5ม9-11-64

อนิ เวอร์สการคูณ
ของเมทริกซ์

อนิ เวอร์สการคณู ของจานวนจริง

aa−1 = a −1a = 1

aa−1 = aa−1aa−1==1 a−1a =เร1าจ เร ก a−1 วา ว ก น (อินเ
เราจ เร กเราจ เร ก a−1 วา aว−1 กวาน (อวินกเวอนรส์ (อ) นิกเาวรอครณู ์สข) อกงารaคณู ของ

อนิ เวอรส์ การคณู ของเมทรกิ ซ์

ทนิ าม

ทนิ าม A เ น n n เ รกิ ์ า B เ น
เ น n n เ รกิ ์ า B เ น n n เ ริก AสB =วิ Bา A = I n
A (i
เร ก B วา อนิ วAเวจBอร=เ์สรBกาAกร=คูณIn (inverBse oวfาaอmนิ aเtวriอxร) ส์ขอกงารAคณู
วจ
เข น น B ว A−1 อาจเขเร กนอินเวนอส์กBารคณู วสน Aวา−1อนิ อเวาอจสก์ เร กอ

วอ าววาววอิวงิิววาอออาาาา1งเานาางเงงเเอนนน1งอออจ111งงงาจจจจกงาาาจจจAกกกงงงสAABAวสสสิBBวBง==อวงง==ง===าA=าววว32AAาาBA64า3223งเBB326644อBน64−−=ออินอ−−−−อ12==−ินิน−=63เ1นิ1122Bงว166233เเBB6จ3ววเอBAวออ−าจAAรอ−−−2A−กรร=งส์−−−22−−3ร==ส์ส์−2−33Aก32=ส์ กก32332IสาIIBก23+าา+nI++ร++nnnn−ารร−−2+ค+nง=224คคร2=−14422ว11ณู2คณูณู42A1าณูข23ขขB64อออขอ−ง−งงอ=ิน12ง63เAAABวอAA===−ร−2−==ส์===3233232ก23=Iา231100++n10ร−1122212ค10421ูณ12110010คคข10คอออคงอBBBA==B===−−22−=3322−32103−−122−11210−12ค1อ B
วิ วิ

งนงนงงนนนนน BงBBBน=น===AAAA−1B−−−−−11111BBAAAA========−−24−−−−−−322644B2433−6636+−−=−++3+−3362−−3A6622−16211−11−B−−232222323−3A33232−−−3+==++−122112222+444122−−42436−+3−621=== 2 1 = 1 0
=−231100103−10+11002210410 0 1

A−1 A = I AA−1 = I

2 วเนิวจจอองงาจาาาวงอกวา2ิินเ2เวนาจเอจอนเ2สจงนงอจ์ขจองเอาานจงวจอกวงจจาาอวิินากวงวAง3bาa33กวเิจาbaAวaa+ิาเ+าาAอวA+A+อกาว++2าสAอ2า−ิิน−42d์ข1เc14−4นเdcอ1วจcc=====าองอ=A==ง10สA3bจa133133I=ac3ab0aข์Abา3banaa+วabเ33+Aอ3bกbวaAAa++Aา+33+aa++1+3+ba+งิ+2AAA42อ2aa+Ad+bA+−−+42A2d++2…12AAc+…14A+4A…−b…424a−+d3c+3c−า21A4d2dc2ac…c1==cA1=…d−442==−4……−a4aac+2ddเc1+1=c1AA4−4=cc==…A==…==dA+…c1…10+c+c===2=A===อ13312I…=a=3c=3…1−……a=−00b=2bdand1=bc1b113b431−4I0a…c3………a0c1+1b331I+an+accc==3=+b==a30+10+…b42…a……n=d3b+bbA+a233+=22…1+……+4240b…a…4+…4…Ad+b3caa++133d2Id24=a+cc23……Add…4ab.0…d…4……….1A04.b+.a2Ac+anc2…b…4d++……c24(A……(…d(…2(c…………1+acd−4−+c324…2+d…d134……1+c1a…c244…−4)3…=………)……)d)bdbc1…2d…bbc2…c……===4…==…3……=……4…………bc=+…dd=3b=…bc………=+10…db1…42…………0………a…dcbb+…1331…I…2…ac+…103……a0………+4…………ban+10…db…2………d…3=.4….…10…….+.b2+d+…db3b…4+……(24d(….((.10d….…d.b14322+d.2….10(.….4+…(…10)(…(4))1)……c432(d((c(…12…d4……4)32…a)c))4……)d)…))………d.10..…3=…(……(b(1dbb32…………)+))+10…………2……4……dd..10.. ((((1432))))

