5ข13-64

ภาคตัดกรวย

ภาคตดั กรวย

ภาคตดั กรวย เป็นเสน้ โคง้ ที่เปน็ รอยตดั ของระนาบกบั กรวยกลม
ลกั ษณะของเส้นโค้งดังกล่าวอยู่ในรปู วงกลม (circle) พาราโบลา (parabola)
วงรี (ellipse) และไฮเพอร์โบลา (hyperbola) ดงั รปู

1. วงกลม (circle)

บทนิยาม วงกลม (circle) คือ เซตของจุดท้งั หมดบนระนาบ ซ่ึงมี
ระยะห่างจากจุดท่ีตรึงอยกู่ บั ท่ีจุดหน่ึง เป็นระยะทางท่ีเท่ากนั เสมอ

จุดที่ตรึงอยกู่ บั ท่ี เรียกวา่ จุดศูนยก์ ลางของวงกลม (center)
ระยะห่างท่ีเท่ากนั เรียกวา่ รัศมีของวงกลม (radius)

นมงาไา=xrปทรนยา,นู (2รตดัง์กy(xยปูสxรว้ลด)์ก−แอยาแ−(ลบางงhลxมสมสมสาขนhแบแแ,ว้)อคอองาาาา้ข)2ตตตมทyใตตตง2องงงอ่่่+า)ขร่ีรร+งค้้าตา้้าดดดอสด((สมสวววว(รhาาาแงมyกมอางงงyานนนส,ตกกากกกกกต−มกงะะะาkยดยดดยกมกก−เ่าาาาลลลรนาไรไไน)กกกังังังkกร้าดดดดรมมมู้เkนนนดแกกกะวะะวรา)คาน้รวนน้รร้นนน)2นัันันคงลอ่เารงเเาานูปูปปูง2อดดดปปปกนักันันกลลลอะงะกยดกแแแสสสลาลลลรละมงัมมังงัรไลกังบบบดดดมมมดสะสสrrrrีย่rrrrrrrrrrr่ยีีย่ไxมัxxxมีีีดนมกะดบบบย22อน22222ออ2ร้กนกกนนม2ร222ดนดด========นัเาู้ปะนููนนูมงมมางงูปาาดไปไไ========ี+นั+++ลปทปปททรรรรแยายยาาrแสลูนนููนมัง(((ะรรรxxxxตตตดงัดดังงัyบyyyก์์กก์ดบ((ม((((สrrีย่xxยxxยยีูปูปูปสสสร2222xxxxxxxรxรร้วว้้วล2ลล222(บ2อกนบสม์กก์์กด=ว−−−−แอแแออวxยยยแ++++าาา−ูน−−−−−−−มงาอา====ไล=ลลมา่บาบบาางงงตงงงปท−ร(hตhhhงยาาาางขขขนนนูนทy0yy00y0hhhh่บ0บบ(rrrรrรตดัง)))คคคก์งง(้า้าา้h2222ขxขขย)))งั)))้า2222ูป,ดส2ม2ม2ม2ทททxรว้2222ดอ2อ2อ2ล20งงงวว)อก์ออา+++−+แอาาายขขข่ีี่2ี่า+)ง++ง+++++−นสมสงงงลตตตบากงกอออกงดดดแ((((+ะ(((hสสสแดยกออาาขน((((((hรรราhhhhลบงงงลyตyyกyไกกกมลมมงั)คตงyyyyงงyyyyา้(ดสขสส,,,,)ม2มน่มาาาทกะะ−−−ก−กกรอ2งyาาาkkkkน้รอม−มม−−−−น−−−เเเ+า้นัาเขดสด่ีนนนาาาปูนนน+))))ดป−งkkกkkกกนัวตลา่า0อ000รรรดมkkkk((แสดดดแแแสลงาาามั)น))(นรhคคควววkง)))yกก)))บกก2222ดมกคคคมลสลลรรรrrย่ีy222ะ2ะีง2งง222สยดยด,อออกา)าาาบ2−ลอกกอนออะะะกกกาไไkด2=กมกดงััง−เรดดนูะะะมงารนมรราไน=ลลลนน)กกkก=ะปทร(นไนร้ัไไ้รััรยkาดดดนูนมมมดแนัันเา่าาดาดด(รx)คปูปูวตดังก์มมมดดป(r)2นัxยคลนลรปูส,้้้ง2xร้วอลแแีีี2สสล์กอมงัะงัก−แอyยาrบrrrบ−ดดมมสสลrrrrี่ยrrะxรีบาดง)ลงhบบา22อ2ไอักขกนนhด2ดบม===แรรร(ด)ค(ง((ูนนู้ามมงางามขไ)===2ววว+มลxxxxxท้2องปททรรอยยาาีมมม+ูน,า้วขี่((รร−+−−−((((xตตดงังัrงy์กก์ต((ท(ททyใอxxยด00(00ูปปู(สสส2xxxรร้วล2ล(รhhhhh)งังงัังyก์ก,,,,รม−−แอแอยy+ค้0(000าสา,ววว−−−)))ส=าลว−กxบาบางงาk2222งงว)))ง)งมง−hhเมมาขขนนนาy0hhนกกก)บบาr+−+++kก(แแแ))คคงรกkทา้้า2ขข)ด0ม))แล22ลลา2มม)ทลลลคว2อ22องงา(((h)2ัออค,ลรรมมม++ง2าาะะะขขอี่0yyyyร+ว++)ูเ้อะงงกตตสสส2อวอรด(()ง((สสะ−ร−−−ล(((่าา่่ารรhhง่อกมมมงงyyก+แไัมมดyมyyนนนกสส,ด,kkkkลงกกกามล−−กก(าาkkลร้ม−ม−−เ)า)า)าีะyนนาานะ2222))ดมดดkkรกรรกrส0รรkkยด−แแร====าา))่((((คคววม)))ะ22รปูคลลรร่า่า่านx2xxx(ง2ง2ออkกrrrrวรxนนนอะะแ,,,ก,กม)า22ะ22ะรรyyyyบ−(ลล2ดรท0ไไััดดดด))))มมบ=ดดh(งัว,มมแแแ0่า(((ว(x้)้่าrีี2ลลลxxนxx)ง,งrr2ก,,,,+ว้ว้้วแyลyyyใใใyลดด)(รร(ม())))ะyววแxx(้คค้ค้ สสสสมมลx−ววว่า−−(มมมมท,ทว้น0าาาkกกกกyใhhงัังมมม,)า0าาาวว)))2ดรรรร้ค22รรร)งงสูเ้เูู้้เ=(วววกกรรรว++แ

