ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 1 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 1. นักเรียนไม่เปิดดูเฉลยก่อนตอบค ำถำม 2. อ่ำนหรือฟังค ำแนะน ำในกำรใช้แบบฝึกทักษะให้เข้ำใจ และปฏิบัติตำมทุกขั้นตอน 3. ให้นักเรียนศึกษำสำระควำมรู้ จนเกิดควำมเข้ำใจแล้วจึงลงมือท ำกิจกรรมที่ก ำหนดให้ครบทุกกิจกรรม 4. เมื่อท ำกิจกรรมเสร็จแล้ว ให้นักเรียนตรวจตรวจค ำตอบด้วยตนเองจำกเฉลยท้ำยภำคผนวกและบันทึก คะแนนไว้ 5. หลังท ำกิจกรรมแล้ว ถ้ำนักเรียนท ำผิดให้นักเรียนย้อนกลับไปศึกษำสำระควำมรู้เรื่องนั้นอีกครั้ง และกลับไป ท ำกิจกรรมจำผ่ำนเกณฑ์กำรประเมิน แล้วจึงจะไปศึกษำแบบฝึกทักษะชุดต่อไป 1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเมทริกซ์ และการด าเนินการของเมทริกซ์ 1. หาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ขนาด 2 2 โดยใช้นิยามและสูตรได้ 2. หาเมทริกซ์ผูกพันได้ 3. หาอินเวอร์สของเมทริกซ์โดยใช้เมทริกซ์ผูกพันธ์ได้ จุดประสงค ์ การเรียนรู้ ค าชี้แจงการใช้แบบฝึ กทักษะ ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 2 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 บทนิยาม ให้ A เป็ น n n เมทริกซ์ ถ้า B เป็ น n n เมทริกซ์ที่มีสมบัติว่า n AB = BA = I แล้วจะเรียก B ว่าเป็ นอินเวอร์สการคูณ (inverse of a matrix) ของ A และเขียนแทน B ด้วย 1 A− อาจเรียกอินเวอร์สการคูณส้ันๆ วา่อินเวอร์ส ก็ได้ ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงว่าอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 2 1 A = 3 2 คือเมทริกซ์ 2 1 B = 3 2 − − วิธีท า 2 1 2 1 43 1 0 2 2 AB = = = = I 3 2 3 2 6 6 3+4 0 1 − − −+ − −− 2 1 2 1 43 1 0 2 2 BA = = = = I 3 2 3 2 6+6 3+4 0 1 − −− − −− แสดงว่า AB = BA = I ดงัน้นั 1 B=A− สาระน่าร ู้ อนิเวอร ์ สการคูณ
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 3 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 อินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด 2 2 สามารถหาได้จาก 1 1 d b A = ad bc c a − − − − ตัวอย่างที่ 2 ก าหนดให้ 4 2 A = 1 3 จงหา 1 A− วิธีท า 1 1 1 32 32 A= = 4(3) 2(1) 10 14 14 − − − − − − ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดให้ 2 7 A = 1 4 จงหา 1 A− วิธีท า 7 1 1 1 47 47 A= = 2(4) (1) 1 12 12 − − − − − − บทนิยาม ให้ A เป็ น n × n เมทริกซ์ เมื่อ n 2 เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือเมทริกซ์ [Cij(A)]t เขียนแทนเมทริกซ์ผูกพันของ A ด้วย adj (A) 1. อนิเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ขนาด 2 2 2. เมทริกซ ์ ผูกพนั
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 4 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 ตัวอย่างที่ 4 ก าหนดให้ A = 3 − 2 1 2 จงหา adj (A) วิธีท า เนื่องจาก C11(A) = (– 1)1 + 1M11(A) = – 2 C12(A) = (– 1)1 + 2M12(A) = – 3 C21(A) = (– 1)2 + 1 M21(A) = – 2 C22(A) = (– 1)2 + 2M22(A) = 1 จะได้ adj (A) = t C (A) C (A) C (A) C (A) 21 22 11 12 = C (A) C (A) C (A) C (A) 12 22 11 21 = − − − 3 1 2 2 ตัวอย่างที่ 5 ก าหนดให้ B = − − − 2 5 8 3 1 2 1 0 1 จงหา adj (B) วิธีท า adj (B) = t C (A) C (A) C (A) C (A) C (A) C (A) C (A) C (A) C (A) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = t 1 1 1 5 10 5 2 28 17 − − − − − − = − − − − − − 17 5 1 28 10 1 2 5 1
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 5 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 ทฤษฎีบท ให้ A เป็ น n × n เมทริกซ์ เมื่อ n 2จะได้ว่า (1) 3 Aadj(A) = adj(A)A = det(A)I (2) A–1 = det(A) 1 adj (A) เมื่อ det (A) ≠ 0 ตัวอย่างที่ 6 ก าหนดให้ B = − − − 2 5 8 3 1 2 1 0 1 จงหา 1 B− วิธีท า จากตัวอย่างที่ 2 จะได้ adj (B) = 2 51 28 10 1 17 5 1 − − − − − − หา det(B) det(B) = ( 8 + 0 15) (2 10 + 0) − − −− = 23 ( 8) − −− = − 15 ดงัน้นั 1 2 51 1 1 B = adj(B) = 28 10 1 det(B) 15 17 5 1 − − − − − − − − 3. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ขนาด 2 2 4. อยากลองทา กิจกรรมกนัแลว ้ ละ สิ!! เอาเลยครับ เต็มที่ไป เลยยยยยย
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 6 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 คา สั่ งจงหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ในแต่ละข้อ (ถ้ามี) 1) 4 2 3 1 2) − − 7 2 5 4 ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... 3) 10 2 5 1 4) 2 6 3 9 ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... คา สั่ งก าหนด A = 5 1 2 3 จงหาเมทริกซ์ในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี 1) A–1 2) (A– 1 ) –1 ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... กิจกรรมที่ 7.1
