1ม1-2-64

บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้น
และเมทริกซ์

❑ ระบบสมการเชิงเส้น

ax + by = acx + by = c

ax + by = c แ สมการเชงิ เสaน้ ,bง, c แ ร x และ y

a,b, c ร

แร

สสมมกกาารรเเชชิงิงเเสสน้ ้น งง แแ รร xx แแลละะyy สสมมกการาเรชเชงิ เงิ สเสน้ น้ สสงง แแ รร

ax + by = c ax + by + cz = d

a,b, c สมการเชงิ เสน้ ง แ ร x และ y

แร

สสมมกกาารรเชเชงิ งิ เสเสน้ ้น งง แแ รร xx, yแลแะละyz สมสกมากราเรชเิงชเิงสเน้สส้นสงาม แ แร ร

1. 1.13.x3−3xx2−y−2=2yy5==55
2. 2.2x. +xxy+++yyx+y+x=yxy5==55
3. 3.3x. −xx7−y−7+7yy5+z+5=5z z−=1=−1−111
4. 4.46. x61 6x−1x31−x−323x+2x42+x+434x=3x3−=1=−3−1313

5. 5.5x. 2x+x2 22+y+2=2y 1y==11
6. 6.64. x414x+1x1x+2+x=2x2==3 33
7. 7.7x.1 x−1xx1−2−2x2x=2212=0=1010
8. 8.8. x1 x+1x1x+2+x=2x23==33

บทนิ าม a, b, c, d, e, f a, b
c, d xy

ax + by = e

cx + dy = f

xy

1

x +3y = 9 x + 3y = 9

2x + y = 8 2x + y = 8

ธ (2ธธธ3)((22(2−33(31ธ)))()−−2−(((111;)ธ(())()ธ222;;;));)(2x3(223;;;)2+x)xx−x(x222ธ−13+(221++2+xx()+xy5(2)6xxx(2233++3+;)3yy=yyy++;)+yyy55)5666;====9=−;yy(y==yyyyyy=y1x128x121()2=======9952==+09=2x802+xx;11)18811221381+1x55300+508800+80;-y-5-+6-y--56x---yy=2yyy---y--y=yy--y----2-+--x------=--==-=-9-=-------=x--===--9=--3-+--------1--81--21-------+1--y-8-152--10-5---680------5y(-0--8--0--1----y(y=yyy-------3-(=)------2((-=)(-==---=9=11--1((-)---(2--33--((-3-))1()81-2-122----2))-)-50---y-80))--)y-y---------y--=----=--=--------=---(--2---1-2(-2y(--12--3(()---32()=-)-(-2-))1--1-)--2)-----(-x1(3()+y2x))3=+(((((11xx11226)))))==(=1x=x9xx)39+9+x−x++xxx3+36++(33xxx++x2(6x((x32xx6+)(=xx=22=661(=)x==x2=6))=)==93==3===9)====99=x−399=93399993−9+996x−−9x−36+666x=(xxxxx2y63=)========933329339−

6

xy==y3yy2y===

y=2

22 2
ธธ 3(1212212)(−(1((111ธธ))1(2))31223ธ12;;333(((x11x22;)3(;2222(+3))+)(;x(112)12((−((−−)1(−113(()96311ธ))))()3((;23(22)))33322;3(y−(4y33x24x1;(3(2x;;x;x1xxx3(x));;);122))+==2()+)32(+−++)++3;;+xx+;(−y3);31;3(−x34x);3()99−6696()1y931(4xy3322()41+x33+3yy;xyy;)3y4xy(;yy=02xx)xx+3)2xx=xxx;3+x)==9==6+;=x=++x==++=2);;++3++3+yy223+11;yy4431+y+x99;664x1156992x33yx993=y1=-3yyyy=-yyyy900+y-60+3=x++y-0y-x3=21-3==4==-xy====y==2=-=-+9-=26=-x1-9+x3--xx211-+---44==55662256y9-y--56yy-0+11+9++----91y-04---==-y0==-=9-6-1-9--3y-0-----=--=-------=1=--y----y--4-yy-5602--==------------156----------56-=--==--=--=----56--------------------1(----4---56-(2----3------3--1----------)----------)----------------------------(--------------((-3------------1--2--(-----------)-(-3--------)-)---3(------)((3----(--(()((33---(---4-11-22-)-4------))---)--))-))---)-----------------------------------(--(4-(-4(-((-3)4-1-2-)-)-)))(((312)))

xy

3 3 3 333 3
++3++2xx9966++yyyy33332229==6x==xxxxxxyy66++++++44==99996666632yyyy4yyyyxx========++6666444496yy = 4
22xx = 6
33xx