แ(ลx,้วyใสมแ)สมสมอาค้แตแสตอาองาตวต่ ตมตรงงา่า้่ ดรรกมว้า้าาดดารงววนาสมารกกู้เสมแงงะนสนยดวกอราแากกลอตาะไะดยองกดยอ่ตกงักงตดลตลมงไ่ไกนกังกงกงงัระ่ดดน้รมรมนา้นลรนดันกกะเาะ้าูป้รด้รวปนนะดนัมานัลนัเาเาวปููปาแงปปยสนนัลนัลรลมงังกนกแบแะดสะสลมสดยลrrrrูป่ียกกxมังมงัีกะายดลกบะบไดยรบมสrมrrrยี่2กส2อกงันrrrrี่ยxลxแ2ีดีไา==ดกังมไะบนกบงัด22อนูกน22อมกงานะม2ไดบ2==ดด==น+==น้รกะนนปทกรนัม้รงามงเายาไ==ไน==+นร้ปูบูน+ันดเาป(ปรทันนัวูปปรทxลราตดงัyา์กาปปู((นูันูดลxแยูปสมส(ร่า(ลสลรx2xตดงัมังตxxyแดงัรว้yล2ส((แ((ลแxยมังxบ์กยสปูงดปูอมสาส−rrrrแสยี่อัง2มสx2xxยรว้xxบ+ีรว้2า2มตส−−rrrr่ียแบxก์=ดก์ลีมตสบrrอ−างแอ22อ−กนบาแองยย2+ดง+==ตบ−−h22อ−−่กนดต=ล2=บงดลา2อขรก==นนูy0บสาhงมงบางไบ่===r+hรhม้างา)คงไ=า=ดขานูปทนา้+ขมงรy0านhอy02h้าข)=ย)าบด2บrr2มปนูทวรท)ง)2างา2อวทง(รรา้xูน้าาง2ยตาขดัง)2อข)y)์ก2)2(((2มร+ง2มทxงาทxตยดังขน2นyี่(2รูป22ง+ส((+ตัง2ก์กอxxxยร้วกองก(ล2ปูะ+ตสx+าะดย2าขกก์ปูxxอขร่ียด้วดดี่(สก2+า+−+(แอ+xลสรยลไง์ก+งลากตัง(−(−−ตแไอรhย=ดดลอ+งกดังy−กแอม(สบ−(า−งนสมด=งกาyละy−(ม((hร(บานสรร้ง,นนyางกกyขกนบากาะงy0ันhhมเางม−บกyรู้ปyะyrาhาykขนดยดนy0ปhส)สม−คงนั−บขนลนัเrาh้าาาา2ข)บ))−ูปกง2ไแ−นกาาน2สมา้ากปลทงั))ค2มข−มัง)−นั2ม)−k2อก−2เงลา้เด2มขท)บ2อ0รด2นkมานส2มนrrrr่ยีงนาแ+xนกีาดสขอ2ลอง่ีkกkกามัง+น้ร)++อบคาว202อกรขนง0kรี่)2+kดัน+ตา)บ==+าขด2ดคมอลสรูปดrrrrงยี่(า+x2า)ูน(ตดี)มงาง2สควงไค==วออ)+ดตล))(()(2รhอส2คบปท(ครรอง22อะกรนyก(ก2แยาส2(2ง2ด(สรงูน2มอ==อyงงัyy(ก(รรhxสต,ดังงมyะy์กอรอyกม((งบาyกาลดไมx=ย=มสสrrูป+−yกส2าkxxราส้ว,ล2ะม−ไปัท−ะร−กเด์กลาาบลม−2−อแกอกม−นูย−นา+าkดเนา=−−ม)−(ไร=ไลkxกมนดตาดงัดนyบางูนมมงงาน((0ราk=kดกhxยด้)ูปดาขkแนกส0y0hรk2าีทบxx)รรว้rคร2วดยkา)คง)า้)์กา้)้แ22ขค)วค)ล2−ราแอ(รr))2ม2ยทคว)ต+งัง222ก์2อองค−−(ร)22อ=xลง2ลรปู+ออาะสบาขงก่ีง2xร+อ+ลhงอกตราอะะขนด(ก−รแy0อh((สลบrาะ(−(รh)งวลงะyกรไัx้าบามงลด2ข)(y)yง(ม2ส,hไ2มทดดมา2ไั2ขนง−xกhxมาkดบมอม−−−(เ+ด)คาข้น่ีาทา้นม+ข)+)02ีkก้งม−(−(0ตรk้2องอดดhแอัง(าี0rส),0ค+วา)ข()(2รค0ล+รงhว2yกhrงง2)อ,ตม,yyอ(อะ2กส0(ส0)งรา))(ร(hะ−กรงาyล2ก2ม−รม)(ว−+)เแyxไั(สด,มนานxดวลม−+กkกx+แามkลแม0−ร−k((้มดมนาที−(าล))ละ0ควy−kก()()r2ร0kทครh2งัะแสง2ะ,yอาy)hคว−0,h)อว2งัก่าร)สลรสม0(ง2อ−)2−ววะ)งนx)ละมkก2มก)ม2กงไ+ะด−แ(รมkลkกก)าท+ดแก0+ลไั2ลดมhรัง)า(,)าด้ลลม0ม(2ว2ะ)=รy(ร(้2ะม)งyี สy=่า=xก+−แสrr่าน−ม่าล่า,ล−ม(rา่2นr(มนkนกะyyรkน(x2ก2kสวด))าx−า่)า2มด−(ม)รดดแ2น(k−ร2ก0ด=ท(ลxh()า=(,=2h่าดx(ังร0,x้วx่า)rนว=x),r(2,yใ),นr22่างx,y2ry)y+น2แก,+y2้คด)))yสลลด()ว(ด)แส(สมมะyy(าแแล(xมมสกxลxม−ล−,้วา่กมกา,้ว,รว้yในyใรkาkากyูเ้ ใ))วรรร)))า้คค้ ส2งส่อ2วดวรว้คสมวกงงมาง==(กวมากม

แต่ ้าวงกลมนนั มี ดแตนู ่ ยา้ ว์กงลกาลงมทน่ี ันดมกี าดเนนูดยค์กอลาดงท่ี ดกาเน(ด0ค,0อ) แดละสมกา(ร0,0า่ น) แลดะ(สxม,กyา)รส
มาตร านก ะเปล่ียนมาไปตรด้วายนก ะเปลี่ยนไปด้วย

การเขียนกสารมเกขาียรนวส--งมกคกลดวามารมสูนวง่ยย--งสากก์คาวลลดวคขมาาัองมสูนงทง่ยรยส่เีาั รก์ าวมาลคขี าัอะงงตทรอ้ีเ่ั รงมามี ี ะตอ้ งมี

ตวั อยา่ ง ง าสมการของวงกลมท่กี า นดรั มี r และ ด นู ย์กลางC(h,k)
ตวั อยา่ ง ง าสมการของวงกลมทก่ี า นดรั มี r และ ด ูนยก์ ลางC(h,k)
1) r = 2, C(3,4)
1) r = 2, C(3,4) 2) r = 4, C(−2,−4)

สูตร (x − h)2 + (y − k )2 = r 2
สูตร (x
− h)2 + ( y−k )2 =r 2 สตู ร (x − h)2 + (y − k)2 = r2

แทแนทคน่าค(่าx −(x3−)2 3+)2( +( y4)−2 4)2 = 22 แทนคา่ (x + 2)2 + (y + 4)2 = 42

y− = 22

(x −(x3−)2 3+)2( +( y4)−2 4)2 = 4 (x + 2)2 + (y + 4)2 =16

y− =4

แททนนคา่่ ((xxx −−− )222 222 +++ (yyy +++ 333))222 === 777222
((xxx −−− )222 222 +++ (yyy +++ 333))222 === 444999

3) r = 7, C(2,−3) 44)) rrr === 444,,, CCC(((−−−111,,,555)))
สูตร (x − h)2 + (y − k)2 = r2 สสูตร ((xxx −−− hhh))222 +++ ((yyy −−− kkk))222 === rrr222
แทนค่า (x − 2)2 + (y + 3)2 = 72 แแททนนคคา่ ((xxx +++111))222 +++ (yyy −−− )555 222 === 444222
(x − 2)2 + (y + 3)2 = 49 (xxx +++ )111 222 +++ ((yyy −−− )555 222 ===111666

4) r = 4, C(−1,5)

1) (1x) −(x3−)23+)2(y+−(y5−)25=)25=2 52

1) (1x)−ด(3x)ูน2−ดย+3ก์ูน)(2ลyย+าก์−ง(ลค5yาอ)ง−2ค=C5อ)5(232C=,5(5)32,5) รั มรียั ามวียา5ว 5น่วยน่วย

จาดกสูนมดยกก์ารูนลวยางงก์ กคลลอามงCคเรอา(ส3C,า5ม)(า3ร,ถ5บ)รอั กมจยีรุดัาศวมูนียย5าก์ วลาน5งแว่ ลยะนรว่ ัศยมีของวงกลมได้ เช่น
1) (x − )3 22 + (y − )5 22 = 522

2) (2x)ด−(x4ูน−)ย2ก์ 4+ล)2า(งy+ค−(อy7C−)2(73=,)522)=5 25รั มยี าว 5 น่วย

2)ด(2xูนด)−ย(4์กxนู )ล−ย2า์ก+4งลค)(2าyอง+−คC(อ7y()−42C,=77()4)22,,57=)2, 5 r =r5= 5

ด นู ดย์กูนลยางก์ คลอางCคอ(4C,7()4, ,7), r = 5r = 5
2) (x − )4 22 + (y − )7 22 = 25
ด((33xx))ดนู+ด+((ย5xนูx5์กูน)ย+2+)ลย2์ก+า55์กล+ง)()ลา2ค2y(งา+อy+ค−งคอ(−(6Cyอy)6C−(2−)−C(=26546()1=,,2)−76621=5))6,=,,1616)6,r
3) r =5 4
=r4=
3)

