พ5-6-64

การหาค่าความจรงิ ของประพจน์

ตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์

p q pq pq p → q p  q ~ p

TT T T T TF

TF F T F FF

FT F T T FT

FF F F T TT

ลำดบั ข้ันกำรหำคำ่ ควำมจริงของประพจนท์ ่มี ีตัวเชื่อมตง้ั แต่
สองตวั ขนึ้ ไป
1) หำค่ำควำมจริงของประพจน์ยอ่ ยในวงเล็บก่อน

(ไมม่ ีวงเล็บขำ้ มไปทขี่ อ้ 2-5)
2) หำคำ่ ควำมจริงของตัวเชอื่ ม “~”
3) หำค่ำควำมจริงของตัวเชือ่ ม “ v ”,“Λ ”
4) หำคำ่ ควำมจริงของตัวเชอ่ื ม “→”
5) หำคำ่ ควำมจริงของตัวเช่อื ม “ ”

ตวั อยำ่ งท่ี 1 ำ้ p → q มีคำ่ ควำมจรงิ เป็นเท็จ จงหำค่ำควำมจรงิ ของประพจน์

(~ p  q)  (p  q)

วิธีทำ เนอ่ื งจำก p → q มคี ่ำควำมจรงิ เป็นเทจ็ (F) (F)
จะไดว้ ำ่ p มีคำ่ ควำมจริงเปน็ จรงิ (T) (T)
(F)
และ q มีคำ่ ควำมจรงิ เปน็ เท็จ (F)

จำกโจทยเ์ ขยี นเปน็ แผนภำพได้ดงั นี้

(~ p  q)  (p  q)

FF TF

FT

F (F)

ดังนนั้ ประพจน์ (~ p  q)  (p  q) มีคำ่ ควำมจรงิ เป็นเทจ็

ตวั อยำ่ งที่ 2 ้ำ p  q มีคำ่ ควำมจริงเป็นจรงิ จงหำคำ่ ควำมจริงของประพจน์

(~ p →~ q) → (p  q)

วิธีทำ เนอื่ งจำก p  q มคี ำ่ ควำมจริงเปน็ จรงิ (T)

จะไดว้ ่ำ p มคี ่ำควำมจริงเปน็ จริง (T)

และ และq มqีคqำ่ คมวมคีำคีำ่มำ่คจควรวำงิ ำมเปมจจน็ รรจงิ ิงเรเปิงปน็ น็ จจรริงงิ (T) (T(T) )

จำกโจทยเ์ ขยี นเปน็ แผนภำพไดด้ ังน้ี
(~ p →~ q) → (p  q)

FF TT

TT (T)
T

ดงั นั้น ประพจน์ (~ p →~ q) → (p  q) มคี ำ่ ควำมจริงเปน็ จริง

ตัวอยำ่ งท่ี 3 กำหนดให้ ~ต(ัวpอ→ย่ำงqท)ี่ 3แลกะำหs นดtใหเป้ ~็นป(รpะ→พจนqม์) ีค่ำแคลวะำมsจรtิงเปเป็น็นจปรงิรทะพง้ั คจ่น์ม

ประพจนจม์ งคีห่ำคว่ำำคมวจำรมงิจเรปงิ ็นขจอรงิงปทรงั้ ะคพ่ จนงห์ ำค(p่ำควำqม)จริง(ขsองปt)ระ→พจtน์ (p  q) (s  t) → t