ธ ธ 33(1122ธ2212)3(−−(1211(211ธธธ()()1)x44−();13333((((1111);222212222);3(()x24);));)−−−−((();ธ1111((((−11113322y333)))(((;)))xxxxx4444xx()3(xxxx31212;;;4x22);));;++3++;2y++++3))+x;;;xx99−x(−66;99331(131+1+yy+)+yyyy(yy003333222)yyyyx333449==36x==xx;93==xxx==xxx==xxxx=);xyyyy66++++0+++4466++++22+++002;+=====999966669999333396-32yyyyy4--3-62yyyy0yyyyyyyy--0000--y-x-x-x--x-====-====-========---=====--+---+++---6666--4444-66662222--00005--9--6--9-3-----y---y--yy0-------------------------=--=-----==------=---------------------------6---------4-62------0--------------------------(-----(----------((-3--2-------(-3--4-----------1--)----)------)-)------)------(--(-(---2---(3-4--------1-----)--)---)------)-----------((((--((((((-4-222--(((333444---111-))))--))))))---)))----------------(((2(341))))
y =yt =,tyyyt ====, tttt xy,,, ttt+=xt3+y,3=xxxxty2++++=33332yyyyx====+22223y = 2
==yxt2==−t2yyyyxxxx3t==−====== 32222t−−−−x3333=tttt 2
x tttt y = t − 3t
y

ระบบสมการเชงิ เส้น n แ ร

n n2

บทนิ บาทมนิ าม a1, a2,a..1.,,aa2n,,.b.., an, b a11สb, aม2ก,า.a.ร.1,เส,ชaaมงิnn2กเ,สา.้น.ร.,เnชaงิn เสแน้ nร
a11x11 a1ax221x22 a.2.x. 2
ann..x. nn anbxn แร

x11, x22,x.1..,,xx2nn,..., xn

บทนิบาทมนิ าม mm m2 m2
ระบบรสะมบกบารสเมชกิงาเสร้นเชงิ เส้นx11, x22,.x..1,,xxnn2,..., xn nn
x11, x22,...x, x1,nnx2,.
x11, x22,x..1.,, xxnn2,..., xn

า บา งบระบบงสระมบกบารสม( การ ( ) )

m m2

a11x1 + a12 xm2 + ... + a1n xn = bm1  2

aa11x1x11++aaa122112xxx212+++.a..2m.+2+xa2a1n1+nxx.n.n.=+=bab121n xn =mb2 2 สมการ
aaa12a21112xxx1111x1++++aaa12a22222xxx222x2 +2+++.........+.++.+aaa12a2nnnx2xxnnnxn =n==b=bb12b22 สมการ
 สมการ

 am1x1 + am2 x2+ ... + amnxn = bm

แ รaamam11mxx111x+1++aamam22mxx22x2 +2++.......n+.+. +aamamnmnxxnnxn n===bbmbmm

n แร
n แร

ธ (111333133)1313(((((1433331))()))133(13111(3(((()((((12111122221211ธ411111ธธธธ111444))())))))))(1(4(−5−−−−3−−)1(54()((((3))2(222222(((((x(4)4)44444(5)((())))1)54())5(55)))))555514(5)))x11))(((253x11122223x111ธธ5xxx23x222222x333333xxxxxx)xxxx)))xxxxxxxxxxxxxxx(y−−−5(((5()222(((35y23x444y5x2xx)))3)y2333333xxy2x3xy2222222)))xxxxxxxyyyyyyyyyx3xxyxxx2xxxxyx3222222xxxxxxxxxxxxyy333333yzyyyyyyyyyyyyyy222333xxxxxxxxxzyz3y2yyzz32yyzy2y3yyyyyyzzzzzz3zzz2yy333333y2yz222222z3yyyyyyzy222y03yyyyyyz333222z222yyyyyy333333222xxxyyyzxzxz2z22xxxzzzzzz60222zzzzzzzxxxxxx333y2y22zxzxz06zzyyyy2yyy3yzxzx26222z22z-y666666z222222y3zzz4zzzz00-000yyyyyz2yyyyy-z-zzzzzz3-zxzzxzzxxxzzzx4-xx2z0x-333333----222222z-4-yyyzzzz0-63--6x12-zzzzzz-444444333--2,-zzzzzz000000222--yyy-24x-------63-22-12--60,-yyy--------222yyy263--12333-y24-,--zxzx-------6--0-4--zzz2--xy-zzz-----666666---24-----x--xx---,22222-y22--------062224443222440-----124------,--------636633-1211-22---zxzx222,---------,,,0z-------666-4----zzz---------z000000yyyy-------yyy--444-444-----z--------zzz---yyy-----x----------333--------,----222---------------6-3------12---------,,zzz,---444--------zzz000--------z---------------(-----------------(y1-zzz-------------(---------5-(-------5----63-----)12--(5--666-----,---------(-------222-(--1-)-----)--2224442----------3)-------(1--1-z--)-------1--1----(--)--)(-((((---(------5--,----,00021111--,3444---)--------------((--()-(----()----)2))--2)55-2--41-3----(((------(((------2222,--))))3--33,--,)---(---(----111-----4)))5--))))3----2---3-----(,,,--)--)---4----,--((((1--------222444)(------,3((5--))))----,,,11------2)))--333((,--((2233--3--))))-- ((44))