ด ูนดย์กูนลยางก์ คลอางCคอ(−C5,(6−)5, ,6)r, = 4r = 4

ด ดูนยนู ์กยลก์ าลงาคงอคอCC(−(5−,56,)6, ), r =r =4 4

4)4()x(+x +7)72 )+2 +(y(+y +5)52 )=2 1=01000
ด ดนู ยนู ก์ ยลก์ าลงาคงอคอCC(−(7−,7−,5−)5, )r, =r 1=010

55)) 5)5xx)++xx1122++1222212++22+yy+−yy12−−1222212==22114==1414

ดด ดนููนดยยนู ก์์ นูยลย์กาก์ลงคคลางาอคงคอCCCอ(((C−−−C(111222−(,,,−1211122212,))),,,12,rr)12,==)r, 11r==1 1
22 22

66)) 6xx)6222)x++2x2+yy+222y==y2 112==11

ดด ดูนนู ดยยูน์กก์ นูยลยก์ า์กลงคลางาอคงคอCอ(C00C,(00()),0,,0,0)r,)=,r11r==11

บางคร้ังเราจะตอ้ งใชค้ วามรู้เร่ืองอื่นๆ มาช่วยในการหาจุดศูนยก์ ลาง
และรัศมี เพอื่ จะหาสมการวงกลมต่อไป เช่น

ตายาาายยยายัวา่ วตีท่าา่า่อา่ งดัวงงงงายวตดดดดที1อะงัวตา่ัว111ะะะ1ะงงงััังันไายงทีาวัอนนนนไไไไดดาาาาาันา่ีทดดดรดาาาาอายวตงััันนนัน1ะ้งัรรรรงังงงง้้้้ายด่าดนวัไัััั าดดดดมดา1ีทะา่งงัอาันมมมดมราาาางงนีขไดดด้ดสายนูดาั1ะีีีขขขีขxงัสสสดสาดูนูนูนูนอันมxxxxxา่ร1ะนงัไยมออออูงมมม้มาา=งยยยดยงดัาูููนนนูนกนไันก์====ด=ดงงงีขงารยสกกกวกดูนางก์กก์์์ก้มxายยยยันวววว11ะลราังัองก์มดาาาางด้11111รยลลลลูนีขงงงกกก์์์งก์นสัไก=างม+นูรรรรลดกาx2ขากกกกก์ดาาาาด+++++อลลลยลวงมม2222ัน2ลขขขขีขรายาสาูนองงงงดง1ูนลลล7ลล้ข=งxงก์าาาากีขอออมอังส7777รอ7ขขขก์ขมนูดงยrrrrวกมมมxมางงงอยง+ูนลขrrrr2า,อขงงงงrrrrrrrrrrrrrrrrมrrrr=มง1วออออลกาขขขงก์ขงย,,,,ล,ูนดก์งววว===รว=าอยy=วงองีข7กก====ขงงงสงา+================า====ออออวลyyyy์กyนูม12ขงงงงลยงxวงก์งกงวววrวrrrงอารลอม=ง1ขงงงกกกงากล,กยวองก์าูน5555+ว7====ล=ขลงงงง2รขกงวววมวงงก====อกลลลyลาง+ก์9ล((งงกกกลrrrr2ย2าอขวม2ว1อขงงงงล9999(((,(((79((−2222ข2กางงวลกมมมม12222211111ลม5ลลลางงก−−−−์−=กกกองง+===7=งอrrrrขyมร−ว55555อ+ลงมลข++++ง+ก,า3วกมมม+ม−−−−2−ลว++++ลลลงrrrr2ง่ขงกงอ9((3333132งขม22222==,==งมอ=yง่่ง่ง2ง่งล11)4วลงม1111−1าวกมมมมอวลง11117162)))4444)5==4=ข=อมมมกมyคงก+0งมง)ม6666ง2222−62ี9((+ลว=r2คคคงคงrrrr0000ม0231อ)))2ว)+งก2ลีีีีอข−กล่ง,ก=ดง1ว22222++++5+มออออว1ง+)49(=(งม2ดดดลมด=+===−อyม+ลก21ง6(ล23−ก++++ค+ง2ว9((02(่ง)5(((ม−ี21งก1ม+ล1−((((5(กม1(−2)+4=ง−−−−+ล−มอ51111ว13ด(((6+2(22,ลมง่ค−ก0+ล41)+ม222222ี,,,,,3ง9(1(2)42(ม44444่ง2ม+2222221อ1ล(−ม62−)ก−ดค)1)40ม15)−−−−−(ี2))))+))))+)62ม−ค2+ล+(0222222,อแ)63ี2(4ดง่2−แแแแ2+666661อ1ม+(ล1)ด4)−ม())ลลล2ล,(62(2)))+)ค−24ะ0(2(((1)(422222ี((แะะะะ6−2+44444−อ2,)1)(,(ด42ล26),,,,,((((2(,+7(4แ(666626−62)77777)ะ()4−,2−1ล1))))())),,,,,แ6,(111121(22,0ะ64แ4726ล0000)0)(−)2),(ล,))ะ1)))))462(72ะแ46ส0,(เ),6ปเเเ1เ7ล,(ะูต))ปปปป6(27)0น็,ะไร41เน็็นน็น็)ด,เ)น1,(0ป6้7ด0อ่)เ็นดดดด),ปป)ง1สปปปปเ็นล0ปะูตดเลลลลาา)ปไน็รปกาาาาเยดดน็นยยยยลเข้ปปอ่ขขขขดา(((อลดxง็นอออยอxปxดงาปขงงงง−ลเ−−ยาสเเเเอดลาูนสสสสกขhน้44rงาปยrr้้น้นนน้ยอ)เ)ย)ขล=2สก์2=2=(ง((ข่าอา้นxล+เ่า่า่า่าx+x+ดน5อสยงนนนนา−−−เง(้น((ขง92ส่าเyูนyดyคอhส44น5ดดดน้ดrrr+ย−งอ่า−−)น้))=2เก์21=ูน2=นสดูนนููนนูk่า666ล+(+ย+5่าน้น4ยยยย)))า์กด22น2((นู(,์ก์กก์ก์9ง26ลyyy===ดค่ายลลลล5า+)ูนดน−อ์ก−−าาาา5ง2rแย1งงงงนูล522k66ลก์6นู(ดาย4)ะ))ลงย22ก์2,ราก์6นูล===ั งล)ยาม52rาแงก์ ีค52ง2ลลอะารง5ั มคี

ตตตตตวัตัวอวััววั ัวออออยอยยยย่ายา่งา่า่่าา่งงงงง222222 งงงงงงาาสาาาาสสสสมสมมมมกมกกกกาการาาาารขรรรรขขขขอขอออององวงงงงวงววววงกงงงงกกกกลกลลลลมลมมมมมง่ ง่มงง่่่ง่งมมมมีมี ีีีดี ดดดดดนู ูนนูนูนูยูนยยยย์กยก์ ์์ก์กกลก์ ลลลลาลางาาาางทงงงงทททที่ท่ี ่่ีี่ีด่ี ดดดดดCCCCCC((3((((3333,34,,,,4,444)4))))แ)แแแแลแลลลละละะะะกะกกกกรกรารรรราาาาาขขขขขอขอออององวงงงงวงววววงกงงงงกกกกลกลลลลมลมมมมมา่ ่าน่่าา่า่านนนนนดดดดดด((6((((6666,66,,,,6,666)6)))))
ววววววที ที ทีทีีทาที าาาาา าาราาาารัรรรรั ัััมั มมมมขีมีขขีีขีขอขี อออององวงงงงวงววววงกงงงงกกกกลกลลลลมลมมมมม
ะะะะะไะไดไไไไดดดด้ด้ ้้้ ้ rrrrrr====== (3((((3(3333−−−−−−66666)6)2))))2222+2+++++((4((((44444−−−−−−66666)6)2))))22222

rrrrrr====== ((−((((−−−−−33333)3)2))))2222+2+++++((−((((−−−−−22222)2)2))))22222

rrrrrr====== 999999++++++444444

สสสสสูตสูตูููตตตรูตรรรรร rrrrrr====== 1111133333
ะะะะะไะไดไไไไดดดด้ด้ ้้้ ้ 13
((x((((xxxxx−−−−−−hhhhh)h2))))2)222+2+++++((y((((yyyyy−−−−−−kkkkk)k2))))2)222=2=====rrrrr2r22222
((( )))((x((((xxxxx−−−−−−33333)3)2))))2222+2+++++((y((((yyyyy−−−−−−44444)4)2))))22222======
1111133333222222
13
((x((((xxxxx−−−−−−33333)3)2))))2222+2+++++((y((((yyyyy−−−−−−44444)4)2))))22222======111113133333