าaาa++นน2(2า(22c2าน4ว(2(2นนaนนนc2น4นนา)น)อ=าาาาาาaาา)aา+)(−=−า(นaaa1b1a3นa(−−(า+า)1b1=(+(+2+3;)+า=ง56a(2();2=((2;c)=24−25262()21(;2)2น(2(2(22(c(+;22(2;24(2(−2นc2c)2c(2)4221=42)4c2า24c2;2;4))=า2a…)(−)−2)=())=)(a3b=2a))1ba=1((−2(−2)3)−(=a3(−(a−1b…1(−ac−((−(−b(24(3b…23a1b1(−1a−b11)b1ต(=a3+(−a−3+3(−1(b31)(น+=;)(1(=b13)b=b;))…2)2)==5(=(3=6((;…(5+;()อ่6)=a;);+=;=)=(5น+(น6)5;=6;52)+a;6=((−(−;−b212−)(;5)4)61=(1…(;)+2(1b12−)+5−…6−)1;3)น;)1c3));142)+4−+d;22);2;)c1)4;;)+−=((;24+(2(2)1…22;);));=…13d4)2)42;=25…+d6;(;c3b……2(ac(22(4…=3b23…b(=3a(−3b)aจ)−2(−3…b−2a1cdda(3…43)−1−b)(3−1b2ba133b−cab…=นc;b23…c2(ba;=+…22b…33b2=−=น+…2จa)2จda+cนad)a2+นb+0b3…+1=2a−+…น+2(=2น+(baน++b12c;)=าb==b1a2c=+…=b…b2=1+น1225น+…=6=+…จ+;……(++2นaา)+3b2b10น240+a+น+(น2=…++)a…+=.+234−)+−(b+2=24)+=+3)=2(1=น441…))++…(1++bd=423…++033(…2c421−;)+3(ว+;dน44…043+(4c+da(+++2(+d3)c.2…4น+42)1dc(44+4+d(3()2441…02b1+1c1d2+)d23า0…4…2(13d)2cc2ว1…4−241+=dว23(=444…)cจ2d)+(d(…=นc21dcdd3=b2)c…=241+c)a2)จd2d(=b=a24c24d))dจ=d1…าc3=4c)−จ+ddา(cb)…2acc…22+d1วdcc==b…=a2จ4=b=…2cb=ca……=…2)…จ32)จcc=(0d42(=จc2cdc…=d+d=c…2จa)=2+=0=c2จ===bbaaน+c2…(==า0=)=จc41=22=4=0c…===cd=cb=1…==2=)=1…=2=…1dจb==a…=…จ0=…=+4…=1………c====2=10.c200=น…==c…2==จ0+.=0)2)1=0=2=230=−…)2=.3==)0จ1d41−=+0=.c(ว=1=…=d1d320+−…30=…(11…−32…b0=…วa0………301…==3231=c−01a4=3ว((−01−c=.−+1dว((าc=จ.2(ว(1…01b01…14232า010312.ว13−)…=1าว1…2132d0…=2…1ว3า)4…………=(…=1…2−ว1=ว==32า10)3)1==1−(c2ว(1า=)(2=…า…(…)…;0…))…จา2dว=cdา1….………5…า6……b1a;2……ว……………cา0…=1)…232c…ว0−31า−=จว…−……………)2(0)1……))…=…………า……=า……=1…………=;…………=…=า1;……2…=ว……………2…………12…………0…………2….…)……………า……………0…1……………23……0…3…1…−(…ว……………3…b………………………(a……………………3…−……1……………า….…….2…b.….ว……………21………………………………a……+…)…………น+…………า……(………(…((…b……12……….……...…4+…3……2…5………………………น………………….…+…………2……)………(……4+)(……((…(…)))+………………………4……33…2…5…4…(……………+d……c……….………………(6…4………………).)))…)2.1..d……4………….…….…….….()…c2…….….….…=2….…=…(…...)(จ(6…(d……c……d…d(…((…4(…3b2a5………………c…(…(…=(4c3(25..((.(..)=4จ…325…….……)…42…)0…)…3)…25…=.)…=…)))……=…=..((=.=(.=(.…(1…)))=())6))4น32…5….0(…….…….6..((..((น(6...0)1…6)320−43)…))312−5า)ว(……(น((…(……().(ง((า(4)31น2)56)4า)…)3225วน.า12.(....นน))ง)))า))6)า))นน…น((…((((น………าา4)63265งงาา.น…นน)………)))))(((2น…นน62…4น………า((2)…))า…24………a((222((222a−−…(222444))b…………3+a))−))−…=(((bA)…=………3aaa5((−−−6−−−;((2111bbb…=(33(3−2(2A)−…)=1……)…))5c6===2;4((;((1;;;;AAA))===…2555666−;;;−.)1..).)=;−−−=1;−−−))111(…))2(a((;;;((−−111;;;(−22241b1325=22232(.===))น=)(())−((aaab−12;)=(−−−256;น632222น)−b+−1(2นน+++)+1)2bbb−−−11)12223;น;+232นน)(322323+(2+)))224441+++((4+++3222+…33(23b2+++(accc)จd((c3dd)−214b))a22211−bc444…2c2จ2a222+===)จ222dน+cdd))จจ1ddd=cccdddddd=bb1a2==−cbbb=aaa==…−−−+cccc=ccc12จนจจ+22221=)111====4+(=====+======0==1===…===23===0−3====1−312ว111422+dc(40000)า1111…22312323230d0−00−−−2ว33341111−−−−ววว12c2=2=)จาdcาาddา222…วว2วba1112221c2=c=จาาา20…==……=====1=0….……01230−31−……ว…(………1า2ว……12……)……า…………………………………………

ท ท ( ว ก นของ 2  2 เ ริก ์)

A = a b าวกน า ad − bc  0
c 
d 

กรณ า ว ก น A −1 = 1 d − b
− − c 
ad bc a 

วอ าง 3 วววววอออออ าาาาางงงงง 33333 กกกกกาาาาา ====================นนนนน1111111111(((((111114444422222000001111111111−−−−−33333)))))00000000001111111111(((((−−−−−33333−−−−−3333)3))))22222AAAAA1111111111−−−−−−−−−−111111111144444=====−−−−−(00((((00000000222223333322222−−−−−11111)))))44444(((((11111444442222211111)))))−−−−−444442322223333−−−−−222223333311111 จจจจจงงงงง าาาาา AAAAA −−−111
วิ า วววววิิิิิ าาาาา −1
−−−−−4444422222 −1

