เรื่อง Modulo Theory Creative By Desmos สาขา คณิตศาสตร์ โดย 1.นางสาวชลิญญา เต๋จ๊ะ 2.นางสาวนันทพร พันแพง 3.นางสาวญาณิศา คงเกตุ อาจารย์ที่ปรึกษา นางสุธารัตน์ จุลญาติ นางเบญจมาศ ชาติศักดิ์ยุทธ โรงเรียน อุตรดิตถ์ดรุณี รายงานฉบับนี้เป็นส่วนประกอบของการน าเสนอผลงานวิชาการ ของนักเรียนโครงการห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ เทคโนโลยี และสิ่งแวดล้อม เครือข่ายภาคเหนือตอนล่าง ประจ าปีการศึกษา 2566
ชื่อโครงงาน Modulo Theory Creative By Desmos ประเภทโครงงาน สาขา คณิตศาสตร์ ชื่อนักเรียน 1.นางสาวชลิญญา เต๋จะ 2.นางสาวนันทพร พันแพง 3.นางสาวญาณิศา คงเกตุ ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา นางสุธารัตน์ จุลญาติ นางเบญจมาศ ชาติศักดิ์ยุทธ โรงเรียน อุตรดิตถ์ดรุณี บทคัดย่อ โครงงานนี้เป็นโครงงานที่สร้างขึ้นเนื่องจากวิชาคณิตศาสตร์ในแง่มุมหนึ่งของการศึกษาเรื่องแบบรูป ซึ่ง มีแบบรูปของจำนวนอยู่หลายประเภทที่สามารถนำมาสร้างสรรค์งานศิลปะได้ งานศิลปะที่สร้างสรรค์ขึ้นจาก การบวกและการคูณจำนวนภายใต้มอดุโล (Modulo) แทนการใช้เส้นจำนวนเป็นอีกแบบรูปหนึ่งที่สามารถ นำมาใช้ในการออกแบบลวดลายได้ ทางผู้จัดทำจึงได้ศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง การศึกษาลวดลายที่เกิด จากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 มี จุดมุ่งหมาย คือ 1) เพื่อศึกษาหาสูตรทั่วไปของลวดลายที่ เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล m ใดๆ 2) เพื่อสร้างลวดลาย เพื่อหาจำนวน ลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 3) เพื่อสร้างสรรค์ชิ้นงาน ผลการศึกษาและจัดทำโครงงานพบว่า สามารถสร้างลวดลายได้หลากหลายและแตกต่างกันโดยการ กำหนดตำแหน่งของค่าในตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 ที่แตกต่างกันทำให้สามารถสร้างลวดลาย ที่แปลกใหม่และสวยงาม สามารถนำไปสร้างสิ่งประดิษฐ์จากลวดลายตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 ได้จากการศึกษาสูตรทั่วไปและจำนวนของลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณภายใต้ มอดุโล 10 พบว่า สูตรทั่วไปของลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกภายและการคูณใต้มอดุโล m คือ (( )) ( ) = − − m i m m i m 1 2 1! เมื่อ i = 1,2,3,,m และสามารถสร้างลวดลายที่แตกต่างกันทั้งหมดบนตารางมอดุโล 10 เท่ากับ 1 9 368412612684 36 91 = 11,759,522,374,656 วิธี หรือ 11,759,522,374,656 9 9 8 9 7 9 6 9 5 9 4 9 3 9 2 9 1 9 0 9 = วิธี และผลจากการสร้างลวดลาย ทำให้ ได้ผลิตภัณฑ์ที่เกิดจากการประยุกต์ลายได้แก่ กระเป๋า ถุงผ้า เป็นต้น
กิตติกรรมประกาศ โครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง การศึกษาลวดลายที่เกิดจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 สำเร็จได้อย่างดีโดยได้รับการสนับสนุนจากผู้อำนวยการโรงเรียนอุตรดิตถ์ดรุณี ตำบลท่าอิฐ อำเภอเมือง อุตรดิตถ์จังหวัดอุตรดิตถ์และ ได้รับคำแนะนำ จากคณะครูในกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์และ แอพพลิเคชั่นที่จุดประกายความคิด สามารถนำสิ่งที่ได้จากโครงงานมาประยุกต์ให้สอดคล้องกับชีวิตประจำวัน ได้ นำไปสู่สิ่งที่ใช้ในการทำโครงงานชิ้นนี้ คณะผู้จัดทำโครงงานรู้สึกซาบซึ้งในความอนุเคราะห์จากท่านผู้อำนวยการ นายจรัญ อินตายวง เป็น อย่างสูง ที่แนะนำ และอำนวยความสะดวกในการทำโครงงานมาประดิษฐ์เป็นสิ่งของที่สามารถนำมาใช้ใน ชีวิตประจำวันได้ ขอขอบคุณ นายตรัยมิตร รูปใส ที่เป็นผู้คอยให้คำปรึกษาในส่วนของแอปพลิเคชัน และ ขอขอบคุณคุณคณาจารย์โรงเรียนอุตรดิตถ์ดรุณี ตำบลท่าอิฐ อำเภอเมืองอุตรดิตถ์ ทุกท่านที่ ได้ประสิทธิ์ ประสาทวิชาให้กับคณะผู้จัดทำโครงงาน สุดท้ายนี้คณะผู้จัดทำโครงงานขอขอบพระคุณ ผู้เกี่ยวข้องทุกท่านที่เป็นกำลังใจ และให้การสนับสนุน ในทุกเรื่อง ๆ ทำให้ข้าพเจ้าสามารถทำโครงงานชิ้นนี้สำเร็จลุล่วงด้วยดีคุณค่า และคุณประโยชน์อันพึงมาจาก โครงงานชิ้นนี้คณะผู้จัดทำโครงงานขอมอบแด่ผู้มีพระคุณทุกท่าน คณะผู้จัดทำ
สารบัญ หน้า บทคัดย่อ ก กิตติกรรมประกาศ ข สารบัญ ค สารบัญ (ต่อ) ง สารบัญตาราง จ สารบัญรูปภาพ ฉ บทที่ 1 บทน า 1-2 ความเป็นมา (หลักการและเหตุผล) 1 วัตถุประสงค์ 1 ขอบเขตของการศึกษาค้นคว้า 1 ขอบเขตวันเวลาและสถานที่ 2 นิยามศัพท์เฉพาะ 2 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ 2 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง 3-5 ชั้นสมภาคมอดุโล m (congruence class modulo m) 3 การบวกและการคูณชั้นส่วนตกค้างมอดุโล 3 การด าเนินการทวิภาค (binary operation) 3 หลักการนับเบื้องต้น (Basic Counting Principles) 4 แฟกทอเรียล (Factorial) 5 ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product) 5 โครงงานที่เกี่ยวข้อง 5 บทที่ 3 วิธีการด าเนินการศึกษา 6-7 ขอบเขตของการศึกษาค้นคว้า 6 ปฏิทินปฏิบัติงาน 6 ขั้นตอนการปฏิบัติงาน 7
หน้า บทที่ 4 ผลการด าเนินงาน 8-11 ผลการศึกษาสูตรทั่วไปและลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวก และการ คูณภายใต้มอดุโล 10 โดยโปรแกรม Desmos 8 ผลการศึกษาการสร้างลวดลายจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 10 ผลการศึกษาการสร้างสิ่งประดิษฐ์จากลวดลายตารางการบวกและการคูณภายใต้ มอดุโล 10 11 บทที่ 5 สรุป อภิปรายและข้อเสนอแนะ 12-13 สรุปผลการศึกษา 12 อภิปรายผลการศึกษา 12 ข้อเสนอแนะและแนวทางในการพัฒนา 13 เอกสารอ้างอิง 14 ภาคผนวก 15-21
สารบัญตาราง หน้า ตารางที่ 1 ตารางแสดงการด าเนินการทวิภาคภายใต้การบวกบนชั้นสมภาคมอดุโล 3 4 ตารางที่ 2 แผนการปฏิบัติงาน 6
สารบัญรูปภาพ หน้า ภาพที่1 ตัวอย่างการแสดงผลลายจากมอดุโล 10 ภายใต้การบวก โดยใช้โปรแกรม Desmos 10 ภาพที่2 ตัวอย่างการแสดงผลลายจากมอดุโล 10 ภายใต้การคูณ โดยใช้โปรแกรม Desmos 10 ภาพที่ 3 QR Code โปรแกรม Desmos แสดงรูปแบบลายมอดุโล 10 11 ภาพที่ 4 QR Code วิธีการสร้าง โดยแอปพลิเคชัน Desmos 11 ภาพที่ 5 รูปภาพแสดงตัวอย่างชิ้นงาน 11
บทที่ 1 บทนำ ความเป็นมา (หลักการและเหตุผล) คณิตศาสตร์ในแง่มุมหนึ่งของการศึกษาเรื่องแบบรูป มีแบบรูปของจำนวนอยู่หลายประเภทที่ สามารถนำมาสร้างสรรค์งานศิลปะได้ งานศิลปะที่สร้างสรรค์ขึ้นจากการบวกและการคูณจำนวนภายใต้มอดุโล (Modulo) แทนการใช้เส้นจำนวนเป็นอีกแบบรูปหนึ่งที่สามารถนำมาใช้ในการออกแบบลวดลายได้ จากนิยามการแบ่งชั้นสมภาคมอดุโล m ใด ๆ เมื่อ m + (congruence class modulo m) ทำให้ ทราบถึงเศษที่เหลือจากการแบ่งชั้นสมภาคมอดุโล นั้นก็คือ ชั้นสมภาคมอดุโล ซึ่งถ้าเราสร้างตารางการบวกและ การคูณภายใต้มอดุโล จะได้ช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกแทนด้วย ชั้นสมภาคมอดุโลนั้น การที่จะใช้เศษเหลือจาก การแบ่งชั้น สมภาคมอดุโลแทนลงในช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แทนด้วยชั้นสมภาคมอดุโล