ารั ามรีขั อมงีขวองกงวลงมกลม

ตตตัววัวั อออยยยา่าา่่ งงง 333 งงง าาาสสสมมมกกกาาารรรขขขออองงงวววงงงกกกลลลมมม ่งง่่งมมมีีี ดดด ูนนูนู ยยย์กกก์์ ลลลาาางงงททที่่ี่ี ดดด CCC(((ะ−−−ไ222ด,,,ะ้ 555ไ)))ดแแแ้ ลลละะะกกกรรราาา ขขขrอออ=งงงวrววงงง=(กกก−ลลลมมม2(−−า่่า่า12นนน)−2 ดดด1+)กกก2(่งง่่ง5+กกก−ลลล(5าาางงง)−2 5)2

ยา่ ง 3ขขขออองงงงสสสาว่ว่ว่ สนนนมขขขกอออางงงรเเเขสสสอ้น้้นนงตตตวรรรงงงงกทททลเี่เี่ี่เม่อ่อ่อง่มมมมี ดดดดBBBนู(((666ย,,,777ก์ ล)))แแแางลลลทะะะ่ี ดดดด CCCC((((−−−−2444,,,,5333))))และกรา ของวงกลม า่ น =ด(−ก่ง3(ก)−2ล3า+ง)2(0+)2(0)2

r =r

วนขอวววงเทีทีทีส้นาาาตรงทาาา่ีเ ่อมดดดกกกดง่่งง่ กกกBลลล(าาา6งงง,7ขขขอออ)แงงงลBBBะCCCด C(− 4,3) r =r =9 9r =r3= 3

า xด=กง่ 6ก+ลา2(ง−ขxxxดดด4องงงััั===)งนนน,666ันัันนyB+++=C222ดดด(((7−−−กกก444+2ง่่ง่งกกก)))3ลลล,,, yyyาาางงง===ขขขอออ777งงง+++222BBB333CCC คคคอออ (((111,,,555))) าก ากด ูนดยก์ ูนลยาก์ งลคาองค(อ−2(,5−)2แ,5ล)ะแรลั ะมรคี ั อมคี 3อ 3
สูตรสูตร (x −(xh)−2 h+)2(y+−(yk−)2 k=)2r2= r2

ดงั นัน าาาดรรรกััั ง่มมมกีีีขขขลอออางงงงวววขงงงอกกกงลลลมมมBC คอ (1,5) ะไดะ้ ได้ (x −(x(−−2()−)22+))2(y+−(y5)−2 5=)232= 32

ารั มีขอะะะงไไไวดดดง้้้กลม rrr === (((−−− 222 −−−111)))222 +++ (((555 −−− 555)))222 (x +(x2)+2 2+)2(y+−(y5)−2 5=)29= 9

ะได้ r= (− 2 −1)2 (((+−−−(3335)))−222 5+++)(((2000)))222

rrr ===

r = (− 3)rrr2===+ (0999)2 rrr === 333

าาากกก rดดด= ูููนนนยยย9ก์กก์์ ลลลrาาางงง=คคคอออ3 (((−−−222,,,555))) แแแลลละะะรรรััั มมมคีคคีี อออ 333

ตัวอย่าตงวั ต4อัวยอา่ งยงา่ 4างส4มงกางารสขามอสกงมาวกรงขากรอลขงมอวง่งกวมงลรีกมัลม่งียมา่งีรวมั 3ีรมั ียมา3ียวา3นวว่33ยแ3ลนะ่วมนยี่วแดยลแะลนูมะยี มก์ดีลดานู งยูนCก์ ยล(ก์0า,ลง−าC6ง)(C0,(−06,−)6)

ว ีทา ว วีทาีทา สูตร (สxูตส−รูตhร()x2 (+−x(h−y)2h−+)2k(+)y2(−=ykr−2)2k)=2 r=2r2

( )( ( ) )ะได้
ะไดะ้ได้ (x − 0()x2 (−+x0(−y)20−)+2(−(+y6(−)y)(2−−=(6−)3)62))3=2 2 33 2 2

=3 3

x2 + (xy2+x+26(+)y2(+=y69+)(263))=2 9=(39)(3)

x2 + (xy2+x+26(+)y2(+=y62+)726)=2 2=727

ออ+ยย่ทู่า5ตตตง4่ี44yวััววัดxxx5อ−ออตวต4+++ยตวตวตวยยวั1444ดัx่าทีา่า่5ััวัววอง855ขxxxงีทีทที+งงอออายyyyอ=+++าาายยยา่า5555ง−−−สงา่่าา่5550เy1สงงง11มyyy5ง−8้นงง88ก555า−−−ต1ากาาา===าาา111รง8กกกรสสสขงงง0888ง00=มมมอา55===กสาาากกง0555xxวสสสามาา000xxx−งร−มมมรรกกข−−−ขขกกกา22ลอออราาา222yyมงงงขรรรyyyวววขขขอ−=งงง่อออ−−−งก3กก3มวงงง333ล9ลล9งวววรี 999มกมมังงง=แกกกลม===ลลลล่ง0ม่งง่ียะม000มมมมมารี.ตรีีรวง่4.ั...ััมัว่งง่ง่...3x...มมมมอมมีร......+ียัรีีรรีีี.ยย.....2ัััา...่มาา5...แว.ง..มมมววีย...y...ท3ีีียยย(33า...5น1−...นว(((าาาว่111)1ววว32ย22)))ง8333แy=ล2แแานนน222ะสทท=0ว่ว่ว่มมนนยนยย−ี กแนนนแแว่ด2าลลลย่วว่ว่ ระยยยแะะyyขนู ใมแแแมมลอนย==ีลลลีีะง์กดะะะมดดว(−−ล2มมมงี4422า)กีีีูนดููนนxxงลดดดยอยย++ใใมก์ูนยก์ก์นน55ูนนนููลู่ทยลลง่((าyyยยย์กาา่ีy22มงงง์ก์กก์ลด−−))ีรอ=ออลลลาตั11ยยยงาาาดั−88มูท่อทูู่่ทงงง6ขียอออย่3ี่ี่==6อายยยดทู่3ดดyงว00ู่ท่ททูู่ตีตตเ=3สดัีี่่่ีดดัดั น้=ดดดขตขข−−ตตตตอ26ัดออ−33รงดดัััด6ขงง233งเเเขขขอสสสน5อออง้นน้น้ ว่เxงงงสตตตย=เเเ−สสส้นรรรแ−ง้น้้นนงงตล225ตตต55ระyงรรรxมxx=งงง5ี−−−555ดx3222xxx9−yyyูน−−−แ2
ทา ววว ทีีทีทาาาาก 5าาาxกกก− 2555yxxx−4−−−444x32xxx229+y+++yy=5−−−555y03yyy33−999−−−.1..=1118==..888..0=00..===.0.....000........(...1ว......).......ที........า.......(((...111......)))...(...2...(((า222)ก)))
4x + 54yx−+185(=2)0−18 = 0