AAAAA −−−111
−1
−1

นงนนนนคงนนงงนนอวคนนคิคนวอเนนอออวเาิวเเวาอววริวงิิิกาววอรออารรกิาง4กิิกาา์ าaาาง์ dงงa์์ 4aad–dd444–b––นนกcbAงงนนาbbกc=นนAAกกคคccาAAนน=นาาออA0−==1AAนเเ0−นน=วว1=00−−อ11ิิววนิ==อ(10ออ====รร1ออเนิ วกิกิาา(1)0ินิน1A(เ(1100อาา−116ว)เเA6(รงงวว์์))=อ−6AA((2aa์สออ−−6ร66−1=)dd66รร2ส์==))44−12221(ส์์ส−−––311−12(1)11223((−bb3336312−−)กกccAA(113))63าา2((33==663322AA)−))นนจ00−−6−11ง2จ−−6จจ====งออ662างง22ินนิ ((1100−า11เเ1าาวว))−AAA3((ออ1−−−−66A11−366รร==))AA13322ส์ส์−−−111−−111122((33−−11))((33663322)) จจงง าา AA −1
−1
−−6622
−−1133



วอ าวจจเนานิงนงอคงาาอจวเจวววจจเจนจเจนนเ5นนนาาาิิิงงงนนนกอออคคครAAงงงาาาาาาิกวจอออเนจ23จจจ−−วววเเเนA1A1ิงนาาาA=าาา์อX==−กกกAXค1ง=1619าารรรอAAAAAA1Aจ−(วเ=เ61I2กิกิิก2าาXXXX−−−−−−−A−23)BAAAAกอ11111AAAA111(6−AAAA6์์์ร3==AA=XXXX========−−−−AAAAXXX3)ิก1111====−16−−1IA−AAA1A1AAAA−−−−23(((====Aเเเ−=−1111IIII22221−์−0−X(2=−=XXXX−XXXXXXXXAX1611AAAA12222333311)))1=BBBB91อออ1111B3B)(((B116A(−(=6666เ36========1I====2====2XXX12))))A−23)BXอ111116666−1111(6IIII−AAAA−−−−AAAA2AAAAB6233332223==−=1==63−−−−)−−−−(((−−−−=−16111166661111311111IA−A1111A23BBBBBBBB)))BBBB−11116666(((1−−−−(2−−333301611011−1B3B))))21B16(XXXX−−−13BBBB−−−−)111112X====666612−นเจ====2B333นนจเววเจนจนเ−1นนน=6ิิอนนน=−−−−คอ3ออง−−−−ค0000คคองงง0000จ−−−−าาว1111อออ−จจจว2221111ววาา−0า111าาา0า−ก12ก1กกAA111112222AAAAAA11112222−−A121A=1−=−−−−−12A=AA1A=1=AA11==11==X=AA====−AXXX==−==1==−−A91AA−−11119==1A−1199(−−−−=−−23961A−111I(AA2−−((=2==23322391X63X99661I9X2311II22A2−2231X)3X11XX3B9XXX3199XX33AAA−(6−−233)−))B1BB116(6((−663−−====6663==33==3==)===−==น−63)33))1−I−−A−A92−−−A166น192I11IIA−A9AA−−2AA92291AAA−92992219−า−−91ค(91192−−−−19−199116−−−1−1−−−−(2((−1221−−1อ611116611B311B)111111B(B3B)BB33BB))BBBX3(((333))−))AA2−−−23−2221BB−−−6−−111A1=1=666=3==333==−16119−−1A(023−9−6I22200−1X=3−−X9X3−2)22111(6−11163===−13)−0−1121A−A921A9219−19−−−(2−161111B3B)12B(3)−2−16
วิ

วอ าง 5(ตอ่ )

าก X =าาAกก −1B XX ==X−−AA00า=11−−ก11BB−1122231 X = A−1B

2 −9219XX==−01−−3232113312 −−229191 −291  −01 2
X = −31 99 1

3

= −132++00 −43==23−+−−191133922323++++0000 −−43343232−−=++19919922−1323++00 9 
3
4−1 
== −−11332233 1111  3 39 
−−999944 −2+2 

= −123 11  3 9
3
9  = −123 11 
−4  
 9 
9 −4 

 3 9

วอ าง 5 (ตอ่ ) XXX======AAAาาา===กกก−−−−−−−−−111−−−−−−000===00011133443334333222111−−−−−−111333−−−999995552221113332222222333111333XXX−−−111999000333222−−===111333++++++9992229991BBB999222999444AAA−−−999222−−−111999111 

จ วจจจจานเนานอคววววงอจXาาาาาจนนเเนนเเนนนนXกาาาานนนน23ออออAคคคคา=งงงงออออก−จจจจXXXXXวXX116าาาาา−AXXA=กกกก0เนAน22222333331AาAAAAAนA==าาาาา==อXค−กกกกก−−−−−−−XงXXXXXB1XXXXX1111111223อI1111166666จX−−−−−1AAAAA3AAAAA=0======าAAAAA==X1X1111กAAAAAAAAAA==========B−23IBBAXXXXX32−−−−−า−−−−−−A=−−−−−=XXXXX1BBBBB11111AA11111222222222133333ก2IIIII−92−−−−−XX−1111113333391B=====00000−16=====−1=========−A1XXXXX11111A1=0AA−BBBBB1IIIIIBBBBBABBBB2A332222==−−−−−−AAAAA=====191AAAAAXAAAA−1111122222−9999922222−XB1−−−−−1199199911112BBBBB23I−−−−−−−−−−11111−1111113=111110=AAAAA==−−−−X1−−−−−BIB1111199B1111132−A=1AA1292−19B−−111A−2−191  3 9





