2.ความสัมพันธ์

ความสัมพนั ธ์

ความสัมพนั ธ์

ถา้ ให้ A = {3, 4} และ B = {3, 4, 5} จะไดว้ ่า
A  B = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5)}
และถา้ ให้ r เปน็ เซตของคู่อันดบั ที่เก่ยี วข้องกันแบบ “น้อยกว่า” จะได้
r = {(3, 4), (3, 5), (4, 5)} เราเรียก r ว่าเปน็ ความสัมพนั ธแ์ บบ “น้อยกว่า” จาก A ไป B

เขียนลกั ษณะของความสัมพนั ธ์ r ดังนี้

บทนยิ าม ให้ A และ B เป็นเซต r เป็นความสัมพนั ธ์

จาก A ไป B ก็ตอ่ เมื่อ r เป็นสับเซตของ A  B

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนด A = {2, 3} , B = {4, 6, 9} และให้
r1 แทนความสมั พนั ธ์ “สองเทา่ ” จาก A ไป B
r2 แทนความสมั พนั ธ์ “หารลงตวั ” จาก A ไป B
r3 แทนความสัมพันธ์ “รากทสี่ อง” จาก A ไป B

วธิ ที า A  B = {(2, 4), (2, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (3,

9)}  r1 = {(2, 4), (3, 6)}

r2 = {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (3,
9)}

r3 = { }

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนด A เปน็ เซตของจานวนเต็มบวก และ B เปน็ เซตของจานวนจริง
วิธีทา
r1 = {(x, y)  A  B | y = x + 2}
r2 = {(x, y)  A  B | y = 2x}
จงเขียน r1 และ r2 แบบแจกแจงสมาชกิ
จาก r1 = {(x, y)  A  B | y = x + 2}
ถ้า x = 1 จะได้ y = 1 + 2 = 3 คู่อันดับคือ (1, 3)

x = 2 จะได้ y = 2 + 2 = 4 คู่อันดับคือ (2, 4)

ทาเช่นนี้เรื่อย ๆ ไป จะได้ r1 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }

จาก r2 = {(x, y)  A  B | y = 2x}
ความสมั พันธข์ อง r2 อยูภ่ ายใตก้ ฎเกณฑ์ คอื สมาชกิ ตัวหลัง = 2 เท่าของสมาชกิ ตัวหน้า
 r2 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), . . . }

ตัวอยา่ งท่ี 3 กาหนด A = {1, 2, 3} จงเขยี น r1 และ r2 แบบบอกเง่อื นไข
วิธีทา เม่ือ r1 , r2 เปน็ ความสมั พันธใ์ น A และ
r1 = {(1, 2), (2, 3)}
r2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

จาก r1 = {(1, 2), (2, 3)}
 r1 = {(x, y)  A  A | y = x + 1}

จาก r2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
 r2 = {(x, y)  A  A | y = x}

เซตที่เป็นความสมั พันธ์ตอ้ งมี
สมาชกิ เป็นคอู่ ันดับ

ความสัมพนั ธเ์ ป็นเซต สรุป คู่อันดับทีอ่ ยใู่ นความสัมพันธจ์ ะตอ้ ง
อยใู่ นกฎเกณฑท์ ี่กาหนด

ถา้ A มสี มาชกิ m ตัว และ B มีสมาชกิ n ตัว A  B จะมสี มาชกิ mn ตัว
สับเซตของ A  B จะมี 2mn สับเซต
ความสมั พนั ธ์จาก A ไป B จะมี 2mn ความสมั พนั ธ์

บทนยิ าม ให้ R เป็นเซตของจานวนจริง และความสัมพนั ธ์ r เป็น

สับเซตของ R  R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ
จดุ ในระนาบโดยทแ่ี ต่ละจุดแทนสมาชกิ ของความสมั พนั ธ์ r

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ {(1, 4), (2, 5), (3, 7) }

วิธีทา กราฟของความสมั พันธ์ดงั กล่าว จะมีท้งั หมด 3 จดุ ดงั รปู

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของ r = {(x, y)  R  R | y = 2x + 1}

