พ17-64

ตัวบง่ ปริมาณ



ตวั บง่ ปริมาณ คือ ข้อความท่ีแสดงใหท้ ราบว่าตอ้ งนาสมาชกิ
ทกุ ๆ ตัว หรือสมาชิกเพียงบางตัวในเอกภพสมั พัทธไ์ ปแทนค่า
ตวั แปร ในประโยคเปิด เพอ่ื สรปุ วา่ ประพจน์น้ันมคี ่าความจรงิ
เปน็ จรงิ หรอื เทจ็ เพียงอยา่ งเดียวเทา่ นัน้

สัญลกั ษณท์ ใ่ี ช้แทนตวั บง่ ปรมิ าณ


ใช้สั กั ์  (for all) แทน สาหรบั .....ทกุ ตัว
ใชส้ ั ัก ์  (for some) แทน สาหรบั .....บางตัว

เชน่ สาหรับ x ทกุ ตวั เขยี นแทนด้วย x
สาหรบั x บางตัว เขยี นแทนด้วย x

สัญลักษณท์ ่ใี ชเ้ พิม่ เตมิ


ใช้สั ัก ์ U แทน เอกภพสัมพทั ธ์
ใช้สั ัก ์ R แทน เ ตของจานวนจรงิ
ใชส้ ั ัก ์ Q แทน เ ตของจานวนตรรกยะ
ใช้สั ัก ์ I หรือ Z แทน เ ตของจานวนเตม็
ใชส้ ั ัก ์ N แทน เ ตของจานวนนับ

ตวั อยา่ งที่ 1

จงเขียนขอ้ ความตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยูใ่ นรูปสั กั ์ เม่อื เอกภพสมั พทั ธเ์ ป็นเ ตของจานวนจรงิ

1) สาหรบั x ทุกจานวน x + x = 2x

1) xx + x = 2x , U = R

2) สาหรับ x บางจานวน (x +1)2 = x2 +1

 2) x (x +1)2 = x2 +1 , U = R

3) มจี านวนจริง x ง่ x + 0 = 2x
3) xx + 0 = 2x , U = R

ตวั อยา่ งท่ี 1 (ตอ่ )

4) สาหรบั x ทกุ จานวน ้า x เปน็ จานวนเต็ม แ ว้ x เปน็ จานวนจรงิ

4) x5x)Ix→x x N R , U = R

5) จานวนนบั ทุกจานวนเป็นจานวนจริง
5) xx  N  , U = R

ตวั อยา่ งท่ี 2

จงเขียนข้อความต่อไปนี้ใหอ้ ยใู่ นรูปสั กั ์

1) สาหรับ x ทุกจานวนมี y บางจานวน ง่ x + y = 0

1) xyx + y = 0 , U = R

2) สาหรับ x แ ะ y ทุกจานวน xy = yx

2) xyxy = yx , U = R

3) มี x บางจานวน เม่ือคู กบั y ทกุ จานวนจะได้ y เสมอ
3) xyxy = y , U = R

4) มี x แ ะ y บางจานวนบวกกันได้ 5

4) xyx + y = 5 , U = R

ตวั อยา่ งที่ 2 (ต่อ)

5) มจี านวนจริง x บางจานวน สาหรับจานวนตรรกยะ y ทุกจานวนท่ี x = y

yx

5) xy   x = y , U=R
Q y 
x 


6) สาหรับจานวนเต็ม x ทกุ จานวนจะมีจานวนจริง y บางจานวนที่ x + y Q
6) x  Iyx + y  Q , U = R

7) สาหรับจานวนจริง x ทกุ จานวนจะมีจานวนนับ y บางจานวน ง่ า้ xy  0 แ ว้
น ่ง ้า xy  0 แ ว้ x  0 แ ะ y  0

7) x  Ry  Nxy  0 → x  0  y  0

ตวั อย่างที่ 3

จงเขยี นข้อความแทนประโยคสั กั ์ตอ่ ไปนี้

1) xx  I  x  5

1) มจี านวนจรงิ x บางจานวนที่เป็นจานวนเตม็ แ ะน้อยกวา่ 5

2) xx  I → x  5

2) จานวนจริง x ทกุ จานวน ้าเปน็ จานวนเตม็ แ ้วจะน้อยกว่า 5

 3) yx x2 + y2 = 8

3) สาหรบั จานวนจริง y ทุกจานวน จะมีจานวนจรงิ x บางจานวน ง่ x2 + y2 = 8

ตวั อย่างที่ 3 (ต่อ)

 4) yx x2 + y2 = 8
4) มีจานวนจริง y บางจานวน สาหรับจานวนจริง x ทกุ จานวน ่ง x2 + y2 = 8

5) xy  Qx + y  R

5) จานวนจริง x แ ะจานวนตรรกยะ y ทุกจานวนบวกกนั ได้ ัพธเ์ ปน็ จานวนจริง
6) สาหรบั จานวนนบั x ทกุ จานวนจะมจี านวนจรงิ y บางจานวนที่ y2 = x

6)  x  Ny y2 = x

แบบฝกึ หดั

จงเขียนข้อความตอ่ ไปนีใ้ หอ้ ย่ใู นรปู สั ัก ์

1) มีจานวนจริง x บางจานวน x +1  1

2) มีจานวนจรงิ x ง่ x2 = 2
3) สาหรับจานวนจรงิ x ทุกจานวนมีจานวนจริง y บางจานวน ่ง x2 y = x2
4) ไมว่ ่า x แ ะ y จะเป็นจานวนจรงิ ใดๆ ก็ตาม จะได้วา่ x + y  5
5) มจี านวนเต็ม x แ ะจานวนนับ y บางจานวน ง่ x − y = 0

จงเขียนขอ้ ความแทนประโยคสั ัก ต์ ่อไปน้ี

1)  x x  2 → x2  4

2) y2 y + 1 = 0

3)  x x  Q → x2 = 2

4) yxx − y = 0

 5) x  Ry  N x2 + y2 = 9