สม ขิ องอนิ เวอรส์
การคูณของเมทรกิ ซ์

ส ิของอนิ เวอร์สการคณู ของเ ริก ์
กา น A,B เ นเ ริก ์ ิ ิ สา าร าอินเวอร์ส

( )1. A−1 −1 = A

2. ( )AB −1 = B−1 A−1

( ) ( )3. At −1 = A−1 t
( ) ( )4. An −1 = A−1 n

5. (kA)−1 = 1 A−1 เ อ k  R, k  0

k

วอ าง 6
( )(( )) ( (( ))) ( )ง1าววงิ าอ1วิา1าวเAนงิ าอเAวนงิาจอ1เAางนจกาBอา(งกBAเจเA(A−านAน1เกB=อA)เ=−−−==น11ง1(=A)จเเA=−−−===−Aร11า(−−−−−13กิน1A16ก1(−2=B13−=−ร)662เ=−−−−−1−3−กิ==16์11(2111−32A−เ)6622A−)−−=เ1163A์−2(ร−11−2อ−−−−−−−2−น1132กิ16ก1)(2เ1163=1)132(166−2เอ=−−−662−2−−==−−−ก1์า)11−21662น(A122−−=−2)−−เ11า63Bร2(อ−−−−B−−)น1(−2ิก126(1(22−ก113)1−1−1666622)1−−(−์−1า1−2−)−1−น2(12)21เ11622(A=อ2−−−−−2)=2(−ก1A)11(216622()−−−−−=−−2า11)(น)(1−2112−=(−221−)A21)22)1−(21−−−12()12(−=−1)12(−)112(21B)A12−2)2−−21−11−11−−=−11 12B==12===−−−11B2−1(2112−12−−2=1−111)1−1(1−11=1112)1121−B−122−−(1121−12−112)111(1จ=1ง)จ12งา−B11าA−111==BA−=112Bจ−1ง1−1121า1
11AB จ

− 1

2 

− 1

2 

 3 3

วอ าง 6(ต่อ)

ง 1 A B เ นเ ริก ์ เอก าน A −1 = − 2 1 B −1 = 2 1 จง า AB
 2 1 1
 2

เน−1อ13งจาก116( )วิ า
( )AB =
3 3 AA−−11 =1=−==1 A−=−−2−−−−1A1611(213−B662−1−2===2)1162(−−−−2−−−)1103166213−1363−−13−(−12213)164136(11631) −−1212 −−−2112

1+2  = −113−−116 1+2 
36  3 3 36 
−1+2  −1+2 
 
3 3
3 3

= − 3 4 
 6 
6 
0 1 

3

 3 3

ววิวจเจอนอววาเจจจจเวจเจวนนอจเจกาออวนเจจาาาอนาอนางอออาวงกกาเจจอกอจกนอวงกงงอาาางางาาาจจงอวาวงงจกววงจวงก7จวงาาาางาิาาววาาว2าาเกกวจกวงวกิิริก22ิเเ2าิาเ2าาเว2รรเรกรริาาาาาาา2าเาาอรจงอออาาออวาจเจกวจจจเจจงงงAจวงจจจเนนงอกอาากาาากนกาอนAอAAากงางAอกอAกรกก=กจงาาาองนกกนนางนราง=ารราก==งรAนา=จนงจวงวงนกจา11วงนาาาาวร=า11วา1111กวกน11ิกิ 2ิ2เเ2Aเร43ร11A−ร43าาา1า3434−34าา−11AออA43อAจจ(งงAจ(งABAAAากาก−BA=AางกAAAง−1กA=กางAA−Aา−=−−1น=กน=A=AA+AAAาAAAAAA1(1BAน11ร+=ร==(=BAรBน==น(B(B=A−(BBB==Cน====AA−B−BB==C=4AABBB+AAA−B−414−−B+BB+11144411BBBB++)1144+14BB4++11(B11)44++1+1=111+++1=11−+AA=B1111−+++CA=−1++1−C−++AAB11−−CC+C+4AABC+CCC34C−34A3C43CA+−1)43CCAA3433CC4311−−1CCAA)3)314343+−−−=AA111))−4433C−+=A3C=เ3C111=−==1CC−33==อเเ−==1CCC33C==−−4เเออ3−−−Aา44)ออ43A=1A=2102214า4าA==1120202022=าาC==0321102=0022เ−−==AAA00A2−2AAA−อ1=1AAAAA402021AA0−202า(B=(B−−1=−02−==(B−−A00212=−1−11−B−A1012B==1−−11−−A1−11B−11−−1−−331B−B141113−−B411+31A11B1+B1414ค4B+11−+11−+330214ค11ค11−−11+11−1+11ณู−11−+1คค11−−−ณู+1A−ูณ+11+−A111C1−1C+A111ูณูณC31CCC11C31C3−คC−A)43−A3)43−งA1ง)431ง1งณู1=ส=CจC3ส=ส31เ=ส=จเงงจCจ3=−เออ−องออสส−4อองง4จจง4งา=า1=2งง102ออง02างงง=1ข020202าขขข02สางงาาจาเAAาาาเขขเอเAงาาง0202งง−ง02−าา−−−เ−งเ−1−1−−111−11งงข1−1111า3ร1311ร3รร11า1เคิกค−1−ิกคกิกิ−ง1รร1ณูณู1ณู1กิกิ1์1์์์รBกิง์์งBBงBสสจจส+จBB+ออ+ง์ง+องCงงC++งCBขCขาาขาาาCCเเา+เงงงCรร

AA −1 ==−−−444444111−−− 333−−−111333−−− 111 111 
===
วอ าง 7 (ต่อ)
−−−111 AAA(((BBB ))) AAA−−−444−−−−1111111000222 −−−111333−−−111111000222
งงงนนนนนน −1 III (((BBB )))