1
3

2 44x4x4x3xx3xxxx3x3xx 332y332yyy422yyyyxyx3yyyxx3x4343zzz43423zzz3zzzyzzzy2yyy 273227733273z27343zzz

ธ ธธธธ 4z 3
2
37

2
ธ 334x33xxxx y3yyyy3x z3zzzzz y 333733 z -----3------------------------------------(--(1--1-)()-(1-1-))----- (1)
ธ xxxx 22y223yyyxx 44z444zzyzz2y 22z2224z 3-----2---------------------------------------(--(-2--2--)()-(2-2-))-(1--)-- (2)
44x44xxx 33xy33y4yyx 23yz33333zzzzy 4z777773z2-------------7---------------------------(--(3--3-)()-(3-3--))-(-2-)-- (3)
((11()1)(++1)(+)(2+2()(2)2));; ;;(1)+(424x4)4xxx; 33y33y44yyxx 3z333333zzzyzy 5553553zz -7---5---------------------------(--4---)(-(4-4-))(-3--)-- (4)

((33()3)(--3()(4-)4-()(4)4));; (;;1()3+)(-2(4) ) ; ; 4x 3y0000=0===5=35255z5 0 5= 5 ---------------- (4)
(3)-(4) x;x,yx,y,yz,z,z x,y,z (3((3)3(03))=) 5 (4(4()(3(4)44))) (4)
x,y,z (3) (4)

3

3 3 3333 x y2
x x x3xxy xy y yyz 2y 2 522 2
3 x xx xx3xx3yy3y33yy3yz2 z zz 5z 5 355 5

ธ x 3x33yx33xx3xyzy xyy zy5 z zzy 3z 3 332 3 ---------------- (1)
3x y z3
ธธ ธ ธ ธ ธ x y yyz y25z-----2-5-----22-555-----2-35------------------------------(--(-1-2----)-)-------------------------(--(-1-2----)-(-)(--1-2--()(-()(-31-22))()(12))
x x x3xxyxy zz
x z
x y2

3xyxx 3xxy3zy33yy3y5z
(2) + (3) 3x 3x3yx33xx3x4yzxy yy 3yz4zy-zz--3-z--3--8-33-----3----------(-3---)------------(-3--)(-3--)(-3)(3)
(2)(2+)(2(+3)()2+()(32+)()13+)(3)(3) 4x 4x44xy44xx4x4y84y44yy4y8 8 88 8

1 1 1 114 1 x + y = 2 ---------------- (4)
4 4 4 44 4 x + yx=+x2+xxy ++x=y +0=2yy--===2y---0=22---2-----------------(-4--)------------(-4--)(-4--)(-4)(4)

(1) - (4) 0 = 0 0 =0 0=0 0== =00 0
(1)(1- )((14-))(1(-4)(1)(-4))(-4)(4)

3( ) tttt
xxx,,,,yyyyyyyyyxxxx========xxxx2222ttttt33333=====((((−−−−zzzztttttttt,,,))))3333tttt,,,++++ttttttttt ++++yyyy((((22222=====22222−−−−−−−−−−2222xxxxttttt−−−−tttt))))++++(((−−−−−−−−−−222ttttyyyyyyyyyyyy)))zzzzzzzzzzzzz,,,============================zzzz2222222222222333322222====33333−−−−−−−−ttttt2222−−−−−ttttxxxxttttt 1111−−−−1111

2. 2x + 3y =1

3x + 5y = 3

x − 4xxy++=yy−1==022
− 2xxx+++833yyy=++20zz == 55

33xx ++ yy −− zz == 33

x − 422yxx =++−221yy0++ 33zz ++ 22tt == 1111
− 2xxx+++8yy ++= 220zz ++ 22tt == 66

22 yy ++ 55zz ++ 22tt == 55
xx ++ yy ++ 33zz ++ 44tt == 11