ที่เกิดจากการสร้าง ตารางการบวกและ การคูณภายใต้มอดุโล โดยการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นเป็น 9 ช่องเล็กๆ แทนจำนวนเศษ เหลือที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการดำเนินการภายใต้มอดุโล 10 ซึ่งในแต่ละชั้นสมภาคมอดุโลนั้นเราจะระบายสี ตามเศษเหลือที่ได้จากชั้นนั้น ๆ การกำหนดให้เศษเหลือของชั้นสมภาคมอดุโล10 แทนด้วยจำนวนช่องเล็ก ๆ 9 ช่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะเห็นได้ว่า เศษเหลือนั้นจะถูกระบายสีตามจำนวนชั้นสมภาคมอดุโลนั้น ๆ ภายใน 9 ช่องที่ได้ถูกแบ่งไว้ ซึ่ง เราสามารถเลือกช่องที่ถูกระบายสีได้ในตำแหน่งที่แตกต่างกัน ภายใน 9 ช่องนั้น จึงเป็นข้อสงสัยที่ว่า เมื่อเรา เปลี่ยนตำแหน่งเศษเหลือจากการแบ่งชั้นสมภาคมอดุโลนั้น ๆ ไปเรื่อย ๆ ภายใน 9 ช่องนั้น จะทำให้เกิดลายที่ เปลี่ยนแปลงไปอย่างต่อเนื่อง คณะผู้จัดทำมีความสนใจอีกประเด็น คือ การหาจำนวนลายที่เกิดขึ้นทั้งหมดจาก สร้างตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 โดยใช้ความรู้ทางด้านการจัดหมู่ (Combination) และสูตร ทั่วไปของการหาจำนวนลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล m ใด ๆ และ การสร้างสรรค์งานประดิษฐ์ภายใต้ตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 วัตถุประสงค์ 1. เพื่อศึกษาสูตรทั่วไปและลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 โดยแอปพลิเคชัน Desmos 2. เพื่อสร้างลวดลายจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 โดยแอปพลิเคชัน Desmos 3. เพื่อสร้างสรรค์ชิ้นงานหรือสิ่งประดิษฐ์จากลวดลายตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 ขอบเขตของการศึกษาค้นคว้า ขอบเขตด้านเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ ได้แก่ ชั้นสมภาคมอดุโล m, ทฤษฎีเศษเหลือ, การดำเนินการทวิภาค, หลักการนับเบื้องต้น, แฟกทอเรียล, ผลคูณคาร์ทีเซียน และแบบรูปความสัมพันธ์ (อนุกรม)
ขอบเขตวันเวลาและสถานที่ 16 พฤษภาคม – 28 กรกฎาคม 2566 โรงเรียนอุตรดิตถ์ดรุณี อำเภอเมือง จังหวัดอุตรดิตถ์ นิยามศัพท์เฉพาะ มอดุโล 10 หมายถึง เศษที่เหลือจากการหารด้วย 10 ประกอบด้วย 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 การบวกภายใต้มอดุโล 10 หมายถึง การนำตัวเลข 2 จำนวนมาบวกก่อนที่จะนำมาดำเนินการมอดุโล 10 การคูณภายใต้มอดุโล 10 หมายถึง การนำตัวเลข 2 จำนวนมาคูณก่อนที่จะนำมาดำเนินการมอดุโล 10 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ 1. สามารถสร้างลวดลายจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 ได้ 2. สามารถหาสูตรทั่วไปของลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล m 3. สามารถนำลวดลายที่ได้ไปประยุกต์ใช้เป็นแบบในการพิมพ์ลวดลายลงบนเสื้อ กระเป๋าหรือของใช้ 2
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง ในการศึกษาโครงงานนี้ คณะผู้จัดทำได้รวบรวมแนวคิดต่าง ๆ จากเอกสารและโครงงานที่เกี่ยวข้อง ดังต่อไปนี้ วัชรี กาญจน์กีรติ (2551, หน้า 20-23) ได้กล่าวถึงนิยามของชั้นสมภาคมอดุโล ไว้ดังนี้ 1) ชั้นสมภาคมอดุโล m (congruence class modulo m) นิยาม ถ้า a,m เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ m 0 เซ็ต a ซึ่งกำหนดโดย = เรียก ว่าชั้นสมภาคมอดุโล m ซึ่งมี a เป็นตัวแทนชั้น จากนิยาม = นั่นคือ = = เนื่องจาก ชั้นสมภาคมอดุโล m เป็นความสัมพันธ์สมมูลใน I จะได้ว่า a| aI เป็นผลแบ่งกั้น หนึ่งของ I ซึ่ง a a I m | 0 , 1 , 2 , 3 , , 1 = − ใช้สัญลักษณ์ Z m แทน 0 , 1 , 2 , 3 , , 1 m − และเรียกเซตนี้ว่า ชั้นสมภาคมอดุโล m 2) การบวกและการคูณชั้นส่วนตกค้างมอดุโล m นิยาม การบวกชั้นส่วนตกค้างมอดุโล m ถ้า และ ผลบวกของ และ แทนด้วย a+b โดยที่ a+b= r ก็ต่อเมื่อ a +b = m.q + r ,0 r m และ q,r I นิยาม การคูณชั้นส่วนตกค้างมอดุโล ถ้า และ ผลคูณของ และ แทนด้วย ab โดยที่ ab= r ก็ต่อเมื่อ ab = m.q + r ,0 r m และ q,r I 3) การดำเนินการทวิภาค (binary operation) นิยาม ให้G เป็นเซตที่ไม่ใช่เซตว่าง (empty set) การดำเนินการทวิภาคบนเซต G คือ ฟังก์ชัน จาก G x G ไปยัง G จากนิยามนี้ การดำเนินการทวิภาคบนเซต G คือ กฎ (rule)ที่กำหนดภาพ (image)ของคู่อันดับของ สมาชิกใน G หรือเป็นกฎที่ทำให้สามารถหาสมาชิกตัวหนึ่งใน G จากคู่อันดับของสมาชิกใน G ที่กำหนดให้ ถ้า (a,b)GG และ * เป็นการดำเนินการทวิภาคบนเซต G เขียนสัญลักษณ์ a b แทนภาพของ (a,b) ซึ่งเราสามารถแสดงการดำเนินการทวิภาคบนเซต G ออกมาในรูปแบบตารางเพื่อความสะดวกในการพิจารณา คุณสมบัติต่างของการดำเนินการทวิภาคเรียกว่า ตารางเคย์เลย์(Cayley table) a xI | x a(mod m) a a xI | x a(mod m) a xI | x = a + mk,k I a,a m,a 2m,a 3m, ... a b Zm a b a b Zm a b
0+0 = 0 เพราะว่า 0 + 0 = 30 + 0 1+2 = 0 เพราะว่า 1 + 3 = 31 + 0 0+1 = 1 เพราะว่า 0 + 1 = 30 + 1 2+0 = 2 เพราะว่า 2 + 0 = 30 + 2 0+2 = 2 เพราะว่า 0 + 2 = 30 + 2 2+1 = 0 เพราะว่า 2 + 1 = 31 + 0 1+0 = 1 เพราะว่า 1 + 0 = 30 + 1 2+2 = 1 เพราะว่า 2 + 2 = 31 + 1 1+1 = 2 เพราะว่า 1 + 1 = 30 + 2 เราสามารถเขียนเป็นตารางการดำเนินการทวิภาคภายใต้การบวกบนชั้นสมภาคมอดุโล 3ได้ดังนี้ ตารางที่ 1 ตารางแสดงการด าเนินการทวิภาคภายใต้การบวกบนชั้นสมภาคมอดุโล 3 4) หลักการนับเบื้องต้น (Basic Counting Principles) หลักการคูณ (The Multiplication Principles) กระบวนการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยขั้นตอนย่อย ๆ k ขั้นตอน โดยที่ ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีทำได้แตกต่างกัน n1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 มีวิธีทำได้แตกต่างกัน 2 n วิธี ขั้นตอนที่ 3 มีวิธีทำได้แตกต่างกัน 3 n วิธี ขั้นตอนที่ k มีวิธีทำได้แตกต่างกัน k n วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการทำงานที่แตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ k n n n n 1 2 3 วิธี การเลือก (Selection) ในกรณีทั่ว ๆ ไป ถ้า S เป็นเซตซึ่งมีสมาชิก n ตัว แตกต่างกัน เลือกสมาชิกของ S ที่ละ k ตัว จะเรียก การเลือกแต่ละแบบว่า k -คอมบิเนชันของ S ( k -combination of S ) และจะใช้สัญลักษณ์ C(n, k )หรือ ( ) แทน จำนวน k - คอมบิเนชันของเซต S นั้นคือ C(n, k ) แทน จำนวนวิธีเลือกสิ่งของที่ละ k สิ่งจากของทั้งหมด n สิ่ง สูตรในการคำนวณหา C(n, k ) คือ C(n, k )= ! !(−)! เมื่อ n คือ สิ่งของทั้งหมดที่แตกต่างกัน k คือ สิ่งของที่ต้องการเลือกจากของทั้งหมด + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 4