AAA +++ CCC ===
+++ CCC ===
−−−111111

BBB +++ CCC === −−−−−−888888222222++++++000000−−−777222−−−444111+++−−−333111
BBB +++ CCC ===

ววววอออองงงงนนนนานาาานนนงงงงววิวววววอิิิิิ 3333าวาาอางาาาวงกกกก222222อนงาาาาAานAAAAAเเเเเ8งเนBาเเเเนนนนนBBBBBนนนนนนนนนงวอIออออIIIIIอ=ออออิ=====วง3งงงงงงงงงงจิเจจจจจเเเเจI3จจจจจIIIIIาาาาาาาากาาาาา2กนกกกกกานนนนกากกกกกกAB2เBBBBBเเเเเาAเนBAAAAAAนน=เ=====อเ−นIB−−−−−−อนนร=A1รรรรAAงAA111111อIงกิAIจอAAกิกิกิกิ10AAAAA3=เIIIII−AAAAAAAA1111100000จI33333ง−−−−−−(1า(ง((((((X111111Aจ(((22าA(XX((XXXเAAAAA222222A22222ก์จI2AAAAAน222222AAAA์เ์เเ์์เ222ก22222าอBIA−ออออXBาBBBBBBIAAAAAXBเ−−−−−−XXXXX−BBBBBกXXXนBBB=1−−−ก−−BBBBBX===1==0111111กกกกกBA)1111100000BBBBB)))))))Bเ1)))==)))11111=C==============−CCCCC============A=ก==========รA1กกกก======2CกิA22222AA−AICCCCCAAA1I0AAAAA3AAAAAAAAA−102IรAAAAAIIIII1BA111110000022222IIIII(1ณBBBBB(−(XA−−ณณณณิก2A2I−A−−−−−−AA−−−−−−−−−−−−210A3เ์21−−−−−−−112−−1111111111111111111อ(์1BI111111CA,(−11IXB์์์์(XวAXBCCCCI,,,,,2−2BIIIIIAXวววว=21CIIIIIAก์เ221ง0Bค)อ)BคคคคIA)−X1BนงXงงง=Bา−B=C==Xา==C1กาาา===าาาา10นนนนCCCCCBก=)นข))1ขขขข2C==C=นAนนน=AA=Aอ=AI=A==102IAAAAAกออออ=B=====ณวง−2−−C−งงงงA−AAว1วววA11IAิ1102I1เ์BC,I10ณ2เเเเิิิิวCI−−−111110000022222−−x1ค111xxxxxน1์Cา,IนนนนาวCIาC+,าาาาเ+++++,,,,,คขเเเเ22าAyอาC=AAyyyyyเXขเเเเงเน+XXXXXรเเเเนนนนBBน+++++Aรรรรอนนนน=เิกอ102งออออกิิกกิิกzอ=งออออzzzzzxน=======งงงงงนงเงงงงจ์น102จจจจ+,์์์จ์เจจจจIIxาิxzyาาาานาิิิิxxxxxzyzyzyzyyzาาาาyคกวกกกกิ+,คคคคกกกกกเิิิิXิา+ราาาา3เy33333กิAAAAAเเเเz=าX+รา−−−−−าาาา์AAAA1111A3กิ133333z=AAAAIIIIิxAyzAAAAAIเA−−−−−เนค((((1111ิ(((น์1(((XX(AAAA2222(2222AAAAA22อ222าAAAAA222ง22A2222อิxyz23งงงงBเBBBIAIIIAAAงXXXX−−−−สXXXXBBBBIAXXXBBBค−XBBBBBXXXXงิXXXXสสสสB==1111BจXX1อBBBBจ))))าB)))าออออ)))า)====3====)====าCC====เ=3===========ก====================ก==ค=((((2222CCCCคคคคาAAAAAAAAAAAA(2C2222AAAAIIIIAAAAAAAAAAAIIII32BBBBAIAAงIอBBBBB−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−ออออ−สB−−1111−11111111−ง1111−−A11111111111))))CCCCIIIIงงงอง1วว11กCCCCIIIICCCCCA)ICAIงกกกก−CICCคค(1ส((A22Aคาา2A2ส2อขขBสสสสIAX−XBXBBXX1อออB)ก)ค)==งงงกกกก======า==ก=าาาาร(2CอAAAรรรร2AIAAIxxBงสB−−−−ก−−++111111)CI

วอจจจาวงาอกววา8าางA(วต−ิ1่อ3A===)XIXาXXXก2=1า606220=======XX8A2==0=เ2+++นB(น=A1=1260622066A022A0อI−828200010300=B−02ง22+−+−++++น12++จ+11เ)CIงCCนC−−า000000103103−น8400202กนค102++2++++น0241อBเ A−840−8401010=−02410421110022ร1xyzิกAIAA103((110022110022(XA10222======XX2=เ์22อBA−นนBB−B=1ก10==1Bงงน1น026060166)22222001))88221นน82=0C==คค0=22=++++++ก=นนออ2AA−−AI000000110033102IB0022ณ−−−22++++++111์,IxวIx−−884004ค1100=+00424211านนาCข2งงนนyจนนAอ=,คคxyzา110110020222+นนงกออเ===z102=y101022x=น=1+,6062201เ82282080xxx++xxx+y+,X===++++−ร0003802ิก222z=2+++yyyz+,,,xxxzyzyzy์=+++84010ิx0zy1042=========zzzค===yyyิ0=า======3เ111xx60606066622200021111102xx8882222228882220008880000==า++++++++++++++,,,3222000000000yy888000222,,xxyzyz+++++++++zzz+++งส===888040440111======zz==yyอ000111422442====000===11606066220011ค8822228822008800222000222++++++++,,000อ000000ง880022ก++++++zz++==88440011ส

ดเทอร์มเิ นน ์ (determinant)

ดเทอรม์ ิเนน ์ (determinant) รกิ ์ งเ นเ รกิ ์จ รส เ อร์ เิ นน ์ของ A
เ อ A เ น nn เ det(A) = 2