5x − 2y − 349x=+ 05(2..)...−..1...8...=.(10)
( ) (( ))นแนนทาาาน5(42)นนแนนนนแนแนน−((yทาาาททาาาาาา12นนนนนแน)น(นน=)1าาา5(455((44นนนแนนนแแนนนทาาา2);224;−ทททาาา55าาาาาา(44น)))332x;5(42นนน2−((−−((y((2)yy10555(((44411222+0−−222(())())((=11x)==221))11xใ−()))5(y()1));น2));;−444−−−((((((;44−yyy−;;+−−y111)(;222=))1;2x;22xx;;2822)))2((((223===−)))22111);200022;;−+0y++003500)));;;1)00;;;x−−−2;xx42x2ใxxy−5xxใใ855y222xx;;;0444น222xนน−2220−−−+−−y++−−1000yy−++xxx=x000−−+x8ใ885(((3−xxx88332−−22น26+++xxx9−2222ใใใ330−9+y35yy335yyนนน55)1655−−−))01133y−−−+++8555(y3y−8yy−−=2y88−−yyyy2yy888=(((==yyyy333.322252221−)−11.11−−−−−=−−−0==yyy.333555−−−y−)))05.055y551−.6999666699yyy−−−0.6669yyy009911118−.00−6066663y00.yy6111888−−−5.−−−=====.3=6==9===555=.===9====...===6666999.000..y999000.000..000666.0=00000..00(yyy−−−..000=..=2=...6===..=66.....======.===0)3..336...66.0.0...−.000−.3..33..000.6000...นแน.น−−−.....23.666.6...ท.า.าา...333(3.((.666.2.22น.=.333==(.5(4)())324−−−))=)222−(===(yะ12−ไ)(=−−−)21ด222);้4;−2x;220+40xะะxxใ5ไไน−−+ดด+y8้้(35(−(2(2xxyx3(5)12−−y−−8y)17−7−7−=5)))46192029268((x0((((yx+++xxxxxx=======.(−−(−−(−−.0.yy0y20.02−77.777748.6+++8.))))))3.4462222.2222.32xxxx.++++++.))).2===2.==2(((((((2=yy==yy=7yy2222)4488++++1++988−38(22222222))))))222==2222
7 32 2
7 32 2
9(2)
= 9(2)
= 18
18
2

=
=
=
=

4x + 5444y4xxx−444x+++1xxx+5855+++5yyy=555(−−−2(((0222)111)))8−88−−−1===1118088800====0000 4x + 5y −18 = 0

ตวั อตยัว่าองตยวั6่าองยง6า่ งา6งสมากงสามรากวสงามกรกวลางมรกทวลี่งมกดทล่ีมนู ดทย่ี์กนู ดลยา์กงูนอลยยาก์ งูท่ ลอี่ายดงทู่ อ(ี่ย2ดทู่,3่ี()2ดแ,3ล(2)ะแ,ม3ลีแ)ะกแมลนีแะYกมนเีแปYก็นนเปสYน็้ เเสปสัม็น้นเสัสัมน้ สัสัม สั

ว ีทวา ที วา ที า ก ากดากนู ดย์กูนดลยา์กงนู คลยาอก์ ง(ลค2าอ,ง3(ค)2อ,3(2),3)
ตัวอย่าง 6 ง าสมการวงกลมที่ ด ูนย์กลางอย่ทู ่ี ด (2,3)และมีแกนY เปน็ เส

และแมลีแะกแมลนีแะYกมนเีแปYก็นนเปสY็น้ เเสปสัม็น้นเสสั มัน้ สัสัม สั ว ีทา าก ด นู ย์กลางคอ (2,3)
ะได้ะไrดะ้=ไดr2้ =r2= 2 และมีแกนY เปน็ เสน้ สัม ัส

ะได้ r = 2

สูตรสูต(รxสูต−(รxh)−(2xh+−)(2hy+)−2(y+k)−(2yk=−)2rk2=)2r=2 r2 สูตร (x − h)2 + (y − k)2 = r2

ะได้ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 22

ะได้ะไดะ้ ได้ (x −(x2)−(2x2+−)(22y+)−2(y3+)−(2y3=−)223=2)22=2 22 (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4

(x −(x2)−(2x2+−)(22y+)−2(y3+)−(2y3=−)243=)24= 4

เนอ่่อง าเกนอ่ เสสงน้้ ารรกออบบเสว้นงรอาาบไไวดดง้ ากกาได22้ าrrก 2r
ะไไดว้ว่าา ะไดว้ 2่าrr ==124r =14

ตตัวัวออยย่า่างง 77 งง าาสสมมกกาารรววงงกกลลมมทท่ีี่ ดด นูนู ยย์ก์กลลาางงออยยูท่่ทู ี่่ี ดด CC((55,,−−11))แแลละะเเสส้นน้ รรออบบววงงยย2าาrวว=1114424r =นน14่วว่ ยย
น124ว่ rย==7124
อย่าววง 7ีทที าา ง าสาากกมการดดวงูนูนกยยล์กก์ มลลทาา่ี งงดคคออนู CCย์ก((55ล,,า−−ง11อ))ยู่ที่ ด C(5,−1)และเสน้ รอบวงยาว r = =7

14

ทา าก ด ูนยแแก์ ลลละะาเเงสสคนน้้ อรรออCบบ(วว5งง,ยย−าา1วว) 1144 นนว่ว่ ยย สูตร (สxูต−รh))(222x+−((hy)−−2 +k))(222y=−rk222)2 = r2

แเเนนล่ออ่ะเงงสน้าากกรอเเบสสวน้น้ งรรยออาบบววว1งง4าาไไดด้้ นาา่วกกย 22rr ะะได้้ ะได้ ((xx − 55)(222x+−((5yy)+2 +11))(222y==+71222)2 = 72

เน่อง ากะะไไเดดสวว้้ น้ ่่าารอบวง22rrาไ==ด11้ 44าก 2r ((x −− 55))(222x+−((5y)+2 +1))(222y==+44199)2 = 49

ะไดว้ ่า 2r = 1224rr== 14
14

2r = 14rr == 14 == 77
14
22

สสููตตรร ((xx −−r hh=))2212++4 ((=yy 7−− k ))22 == r 2
k r 2

แแลละะมมีพีพแแนลนลทะทะมี่มี่ 2ีพ2ีพ55นนทที่ี่ 2255
เเนนอ่ ่องง าเาเนนกก่อ่อพงพงนนาาททกกีว่ ่ีวงพงพกกนนลลททมมีว่ว่ี งงกกาาลไลไดมดม้ ้ าากากาไไดด้้rrาา22กก rr22

ะะไไดดว้ ว้ ่า่าะะไไดดว้ ว้ ่า่าrr22 ==22rr5522==2255

ตตตัวัววั อออยยย่่าาา่างงง 888 งงง าาาาสสสมมมกกกาาาารรรรวววงงงงกกกกลลลมมมมทททท่่ีีี ่ี ดดด นูนูู นู ยยย์ก์์ก์กลลลาาาางงงอออยยยยูู่่ท่ททู่ที่่ี่ี ี่ ดดดCCCC((((0000,,,,4444)))แแแลลละะะะมมมพีพี ีพนนนนททที่ี่ ี่ 22225555 rr22 ==22rr5522 ==2255

วววว ีีททีทาาาา าาาากกก ดดดด ููนนนู ยยย์กกก์์ ก์ ลลลาาางงงคคคออออ ((((0000,,,,4444)))) rr ==55rr ==55

แแแลลลละะะมมมีีีพพพีพนนนนททททีีี่่ ี่ 22225555 สสูตูตรร (ส(สxxูตูต−ร−รhh()()2x2x+−+−(h(hyy))22−−++kk(())y2y2 =−=−rkkr2)2)22 ==rr22

เเเนนนอ่่่อออ่ งงงง าาาากกกกพพพนนนนทททที่ี่วว่วี งงงงกกกลลลลมมมม าาาาไไไไดดดด้้้ ้ าาาากกก rrrr22222 ะะไไดด้ ้ ะะไไดด้ ้ ((xx−−00)(()2x2x+−+−(0(0yy))22−−++44()()2yy2 =−−=4545)2)222 ==5522

ะะะะไไไดดดววว้้้ ว้ ่่่าาา่า rrrr22222 ====22225555 xx22 ++((xyxy22−−++44()()2yy2 =−−=4242)5)522 ==2255

rrrr22222 ====22225555

rrrr ====5555

สสสสููตตูตรรร ((((xxxx−−−−hhhh))))22222++++((((yyyy−−−−kkkk))))22222 ====rrrr22222

ะะะะไไไไดดดด้้้ ้ ((((xxxx−−−0000)))22222 ++++((((yyy−−−−4444))))2222 ====5552222

33.. งง าาสสมมมกกกาาารรรวววงงงกกกลลลมมมรรรัั ั มมมีียยียาาาววว444 นนนว่่วยยว่ ยแแลลแะะลสสะมััมสมั สััสกกสั บับั กแแับกกแนนกนXX Xทท่ีี่ ทดด่ี ((ด00,,(000)),0)

วว ีทีทาา เเนนอ่่อองงง าาากกก rrr===444

สสูตตู รรร (((xxx−−−hhh)))222+++(((yyy3−−−.kkk))ง22)2==า=สrrมr22 ก2 ารวงกลมรั มียาว 4 น่วย และสมั 0,4สั กับแกน X ที่ ด (0,0)
(((xxx−−−000)))222+++(((yyy−−ว−444ที ))22)า2==เ=น44่อ422ง2 าก r = 4

3. ง าสมการวงกลมxxxร22ั 2ม+++ีย((า(yyวy−−4−444))น22)2ว่==สย=11ูตแ166รล6…ะ(สxัม.−.ัส*hก)2บั +แก(นy −Xkท)2่ี ด=(r02,0) 0,-4

ว ที า เน่อง((xxxาก−−−00r0)))=222 4+++(((yyy−−−(((−−−444)))))22)2===44422(2x − 0)2 + (y − 4)2 = 42

สูตร (xะะะไไไ−ดดด้้h้ )2 xx+x222(++y+−(((yyky++)+244=4))22)r22===111666…..x*2 + (y − 4)2 =16

ดงั นัน(xส−มก0า)ร2ว+งก(ลyม−รั4)ม2ีย=าว442 (xน−ว่ ย0)แ2ล+ะส(ัมy −ัส(ก−ับ4แ)ก)2น=X4ท2 ี่ ด (0,0) คอ

x2 + (y − 4)2 =16 แะไลดะ้ x2 + (y + 4)2 =16



ากสมการวงกลม

(x − 2)2 + ( y + 1)2 = 9

เม่อกระ ายสมการ ะไดเ้ ป็น

x2 − 4x + 4 + y2 + 2y +1= 9

x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0 *
สมการ * เรา ะเรียกวา่ รปู แบบทว่ั ไปของสมการวงกลม ่ง ะอย่ใู นรปู ของ

x2 + y2 + ax + by + c = 0

งงเเขขีียยนนใใ อ้้อยยู่่ใใู นนรรููปปแแบบบบททั่วว่ั ไไปปขขอองงสสมมกกาารรตตอ่อ่ ไไปป

11.. ((xx −− 22))22 ++ (( yy −− 44))22 == 99

xx22 −− 44xx ++ 44 ++ yy22 −− 88yy ++1166 == 1166

งเขยี นใ ้อยใู่ นรูปแบบท่ัวไปของสมการต่อไปนี xx22 ++ yy22 −− 44xx −− 88yy ++ 44 == 00

1.งงเเ(ขขxยียี −นน2ใใ) ออ้้ ยยูใู่่ในนรรปปูู แแบบบบทท่ัวัว่ ไไปปขขอองงสสมมกกาารรตตอ่อ่ ไไปปนนีี

2 + ( y − 4)2 = 9

11.. ((xx −− 22))22 ++ (( yy −− 44))22 == 99 22.. ((xx −− 22))22 ++ (( yy ++11))22 == 44

x2 − 4x + 4 + y2 − 8y +16 = 16

xx22 −− 44xx ++ 44 ++ yy22 −− 88yy ++1166 == 1166 xx22 −− 44xx ++ 44 ++ yy22 ++ 22 yy ++11 == 44
x2 + y2 − 4x −8y + 4 = 0

xx22 ++ yy22 −− 44xx −− 88yy ++ 44 == 00 xx22 ++ yy22 −− 44xx ++ 22 yy ++ 11 == 00

2. (x − 2)2 + ( y +1)2 = 4
22.. ((xx −− 22))22 ++ (( yy ++11))22 == 44

x2 − 4x + 4+ y2 + 2y +1= 4
xx22 −− 44xx ++ 44 ++ yy22 ++ 22 yy ++11 == 44

22

ถา้ สมการวงกลมอยใู่ นรูปทว่ั ไป เราสามารถเขียนสมการใหม่ ให้
อยใู่ นรูปแบบมาตรฐานได้ โดยใชว้ ธิ ีการทาใหเ้ ป็นกาลงั สองสมบูรณ์

ตวั อยา่ ง ง า ด นู ยก์ ลางและความยาวรั มขี องสมการวงกลม ต่อไปนี

ตวั ตอัวยอา่ ยง่างง งา าด ดูนยนู ก์ ยลก์ าลงาแงลแะลคะวคาวมายมายวารวั รมั ขีมอีขงอสงมสกมากราวรงวกงลกมลมต่อตไอ่ ปไนปีนี

1. 1.1x.2x+2x+2y+y2 + 2x −6y + 6 = 0 0

2y+2 +2x2−x −6y6+y +6 6= =0

(x(x2(2x++22+2xx2))x++)(+(yy(22y−−2 −66y6y))y=)==−−6−66

(x(2x(+2x+22+x2x2+x+1+12 )21)+2+)(+(yy(22y−−2 6−6yy6+y+ +33223))2=)==−−6−66+++11212+2++332322

(x(x(+x+1+1))212)++2 (+(yy(−y− −33))322)2===444

(x(x(+x+1+1))212)++2 (+(y(−y −3)322)2===222222

ดงั ดนังดนั นงั นั Cนั C(−C(−1(,1−3,3)1,)3, ),rr, =r=2=2 2

2. 2.x2x+2 y+2y+2 4+x4−x2−y2+y1+=10= 0

(x(2x+2 4+x4)x+)(+y(2y−2 2−y2)y=) −=1−1
(x(2x+2 4+x4+x2+22)2+)(+y(2y−2 2−y2+y1+21)2=) −=1−+12+22+21+212

(x(+x2+)22 )+2 (+y(−y1−)21)=2 4= 4
(x(+x2+)22 )+2 (+y(−y1−)21)=2 2=222

ดงั ดนงันนันC(C−(2−,12),1,) r, =r 2= 2

3. x2 +3.y2x+2 +y =y20+ y = 0

x2 + ( yx2 2++y()y=2 0+ y) = 0

x2 +  yx22++y +y 2 +1 y2+ =10+2  1= 02+  1  2
  2 2 2  2 

x2 +  yx+2 +1 2y=+ 11 2 = 1
 2  42  4

ดงั นัน Cดงั น0นั ,− 1C0,,−r 1=1, r = 1

 2  2 2 2

444444...... xxxxxx 2 ++++++ yyyyyy 2 ++++++111111000000xxxxxx −−−−−− 444444yyyyyy ++++++111111333333 ====== 000000
22222 22222

((((((xxxxxx222222 ++++++111111000000xxxxxx)))))) ++++++ (((((( yyyyyy222222 −−−−−− 444444yyyyyy)))))) ====== −−−−−−111111333333
2 ++++++111111000000xxxxxx ++++++ 555555222222 ++++++ 2 −−−−−− ++++++ 2 ====== −−−−−−111111333333 ++++++ ++++++
(((((( xxxxxx 22222 )))))) (((((( yyyyyy 22222 444444 yyyyyy 222222 22222 )))))) 222222555555 444444

((((((xxxxxx ++++++ 555555)))))) 2 ++++++ (((((( yyyyyy −−−−−− 222222)))))) 2 ====== 111111666666
22222 22222

((((((xxxxxx ++++++ 555555)))))) 2 ++++++ (((((( yyyyyy −−−−−− 222222)))))) 2 ====== 444444 2
22222 22222 22222

ดดดดดดังงงังังัังั นนนนนนนันััันนัันน CCCCCC((((((−−−−−− 555555,,,,,,222222)))))) ,,,,,, rrrrrr ====== 444444

5. x2 + y2 + x + 2y +1 = 0 66.. xxx2222 +++ yyy2222 +++ 666xxx +++ 222 === 000

(x2 + x) + ( y2 + 2 y) = −1 (((xxx2222 +++ 666xxx))) +++ yyy2222 === −−−222
(((xxx +++ 333)))2222 +++ yyy2222 === 777
 x2 + x +  1  2  + ( y 2 + 2 y + 12 ) = −1 +  1  2 + 12
  2    2  ดดงังั นนนนัั CCC((−−− 333,,,000)) ,, rrr === 777

 x + 1 2 + ( y +1)2 =  1 2
 2 2

ดงั นัน C− 1 ,−1 , r = 1
2  2

2 2 (x8−4 ) + ( y +4 ) =8 +16 +16
4 4 8 16 16

(x2 − 1 x) + (y2 + 1 y) ==81=18 1+ +1262
2 2
8 16

777. ..7xx.x222x+++2y+y2y2y−2−2−121−21x2x12+x+x12++12y121y2−−yy18−81−==181800== 00 (x2 − 1 x +  1 2 ) + (y2 + 1 y +  1 2 ) = 1 +==14212+26++2 2 1 2
2  4  2  4  8 
16 4

