Disusun Oleh: Modul Ajar MATEMATIKA Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Kurikulum Merdeka Nailla Febriana Aulia Putri 22310049
Tujuan Pembelajaran DAFTAR ISI Materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Contoh Soal SPLTV Latihan Soal SPLTV Kunci Jawaban
Setelah kegiatan pembelajaran diharapkan peserta didik mampu: Memahami konsep persamaan linear tiga variabel dan penggunaannya dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan GeoGebra. 1. Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. 2. Terampil melakukan operasi aljabar yang melibatkan sistem persamaan linear tiga variabel serta penggunaannya untuk menyelesaikan masalah kontekstual dalam kehidupan sehari-hari. 3. Tujuan Pembelajaran
Bentuk Umum dari Sistem persamaan linear tiga variabel Adapun bentuk umum dari sistem persamaan ini ialah: ɑ₁x + b₁y + c₁z = d₁ ɑ₂x + b₂y + c₂z = d₂ ɑ₃x + b₃y + c₃z = d₃ Dimana ɑ₁, ɑ₂, ɑ₃ menjadi koefisien dari x, b₁, b₂, b₃ merupakan koefisien y, dan c₁, c₂, c₃ adalah koefisien dari z. Nilai d₁, d₂, d₃ ialah konstanta, sedangkan x, y, dan z merupakan variabel. Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Ada tiga metode yang biasanya digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, yakni subtitusi, eliminasi, dan campuran. Materi SPLTV
Metode Subtitusi Terdapat beberapa langkah yang digunakan guna menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan metode subtitusi, yaitu: Pilih salah satu persamaan, selanjutnya nyatakan x sebagai fungsi dari y dan z, atau sebaliknya, y menjadi fungsi x dan z, bisa juga z menjadi fungsi x dan y. 1. Selanjutnya, nilai x atau y atau z yang didapatkan pada langkah sebelumnya, disubtitusikan ke dua persamaan yang lain sehingga sistem persamaan linear dua variabel diperoleh. 2. Selesaikan nilai yang diperoleh pada langkah ke dua kemudian nilai yang telah diperoleh pada langkah ketiga disubtitusikan dengan salah satu persamaan di awal agar diperoleh nilai dari variabel ketiga. 3.
Metode Eliminasi Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan memakai metode eliminasi ialah sebagai berikut: Salah satu variabel x, y, atau z harus dieliminasi sehingga ditemukan sistem persamaan linear dua variabel. 1. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan mengeliminasi variabel kedua untuk menemukan nilai dari variabel ketiga, atau sebaliknya, mengeliminasi variabel ketiga untuk mendapatkan nilai dari variabel kedua. 2. Mengulangi langkah 1 dan 2 dengan pilihan variabel yang tidak sama sehingga menemukan nilai dari ketiga variabel. 3.
Metode Gabungan Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan memakai metode gabungan ialah sebagai berikut: Pilihlah variabel mana dari persamaan yang mau dihilangkan atau dieliminasi, misalkan variabel x yang akan dieliminasi. Samakan koefisien x pada persamaan pertama dan persamaan kedua, dengan cari mengalikan persamaan dengan bilangan sehingga tetap ekuivalen. Kurangkan persamaan dengan persamaan kedua sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel baru yang pertama. 1. Samakan koefi sien x pada persamaan pertama dan persamaan ketiga, dengan cari mengalikan persamaan dengan sebuah sehingga tetap ekivalen. Kurangkan persamaan dengan persamaan ketiga sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel baru yang ke dua. 2. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang baru sehingga diperoleh nilai y dan z. Substitusikan nilai y dan x ke salah satu persamaan tiga variabel untuk memperoleh nilai x. 3.
Masukkan satu persatu variabel pada keterangan “input” 1. 2. Lalu akan muncul gambar seperti dibawah ini 3. Lalu masukkan solution untuk mengetahui hasil akhir Metode Grafik
Contoh soal Substitusi: x + y +2z = 0 x - y +z = 4 3x + 2y +z = 2 Penyelesaian: x + y +2z = 0.....(1) x - y +z = 4.........(2) 3x + 2y +z = 2....(3) Persamaan (2) diubah menjadi x=4+y-z.....(4): substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1): Contoh Soal SPLTV
Contoh soal Metode Eliminasi x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 -3x + 6y - 5z = 0
Subtitusi y = 2 ke persamaan (5) sampai ditemukan: x + 2y = 5 x + 2(2) = 5 x + 4 = 5 x = 1 Subtitusi x = 1dan y = 2 ke persamaan (1) sampai ditemukan: x + y + 2z = 9 1 + 2 + 2z = 9 3 + 2z = 9 2z = 6 z = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(1,2,3)}
Contoh Soal Metode Gabungan: Jumlah tiga bilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut! Misalkan x = bilangan pertama y = bilangan kedua z = bilangan ketiga Berdasarkan informasi pada soal diperoleh persamaan sebagai berikut. x + y + z = 45..... (1) x + 4 = y............ (2) z – 17 = x............ (3) Ditanyakan: Bilangan x, y, dan z. Kamu dapat melakukan proses eliminasi pada persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh: x + y + z = 45 x – y = -4 2x + z = 41........(4)
Diperoleh persamaan baru, 2x + z = 41 (4) Lakukan proses eliminasi pada persamaan (3) dan (4), sehingga diperoleh x – z = -17 2x + z = 41 3x = 24 Diperoleh 3x = 24 atau x = 24/3 atau x = 8. Lakukan proses substitusi nilai x = 8 ke persamaan (2) diperoleh: (8) + 4 = y ⇒ y = 12 Substitusikan x = 8 ke persamaan (2.3) diperoleh z – 17 = (8) ⇒ z = 25 Dengan demikian, bilangan x = 8, bilangan y = 12, dan bilangan z = 25.