น ว det(A) รอ A เ น

า A = 2 จ

า A = 1 2 จ det(A) = 1 2
3 4
34

จจเเททจจนเเนนนจททจเิวเนินทวนนทาาาานนิิววนมนมาาาาิวิวdมมdาาาาeeมาาddมtt(eed(าาdAAtteา((e)าt)AAt(B=B(A=AA))ABB===)AA==A=)ABA=AAB===A==AA−5−=5=AA====A==5AA−−555==Aa==a−a5=a55−=5=aa==5=aa5aaa==aaa=งง=aaจจaจจงงAaAงจจจจงAAเจจเจจAAเเนนddddเเเเนนeeeeddddttนเเttน((eeeedd((เddBรABรAttttเeeิก((((eeกิ))tt))BรBรAAtt((==((กิิก==BรA)))์)B์รAกิ ====))ิก5−5))−์์ ==ิิ==์555−−=5์=ิิ ิิ15−1555−====5ิิิิ511=ิ5===5−15ิ−111=555=5−1−1−155−155

ทนิ าม า A = a b ง A เ นเ รกิ ์ ิ ิ 2  2
จ c d 

det(A) = A = a b = ad − bc

cd

วววจจจววจวอออาาาิวอจอวาจกกกวจอาอกาวาาาจอาวาจกาากงงงอากอางางากาวววกงงวงาิิิ า111วิงว9ว1งิ ิิ1วาาา11วกกกาิ ิก1าาาา1ากกกาาาาาาddddddกนนนจจจวกจddนeeeeeeาจอาาาาาddddนนddeettttttจจนาจกกกก((((((eeeetteeาddากนBBBา(AA(Atจddtาttนtกtจก((BeeA(ก(ง((าee))))))BABาttAAAABABBBกAAAt)t)((ว======กA))((BA))BAA=))=ิBABA===ABA=A=1======BA=====))BBBAAA===))A=B==ABA=A=า==B=AB=A===ก666222BA666222B111A444=======62===า662214=62===B1462=A=6262B1A462==14==111444666222−−−dd62−−น−−6124จ9996222−−261214462==6−2−1−4e−−e==−1492−6292−7171711า462−177117−−−tt−92−−17179ก2−9992227171((1−−−462−−−171462−9B2971−217−A−−92−−71−−−92−91717712−9===2−71−))−7171,,,7117=A=71BA,92,−BBB==71−92=(((71===−=B−111,B(=,=(=1=71=1B)))====B71(=(((B)=((,(A==1)(1666,=(999((B69)(=6=B)962())=)1((=)))(621)4=)1(((6=11144496)(9)1)4−−−=−−−((−)14−(=))()−6(−)9(146(1416942(((777−−(−7−)−−−)22292−(2)7(999222)1492))))(2−14−(71)))792)(−717)−−−−(((2−(2)92929)2444−4−(()−7)(7)24((((−(จจจจ))))92−2()−−−−7192(4=))4จ)ง=งงง===,−)−((1(จ)−111(งจ)=4−B−(=14)1111)))ง=1(าง=(จ)าาา((((11−)จ)12)222า−=((ง=1()d1ง)=)26dddา19()))า(1e2d1=eee)2)))===1า)t((d14eาdtt)t()=−2(−−(((e2teA=d−−−=)A(AAdt4()t7−e444)A(2=e(09−2)))=−)t4A000At))(4−(04−()A−4)0A04(จ4))−0)0ง=1d1ddd)eา(dteee2(dedtttdB)(((etedeBBB=(dt)tteB(e(()))tB−BtA)((4B)))B0))

ววิ อวอาางวววววาองออออ1ว0าิาาาา2งงงงงวาวววววจิ ิิิิิ2ง2222 าเาาาาาาจนจจจจคงงงงงอ(าxงเาเเเเเจ)าาาานนนนนน(คา2คคคคx2อ(อออออก2า(((((xาาาา)xงxxxxxงงงงงx−จ−)จจจจจจ)))))((((((−า2าx(25าาาาา22222xxxxxx(22222xกก52กกกกกx222225)xxxxx)))))x+x−xxxxxx−−−−−จ−−−−−จจจจ+x−4−า(−−−−−55xาาาาx(((((55555xxxxx(((((xก+5)2xxxxx2กกกก55555(235555550x+xxxxxxx+++++40xxxxx))x+x4+++++xxxxx−==−544444=x−=−−−−=−−−−==55555xxxxx+2+)22+++++)))))2222222222(23111−1−1(((((22222333335045555500000xx40xxxxxxxxxx74444400000+x1xxxx)3)x))))))))xxxxx==============================2========+2+++++2222210111−1−111111111111111−−−−−1111−−−−211111422222444447+177777+++++31111133333======222222101111100000

