12.ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

ฟงั ก์ชนั ค่าสมั บรู ณ์

ความหมายของฟังกช์ นั ค่าสัมบูรณ์

ฟงั กช์ ันคา่ สมั บรู ณ์ คือ ฟังก์ชนั ท่อี ยูใ่ นรูป y = | x - a | + c
เมื่อ a และ c เปน็ จำนวนจรงิ

เชน่
1. y = | x - 2 | + 1
2. y = | x + 1 |
3. y = | x - 1 | + 1

กราฟของฟงั ก์ชันคา่ สัมบูรณ์

กำรเขยี นกรำฟของฟังก์ชันคำ่ สมั บูรณ์ มหี ลักดงั ตอ่ ไปน้ี

▪ เขียนกรำฟของสมกำรทีไ่ มม่ ีคำ่ สัมบูรณก์ อ่ น
▪ สะท้อนสว่ นของกรำฟที่อยู่ใต้แกน X ใหข้ ้ึนไปให้เหนือแกนใหห้ มด

เพรำะว่ำ ค่ำ y นน้ั เป็นคำ่ บวกเสมอ จึงจะได้กรำฟคำ่ สัมบรู ณ์
y = | f(x) |

ตวั อย่างที่ 1 จงเขยี นกรำฟของ f(x) = | x + 1 | พรอ้ มทง้ั บอกโดเมน

และเรนจข์ อง f
วิธที า ขั้นที่ 1 เขียนกรำฟของ y = x + 1 กอ่ น จะไดก้ รำฟดงั น้ี

Y y =x+1

(0, 1)

(-1, 0) X

0

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขยี นกรำฟของ f(x) = | x + 1 | พรอ้ มทง้ั บอกโดเมน

และเรนจข์ อง f
วธิ ีทา ขัน้ ที่ 2 จำกกรำฟขอ้ 1 ทำให้เรำไดก้ รำฟของ y = f(x) = | x + 1 |

ดังนี้

จะได้ Df = {x | x  R}
Rf = {y | y  R และ y  0}

ตวั อย่างท่ี 2 จงเขยี นกรำฟของ f(x) = | x + 1 | + 3 พรอ้ มทัง้ บอกโดเมน

และเรนจข์ อง f

วธิ ที า จำก f(x) = | x + 1 | + 3

x 012 3 -1 -2 -3
734 5
f(x) 4 5 6
f(x) = | x + 1 | + 3
Y
X
7
6
5
4

(-1, 3)32

1
0

 Df = {x | x  R}
Rf = {y | y  R และ y  3}

การแกส้ มการที่อยู่ในรปู ค่าสมั บรู ณ์

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหำคำ่ ของ x ท่ที ำให้ | x - 1 | = 3 โดยใชก้ รำฟ

วิธีทา ให้ y1 = | x - 1 | และ y2 = 3 เขยี นกรำฟ ได้ ดงั นี้

x y1 y2
013
103
213
323
4 3* 3*

-1 2 3 จำกกรำฟ จะเหน็ วำ่ y1 = y2 เมือ่ x = -2 หรอื x = 4
-2 3* 3*  | x - 1 | = 3 เมื่อ x = -2 หรอื x = 4

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหำค่ำของ x ท่ที ำให้ | x + 1 | - 2 = 0

โดยใชก้ รำฟ

วิธที า จำก | x + 1 | - 2 = 0
|x+1| = 2

ให้ y1 = | x + 1 | และ y2 = 2 เขยี นกรำฟ ได้ ดงั น้ี

x y1 y2
-3 2 2
-2 1 2
-1 0 2
012
122

2 3 2 จำกกรำฟ จะเหน็ ว่ำ y1 = y2 เม่ือ x = 1 หรือ x = -3
3 4 2  | x + 1 | - 2 = 0 เม่อื x = 1 หรือ x = -3

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหำค่ำของ x ที่ทำให้ | x + 4 | + 4 โดยใชก้ รำฟ

วิธีทา จำก | x + 4 | + 4 = 0
| x + 4 | = -4

ให้ y1 = | x + 4 | และ y2 = -4 เขียนกรำฟ ได้ ดงั นี้

x y1 y2

-5 1 -4

-4 0 -4

-3 1 -4

-2 2 -4

-1 3 -4

0 4 -4 จำกกรำฟ พบว่ำ ไมม่ ีค่ำ x ใดทที่ ำให้ y1 = y2
1 5 -4  ไมม่ จี ำนวนจริง x ที่เปน็ คำตอบของสมกำร | x+4 | - 4 = 0

แบบฝึกทกั ษะ

กราฟของฟังกช์ นั การแก้สมการทอี่ ยู่
คา่ สัมบูรณ์ ในรปู ค่าสมั บูรณ์

คาชแี้ จง ให้นกั เรียนเขยี นกรำฟของฟังกช์ ันค่ำสมั บรู ณ์แตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
พรอ้ มท้งั บอกโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ ัน

1. 1f(.x)f(x=) =| x +| x2+|2 | 2. f(x) = | x + 2 | + 4
YY YY

f(x) = | x + 2 | f(x) = | x + 2 | + 4

0 0 XX (-20, 4) X

-2 -1 0 X

-3 -2 -1 1 2 3

Df = D…f …=…{…x |…x ……R}………………….. Df D=f …=…{…x | …x …R…}……………………..
Rf = R…f …=…{…y |…y ……R ………y …0…} …….. Rf =Rf …=…{…y |…y …R…………y …4…} ………..

คาช้ีแจง ให้นักเรียนเขียนกรำฟของฟงั ก์ชันคำ่ สมั บรู ณ์แตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
พรอ้ มทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ ัน

3. f(x) = | x – 2 | 4. f(x) = | x - 2 | + 2
YY f(x) = | x – 2 | Y Y f(x) = | x – 2 | + 2

00 (2, 0) XX (20, 2) XX

0

Df D=f …= …{x…| …x …R…}…………………….. DRDRffff == …{x…| x………R}………………………..
Rf R=f …= …{y…| …y …R…………y …0…} ……….. == …{y…| y………R ………y ……2}…………..

คาชี้แจง ให้นกั เรยี นแก้สมกำรแต่ละขอ้ ต่อไปนโ้ี ดยอำศัยควำมรเู้ รื่อง
กรำฟของฟงั กช์ ันคำ่ สัมบรู ณ์

ขอ้ ที่ สมการท่ีอยู่ในรปู ค่าสัมบูรณ์ คาตอบ
1 |x+5| = 0
2 |x-6| = 0 1) x = -5
3 |x| - 2 = 0
4 |x+2| - 4 = 0 2) x = 6
5 |x+5| = 5
6 |x+3| - 1 = 0 3) x = -2 x=2
7 |x-4| = 6
8 |x+1| - 5 = 0 4) x = -6 x=2
9 |x+4| - 3 = 0
10 | x | = 7 5) x = -10 x=0

6) x = -2 x = -4

7) x = -2 x = 10

8) x = -5 x=4

9) x = -7 x = -1

10) x = 7 x = -7

ขอบคุณคะ่