5) แฟกทอเรียล (Factorial) นิยาม ผลคูณของจำนวนเต็มบวกเรียงกันตามลำดับตั้งแต่ 1 ถึง n เรียกว่า n แฟคทอเรียล เขียนแทนด้วย n! จากนิยามนี้สรุปได้ว่า n! = n (n −1) (n − 2) (n −3)...321 (n −1)! = (n −1) (n − 2) (n −3)...321 ดังนั้น n! = n (n −1)! 6) ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product) นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product) ของเซต n S , S , , S 1 2 คือเซตของ n สิ่ง ที่เป็นลำดับทั้งหมด n a , a , , a 1 2 เมื่อ i i a S ซึ่งเขียนแทนด้วย = = n i n i S S S S S 1 1 2 3 โครงงานที่เกี่ยวข้อง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2549. บทคัดย่อ) เป็นโครงงานที่ออกแบบ ลวดลายจากตัวเลขบนหน้าปัดนาฬิกา และใช้ผลบวกภายใต้มอดุโล 12 กำหนดสีและลวดลายแทนตัวเลข แล้ว นำลวดลายมาเขียนแทน ตัวเลขที่เป็นผลบวกในตาราง ใช้การแปลงทางเรขาคณิต ได้แก่การสะท้อน และการ หมุนรูปเดิมแล้วนำมา วางต่อกันจนเกิดผลงานศิลปะที่งดงาม ณัฐรงค์ แสนวรางกุล และคณะ (2556. บทคัดย่อ) ได้ทำการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง ลวดลายสวยด้วยไซคลอยด์ โรงเรียนประโคนชัยพิทยาคม จังหวัดบุรีรัมย์ ผลการศึกษาพบว่า การหา สมการของไซคลอยด์ การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งของไซคลอยด์ ความยาวเส้นโค้ง และการเคลื่อนที่ของไซคลอยด์ จากการศึกษาทำให้พบว่า สามารถหาสมการเส้นโค้งนี้ได้โดยนำความรู้เรื่องตรีโกณมิติมาช่วยในการหาพิกัดของ จุดบนเส้นโค้ง และพบว่า เส้นโค้งที่เรียกว่าไซคลอยด์นั้นสามารถนำมาสร้างเป็นลวดลายสวยงามได้หลากหลาย เช่น ลายดอกไม้ ลายใยแมงมุม ลายคลื่น แล้วนำลวดลายที่ได้มาประดิษฐ์ และใช้เป็นส่วนประกอบในการ ตกแต่งผลงานศิลปะต่าง ๆ 5
บทที่ 3 วิธีการดำเนินการศึกษา การศึกษาโครงงานเรื่อง ศิลป์สร้างสรรค์จาก Modulo ครั้งนี้มีขั้นตอนการงานดังนี้ 1. ขอบเขตของการศึกษาค้นคว้า 2. ปฏิทินปฏิบัติงาน 3. ขั้นตอนการปฏิบัติงาน 1. ขอบเขตของการศึกษาค้นคว้า 1. ขอบเขตด้านเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ ได้แก่ ชั้นสมภาคมอดุโล m, ทฤษฎีเศษเหลือ, การดำเนินการ ทวิภาค, หลักการนับเบื้องต้น, แฟกทอเรียล, ผลคูณคาร์ทีเซียน และแบบรูปความสัมพันธ์ (อนุกรม) 2. เนื้อหาด้านทัศนศิลป์ ได้แก่ การออกแบบลวดลายและการสร้างสรรค์ผลงาน ระยะเวลาการดำเนินงาน 19 พฤษภาคม – 28 กรกฎาคม 2566 2. ปฏิทินปฏิบัติงาน ตารางที่ 2 แผนการปฏิบัติงาน (เริ่มโครงงานเมื่อวันที่ 16 พฤษภาคม พ.ศ. 2566) วัน เดือน ปี งานที่ปฏิบัติ 16 – 31 พ.ค. 66 ศึกษาโครงงานวิจัยตัวอย่าง 2 – 15 มิ.ย. 66 กำหนดหัวข้อโครงงาน และแต่งตั้งคณะกรรมการดำเนินงาน 16 – 30 มิ.ย. 66 ประชุมวางแผนการค้นคว้า และศึกษาข้อมูลเกี่ยวกับการหาชั้นสมภาคมอดุโล 1 – 15 ก.ค. 66 ร่างเค้าโครงของโครงงาน เขียนที่มาและความสำคัญ จุดมุ่งหมายของการทำโครงงาน และขอบเขตของการศึกษา 16 - 24 ก.ค 66 ศึกษาหาข้อมูล เนื้อหา เกี่ยวกับการหาชั้นสมภาคมอดุโล 25 - 31 ก.ค. 66 ศึกษาหาข้อมูล เนื้อหา เกี่ยวกับการสร้างตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 1 – 15 ส.ค. 66 กำหนดสัญลักษณ์แทนแต่ละชั้นสมภาคมอดุโล 10 และกำหนดชั้นใด ๆ จากเศษเหลือ ของชั้นสมภาคมอดุโล 10 10 - 15 ส.ค. 66 สร้างลวดลายบนตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 15 – 20 ส.ค. 66 หาลวดลายที่เกิดบนตารางการบวกและตารางการคูณภายใต้มอดุโล 10 21 – 22 ส.ค. 66 วิเคราะห์ลวดลายต่างๆ และปรับปรุงแก้ไข 22 – 31 ส.ค. 66 สร้างชิ้นงานจากลวดลายของตารางการบวกและการคูณ