วอ วาววาววออองออวจาาาิาา13งงงางง1กววววาวจจจจิิ ิิ ิ333าาyง3ากกกก−าาาาาจจจาจจ2yyาyคงงy3งy(งกyzzz3า−−−(y−−จจจาาจy−yจ−าา222าาาคค223)า33)า(คค332กzy((12y(2กกzyzyzz3zzzzาากก1yzzy(zz((yzz3422yyาา8((7yyy−y)−yy−−−−y−)yy−=−−y−))y=))−2()12y(2)3)22((1122yy2212yzy(212y(2424112(+12y2z(82244+1718842277y)24(82678)))7−=)142)1y==−1yy)==yy−−)=−yyz==y−3yy2−=()yyyz33=02−4+123zyyyzyz(+(344++yzyzzz((y++4+y(yzz2z426(4++zyyzz−z(+22z166y421()2−−1y6y113−222611=)111zyy)42−1=1271y1y))2()=1zz==021y)=12z22z((()2002=zจz()1122022z12424(02zzzz(z212zzzz+42242)42าzzzz24z3zzzz=z+6z)))24z(=17z)z133y=ก==8=y=z2(3==6)==11)775zyy==31=7====จ=z(y=====4zz1=…7ส2yz=จจy2==z=จ+=2y4244าz422จ+6++2(24422าา+4)1…242ก8าy2−()2++666+5(+36242า(11(z(กก88yyก221((178y+26(…ส15526yy7…511zzz((ก8zyy2(z()……สสา225…สyy2yz(y)2z…)y−)…ส…−2รy+(3(y……+ก1−)7−−…))1−z)y733…1(3z((……กก()77(−ก)า1571yy1377……11y(7…2+)1(zz22กz…7−ราา)+13า…y7…1+−22z))2)z……ารร…y−++ร2+…z++(2−−)5+…−zz…zร(++)22……)+…−355(…(5z(((…++1(22+…212y2533z……3……()+2)).y)223…2zz)z.(+……(……1(1)2+))z)1…()((()……5…1.111))).+2()(…)))1..+.1))..).+5)(((.)+++1121).(5+)))1222)2

วิ

วอ าง 11(ตอ่ ) 3y 4 6z y

จจจจจาาาาาากกกกกก จาก333333z333zzzyzzyyyzzzyyyyy 42644226624624น6426นน24น4266y24นนyy(=y1านนy==y11าา=(า=−y1yา=((z1า)(3−−(==−1))1า(า33=+−3−6)3(++()3(y66−4−2+6))+3((31yy(446(22y64z2(++11((y4(22)y146zz2z616z(22)())1(((y4yzz4z)22zz))22))((1(2)1(z)22(6z−z)z))()z2222())−−z2zน)−;8)))−2)((2−1y−;;88y−−))))68−2)2611=1−า;8yy−−21y−66;)8y−)666(12−−y16yy−6z−y;8;8y−6−))6)223+8y−6−y21−zz1−(yy7y+8z166++2yyy266+6yz−−−+(((−774y88z6y−−(y+7y48−2y+5y22++2((1−44(71y(y8−+2z((7z48−−55)22z+y11++y(−24yy5y)2+2(1+4yz)−0(−7y((7y−−8))85)2−4−17(5)8−2y+y221))+00(+y(4((y−−4)z2))+044(−42−)−−y−++z5452221)110−−z(zz+2−yy5y)y01(−41)zyyy1yzz−)4+);811−yzz−+กz)z)221)9110)z))z0(−11(=−y=2z0140)4=6y101=(กก−zz−+−+16994zก−1ส)==−z1y=+z9001)==10==yกz=yyzy20z=0z=9ก1สส1zzyz=z59=501ส1=1)=0+yy=z=y)1(yy601=0=zz1y−)y(กzส17ก5585z9ส69=zก=((566=y==y5=+=0(9ก=04yz=0y=(6=0=z=z=5z066−5===z05=ส==25ส=1…(566zyกก=y=(=6ส=zzyyyาyก=)z6−zz=57y−z=……yz5=625zz5)=2z05ก==)(−=…z(6าาz5(zก6=ร4…5−−z−5577+−−(า(6…22z−z6))576−=…1==1==zรร=า……2y2z)ก=6ก==−า((1=5z7ร=−z…z7……−ก=527−(1)11)z)…111…29…ร22)z…z1ก1รา(……า2y9า77…………z(=−=5−))…7−−1057า−1997……=0=……2212)−)1…57…าา−92yyสร…ร2…7……)า−−(y+)…(7……yรy……………9)…z−…1(9z11า(……5…1y522า……1(y6++1−27……2……7……y−+)……5((……)………69=7……9=…=……()…า…ก=า+y9y22z…yy…+yา−55−y2(…………y………z…5(…………−…า…………2…y…−yy5…7−)…+25+…y2)y5(+……ร…(……(……………(……1…))…y…(…………21…y12y…y)…2((552)y……117……(……5…………)…)………9…1.…)…………y…(y+าy….))…(1y−(……)……1……..……………………)++2)……..….………)5+…+)(…((().….(1……)……1((22………z+.………….….….551………+22y.…….…(5.)5…)())(…zz……..(2)……..…2…)….52..z….y1จ…+…+..5.….((.)…+((.z)..(……)22().)z…….11จจ(….2(2.…2.…(.51จ5(…2.))(…1()5……2)())…1จz.z2.).จ1.)).z.)..)(….(.)(…(+)..2(2จ1(1จ(2…1จ2)…))5))))z....((21จ))
(((((((

วอ าง 11(ต่อ) 8888y−yy−−y−−−−−=1==11=75119175117575−99699−96−−99661−−−1−−7−1−1−−−−9−7−−7−117−9191911111111100110100000000000z0zz0zzzzzzzzzzzzzzzz==z==================−119−511951−5119z51−5119z595155951z5151919515z9119159=5191=51995+1=+95+1=+091501+−010−1−15−0115151−5151916119516191691619695199156959501091501010101

นนนนาาาาyyyy นนนนนนนน((2((222))))