((xx(2(2xx−−2212−1−2x12x12))+xx+))((++yy2((2y+y+2212+12+y1y2)12)=y=y)81)=18=18 1 (x − 1)2 + (y + 1)2 ==18=14+6146116 + 1
8 4 4 16

(((xxx2(22−x−−21212−12xx12x++x++1414142142))2+2+)()+(y+y2((2y+y+2212+12+yy1212++yy+14+14214142))=2=2)18)18=+=+1818+1414+2142+14+2+14214+2142142  2 ==18= +42 241262 2
 

((xx(−(−xx14−1−4))214142+))+22((+y+y+((+yy14+14+))214214=)=)2182=18+=+1811811+616+1+1+6111161+6161+16116 = =2=1+61221222

==18=18=++181121+626+1262 ดังดนังันนนั CC 14 14,−,−14=14=1,246,rr2==12 1
==2=21=+16+262122+86+2 16 2
2
4

== 4=4 4 16 =  1 2
164

สมการรูปแบบ x2 + y2 + ax + by + c = 0 ะมีกรา เปน็ วงกลม รอ ด นง่ ด รอไม่มีกร
น วงกลม รอ ด xน2่ง+สดสมyมก2รกาอ=สราไมรสม0สูปรกม่ ูปมแาสกี สรกแบมารกมรบากรบารูปกรบาารแาูปรxกูปรบแx2ไเรแูปบปด2ูป+บแ้น็บ+แเบxyบบ2y่นดx2บx2+2+ค2x+xอya+22a2xy+yดx++22y++(bya0+2by2xa,+0ay+x)xa++bca+xcyxb=+b=+yy0b+bc0+yyc=+c+ะ=0c=ะมc0ม=กี0=กีร0ะรา0มาะะีกมเปมรเะกี ปะีก็นามรม็นรีกาวีกาเรวปงราเกงาน็ปเกลปน็เลวมน็ปเมปงว็นกว็นงลงรกวกรอวมลงอลงกมกมดลลดรมอมรนรอนง่ อดร่งรอดอดนดดง่นรดนรอ่งดง่อนไนมได่งมด่งรม่อดกี รด

(xxx2−2+3+)xy22yx2+x2+=2(x+=xyy+20220−y+y+2=12yก)=y02ก2=ร2าร0==0า=0ก0เ0ปรเกปกน็ารก็นรการกาเดราปรดาเ็นคาปเเปคอป็นเน็อปเดน็ ปดน็ดคน็ดด(อคด0(คดอค0,0อดค,อค0)อด()อด0ด(ด,0(ด(0,3)(0,0(,)01,)0,)0))
x(2x(+x−−(3(y3)x(2+)(x−2+x5(−+3()x−)x23y(2−3y)−=−+)232−301+)(+)21y2()+(2y−+=yก(=1−(รy−0)yา1021−)−)2=1กเ21ป)ก=ร0)2=็นาร20า=0=กดเ0ปรเ0กปคก็นารน็อรกากาเดรปรดดาเ็นคาปเปค(อน็ 0เ็นอปเด,ป-ดน็ ด5คน็ ด)(อคด3(คดอ3,1อดค,ค1)อด()อด3(ด,3(1ด3,)(1,3(1)3,)1,1))
(xxx2+2+4+)(x2y(2xy+x+2+2xy5+(x+252)y2(2)+(y=++2y=(+5=0(y+0)y502+5ก)+)2=ร525าก)=0ก)2=ร20ารเ=0ปา=น็0กเ0ปรเกปก็นาดร็นรกาคกาเดรปอรดาเคน็าปเปคอด็นเน็อปเดป(ดน็ -ดค็น4ด(อ,คด00(คดอ0,)-อดค,5ค-อด5)(อด0) (ด,0(-ด05,(-,)0(5-05,)-,)5-5) )
x(2x(x+++y4(4x2)(2)(x+=2x+(+4+−(x+yx)41+y242+)2+)24=24=+)ไy0+)2ม202yม่+yก+2=ีกก2รyร=y0าร2=าา20=ก0เ=ปรเก0ปก0น็ารน็รกากาเดรปรดาเคน็าปเปคอ็นเ็นอปเดปด็นดค็นด(อคด-(ค4ดอ-อ4,ดค0ค,อด0)(อด-)4(ด-(,ด4-04(,)-0(,4-0)4,)0,0))
xx2x2+2++yxy22yx2+x2+=21x+=x0y+2−22−y1+=y+12=20y=y−2=ไ2ไม1ไ−=มม−่=1่ม่ม1กี−กี−ีกไร1มร1ารไา่มาไมีกม่ไเ่มไรกีพมีกาม่รรม่ รีกาากีาระราาx2 + y2 = −10
xx2 2++xy2yx2x2+2+2x+1xy+21022y+0y+=22y=+1y0+2012+1ไ0=+ม0ไ1ม=1่0=0่มกี 0=ีก0ไร=มาร0ไม่า0ไมีกเม่ไพม่ไรเกี พมีการ่มร่มารกีาะาีกเรพะราเxารพเพxา2รเะ2รพเา+พาะ+ระxรyาาy2ะ2xะx2+2=2x=+xy−+22−2y1+y+102=20y=y−2=21−=−0=11−0−01100

งพงงพพสูงสสสพนููู นสนว์ ูว์า่วว์ า่านา่ ส์วสสมสา่มมกกสกาามรารรตรกตตอ่าอ่อ่ ่อรไไปตไปปปน่อนนนไมีมี มีปมีกีีกีกนกีรรรมีราาาากี รเเเปปาเปปน็็นน็ เวปวงวงน็ กงกลกลวมลงมมกเเปลปเ็นมปน็ น็ เดปดด็นรรอรดรออไอไมไมไม่มรม่มอีกม่ ่มีกรไีกีกมรารารม่ าาีกรา
1.11..x1x2x.222+x+++2yyy2+222−y−−−1211122−22xxx1x++2++3x33366+66==3==60000= 0
22.2..2xx.x222x2++2+y+yy22y22−2−−6−66x6xx−x−−−888y8yyy++++22252555====0000

((x(xx2222(−−x−−12111222−2xxx1x)))2)++x+y)yy2+22==y=2−−−−33=636−636 ((( ))) ((( )))( ) (xxxx22x22−2−−−6−666x6xxxx+++++yyy2y2222−−−−8888yyyy====−−−−22225555

((( ( ))) )(((( )))(x((xx222(2−x−−121212−22xxx1x+2+++6x6662+22)2))6)+++2 y)yy+222==y=2−−−−33=36366−6+++3+66662622+2 62 xxxx2222−x−−2−66−66xxx6x++x++3+33322322+2++++yyyy2y222−2−−−8−888y8yyyy+++++4444422222 ====−−−−22225555+++++3333322222+++++4444422222

(((x(xxx−−−(−6x666))−)2)2226+++)+2yyyy+2222===y=20000= 0 ((x((xxx(−x−−−3−333)32))22)2+2++++(((y(yyyy−−−−−4444)4)2))2222====0000
ดดดดงั งันังดังนนนังันนนัั ันกกกกรรกราราราาาเปเเเปปปเ็นป็นน็็น็นดดดดดคคคคอคอออดดดด((3((333,,4,,444))))
ดดังดนังงั นนดันนั ังนั นกกันกรราราากเรเปาปเปป็นน็ น็ น็ เปดดดน็ดคคคคออดออคดดดดอ(((66(6ด,6,,000,)(0))6),0)

33..33.xx. 22xx3+2+2. ++yyx2y22y2+++2+66+y6xx6x2++x++111+00601yyxy0++++y3331+44403==y=40+00=340 = 0
( ( ) () ( ) )( ) ( )( ) ( )xxx222x+++2666+xxxx62+++x+ yy+y6222x++y++1211000+yyyy12=0==+y−−−13343=044y−3=4 −34
( ( ( ) )( () ( ) ) )xx(22xx+2+2 +6+6ดxxัง6x26นx++ันx++33+63ก2223xร((()xา+x+2x++(+++เ(x+3yปyy33322น็+22)))(2y22+++3x+ด+2++1)11+2ค00+0(((yอyy+yy3yy12+)++0++ด(+2+y55y5555+()12)+)−22+22)20(3==55y===y,=)−02−2+0+05−−3)=334=5544)+20−2++33==2334+220−+++5332455222++3522 + 52
4.ดดxังงั ดน2นงััน+นั นดyันกก2ังรรน−ากานั 6รเาxเปปก+น็น็ เร4ปาดyด็น+เคคปด1ออ็น8คดด=อด0((−ด−คอ33(,,−−−ด553)),(−−53),−5)
4.4xx. 22x4++2. y+yx2(22xy−−2+26−6−yxx662+x+x)−44++6yy(y4x++2y+11+88+44=1=yy8)00+==1−0818= 0

