2. วงรี

เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะĀ์ รายวิชา คณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 2 ค31202 บทนิยาม วงรีคือเซตของจุดท้ งัหมดในระนาบซ่ึงผลบวกของงระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยงัจุด 1F และ 2F ที่ตรึง อยกู่บัค่าคงตวั โดยค่าคงตวัน้ีมีค่ามากกวา่ระยะห่างระหวา่งจุดที่ตรึงอยกู่บัที่ท้ งัสองจุดสองจุดที่ตรึงอยกู่บัที่น้ี เรียกวา่ โฟกสั (focus) ของวงรี ส่วนประกอบของวงรี 1. จุดคงที่สองจุด คือจุด F และ F ' เป็ นโฟกัสของวงรี 2. จุดก่ึงกลางระหวา่งโฟกสัท้ งัสองคือจุด C เป็ นจุดศูนย์กลางของวงรี 3. จุดที่เส้นตรงที่ลากผา่นโฟกสัท้ งัสองตดักบัวงรีคือจุด A และ A' เป็ นจุดยอดของวงรี 4. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดท้ งัสองของวงรีคือ AA' เรียกวา่แกนเอก(major axis) ของวงรี 5. ส่วนของเส้นตรงที่ต้ งัฉากกบัแกนเอกที่จุดศูนยก์ลางและมีจุดปลายท้ งัสองอยบู่นวงรีคือ BB' เรียกวา่ แกนโท(minor axis) ของวงรี 6. ส่วนของเส้นตรงที่ต้ งัฉากกบัแกนเอกที่จุดโฟกสัและมีจุดปลายท้ งัสองอยบู่นวงรีเรียกวา่ ลาตัสเรกตัม(ratus rectum) ของวงรี สมการของวงรีทมี่จีุดศูนย ์ กลางอยู่ที่(0, 0) 1. โฟกสัอยบู่นแกน X ที่จุด F c , 0และ F c ' , 0 เมื่อ c 0 ดังรูป 2. วงรี

เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะĀ์ รายวิชา คณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 2 ค31202 1. แกนเอกอยบู่นแกน X 2. จุดศูนยก์ลางอยทู่ ี่จุด (0, 0) 3. จุด A a , 0 และ A a ' , 0 เป็ นจุดยอดของวงรีและเรียก AA' วา่แกนเอก ซึ่งยาว2a หน่วย a 0 4. จุด B b 0, และ B b ' 0, - เป็ นจุดปลายแกนโทของวงรีเรียก BB' ว่าแกนโท ซึ่ง 2b หน่วย b 0 5. จุด F c , 0 และ F c ' , 0 เป็นโฟกสัของวงรีซึ่ง FF ' ยาว2c หน่วย c 0 6. ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 2 2b a หน่วย 7. ค่าความเย้ อืงศูนยก์ลาง(eccentricity) หรือ c e a 8. สมการไดเรกตริกซ์คือ a x e หรือ 2 a x c 2. โฟกสัอยบู่นแกน Y ที่จุด F 0, cและ F c ' 0, เมื่อ c 0 ดังรูป 1. แกนเอกอยบู่นแกน Y 2. จุดศูนยก์ลางอยทู่ ี่จุด (0, 0) 3. จุด A0, a และ A a ' 0, เป็ นจุดยอดของวงรีและเรียก AA' วา่แกนเอก ซึ่งยาว2a หน่วย a 0 4. จุด B b , 0 และ B b ' , 0 เป็ นจุดปลายแกนโทของวงรีเรียก BB' ว่าแกนโท ซึ่งยาว2b หน่วย b 0 5. จุด F 0, c และ F c ' 0, เป็นโฟกสัของวงรีซึ่ง FF ' ยาว2c หน่วย c 0 6. ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 2 2b a หน่วย 7. ค่าความเย้ อืงศูนยก์ลาง(eccentricity) หรือ c e a 8. สมการไดเรกตริกซ์คือ a y e หรือ 2 a y c สมการวงรี 2 2 2 2 1 x y a b โดย abc และ 2 22 b ac สมการวงรี 2 2 2 2 1 x y b a โดย abc และ 2 22 b ac

เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะĀ์ รายวิชา คณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 2 ค31202 สมการวงร ี ท ี่ม ี จุ ดศูนย ์ กลางท ี่(h, k) 1. สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h, k) แกนเอกขนานกบัแกน X 1. แกนเอกขนานกบัแกน X อยบู่นเส้นตรง y = k 2. จุดศูนยก์ลางอยที่จุด ู่ (h, k) 3. จุด Ah a , k และ Ah a ' , k เป็ นจุดยอดของวงรีและเรียก AA' วา่แกนเอก ซึ่งยาว2a หน่วย a 0 4. จุด Bh b , k+ และ Bh b ' , k- เป็ นจุดปลายแกนโทของวงรีเรียก BB' ว่าแกนโท ซึ่งยาว 2b หน่วย b 0 5. จุด Fh c , k และ Fhc ' , k เป็นโฟกสัของวงรีซึ่ง FF ' ยาว2c หน่วย c 0 6. ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 2 2b a หน่วย 7. ค่าความเย้ อืงศูนยก์ลาง(eccentricity) หรือ c e a 2. สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h, k) แกนเอกขนานกบัแกน Y สมการวงรี 2 2 2 2 1 xh yk a b โดย abc และ 2 22 b ac

เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะĀ์ รายวิชา คณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 2 ค31202 1. แกนเอกขนานกบัแกน Y อยบู่นเส้นตรง x = h 2. จุดศูนยก์ลางอยทู่ ี่จุด (h, k) 3. จุด A h , k+a และ Ah a ' , k เป็ นจุดยอดของวงรีและเรียก AA' วา่แกนเอก ซึ่งยาว2a หน่วย a 0 4. จุด Bh b , 0 และ Bhb ' , 0 เป็ นจุดปลายแกนโทของวงรีเรียก BB' ว่าแกนโท ซึ่งยาว 2b หน่วย b 0 5. จุด F 0, k+c และ F c ' 0, k เป็นโฟกสัของวงรีซึ่ง FF ' ยาว 2c หน่วย c 0 6. ลาตสัเรกตมัยาวเท่ากบั 2 2b a หน่วย 7. ค่าความเย้ อืงศูนยก์ลาง(eccentricity) หรือ c e a สมการวงรี 2 2 2 2 1 xh yk b a โดย abc และ 2 22 b ac หมายเหตุ 1. จุดศูนย์กลางจะอยกู่่ึงกลางระหวา่งโฟกสัท้ งัสอง หรือระหวา่งจุดยอดท้ งัสอง หรือ ระหวา่งจุดปลายของแกนโทท้ งัสอง 2. จุดศูนย์กลางจุดโฟกสัจุดยอด อยบู่นเส้นตรงเดียวกนั 3. ระยะห่างระหวา่งจุดศูนยก์ลางกบัจุดยอด จะเท่ากบั a หน่วย 4. ระยะห่างระหวา่งจุดศูนยก์ลางกบัโฟกสัจะเท่ากบั c หน่วย 5. ระยะห่างระหวา่งจุดศูนยก์ลางกบัจุดปลายแกนโท จะเท่ากบั b หน่วย

เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะĀ์ รายวิชา คณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 2 ค31202 ตัวอย่างที่ 1 วงรีมีจุดยอดอยทู่ ี่( 4,0) และโฟกสัอยทู่ ี่( 3,0) จงหาสมการของวงรี …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการวงรีที่มีโฟกสัอยทู่ ี่จุด (0, 4) และ(0, –4) และผลบวกของระยะจากจุดใดๆไปยัง โฟกสัท้ งัสอง(ผลบวกค่าคงตวั) เท่ากบั 10 หน่วย …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 3 จงหาสมการวงรีที่มีโฟกสัอยทู่ ี่จุด(4, 2) และ (–2, 2) และผลบวกคงตวัเท่ากบั 8 หน่วย …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะĀ์ รายวิชา คณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 2 ค31202 ตวัอยา่งที่4 วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็ น 1 9 y 4 x 2 2 จงหาจุดโฟกสัจุดยอด ความยาวของแกนเอก และแกนโท …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 5 จงหาจุดศูนยก์ลางจุดยอด โฟกสัจุดปลายแกนโท ความยาวลาตสัเรกตมัของสมการ 7x 16y 14x 64y 41 0 2 2 …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะĀ์ รายวิชา คณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 2 ค31202 1. จงหาสมการของวงรีตามเงื่อนไขที่กา หนดใหใ้นแต่ละขอ้ต่อไปน้ี 1) จุดปลายแกนเอกอยทู่ ี่(0, 10) และ (0, – 10) จุดโฟกสัอยทู่ ี่(0, 8) และ (0, – 8) …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… 2) แกนเอกยาว 16 หน่วยและขนานแกน X จุดศูนยก์ลางอยทู่ ี่(5, 4) แกนโทยาว 9 หน่วย …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… กิจกรรมที่ 2 วงรี ชื่อ …………………….…………………………………………………..….ช ม 4/……….. เ ข ่………..

เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะĀ์ รายวิชา คณิตศาÿตร์เพิ่มเติม 2 ค31202 2. จากสมการวงรีในแต่ละขอ้ต่อไปน้ีจงหาจุดศูนย์กลาง จุดยอด โฟกสั จุดปลายแกนโท ความยาวลาตัสเรกตัม ความเย้ อืงศูนยก์ลาง 1) 2 2 1 4 9 x y ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… 2) 1 9 4 36 3 2 2 (x ) (y ) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………