→ t วิธีทำ เเเเเนเนนนนน่อืืออ่่ืื่อ่อือ่ื งงงงงเงจแจจนจจจแแจจจแจจแแจแแแแจแจจแแจแจแแเำะะลำำำลละะะะะะลลลื่อนำลลลละะลำลละะลลลกกกกไไะไไไไไไกะะะะะงกไไะะะะ่อืะไไะะดดะะะดดดดดดดดเจจจแดดเเเแแเงนเ้้ววนนน้ว้วว้้วว้้วน้้ววำนะะลว้้วจลลจจแแแ่ำ่ำ~อ่ื่่ำ่ำ่ำำ่่ำำ~~~~่อืออ่ืืกำำ่่~อ่ืไไำำ่่~ะำ่อืะะะะลลลดดงงงงกงเ(ไไงะ((ะะจ(นจจจ(ว้ว้จดดจpppppเpำpำำำำ่ำ่~ือ่นำ้วว้ำกกกก→ก→→→→ง่่ำำ~ก่ือ→→(จง(p((((ำ(จpqppppqqqqppกqpq→ำ)))→)ก→→→→)→→→s(ssssstsssstttsstsqstpqqqqpppppqqpq(pมมมมqqqqqมp)qqมq→มคีมมคีีีคคt)sมttttมีค)))stมมมมคีt))มt)ม→qpำ่ีคำ่่ำ่ำีีคคคี่ำคีsีคคีคีำ่ีคstีคคีคมคคคq่ำqpคำ่ำ่่ำค่ำ่ำ่่ำำำ่ำ่มำ่วมคมมมมมมีควววคคมมมมมมมมคมtวมค)มมมqคคคมวคมมมคคำำำำีควคีีคีค่ำคีคีีคีคววีคคีคีีีคคีีคคมีควีควำีคีคีคีควววt)คีมวีคีคีควมวมมมำคมำ่ำำำ่่ำ่ำ่ำำ่ำ่ำำ่มำ่่่ำำำ่ำ่่่ำ่ำีคำำ่่ำำ่่ำ่ำ่ำคี่ำำ่่ำำมจคมมจจจคคคมวคคคคมมคคคมมคคมคคจคมมมคคมจคคค่ำมคคคคม่ำรจรรรำวจจวววคีววววรีคจวววววคีีคววมจวคมมจจจมรววววจวจวควววิงจิงิงิงมรำำำำงิรรำำำำำำำำำำำรำ่ำงิร่ำำ่่ำรรรีคำวีคคีีครำำเำรำเเเวรงิมมเมมิงงิมมมมจมมมมมมมเมปคิงคิงมคคมปปปมิิงิงงมมำงิมมมปมงิำ่่ำำ่่ำำปเิงเเเจจเรจจเเเจจจจจจจจจจจเมวจปววเวจ็นคจปปจจคจคค็็นน็นเจมปจจจปปปปน็ป็นปิงรรรปรรรรรำรรรรรำรรำำรรจรรรร็นวจววรว็็นนรรรจจจจน็เน็จ็น็นน็ิงิงงิน็งิจงิิงงิิงม็นิงิงิงมิงิงมงงิิมิงงิน็งิิงปงิิงรำิงำำิงำิงงิรเรรรรเเเเเเเเเรเเเเเเเเเเรเเเเจทจจเจเงิมปเททมเปมเปมปปปปงิเปปปปทปปปป็นทปิงิิงงงิทททปปปทปปิงทปปปปงิทเรรรรจ็เจจจจ็นจ็จ็น็็นน็น็น็็นน็น็น็นปจ็นน็็จนน็็จน็จจ็จน็น็็นจน็นปจ็็น็นน็งิน็งิงิงิ็จรรร(ร(((เจรจจเเเเจจจ(จจจน็จจจเเเเ(Tจจจเ็นTTTเทจจจงิทททิงTทงิงิปปปTปทงิทรรทรรรรรรรรรรเร)รรเเ)))เเรรรเ)จ็็จ็จจ็็จท)งิงิินงปน็็นปนิงงิงิจ็็ปงงิงิิปิิงงงิจ็ทจ็งิงิิงงิงิิง(จ็เจน็จจน็็นน็็จTท(((((((((((((((รรร((((((เจ(((((จจ((FT(TT)TFFFTT((TTTTTT((FTTFTT็จทTTFFFFTTTงิงิิงTFFTรรร))))))))))))))))))))))))))))จ็))ิง)งิิง)((((((FTTTFT(((()(()))FTTT))FT))))))

และ t มีค่ำควำมจริงเปน็ เทจ็ (T)

ำงที่ 3 กำหนจดำกใโหจ้ท~ย์เ(ขpยี น→เปน็ qแ)ผนภแำลพะไดs้ดงั นtี้ เปน็ ประพจนม์ คี ำ่ ควำมจริงเปน็ จรงิ ท้งั ค่

ค่ำควำมจริงของประพจน์ (p  q) (s  t) → t

T F TT

FT

TT

T

ดงั นั้น ประพจน์ (p  q) (s  t) → t มคี ำ่ ควำมจรงิ เปน็ จรงิ

ตัวอยำ่ งที่ 4 กำหนดใหป้ ระพจน์ (p → q)  (p  r) → (s → r)
มคี ่ำควำมจริงเป็นเท็จ จงหำคำ่ ควำมจริงของประพจน์ย่อย p, q, r และ s

กำหนดใหวธิ ป้ ที รำะพจน์ (p → q)  (p  r) → (s → r)

F
TF

T TT F
T TT F

จะได้วำ่ p มีคำ่ ควำมจริงเป็นจรงิ (T)
q q มคี ่ำมคคี วำ่ ำคมวจำรมงิ จเปริง็นเจปร็นิงเทจ็ (T)
r r มคี ม่ำคี วำ่ คำมวำจมริงจเรปิงน็เปเทน็ ็จเท็จ (F)
s s มคี ม่ำคี ำ่วคำวมำจมรจงิ รเปิงเ็นปจ็นรจิงริง (T)

ตวั อย่ำงท่ี 5 กำหนดให้ประพจน์ (~ q ~ s)  ( p → q)

มีค่ำควำมจริงเปน็ เทจ็ จงหำคำ่ ควำมจรงิ ของประพจนย์ ่อย p, q และ s
วธิ กีทำำหนดใหป้ ระพจน์ (~ q ~ s)  ( p → q)