ตารางที่ 2 (ต่อ) 23 – 29 ก.ค. 66 สรุปและอภิปรายผลการศึกษา 30 - 31 ส.ค. 66 แก้ไขและจัดทำรูปเล่มรายงาน 2 ก.ย. 66 นำเสนอโครงงาน 3. ขั้นตอนการปฏิบัติงาน ขั้นที่ 1 จัดตั้งกลุ่มโครงงาน ขั้นที่ 2 ศึกษาและวิเคราะห์เนื้อหา ขั้นที่ 3 หาชั้นสมภาคมอดุโล ขั้นที่ 4 สร้างตารางการบวก และการคูณภายใต้มอดุโล 10 ขั้นที่ 5 กำหนดสัญลักษณ์แทนแต่ละชั้นสมภาคมอดุโล 10 ขั้นที่ 6 กำหนดชั้นใด ๆ จาก เศษเหลือของชั้นสมภาคมอดุโล 10 ขั้นที่ 7 สร้างลวดลายบนตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 ขั้นที่ 8 หาลวดลายทั้งหมดที่เกิดบนตารางการบวกและตารางการคูณภายใต้มอดุโล 10 ขั้นที่ 9 สร้างชิ้นงานจากลวดลายของตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 ขั้นที่ 10 จัดทำรูปเล่มรายงานและบอร์ดแสดงผลงาน และ 11) นำเสนอผลงาน 7
บทที่ 4 ผลการดำเนินงาน ในการศึกษาโครงงานเรื่องนี้ คณะผู้จัดทำสังเกตจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 ขอ นำเสนอผลการศึกษาเป็นส่วนตามวัตถุประสงค์ ดังนี้ ผลการศึกษาตามวัตถุประสงค์ข้อ 1 เพื่อศึกษาสูตรทั่วไปและลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตาราง การบวก และการคูณภายใต้มอดุโล 10 โดยโปรแกรม Desmos จากผลการดำเนินงานที่ผ่านมาเราจะเห็นได้ว่า ลายต่างๆที่ได้เกิดจากสี่เหลี่ยมช่องเล็กๆที่ถูกแทนด้วย เศษเหลือจากการแบ่งชั้นมอดุโล 10 ดังนี้ ชั้นที่ 0 แทนด้วย ชั้นที่ 5 แทนด้วย ชั้นที่ 1 แทนด้วย ชั้นที่ 6 แทนด้วย ชั้นที่ 2 แทนด้วย ชั้นที่ 7 แทนด้วย ชั้นที่ 3 แทนด้วย ชั้นที่ 8 แทนด้วย ชั้นที่ 4 แทนด้วย ชั้นที่ 9 แทนด้วย สังเกตได้ว่าเมื่อสลับตำแหน่งของเศษเหลือของสมภาคมอดุโล 10 ในชั้นสมภาคต่าง ๆ ไปอย่างต่อเนื่องก็ จะทำให้เกิดลวดลายที่แตกต่างกัน นั่นคือลวดลายต่าง ๆ ที่เปลี่ยนไปแปรผันตามตำแหน่งของเศษเหลือของ สมภาคมอดุโล 10 ในชั้นต่างนั้น ๆ ดังนั้นจึงสามารถหาจำนวนลายที่แตกต่างกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดในตาราง มอดุโล 10 จากการหาจำนวนตำแหน่งที่แตกต่างกันทั้งหมดของแต่ละชั้นมอดุโล 10 โดยใช้ความรู้ในเรื่องของ การเลือก(Combination) ได้ดังนี้ สมภาคมอดุโล 10 ชั้นที่ 0 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 1 0 9 = แบบ สมภาคมอดุโล 10 ชั้นที่ 1 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 9 1 9 = แบบ
สมภาคมอดุโล 10 ชั้นที่ 2 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 36 2 9 = แบบ สมภาคมอดุโล 10 ชั้นที่ 3 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 84 3 9 = แบบ สมภาคมอดุโล10 ชั้นที่ 4 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 126 4 9 = แบบ สมภาคมอดุโล10 ชั้นที่ 5 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 126 5 9 = แบบ สมภาคมอดุโล10 ชั้นที่ 6 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 84 6 9 = แบบ สมภาคมอดุโล10 ขั้นที่ 7 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 36 7 9 = แบบ สมภาคมอดุโล10 ชั้นที่ 8 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 9 8 9 = แบบ สมภาคมอดุโล10 ชั้นที่ 9 แทนด้วย จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันคือ 1 9 9 = แบบ สำหรับกระบวนการเกิดจำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันบนตารางมอดุโล 10 จะประกอบด้วย ขั้นตอน ของการเกิดจำนวนลายย่อยของแต่ละชั้นสมภาคมอดุโล 