วิธที า จาก r = {(x, y)  R  R | y = 2x + 1}
เราสามารถหาคอู่ ันดบั ใน r ท่สี อดคล้องกับสมการ y = 2x + 1 บางคู่อันดบั ไดด้ งั น้ี

X 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4

Y 1 3 5 7 -1 -3 -5 -7
จากน้ันนาคอู่ ันดับ (x, y) ไปกาหนดตาแหน่งของจุดแต่ละจดุ ได้ดังน้ี

หมายเหตุ การเขยี นกราฟของความสัมพันธ์จะมขี อ้ ตกลงดงั นี้

1. ถ้า r เป็นเซตจากดั และจานวนสมาชิกมนี ้อย จะเขียนจุดท่ีใชแ้ ทน
สมาชิกของ r ทุกสมาชิก

2. ถา้ r เปน็ เซตจากัด แตจ่ านวนสมาชิกมมี ากจะเขียนจดุ ท่ใี ชแ้ ทน
สมาชิกของ r เพียง 3 สมาชิกแรกและสมาชกิ สดุ ท้าย (จดุ ท่ใี ช้แทนสมาชกิ อน่ื ๆ
จะละไว้ในฐานทเ่ี ข้าใจ)

3. ถา้ r เปน็ เซตอนนั ต์ จะเขียนจุดที่ใชแ้ ทนสมาชกิ ของ r เพยี ง 5 – 10
สมาชิก โดยเวน้ จุดใหห้ า่ งเป็นระยะ ๆ จะทาใหไ้ ดก้ ราฟของ r อยา่ งหยาบ ๆ

แบบฝกึ ทักษะ

ความสมั พนั ธ์
กราฟของความสมั พนั ธ์

ความสมั พนั ธ์

คาชี้แจง ให้นกั เรยี นหาคาตอบแตล่ ะข้อต่อไปนีแ้ ล้วเติมลงในกระดาษคาตอบท่แี จกให้

คาถาม คาตอบ

1. จงเขียนความสัมพันธแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ใี นรูปแจกแจงสมาชกิ 1.1 r1 = {(1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), . . .}
1.1 r1 = {(x, y)  I  I+ | y2 = x} 1.2 r2 = {(6, 2), (10, 6)}
1.2 r2 = {(x, y)  A  A | y = x – 4 } 1.3 r3 = {(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)}
เมอื่ A = {2, 5, 6, 10}
1.3 r3 = {(x, y)  I  I | y2 = 1 – x2} 2.1 r1 = {(x, y)  A  A | y2 = x}
2.2 r2 = {(x, y)  A  A | y = x + 1}
2. จงเขียนความสมั พนั ธข์ อง r ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ เมอ่ื A = 2.3 r3 = {(x, y)  A  A | y = x – 2}
{1, 2, 3, 4} และ r เปน็ ความสมั พนั ธ์ใน A
3.1 29 ความสัมพันธ์
2.1 r = {(4, 2), (1, 1)} 3.2 212 ความสัมพันธ์
2.2 r = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} 3.3 216 ความสัมพนั ธ์
2.3 r = {(3, 1)}

3. กาหนดเซต A มสี มาชิก 3 ตวั เซต B มสี มาชิก 4 ตวั จงหา
3.1 จานวนความสมั พันธ์จาก A ไป A
3.2 จานวนความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B
3.3 จานวนความสัมพันธจ์ าก B ไป B

ยอ้ นกลบั

กราฟของความสัมพนั ธ์

คาช้แี จง ให้นักเรียนเขยี นกราฟของความสัมพันธแ์ ต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ใี ห้ถูกต้องสมบูรณ์

1. จงเขยี นกราฟของ 2. จงเขียนกราฟของ 3. จงเขยี นกราฟของ 4. จงเขียนกราฟของ
r = {(2, 4), (3, 7), (1, 5)} r = {(0, 0), (-1, -1), (-2, -2),
r = {(x, y)I  I | x2 + y2 = r = {(x, y)  I  I | y = x +
(-3, -3) , (- 4, -4)}
4} 3}

ย้อนกลบั

ขอบคุณคะ่