F
FF

T FT F

FT
จะได้วำ่ p มีค่ำควำมจรงิ เปน็ จริง (T)

q q มีคมำ่ คี วำ่ ำคมวจำรมงิจเรปิง็นเปเทน็ จ็ เท็จ (F)
s s มีคมำ่ คี ำ่วคำมวำจมรจิงเรปิงน็เปจน็ รจงิ ริง (T)

ตัวอย่ำงที่ 6 กกำำหหนนดดใใหห้ป้ปรระะพพจจนน์ ์ pp((~~qq→→rr))→→((~~ss→→rr))
มมคี คี ่ำำ่ คคววำำมมจจรริงิงเปเป็นน็ เทเทจ็ จ็ จจงงหหำำคคำ่ ่ำคคววำำมมจจรรงิ งิขขอองงปปรระะพพจจนน์ยย์ ่ออ่ ยย pp,,qq,,rr แแลละะ ss

กำวหิธนีทดำให้ประพจน์ p  (~ q → r)→ (~ s → r)

มีค่ำควำมจริงเปน็ เท็จ จงหำคำ่ ควำมจรงิFของประพจน์ยอ่ ย p, q, r และ s

TF
T T TF

FFF
จะไดว้ ่ำ จะpไTดว้ มำ่ คี ำ่ คpวำมมจีคริงำ่ เคปวน็ ำจมรจงิ ริงเปน็ จรงิ
จะจไะดได้ว่ำ้วำ่ จะจpไqะดpไ้วดำ่ มว้ ่ำมคี คีำ่ pค่ำqควpำวมำมมจคี มรจำ่ งิีครคเงิ่ำปวเคำป็นวม็นจำจรจมรงิรจงิ ิงรเปงิ เ็นปจน็ รจงิ(รTงิ )

qrq มมีคีค่ำqค่ำrqควำวมำมมจีคมรจำ่ ิงีครคเิง่ำปวเคำป็นวมน็จำจรจเมรทิงรจิง็จงิรเปิงเ็นปจ็นรจเงิ(ทรTจ็ิง)
s มคี r่ำrsควำมมมีคมจีคำ่rีครคำ่งิ่ำrควเคปำววม็นำมำมจเีคมทมรจ่ำจิงีค็จรครเิงำ่ ปวิงเคเำป็นปวม็นเำ็นทจเมเรท็จทจิงจ็ จ็รเปงิ เ็นปเน็ทเจ็ ท(Fจ็ )
ss มมีคีคำ่sค่ำsควำวมำมมจคี มรจำ่ ิงีครคเงิำ่ ปวเคำปน็ วมน็เำทจเมรทจ็ จิง็จรเปงิ เ็นปเน็ทเจ็ ทจ็ (F)

แบบฝึกหัด

• จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ตอ่ ไปนี้
1. 2ก.ำหนดให้ p pq qเปน็ ประพจน์มีคำ่ ควำมจรงิ เป็นqเท็จ r
(~p(pq→) q) →(r(p~ p~)q)

2. 2. p pq q q q r r

(p (pq) q) (r(r~p~) p)

3. กำหนดให้ (p → r) มีคำ่ ควำมจริงเป็นเทจ็ และ q  (~ s) มีคำ่ ควำมจริงเปน็ จรงิ
จงหำคำ่ ควำมจริงของประพจน์ (r ~ s) ~ (p → q)

• จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ยอ่ ยในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ต่อไปนี้
41. กำหนดให้ประพจน์ ( p → q)  (q  p) มีคำ่ ควำมจริงเปน็ เท็จ

2. กำหน5ด. ใกหำป้ หรนะดพใจหน้ป์ ระpพจน(์~~q(→p r)q)→((~r s→→s)r) มคี ่ำควำมจริงเปน็ เท็จ

6. กำหนดใหป้ ระพจน์ (~ q ~ s) (q → p) มีค่ำควำมจรงิ เปน็ เท็จ



แบบฝกึ หดั

• จงหาค่าความจริงของประพจนต์ อ่ ไปนี้

21.. กำหนดใหp้ pq q เปน็ ประพจน์มคี ่ำควำมqจรงิ rเปน็ เท็จ
(~p (pq)→q(r)→~ (pp) ~ q)

2. p  q qr

(p  q)  (r ~ p)

3. กำหนดให้ p → q มคี ่ำควำมจรงิ เป็นเท็จ และ r ~ s มคี ่ำควำมจรงิ เป็นจริง
จงหำค่ำควำมจรงิ ของประพจน์ (p ~ q)  (r  s)

4. กำหนดให้ p → q มีค่ำควำมจรงิ เปน็ เทจ็ และ r ~ s มคี ำ่ ควำมจริงเป็นจริง

จงหำค่ำควำมจรงิ ของประพจน์ (p → q) → r s