งงงนงนนนนนนน

วอ าง 12

((((( ( ) )))) )วววอวววอิ วอออวอาาอจางาจางาจงาจวงจงงงววจงงาองงวิวิวงจ4ง4วาาิิิ4ง4าิ4าวาา4าาาจกิกงา4าากางากากวกาาาาิาก4นาจนจจานจานจนจนาจจจจจกากจจจาากจาจาานกจกาากกจากากากาจวกกกAกวาาวนจAววAากวจาAA=าาาจAาว==กaาA==า=aaก1aaa=aB1a1aวB1a1aAaBBา1a−BBBB−Bา1C23dBBB1a1−B−=−−eา1C−23=d−BB−า1C23dา1C32dBB1−=B−า1C1=32d=1taB,−e1า1=C23d(Bee==−−1=eC===t==−,=1=aา(1t=C23d=2tBe,==,(==t1−(−,(=−1B3−C−==t(BeC)dA(=,2C−B2(2C((2=−−1==(t2−11=3−e,C13−−B−)dA1B3((−)−+d2A2=)1−B2−3−)tdAา1C−23dBC2B)1dA−(1=1e21(131−=2de(111B)dA1=+e1=2+)B−C1=ee=t)=−13t−−+112e)(B=1))d+A(1==ted=()−21=d1=t(t1−−11(,t+B(C1−d−=B(C))21=1(ed1t(−1112e1)−11(2e)B1(C+1CB1C=d)1−(2=−t1112(1e)−2112te)t−−()2−−B(C)12−1d(−−−−11111(21e1t)3−1A1−t−1)2−−BBC1)2)2=dA12=−2112e))1t1(1(−−1)21111112=−−(2−−1−=11=eA+At11−(−11()22+2==−−)−−1))1t1−AA111111111(1((2=)−−d+B+(11))1A(22111111111BC−−((1A)++112e)1211211)−)BB1(−)−+t11111−−(2)2)1+)BB12)−1−2−=−2)B11=(=)11B−−−−1−)A−11212−C11)=−1===−11111(−2+1−−21−2C=1C1==1==22311=2)−−B=1−−−3C1−=C1==2=3223C111−−11−−1−−3C1−13−A=1232−−=2−23111−−−11131133=+231A32=A21132=21311=131332B+1133A+2AC1A11−33BA+−−B1133−1+1133=+112333−+B11−113B12BB−−1A−1−111133+B−1

วิ า 1จ2จาก(ต่อว)า 664411223323++B+B1111−3333d9933−1CdB−−1−ee3322=23t=11=33=t513(−2C(2A−13−)A211113333111=33+==+)−(dB111B112e)2231−2t−−1aa1253(+−−=1A)5361141(23+2)B+1−113−153339539533153−223=53=13−1111133393−−99−912313d111133912333e−−−a−t−536+29113311119532dddd23A2223333333321aeeeed−aaaa23−tttt3+e=53a+553353666++++2122t229992932B539922261+91A26AAA392362333323a23292a2aa9−3−−−−A−a−a−−a+32++1+a=a==+=−+++−2−+2222=====253B22+=B1B+1B6=131111622316636333332326236232236333B333932331212−112a911399936a1−933a−aa−123a6aa31a33aaa1a232a1aad193a013a−a23aa==3==15a−3====e===+=53===5=3===5a3=++===+=====t53111=199+111=611111659913111199161123619911+112093111231923199013233903103−929323−03A−−23a−−6−1169+611=6331991+96119393391133992933993233993B931231632363233332933−aaa1a====53=+=13
วอ าง
( ) ( ((( ( ) )))) ( )11
( ) ( )aa จาก

2233 2++A−−+22331133B 11  1
−1113333= 2a

==  22
22aa

==  55
 33

22aa ++

ddeett 22AA ++ BB −−11 ==

55 1133 3 3
2 19
33 33 == 11 =1
2 19

วอ าง 12

วอ าง 5 เนAเเเเอนนนนAAAA=งออออจ====งงงงา13จจจจกาาาา11113333กกกกd72edddd77772222t,eeee(BttttA,,,,((((BBBB=BAAAAC===BBB=B−CCCC)21−−−−))))=2222===1111=======1=====((13−7d531((((((((e11113333−−−−3−7777dddd5t3333eeee72333−−−3−6Atttt)77772222−6666)AAAA(2(3))))d1−−−−))))((((2222((((−e3333dddd1111t−−−−6eeee−BCtttt)36666(−−−−3)BBBBCCCC0())))3333=((((d333)))3)05−0000((((e====dddd55050005t−−−−05eeeeC)tttt16555505005505CCCC)))))1111666616))))11116666จงจจจจงงงงา det(ABC )
ววววาออออ าาาาวงงงงิ ววววิิิิ
วิ 5555า าาาา าาาา det (((( ABC ))))
dddeeettt AAABBBCCC

=== 111555

1. จง าอนิ เวอรส์ ของเ ริก ์ อ น

A = 1 2 , B= 3 −1 , C = − 2 1 , D = 1 −1
0 3 −1   3 2 − 2
2   1

2. จง าเ ริก ์ X เ อ 2 1 − −1 3 = 5 2
4 3  4 X −1 7
 2

3. จง ส งวา B เ นอินเวอรส์ ของ A เ อกา น

3.1 A = 1 2 , B = − 3 2 สง่ วน นทร์ กอ่ น ่า โมง
2 3  2 −1

 0 1 0 −1 −1 0 
 −1 0 , B = −1 
3.2 A =  1 0 0 

−1 2 1  1 −1 −1

4. กา น = 0 1 = 2 −1 = −1 0
A 1 2, B −1 , C  − 2
3   1

า X = (B + C )A จง า X −1

5. จง า เ อร์ ิ นน ของเ รกิ ์ อ น

A = 6 1 , B = − 1 2 , C = 2 − 7 , a 2b
2 3 − 5 4 3 −1 D = 1 1
a 
b





สง่ วนองคาร ก่อน ่า โมง สง่ วนศุกร์ กอ่ น า่ โมง
สง่ วนพ หสฯ ก่อน า่ โมง ส่ง วน นทร์ ก่อน า่ โมง
ส่ง วน นทร์ กอ่ น า่ โมง
สง่ วนพุธ กอ่ น ่า โมง