Latihan Soal SPLTV x + y – z = –3 x + 2y + z = 7 2x + y + z = 4 Berapakah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di atas? Himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan x + y - z = 1 8x + 3y - 6z = 1 -4x - y +3z = 1 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y + z = 45 x + 4 = y z – 17 = x
Kunci Jawaban Pertama sederhanakanlah salah satu persamaan, dalam hal ini persamaan 1, maka: x + y – z = –3 menjadi x = –3 – y + z Kedua, substitusikan pengubah nilai x ke dalam persamaan 2, maka: x + 2y + z = 7 (–3 – y + z) + 2y + z = 7 –3 + y + 2z = 7 y + 2z = 7 + 3 y + 2z = 10 ……………….. (persamaan 4) Kemudian, dilanjutkan dengan mensubstitusikan variabelx ke dalam persamaan ketiga, maka: 2x + y + z = 4 2(–3 – y + z) + y + z = 4 –6 – 2y + 2z + y + z = 4 –y + 3z = 4 + 6 –y + 3z = 10 ………………..(persamaan 5)
Seperti yang dilihat, Persamaan (4) dan (5) membentuk sistem persamaan dua linear dengan variabel, y dan z: y + 2z = 10...........(persamaan 4) –y + 3z = 10...........(persamaan 5) Setelah itu, selesaikan kedua persamaan tersebut menggunakan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana, yaitu persamaan pertama. Dari persamaan pertama, maka diperoleh: y + 2z = 10 y = 10 – 2z Lalu, substitusikan peubah y ke dalam persamaan 5. –y + 3z = 10 –(10 – 2z) + 3z = 10 –10 + 2z + 3z = 10 –10 + 5z = 10 5z = 10 + 10 5z = 20 z = 4
Selanjutnya, nilai z disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan linear dua variabel tadi, yakni persamaan 4 atau 5, dengan begitu hasil yang diperoleh ialah: y + 2z = 10 y + 2(4) = 10 y + 8 = 10 y = 10 – 8 y = 2 Kemudian, substitusikan nilai y = 2 dan z = 4 ke salah satu persamaan tiga variabel, misal x + 2y + z = 7, sehingga memperoleh: x + 2y + z = 7 x + 2(2) + 4 = 7 x + 4 + 4 = 7 x + 8 = 7 x = 7 – 8 x = –1 Dengan demikian, berdasarkan metode subtitusi di atas, ditemukanlah nilai dari x, y,z sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas adalah {(–1, 2, 4)}.
Penyelesaian dalam bentuk Metode Grafik GeoGebra
Penyelesaian: x + y – z = 1...........(1) 8x + 3y – 6z = 1.... (2) -4x – y + 3z = 1..... (3) Eliminasi variabel y persamaan (1) dan (3): x + y + z = 1 -4x – y + 3z = 1 -3x + 2z = 2 persamaan (4) Eliminasi variabel y persamaan (1) dan (2): x + y – z = 1 |x3| 3x + 3y - 3z = 3 8x + 3y – 6z = 1 |x1| 8x + 3y – 6z = 1 -5x + 3z = 2 persamaan (5) Eliminasi variabel z persamaan (4) dan (5): -3x + 2z = 2 |x3| -9x + 6z = 6 -5x + 3z = 2 |x2| -10x + 6z = 4 -x = 2 Eliminasi variabel x persamaan (4) dan (5): -3x + 2z = 2 |x5| -15x + 10z = 10 -5x + 3z = 2 |x3| -15x + 9z = 6 -z = 4
Eliminasi variabel y pada persamaan (4) dan (5): 2x + y = 890 x - y = -50 Lalu dijumlahkan, hasilnya menjadi: 3x = 840 x = 280 Substitusikan x ke persamaan (5), diperoleh: 280 - y = - 50 -y = -50 - 280 -y = - 330 y = 330 Substitusikan nilai x ke persamaan (2) z = 85 + 280 z = 365 Jadi masa kehamilan sapi adalah 280 hari, kuda 330 hari, dan kerbau 365 hari. Maka jawaban yang tepat adalah C
eliminasi variabel x persamaan (1) dan (2): 8x + 3y – 6z = 1 |x1| 8x + 3y – 6z = 1 -4x– y + 3z = 1 |x2| -8x -2y + 6z = 2 +y = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (2, 4, 3) Jika menggunakan Metode Grafik GeoGebra maka akan seperti gambar dibawah
Penyelesaiaan: x + y + z = 45 (1) x + 4 = y (2) z – 17 = x (3) Eliminasi variabel y persamaan (1) dan (2): x + y + z = 45 x – y = -4 +2x + z = 41 (4) Eliminasi variabel z persamaan (3) dan (4): x – z = -17 2x + z = 41 +3x = 24x = 8 (5) Substitusikan persamaan (5) ke (2): 8 + 4 = y => y = 12 Substitusikan persamaan (5) ke (3): z – 17 = 8 => z = 25 Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah (8, 12, 25)
Penyelesaian dalam bentuk Metode Grafik GeoGebra