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 7 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 ค าสั่ง ก าหนดให้ A= 10 2 5 1 จงหา adj(A) ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ค าสั่ง ก าหนดให้ B = − − 6 7 1 0 2 4 2 3 5 จงหา -1 B ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ กิจกรรมที่ 7.2
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 8 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 1) จงหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ในแต่ละข้อ (ถ้ามี) 1.1) 5 3 A 1 4 = .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. 1.2) 0 7 B 3 9 = − .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. 1.3) 2 1 C 3 9 − = .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. 1.4) 1 5 D 2 9 = − .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. แบบทดสอบย่อย ชุดท ี่7
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 9 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 2) ก าหนดให้ A= 8 5 4 6 − − จงหา adj (A) .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3) ก าหนดให้ A = 14 5 32 0 21 4 − − − จงหา -1 A .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 10 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 คา สั่ งจงหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ในแต่ละข้อ (ถ้ามี) 1) 1 2 3 4 A = 2) 4 2 5 7 A − − = ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... 3) 1 2 5 10 A = 4) 9 6 3 2 A = ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... คา สั่ งก าหนด A = 5 1 2 3 จงหาเมทริกซ์ในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี 1) A–1 2) (A– 1 ) –1 ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... ............................................................... กิจกรรมที่ 7.1 1 1 4 2 4 6 3 1 A− − = − − 2 1 3 1 2 2 − = − 1 1 7 2 28 10 5 4 A− − = − + − 7 1 18 9 5 2 18 9 − = − เนื่องจาก det( ) 0 A = ดงัน้นั ไม่สามารถหา 1 A− ได้ เนื่องจาก det( ) 0 A = ดงัน้นั ไม่สามารถหา 1 A− ได้ 1 1 5 1 15 2 2 3 A− − = − − 5 1 13 13 2 3 13 13 − = − ( ) 1 1 A A − − = 3 1 2 5 =
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 11 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 ค าสั่ง ก าหนดให้ A= 10 2 5 1 จงหา adj(A) ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ค าสั่ง ก าหนดให้ B = − − 6 7 1 0 2 4 2 3 5 จงหา -1 B ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ กิจกรรมที่ 7.2 11 12 21 22 ( ) t C C adj A C C = 10 5 2 1 t − = − 10 2 5 1 − = − จาก 1 1 ( ) det( ) B adj B B − = หา det( ) (60 56) ( 4 72) 48 B = + −− + = หา 11 12 13 21 22 23 31 32 33 12 4 4 12 24 30 ( ) 24 32 8 4 32 38 30 38 2 4 8 2 t t CCC adj B C C C CCC − − −− = =− − = − − − − ดงัน้นั 1 12 24 30 1 4 32 38 48 482 B− − − = −− −
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 12 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 1) จงหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ในแต่ละข้อ (ถ้ามี) 1.1) 5 3 A 1 4 = .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. 1.2) 0 7 B 3 9 = − .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. 1.3) 2 1 C 3 9 − = .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. 1.4) 1 5 D 2 9 = − .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. แบบทดสอบย่อย ชุดท ี่7 1 1 4 3 20 3 1 5 A− − = − − 4 3 17 17 1 5 17 17 − = − 1 1 9 7 21 3 0 B− − = 3 1 7 3 1 0 7 − = 1 1 9 1 18 3 3 2 C− − = − − − − 3 1 7 21 1 2 7 21 − = 1 1 9 5 9 10 2 1 D− − − = − − − 9 5 19 19 2 1 19 19 − − = −
ชุดที่ 7 เรื่อง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 13 แบบฝึ กทักษะ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ รายวิชา ค31202 คณิตศาสตร์เพิ่ มเติม 2 2) ก าหนดให้ A= 8 5 4 6 − − จงหา adj (A) .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3) ก าหนดให้ A = 14 5 32 0 21 4 − − − จงหา -1 A .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 11 12 21 22 ( ) t C C adj A C C = 6 4 5 8 t = 6 5 4 8 = จาก 1 1 ( ) det( ) A adj A A − = หา det( ) (8 15) ( 20 48) 61 A = − −− − = หา 11 12 13 21 22 23 31 32 33 8 12 1 8 11 10 ( ) 11 14 9 12 14 15 10 15 14 1 9 14 t t CCC adj B C C C CCC − − = =− = − ดงัน้นั 1 8 11 10 1 12 14 15 61 1 9 14 B− − = − เก่ งมากค่ะ..ไม่ยากเลยใช่ไหม ?? ถา ้ ยงัไม่ค่อยเขา ้ใจยอ ้ นกลบัไป อ่านสาระน่ารู้ แลว ้ ลองทา กิจกรรม อีกรอบ รับรองทา ไดแ ้ น่ๆๆๆ