ทนยิ าม (12 คะแนน)

1) 512 2) 1,728

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

3) 200 4) -0.001

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

5) -0.125 6) -852

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยที่ 2 ความรเู้ บือ้ งต้นเก่ียวกับจานวนจรงิ | 24

2) จงหาคา่ ตอ่ ไปน้ี โดยการแยกตวั ประกอบ (16 คะแนน)

1. 3√125 2. 3√1,000,000

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3. −3√−8 4. 3√16245
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

5. 3√52172 6. 3√−0.001
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

7. −3√0.216 8. 3√0.000027

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยที่ 2 ความร้เู บอ้ื งตน้ เกีย่ วกบั จานวนจรงิ | 25

 การเปรยี บเทียบจานวนทอ่ี ยใู่ นรปู กรณฑ์ทส่ี าม
ตวั อยา่ งที่ 7 √3 36 และ √3 49 จานวนใดมคี ่าน้อยกวา่ กัน
วธิ ที า เนื่องจาก....................................................................................................
ดังน้ัน..........................................................................................................
จะไดว้ า่ .......................................................................................................
ตอบ.....................................................

ตวั อยา่ งท่ี 8 2√3 729 และ 3√3 125 จานวนใดมีค่าน้อยกวา่ กัน
วธิ ที า ...................................................................................................................

...................................................................................................................
เนื่องจาก................................................................................................. ...
ดงั นนั้ ..........................................................................................................
จะได้วา่ .......................................................................................................
ตอบ.....................................................

ตวั อยา่ งที่ 9 √3 2 และ √3 3 จานวนใดมคี ่าน้อยกว่ากนั
√3 5 √3 7
วธิ ที า ...................................................................................................................

...................................................................................................................

เนื่องจาก....................................................................................................

ดงั น้ัน..........................................................................................................

จะได้ว่า.......................................................................................................

ตอบ.....................................................

จากตวั อยา่ งท่ี 7, 8 และ 9 สามารถสรปุ ได้ดงั น้ี
ถา้ a < b แล้ว............................

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หนว่ ยที่ 2 ความรู้เบอ้ื งตน้ เกีย่ วกบั จานวนจริง | 26

ใบงานที่ 2.4 ข
รากทสี่ าม

1) จงเรยี งลาดับจานวนต่อไปนีจ้ ากนอ้ ยไปมาก (8 คะแนน)
โจทย์ คาตอบ

1.1 3√−64 , −3√36 , 3√−81

1.2 23√729 , 33√512 , 53√216

1.3 −√99 , √999 , 3√999 , 3√−99

1.4 3√−9, −√27 , 3√−36 ,
3√−49, −√125

2) โรงงานผลติ กลอ่ งพลาสติกแห่งหน่งึ สารวจพบวา่ กลอ่ งขนาดท่ีขายดีท่ีสุดเป็นกล่องทรงลกู บาศก์ท่สี ามารถจุ
ของได้อย่างนอ้ ย 1,500 ลกู บาศก์นิว้ โรงงานต้องผลติ กล่องที่มีความยาวอย่างน้อยกีน่ ว้ิ (ตอบเป็นจานวนเตม็ )

(4 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ ม.2 หน่วยท่ี 2 ความรูเ้ บือ้ งตน้ เก่ียวกบั จานวนจริง | 27

บรรณานกุ รม

สถาบนั พัฒนาคณุ ภาพวิชาการ (2562). คมู่ อื ครใู ชค้ กู่ บั ชดุ กจิ กรรมการเรียนรพู้ ฒั นาการคดิ รายวชิ า
คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2. กรุงเทพฯ : สานักพมิ พ์ บริษทั พฒั นาคณุ ภาพวิชาการ
(พว.)จากดั .

สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. (2562).หนังสอื เรยี นรายวชิ า
พื้นฐาน คณติ ศาสตร์ เลม่ 1.พิมพค์ รัง้ ท่ี 1. กรุงเทพฯ : สานักพมิ พจ์ ฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลยั .