ตัวบง่ ปริมาณ
ตวั บง่ ปริมาณ คือ ข้อความท่ีแสดงใหท้ ราบว่าตอ้ งนาสมาชกิ
ทกุ ๆ ตัว หรือสมาชิกเพียงบางตัวในเอกภพสมั พัทธไ์ ปแทนค่า
ตวั แปร ในประโยคเปิด เพอ่ื สรปุ วา่ ประพจน์น้ันมคี ่าความจรงิ
เปน็ จรงิ หรอื เทจ็ เพียงอยา่ งเดียวเทา่ นัน้
สัญลกั ษณท์ ใ่ี ช้แทนตวั บง่ ปรมิ าณ
ใช้สั กั ์ (for all) แทน สาหรบั .....ทกุ ตัว
ใชส้ ั ัก ์ (for some) แทน สาหรบั .....บางตัว
เชน่ สาหรับ x ทกุ ตวั เขยี นแทนด้วย x
สาหรบั x บางตัว เขยี นแทนด้วย x
สัญลักษณท์ ่ใี ชเ้ พิม่ เตมิ
ใช้สั ัก ์ U แทน เอกภพสัมพทั ธ์
ใช้สั ัก ์ R แทน เ ตของจานวนจรงิ
ใชส้ ั ัก ์ Q แทน เ ตของจานวนตรรกยะ
ใช้สั ัก ์ I หรือ Z แทน เ ตของจานวนเตม็
ใชส้ ั ัก ์ N แทน เ ตของจานวนนับ
ตวั อยา่ งที่ 1
จงเขียนขอ้ ความตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยูใ่ นรูปสั กั ์ เม่อื เอกภพสมั พทั ธเ์ ป็นเ ตของจานวนจรงิ
1) สาหรบั x ทุกจานวน x + x = 2x
1) xx + x = 2x , U = R
2) สาหรับ x บางจานวน (x +1)2 = x2 +1
2) x (x +1)2 = x2 +1 , U = R
3) มจี านวนจริง x ง่ x + 0 = 2x
3) xx + 0 = 2x , U = R
ตวั อยา่ งท่ี 1 (ตอ่ )
4) สาหรบั x ทกุ จานวน ้า x เปน็ จานวนเต็ม แ ว้ x เปน็ จานวนจรงิ
4) x5x)Ix→x x N R , U = R
5) จานวนนบั ทุกจานวนเป็นจานวนจริง
5) xx N , U = R
ตวั อยา่ งท่ี 2
จงเขียนข้อความต่อไปนี้ใหอ้ ยใู่ นรูปสั กั ์
1) สาหรับ x ทุกจานวนมี y บางจานวน ง่ x + y = 0
1) xyx + y = 0 , U = R
2) สาหรับ x แ ะ y ทุกจานวน xy = yx
2) xyxy = yx , U = R
3) มี x บางจานวน เม่ือคู กบั y ทกุ จานวนจะได้ y เสมอ
3) xyxy = y , U = R
4) มี x แ ะ y บางจานวนบวกกันได้ 5
4) xyx + y = 5 , U = R
ตวั อยา่ งที่ 2 (ต่อ)
5) มจี านวนจริง x บางจานวน สาหรับจานวนตรรกยะ y ทุกจานวนท่ี x = y
yx
5) xy x = y , U=R
Q y
x
6) สาหรับจานวนเต็ม x ทกุ จานวนจะมีจานวนจริง y บางจานวนที่ x + y Q
6) x Iyx + y Q , U = R
7) สาหรับจานวนจริง x ทกุ จานวนจะมีจานวนนับ y บางจานวน ง่ า้ xy 0 แ ว้
น ่ง ้า xy 0 แ ว้ x 0 แ ะ y 0
7) x Ry Nxy 0 → x 0 y 0
ตวั อย่างที่ 3
จงเขยี นข้อความแทนประโยคสั กั ์ตอ่ ไปนี้
1) xx I x 5
1) มจี านวนจรงิ x บางจานวนที่เป็นจานวนเตม็ แ ะน้อยกวา่ 5
2) xx I → x 5
2) จานวนจริง x ทกุ จานวน ้าเปน็ จานวนเตม็ แ ้วจะน้อยกว่า 5
3) yx x2 + y2 = 8
3) สาหรบั จานวนจริง y ทุกจานวน จะมีจานวนจรงิ x บางจานวน ง่ x2 + y2 = 8
ตวั อย่างที่ 3 (ต่อ)
4) yx x2 + y2 = 8
4) มีจานวนจริง y บางจานวน สาหรับจานวนจริง x ทกุ จานวน ่ง x2 + y2 = 8
5) xy Qx + y R
5) จานวนจริง x แ ะจานวนตรรกยะ y ทุกจานวนบวกกนั ได้ ัพธเ์ ปน็ จานวนจริง
6) สาหรบั จานวนนบั x ทกุ จานวนจะมจี านวนจรงิ y บางจานวนที่ y2 = x
6) x Ny y2 = x
แบบฝกึ หดั
จงเขียนข้อความตอ่ ไปนีใ้ หอ้ ย่ใู นรปู สั ัก ์
1) มีจานวนจริง x บางจานวน x +1 1
2) มีจานวนจรงิ x ง่ x2 = 2
3) สาหรับจานวนจรงิ x ทุกจานวนมีจานวนจริง y บางจานวน ่ง x2 y = x2
4) ไมว่ ่า x แ ะ y จะเป็นจานวนจรงิ ใดๆ ก็ตาม จะได้วา่ x + y 5
5) มจี านวนเต็ม x แ ะจานวนนับ y บางจานวน ง่ x − y = 0
จงเขียนขอ้ ความแทนประโยคสั ัก ต์ ่อไปน้ี
1) x x 2 → x2 4
2) y2 y + 1 = 0
3) x x Q → x2 = 2
4) yxx − y = 0
5) x Ry N x2 + y2 = 9