10 ตามหลักการคูณ (The Multiplication Principles) ดังนั้นจำนวนลายที่แตกต่างกันทั้งหมดบนตารางมอดุโล 10 เท่ากับ 1 9 368412612684 36 91 = 11,759,522,374,656 หรือ 11,759,522,374,656 9 9 8 9 7 9 6 9 5 9 4 9 3 9 2 9 1 9 0 9 = วิธี พิจารณาการหาสูตรทั่วไปของลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล สำหรับตารางมอดุโล m ใด ๆ จะได้จำนวนชั้นสมภาคมอดุโลจำนวนทั้งหมด m−1 ชั้น ซึ่งกระบวนการเกิด จำนวนลายทั้งหมดที่แตกต่างกันบนตารางมอดุโล m จะประกอบด้วยขั้นตอนของการเกิดจำนวนลายย่อย ของ แต่ละชั้นสมภาคมอดุโล m ตามหลักการคูณ (The Multiplication Principles) ดังต่อไปนี้ ขั้นตอนที่ 1 สำหรับมอดุโล m ชั้นที่ 0 จะเกิดจำนวนลายที่แตกต่างกันทั้งหมด − 0 m 1 แบบ ขั้นตอนที่ 2 สำหรับมอดุโล m ชั้นที่ 1 จะเกิดจำนวนลายที่แตกต่างกันทั้งหมด − 1 m 1 แบบ ขั้นตอนที่ 3 สำหรับมอดุโล m ชั้นที่ 2 จะเกิดจำนวนลายที่แตกต่างกันทั้งหมด − 2 m 1 แบบ ขั้นตอนที่ k สำหรับมอดุโล m ชั้นที่ m -1 จะเกิดจำนวนลายที่แตกต่างกันทั้งหมด − − 1 1 m m แบบ ดังนั้นจำนวนลายที่แตกต่างกันทั้งหมดบนตารางมอดุโล m 9
เท่ากับ − − − − − − − − − − 1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 1 0 1 m m m m m m m m m m แบบ m พจน์ นั่นคือ − − − − − − − − − − 1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 1 0 1 m m m m m m m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 !0! 2 !1! 3 !2! 2! 3 1! 2 ! 0! 1 ! m m m m m m m m m m m m − − − − − − = − − − − − − (( ) ) (( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ) 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 3!2!1!0! 0!1!2!3! 3 ! 2 ! 1 ! m m m m m m m m − = − − − − − − (( ) ) (( ) ( ) ( ) ) 2 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 3!2!1!0! m m m m m − = − − − (( ) ) ( ) 2 1 1 ! m m i m m i = − = − เมื่อ i = 1,2,3,,m ผลการศึกษาตามวัตถุประสงค์ข้อ 2 เพื่อสร้างลวดลายจากตารางการบวกและการคูณภายใต้ มอดุโล 10 จากการสร้างลวดลายจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 มีดังนี้ ภาพที่1 ตัวอย่างการแสดงผลลายจากมอดุโล 10 ภายใต้การบวก โดยใช้โปรแกรม Desmos ภาพที่ 2 ตัวอย่างการแสดงผลลายจากมอดุโล 10 ภายใต้การคูณ โดยใช้โปรแกรม Desmos 10
ผลการศึกษาตามวัตถุประสงค์ข้อ 3 การสร้างสิ่งประดิษฐ์จากลวดลายตารางการบวกและการคูณ ภายใต้มอดุโล 10 มีดังนี้ ภาพที่ 5 รูปภาพแสดงตัวอย่างชิ้นงาน ภาพที่ 3 QR Code โปรแกรม Desmos แสดงรูปแบบลายมอดุโล 10 ภาพที่ 4 QR Code วิธีการสร้าง โดยแอปพลิเคชัน Desmos 11
บทที่ 5 สรุป อภิปรายและข้อเสนอแนะ ในการศึกษาโครงงานเรื่องนี้คณะผู้จัดทำสังเกตจากตารางการบวก และการคูณภายใต้มอดุโล 10 ขอนำเสนอผลการศึกษาเป็นส่วนตามวัตถุประสงค์ ดังนี้ สรุปผลการศึกษา 1. จากการศึกษาสูตรทั่วไปและจำนวนของลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณ ภายใต้มอดุโล 10 พบว่า สูตรทั่วไปของลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณภายใต้ มอดุโล m คือ (( ) ) ( ) 2 1 1 ! m m i m m i = − − เมื่อ i = 1,2,3,,m และสามารถสร้างลวดลายที่แตกต่างกันทั้งหมดบนตารางมอดุโล 10 เท่ากับ 1 9 368412612684 36 91 = 11,759,522,374,656 วิธี หรือ 11,759,522,374,656 9 9 8 9 7 9 6 9 5 9 4 9 3 9 2 9 1 9 0 9 = วิธี 2. จากการศึกษาการสร้างลวดลายจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 พบว่า สามารถ สร้างลวดลายได้หลากหลายและแตกต่างกันโดยการกำหนดตำแหน่งของค่าในตารางการบวกและการคูณ ภายใต้ มอดุโล 10 ที่แตกต่างกันจะทำให้เราสามารถสร้างลวดลายที่แปลกใหม่และสวยงาม 3. สามารถสร้างสิ่งประดิษฐ์จากลวดลายตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 ซึ่งสามารถ นำไปใช้งานได้จริงและมีลวดลายที่สวยงาม อภิปรายผลการศึกษา 1. จากการศึกษาสูตรทั่วไปและจำนวนของลวดลายที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากตารางการบวกและการคูณ ภายใต้มอดุโล 10 ส่งผลให้เกิดลวดลายตามตารางการคูณและการบวก เท่ากับ 11,759,522,374,656 แบบ สอดคล้องกับการกล่าวนิยามของชั้นสมภาคมอดุโลของวัชรี กาญจน์กีรติ (2551, หน้า 20-23) 2. จากการศึกษาการสร้างลวดลายจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 พบว่า การสร้าง ลวดลายโดยใช้ตารางภายใต้มอดุโล จัดทำเป็นตารางการบวกและการคูณเพื่อให้เกิดลวดลายที่หลากหลายและ แปลกใหม่ ซึ่งสอดคล้องกับสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2549. บทคัดย่อ) ได้จัดทำ โครงงานที่ออกแบบลวดลายจากตัวเลขบนหน้าปัดนาฬิกา และใช้ผลบวกภายใต้มอดุโล 12 กำหนดสีและ
ลวดลายแทนตัวเลข แล้วนำลวดลายมาเขียนแทน ตัวเลขที่เป็นผลบวกในตาราง ใช้การแปลงทางเรขาคณิต ได้แก่การสะท้อน และการหมุนรูปเดิมแล้วนำมาวางต่อกันจนเกิดผลงานศิลปะที่งดงาม ซึ่งทางคณะผู้จัดทำได้ เลือกใช้การบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 มาสร้างลวดลายที่สวยงาม โดยลวดลายที่เกิดจากการบวกนั้นมี การเรียงตัวของลายที่สวยงามกว่าลวดลายที่เกิดจาการคูณ 3. ในการสร้างสิ่งประดิษฐ์จากลวดลายตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล 10 นั้น สามารถ นำไปใช้งานได้จริงและมีลวดลายที่สวยงาม นอกจากการสร้างลวดลายที่สวยงามแล้วทางคณะผู้จัดทำได้นำ ลวดลายมาประยุกต์โดยการเชื่อมต่อลวดลายโดยสร้างเป็น 4 จตุภาคโดยการหมุนตาราง ทำให้เกิดลวดลายใหม่ และสามารถมองเห็นรูปแบบของสิ่งประดิษฐ์ได้ง่ายยิ่งขึ้น สิ่งประดิษฐ์ที่ถูกต่อยอดจากลวดลายดังกล่าว ส่วน ใหญ่แล้วจะเป็นงานศิลปะที่เกิดจากการทำด้วยมือ เช่น กระเป๋าผ้าที่ปักด้วยครอสติช (Cross Stitch) การพิมพ์ ลายลงบนเคสโทรศัพท์มือถือ (case phone) การพิมพ์ลายลงบนเสื้อยืด และการปักลวดลายลงบนแผ่นเฟรม (easy knit frame) ข้อเสนอแนะและแนวทางในการพัฒนา 1. ทำการศึกษาลวดลายจากตารางการบวกและการคูณภายใต้มอดุโล m โดยการแทนแต่ละชั้นสมมูล เป็นลายอื่น ๆ นอกจากลายสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2. ทำการศึกษาลวดลายและหาสูตรทั่วไปจากตารางการลบภายใต้มอดุโล m 13
เอกสารอ้างอิง ปรีชา เนาว์เย็นผล. (2550). “ศิลปะการการบวกและการคูณบนหน้าปัดนาฬิกา” ใน นิตยสาร สสวท. กรุงเทพฯ: สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. วัชรี กาญจน์กีรติ. (2551). พีชคณิตนามธรรม Abstract algeera. กรุงเทพฯ: แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กระทรวงศึกษาธิการ. สสวท. (2545). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์4 .กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุ สภาลาดพร้าว.
ภาคผนวก
ตารางที่ได้จากการบวกภายใต้มอดุโล 10 ตารางที่ได้จากการคูณภายใต้มอดุโล 10 16
ภาพประกอบการท าโครงงาน 17
18
19
20
21