( ( ( ) )( () ( ) ) )( ) ( )x2 − 6x +xx3222x−−2+66−xxxy622++x+−4y+6yy22x++y++22442+yyy=42==−y+−1−81=1488+y−312=8+−2128
22 22 22 22 22 22

( ((( )) ()( ( )) )( ) ( )xx2xx2+x2+2+6++6x6x66x+x+x+3+3+3223232++++y+y2y222+y++11100+0yy1y++0+55y5222+==5=−−−3334=444+++−+3333322242+++++555352222 + 5
( ) ( )((xxx(+x++x+33)+3)222)32+++2(((yy+y+++55y5)))+222==5= 2 = 0

000
ดดงัดนงัดดงั นนันังงั ันนนันนั ันกกกรรกราการารเาเปปเ็นปน็ เน็ ปดดน็ ดคคคอดออคดดดอ(((−−−ด333,,,(−−−−555)3)),−5)

44.44..x4.x.2x2xx2++22+y++yy22y2y−2−−26−66−x6xx+6x++x+444+4yyyy+4+++1y11188+8==1=8000= 0

( ( ) () ( )(( ) ( )( ) ( )xxx22x2x−2−−26−66−x6xxx6+++x+yyy+y2222+y+424y+y 4===y−−−111=888 −18

( ((( ))) ()(( ( )) )( ) ( )xx2xx2−2x2−2−6−−6x6x66x++xx+3+3+3223232++2++y+yy2y222+y+++24444+yyyy++4+2y2222+2 ==2=2−−−111=888++−+313328222++++2223222222 + 22

((x(xx(−x(−−x−333)−3))222)32+++)+2((y(yy+y++(+2y22))+)222 ==2=)−−−25555= −5
ดดงัดนังดดงั นันนังงั ันนนั นั ันไไมไมมไม่ ่มมไม่ กีมม่กีกี ร่มีกรราารากี ารา

5. x2 + y 2 +10x + 35 = 0

( )x2 +10x + y2 = −35
( )x2 +10x + 52 + y2 = −35 + 52

(x + 5)2 + y2 = −10
ดงั นนั ไมม่ กี รา
6. x2 + y 2 − 4x − 8y +16 = 0

(x2 − 4x)+ (y2 − 8y) = −16

(x )+10x + 5 + y = −35 + 5

(x + 5)2 + y2 = −10
ดังนัน ไม่มีกรา
6. x2 + y 2 − 4x − 8y +16 = 0

(x2 − 4x)+ (y2 − 8y) = −16
( ) ( )x2 − 4x + 22 + y2 − 8y + 42 = −16 + 22 + 42

(x − 2)2 + (y − 4)2 = 22
C(2,4) , r = 2

ดงั นนั เปน็ กรา วงกลม

7. x2 + y 2 −10 y = 0 C(0,5) , r = 5
ดงั นนั เป็นกรา วงกลม
x2 + y 2 −10 y + 52 = 0 + 52 8. x 2 + y 2 − 2x −15 = 0
x2 + ( y − 5)2 = 52
( )x2 − 2x + y2 = 15
C(0,5) , r = 5
ดงั นัน เปน็ กรา วงกลม x2 +2x + 12 + y 2 = 15 + 12
8. x 2 + y 2 − 2x −15 = 0
(x −1)2 + y2 = 16
( )x2 − 2x + y2 = 15 C(1,0) , r = 4

x2 +2x + 12 + y 2 = 15 + 12 ดงั นัน เปน็ กรา วงกลม

การ ั ั ว ก

ว ระยะระ วา่ งเส้นตรง Ax + By + C = 0 กบั ด (x1, y1)

d = Ax1 + Bx2 + C
A2 + B2

ง าระยะระ วา่ งเส้นตรง 3x + 4y −10 = 0 กบั ด
dว=ที 3า(0d) + 43(0(0))−+104(0) − 10
ว ีทา 10 = 0 กบั =
ง าระยะระ ว่างเ1ส.น้ (ต0ร,0ง)3x
+4 y− ด32 +42 32 +42

ง งาราะรยะงงะยระาารระะวยย่าะะวงรร่าเสะะง้นเส1ตวว้น.า่า่รตงง(0เเรสสง,30น้น้ วx)3ตต+ทีxรรางง4+y334dxx−y=1++−04413=(0yy00=−−) +11ก3000ับ24ก(+==บั0ด4)002ด−กก1บับั 0 ดด = −10 = −=1100 ==120 = 2
25 255 5

ว่าง1เส. 1้น(.ต0(ร,0ง11),0..3)x((ว00+,,ีท004า))y d 3(0) + 4(0) − 10 = −102. (−=2,1−201.)(−2=,−21)
− =
ะระ 10 = 0 ก3ับ2 +ด42 25 5

เ0ส,น้0วต)วีทรงาที 3าdววx d=ทีีทาา=3(dd30()0==+) 43+3((400())0++−)144−0((1000)) −−1100 ว ที า dว=ที 3า(−d2)=+34((−−21) +− 140(−1) − 10
32 +42
+ 4y −103 2=3+204+ก2433ับ222 ด++ 44 22 =2. −(−120,−1) = 10 = 2 32 +42
25 5

= 3(0) + 4(0) − 10 =−221.−50(21==−502ว,−−−2211=ีท15500)า1=501d50=== =31155(00−=222) + 4(−1) − 10 − 6 − 4 −−160− 4 −1−0 20 − 20
3 2 +42 3==2 +2242 == = = =4
= 25 25 5 5

+ 24(+04)2−2=1.02−(.−21(250−,22−2..,1−(()ว−−1=)ที22,,า1−−5011d)) = 3(−2) + 4(−1) − 10 − 6 − 4 −10 − 20 =4
3 =2 32 +42 = 25 =

=−2ว−,−1วีท10)าีทาdวว d==ีทที าา1=350(dd3−(2−==)2=+333)2((24+3−−+(2422−4+())1−2)4++331−222)441++((−0−−44111=022)) −−−11600− 4 −10 − 20 5
= =4
25 25
5

เน่อง าก AB ⊥ L

ตวั อตตยัวัว่าอองยยตา่ า่ ัวงงอยาา่งสงงมาากสสางมมรกขกาาอาสรรงมขขเกสออา้นงงรเสเสขสัมน้อ้นสงสสัเมั มัสวน้งัสกัสวลวัมงงมกกัสลลxวมมง2ก+xxล2ม2y++2xy=y2212+3==ะy1ไท1ด233ี่้ =ดททm1ี่(ี่32Lดด,3=ท(()22่ี −,,3ด3)32)(2,3)

ว ที ววา ที ีทาาวใ ีท้ ใใาA(้ 2้ A,A3ใ(()22,้,,3B3A)(),0(,2B,B0,(3()00),,00B))(0,0) ดงั นนั 2x + 3y + c = 0

m ABmm=AABB23m==−−A32B2300−−−−==00003232==−− 303 = 3 L า่ น ด (A)
202 2
A(2,3) ; 2(2) + 3(3) + c = 0
เนอ่ เงเนนอ่ ่อางกงเนาาAอ่กกBง AA⊥าBกBL⊥⊥ABLL⊥ L 4+9+c = 0
c = −13
ะไดะ้ะไไดmด้ ้ Lะmmไ=ดLL้−==m32−−L 22= − 2
33 3

ดังนดดันังงั นนนั2นั ดxังน2+2ันxx3+y+23+3xyyc+++=3cc0y==+00c = 0  2x + 3y −13 = 0

L LL่าน ่าา่Lดนน(Aดดา่)น((AA))ด (A)

A(2AA,3(()22,,3A3;))(22;,;(32)2)2((+;22)3)2(++3(32)3()+(33+)c)3++=(c3c0)==+00c = 0